Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Вводная глава 23
1.1. Введение 23
1.2. Некоторые понятия 23
1.3. Изучаемые математические модели динамических систем и их прикладная направленность 25
1 .4. Математическая постановка основных задач 27
1.5. Сравнительная характеристика основных методов решения задач 31
1.6. Некоторые перспективные направления исследований в математическом моделировании динамических систем и в качественном анализе их моделей 34
Глава 2 Устойчивоподобные и качественные свойства автономного и общего потоков 36
2.1. Введение 36
2.2. Качественные свойства автономных потоков 36
2.3. Поверхности Ляпунова. Условия устойчивости компакта автономного потока 46
2.4. Условия устойчивости движения для общего потока 53
Глава 3 Локализация предельного множества для неавтономных моделей классов ОДУ, ФДУ на основе обобщенных функций Ляпунова 58
3.1. Введение 58
3.2. Свойства расстояния Хаусдорфа 59
3.3. Локализация предельного множества неавтономной модели класса ОДУ на основе обобщенных функций Ляпунова .61
3.4. Локализация предельного множества неавтономной системы класса ФДУ на основе обобщенных функций Ляпунова 74
Глава 4 Устойчивость множества неавтономной модели класса ФДУ на основе продолжения решений 83
4.1. Введение 83
4.2. Определения и вспомогательные результаты 83
4.3. Исследование устойчивости множества 91
Глава 5 Метод ломаных Эйлера нахождения решений неавто номной модели класса КДУ 96
5.1. Введение 96
5.2. Определения и вспомогательные предложения. Существование движений 96
5.3. Существование и единственность решений 105
Глава 6 Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса КДУ 113
6.1. Введение 113
6.2. Определения и вспомогательные предложения 113
6.3. Теоремы об устойчивоподобных свойствах 119
Глава 7 Существование решений неавтономной модели класса НДУ 125
7.1. Введение : 125
7.2. Вспомогательные предложения 125
7.3. Движения и решения модели класса НДУ 133
Глава 8 Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса НДУ 136
8.1. Введение 136
8.2. Определения и вспомогательные предложения. Теоремы об устойчивости множества неавтономной дифференциальной модели 136
8.3. Локализация предельного множества неавтономной дифференциальной модели на основе обобщенных нечетких функций Ляпунова 143
8.4. Примеры 149
Глава 9 Устойчивоподобные свойства моделей классов СДУ. Ключевая модель динамической системы 151
9.1. Введение 151
9.2. Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса СДУ 152
9.3. Устойчивость нелинейных моделей класса СДУ 162
9.4. Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса СФДУ 169
9.5. Ключевая модель динамической системы 175
Глава 10 Вопросы моделирования специальных классов динамических систем и устойчивости их моделей 181
10.1. Введение 181
10.2. Устойчивость состояния равновесия в автономном потоке в R2 с нулевым кратным собственным значением 182
10.3. Устойчивость нулевого решения в дифференциальной модели распространения тепла 188
10.4. Устойчивость автономной дифференциальной модели класса ОДУ в пространстве R2 192
10.5. Применение теории локализации предельного множества в численном анализе дифференциальных моделей 195
10.6. Несмещенность предельного множества асимптотически автономной модели класса ФДУ 201
10.7. Устойчивость модели класса ФДУ при постоянно действующих возмущениях 203
10.8. Устойчивость модели класса НДУ при постоянно действующих возмущениях 206
10.9. Моделирование движений транспортных динамических систем с помощью нечетких функций и уравнений 209
10.10. Алгоритмы для моделирования движений локомотива по фиксированному маршруту 213
10.11. Компьютерное моделирование движения локомотива. Устойчивость математической модели 216
Приложение. Структура комплекса подпрограмм «LOCOMOTION» 223
Литература 238
- Некоторые перспективные направления исследований в математическом моделировании динамических систем и в качественном анализе их моделей
- Поверхности Ляпунова. Условия устойчивости компакта автономного потока
- Локализация предельного множества неавтономной модели класса ОДУ на основе обобщенных функций Ляпунова
- Определения и вспомогательные предложения. Существование движений
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена математическому моделированию динамических систем и развитию качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном и последующих этапах математического моделирования динамических систем, а также реализации алгоритмов проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента при моделировании движения рельсового средства (локомотива) по определенному маршруту.
Обсудим сначала общие вопросы применения математических методов в научных исследованиях. Математическое моделирование широко применяется в научных исследованиях и при решении прикладных проблем в различных областях науки и техники. Эта методология основана на изучении свойств и характеристик объектов различной природы посредством исследования их естественных или искусственных аналогов (моделей). Моделирование в таком общем плане представляет собой двуединый процесс создания моделей и исследования моделей после того, как они построены. Использование моделей всегда и неизбежно связано с упрощением, идеализацией моделируемого объекта. Сама модель не охватывает объекта во всей полноте его свойств, а отражает лишь некоторые его исследуемые характеристики - она сходна с познаваемым объектом только по определенной совокупности признаков. Модель строится для отражения лишь части свойств исследуемого объекта и поэтому, как правило, проще оригинала. И самое важное, модель более удобна, более доступна для исследования, чем моделируемый объект.
Для более полного исследования объекта привлекается ряд моделей, каждая из которых моделирует те или иные характеристики объекта. В прикладном исследовании даже для отражения одних и тех же свойств объекта всегда имеется возможность привлечения различных моделей. Модели различаются по степени качественной и количественной адекватности исследуемому объекту относительно выбранных характеристик,
по возможностям их исследования. Успех моделирования определяется именно удачным выбором моделей, их набора.
Среди различных моделей можно выделить в качестве основных физические и математические модели. Математические модели являются наиболее характерными в естественнонаучных исследованиях идеальными (умозрительными) моделями. Физические модели относятся к материальным (предметным) моделям, которые, имитируя часть свойств исследуемого объекта, имеют ту же природу, что и моделируемый объект.
При физическом моделировании проводится экспериментальное исследование физической модели.
При математическом моделировании исследование свойств и характеристик исходного объекта заменяется исследованием его математических моделей. Математические модели изучаются средствами математики. Современный этап математического моделирования характеризуется широким привлечением методов вычислительной математики и компьютеров.
При математизации научных знаний выделяется этап абстрагирования от конкретной природы явления, идеализации и выделения его математической формы (строится математическая модель).
Вторым этапом математизации является исследование математических моделей как чисто математических объектов. С этой целью используются средства самой математики, как уже созданные, так и специально построенные. В настоящее время большие возможности для исследования математических моделей предоставляют вычислительные средства: компьютеры и численные методы.
