Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Замкнутые системы билинейных форм и связанные с ними уравнения математических моделей 16
1.1. Разложение вектора по ортонормированной системе, порожденной другим вектором, и замкнутые системы билинейных форм 16
1.2. Замкнутые системы билинейных форм пары векторов (и, у) в случае, когда один из векторов принадлежит линейной оболочке, порожденной другим вектором 21
1.3. Матричные соотношения, возникающие при взаимном ортогональном проектировании подпространств, порожденных векторами пары (и, у) и системой операторов 24
1.4. Замкнутые системы билинейных форм пары векторов (и, у) в общем случае 32
1.5. Некоторые свойства матриц Y"1, UL и матрицы билинейных форм Р 49
Глава 2. Мультиоператорные модели 63
2.1. Линейные свободные мультиоператорные алгебры 63
2.2. Мультиоператорные линейные пространства, орбиты и аннуляторы 78
2.3. Мультиоператорные модели, связывающие пару векторов (и, у) 102
2.4. Мультиоператорные уравнения, связывающие пару векторов (и, у), принадлежащих конечномерному пространству 111
2.5. Алгоритмы вычисления матрицы билинейных форм и коэффициентов мультиоператорных уравнений 115
Глава 3. Мультиоператорные дифференциальные модели (уравнения) на классе скалярных аппроксимирующих функций одной переменной (применение метода Крылова) 121
3.1. Некоторые вопросы использования мультиоператорной алгебры A(D) для построения дифференциальных мультиоператорных моделей 122
3.2. Применение сглаживающих сплайнов и БПФ для построения периодических непрерывных аппроксимаций дискретных сигналов 137
3.3. Мультиоператорные дифференциальные модели для функций входа и выхода, аппроксимируемых тригонометрическими полиномами Фурье 144
3.4. Оценки размерности базиса Крылова, алгоритмы построения мультиоператорных дифференциальных уравнений и результаты расчетов на примере МРГД-модели дугового разряда переменного тока 157
Глава 4. Мультиоператорные дифференциальные модели «вход - выход» на классе векторных аппроксимирующих функций одного аргумента 172
4.1. Общие вопросы 173
4.2. Построение мультиоператорных моделей с помощью алгебры, порожденной оператором дифференцирования и оператором циклической перестановки компонент вектор-функций 179
4.3. Ортогональные проекторы и метод симметричных составляющих 182
Глава 5. О физической интерпретации реактивной мощности 203
5.1. Представления реактивной мощности в распределенных параметрах электромагнитного поля 203
5.2. Энергетическое представление реактивной мощности (объемный интеграл) 219
5.3. Энергетическое представление реактивной мощности (поверхностный интеграл) 226
5.4. Реактивная мощность — действие объекта 228
5.5. Лагранжевы структуры электромагнитного поля 236
Заключение 272
Литература 275
Приложение I
Приложение II
- Замкнутые системы билинейных форм пары векторов (и, у) в случае, когда один из векторов принадлежит линейной оболочке, порожденной другим вектором
- Мультиоператорные уравнения, связывающие пару векторов (и, у), принадлежащих конечномерному пространству
- Применение сглаживающих сплайнов и БПФ для построения периодических непрерывных аппроксимаций дискретных сигналов
- Построение мультиоператорных моделей с помощью алгебры, порожденной оператором дифференцирования и оператором циклической перестановки компонент вектор-функций
Введение к работе
Актуальность. В настоящее время методы математического моделирования процессов и систем являются одним из важнейших инструментов в решении различных задач науки и техники, позволяющим с помощью ЭВМ глубоко и в достаточной полноте изучать объекты и явления, проектировать новые технические системы и алгоритмы управления ими.
Первым этапом исследования физических и технических систем методами математического моделирования является построение модели, протекающих в системе процессов. Обычно в качестве моделей используют уравнения, являющиеся математическим представлением известных физических законов. Адекватности добиваются введением в уравнения модели новых слагаемых, учитывающих взаимосвязь различных процессов и/или функциональную зависимость коэффициентов уравнений, отражающую неоднородность, анизотропность или нелинейность физических свойств среды. Физическая интерпретация результатов моделирования при таком подходе заложена в саму его основу.
Если этот подход к построению моделей не оправдан из-за многообразия и сложности процессов, протекающих в системе, или отсутствия достаточной информации (например, о свойствах сред), используют методы идентификации.
В природе и промышленности существует широкий класс физических и технических систем, которые можно рассматривать как два взаимосвязанных преобразователя энергии из одного вида в другой — «источник» и «нагрузку» (потребитель энергии). В представлении системы с сосредоточенными параметрами характеристиками процесса являются вектор-функции (от времени t) входа нагрузки u = u(t) (выхода источника) и выхода нагрузки у = y(t) (входа источника), компоненты которых имеют обычно смысл обобщенных сил (интенсивные переменные) и, соответственно, обобщенных потоков (экстенсивные переменные). Для механических систем — сил и скоростей или моментов сил и угловых скоростей. Для электромагнитных систем переменного тока — напряжений и токов. (Такой подход можно использовать и при исследовании экономических, социальных и других системы.)
