Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общее уравнение движения заряда в скрещенных электрических и магнитных. Структура программного обеспечения 12
1.1 Основное уравнение математической модели 12
1.2 Программный комплекс Diffur для расчёта траекторий заряженных частиц в скрещенных полях 15
Выводы 19
Глава 2 Аналитические решения для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд 20
2.1 Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях, для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд 21
2.2 Определение время пролёта электрона на основе аналитических решений для вычисления шумовых характеристик магнетрона 26
Выводы 29
Глава 3. Моделирование траекторий зарядов в цилиндрическом пучке 30
3.1 Модель движения заряда в заряженном цилиндрическом пучке 30
3.2 Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке в неоднородном магнитном поле 33
3.3 Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке в неоднородном и нестационарном магнитном поле 37
Выводы 42
Глава 4. Математическое моделирование поведения ларморовой орбиты электрона в ВЧ поле при отсутствии статического электрического поля 43
4.1 Ларморова орбита электрона при переменной магнитной индукции в плоском случае з
4.2 Ларморова орбита электрона при переменной магнитной индукции в радиальном случае 51
4.3 Закритический режим магнетрона в условиях переменного магнитного поля 56
Выводы 62
Глава 5. Математическое моделирование процесса генерирования в скрещенных полях за счёт влияния переменной магнитной индукции 63
5.1 Условие параметрической генерации в скрещенных и переменных во времени электрическом и магнитном полях в плоском случае 63
5.2 Учёт вихревых электрических полей при параметрической генерации в скрещенных полях 68
Выводы 74
Глава 6 Выбор начального приближения при итерационном решении уравнения Лапласа 75
6.1 Постановка задачи 75
6.2 Способ задания начального приближения при итерационном решении уравнения Лапласа 78
Выводы 86
Литература 89
- Программный комплекс Diffur для расчёта траекторий заряженных частиц в скрещенных полях
- Определение время пролёта электрона на основе аналитических решений для вычисления шумовых характеристик магнетрона
- Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке в неоднородном и нестационарном магнитном поле
- Учёт вихревых электрических полей при параметрической генерации в скрещенных полях
Программный комплекс Diffur для расчёта траекторий заряженных частиц в скрещенных полях
Программный комплекс Diffur разработан на языке программирования C# 4.0 для платформы .Net Framework 4.0 (Mono 3.5 в версии для nix систем). программный код реализует метод Рунге – Кутта[53] виде абстрактного класса от которого наследуются системы уравнений для каждого конкретного случая рассмотренного в работе: многорезонаторный магнетрон, заряженный цилиндрический пучок, система двух коаксиальных цилиндров, плоское пространство взаимодействия между двумя электродами и др. Общая схема работы комплекса представлена на рис.1.1. Каждый класс наследник от абстрактного класса RungeKutta(1) реализует конкретную задачу; ниже на схеме показана очерёдность наследования от класса Eqmod(9), который реализует итерационный процесс, от него идут классы наследники для плоского и радиального пространства взаимодействия соответственно. В дальнейшем как видно из схемы данные передаются в класс Data_Visual(8) для представления в виде графиков, числовых значений и пр. Рис 1.1 Схема работы комплекса Diffur
Класс VDKSystem (2) – описывает аналитические соотношения в многорезонаторных магнетронах. Класс NoiseDetection (3) – реализует методы определения шумов. Класс EqVDK3d(4) – реализует методы по нахождению полей пространственного заряда и методы связанные с нахождением решения уравнения Лапласа и Пуассона. Класс LarmorOrbit (5) – описывает соотношения системе двух коаксиальных цилиндров. Класс Lorents (6) – описывает основные физические константы и соотношения используемые в расчётах.
Класс Sys3D (7) – реализует цилиндрический заряженный пучок. Классы PlanarGenerator (10) и LarmorOrbitGenerator (11)– реализуют расчёт выходных характеристик при генерации высокочастотных колебаний: наведённой высокочастотной мощности, тока анода, наведённого высокочастотного потенциала.
На рис 1.2 показана принципиальная схема работы класса Eqтod Разработанный программный комплекс позволяет производить необходимые вычисления, для электронных траекторий в приборах М – типа и других сопутствующих областях физики, где имеют место нестационарные и неоднородные скрещенные электрические и магнитные поля. Выводы
Записаны в векторном представлении, а затем в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений базовые уравнения движения заряда в скрещенных переменных во времени и пространстве электрических и магнитных полях.