Третий этап применения математики в прикладных исследованиях характеризуется интерпретацией - приданием конкретного прикладного содержания математическим абстракциям.
Эвристическая роль математического моделирования проявляется в том, что вместо натурного эксперимента проводится компьютерный эксперимент. Вместо исследования проявления того или иного воздействия на исследуемый объект используется параметрическое изучение математической модели, зависимости решения от того или иного параметра.
Такой эксперимент, дополняя натурный, позволяет значительно глубже исследовать явление или процесс.
Исследование математических моделей подразумевает прежде всего качественное изучение математических моделей и получение истинного или приближенного решения. Компьютер предоставляет новые возможности не только для нахождения приближенного решения численными методами, но и для качественного исследования математической модели.
Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель.
Сама математическая модель может быть достаточно сложной. Это часто делает невозможным качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в подавляющем большинстве случаев проводится качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае принято говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели).
Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректности.
Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие теоремы существования дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи.
Наличие или отсутствие тех или иных качественных свойств математической модели свидетельствует о возможности или невозможности создания сложной модели, обладающей требуемыми свойствами. Например, если синтезированная модель удовлетворяет определенным критериям качества, но не является устойчивой, то она не будет работоспособной, так как ее реализация, отличная от идеала, в силу неизбежных причин, не
будет уже удовлетворять нужным критериям качества. Если же модель обладает определенными качественными свойствами, то это значительно сузит круг задач количественного анализа модели.
В диссертации математическое моделирование динамических систем осуществляется с помощью дифференциальных математических моделей и введения дифференциальной математической модели, называемой ключевой моделью (моделью ансамблей), частными случаями которой являются следующие изучаемые дифференциальные модели: 1) математические модели, описываемые автономными и неавтономными обыкновенными дифференциальными моделями (называемые моделями класса ОДУ); 2) математические модели, описываемые автономными и неавтономными функционально-дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса ФДУ); 3) математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями с частными производными (называемые моделями класса ЧДУ); 4) математические модели, описываемые дифференциальными включениями, или дифференциальными уравнениями в контингенциях (называемые моделями класса КДУ); 5) математические модели, описываемые автономными и неавтономными нечеткими дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса НДУ); 6) математические модели, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса СДУ).
Перечисленные дифференциальные модели динамических систем используются при изучении разнообразных проблем физики, химии, биологии, экономики, а также при изучении многочисленных технических задач.
Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования дифференциальных моделей осуществляется на основе обобщенных функций Ляпунова и модифицированного метода ломаных Эйлера, при этом широко используются методы прикладного функционального анализа, методы теории полугрупп (групп) непрерывных операторов, методы качественной теории, теории устойчивости и топологической динамики автономных потоков.
В диссертации исследуются с единой точки зрения как детерминированные дифференциальные модели, так и стохастические и нечеткие дифференциальные модели динамических систем. Результаты этого анализа позволяют описать и обработать исходные данные как в случае детерминированного формализма, так и в случае трудноформализуемых задач естествознания и техники в условиях нечеткости, определяемой нечеткой постановкой задачи, или в условиях нечеткого описания параметров моделируемой динамической системы.
К кругу задач, рассмотренных в диссертации, относятся задача о снятии и задача об ослаблении ограничительных требований непрерывности и дифференцируемости на функции Ляпунова. Решения этих задач позволяют облегчить и расширить практические применения функций Ляпунова и тем самым повысить эффективность метода функций Ляпунова исследования дифференциальных моделей.
Одной из задач, рассмотренных в работе, является задача разработки приближенного метода решения дифференциальных моделей. Решение этой задачи методом ломаных Эйлера дает возможность приближенно вычислять решения моделей классов КДУ и НДУ с любой заданной степенью точности.
Основным методом изучения качественных свойств дифференциальных моделей динамических систем и автономных и неавтономных полупотоков (потоков) является метод локализации предельных множеств посредством обобщенных функций Ляпунова. Этот метод является обобщением, унификацией и дальнейшим развитием классического прямого метода Ляпунова.
Перейдем к краткому обзору известных результатов и литературы по математическому моделированию динамических систем и качественному анализу их дифференциальных математических моделей на основе обобщенных функций Ляпунова. Математическому моделированию динамических систем с помощью дифференциальных уравнений посвящены работы [1,6,9,13,14,18,19,21,22,26,37,39, 41, 46, 48,54,61,62,64,69,72,73, 75, 89, 103, 105, 143, 154, 155, 166, 177, 178, 184] и другие работы отечест-
венных и зарубежных ученых. Метод обобщенных функций Ляпунова, называемый также обобщенным прямым методом Ляпунова (ОПЛ-мето-дом) и являющийся обобщением, унификацией и дальнейшим развитием классического прямого метода Ляпунова, зародился в первой половине 60-х годов двадцатого столетия. Для автономных полупотоков (потоков), порожденных моделями ОДУ и ФДУ, теоремы о локализации предельного множества получены в работах Ж.П.ЛаСалля [159-163], Т.Иосидзавы [185-187], Р.К.Миллера [165], Дж.Хейла [97, 145], хотя отдельные результаты получены ранее Н.Н.Красовским и Е.А.Барбашиным [10, 49], В.В.Немыцким [71]. В частности, показано, что если производная обобщенной функции Ляпунова неположительна и равна нулю на множестве, не содержащим целых (полу-) траекторий, кроме особой точки О, то эта точка О будет устойчива по Ляпунову.
Дальнейшее развитие ОПЛ-метода для автономных полупотоков (потоков), порожденных моделями класса ЧДУ и для автономного и неавтономного потока в бесконечномерном пространстве предложено в работах Дж.Хейла [145], К.М.Дафермоса [138], Ж.П.ЛаСалля [159-163], Дж.Уолкера [184], Дж.Болла [125, 126], Дж.Кушнера [157, 158], М.де Гласа [141, 142] и А.А.Шестакова [108-116]. В частности, Ж.П.ЛаСалль [159] установил следующий результат: если производная обобщенной функции Ляпунова неположительна и равна нулю на множестве, наибольшее инвариантное подмножество которого есть Mcft", то всякое решение модели класса ОДУ приближается к компоненте связности множества М.
Пусть ДО» teR "= [0»+)і есть автономный полупоток на метрическом пространстве X, т.е. семейство отображений X в себя, для которого выполняется полугрупповое свойство Vs, teR , J{t+s) =j(t)f{s) и отображение ХО*^^-».^ непрерывно, и пусть G - непустое открытое подмножество изХ Отображение f^yciR+^X называется движением автономного полупотока с начальной точкой х.