Для анализа энергетических процессов в таких системах используют мгновенные или усредненные (на характерном интервале То времени) энергетические характеристики: билинейные по обобщенным силам и потокам (мощности) и квадратичные (энергии).
Уравнение, связывающее вектор-функции входа и и выхода у, как правило, рассматривается как модель «нагрузки» и является некоторым приближением физического закона, например, для электромагнитных систем его можно считать обобщенным законом Ома.
Проблема поиска соотношения, связывающего энергетические характеристики такой системы, была поставлена электротехниками для электромагнитных систем переменного тока как проблема получения ортогонального разложения полной мощности
S2 = P2 + Q2, (1)
являющегося в настоящее время основным соотношением для анализа режимов работы электроэнергетических систем и формирования критериев качества передачи электромагнитной энергии от производителя («источника») к потребителю («нагрузке»). Оно следует из ортогонального разложения тока
У = Уа + Уг,Уа = «и,У>/||и||2)и, (2)
где S = ||и||-||у|| — полная мощность, в зарубежной литературе кажущаяся (apparent power); Р = (и, у> — активная мощность; Q = ||u||-||yr|| — реактивная мощность (иногда называемая неактивной); уа — вектор-функция активных токов; yr = ortu у = у - уа — вектор-функция реактивных (неактивных) токов. Повышение качества передаваемой энергии связывают с компенсацией реактивной мощности Q (применением пассивных и/или активных фильтров).
Когда вектор-функцию реактивного тока в самом общем виде определяют выражением уг = У - уа, равенство (2) нельзя рассматривать в качестве уравнения математической модели системы (обобщенного закона Ома). Соответственно, ортогональное разложение полной мощности (1) нельзя рассматривать в качестве замкнутого соотношения, когда реактивную мощность определяют
выражением Q = vS2 -Р2 .
Несмотря на многочисленные попытки и оригинальные подходы электротехников к решению задачи построения ортогонального разложения полной мощности в общем случае (Iliovici М., Budeanu C.I., Emde F., Fortescue C.L., Fryze S., Лурье Л.С, Пухов Г.Е., Маевский О.А., Shepherd W., Zakikhani P., Sharon D., Shepherd W., Zand P., Kusters N.L. - Moore M.J.M., Novomiejski Z., Демирчян К.С, Czarnecki L.S., Новосельцев A.B., Стрелков М.Т., Зиновьев Г.С, Emanuel А.Е., Akagi Н., Czarnecki L.S., Depenbrock М., Агунов М.В. и др.), в настоящее время эта задача математически корректно решена только для однофазных систем с синусоидальными функциями напряжения и тока.
В этом случае с помощью линейных операторов D (фазового сдвига на угол
я/2, дифференцирования или интегрирования) были получены представления
реактивного тока yr= ((Du,y)/\\Du\\)Du и реактивной мощности
Q = (u, Dy) = - нормированной системе функций {u/||u||,Du/||Du||} — как уравнение математической модели системы, а разложение полной мощности (2) (в связи с тем, что ||y||2 = «u,y>/||u||)2 + «Du,y>/||Du||)2. (3) Ортонормированная система базисных векторов, для которой справедливо равенство Парсеваля, называется замкнутой (по крайней мере, для бесконечномерных гильбертовых пространств) . По аналогии равенство Парсеваля (3) и 1 Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа - М.: Наука,- 1972.-496 с. связанное с ним разложение полной мощности (2) можно считать замкнутыми энергетическими соотношениями. Но в настоящее время чаще используются электромагнитные системы переменного тока с нелинейными устройствами («источником» и/или «нагрузкой») и, в связи с этим, с несинусоидальными функциями напряжения и тока. Повышение же эффективности их работы не продуктивно без детального анализа энергетических характеристик процесса. Основным подходом к решению проблемы ортогонального разложения полной мощности в общем случае были попытки детализировать разложение полной (реактивной) мощности, т.е. пополнить базис, порождаемый вектором и, с помощью какого-либо набора операторов. Но, как выше уже было отмечено, замкнутые модели и соответствующие им замкнутые разложения полной мощности получены не были. Наиболее продуктивным из таких детализаций, по мнению автора, было использование степеней оператора дифференцирования . Для того чтобы такая детализация была востребована при решении прикладных задач (создание новых и повышение эффективности работы существующих электромагнитных систем) выбор операторов должен опираться на достаточно ясную физическую интерпретацию вводимых билинейных форм (составляющих полной мощности). Активная мощность Р имеет давно известный четкий физический смысл — мощности диссипации энергии электромагнитного поля или среднего потока энергии от источника к нагрузке (среднего потока вектора Пойнтинга). Поиск же соответствия реактивной мощности известным, общепринятым физическим характеристикам в основном сводился к оценкам, тем или иным способом, средних потоков энергии в электромагнитных системах между источником энергии и нагрузкой и не привел для несинусоидальных режимов к какой-нибудь общепринятой интерпретации. Поэтому почти с самого