Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Эффективный метод расчета нейтронных полей в области упругого замедления нейтронов. Дифференциальные свойства интеграла упругих столкновений . 15
1.1. О дифференцируемости по энергии интеграла упругих соударений в задачах замедлениянейтронов 15
1.2. Эффективный метод численного решения задачи упругого замедления нейтронов в однородной среде от моноэнергетического изотропного точечного источника. Общие вопросы. 23
1.3. Замедление нейтронов с учетом 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния в средах с плоской геометрией . 34
1.4. Замедление нейтронов в одномерных средах от точечного изотропного моноэнергетического источника. 37
1.5. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в многоком понентных средах от точечного изотропного моноэнергетического источника. 44
1.6. Модели и алгоритмы расчета нейтронных полей в гетерогенных средах (практические задачи ). 51
Глава 2. Замедление нейтронов при упругом рассеянии в бесконечных гомогенных средах. Общие свойства решений . 58
2.1. Основная задача теории замедления нейтронов. Формы уравнения замедления. 58
2.2. Простейшие задачи теории замедления. Метод шагов. 63
2.3. Решение уравнения замедления в классе кусочно-непрерывных функций . 71
2.4. Теоремы существования и единственности. Оценки роста решений. 75
2.5. Математическая постановка задачи замедления нейтронов в бесконечных средах . 94
Глава 3. Операционные методы. Представление решений в виде рядов . 102
3.1. Экспоненциальные решения. Применение операционных методов. Корни характеристического полинома . 102
3.2. Метод Лапласа. Асимптотическое поведение решений. 126
Глава 4. Устойчивость. Сопряженное уравнение замедления. Теоремы сравнения. Вопросы эквивалентности решений уравнения замедления в интегральной и дифференциальной формах . 139
4.1. Основные положения. 139
4.2. Сопряженное уравнение замедления и устойчивость. 156
4.3. Теорема об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления . 164
4.4. Теоремы сравнения.
Глава 5. Программное обеспечение и численные исследования нейтронных полей в бесконечных средах в резонансной области энергий . 175
5.1. Обобщенный" метод Адамса. 175
5.2. Программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ. Оценки вычислительной погрешности. 180
5.3. Численные исследования полей резонансных нейтронов в гомогенных бесконечных средах. 183
Заключение 201
Литература 204
- Замедление нейтронов с учетом 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния в средах с плоской геометрией
- Решение уравнения замедления в классе кусочно-непрерывных функций
- Экспоненциальные решения. Применение операционных методов. Корни характеристического полинома
- Теорема об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления
Введение к работе
Актуальность темы. Безопасность эксплуатации ядерных энергетических реакторов и других радиационноопасных установок различного назначения является одной из важнейших проблем современной энергетики и прикладной нейтронной физики. Большое значение в решении этой проблемы имеет правильный выбор ядерно-физических параметров как основных элементов установок, в том числе активных зон ядерных реакторов , так и защиты. Широкое применение численных методов для расчега основных характеристик ядерных реакторов, и особенно реакторов на быстрых нейтронах, стимулировало изучение макроскопических явлений, связанных с резонансной структурой сечений. Оказалось, что в отличие от реакторов на тепловых нейтронах, где резонансное самоэкранирование сказывается лишь в вероятности избежать резонансного захвата, в реакторах на быстрых нейтронах оно существенно и для характеристик диффузии нейтронов, относящихся к резонансной части спектра замедления. К настоящему моменту точность учета резонансных эффектов в определении макроскопических характеристик среды и, в первую очередь, в многогрупповых константах для расчета реакторов на быстрых нейтронах, обеспечивает безопасную эксплуатацию ядерных энергетических установок на проектируемый период их эксплуатации. Ближайшие перспективы развития атомной энергетики, в том числе создание реакторов на быстрых нейтронах повышенной безопасности, делают необходимым не только дальнейшее изучение энергетической структуры нейтронных сечений для всего интервала резонансных энергий, но и более детальное изучение энергетической зависимости спектра потока замедляющихся нейтронов в средах с резонансными сечениями, в частности, в однородных протяженных средах с равномерно распределенными источниками. Кроме того, повышение точности ядерно - физических данных, в конечном итоге, существенным образом влияет и на экономическую эффективность энергетических установок. Для обеспечения таких исследований необходимы как новые данные о резонансной структуре сечений, так и новые вычислительные методы и алгоритмы, обладающие соответствующими характеристиками и позволяющие проводить расчеты нейтронных полей в резонансной области энергий.
Начиная с первых работ по исследованию замедления нейтронов в средах,
проведенных Э. Ферми с сотрудниками, прогресс в исследованиях резонансных
эффектов в ядерных реакторах тесно связан именами И. И. Гуревича и И. Я.
