Введение к работе
Актуальность темы. «система есть совокупность взаимосвязанных элементов, обособленная от среды и взаимодействующая с ней как единое целое; сложной системой называется система, в модели которой не хватает информации для эффективного управления» (ею) (Перегудов Ф. И., Тарасенко Ф. П. Введение в системный анализ. – М.: Высшая школа, 1989. – 367с.).
В соответствии с этим определением система называется простой, если в ее модели достаточно информации для эффективного управления ею; кроме того, совокупность ее взаимосвязанных элементов и ее модель следует воспринимать как единое целое.
Под управлением системы будем понимать процесс воздействия на нее (в рамках, допускаемых моделью изменений параметров этой модели) с целью достижения некоторой цели.
Цель, которую нужно было достичь в диссертационной работе при исследовании различных систем – получить с помощью модели системы результаты, адекватные экспериментальным данным.
Один из основных способов перехода от сложной системы к простой – изучить причины сложности системы и на основе этих исследований получить дополнительную информацию, позволяющую эффективно ею управлять. Для перехода от сложной системы к простой достаточно подкорректировать (подправить, уточнить) модель сложной системы таким образом, чтобы она позволяла эффективно управлять системой и достичь поставленной цели.
В диссертационной работе основное внимание уделено экономическим, экологическим и биологическим сложным системам. В качестве моделей этих систем (и их подсистем) выступают и были рассмотрены различные математические модели. Заметим, что подсистема – это подмножество элементов системы, которое является (выступает) по отношению к ней как самостоятельная система.
Математическая модель системы в общепринятом смысле – объект, построенный средствами математики и способный в определенных условиях заменять оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала. В качестве «средств математики» могут выступать уравнения (алгебраические, дифференциальные – с заданными для них начальными или граничными условиями), различные типы неравенств, аналитические и логические формулы и т. д.
Математические модели рассматриваемых экономических, экологических и биологических систем (или их подсистем) представлены в диссертации (или их основу составляют) дифференциальными уравнениями (обыкновенными или в частных производных) с заданными для их решения начальными и граничными условиями (т. е. представлены краевыми задачами). Для того, чтобы краевая задача адекватно экспериментальным данным описывала рассматриваемую систему (т. е. чтобы сложная система была управляемой) необходимо, чтобы она была корректно поставлена.
Если задача некорректно поставлена, то ее решение или не существует, или не является единственным, или является неустойчивым, а, значит, система является плохо (слабо) управляемой. Кроме того, в таких задачах важно выяснить не только факт корректной или некорректной постановки задачи, но и предложить (указать) эффективные методы построения ее аналитического и численного решения в случае некорректной постановки. Подобных исследований математических моделей экономических, экологических и биологических систем или их подсистем, судя по публикациям в периодических журналах, не проводилось. Более того, подобные исследования не проводились методами теории оптимальной фильтрации, которые наряду с аналитическими методами использованы при анализе математических моделей экономической системы.
Поэтому тема диссертационной работы, в рамках которой предложены методы и методики, позволяющие проводить анализ математических моделей сложных систем (экономических, биологических, экологических) или их подсистем, и ответить на вопрос: является ли система (подсистема) простой или сложной, указать пути сведения сложных систем (подсистем) к простым, является актуальной и практически значимой.
Тема диссертационной работы сформулирована в рамках научной проблемы, на решение которой направлены в настоящее время исследования, проводимые как у нас в стране, так и за рубежом: разработать математические модели систем, в частности, экономических, затрагивающих общее состояние экономики страны, региона, предприятия (фирмы), экологических и биологических, являющихся средой обитания людей.
Данная диссертационная работа направлена на решение (в рамках указанной научной проблемы) важной научной задачи: указать методы исследования и исследовать на корректность постановки краевые задачи, описывающие стационарные и динамические процессы в экономических, биологических и экологических системах (и их подсистемах), которые являются наиболее значимыми системами в теории сложных систем.
Степень разработанности проблемы. Построению математических моделей
а) макро- и микроэкономических систем посвящены многочисленные исследования отечественных и зарубежных ученых: Л. В. Канторовича, С. А. Ашманова, В. А. Колемаева, В. И. Малыхина, В. В. Федосеева, Н. Ш. Кремера, В. Ф. Кротова, И. В. Орловой, М. В. Пинегиной, С. Р. Хачатряна, В. П. Буянова, В. В. Леонтьева, Р. М. Солоу, К. Дж. Эрроу, С. Карлина, Х. Никайдо, М. Интрилигатора и многих других;
б) рассматриваемой подсистемы – покров листьев на растении биологической системы: А. М. Нахушева, Дж. Г. М. Торнли, В. Н. Сукачева, Ю. М. Свирежева, Д. О. Логофета и многих других;
в) рассматриваемой подсистемы – приземная атмосфера экологической системы: А. С. Монина, А. М. Яглома, Г. И, Марчука, М. Е. Берлянда, Н. Л. Бызовой, А. М. Обухова, Е. К. Гаргера, В. Н. Иванова, С. С. Зилитинкевича, Д. Л. Лайхтмана, Ю. А. Израэля, В. А. Бабешко, Ф. Т. М. Ньюстадта, Х. Ван Допа, Т. Р. Оке, С. Панчева и многих других.