Непрерывная ограниченная функция V:C\G-:>R+ называется обобщенной функцией Ляпунова типа Немыцкого-ЛаСалля для автономного полупотока/относительно G, если справедливо неравенство
VxeCl G, DV(x) ::= sup \imti0{[V(f{t)x)- V{x)]lt) < 0.
Дж.Хейлом [145] показано, что если для автономного полупотока/ относительно G существует Л-функция типа Немыцкого-ЛаСалля, для которой множество
Z(V)::= {xeC\G\DV(x)) = 0} не пусто, то любое движение ^^:11+-+X этого полупотока с предком-пактной траекторией приближается к наибольшему инвариантному подмножеству 0 из Z(V).
Из теоремы Дж.Хейла следует, что если все траектории из окрестности HczG для 0 предкомпактны, то множество 0 будет притягивающим с областью притяжения Н. Из этой теоремы следует также, что если множество 0 распадается на несколько компонент линейной связности, то движение f[')x:R+->X будет приближаться к одной из компонент связности множества 0. Теорема Дж.Хейла была обобщена в работах Дж.Уолке-ра [184] и ЖЛЛаСалля [162].
Дальнейшие обобщения теоремы Дж.Хейла связаны с заменой метрического пространства Хна пространство сходимости Фреше и неравенства DV(x)< 0 на более слабые условия.
Функция V:X->R называется обобщенной функцией Ляпунова типа Бота, если из условия
t„->o,Atn)x-*y, V(j{tn+s)x)-V(J{Qx)^Q, seR всегда следует
Дж.Боллом [125] установлено предложение: если
отображение /-» V(f(t)x) непрерывно на (0, оо);
положительная полутраектория у+(х) предкомпактна;
обобщенная функция V: X-*R Ляпунова типа Болла удовлетворяет условию
V(f{tn+s)x) - V(f(Qx) > 0 при /-> с», то
L+(x)nZc(V)*0 Vcelim,^F(/(0*),
L+(x) ::= {уеХ\ 3t-> со, jx -> у, Щф) ~> Пу)),
Zc(F)::={^eX|F№)^) = c, V/>0}.
К.Дафермос [137] показал, что если выполнены условия 1), 2) теоремы Болла и если Х- хаусдорфово топологическое пространство, то при наличии лишь конечного числа непустых множеств МспС\ у+(х), ceL, множество L- {с} одноэлементно и L+{x)(zMc.
Результат Ж.П.ЛаСалля [162] перенесен в работе Дж.Кушнера [157] на стохастические потоки, порожденные непрерывным справа однородным сильно марковским процессом, в работах М. де Гласа [142] и А.А.Шеста-кова [116] на потоки, порожденные нечеткими дифференциальными моделями.
Перейдем к общей характеристике диссертации.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, десяти глав, приложения и списка литературы. Главы состоят из параграфов, в каждом параграфе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы, не входящие в текущий параграф, даются указания на соответствующие главы и параграфы. Первый параграф каждой главы является вводным. Многие параграфы содержат примеры, иллюстрирующие полученные результаты.
Актуальность темы. В настоящее время для каждого класса дифференциальных моделей существует свой отдельный фрагмент теории о существовании решений и их регулярности, свои фрагменты качественной теории и теории устойчивости, и эти фрагменты теорий для различных классов дифференциальных моделей изучаются, как правило, независимо друг от друга и различными методами. Поэтому актуальной задачей при математическом моделировании динамических систем является разработка единого метода в изучении качественных свойств дифференциальных моделей различных классов и повышения общности и эффективности методов их исследования.
При математическом моделировании актуальными задачами являются задачи о существовании решений дифференциальных моделей и выделении искомого решения, а также выяснение таких свойств дифференциальной модели, как ограниченность решений, предельная ограниченность решений, устойчивость по Лагранжу, орбитальная устойчивость и т.д.
При математическом моделировании динамических систем весьма актуально изучение как вопросов об устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных (устойчивость по Ляпунову), так и вопроса об устойчивости решения относительно малых возмущений правых частей (устойчивости при постоянно действующих возмущениях) на бесконечных промежутках времени.
Изучение сложной динамической системы может быть условно разбито на следующие этапы: 1) сбор и обработка исходной информации, 2) создание математической модели динамической системы, 3) исследование возможностей созданной математической модели путем ее качественного анализа, 4) моделирование на компьютере с целью подробного количественного анализа и 5) обработка выходных данных. На этапе качественного анализа математической модели могут вырабатываться рекомендации по методам сбора и обработки исходной информации и выходных данных, а также по приемам моделирования.
При разработке сложных стохастических систем актуально знание свойств процесса, связанного с моментами первого достижения. Оценка моментов времени первого возвращения в фиксированное множество (или даже сам факт конечности этих моментов) позволяет выдать рекомендации по сокращению времени моделирования, необходимого для получения требуемой точности счета. Отметим, что в терминах времени первого достижения формулируются задачи оценки надежности, нахождения периодов занятости, моментов потери требований для систем массового обслуживания и т.д.
Представляется актуальным изучение свойств устойчивости и качественных свойств нечетких дифференциальных моделей, возникающих при математическом моделировании сложных динамических систем при наличии нечеткой постановки задачи и нечеткого описания параметров моделируемой динамической системы.
Методы качественного анализа дифференциальных моделей разработаны с разной полнотой. Наиболее полно качественные методы разработаны для моделей классов ОДУ и ФДУ. Наименее полно качественный анализ разработан для дифференциальных моделей классов ЧДУ и СДУ. И совершенно не разработаны качественные методы исследования неавтономных моделей класса НДУ. Поэтому качественное изучение дифференциальных моделей в настоящее время представляет одну из важнейших задач математического моделирования динамических систем, как на предварительном, так и последующем этапах моделирования.
Актуальное значение для математического моделирования имеет повышение общности и эффективности метода функций Ляпунова. Основной трудностью при применении метода функций Ляпунова к конкретным задачам устойчивости является трудность построения функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям той или иной теоремы. В этой ситуации имеет большое значение развитие метода функций Ляпунова в направлении ослабления требований к функциям Ляпунова, расширения класса используемых функций. Повышение общности и эффективности метода функций Ляпунова достигается использованием обобщенных функций Ляпунова или же вспомогательных функций, значительно отличающихся от функций Ляпунова и которые не обладают свойством невозрастания вдоль движений динамического потока.
В работе впервые предложены алгоритмы решения задач по управлению движением рельсовых средств с помощью нечетких дифференциальных моделей. Компьютерное моделирование основано на создании и исследовании на ЭВМ математической модели динамической системы-совокупности нечетких дифференциальных уравнений, описывающих эту систему. Уравнения (модель) вместе с программой их решения вводят в ЭВМ, имитируя различные значения входных условий функционирования системы, определяют (по реакции модели) величины, характеризующие поведение системы, ее параметры.