і .. . .і;..;^гілЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА
Померанчука1, которые предложили приближенную теорию резонансного поглощения, другой ее вариант был разработан в США Е. Вигнером2. Для реакторов на быстрых нейтронах существенный вклад в изучение макроскопических эффектов, связанных с резонансной структурой сечений, внесли академик А. И. Лейпунский, профессора И. И. Бондаренко, В. В. Орлов, Л. Н. Усачев, М. Н. Николаев, А. А. Лукьянов3, А. Д. Галанин, П. П. Благоволин и научные коллективы РНЦ "Курчатовский институт", ГНЦ ФЭИ, ИТЭФ, МИФИ, ИПЭ НАН Беларуси и др. Решение поставленной проблемы было бы невозможным без развития теории ядерных реакторов и численных методов для их расчета. Работы отечественных ученых В. С. Владимирова, С. Б. Шихова4, Т. А. Гермогеновой, М. В. Масленникова, а также зарубежных ученых Б. Дэвисона, Ю. Вигнера и А. Вейнберга и других, отражающие основные положения математической теории реакторов, широко известны. Что касается вычислительных методов решения задач теории реакторов, в том числе задач замедления нейтронов в средах, то они достаточно полно представлены в трудах академика РАН Г. И. Марчука, профессоров В. И. Лебедева, В. В. Смелова, В. И. Агошкова и их учеников.
Широкое применение вычислительной техники в научных исследованиях позволяет пересмотреть многие подходы к решению ряда важных задач математической физики и сосредоточить усилия на создании новых алгоритмов, основанных на использовании численных методов, успешно реализуемых на современных вычислительных машинах. При этом аналитический подход к решению практических задач во многих случаях может уступать место изучению физических и друїих процессов на основе математического моделирования с использованием эффективных численных методов. Это относится и к проблеме резонансного поглощения нейтронов при их замедлении в средах. Данный раздел нейтроной физики базируется на решениях уравнения замедления нейтронов для сложных пространственных структур с учетом энергетической зависимости сечений. Трудности прямого численного решения таких задач настолько велики, что до настоящего времени решение их в полной постановке, т. е. с учетом реальной геометрии, энергетической зависимости сечений в области
1 Гуревич И. И., Померанчук И. Я. Теория резонансного поглощения в
гетерогенных системах // Материалы Международной конференции по мирному
использованию атомной энергии. Женева, 1955. Т. 5. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 557.
2 Wigner Е. et. al. Nuclear Reactor Issue II J. Apl. Phys., 1955. V. 26 . P. 257.
3 Лукьянов А. А. Замедление и поглощение резонансных нейтронов. М.:
Атомиздат, 1974.
4 Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. М.: Атомиздат, 1973.
резонансных энергий и всех физических эффектов упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды, остается проблемашчным. При решении задач замедления, как правило используют два основных предположения: первый - это многогрупповой подход по энергетической переменной, а второй - сведение основного уравнения к задачам ( или последовательности задач ) меньшей размерности. Однако такая постановка задачи не учитывает всего многообразия явлений при описании процессов замедления и поглощения резонансных нейтронов в средах, а их учет требует разработки методов и алгоритмов, обеспечивающих получение надежной информации о спектрах резонансных нейтронов во всей области изменения энергии. Это означает, что требуется строгое математическое обоснование корректности используемых в вычислительной практике приближенных методов ( доказательство существования и единственности решения, обобщение понятия решения, исследование свойств гладкости решений, обоснование точности вычислительных процессов и т. д.). Весьма актуальным остается также выявление "дополнительных ( скрытых ) резервов" тех методов и алгоритмов, которые выдержали проверку временем. Из современных численных методов решения задаче замедления отвечают методы, основанные на много-многогрупповом и подгрупповом подходах, и методы Монте - Карло. Существенных достижений в разработке таких подходов достигли коллективы исследователей ФЭИ, ИАТЭ, г. Обнинск, МИФИ, РНЦ "Курчатовсий институт", однако исследования непрерывных решений уравнения замедления в резонансной области энергий ими не проводились.
Анализ современного состояния теории упругого замедления и резонансною поглощения нейтронов позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем математической теории нейтронных полей проблему создания прецизионных методов численного решения задач замедления нейтронов с учетом всех особенностей рассеяния при упругом столкновении нейтронов с ядрами среды и основанных на углубленном понимании закономерностей поведения искомых функций. При решении этой проблемы на первый план выступают модельные задачи исследования локальной структуры спектров замедляющихся резонансных нейтронов, в основе которых лежат простейшие формы уравнения замедления. Такой задачей выступает задача замедления нейтронов в гомогенных многокомпонентных бесконечных средах.
Целью работы являются: I) теоретическое изучение дифференцируемое интеграла упругих соударений уравнения Больцмана как основного элемента, определяющего упругое замедление нейтронов в среде; 2) формулировка метода и построение общего алгоритма численного решения уравнения замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах при 8 - образном законе рассеяния, отвечающем полной физичес-
кой модели упругого столкновения нейтронов с ядрами среды, и для различных типов источников, а также его применение для решения задач теории нейтронных полей с учетом нахождения пространственно - угловых зависимостей на основе современных численных методов ( в рамках общей теории переноса нейтронов); 3) математические и численные исследования решений основной модельной задачи теории нейтронных полей - задачи замедления нейтронов в гомогенных многокомпонентных бесконечных средах; 4) предсіавление всех полученных теоретических результатов в конструктивной форме для последующего использования их в вычислительной практике.
