Содержание к диссертации
Введение
1. Математическая модель движения динамических систем с гироскопической структурой
1.1. Математическая модель движения динамической системы с гироскопической структурой в форме Рауса
1.2. Линейная модель движения динамических систем в специальных координатах
1.3.О математической теории параметрического резонанса 29
1.4. Области неустойчивости в случае параметрического резонанса в динамической системе с гироскопической структурой при наличии диссипативных сил
Выводы и результаты 37
2. Исследование линейной математической модели некоторых динамических систем с гироскопической структурой при параметрических возмущениях
2.1. Исследование математической модели динамической системы с гироскопической структурой для различных матриц возмущения при координате
2.2. Исследование математической модели динамической системы с гироскопической структурой для различных матриц возмущения при производной
2.3. Исследование влияния диссипативных сил на устойчивость движения динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях
2.4. Об опасности комбинационных резонансов в динамических системах с гироскопической структурой при наличии диссипативных сил
Выводы и результаты 63
3. Исследование линейной математической модели гироскопически стабилизированных динамических систем при параметрических возмущениях
3.1. Исследование математической модели гироскопически стабилизированных динамических систем для симметрических и кососимметрических матриц возмущений при координате
3.2. Исследование математической модели гироскопически стабилизированных динамических систем для симметрических и кососимметрических матриц возмущений при производной
Выводы и результаты 80
4. Применение полученных результатов к исследованию параметрических резонансов в некоторых гироскопических системах
4.1. Исследование устойчивости гиромаятника на вибрирующем основании 81
4.2. Исследование четырехгироскопной гировертикали при вибрации основания
4.3.О параметрическом резонансе однороторного гирокомпаса при трехкомпонентной вибрации основания
4.4. Исследование параметрического резонанса двухроторного гирокомпаса при специальном маневре корабля.
Выводы и результаты 115
Заключение. Основные результаты и выводы 117
Список использованной литературы 119
Приложение А
- Линейная модель движения динамических систем в специальных координатах
- Исследование математической модели динамической системы с гироскопической структурой для различных матриц возмущения при производной
- Исследование математической модели гироскопически стабилизированных динамических систем для симметрических и кососимметрических матриц возмущений при производной
- Исследование четырехгироскопной гировертикали при вибрации основания
Введение к работе
Изучение моделей динамических систем с гироскопической структурой, описывающих движение данных систем при параметрических возмущениях с учетом диссипации, является актуальной задачей, поскольку динамические системы с гироскопической структурой встречаются во многих областях техники. Это гироскопические системы (гировертикали, гирокомпасы, гиростабилизаторы и т.д.), которые применяются в авиации и на морских судах для навигации и автоматического управления; на танках для стабилизации прицелов и орудий; в нефтяной и горнорудной промышленности при бурении скважин, прокладке шахт и тоннелей и т.д. В реальных условиях эксплуатации гироприборы находятся под воздействием разнообразных возмущений, которые могут привести к параметрическим резонансным явлениям, нарушающим нормальную работу гироприборов. Предвидение и предупреждение резонансных явлений - неотъемлемая часть расчетов на точность и стабильность работы гироскопических систем.
Изучение линейной математической модели движения динамических систем с гироскопической структурой в условиях параметрических возмущений и диссипации приводит к исследованию линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопическими связями, что представляет трудную для исследования задачу.
С такими уравнениями приходится встречаться при исследовании движения моделей гироскопических систем в линейном приближении при вибрациях основания, когда центр тяжести гироприбора смещен относительно точки подвеса (гиромаятник, гирокомпас и т.д.). Смещение центра тяжести может происходить в процессе его эксплуатации вследствие температурных напряжений, износа подшипников и т.д.
Большое число задач физики и техники сводится к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, что подчеркивает актуальность указанной проблемы. Достаточно указать на
5 теорию нелинейных колебаний, небесную механику, динамическую устойчивость упругих систем, проблемы волновой механики, колебаний коленчатых валов.
Несмотря на многочисленные исследования по изучению уравнений с периодическими коэффициентами, выполненные отечественными и зарубежными учеными, некоторые вопросы остаются нераскрытыми. Задача о влиянии малых диссипативных сил для системы с гироскопическими связями при параметрическом резонансе является актуальной, так как в реальных системах всегда имеет место диссипация, а этот вопрос изучен недостаточно. Также важной является задача об устойчивости гироскопически стабилизированных динамических систем при различных классах параметрических возмущений, которая на настоящий момент практически не изучена.