Цель работы - создание ключевой математической модели (модели ансамблей); разработка и модификация методов качественного и аналитического анализа моделей классов ОДУ, ФДУ, ЧДУ, КДУ, НДУ, СДУ;
разработка методов локализации предельного множества моделей классов ОДУ, ФДУ, НДУ; получение результатов об устойчивости автономного, неавтономного и общего потоков; исследование нечетких моделей транспортных динамических систем; разработка и реализация алгоритмов в виде проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента при моделировании движения рельсового локомотива по определенному маршруту.
Методы исследования. В диссертации для качественного анализа дифференциальных моделей использован метод обобщенных функций Ляпунова, модифицированный метод ломаных Эйлера, а также развитые автором диссертации методы локализации положительного предельного множества дифференциальных моделей на основе обобщенных функций Ляпунова.
В диссертации использованы методы топологической динамики автономных потоков и прикладного функционального анализа, методы полугрупп (групп) непрерывных операторов, а также метод нормальных форм, метод раздутия особенности автономного потока и метод предельных уравнений, получившие дальнейшее развитие в диссертации.
Научная новизна диссертации состоит в разработке метода обобщенных функций Ляпунова качественного анализа математических моделей классов ОДУ, ФДУ, НДУ; в разработке методов локализации положительного предельного множества для дифференциальных моделей ОДУ, ФДУ, НДУ и в модификации некоторых методов исследования; в построении ключевой дифференциальной модели динамической системы (модели ансамблей); в получении новых результатов об устойчивоподоб-ных и качественных свойствах моделей классов ОДУ, ФДУ, ЧДУ, КДУ, НДУ, СДУ; в распространении некоторых классических результатов теории устойчивости на новые классы дифференциальных моделей; решении ряда новых задач, возникающих при изучении дифференциальных моделей динамики железнодорожного транспорта; в развитии метода ломаных Эйлера для доказательства существования решений моделей классов КДУ, НДУ; в разработке и реализации алгоритмов в виде проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычисли-
тельного эксперимента при моделировании движения рельсового локомотива по определенному маршруту.
Полученные в диссертации результаты являются новыми, они уточняют, обобщают или дополняют результаты отечественных ученых Н.Г.Че-таева, В.В.Румянцева, Н.Н.Красовского, Е.А.Барбашина, В.М.Матро-сова, Н.П.Еругина, И.Г.Петровского, А.А.Самарского, В.В.Немыцкого, В.И.Зубова, А.Ф.Филиппова, И.Г.Малкина, А.А.Шестакова, В.Н.Щен-никова, Е.А.Гребеникова, Ю.А.Рябова, Б.С.Разумихина, В.М.Савчина, О.А.Ладыженской и зарубежных ученых Т.Ура, Ж.П.ЛаСалля, Дж.Хей-ла, Дж.Болла, М.Слимрода, М. де Глаза, Д.Кушнера и других ученых.
Практическая значимость. Проведенные качественные исследования имеют большую практическую значимость при математическом моделировании динамических систем. В работе получены конструктивные доказательства теорем существования методом ломаных Эйлера, причем эти доказательства могут быть положены в основу приближенных методов нахождения решений моделей классов КДУ и НДУ. Результаты анализа нечетких дифференциальных моделей позволяют описывать и обрабатывать исходные данные в случае трудноформализуемых технических задач в условиях нечеткости, определяемой как нечеткой постановкой задачи, так и нечетким описанием параметров моделируемой динамической системы. Результаты об устойчивости дифференциальных моделей находят применение при анализе конкретных математических моделей естествознания и техники. Построенная модель ансамблей, кроме ее теоретической значимости, имеет и практическую значимость при исследовании задач статистической физики. Снятие или ослабление требований непрерывности и дифференцируемости функций Ляпунова позволяют либо облегчить, либо расширить практические применения этих функций, что приводит к повышению эффективности метода функций Ляпунова. Изучение нечеткой дифференциальной модели методом функций Ляпунова позволяет повысить эффективность исследования сложных нелинейных четких дифференциальных моделей путем замены их нечеткими дифференциальными моделями без потери нужной информации. Разработанные и реализованные автором диссертации алгоритмы в виде проблемно-
ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента могут быть использованы при построении автоматизированных систем управления движением локомотива, а также в центрах управления перевозками железнодорожного транспорта. Указанный комплекс подпрограмм способствует внедрению информационных технологий на железнодорожном транспорте.
Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов математического моделирования, теории устойчивости движения и качественной теории динамических систем, теории нелинейных колебаний.
Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании аналитических и качественных методов, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на обсуждениях на научных семинарах и конференциях. Для теорем даны строгие и корректные доказательства.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*]—[40*]. По теме диссертации и родственным к теме вопросам опубликованы работы [1*]—[55*] (см. список литературы к диссертации).
Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту. В совместно опубликованных работах научному консультанту А.А.Шес-такову принадлежат постановки задач. Другим соавторам принадлежит рассмотрение ряда технических деталей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на международной конференции EquadifF6 (Брно, 1985 г.); на международной научной школе «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Иркутск, 1989 г.); на VIII конференции СНГ «Качественная теория дифференциальных уравнений» (Самарканд, 1992 г.); на межвузовских научно-методических конференциях «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1996, 1999 гг.); на XXXVIII и XXXIX Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин в Российском
университете дружбы народов (Москва, 2002, 2003 гг.); на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (1989, 1991, 1992, 1993, 1995, 1996, 1997, 2001, 2002, 2003 гг.); на научно-исследовательском семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им.А.А.Дородницына РАН (1997, 2003 гг.); на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша (1998 г.); на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании Российского университета дружбы народов (1999, 2002 гг.); на научном семинаре по дифференциальным уравнениям МГУ им. М.В.Ломоносова (1999 г.); на научном семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 2000 г.); на втором Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» (NDA'2) (Москва, 2002г.); на совместном заседании кафедры математического моделирования и кафедры информатики и методов оптимизации Тверского государственного университета (Тверь, 2003 г.), на научном семинаре кафедры кибернетики Московского института электроники и математики (Москва, 2003 г.).
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
На защиту выносятся следующие результаты.
I. Построение ключевой дифференциальной модели динамической систе
мы {модели ансамблей), частными случаями которой являются модели
классов ОДУ, ФДУ, ЧДУ, КДУ, НДУ, СДУ. Это построение лежит в ос
нове единого подхода в изучении устойчивоподобных и качественных
свойств дифференциальных моделей, позволяющее существенно допол
нить и уточнить результаты исследований уже известных дифференци
альных моделей.