Научная новизна и практическая ценность работы состоит в том, что в ней: - сформулирован метод и посгроен в обобщенных координатах алюриїм численного решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности в гетерогенных системах при 5 - образном законе рассеяния нейтронов на ядрах среды при упругом столкновении:
показана дифференцируемость интеграла упругих соударений по
энергетической переменной в конечных средах с учетом 5 - образного закона упругого
рассеяния нейтронов на ядрах среды и найдены явные выражения для первой и
последующих производных;
разработаны и конструктивно описаны алгоритмы численного расчета спектров замедляющихся нейтронов в Pi -, Рз - и Рп - приближениях в сложных гетерогенных средах;
разработан и доведен до возможного практического использования алгоритм численного расчета пространственно - энергетического распределения быстрых нейтронов в водороде и воде от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощности, как одной из практических задач теории нейтронных полей;
детально описан алгоритм на базе схем метода расщепления численного расчета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в сферической, ( R, Z ) - и
( X, Y) - геометриях, а также алгоритм решения уравнения замедления в самосопряженной форме;
рассмотрен алгоритм численного решения уравнения замедления в ячейках
сложной формы на базе метода конечных элементов, при этом все численные схемы
естественным образом вписаны в алгоритмы односкоростных задач и могут быть
рекомендованы для реализации в действующих комплексах программ для расчета
нейтронных полей в сложных гетерогенных средах;
- проведены всесторонние математические исследования уравнения замедления, описывающего модельную задачу формирования нейтронных полей в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах:
получены условия разрешимости уравнения замедления, существования и единственности его решения;
показана устойчивость решения уравнения замедления во всей области изменения параметров уравнения замедления, найдены простые соотношения между параметрами уравнения замедления, обеспечивающие устойчивость его решений;
получены оценки роста решения и фундаментальное соотношение между основными параметрами уравнения замедления ( величиной сброса энергии при упругом столкновении нейтронов на ядрах среды и отношением сечения упругого рассеяния к полному сечению среды);
детально рассмотрены методы шагов, Лапласа и Фурье, которые позволили сформулировать и доказать ряд теорем, связанных с особенностями постановки задачи Коши для уравнения замедления, а также получить ряд асимптотических оценок решения;
на основе теории дифференциально - разностных уравнений первого порядка в общей постановке построена задача Коши для сопряженного уравнения замедления;
- найдены условия, сформулирована и доказана теорема эквивалентности решений уравнения замедления, записанного в интегральной ( естественной ) форме и в форме дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом, для модельной задачи замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах;
- описаны созданные автором на основе предложенного численного метода для модельной задачи программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ, которые явились базой широких численных исследований спектров плотности столкновений в резонансной области:
показано сложное поведение спектров плотности столкновений в области резонанса, обращено внимание на необходимость учета взаимного влияния резонансов и интерференции потенциального и резонансного рассеяния при точных расчетах спектра плотности столкновений;
установлены закономерности влияния на формирование спектра плотности столкновений в области резонансных энергий нерезонансных разбавителей и температуры среды;
получены качественные и количественные оценки эффективности и точности предложенных численных алгоритмов по энергетической переменной, которые
позволяют судить о точностях и эффективности предложенного численного метода решения уравнения в гетерогенных средах;
приведены сравнительные оценки дифференциальных характеристик среды ( интегралов поглощения, многогрупповых констант ), полученные на основе точных расчетных данных и приближенными методами; совокупность приведенных результатов позволила уточнить значения многогрупповых констант некоторых делящихся ядер и ядер конструкционных материалов в группах, содержащих сильно рассеивающие и поглощающие резонансы ( оценки были проведены в Центре ядерных данных ГНЦ РФ ФЭИ).
Проведенными в диссертационной работе исследованиями и полученными в ней результатами осуществлено решение четко очерченного цикла логически взаимосвязанных математических задач теории упругого замедления нейтронов в области резонансных энергий. Этим самым осуществлено развитие и обобщение целого ряда результатов этого направления. Материал диссертационной работы, будучи в первую очередь теоретическим исследованием, является основой для непосредственного выхода в сферу конкретных вычислительных алгоритмов нейтронной физики и физики атомных реакторов и защиты. В частности, найденные способы учета корреляции между углом рассеяния в лабораторной системе координат и потерей энергии нейтронов при упругом соударении с ядром среды открывают перспективы широкого использования в практике нейтронно-физических расчетов прецизионных методов, учитывающих тонкие эффекты взаимодействия нейтронов с веществом.
На защиту выносятся:
-
Метод численного решения уравнения замедления нейтронов при 8 - образном законе упругого рассеяния в гетерогенных средах от источников различных типов, в том числе от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности.