появления электромагнитных систем переменного тока (конец XIX века) не прекращается поиск наилучшего (а иногда и «единственно верного») представления реактивной мощности в ортогональном разложении, и ее физического смысла. Выше сказанное определяет как актуальность решения прикладной математической проблемы разложения полной мощности и физической проблемы интерпретации реактивной мощности, так и актуальность обобщения этой проблемы, поставленной электротехниками, на любые системы типа «источник -нагрузка». То есть актуальность математически корректного построения системы билинейных форм (мощностей), отражающих энергетические процессы в системе на выбранном интервале времени и в выбранной области пространства, и поиска взаимосвязи этой системы билинейных форм с математическими моделями процессов исследуемой системы. Цель работы. Разработка теоретических основ построения класса математических моделей (названных в работе мультиоператорными), связывающих пару скалярных или векторных функций входа и выхода системы, и набора би- 2 Зиновьев Г.С. Прямые методы расчета энергетических показателей вентильных преобразователей - Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, - 1990. - 219 с. линейных форм (ассоциируемых в физике с мощностями), достаточных для описания энергетического процесса, а также поиск физической интерпретации билинейных форм в случае электромагнитных систем. Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются сложные физические и технические системы, а предметом — уравнения математических моделей и билинейные формы. Методы исследований. В работе используются методы линейной алгебры, теории групп и алгебр, теории функций; численные методы и методы классической электродинамики. Научная новизна. Разработан новый мультиоператорный метод построения и анализа математических моделей сложных систем и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм (мощностей). Впервые введено понятие замкнутой системы билинейных форм и доказано, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей. Получены оценки спектра обобщенных сингулярных чисел матрицы билинейных форм. Доказано, что система билинейных форм замкнута, если хотя бы одно из обобщенных сингулярных чисел этой матрицы равно 1. Разработан метод построения дифференциальных моделей (как реализация мультиоператорного метода) для гладких аппроксимаций скалярных и векторных функций входа и выхода. Впервые построена общая теория метода симметричных составляющих, используемого для анализа многофазных электромагнитных и электроэнергетических систем. Разработаны алгоритм поиска базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений моделей и комплекс программ построения дифференциальных моделей для С-гладких периодических аппроксимаций скалярных функций входа и выхода. Для периодических функций напряжения (вход) и и тока (выход нагрузки) у, описывающих процессы в электромагнитных системах, и мультиопера-торной алгебры A(D) с образующим оператором дифференцирования D впервые получена корректная физическая интерпретация реактивной мощности — элемента рп = (u, Dy) = -(Du, у> =Р2\ матрицы билинейных форм Р. Показано, что для однородных, изотропных и нейтральных лоренцевых сред плотность реактивной мощности с точностью до 4-дивергенции совпадает с плотностью функции Лагранжа, а реактивная мощность равна значению функционала действия объекта. Показано, что применение плотности реактивной мощности (плотности функции Лагранжа) позволяет полнее анализировать структуру электромагнитного поля в различных задачах электродинамики. В частности, в задаче об отражении монохроматической волны от плоскости раздела двух диэлектрических сред получено обобщение угла Брюстера для произвольного угла поляризации падающей волны. Практическая значимость. Разработанный метод построения мультиопе-раторных уравнений модели системы и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм пары функций может быть использован: для идентификации систем; для исследования по результатам вычислительного эксперимента математических моделей, построенных из физических законов, проверки их адекватности и классификации решений; для анализа энергетических процессов, протекающих в электромагнитных, механических и других сложных системах; для построения разностных схем эволюционных задач. Плотность функции Лагранжа можно использовать для анализа структуры электромагнитного поля, найденного в результате вычислительного эксперимента при решении различных задач электродинамики, радиофизики и оптики. Основные положения, выносимые на защиту. Теоретические основы мультиоператорного метода построения математических моделей и его реализации при построении дифференциальных моделей систем со скалярными и векторными функциями входа и выхода, являющихся конечными С-гладкими аппроксимациями. Математическое обоснование понятия замкнутой системы билинейных форм. Доказательство того, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей (мультиоператорных уравнений). Результаты исследования спектральных свойств матрицы билинейных форм. Теория метода построения операторных ортогональных проекторов для разложения вектор-функций на симметричные ортогональные составляющие. Алгоритмы поиска базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений и линейного пространства дифференциальных уравнений моделей системы со скалярными и векторными функциями входа и выхода, являющихся конечными С-гладкими аппроксимациями. Физические приложения предложенного метода для электромагнитных систем, а именно: физическая интерпретация (локальные представления) реактивной мощности в классической электродинамике и применение плотности реактивной мощности (плотности функции Лагранжа) для анализа структуры электромагнитного поля. Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в публикациях, получены автором самостоятельно. Связь работы с научными проектами. Работа была выполнена при поддержке РФФИ (грант 07-07-00213а). Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 15 научных конференциях, конгрессах и семинарах: Всероссийский Электротехнический Конгресс, ВЭЛК-99 (Москва, 1999); V International congress on mathematical modeling (Dubna, 2002); Всероссийская научная конференция «Физика радиоволн» (Томск, 2002); VI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» (Москва, 2003); Days on Diffraction'2003 International seminar (St.Petersburg, 2003); VI International congress on mathematical modeling (N.Novgorod, 2004); Days on Diffraction'2005 International seminar (St.Petersburg, 2005); 13 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2006); Третья международная конференция по проблемам управления (Москва, 2006); 2-я Международная конференция «Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (Суздаль, 2007); VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SIGPRO'07 (Москва, 2007); 15 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2008); семинар, посвященный юбилею В.М. Дубовика «От теоретической физики до технологии» (ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 2008); Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва, 2008); 16 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Пущино, 2009); межкафедральный семинар по математическому моделированию РУДН (РУДН, Москва, 2009); Mathematical Modeling and Computational Physics (Dubna, 2009). Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем составляет страниц. Диссертация содержит рисунков, таблиц, список литературы из наименований. Разработан новый мультиоператорный метод построения и анализа математических моделей сложных систем и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм (мощностей). Впервые введено понятие замкнутой системы билинейных форм и доказано, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей. Получены оценки спектра обобщенных сингулярных чисел матрицы билинейных форм. Доказано, что система билинейных форм замкнута, если хотя бы одно из обобщенных сингулярных чисел этой матрицы равно 1. Разработан метод построения дифференциальных моделей (как реализация мультиоператорного метода) для гладких аппроксимаций скалярных и векторных функций входа и выхода. 4. Впервые построена общая теория метода симметричных составляющих, используемого для анализа многофазных электромагнитных и электроэнергетических систем. 5. Разработаны алгоритм поиска базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений моделей и комплекс программ построения дифференциальных моделей для С-гладких периодических аппроксимаций скалярных функций входа и выхода. 6. Для периодических функций напряжения (вход) и и тока (выход нагрузки) у, описывающих процессы в электромагнитных системах, и мультиопера-торной алгебры A(D) с образующим оператором дифференцирования D впервые получена корректная физическая интерпретация реактивной мощности — элемента /?i2 = (u, Dy) = - Z)u, у) =/ьі матрицы билинейных форм Р. Показано, что для однородных, изотропных и нейтральных лоренцевых сред плотность реактивной мощности с точностью до 4-дивергенции совпа дает с плотностью функции Лагранжа, а реактивная мощность равна значению функционала действия объекта. 7, Показано, что применение плотности реактивной мощности (плотности функции Лагранжа) позволяет полнее анализировать структуру электромагнитного поля в различных задачах электродинамики. В частности, в задаче об отражении монохроматической волны от плоскости раздела двух диэлектрических сред получено обобщение угла Брюстера для произвольного угла поляризации падающей волны. Практическая значимость. Разработанный метод построения мультиопе раторных уравнений модели системы и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм пары функций может быть использован: для идентификации систем; для исследования по результатам вычислительного эксперимента математических моделей, построенных из физических законов, проверки их адекватности и классификации решений; для анализа энергетических процессов, протекающих в электромагнитных, механических и других сложных системах; для построения разностных схем эволюционных задач. Плотность функции Лагранжа можно использовать для анализа структуры электромагнитного поля, найденного в результате вычислительного эксперимента при решении различных задач электродинамики, радиофизики и оптики. Основные положения, выносимые на защиту. 