II. Разработка и реализация алгоритмов в форме проблемно-ориенти
рованного комплекса подпрограмм «LOCOMOTION» для проведения вы
числительного эксперимента с целью математического моделирования
движения рельсового средства (локомотива) по определенному маршруту.
Разработка методов локализации предельного множества моделей классов ОДУ, ФДУ, НДУ на основе обобщенных функций Ляпунова для этих моделей. Эти методы лежат в основе единого подхода в изучении устойчивоподобных и качественных свойств дифференциальных моделей.
Модификация и усовершенствование методов исследования: геометрического метода исследования устойчивости инвариантных компактов автономных потоков с помощью регулярных поверхностей Ляпунова, метода обобщенных функций Ляпунова исследования моделей классов НДУ, КДУ, метода нормальных форм и метода раздутия особенности дифференциальной модели, а также метода ломаных Эйлера построения решений дифференциальных моделей классов КДУ и НДУ.
V. Результаты для автономного и общего потоков:
-об устойчивости и асимптотической устойчивости инвариантного компакта при наличии регулярной поверхности Ляпунова соответствующего типа,
о невозможности существования седлового компакта гиперболического типа,
об устойчивости движений общего потока.
VI. Результаты для моделей классов ОДУ и ФДУ:
-о локализации положительного предельного множества моделей классов ОДУ и ФДУ,
о несмещенности положительного предельного множества асимптотически автономной модели класса ФДУ,
об устойчивости ограниченного инвариантного множества модели класса ФДУ на основе пролонгации решений.
VII. Результаты для моделей классов КДУ и НДУ:
о существовании и единственности решений,
об устойчивости и асимптотической устойчивости,
о локализации предельного множества неавтономной модели класса НДУ.
VIII. Результаты для дифференциальных моделей классов НДУ и СДУ:
- о связи между равномерной а-устойчивостью нулевого решения мо-
дели класса НДУ и устойчивостью по вероятности соответствующей модели класса СДУ,
-об устойчивости по вероятности и асимптотической устойчивости по вероятности для модели класса СФДУ,
-об устойчивости почти наверное и асимптотической устойчивости почти наверное для модели класса СФДУ.
IX. Результаты для конкретных дифференциальных моделей:
-об устойчивости нулевого решения нелинейного уравнения теплопроводности,
-об устойчивости решений модельного операторного уравнения в банаховом пространстве,
-о неустойчивости автономной дифференциальной модели в R3 с кратным нулевым собственным значением,
об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для модели класса НДУ,
об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для модели класса ФДУ,
построение и исследование нечеткой дифференциальной модели железнодорожного экипажа и решение ряда задач, связанных с вождением транспортных средств в условиях нечеткой неопределенности,
применение теории локализации предельного множества в численном анализе некоторых моделей,
-моделирование движений, описываемых нечеткими функциями и уравнениями,
- моделирование движений локомотива по фиксированному маршруту,
-алгоритм исследования на устойчивость автономной дифференци
альной модели в R2.
Сокращения и обозначения. Приведем список некоторых сокращений и обозначений, часто используемых в диссертации.
Модель класса ОДУ - математическая модель, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением;
модель класса ФДУ- математическая модель, описываемая функционально-дифференциальным уравнением;
модель класса ЧДУ- математическая модель, описываемая уравнением с частными производными;
модель класса КДУ - математическая модель, описываемая дифференциальным уравнением в контингенциях, или дифференциальным включением;
модель класса НДУ- математическая модель, описываемая нечетким дифференциальным уравнением;
модель класса СДУ- математическая модель, описываемая стохастическим дифференциальным уравнением;
модель класса СФДУ- математическая модель, описываемая стохастическим функционально-дифференциальным уравнением;
модель класса СЧДУ - математическая модель, описываемая стохастическим дифференциальным уравнением с частными производными;
::= равно по определению;
R,R+,R~- множество всех действительных чисел, всех неотрицательных действительных чисел и всех неположительных чисел соответственно;
Я" - «-мерное евклидово пространство;
{а\Р(а)} - множество элементов вида а, для которых верно условие Р(а);
Dom(^), D(A)- область определения отображения или оператора А;
fr (А), ЗА - граница множества А;
ті А - внутренность множества А;
СЫ-замыкание множества А',
lim {f(x)\x->a}- множество всех предельных точек функции fix) при х->а;
х-*а
1іт{я„|л-»оо}- множество всех предельных точек последовательности
ап при я->оо;
х\а, хіа -х стремится к а снизу или сверху;
АхВ - декартово произведение множеств А и В\
В(А, г) - г-окрестность множества А;
. dx
х = производная от х по переменной t\
(*, у) или х-у - скалярное произведение векторов х и у.
Благодарности. Автор выражает благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук профессору РГОТУПС А.А.Шестакову за постановки задач и обсуждение полученных результатов. За ценные советы и замечания автор выражает благодарность доктору физико-математических наук профессору РГОТУПС О.В.Дружининой, доктору физико-математических наук профессору Е.А.Гребеникову, доктору физико-математических наук профессору Тверского государственного университета А.Н.Катулеву, доктору физико-математических наук профессору Российского университета дружбы народов В.М.Сав-чину, доктору физико-математических наук профессору Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева В.Н.Щенникову, доктору физико-математических наук профессору Тверского государственного университета В.А.Колдунову, доктору физико-математических наук профессору, зав. кафедрой кибернетики Московского института электроники и математики (технического университета) В.Н.Афанасьеву.
Некоторые перспективные направления исследований в математическом моделировании динамических систем и в качественном анализе их моделей
Модели класса ОДУ рассматривались с точки зрения несмещенности предельных множеств решений в работе [14 ]. Работа [17 ] является обобщением работы [112] на случай предельных множеств решений Ф-уравнений в фазовом пространстве Я", а в работах [8 , 10 , 12 , 20 ] получены также результаты о локализации предельных множеств в пространстве предыстории С. Локализация предельных множеств моделей классов ЧДУ, КДУ, НДУ, СДУ рассматривалось в монографиях [116] и [184]. Дальнейшим развитием результатов монографий [116] и [184] являются работы [1 -4 , 24 -28 , 37 -39 ].
В диссертации ставится и решается задача компьютерного моделиро вания движения локомотива по определенному маршруту. Построение математических моделей ведется на базе дифференциальных уравнений с нечеткими параметрами. Автором разработан проблемно-ориентированный комплекс подпрограмм «LOCOMOTION», обеспечивающий реализацию полученных алгоритмов и моделирующий движение локомотива по маршруту с заданной средней скоростью на каждом из нескольких участков маршрута.