-
Алгоритмы численного расчета нейтронных полей в резонансной области энергий в гетерогенных средах на основе разработанного метода с учетом методов решения односкоростного уравнения Больцмана в различных координатных системах, широко внедренных в практику расчетов атомных реакторов и защиты, в том числе конечно-разностного метода, Р„ - приближения, методов расщепления и конечных элементов в одномерной, сферической, ( R, Z ) - и (X, Y) - геометриях.
-
Положения и выводы математического исследования дифференцируемое
по энергии интеграла упругих соударений в интегродифференциальном уравнении Больцмана для задач замедления нейтроне в гет<"рогенных средах и интегрального уравнения модельной задачи, описывающего формирование нейтронных полей в бес-
конечных гомогенных средах, полученные на основе общей теории дифференциальных уравнений с запаздывающим арі у ментом первого порядка.
4. Обоснованный и реализованный в программах СПЕКТР и ПЕРСЕЙ алгоритм численного расчета спектров плотности столкновений резонансных нейтронов при их упругом рассеянии в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах и численные исследования спектров нлоіности столкновений и функционалов на их основе, обеспечившие получение новой информации о влиянии физических свойств среды на формирование нейтронных полей в области резонансных энергий.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы отражены в 33 публикациях.
Результаты исследований, изложенные в диссертации, по мере их получения докладывались на семинарах в следующих организациях :
-
ФГУП "ГНЦ РФ - Научно - исследовательский институт атомных реакторов";
-
ГНЦ РФ - Физико - энергетический институт им. академика А.И. Лейпунского;
-
Московском инженерно - физическом институте;
-
Нижегородском техническом университете;
-
РНЦ "Курчатовский институт";
-
Обнинском институте атомной энергетики;
-
Ульяновском государственном университете.
В плане практической апробации по теме диссертации автором созданы две рабочие программы на ЭВМ СПЕКТР и ПЕРСЕЙ по расчету нейтронных полей от источников различного типа в гомогенных многокомпонентных средах в области резонансных энергий. Эти программы использовались в Центре по ядерным данным при ГНЦ РФ - Физико-энергетический институт.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, 20 параграфов, заключения и 4 приложений, а также содержит 31 рисунок, 6 таблиц и 191 библиографическую ссылку. Общий объем диссертации 309 страниц.
Замедление нейтронов с учетом 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния в средах с плоской геометрией
Рассмотренную в предыдущих главах общую постановку метода решения уравнения замедления в гетерогенных средах и его реализацию на примере модельной задачи замедления нейтронов в одномерных средах, применим для решения ряда практических задач теории нейтронных полей, связанных с различными моделями представления решений по пространственно - угловым переменным [ 9 - 11,13, 14, 38 ]. В приложении 1 подробно рассмотрен метод решения уравнения замедления в Рп - приближении и показаны особенности реализации развитого общего подхода в этом приближении. В приложении 2 общий метод решения уравнения замедления распространен на модельные задачи, решаемые итерационными методами. В качестве примера выбран метод расщепления [ 74 J. В приложении 3 рассмотрена возможность включения общих положений метода решения уравнения замедления в стуктуру одного из перспективных численных методов решения задач математической физики - метода конечных элементов.
Для метода сферических гармоник в задачах упругого замедления нейтронов рассмотрены следующие вопросы [78-80 ]. - замедление нейтронов в средах со сферической симметрией и учетом потерь энергии нейтроном при упругом рассеянии в Рп - приближении; - Pi - приближение для уравнения замедления в однокомпонентной одномерной среде: - Рп - приближение для уравнения замедления в средах со сферической симметрией; - особенности определения разрывов решения уравнения замедления в Рп - приближении.
В качестве практической модельной задачи построен алгоритм определения спектра быстрых нейтронов в водороде и воде от точечного моноэнергетического источника с учетом потерь энергии при упругом рассеянии в Рп - приближении [ 88 ]. Задача об энергетическом распределении быстрых нейтронов от точечного моноэнергетического источника в водороде является одной из простейших задач теории замедления нейтронов в конечных средах и играет важную роль при разработке новых приближенных подходов при решении более сложных задач нейтронной физики. Вторая задача - задача о спектре нейтронов в воде является наиболее важной прикладной задачей нейтронной физики и теории ядерных реакторов. Различные подходы к решению указанных задач достаточно полно изложены в работах [ 13,99,100 ]. Рассмотренный алгоритм наглядно показывает возможности общего метода при решении задач, где в качестве одной из компонент выступают ядра водорода, что в обычных подходах влечет за собой либо разработку специального алгоритма, либо преодоление серьезных трудностей объединения в одном численном алгоритме методов расчета замедления нейтронов на ядрах водорода и ядрах с массовым числом больше единицы. Эти особенности связаны с появлением при рассеянии нейтронов на ядрах водорода интеграла упругих столкновений с пределами изменения энергии от 0 до и .