Изложена методика последовательного учёта влияния параметров действующих полей на характер движения зарядов а, также использованные оценки нелинейной динамики (показатель Ляпунова, спектр мощности Фурье). В качестве основного метода численного решения уравнений движения использован метод Рунге – Кутта IV порядка точности. Приведено описание структуры разработанного программного комплекса Diffur. Глава 2 Аналитические решения для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд
Траектории движения заряженных частиц существу определяют характер физических процессов протекающих в различных приборах устройствах со скрещенными полями. Уже в первых работах посвящённых теории и практике многорезонаторных магнетронов[62] работающих в режимах больших амплитуд, были сформулированы уравнения движения для расчёта электронных траекторий в цилиндрической системе координат, однако, существенно нелинейный характер правых частей уравнений движения привёл к необходимости использования методов усреднения (расчёта так называемых адиабатических траекторий) впервые применённых П.Л. Капицей в 1952 г. Циклоидальный характер траекторий определялся лишь в простейших случаях статических полей [14,25], а в более сложных режимах только при применении численных методов [49].
В данной главе показан способ получения циклоидальных траекторий в режимах больших амплитуд за счёт получения независимых дифференциальных уравнений для каждой из координат заряженной частицы 2.1 Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях, для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд
Трудности получения аналитических решений при рассмотрении переменных полей привели к отказу от учёта циклоидальности и использованию адиабатических решений и приближений[13,14,52]. Вместе с тем развитие вычислительной техники дало возможность рассчитывать циклоидальные траектории в самых различных режимах, включая режимы больших амплитуд [30,31,32,33,36,37].Эти результаты не снижают роли аналитических решений необходимых как для более глубокого понимания протекающих процессов, так и для проверки вычислительных схем.
В данном параграфе получены приближенные аналитические решения для циклоидальных траекторий зарядов в скрещенных полях в режиме больших амплитуд и проведено сравнение их с данными численных решений.
Определение время пролёта электрона на основе аналитических решений для вычисления шумовых характеристик магнетрона
Траектории построены для установившегося рабочего режима, магнетрона 4j50[13] при анодном напряжении на 10% превышающем синхронное и высокочастотном напряжении на ламелях, соответствующем 80% от постоянного напряжения. На этом же рисунке представлены траектории, полученные численным решением системы (2.4). Как видно на рис 2.2, численные и аналитические решения хорошо согласуются.
Определение время пролёта электрона на основе аналитических решений для вычисления шумовых характеристик магнетрона В работах [49,68] на основе численных расчётов электронных траекторий полученных для в многорезонаторных магнетронов, проведены оценки шумов для подобных устройств, представлялось целесообразным для определения уровня шума использовать соотношения полученные в предыдущем параграфе, а также аналитическую модель магнетрона работы[11].
В работе[11] получено выражение для мощности, отдаваемой одиночным зарядом за время пролёта от катода к аноду в виде: где – время пролёта электрона от катода к аноду, – потенциальная энергия электрона – кинетическая энергия электрона, – напряжение на аноде, – радиус катода, d – расстояние катод – анод. Как видно из соотношения (2.16) и рис.2.2, время пролёта отдельного электрона зависит от фазы ВЧ поля: наименьшее ( ) соответствует фазе близкой к нулю, а наибольшее время пролёта ( ) соответствует фазе (рис 2.2). Тогда для и определятся как:
Изменение времени пролёта частицы могут вызвать соответствующие флуктуации отдаваемой электроном мощности. Исходя из изложенного для максимальной и минимальной отдаваемой электроном мощности можно записать: , (2.21)
Расчётный уровень шума для магнетрона 4j50 составляет 39.8 дБ, при экспериментально рассчитанном шуме 40 – 50 дБ[68]. Выводы
На основе физически обоснованных допущений предложен способ получения приближенных аналитических решений для циклоидальных электронных траекторий в многорезонаторном магнетроне, заключающейся в представлении уравнений движения в виде системы дифференциальных уравнений в которой каждое из входящих в неё уравнений включает независимую координату.
Показано сравнение приближенных циклоидальных траекторий с полученными более строгими численными методами. Решения хорошо согласуются. Из соотношения для циклоидальных траекторий получена формула для расчёта времени пролёта электрона в магнетроне которая была использована в рамках аналитической модели магнетрона для оценки уровня шума согласующейся с экспериментальными данными.