Необходимо отметить, что учет диссипативных сил в линейной модели движения делает непригодными многие методы, применяемые для исследования параметрических резонансов в канонических системах. Поэтому актуальна задача построения упрощенной линейной модели рассматриваемой динамической системы, удобной для дальнейшего исследования. В диссертации рассматриваются вопросы устойчивости решений определенного класса векторных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами и гироскопической структурой при наличии малой диссипации. К исследованию таких дифференциальных уравнений приводят многие задачи техники, физики и систем автоматического управления в случае параметрических колебаний с такими уравнениями приходится встречаться также при исследовании движения гироскопических систем в линейном приближении при вибрациях основания, когда центр тяжести гироприбора смещен относительно точки подвеса (гиромаятник, гирокомпас и т.д.). Смещение центра тяжести может происходить в процессе его эксплуатации вследствие температурных напряжений, износа подшипников и
т.п.
Гироскопические системы применяются в различных областях техники: в авиации и морских судах для навигации и автоматического управления; на танках для стабилизации прицелов и орудий; в нефтяной и горнорудной промышленности при бурении скважин, прокладке шахт и тоннелей и т.д. Сложные условия эксплуатации современной техники предъявляют очень высокие требования к точности и надежности работы гироскопических устройств. В реальных условиях эксплуатации гироприборы находятся под воздействием разнообразных возмущений, которые могут привести к возникновению параметрических резонансных явлений, нарушающих нормальную работу гироприборов. Предвидение и предупреждение резонансных явлений - неотъемлемая часть расчетов на точность и стабильность работы гироскопических систем.
Погрешности в работе гироприборов могут происходить также из-за параметрических резонансов, возникающих в гироскопических устройствах вследствие угловых и линейных вибраций основания прибора. Такие вибрационные колебания гироприбора на различных диапазонах частот порождаются работой двигателя; сверхзвуковым течением газов на выходе из сопла; изгибно-крутильными деформациями крыльев и хвостового оперения.
Изучение вопросов параметрического резонанса в гироскопических системах (в линейном приближении) приводит к исследованию линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопическими членами. К исследованию указанных дифференциальных уравнений приводят многие задачи физики и техники.
Для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, где отсутствуют гироскопические члены, известны теоремы об устойчивости решений М. Г. Крейна и К. Г. Валеева. Несомненный интерес представляет обобщение этих результатов на системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопическими связями. Так как в реальных гироскопических системах всегда присутствуют силы трения, то весьма важной является задача изучения
7 влияния малых диссипативных сил на поведение системы в случае параметрического резонанса. Для определенных линейных систем без гироскопических членов в случае комбинационного параметрического резонанса в работах некоторых исследователей была отмечена возможность расширения области неустойчивости при наличии малого трения.
Для систем с гироскопическими связями актуальной является задача о влиянии малых диссипативных сил при параметрическом резонансе, так как эти вопросы изучены недостаточно. Отметим также, что уравнения в вариациях для периодических решений широкого класса нелинейных систем, представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, которые могут быть истолкованы как уравнения параметрических колебаний.
Целью работы является построение линейной модели динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях с учетом диссипации в специальных координатах, разработка приближенного аналитического метода исследования устойчивости таких систем для различных классов параметрических возмущений, создание численного метода и комплекса программ для нахождения границ областей неустойчивости.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
1. Построить линейную модель динамической системы с
гироскопической структурой при действии диссипативных сил и
параметрических возмущений в специальных координатах.
2. Разработать приближенный аналитический метод исследования
устойчивости динамической системы при действии гироскопических и
диссипативных сил в случае наличия параметрических возмущений на основе
ее линейной модели.
3. Провести исследование влияния диссипативных сил на устойчивость
динамических систем с гироскопической структурой в случае простого и
8 комбинационного параметрических резонансов. Изучить движение гироскопически стабилизированных систем для различных классов периодических возмущений.
4. Разработать численный метод и комплекс программ для построения границ областей неустойчивости системы и применить созданные методы к исследованию параметрического резонанса в конкретных гироскопических системах.