Положительной стороной применения общего алгоритма решения уравнения замедления к задачам в Рп - приближении индикатрисы упругого расссеяния или разложения функции спектра замедляющихся нейтронов по полиномам Лежандра является замена интеграла упругих соударений на интегралы аналогичного вида, содержащие функции Лежандра и определенные коэффициенты в экспоненте, зависящей от разности значений энергетических переменнных и - и и находящейся под знаком интеграла. Это обстоятельство позволяет продифференцировать указанные интегралы по энергетической переменной и в соответствии с общей схемой предложенного метода решения уравнения замеления.
В последнее время широкое распространение для решения задач переноса нейтронов получили методы расщепления, основанные на идее замены сложных операторов задачи на более простые [ 10,11,78 ]. Однако их использование связано с рядом трудностей, обусловеленных существенной многомерностью задачи, а также обоснованием применимости этих методов и получением количественных оценок скорости сходимости аппроксимационных алгоритмов. Указанные трудности могут быть немного уменьшены, если рассматривать для задач переноса нейтронов не линеаризованное кинетическое уравнение, а сим метризованное уравнение, при этом в некоторых случаях задача может быть приведена к самосопряженной форме, когда удается сформулировать естественный вариационный принцип, полезный при анализе указанных трудностей [ 1,92, 101 ].
При рассмотрении метода расщепления в задачах упругого замедления нейтронов ( Приложение 2 ) основное внимание обращено на решение задачи замедления нейтронов в самосопряженной форме уравнения замедления, особенностям численной схемы решения уравнения замедления, а также на решение ряда практических задач [81,82, 86, 87,92 ], а именно: - решение уравнения замедления в ( х,у ) - геометрии; - решение уравнения замедления в ( R,Z) - геометрии в Рз -приближении. При этом рассмотрены схемы реализации итерационного процесса и некоторые особенности учета 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния.
Успешной реализации общего подхода к решению уравнения замедления при использовании метода расщепления способствует то обстоятельство, что при расщеплении оператора уравнения замедления на более простые всегда можно выделить в качестве подоператора оператор, содержащий интеграл упругих соударений в той или иной форме, удобной для дифференцирования по энергетической переменной, что позволяет в двухциклической схеме расщепления для решения уравнения с таким подоператором применить схему предварительного дифференцирования интеграла упругих столкновений по энергетической переменной и перейти от интегрального уравнения к эквивалентному дифференциальному уравнению с запаздывающим аргументом.
Метод конечных элементов, являющийся в настоящее время наиболее эффективным способом численного решения инженерных задач и задач математической физики, выбран для демонстрации возможностей предложенного метода решения уравнения замедления в гетерогенных средах не случайно ( Приложение 3 ). Он очень удобен для программирования и позволяет учитывать дополнительную информацию о решаемой задаче в тех случаях, когда удается получить теоретическое обоснование его применимости [ 10, 11, 71, 72 ]. К достоинствам метода следует отнести гибкость и разнообразие расчетных сеток, сравнительную простоту приемов построения схем высоких порядков точности в произвольных областях, простоту удовлетворения естественных краевых условий, поэлементную консервативность, сближающую свойства вычислительных схем и решаемых задач. Метод конечных элементов, являющийся одним из вариационно-сеточных методов, достаточно широко используется для расчетов нейтронных полей в сложных гетерогенных системах в многогрупповом подходе, а основы его применения к задачам теории переноса нейтронов рассмотрены в монографиях [10 , 11].
Решение уравнения замедления в классе кусочно-непрерывных функций
Присутствие в среде ядер замедлителя, масса которых существенно отличается от массы поглотителя, качественно меняет картину энергетической зависимости плотности столкновений в окрестности разрешенных резонанснов (рис.21 ) [ 171,169 ]. Существенное влияние на спектр плотности столкновений оказывает интерференция резонансного и потенциального рассеяния (рис.21 а и б ), при этом стремление значений плотности столкновений к своему асимптотическому значению после резонанса более медленное, чем в отсутствие интерференции. Взаимное влияние уровней на значение спектра плотности столкновений малосущественно и сказывается лишь в областях энергий 195 - 205 эВ, т.е. вблизи интерференционного минимума первого резонанса ( Ео = 208,6 эВ ). Этот эффект еще менее заметен для спектра, рассчитанного без учета интерференции ( рис.21 а ).
Спектр плотности столкновений в двухкомпонентной среде является в общем случае функцией трех параметров: величины сечения рассеяния нерезонансного замедлителя, приходящегося на один атом поглотителя, температуры среды и массы замедлителя. Для удобства сравнения спектров, рассчитанных при различных сечениях рассеяния и массах замедлителя, введем нормировку спектра F(u) = F(w) I Ч/Q , 4 = 1 / - спектр плотности столкновений при надрезонансных энергиях ( спектр Ферми ). Отклонение функции F( и) от 1 определяет флуктуации плотности столкновений в резонансной области. Отметим некоторые характерные особенности энергетической зависимости спектра с изменением указанных параметров. Зависимость от величины сечения рассеяния нерезонансного замедлителя представлена на рис.22 . При малых значениях сечения рассеяния (ат = 1 ) нерезонансного замедлителя спектр плотности столкновений незначительно отличается от спектра в чистом уране-238, хотя и здесь уже проявляются особенности замедления нейтронов в двухкомопнентной среде. С увеличением от в спектре плотности столкновений флуктуации возрастают, а затем медленно уменьшаются.