1. Теоретические основы мультиоператорного метода построения математических моделей и его реализации при построении дифференциальных моделей систем со скалярными и векторными функциями входа- и выхода, являющихся конечными С -гладкими аппроксимациями. 2. Математическое обоснование понятия замкнутой системы билинейных форм. Доказательство того, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей (мультиоператорных уравнений). Результаты исследования спектральных свойств матрицы билинейных форм. 3. Теория метода построения операторных ортогональных проекторов для разложения вектор-функций на симметричные ортогональные составляющие. 4. Алгоритмы поиска базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений и линейного пространства дифференциальных уравнений моделей системы со скалярными и векторными функциями входа и выхода, являющихся конечными С-гладкими аппроксимациями. 5. Физические приложения предложенного метода для электромагнитных систем, а именно: физическая интерпретация (локальные представления) реактивной мощности в классической электродинамике и применение плотности реактивной мощности (плотности функции Лагранжа) для анализа структуры электромагнитного поля. Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в публикациях, получены автором самостоятельно. Связь работы с научными проектами. Работа была выполнена при поддержке РФФИ (грант 07-07-00213а). Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 15 научных конференциях, конгрессах и семинарах: Всероссийский Электротехнический Конгресс, ВЭЛК-99 (Москва, 1999); V International congress on mathematical modeling (Dubna, 2002); Всероссийская научная конференция «Физика радиоволн» (Томск, 2002); VI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» (Москва, 2003); Days on Diffraction 2003 International seminar (St.Petersbiirg, 2003); VI International congress ош mathematical modeling (N.Novgorod, 2004); Days on Diffraction 2005 International seminar (St.Petersbiirg, 2005); 13 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2006); Третья международная конференция по проблемам управления (Москва, 2006); 2-я Международная конференция «Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (Суздаль, 2007); VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SIGPRO 07 (Москва, 2007); 15 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2008); семинар, посвященный юбилею В.М. Дубовика «От теоретической физики до технологии» (ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 2008); Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва, 2008); 16 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Пушино, 2009); межкафедральный семинар по математическому моделированию РУДН (РУДН, Москва, 2009); Mathematical Modeling and Computational Physics (Dubria, 2009). Частным случаем мультиоператорных линейных подпространств являются подпространства Крылова, названные в честь российского и советского математикай инженера, академика А.Н. Крылова, который предложил [122]?использовать эти пространства в-прикладных задачах линейной алгебры. В настоящее время метод подпространств Крылова является основой многих эффективных вычислительных методов, допускающих использование параллельных вычислений, и одним из" наиболее востребованных, при решении многих, задач в.различных областях науки и техники [87-89, 123-166], в частности таких как: ? решение систем линейных алгебраических уравнений и отыскание собственных значений и собственных векторов матриц большой размерности; ? решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений, других эволюционных задач и уравнений в частных производных. Для вектора хєі", принадлежащего «-мерному арифметическому векторному пространству, и wx/7-матрицы В можно построить степенную последова-тельность векторов {х, Вх, В х, ...В х, ...}, которая называется последовательностью Крылова. Линейная оболочка Кт(В, х) = span(x,Вх, В2х, ...Вкх, ...Вт х) т первых векторов последовательности Крылова называется подпространством -Крылова, порожденным вектором х, причем для каждого вектора х, не являющегося собственным вектором матрицы В, найдется такое 1 т п, что векторы В х, к = 0, т-\ являются базисом этого подпространства Крылова [88]. Кроме того, матричный многочлен р(В), соответствующий характеристическому многочлену р(Л) матрицы В, равен нулевой матрице и поэтому аннулирует (р{В)х = 0 любой вектор хєЖ" (часто называется аннулятором пространства Ж"), а для каждого вектора х є Ж" существует минимальный многочлен (степени- т), аннулирующий этот вектор и являющийся делителем характеристического многочлена р{Х). Подпространство Крылова — это мультиоператорное линейное пространство с областью операторов, являющейся-свободной мультиоператорной алгеброй A(g) с одним