В отличие от известных вычислительных пакетов MATHCARD и MATHLAB, которые позволяют выполнять только не связанные между собой стандартные математические вычисления, комплекс «LOCOMOTION» нацелен на решение конкретной технической задачи, где все вычисления работают на общий результат. Конкретные вычисления в программе «LOCOMOTION» можно проводить с помощью тех же алгоритмов, что и в указанных выше пакетах, а можно использовать другие алгоритмы, более удобные именно для указанной технической задачи.
Если в «LOCOMOTION» ввести нечеткие параметры, сохраняемые в файле данных «Природа» с возможными изменениями «погоды», «климата» и др., то если датчики не могут полностью отражать значения из «Природы» при расчете движения, то при движении отклонения в движении могут давать дополнительную информацию о «Природе» и это может учитываться в повторном движении по тому же маршруту. Получаем элементы обучаемости, и тогда программа «LOCOMOTION» будет близка к моделированию на основе искусственного интеллекта. Если «LOCOMOTION» внедрить на конкретном локомотиве, с конкретными датчиками, то благодаря элементам обучаемости система будет давать конкретные указания машинисту при движении.
Создание датчиков и анализ полученной на них информации на компьютерных системах (той или иной степени сложности) должны совершенствоваться для всех видов технической деятельности: датчики для звука, света, температуры и т.п. могут помогать выявлять неисправности или разрегулированность технической системы и т.д. При этом совершенствование обработки информации от датчиков с помощью компьютерных систем также будет основой для применения искусственного интеллекта.
При развитии программы «LOCOMOTION» требуется переход от программирования на языке BASIC на программирование на Паскале или даже C++. Последний язык наиболее приспособлен к развитию и к усложнению программы. Написанная на Паскале (тем более на C++) позволяет разбивать программу на отдельные части, каждая из которых выполняется программистом независимо от программирования других частей.
Пусть Е- банахово пространство, М- метрическое пространство. При приложении обобщенного прямого метода Ляпунова к моделям физических или технических систем возникают проблемы, отличные от классического прямого метода Ляпунова. Отметим следующие перспективные направления, являющиеся актуальными для моделей физических и технических систем. 1. Проблема о моделировании физической или технической системы с целью, чтобы поток (полупоток) был определен на некотором физически уместном фазовом пространстве. Это направление сводится к задачам сведения различного класса дифференциальных моделей к автономной модели вида х = Ах, где х - элемент специально подобранного фазового пространства ЕиА- оператор (вообще говоря, нелинейный) в этом пространстве, а затем к задаче сведения полученной модели к потоку (полупотоку) на Е. 2. Проблема о моделировании потока (полупотока) нелинейной автономной модели х = Ах в М. Эта проблема полностью еще не решена. Большинство полученных результатов относятся лишь к порождению квазисжимающих нелинейных потоков (полупотоков). Построение нелинейных потоков (полупотоков), не являющихся квазисжимающими, является важной задачей обобщенного прямого метода Ляпунова потоков. Условия теоремы Крендалла-Лиггета о порождении нелинейных потоков являются слишком ограничительными для приложений. Возникает задача об ослаблении этих условий. 3. Проблема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы модель х = Ах на Е порождала полупоток на Е. 4. Проблема о локализации положительно инвариантных множеств фазового пространства (с возможно пустым ядром) для потоков на М с помощью полунепрерывных снизу обобщенных функций Ляпунова. Эта проблема решена лишь частично. 5. Проблема оценки первой производной V вдоль движений полупотока на М с помощью полунепрерывных снизу обобщенных функций Ляпунова. Эта проблема решена также частично и основные результаты здесь относятся к порожденным полупотокам в смысле Крендалла-Лиг-гета. 6. Проблема о предкомпактности полутраекторий в бесконечномерном пространстве. Это новое направление, отсутствующее в классическом прямом методе Ляпунова. Проблема о предкомпактности решена лишь для ряда полупотоков на М. Для многих важных для приложений моделей проблема о предкомпактности ограниченных траекторий в бесконечномерном пространстве еще не решена. 7. Проблема нахождения практически пригодных условий а-устойчи-вости моделей динамических систем. 8. Проблема реализации алгоритмов в виде проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента при моделировании уравнений движения транспортного экипажа на базе нечетких моделей, при условиях, отличных от изученных в диссертации.
Поверхности Ляпунова. Условия устойчивости компакта автономного потока
Отметим, что если W есть определяющая окрестность седла (положительного, отрицательного квазиседла) С, то и любая окрестность UaW для С также будет определяющей для С.
Понятие седла впервые ввел Т.Ура [180]. Отметим, что каждое из множеств Z9-Z11 может иметь (с оговорками) общие точки с множествами Mj-Mg и что множество Z\2 целиком лежит в М9. Отметим также, что в любой содержащей точки из Н+ или #_ окрестности содержатся также и точки из N.
Определение 5. Локальным типом особенности (f, X, С) относительно определяющей окрестности UeO(Q называется перечень (Zn, ...,Zis), s \2 множеств Z„ 1 / 12 относительно Wтаких, что каждая достаточно малая окрестность VeO(C) имеет непустое пересечение с каждым из множеств Z/1(..., Zjs и состоит только из точек множеств Zn, ..., Zis.