Зависимость от массы нерезонансного замедлителя представлена на рис.23. Расчеты гомогенных сред, содержащих ран-238 и замедлители различной массы водород, кислород, железо, свинец, показывают, что при массе замедлителя, близкого к массе поглотителя ( например, ядра свинца ), спектр подобен спектру в чистом уране-238 и определяется полностью резонансным захватом на уровнях поглотителя, что, в свою очередь, не противоречит основной теории нейтронных полей [ 6, 7, 13,9,10 ]. С уменьшением массы замедлителя появляются характерные флуктуации спектра при резонансных энергиях, значение которых достигает максимума, когда новений в эквивалентных гомогенных двухкомопнентных средах, где в качестве резонансной компоненты выступают ядра 23Na с рассеивающим уровнем при энергии 2,9 кэВ и незначительным поглощением, а в качестве нерезонансного замедлителя выбраны ядра водорода, кислорода, железа и циркония. Спектры плотности столкновений для соответствующих систем представлены на рис.24, где виден характерный провал в энергетической зависимости спектра плотности столкновений и который тем больше, чем больше масса нерезонансного замедлителя.
Данный эффект не наблюдается в гомогенных смесях урана-238, так как масса нерезонансного замелителя всегда меньше массы поглотителя. Характерные особенности наблюдаются и в зависимости спектра плотности столкновений в рассматриваемой системе от величины сечения рассеяния замедлителя (рис.24). При очень маленьких или очень больших значениях ат спектр стремится к своему асимптотическому значению ( F( и) = 1 ), а максимальный провал в спектре наблюдается при значениях сечения рассеяния в пределах 10 - 100 барн. В качестве практической реализации возможностей расчетной модели на рис.25 приведен спектр плотности столкновений в гомогенизированной активной зоне реактора на быстрых нейтронах БОР-60 (среда: Na, Fe, О, U при соответствующих концентрациях элементов в активной зоне реактора ) на интервале 0,6 - 80 кэВ с учетом резонансной структуры ядер 23Na и 56Fe в указанном интервале.На практике часто необходимо знать не только особенности поведения энергетической зависимости спектра в области того или иного резонанса, но и во всей области разрешенных резонансов, например для гомогенных смесей, содержащих ядра урана-238 [ 53, 55 ]. Область разрешенных резонансов урана-238, где важен
Спектр плотности столкновений в гомогенной смеси ядер238и : Н при 300 К на интервале 1 - 200 эВ ( ат - 20,2 барн ). учет отличия спектра от значений спектра Ферми, простирается от верхней границы тепловой группы до энергии, приблизительно равной 500 эВ, что требует решения уравнения замедления на значительном энергетическом интервале по шкале летаргии. Программа ПЕРСЕЙ позволила провести такие расчеты с достаточно высокой точностью. Энергетический ход сечений рассеяния и поглощения на ядрах урана-238 восстанавливался по значениям параметров резонансов, взятых из работ [ 172, 173 ], по основному алгоритму программы УРАН [ 172 ] и включающих значения 27 первых уровней урана-238. Общий вид спектра плотности столкновений в гомогенной смеси ядер 238U : Н представлен на рис. 26 и 27 на интервале 2 - 500 эВ. Нетрудно видеть, что существенные флуктуации спектра плотности столкновений наблюдаются лишь в окрестностях 11-12 сильных резонансов с ярко выраженной интерференцией резонансного и потенциального рассеяния и значительными ширинами.
Таким образом, численные исследования спектров плотности столкновений. Спектр плотности столкновений в гомогенной смеси ядер U238: Н на интервале 2 - 400 эВ ( тт =18,6 барн, Т = 300 К). веденные на основе численного решения модельной задачи замедления нейтронов в многокомпонентной гомогенной бесконечной среде с резонансной структурой сечений, показывают не только количественные, но и качественные отличия спектров, на основе которых строятся приближенные оценки в теории нейтронных полей. При этом полученные зависимости спектра плотности столкновений от сечения рассеяния, массы замедлителя и температуры среды, должны приводить к качественно другим зависимостям в интегральных характеристиках среды, когда точный спектр плотности столкновений в приближении замедления нейтронов в бесконечной гомогенной среде, используемый в качестве весовой функции, отличается от спектра Ферми. В качестве примера влияния спектров с учетом тонкой структурой сечений приведем результаты численных расчетов резонансных интегралов урана-238 в различных средах и сравним их с результатами, полученными приближенными методами.