Научная новизна работы
Научная новизна разработанной линейной модели движения динамической системы с гироскопической структурой заключается в учете действия диссипативных сил и параметрических возмущений, а также в приведении ее к специальным координатам, удобным для дальнейшего исследования.
Разработан приближенный аналитический метод исследования устойчивости движения для построенной модели в случае параметрических возмущений, новизна которого заключается нахождении границ области неустойчивости непосредственно через параметры систем и обобщении результатов, касающихся устойчивости движения динамических систем при параметрических возмущениях на более широкий класс динамических систем с гироскопической структурой.
3. Получены данные о расширении границ области неустойчивости в
случае комбинационного параметрического резонанса при наличии в системе с
гироскопической структурой достаточно малого трения, научная новизна
которых заключается в определении критериев, при которых происходит
расширение границы области неустойчивости на плоскости параметров
системы. Также получены новые данные об устойчивости гироскопически
стабилизированной системы для различных классов параметрических матриц
возмущений.
9 4. Разработан численный метод и комплекс программ для построения границы области неустойчивости в случае параметрического резонанса, опирающийся на новые подходы, предложенные в диссертационной работе.
Теоретическая и практическая ценность работы
Теоретическая ценность работы заключается в разработке приближенного метода исследования устойчивости для линейной модели динамической системы с гироскопической структурой по виду периодических матриц возмущений и установлении критерия расширения границы области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса при наличии малой диссипации.
Практическая ценность работы заключается в применении разработанных методов при исследовании устойчивости движения гироскопических приборов (гировертикали, гирокомпаса, четырехгироскопной вертикали) в случае параметрического резонанса. Получены соотношения, позволяющие отыскать параметры гироскопических приборов, исключающие возможность наступления простого параметрического резонанса. Разработанные численные методы используются для построения границ области неустойчивости.
В первой главе показано, что линейная модель движения динамической системы с гироскопической структурой при действии параметрических возмущений диссипативных сил в нециклических координатах описывается векторным линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Далее модифицированная линейная модель движения системы записывается в специальных координатах, приводятся основные положения теории параметрического резонанса и формулы для нахождения границ области неустойчивости на плоскости параметров.
Во второй главе разработан приближенный аналитический метод исследования линейной модели движения динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях с учетом
10 диссипативных сил. Исследуется устойчивость определенного класса динамических систем при симметрических и кососимметрических матрицах возмущений. Получены формулы, определяющие границы области неустойчивости, выраженные через параметры системы. Рассмотрены примеры, где результаты численного исследования системы согласуются с результатами, полученными аналитически.
Изучается влияние малых диссипативных сил на устойчивость динамической системы с гирскопическои структурой при параметрических возмущениях. Получены условия расширения границ области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса при наличии в гироскопической системе достаточно малого трения.
В третьей главе исследуется устойчивость гироскопически стабилизированных систем при параметрических возмущениях. Полученные результаты позволяют сделать заключение об устойчивости системы по виду периодических матриц возмущений. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие основные положения изложенной теории. Получены формулы, определяющие границы области неустойчивости.
Четвертая глава посвящена применению результатов, полученных в предыдущих главах, в исследовании конкретных гироскопических систем, подверженных действию периодических параметрических возмущений.
Исследуется движение гиромаятника и четырехгироскопной вертикали при вибрации основания по гармоническому закону в вертикальном направлении с учетом массы рамок и вязкого трения в опорах осей подвесов. При этом уравнения малых колебаний гиромаятника и четырехгироскопной вертикали представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Исследование устойчивости проводится согласно методике, изложенной в главах 1 - 3. Приводятся формулы, определяющие границы области неустойчивости в случае простых и комбинационных параметрических резонансов. Установлено, что при определенных условиях наличие малого трения в осях карданова подвеса
приводит к расширению области неустойчивости при комбинационном параметрическом резонансе. Показано, что при определенных соотношениях параметров гиромаятника простые параметрические резонансы отсутствуют. С помощью разработанного численного метода определяются границы области неустойчивости.
Рассматривается также случай, когда центр тяжести гиромаятника расположен выше точки опоры. При этом исследование параметрических колебаний гиромаятника проводится на основе метода, изложенного в главе III при исследовании гиростабилизированной системы.