образующим линейным оператором (представлением которого1 в пространстве IR" является матрица В) и поэтому со строго упорядоченным мультипликативным моноидом. Очевидно, что подпространство Крылова — это A(g)-oip6ma порождающего ее вектора. Поскольку в этой работе доказанное в теореме 2.2.1 свойство Л(Єг)-орбит является наиболее важным и для того чтобы пользоваться терминологией линейной алгебры, A(G -op6wry A(Gr)x с L вектора х є L будем также называть мультиоператорным линейным многообразием {подпространством), пороэю-денным вектором х є L. Рассмотрим структуру мультиоператорных линейных многообразий (подпространств) и структуру линейного пространства с этими мультиоператорны-ми линейными многообразиями (подпространствами). Утверждение 2.2.3. Если образ Jm(A(Gr),L) действия мультиоператорной алгебры A(Gi) на линейном пространстве L совпадает Im(A{G,),L) = L с L, то линейное пространство L является объединением мультиоператорных линейных многообразий (подпространств), порожденных различными векторами х є L. Доказательство: Так как Im(A(Gr), L) = L, то для любого вектора уеХ найдется такой вектор х є L и такой мультиоператор а є A(Gr), что вектор ах принадлежит ях є A(Gr)x, по крайней мере, A(Gr)-op(5mG A(Gr )x вектора х, т.е. мультиоператорному линейному многообразию (подпространству). В теории групп подгруппа St(x) с G элементов группы G называется стабилизатором элемента хєі множества L, если ее элементы g є St(x) удовлетворяют равенству gx = х [106, 107]. Если на множестве L задано действие полугруппы G, элемент х є L является элементом порожденной им G-орбиты, только если стабилизатор этого элемента не пуст St(x) Ф 0. В этой работе стабилизаторами вектора хєі будем называть такие элементы s є A(Gr) мультиоператорной алгебры A(Gt), которые удовлетворяют равенству sx = х. Поскольку для стабилизаторов s, є A(G ), Sj є A{G ) справедливо равенство 0, )X = S,(SjX) = StX = X, множество стабилизаторов вектора x e L составляют полугруппу St(x) с A(Gr), а если единичный оператор является элементом І є A(Gr) мультиоператорной алгебры A(Gr) и, соответственно / є St(x), то моноид. Как легко убедиться, элементами полугруппы St(x) с A(Gr) стабилизаторов являются не только их произведения, но и линейные комбинации jalsl є St(x) с коэффициентами а, є Р, удовлетворяющими равенству sjxl = 1. Если какой-либо элемент sL є A(Gr) мультиоператорной алгебры A(Gr) является стабилизатором любого вектора х є L, то множество St[jQA(Gr) таких элементов, стабилизаторов линейного пространства L, также является полугруппой или моноидом, если / є A(G,). В подразделе 2.1.4 рассмотрена свободная мультиоператорная алгебра A(g, GM\ элемент которой, представляемый суммой м SL = tj8i образующих g{ є GA/ЭТОЙ алгебры, является (идемпотентным) стаби г=1 лизатором линейного пространства L, но единичный оператор может и не быть элементом алгебры A (g, GM). Утверждение 2.2.4. Если полугруппа стабилизаторов St(x) cz A(Gr) вектора х є L, x Ф О не пуста St(x) Ф 0, то каждый ее элемент является стабилизатором линейной оболочки span(x) с: L этого вектора s(ccx) = a(sx) = ах, х є L,s є St(x), а вектор x є L вместе со своей линейной оболочкой span(x) с L принадлежат порожденной ими 4(G,.)-op6HTe — мультиоператорному линейному многообразию (подпространству) A(Gr)x. Все эти утверждения известны (например, первый пункт — это теорема Кэ-ли-Гамильтона) [87-89, 92,128, 129] и справедливы как для мультиоператорной алгебры A(D), действующей в пространстве L, так и для матричной алгебры A(D), действующей в арифметическом пространстве, но сформулированы применительно к введенным в главе 2 алгебраическим объектам и структурам. Утверждение 3.1.2. Если аннуляторы минимального порядка cmn(dim U, и) вектора и є L и ann{dm\ Y, у) вектора у є L не являются взаимно простыми (имеют не приводимые в поле Р общие делители), то 1. пересечение A(D)-op6wr U, Y векторов и є L и соответственно у є L не пусто Uг\ 7 0 и является, как следует из утверждения 2.3.4, мультиопе-раторным подпространством (подпространством, инвариантным относительно оператора D); 2. делитель максимального порядка этих аннуляторов является аннулятором. пересечения U п Y этих A(D)-орбит; 3. а если все собственные значения образующего оператора D.L- -L мультиоператорной алгебры A{D) попарно различны, то пересечение U n Y является /1(Л)-орбитой некоторого вектора z є U n Y. Доказательство: Пусть аннуляторы минимального порядка векторов и є L и у є L являются произведениями апп{&ш U, и) = ф(Р)/и(р\ апп{длт Y, у) = p(D)o(D) взаимно простых мультиоператоров (операторных многочленов) p(D) є A(D), //(D) є A{D), оіР) є A(D). Тогда, по утверждению 3.1.1, Л()-орбиты векторов и є L, у є L разложимы в прямые суммы U = L + LM и Y Ц, 4- La инвариантных относительно оператора D подпространств, а мультиоператоры (p(U), ju(D), a(D) являются аннуляторами этих инвариантных подпространств, соответственно, LyM L L Lv. Так как UnY = L ,nY + LMnY и U Y Y, то аннулятор cmn(dim 7, у) = p(D)o(D) подпространства 7 должен аннулировать и подпространство LM п 7 с 7. Но он не содержит сомножителя //(D) и поэтому не может аннулировать векторы, принадлежащие подпространству L nYc, LM. Следовательно,! 