Методы расчета эффективных резонансных интегралов являются приближенными и не учитывают ряда особенностей как в энергетической зависимости потока, так и в сечениях, что заметно сказывается на их значениях [ 174, 175 ]. Определим эффективный резонансный интеграл поглощения как [ 13 ] где [щ, иг ] - рассматриваемый интервал энергии, а - макроскопическое сечение поглощения, и ) I Фо - отношение, которое определяет энергетическую зависимость потока нейтронов в окрестностях резонанса, нормированную на величину потока при надрезонансных энергиях.
Экспоненциальные решения. Применение операционных методов. Корни характеристического полинома
Здесь наибольшие расхождения в значениях резонансного интеграла наблюдаются для крайних масс замедлителя при значениях ат около 100 барн. Сравнение значений резонансного интеграла, определенного с использованием точного спектра и приближенными методами удобно провести в терминах параметров IR -приближения X и \i (табл. 5). В талице 5 незначительные отклонения параметра X в методе Гольдштейна-Коэна с изменением массы замедлителя [ 188,183 ] делают справедливым вывод о независимости данного параметра от массы. Существенное отличие в параметрах, определяемых из численного расчета и схемы IR - приближения, для концентрированных сред, связано с необходимостью учета энергетических особенностей сечения и спектра плотности столкновений нейтронов в области интерференционного минимума. Температурная зависимость коэффициентов Хир., полученная на основе численных исследований в рассматриваемом интервале, оказывается несущественной ( изменения соответствующих величин при изменении температуры от 300 до 2100 К не превышает 2 - 3 %).
Возможность определения значений X и ц. и их систематики на основе сравнения с точными расчетами, является весьма важным моментом с точки зрения практического применения схемы Гольдштейна - Коэна для относительно концентрированных сред, содержащих ядра урана-238. По-видимому, в этом случае представление данных о резонансном поглощении и их оценка в теории нейтронных полей на основе IR -приближения является наиболее удобной.
В качестве последнего примера влияния микроструктуры спектра потока на различные дифференциальные характеристики среды рассмотрим ее влияние на формирование многогрупповых констант в резонансной области энергии [ 189 ]. При расчете многогрупповых констант важное значение имеет выбор рациональных способов усреднения эффективных микроскопических сечений по энергетическим интервалам отдельных групп. Несмотря на то, что в существующих системах констант учитываются определенным образом резонансные эффекты [ 190, 191 ], влияние их на результаты усреднения сечений остаются и в настоящее время в центре проблемы получения многогрупповых констант [ 13, 10, 191 ]. Рассмотрим групповые константы урана-238, рассчитанные с весом точных спектров плотности столкновений в эквивалентных средах U : Ог и U : Н ( потенциальное сечение среды равно 18,6 барн ), для трех температур 300 , 900, и 2100К (табл. 6). В качестве энергетических границ выбраны значения 465 - 215 - 100 - 46,5 - 21,5 - 10 эВ, что соответствует ширине группы Дм = 0,77. Одновременно со значениями групповых констант в таблице приведены их относительные ошибки, связанные с использованием фермиевского спектра
5,= (a,-5,)/at. Нетрудно видеть, что, начиная с самых верхних групп, расхождение между точными и приближенными результатами оказываются довольно значительными (до 30% и более процентов ) и особенно там, где содержатся широкие рассеивающие уровни ( например группы 215 - 100; 21,5 - 10; 10 - 4,65 эВ ). С ростом температуры расхождение точных расчетов с приближенными в верхних группах, как правило, уменьшается, в низких - приблизительно остается одинаковым. Данный пример показывает, что использование в качестве "стандартного" спектра точного решения уравнения замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах в области разрешенных резонансов, приводит не только к количественным, но и к качественным отличиям в значениях групповых констант урана-238 по сравнению со значениями, усредненными по спектру Ферми. При этом обнаруживается существенная зависимость блокированных групповых сечений от массы нерезонансного замедлителя.
Рассмотренные особенности влияния микроструктуры спектра плотности столкновений на различные параметры среды в области разрешенных резонансов позволяют не только оценить различные приближения теории замедления нейтронов в однородных средах, но и с уверенность прогнозировать появление указанных особенностей при расчетах нейтронных полей в гетерогенных средах как в области резонансных, так и надрезонансных энергий, где наблюдаются флуктуации сечений упругого рассеяния, связанные с их энергетической зависимостью.
Сформулируем в обобщенной форме основные выводы и новые результаты, полученные в диссертации : 1. Предложен метод численного решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности в сложных гетерогенных системах при 8 - образном законе рассеяния нейтронов на ядрах среды при упругом столкновении. 2. Показана дифференцируемость интеграла упругих соударений по энергетической переменной в конечных средах с учетом 5 - образного закона упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды и найдены явные выражения для первой и последующих производных. 3. Сформулированы и конструктивно описаны алгоритмы численного расчета спектров замедляющихся нейтронов в Pi, Рз и Рп -приближениях. 4. Сформулирован и доведен до возможного практического использования алгоритм численного расчета пространственно-энергетического распределения быстрых нейтронов в водороде и воде от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощности, как одной из основных задач теории нейтронных полей. 5. Сформулирован и детально описан алгоритм на базе схем метода расщепления численного расчета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в сферической, R-Z - и X-Y- геометриях, а также алгоритм решения уравнения замедления в самосопряженной форме.