Моделирование траекторий зарядов в цилиндрическом пучке Цилиндрические пучки зарядов составляют основу функционирования многих технических устройств: ускорителей элементарных частиц, гиротронов и усилителей СВЧ диапазона (клистронов, ЛБВ и др.). Как правило, при этом используется фокусирующее направленное вдоль оси пучка магнитное поле, препятствующее расталкивающим силам пространственного заряда. В данной главе рассмотрено влияние на траекторию зарядов в цилиндрическом пучке полей пространственного заряда, а также неоднородной в пространстве и нестационарной во времени магнитной индукции.
Модель движения заряда в заряженном цилиндрическом пучке Как отмечалось выше, цилиндрические пучки будут основным объектом рассмотрения в данной главе. Анализ проводился применительно к схеме, изображённой на рис. 3.1, где – индукция магнитного поля радиуса пучка, электрическое поле вдоль оси пучка, – плотность зарядов в пучке, поля = 0. На схеме показаны действующие поля.
Подобная траектория регулярна и её можно считать эталонной. 3.2 Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке в неоднородном магнитном поле В прошлом параграфе мы рассматривали статическую магнитную индукцию:
Спектр мощности Фурье для рассматриваемой модели 2 . Таким образом, проведённые расчёты показывают, что при раздельном воздействии полей пространственного заряда пучка и неоднородным в поперечном сечении магнитном поле, траектории зарядов носят регулярный характер. Одновременное воздействие указанных полей приводят к хаотическим режимам.
Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке в неоднородном и нестационарном магнитном поле Усложним рассматриваемую в прошлом параграфе модель. Для этого введём зависимость от времени в магнитную индукцию: t , (3.7) где – статическая составляющая магнитной индукции – амплитуда изменения неоднородной вдоль радиуса пучка магнитной индукции и нестационарной магнитной индукции, – частота изменения переменной компоненты магнитной индукции. Определим частоту изменения переменной компоненты магнитной индукции следующим образом: , (3.8) подобное определение для величины будем использовать и в дальнейшем. Рассмотрим влияние магнитной индукции вида (3.7) на систему. Рассмотрим в начале траекторию заряда в случае р (рис. 3.9) Рис. 3.9 Траектория заряда при неоднородной и нестационарной магнитной индукции и при = 0, 2 A 2, трёхмерная проекция. Я 2 Как видно на рис 3.10 траектория носит нерегулярный характер ( Я 87 ) в отличии от случая рассмотренного в прошлом параграфе, даже в случае отсутствия пространственного заряда траектория нерегулярна. Хаотичность сохраняется и в случае р Ф , траектории для случаев р , р , р , р 2, показаны на рис. 3.10 - 3.13.
Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке в неоднородном и нестационарном магнитном поле
Также представило интерес исследовать траектории частиц в нестационарном магнитном поле. Примем следующий закон изменения B(t): t (4.4) Где B0 – статическая составляющая магнитной индукции, – амплитуда переменной компоненты магнитной индукции, частота изменения переменной компоненты магнитной индукции. На рис. (4.6–4.9) представлены результаты моделирования, соответствующие различным частотам ВЧ поля: 0.25, 0,5, , 2, при прочих равных условиях. Расчёты показали, что при 0.25 имеет место поглощение энергии, циклотронный радиус электрона растёт, при резонансном условии E = B и при частотах E (E = 0,5) имеет место «сворачивание» траектории, что можно интерпретировать как факт отдачи энергии электрона ВЧ полю (см. рис 4.7, 4.8). При частотах ВЧ поля E (рис. 4.9) траектории носят регулярный характер, имеется дрейф ларморовой орбиты вдоль оси X, который требует
В итоге можно сделать вывод, что главное влияние на характер траекторий зарядов и их энергообмен с переменным высокочастотным электрическим полем в условиях стационарной и переменной магнитной индукции, оказывает соотношение частот переменного магнитного поля и ВЧ поля, при этом имеет место либо поглощение энергии поля заряженной частицей, стационарный энергообмен, или отдача энергии частицы переменному высокочастотному полю. 4.2 Ларморова орбита электрона при переменной магнитной индукции в радиальном случае
В работе [23] рассмотрение велось для системы двух коаксиальных цилиндров, и предсказана возможность генерации высокочастотного сигнала в скрещенных электрических и магнитных полях в отсутствии статического электрического поля. В данном параграфе показаны условия, которые могут быть применены для параметрического усиления ВЧ поля в резонаторе за счёт переменного магнитного поля. Анализ проводился применительно к схеме на рис. 4.10.