Исследуется движение однороторного гирокомпаса с маятником при трехкомпонентной линейной вибрации основания. Полученные уравнения после линеаризации приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Приведены условия устойчивости, выраженные через параметры гирокомпаса, амплитуды вибраций и коэффициенты трения в осях подвесов.
Также рассматривается вопрос об устойчивости двухроторного гирокомпаса типа Аншютца при циркуляции корабля с учетом диссипативных сил. Уравнения движения записываются в специальных координатах. Получены уравнения границ области неустойчивости в первом приближении в случае параметрического резонанса. С учетом сил трения получены условия асимптотической устойчивости гирокомпаса.
В приложении А приводится исходный код программного продукта, разработанного для нахождения границ области неустойчивости систем с гироскопической структурой при наличии диссипативных сил. Приводится пример вычисления границ области неустойчивости. Показано, что введение достаточно малого трения в систему с гироскопической структурой приводит к расширению границ области неустойчивости при комбинационном параметрическом резонансе. В случае простых параметрических резонансов данного явления не наблюдается.
Приведем краткий обзор работ, посвященных способам построения областей неустойчивости и исследованиям параметрического резонанса в гироскопических системах.
Приступая к обзору, заметим, что современная теория линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами создана главным образом работами отечественных ученых: Н.Н. Боголюбова, К.Г. Валеева, Ф.Р. Гантмахера, И.П. Гельфанда, Б.П. Демидовича, Л.И. Донской, Н.П. Еругина, К.Р. Коваленко, В.О. Кононенко, Н.Е. Кочина, Н.Н. Красовского, М.Г. Крейна, Н.М. Крылова, В.Б. Лидского, A.M. Ляпунова, И.Г. Малкина, Ю.А. Митропольского, Н.Д. Моисеева, М.Г. Нейгауза, В.В. Немыцкого, К.П. Персидского, А.П. Проскурякова, И.М. Раппопорта, A.M. Самойленко, В.М. Старжинского, В.В. Степанова, С.Ф. Фещенко, В.Н. Фомина, Н.Г. Четаева, СП. Шиманова, И.З. Штокало, В.А. Якубовича и др.
Математическая теория параметрического резонанса для линейных гамильтоновых (канонических) систем дифференциальных уравнений развита достаточно хорошо. Результаты, полученные в этом направлении, приведены в работе М.Г. Крейна и В.А. Якубовича [58].
Большая заслуга в создании теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами принадлежит A.M. Ляпунову [64].
Формулы, определяющие границы области неустойчивости на плоскости параметров в первом приближении, получены В.А. Якубовичем [102] методом малого параметра. Аналогичные формулы другими методами были получены К.Г. Валеевым в работах [15], [17], [19] и М.Г. Малкиным [65].
Для гамильтоновых систем формулы, определяющие границы области неустойчивости, выведены Б.Г. Питтелем [75-77] и В.В. Болотиным [13]. Используя методику работ [58, 77, 106], границы области неустойчивости во втором приближении получены В.В. Чугаевым [91].
Монография В.Н. Фомина [90] посвящена исследованию явления параметрического резонанса в линейных системах с распределенными параметрами.
В вышеуказанных работах границы области неустойчивости получены для канонических систем. Однако в реальных системах всегда имеет место диссипация энергии. Поэтому исследование влияния трения на устойчивость системы при параметрическом резонансе представляет практический интерес.
В работе К.Г. Валеева [24] для определенного класса линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами исследуется влияние трения на устойчивость решений. Вслед за работой [109], для более широкого класса систем показано, что в случае комбинационного резонанса введение трения может привести к расширению области неустойчивости. Возможность данного явления отмечена и в работе [89].
В книге [10] параметрический резонанс исследуется асимптотическими методами. Границы области неустойчивости можно получить также на основе метода, указанного в книге [89].
Перейдем к рассмотрению работ, посвященных исследованию параметрических колебаний в гироскопических системах.
В работе В.Д. Королева [52] исследуется устойчивость двухроторного гирокомпаса на основе прецессионных уравнений, в случае равномерной циркуляции корабля. Рассмотрены простые и комбинационные резонансы. Исследование проводится асимптотическим методом Боголюбова-Крылова, а также одним из вариантов метода малого параметра.