7=0 и UnY = Ц пУ=ЬуПЬу + Ц,пЬа. Атак как UvYc U, то аннулятор ann(dim U, и) = p(D)ju(D) подпространства U должен аннулировать и подпространство L r\ La с U. Но он не содержит сомножителя о(р) и поэтому не может аннулировать векторы, принадлежащие подпространству Ь ф n La с 1 . Следовательно, LJ, r Хст = 0 и С/ п 7 = LJ, n LJ. Мультиоператор (операторный многочлен) ДD) = p(D)/j(D)o(D) є A(D) является аннулятором объединения (/u 7Л(Д)-орбит векторов и є L и у є L, т.к. аннулирует векторы f = яи + &у є [/и7 при любых а є A(D), b є (D). Причем это аннулятор минимального порядка, т.к. в противном случае мультиоперато-ров p(D), /4Р), о(Р) не были бы взаимно простыми. Подпространство Uu Y zL также разложимо в прямую сумму Uи7 = Lv4-L 4-La инвариантных подпространств и L(p = L KJL" Мультиоператор (операторный многочлен) p(D) является аннулятором минимального порядка подпространства L p. Если бы L гл Цр = 0, то L -V л-V. Тогда мультиоператор (операторный многочлен) (jp(D) имел бы пару взаимно простых делителей, каждый из которых являлся бы аннулятором минимального порядка одного из подпространств Lp. L v или U. Но аннулятором минимального порядка каждого из этих подпространств. является мультиоператор p(D). Следовательно Ur\Y-L r\L 0. Первый пункт утверждения доказан. 126 Если мультиоператор (операторный- многочлен) cp(D) разложим на неприводимые сомножители, то очевидно, что выполняется второй пункт утверждения, т.к. мультиоператор qiD) и является делителем максимального порядка аннуля-торов ann(dim U, и) и ann(dim 7, у). Если все собственные значения образующего оператора D: L-+L мульти-операторной алгебры\ 4(Ц) попарно различны, то, согласно пункту 7 утверждения 3.1.1, инвариантные подпространства L , L"v и L p являются А(Л)-орбитами некоторых векторов, принадлежащих этим подпространствам. Но аннулятора-ми минимального порядка каждого из этих подпространств является мультиоператор p(D). Значит, согласно пункту 4 утверждения 3.1.1 подпространства L p, L"v и Lg, имеют одинаковую размерность. Но L QZ И L CL . Следовательно LV=L;=L;=L; n L;=и n Y . Очевидно, что если А(Р)-орбты U, Y векторов иеіи соответственно у є L совпадают Y= U, то совпадают и аннуляторы минимального порядка векторов и є L и у є L. А если 4())-орбиты U, Y векторов и є L и соответственно у є L вложены друг в друга [/с7(7с[/),то аннулятор минимального порядка вектора и є L (у є L) является делителем аннулятора минимального порядка вектора у є L (и є L) Но могут выполняться и обратные утверждения. Утверждение 3.1.3. Если все собственные значения образующего оператора D .L- L мультиоператорной алгебры А(П) попарно различны 1. и аннуляторы минимального порядка векторов и є Ьну є L совпадают, то совпадают 7 = UmA(D)-op6mhi U, Y этих векторов; 2. и аннулятор минимального порядка вектора и є L (у є Ь) является делителем аннулятора минимального порядка вектора у є L (и є і), то A(D)-орбита U вектора u eL (/4())-орбита Y вектора у є L) вложена [/с7 (Ус U) в Л(Ц)-орбиту 7 вектора у є L (Л( )-орбиту вектора и є L). Доказательство: При выполнении посылки утверждения вследствие пункта 7 утверждения 3.1.1 каждому мультиоператору, являющемуся делителем-харак-теристического многочлена, соответствует единственное инвариантное относительно оператора D подпространство, аннулятором минимального порядка которого является этот мультиоператор. Причем это подпространство является у4(1))-орбитой некоторого вектора этого подпространства. Л(Г )-орбиты U, Y векторов и є L и у е L имеют одинаковый аннулятор минимального порядка, являются инвариантными подпространствами и, следовательно совпадают. Аннулятор минимального порядка ann(dim U, и) (ann(dim Y, у)) вектора и є L (у є L) является аннулятором минимального порядка A(D)-op6wrbi U (У) этого вектора. Изложенные в этой главе результаты теоретических исследований использования мультиоператорных алгебр для построения математических моделей и замкнутых систем билинейных форм (мощностей) применимы к любым системам типа «источник - нагрузка» с векторными функциями входа и выхода. Однако выбор мультиоператорных алгебр обусловлен электротехническими приложениями для многофазных (чаще всего трехфазных) электромагнитных систем переменного тока, таких как электроэнергетические системы, а также энергоемкие электротермические и электромеханические установки. В М-фазной электромагнитной системе с нулевым проводом «источник» соединен с «нагрузкой» М+\ проводами. Входом и выходом нагрузки являются М-мерные вектор-функции соответственно и = (щ(х), ...ит(х), ...