Схема пространства взаимодействия состоящая из коаксиальных цилиндров двух с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 и аксиальным магнитным полем В в декартовой системе координат. При наличии в системе ВЧ поля с частотой уравнения движения заряда в скрещенных полях в присутствии переменного магнитного поля с частотой имеют вид: (4.5) где электрическое поле имеет вид: ( магнитная индукция имеет вид (4.4) Рассмотрим случай постоянного магнитного поля показаны траектории зарядов в системе при соотношениях частот
Траектория частицы при постоянном магнитном поле при следующих условиях , U = 10000 В, = 0.1 Тл. Соотношение частот: . Чёрной точкой показано начальное положение частицы. Как видно, на рис. 4.11 траектория имеет вид разворачивающейся «архимедовой» спирали с возрастающим циклотронным радиусом, что свидетельствует о поглощении энергии ( аналогично прошлому случаю в плоской системе). На рис. 4.12 показана траектория соответствующая соотношению частот 2.
Траектория частицы при постоянном магнитном поле при следующих условиях , U = 10000 В, = 0.1 Тл. Соотношение частот: 2. Чёрной точкой показано начальное положение частицы. На рис. 4.12 видно, что траектория замкнута, т.е. энергообмен частицы с полем постоянен. Рассмотрим случай переменного магнитного поля (4.4). Как показали расчеты, проведённые для различных соотношений частот ВЧ и магнитного полей: эффективная отдача энергии имела место при параметрическом резонансе представлены на рис. 4.13 – 4.16. траектории для этих случаев
Траектория частицы при переменном магнитном поле и следующих условиях: U = 10000 В, = 0.1 Тл. Соотношение частот: . Чёрной точкой показано начальное положение частицы. 2. Рис.4.14 Траектория частицы при переменном магнитном поле и следующих условиях: U = 10000 В, = 0.1 Тл. Соотношение частот: 2. Чёрной точкой показано начальное положение частицы. 2. Рис.4.15 Траектория частицы при переменном магнитном поле и следующих условиях: U = 10000 В, = 0.1 Тл. Соотношение частот: 2 . Чёрной точкой показано начальное положение частицы. 2. Рис.4.16 Траектория частицы при переменном магнитном поле и следующих условиях: U = 10000 В, = 0.1 Тл. Соотношение частот: . Чёрной точкой показано начальное положение частицы. 2. Как видно на рис.4.16, радиус циклотронной орбиты интенсивно уменьшается, что свидетельствует об отдаче энергии заряженной частицы ВЧ полю. Что может быть использовано в дальнейшем для генерации ВЧ колебаний.
Закритический режим магнетрона в условиях переменного магнитного поля Известно, что под закритическим режимом магнетрона понимается такое соотношение статических полей: электрического и магнитного, при котором электрон не может достичь анода в отсутствии высокочастотных полей [25,27]. В предыдущих параграфах показано, что учёт переменного магнитного поля существенно влияет на характер электронных траекторий и явления энергообмена частицы с электромагнитным полем. В данном параграфе показано, что в отсутствии ВЧ поля, в условиях переменной магнитной индукции возможно достижение электроном анода, несмотря на то, что амплитудные значения магнитной индукции соответствует закритическим режимам. Анализ проводился применительно к схеме плоского магнетрона на рис. 4.17. Рис. 4.17. Схема плоского магнетрона, на рисунке отмечены: d-расстояние анод-катод E0, B(t) – действующие поля: E0 – статическое электрическое поле, B(t) – переменная магнитная индукция. Цифрами отмечены: 1- анод,2- катод.
Учёт вихревых электрических полей при параметрической генерации в скрещенных полях
Известно, что под закритическим режимом магнетрона понимается такое соотношение статических полей: электрического и магнитного, при котором электрон не может достичь анода в отсутствии высокочастотных полей [25,27]. В предыдущих параграфах показано, что учёт переменного магнитного поля существенно влияет на характер электронных траекторий и явления энергообмена частицы с электромагнитным полем. В данном параграфе показано, что в отсутствии ВЧ поля, в условиях переменной магнитной индукции возможно достижение электроном анода, несмотря на то, что амплитудные значения магнитной индукции соответствует закритическим режимам. Анализ проводился применительно к схеме плоского магнетрона на рис. 4.17. Рис. 4.17. Схема плоского магнетрона, на рисунке отмечены: d-расстояние анод-катод E0, B(t) – действующие поля: E0 – статическое электрическое поле, B(t) – переменная магнитная индукция. Цифрами отмечены: 1- анод,2- катод.