Теорема об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления
Сформулируем в обобщенной форме основные выводы и новые результаты, полученные в диссертации : 1. Предложен метод численного решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности в сложных гетерогенных системах при 8 - образном законе рассеяния нейтронов на ядрах среды при упругом столкновении. 2. Показана дифференцируемость интеграла упругих соударений по энергетической переменной в конечных средах с учетом 5 - образного закона упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды и найдены явные выражения для первой и последующих производных. 3. Сформулированы и конструктивно описаны алгоритмы численного расчета спектров замедляющихся нейтронов в Pi, Рз и Рп -приближениях. 4. Сформулирован и доведен до возможного практического использования алгоритм численного расчета пространственно-энергетического распределения быстрых нейтронов в водороде и воде от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощности, как одной из основных задач теории нейтронных полей. 5. Сформулирован и детально описан алгоритм на базе схем метода расщепления численного расчета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в сферической, R-Z - и X-Y- геометриях, а также алгоритм решения уравнения замедления в самосопряженной форме. 6. Сформулирован и всесторонне рассмотрен алгоритм численного решения уравнения замедления в ячейках сложной формы на базе метода конечных элементов. 7. Проведен углубленный математический анализ уравнения Больцмана, описывающего модельную задачу формирования нейтронных полей в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах ( разрешимость уравнения замедления, существование и единственность его решения, асимптотические равенства, устойчивость, оценки роста решения, методы шагов, Лапласа и Фурье, теория сопряженного уравнения в общей постановке и т.д.) на основе общей теории дифференциально - разностных уравнений первого порядка. 8. Найдены условия, сформулирована и доказана теорема эквивалентности решений уравнения замедления, записанного в интегральной ( естественной ) форме и в форме дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом, для модельной задачи замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах. 9. Кратко описаны созданные автором программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ, реа лизующие метод численного решения уравнения замедления для модельной задачи. 10. Приведены результаты численных исследований и рассмотрены основные особенности формирования нейтронных полей в многокомпонентных бесконечных средах в области резонансных энергий, а также показано влияние полученных спект ров на дифференциальные характеристики среды. Суммируя результаты данной работу автор защищает: 1. Метод численного решения уравнения замедления нейтронов при 8 - образном законе упругого рассеяния в гетерогенных средах от источников различных типов, в том числе от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности. 2. Алгоритмы численного расчета нейтронных полей в резонансной области энергий в гетерогенных средах на основе разработанного метода с учетом методов решения односкоростного уравнения Больцмана в различных координатных системах, широко внедренных в практику расчетов атомных реакторов и защиты, в том числе конечно-разностного метода, Рп - приближения, методов расщепления и конечных элементов в одномерной, сферической, R - Z - и X - Y - геометриях. 3. Положения и выводы математического исследования дифференцируемости по энергии интеграла упругих соударений в интегро-дифференциальном уравнении Больцмана для задач замедления нейтронов в гетерогенных средах и интегрального уравнения модельной задачи, описывающего формирование нейтронных полей в бесконечных гомогенных средах, полученные на основе общей теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом первого порядка. 4. Обоснованный и реализованный в программах СПЕКТР и ПЕРСЕЙ алгоритм численного расчета спектров плотности столкновений резонансных нейтронов при их упругом рассеянии в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах и численные исследования спектров плотности столкновений и функционалов на их основе, обеспечившие получение новой информации о влиянии физических свойств среды на формирование нейтронных полей в области резонансных энергий.
Таким образом, в настоящей работе получила развитие и практическую реализацию, имеющая важное значение в прикладной нейтронной физике, проблема построения высокоэффективных алгоритмов численного расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных средах с учетом всех физических особенностей упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды, обеспечивающих простые схемы реализации на современных ЭВМ и обладающих высокой устойчивостью и достаточной точностью счета. Проведенные математические и численные исследования решений уравнения замедления нейтронов в бесконечных гомогенных средах ( модельная задача ), позволили выявить не только основные математические особенности поведения решений задач теории упругого замедления нейтронов, но и получить качественные картины поведения спектров замедляющихся нейтронов в области резонансных энергий, а также оценить эффективность и точность предложенных численных алгоритмов по энергетической переменной.
Следует отметить, что результаты настоящей работы, в частности, предложенные алгоритмы численного решения задач теории упругого замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах, позволили также значительно расширить класс методов и приемов решения многоскоростных задач теории нейтронных полей, которые могут быть с успехом использованы для решения конкретных задач физики атомных реакторов и защиты.
Похожие диссертации на Модели и вычислительные методы в теории нейтронных полей (Упругое замедление нейтронов)