и х)) фазных напряжений ит(х) (между m-той «фазой» и нулевым проводом) и У = (У\(х), -Ут(х), -У х))Т фазных токов у„,(х). Ток в нулевом проводе не несет дополнительной информации ввиду второго электротехнического закона Кирх-гоффа (закона сохранения заряда в любом электротехническом объекте). М-фазную систему без нулевого провода можно рассматривать как (М-1)-фазную систему с нулевым проводом. Как и в главе 3, будем строить динамические модели, связывающие вектор-функции входа (напряжений) и выхода (токов), компоненты которых принадлежат конечномерному евклидовому или унитарному функциональному пространству (для задач идентификации являются аппроксимациями дискретных измеряемых сигналов). Поэтому одним из образующих мультиоператорной алгебры является линейный эндоморфный оператор дифференцирования. Пусть, как в главе 3, задано JV-мерное линейное евклидово (унитарное) функциональное пространство как линейная оболочка Е = span( p,(x), і = 1, JV) базисных аппроксимирующих функций щ{х), х є [х0-27г, х0] со скалярным произведением (3.1.2) и нормой (3.1.3). Тогда вектор-функции входа и выхода можно представить в виде разложений по базисным векторным функциям ет„(х) = (рп(х)ет линейного евклидова (унитарного) векторного, функционального пространства Ем (dim ЕХІ = M-N), где ет — векторы естественного единичного базиса арифметического векторного пространства Шм (См) со скалярным произведением и нормой арифметического пространства и функционального пространства Е. Очевидно, что пространство Ем линейно изоморфно пространству MxN-матриц (или MV-мерных векторов) коэффициентов разложения компонент вектор-функций по скалярным базисным аппроксимирующим функциям фп(х) и любой вектор-функции f є Еи можно поставить в соответствие либо M-N-мерный арифметический вектор, либо MxN матрицу. При этом, как было установлено в разделе 3.1, система базисных аппроксимирующих функций р,(х), i-\,N должна состоять из собственных функций, базисов корневых подпространств, соответствующих действительным собственным значениям оператора дифференцирования D, и базисов неприводимых инвариантных подпространств оператора D, являющихся ядрами операторных многочленов i//n{D) = (Ег-(Ап+Лп )0+Л„Л 1)к. Тогда выполняется теорема 3.1.1 и оператор дифференцирования можно представить в виде диагональной операторной матрицы D: Е -» Еf, элементами главной диагонали которой являются скалярные операторы дифференцирования Ds = aVdx \Е- Е. Утверждение 4.1.1. Если хотя бы одна из компонент /т(х), т = 1, М вектор-функции f є Е не принадлежит ядру оператора Ds, то существует максимальная линейно независимая система вектор-функций (производных it-того порядка вектор-функции f є Еч) {DA4f є Ем, k = \, ND} — базис дифференциального подпространства Крылова K(f), порожденного вектор-функцией f є ЕХІ, размерность которого NQ N равна степени минимального операторного многочлена I//ND(D), аннулирующего y/N (Z))f = 0 вектор-функцию f. Причем многочлен y/N (Л) являются делителем характеристического многочлена і/ Л) скалярного оператора дифференцирования. Доказательство: Операторный многочлен ц/ (Ds) аннулирует вместе с пространством Е любую компоненту fm(x), т = 19М вектор-функции f є Ем (и соответственно f є Ем), поскольку все они принадлежат Е. Тогда найдется такой делитель I//ND(A) характеристического многочлена і/ Л) (ND N— число различных базисных функций, входящих в разложения компонент fm(x) вектор-функций f є Еч), что операторный многочлен y/N (Ds) будет минимальным аннулятором всех компонентах), т = 1,М, а мультиоператор y/N (D), являющийся операторной диагональной матрицей, в которой на главной диагонали стоят многочлены i//N (Ds)— минимальным аннулятором вектор-функции. Из этого утверждения также следует, что при М 1 размерность дифференциального подпространства Крылова Еи dim K(f) = ND N dim EU = M-N все- гда меньше размерности пространства и K(f) с Е . Поэтому применение муль-тиоператорной алгебры A{D) оправдано только в случае когда вектор-функции входа и выхода либо представимы в виде и = и(х)а, у = у(х)я, где а є Шм (а є С ), либо для их компонент выполняются условия щ+\{х) = Тщ(х), Ук+і(х) - Туї х), где Т:Е- Е— ортогональный (унитарный) оператор, порождающий циклическую группу порядка М, например оператор трансляции ТЯх) Ах а) на Угол а=2я/М (для многофазных электромагнитных систем этот случай соответствует симметричному режиму работы). В общем случае, для того чтобы базисы (G -орбиты вектор-функций входа и выхода заключали в себе возможно большую информацию об этих вектор-функциях, т.е. размерность базисов приближалась к числу не равных нулю коэффициентов итп и утп разложений (4.1.1), необходимо использовать алгебру с большим числом образующих.
Замкнутые системы билинейных форм пары векторов (и, у) в случае, когда один из векторов принадлежит линейной оболочке, порожденной другим вектором
Мультиоператорные уравнения, связывающие пару векторов (и, у), принадлежащих конечномерному пространству
Применение сглаживающих сплайнов и БПФ для построения периодических непрерывных аппроксимаций дискретных сигналов
Построение мультиоператорных моделей с помощью алгебры, порожденной оператором дифференцирования и оператором циклической перестановки компонент вектор-функций
Похожие диссертации на Мультиоператорный метод построения и анализа математических моделей сложных систем : на примере электромагнитных