Из определения 5 следует, что СсХ будет седлом (положительным, от рицательным квазиседлом) с определяющей окрестностью W тогда и только тогда, когда в его локальном типе содержатся множества Н (Н+, Я_ соответственно). Теорема 2. Инвариантный компакт СсХ устойчив в полоэ/сительном {отрицательном) направлении тогда и только тогда, когда его локальный тип содероісит только множества В+, Н-и N (соответственно только В-, Н+ и N); двусторонне устойчив тогда и только тогда, когда его локальный тип (N). Доказательство. Для доказательства утверждения об устойчивости в положительном направлении достаточно (ввиду теоремы 1) показать, что Н+ не может входить в локальный тип компакта С. Действительно, если точки из Н+ имеются в любой окрестности VeO(Q, то для данной окрестности UeO(Q и любой окрестности VeO(Q найдется точка xeVnH+ такая, что y+(x) U и по определению 2 компакт С не устойчив в положительном направлении. Для устойчивости в отрицательном направлении доказательство аналогично. Отсюда следует утверждение о двусторонней устойчивости. Из доказанной теоремы следует, что компакты, устойчивые по Ляпунову хотя бы в одном направлении, являются антиседлами. Теорема 3. Инвариантный компакт СаХ асимптотически устойчив в полоэ/сительном (отрицательном) направлении тогда и только тогда, когда его локальный тип (В+) (соответственно (В.)). Доказательство. Так как асимптотически устойчивый в положительном направлении компакт С устойчив в положительном направлении, то его локальный тип содержит только множества В+, N. и N. Так как в некоторой его окрестности все точки должны иметь положительные предельные множества в С, то в этой окрестности нет точек множеств Н- и N и поэтому локальный тип должен быть (В+). Для асимптотической устойчивости в отрицательном направлении доказательство аналогично. Теорема доказана. Из теоремы 3 следует известный факт о том, что в динамических системах асимптотическая устойчивость особенности в обоих направлениях невозможна. Пример 1. Для линейной модели dxldt = Ax в пространстве 1С в зависимости от собственных значений матрицы А получаем особенность х = О типа (В+) или (В.) в случае асимптотической устойчивости в положительном или в отрицательном направлении, типа (B+B-NH) или (В+В Н) в случае неустойчивого седла, типа (N) в случае двусторонней устойчивости. Определение 6. Инвариантный компакт СаХ называется: - простым с изолятом WeO(C), если CI W\C не содерэ/сит положительных и отрицательных предельных мноэ/сеств своих точек; - изолированным с изолятом WeO(C), если CI W\C не содероісит целых траекторий. Круг XczR2 с обычной топологией, в котором одна точка О границы особая и все остальные траектории есть проходящие через О окружности из X с выброшенной точкой О, есть пример инвариантного простого компакта О типа (), не являющегося изолированным компактом. Отметим, что изолят W для простого или изолированного компакта С можно выбрать целиком лежащим в заданной окрестности UeO(C), и любая лежащая в изоляте W окрестность также будет изолятом. Теорема 4. Инвариантный компакт С (с изолятом W) является простым тогда и только тогда, когда CI W\C не содероісит минимальных множеств. Изолированный компакт является простым.
Доказательство. Если компакт С не является простым, то найдется точка xeCl W\C, для которой одно из предельных множеств лежит в CI W\C, а значит и любое минимальное подмножество этого предельного множества лежит в CI W\C. Если инвариантный компакт С в любой своей окрестности WeO(C) имеет минимальное множество MvvczC\ ИЛС, то для любой точки yeMw траектория у(у) лежит в Mw вместе со своими предельными множествами и поэтому С не является простым. Таким образом, первое утверждение теоремы доказано.
Локализация предельного множества неавтономной модели класса ОДУ на основе обобщенных функций Ляпунова
Предположим, что для каждой точки (у, х)єР существует по крайней мере одно непродолжаемое решение ф:(а,сй)- (7 такое, что е(а,со) и ф(у)=л\ Множество всех таких решений будем обозначать P(syx), а через Q((p) будем обозначать предельное множество {xeC\G\ Э/Дсо,ф(/А)-»л } He ft продолжаемого решения ф:(а,со)-»С Если У/є(а,со), (t, ф(/))єР, то будем говорить, что график функции q :(a,Q)- G лежит в Р. Будем называть решение ф:(а,сй)-»Є (неограниченным при rfco, если для некоторого мє(а,со) множество { p(t)\te[u,(u)} (не)ограничено. Если-lim/t(l/p(/) =+со, то будем говорить, что функция ф:(а,сй)-»(7 уходит на бесконечность.
Лемма 1. Для ограниченного при /Тсо решения ф:(а,ш)-»Сг модели (1) класса ОДУ множество О(ф) есть непустое связное компактное множество, для которого
Если решение (p:(a,ou))- G неограниченное при /Тсо, то П(ф) или пусто, или оно является неограниченным замкнутым множеством, возможно распадающимся на несколько неограниченных компонент связности.
Доказательство. Если решение ф:(а,со)-»С ограниченное, то для любой последовательности /лТсо последовательность ф(/А) лежит в некотором шаре В(0, К) и поэтому имеет предельные точки. Поэтому О(ф) не пусто и ограничено. Пусть х - какая-либо предельная точка множества П(ф), и пусть последовательность элементов хкеС1((р) сходится к этой точке. Если для каждого фиксированного п последовательность /„ tco выбрана так, чтобы Ф0Л )-» , ТО диагональная последовательность tnn обладает свойствами /Пі„Тсо и Ф( ,„)-»Х, то есть хеС1((р), и поэтому П(ф) замкнуто. Таким образом, П(ф) является компактом.
Для любых двух точек х,уеС1((р) найдется последовательность непересекающихся интервалов (tk, Uf) такая, что tk, w Tco, ф -» , {t - y и последовательность функций ц/л:[0,1]-»(0,/г), определяемых условием при 0 1, равностепенно непрерывна и равномерно ограничена. Поэтому последовательность функций \\tk имеет предельную функцию vj/:[0,1]-»(0, И), все значения которой лежат в П(ф) и поэтому П(ф) связно. Если (2) неверно, то найдутся є 0 и последовательность /fcTco такие, что (ФО .СХФ)) , Т0 есть ф( )Я(Ф(ф),е) при всех натуральных к. Для фиксированного xeQ(q ) можно подобрать последовательность wAtco такую, что р(Гд)є2?(П(ф), є) при всех keN, uk tk и (pit x. Ввиду непрерывности функции ф и расстояния е(«, О(ф)) найдется ske(tk,u такое, что е(ф(і,Л),П(ф)) = є. Так как последовательность ф предкомпактна, из нее можно выбрать сходящуюся к уеО.(ц ) подпоследовательность, и по непрерывности расстояния е(% П(ф)) имеем е(у, П(ф)) = є. Получили одновременно е(у, П(ф)) = є и єП(ф), что невозможно. Следовательно, предположение о неверности условия (2) ложно и поэтому (2) верно. Пусть решение ф:(а,со)-»(7 не ограничено. Если оно уходит на бесконечность при /too, то П(ф) пусто. В противном случае существуют последовательности tkt такие, что соответствующие последовательности ф(/ ) ограниченные, и поэтому О(ф) не пусто. Если хєП(ф), то существует последовательность непересекающихся интервалов (tk, и такая, что Ввиду непрерывности функции ф для любого г 0 найдется число vke(tk,u,) такое, что ф( - Ф( ) = г. Последовательность ф(г ) имеет хотя бы одну предельную точку .