Уравнения движения заряда в скрещенных полях для этого случая имеют вид: , (4.9) где – статическое электрическое поле: , (4.10) – величина постоянного потенциала. Рассмотрим два вида зависимости магнитной индукции от времени: в первом случае магнитная индукция определялась зависимостью (4.4), во втором случае: . (4.11) Зависимость (4.11) имеет знакопеременный характер. Рассмотрим изменение частот в диапазоне: 0,01 – 10 . Вначале рассмотрим результаты с учётом соотношения (4.4). Расчёты показали, что в диапазоне частот магнитного поля 0,01 1,1 имеет место достижение электронами анода, при этом, чем ниже частота , тем длительнее время пролёта. Наименьшее время пролёта наблюдается при резонансе Соответствующие траектории показаны на рис. 4.18.
Показано что при учёте статической магнитной индукции имеют место два возможных случая энергообмена частицы с полем: стационарный энергообмен (траектория замкнута), и поглощение частицей энергии ВЧ поля (циклотронный радиус частицы постоянно растёт), это подтверждается, в плоском и радиальном случаях.
В случае учёта нестационарной составляющей магнитной индукции имеют место либо стационарный энергообмен, либо отдача частицей своей энергии ВЧ полю (траектория «сворачивается»). В плоском и радиальном случаях наиболее эффективная отдача энергии имела место при параметрическом резонансе ( ), также отдача энергии имела место при 2. Показано, что в магнетроне в присутствии статического электрического поля, под действием знакопеременной магнитной индукции, электроны всегда достигают анода. В случае нестационарной во времени магнитной индукции и частотах электроны не достигают анода. Глава 5. Математическое моделирование процесса генерирования в скрещенных полях за счёт влияния переменной магнитной индукции
В [23] сделано предположение о возможности генерирования высокочастотных колебаний в пространстве между коаксиальными цилиндрическими электродами в отсутствии постоянного электрического поля. В данной главе показано, что благодаря изменению магнитной индукции во времени генерация возможна в плоском и цилиндрическом случаях
Условие параметрической генерации в скрещенных и переменных во времени электрическом и магнитном полях в плоском случае В прошлой главе показана возможность усиления сигнала при параметрическом резонансе в отсутствии статического электрического поля, что может быть использовано для генерации ВЧ колебаний. В данной главе показана такая возможность. Анализ проводился в приближении заданного ВЧ поля для плоского пространства взаимодействия с эмитирующим нижним электродом, изображённого на рис.5.1. Рис. 5.1. Схема плоского пространства взаимодействия, d-расстояние анод катод Еу, B(t) действующие поля: Еу электрическое поле, B(t) магнитная индукция. Цифрами отмечены 1- верхний электрод (условно анод), 2- нижний электрод (условно катод), lk -длина катода. Для электрона, движущегося в системе, изображённой на рис.5.1 система уравнений движения в скрещенных электрических и магнитных полях имеет вид (5.2) где – амплитуда ВЧ потенциала, – частота изменения электрического поля. Магнитная индукция имеет вид (4.4). Ниже на рис. 2 показаны, траектории 50 крупных частиц в пространстве взаимодействия, при . На рис. 2 видно, что по мере движения электронов к верхнему электроду циклотронный радиус их траекторий уменьшается, что говорит об отдаче энергии электронов ВЧ полю. Движение электронов от катода к аноду обусловлено магнитным дрейфом вызванным изменением магнитной индукции в пространстве.
В предыдущем параграфе показана возможность параметрического генерирования в скрещенных переменных во времени электрических и магнитных полях. При этом в расчётах пренебрегалось вихревой составляющей электрического поля, возникающей при изменении во времени в пространстве взаимодействия магнитной индукции. В данном параграфе исследован режим параметрической генерации с учётом указанного вихревого электрического поля. Анализ проводился применительно к схеме на рис.5.4, в декартовой системе координат в приближении заданного высокочастотного потенциала
Пространство взаимодействия между внутренним цилиндром(катод) с радиусом R1 и внешним цилиндром(анод) с радиусом R2, аксиальной магнитной индукцией B(t) в декартовой системе координат,Er – радиальное электрическое поле, Erot – вихревое электрическое поле. Учитывая всё выше изложенное можно записать следующие уравнения движения: здесь: , , B(t): соответственно компоненты электрического поля и магнитная индукция. , – представляют собой сумму из соответствующих составляющих радиального высокочастотного (ВЧ) электрического поля и вихревого электрического поля: (5.10) индекс г соответствует радиальной составляющей поля, а индекс rot соответствует вихревой составляющей поля.