Методам исследования на корректность постановки, регуляризации некорректно поставленных задач, фильтрации случайных помех в динамических системах посвящены исследования А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина, В. А. Морозова, М. М. Лаврентьева, А. М. Денисова, В. С. Сизикова, А. Н. Колмогорова, Н. Винера, Р. Е. Калмана, Р. С. Бьюси, В. С. Пугачева, Р. Л. Стратоновича, В. Б. Колмановского, В. Р. Носова, А. Н. Ширяева, Р. Ш. Липцера, В. Н. Афанасьева и многих других.
Вместе с тем не исследованы на корректность постановки задачи Коши в математических моделях макро – и микроэкономических систем, не разработаны методики подавления случайных помех в этих задачах, не исследованы на корректность постановки краевые задачи, описывающие рассеяние примеси в экологической подсистеме приземная атмосфера. Важность (теоретическая и практическая) проведения таких исследований и определила тему и постановку задач диссертационного исследования.
Объект исследования – математические модели экономических, биологических и экологических систем.
Предмет исследования – критерии корректной постановки задач Коши и краевых задач в указанных моделях.
Цели проводимых исследований: найти условия, обеспечивающие корректную постановку краевых задач, описывающих наиболее часто встречающиеся в прикладных исследованиях сложные системы: экономические, экологические, биологические и их подсистемы, разработать эффективную методику подавления помех, ошибок и шумов, возникающих в этих задачах, и адаптировать ее к решению задач, возникающих в прикладных исследованиях.
Задачи, которые решались в ходе проводившихся исследований.
1. Исследовать на предмет обусловленности решения статическую модель Леонтьева, на корректность постановки задач Коши в математических моделях Леонтьева (динамической), Солоу, динамической модели развития малого предприятия.
2. Разработать методику подавления шумов в статической балансовой модели Леонтьева, которая основана на методах оптимальной линейной фильтрации шумов в системах линейных алгебраических уравнений.
3. Разработать методику подавления шумов в динамических макроэкономических моделях (Солоу, Леонтьева), которая основана на методах линейной фильтрации шумов в линейных системах дифференциальных уравнений.
4. Разработать методы регуляризации решений краевых задач, описывающих биологические процессы, и методы исследования на корректность постановки краевых задач, описывающих экологические процессы.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы понятия и методы теории дифференциальных уравнений, в том числе уравнений с частными производными, методы регуляризации задачи Коши, методы оптимальной линейной фильтрации шумов в динамических системах.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических и практических результатов следуют из математической строгости постановки рассматриваемых задач, методов их решения, а также из совпадения полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.
На защиту выносятся следующие результаты
Методика фильтрации ошибок измерений в экономико-математических моделях Леонтьева (статической и динамической), Солоу, динамической модели развития малого предприятия. Такая методика предлагается впервые, она дает возможность найти оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку решения указанных моделей методами оптимальной фильтрации случайных помех.
-
Результаты исследования на корректность постановки краевых задач, описывающих рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. Они позволяют теоремы о корректной постановке краевых задач для уравнения параболического типа переформулировать применительно к краевым задачам, описывающим рассеяние примеси в турбулентной атмосфере.
-
Способ регуляризации задачи Коши со смешанным носителем, описывающей явление спирального филлотаксиса (расположение листьев на растении). Эти исследования являются продолжением исследований, проведенных Торнли. Они позволяют уточнить модель спирального филлотаксиса.
Соответствие паспорту специальности.
Диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: п. 2. – «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»,
п. 4. – « Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента»,
п. 5. – «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели».
Научная новизна. Предложены методы и методики анализа математических моделей сложных систем и их подсистем, наиболее часто встречающихся в прикладных исследованиях – экономических, экологических, биологических: методика построения по результатам наблюдений оптимальной в среднеквадратичном смысле оценки решений моделей Леонтьева (статической, динамической), микроэкономики, задачи Коши в модели Солоу; предложены критерии проверки на корректность постановки краевых задач, описывающих макроэкономические процессы, процессы рассеяния примесей в приземном слое атмосферы, предложен способ регуляризации методом малого параметра задачи Коши со смешанным носителем.
Теоретическая значимость полученных результатов. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при анализе на корректность постановки краевых задач в математических моделях других сложных систем.
Практическая значимость результатов диссертационного исследования. Полученные критерии и разработанные методики могут быть использованы для проверки на адекватность экспериментальным данным математических моделей макро – и микроэкономических, биологических и экологических систем, для исследования явления филлотаксиса в кронах деревьев, для получения численными методами оптимальных в среднеквадратическом смысле оценок решений задач Коши в математических моделях макро – и микроэкономических систем, учитывающих случайные помехи.
Внедрения полученных результатов. Результаты исследований, изложенные в диссертационной работе, внедрены (что подтверждается соответствующими актами о внедрении) в производственную деятельность ЗАО «Карачаевский пивзавод» (г. Карачаевск), в учебный процесс ФГБОУ ВПО «Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева»
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались в 2007 г. на Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза), в 2007 г. на Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск), в 2008 г. на кафедрах математического анализа, информатики Карачаево-Черкесского государственного университета, на научных конференциях, проводившихся в Карачаево-Черкесском государственном университете.
Публикации. Материалы диссертации подробно опубликованы в 15 научных работах: в монографии, 7 статьях (6 из них – в научных изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских и кандидатских диссертаций) и 7 тезисах докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 105 наименований. Объем диссертации – 128 страниц машинописного текста.
Похожие диссертации на Методы и методики анализа математических моделей в сложных системах : экономических, экологических, биологических