уєП(ф), причем 11 - 11 = г сколь угодно велико, и поэтому П(ф) неограничено. Замкнутость множества П(ф) доказывается так же, как и в случае ограниченного при /Тсо решения. Покажем невозможность ограниченных компонент связности. Если QQ - такая ограниченная компонента, то П0 есть компакт и найдется є 0 такое, что в множестве B(Q0, s)\Q0 нет точек из П(ф). Взяв точку xeQ.Q и точку yeQ\Cl0, выберем последовательность непересекающихся интервалов (tk, и,) так, что tk, t Tco, ф(гЛ)- л:, ф(иА)-»у. Ввиду непрерывности функции ф найдется число vke(tk,u,) такое, что (( , П0) = є/2. Последовательность ф(г имеет хотя бы одну предельную точку 2єП(ф), причем e(QQ, 2) = є/2, то есть zeB(Q.0, є)\П0 и гєП(ф) одновременно, что невозможно. Это доказывает отсутствие ограниченных компонент связности. Лемма доказана. Пример 1. Для функции ф::= (x,y):R- -R , определяемой равенствами x{t) = t cos(r)/(l + ? cos(r)), y{i) = t sin(r), при /tco ::= +co предельным множе ством П(ф) будет пара прямых х=±1, причем для tk=K/2+nk-+ +00 имеем (ф( ) ЗДф)) = 1 ПРИ всех к и поэтому для неограниченного при /tea решения (p:(a,(u)- G утверждение (2) о связности несколько изменяется. Если положить П (ф) = (ф)и{+оо}, е(ф,0)=О и е(ф,+оо)=1/ф, то для случая неограниченного при ftco решения ср:(а, b)- G утверждение (2) примет вид Определение 1. Функция VeC называется функцией Ляпунова относительно модели (1) класса ОДУ на множестве PczRxD (обозначение VeLz(P)), если а) для всякого ограниченного множества MczD существует CMeR TR-KOG,4ToV(t,x) Cw V(t,x)eRxM; b)DV(t,x) 0, V(t,x)eRx(C\GnD),rae функция D V(t, x) называется производной от функции V вдоль решений модели (1) и вычисляется по формуле D V(t,х) ::= sup {sup\imH0(V(t+h, (p(t+h)) - V(t, ?(t)))/h\ фє Ф(г, x)}. Если функция VeLa(P) локально липшицева по х, то производная DV может быть вычислена по формуле
Определения и вспомогательные предложения. Существование движений
Кусочно-гладкая функция x = x(t) называется г-решением модели (1), если для почти всех / из интервала определения этой функции выполняется (0-Л (011 е и существует решение y(t), для которого (/)-.КОИ s/2 при всех / 0. Кусочно-гладкая функция x = x(t), заданная условиями называется ломаной Эйлера с шагом h для уравнения (1).
Теорема 1. Если функция Ді) допустимая, то есть если.\\х(і)-у(і)\\йр\\х-у\\ для некоторого р 0 всех x,yeR2, то для любого Т 0 и любой начальной точки xQ MODICHO построить ломаную Эйлера с шагом h = h(z), которая будет г-решением уравнения (1) на отрезке [0; 7] и будет отличаться от единственного решения y{t), у(0)=х0 модели (1) не более чем на є/2.
Доказательство. Утверждение следует из результатов параграфа 5.2 главы 5. Нулевое решение д; = 0 уравнения (1) называется устойчивым, если для любого начальной точки х0 любое проходящее через х0 решение y(t) удовлетворяет условию Можно предложить следующий алгоритм исследования нулевого решения на устойчивость с использования компьютера. 1. Проверяются наличие условий, при которых существуют є-решения любого є 0. Если такие условия получить не удалось, то эффективность следующего алгоритма может оказаться низкой и результаты ненадежными. 2. Выбираем радиус R окрестности нуля, в которой исследуется устойчивость. Строят на экране монитора центральную точку О и окружность радиуса R с центром О. С помощью датчика случайных чисел выбираем точку (х,у) этого круга М и строим ломаную Эйлера с этой начальной точкой и пробным значением для шага h и для времени Т. Ломаная строится до тех пор, пока ломаная не выйдет из М или закончится время Т. Далее подбираем подходящие значения h, Т, наиболее удобные для этой начальной точки (а также для удобного рисунка ломаной на экране). Повторяем построение ломаной в другой точке и так далее. Если для начальных точек с любым начальным сколь угодно малым модулем R0 R ломаные всегда выходят из М, то делается вывод, что устойчивости нет. Алгоритм закончен. Если найдется R0 0 такое, что для начальных точке с нормой не выше RQ ломаные никогда не выходят из исходного круга, то делаем вывод, что все решения из Д0-окрестности ограничены по модулю числом R и делаем следующий шаг. Если при этом все ломаные с начальными точками из Л0-окрестности стремятся к нулю с точностью вычислений, делаем вывод, что Ло-окрестность нуля будет областью притяжения для нулевого решения. 3. Заменим R на R0 и повторим второй шаг. 4. После конечного числа шагов делаем общий предварительный вывод: 1) или нулевое решение неустойчиво и в каждой окрестности нуля решения покидают каждую Л-окрестность нуля; 2) или нулевое решение неустойчиво, но решения в некоторой Лі-окре-стности нуля ограничены по модулю числом R0t 3) или нулевое решение асимптотически устойчиво с областью притяжения в виде Ri-окрестности нуля; 4) или нулевое решение асимптотически неустойчиво, но притягивающее с областью притяжения в виде ./ -окрестности нуля. Для подтверждения этих выводов предлагаются следующие алгоритмы построения поверхностей Ляпунова. 1. Для проверки гипотезы об асимптотической устойчивости строим одну из ломаных Эйлера LE, приближающуюся (любая ломаная имеет такое свойство при выводе 4) к началу координат. Проводим через начальную точку ломаной перпендикуляр L к начальному участку такого размера, что на каждой точке л этого перпендикуляра слева и справа начальной точки направление движения f(x) образовывало острый угол (как на рис. 1) с L. Если этот угол становится маленьким в точке у, то строят аналогичный перпендикуляр L к вектору f(x) и ломаную с начальной точкой у. И так далее. 194 Пусть на последнем перпендикуляре L пересекает LE, тогда меняя наклон последнего перпендикуляра, получим ломаную поверхность Ляпунова S\, которую все ломаные Эйлера персекают снаружи внутрь и поэтому движения (при /-»оо) уравнения остаются ограниченными внутри S\. Затем строят внутри семейство поверхностей Ляпунова с теми же свойствами (рис. 2), по которым можно получить аналитическое выражение для функции Ляпунова и доказать асимптотическую устойчивость. 2. Если удается построить в любой окрестности нуля подобную поверхность Ляпунова, на части которой ломаные идут по этой поверхности (т.е. с нулевым наклоном к ней), то это доказывает устойчивость. 3. Если в малой окрестности нуля таких поверхностей Ляпунова только конечное число, то вблизи нуля решения лишь ограничены. Аналогичный алгоритм можно разработать для автономных и неавтономных систем вида (1) в пространствах большей размерности и реализовать их в виде компьютерной программы.