В работе В.Н. Кошлякова и СП. Сосницкого [55] на основе прецессионных уравнений исследуется устойчивость двухроторного гирокомпаса типа Аншютца для определенного маневра корабля. При этом показана возможность возникновения параметрического резонанса. Используя результаты работы [15] получены в первом приближении области неустойчивости. Делается вывод о том, что комбинационный параметрический
14 резонанс представляет большую опасность по сравнению с простым резонансом.
В работе В.П. Нестеренко [70] исследуется устойчивость однороторного гирокомпаса в случае линейной гармонической вибрации основания. При этом рассмотрены простые резонансы, определено условие устойчивости.
СП. Сосницким в работе [83] исследуется устойчивость двухроторного гирокомпаса для случая маневра корабля, состоящего из последовательных полуциркуляций, разделенных промежутками времени, в течении которых корабль следует прямым курсом. При этом учитываются силы вязкого трения в жидкостном подвесе.
На основе формул, приведенных в [15], [24] находятся в первом приближении границы области неустойчивости в случае комбинационного резонанса с учетом трения и без трения.
Работа В.И. Копытова [53] посвящена поведению однороторного гирокомпаса при трехкомпонентной линейной вибрации основания. При этом задача о движении гирокомпаса на основе прецессионных уравнений сводится к задаче Хилла.
В работе Ю.В. Осетинского [74] исследуется устойчивость гироскопического маятника, установленного на платформе, совершающего гармонические колебания в вертикальном направлении. На основе асимптотических методов установлено, что могут возникнуть параметрические колебания колец подвеса.
В работах [42], [43] исследуется устойчивость гироскопических систем при параметрических возмущениях.
Используя результаты работы К.Г. Валеева [24], изучается влияние диссипативных сил. Показано, что при комбинационном резонансе введение достаточно малого трения приводит к расширению области неустойчивости. Исследуется устойчивость гиромаятника и четырехгироскопной вертикали при вибрации основания.
В книге [47] изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики. Рассмотрены резонансные режимы колебаний в гамильтоновой системе.
В работе [110] на основе теории Флоке рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
Линейная модель движения динамических систем в специальных координатах
В данном параграфе указывается преобразование уравнений движения гироскопической системы для нециклических координат к квазинормальным координатам. При этом используются результаты работы [13]. Получены формулы, связывающие коэффициенты исходных уравнений с коэффициентами уравнений в специальной форме. Пусть линеаризованные уравнения движения гироскопической системы для нециклических координат приведены к виду (1.24), т.е. АХ + СХ + Ш = є(Т)+ЩЄі))Х + єМ{вОХ + 0(є2), (1.27) где, как и раньше X = {х},..., хп} - вектор, A = A , G = -G , B = B H-D 0 постоянные ихп матрицы; D,(r + 2 ) = D,(r), М(г + 2ж) = М(г) вещественные пхп матрицы; є 0 - малый параметр (0(є2) обозначает невыписанные члены порядка є2 и выше). Преобразуем уравнения (1.27) к квазинормальным координатам. Предварительно, приведем уравнения (1.27) к нормальным координатам. Для этого, вводя операционную матрицу f d\ D = — (1.28) dt f(D) = AD2+GD+B v и вектор-функцию (1.29) (X,Xbet,)=(l) + Dl(6t))X+M(&t)X + 0(), запишем систему (1.27) в форме (1.30) f(D)X = s(X,X,et,s). Обозначим через ± io)s (і = V-1, cos 0, s = 1,..., n) корни характеристического уравнения A(D)=det/(D) = 0. (1.31) Считаем, что все корни характеристического уравнения (1.31) являются простыми (можно, вообще говоря, допустить и кратные корни, но с линейными делителями). Пусть F(D)= FAy(D) - присоединенная матрица, представляющая собой п транспонированную матрицу F.A(D) , элементами которой служат алгебраические дополнения jk (D) элементов fjk (D) матрицы /(D) = fJk (D) .
Таким образом, в результате преобразования уравнения (1.27) к нормальным координатам ,...,,, г/1,...,т]п (1.23), (1.39) и следующим исключением вектора получили систему п уравнений второго порядка (1.43) в специальных координатах, которая с точностью до величин второго порядка малости относительно є эквивалентна системе (1.39), а следовательно, и исходной системе (1.27). Заметим, что повышение порядка точности при рассмотренном выше исключении не представляет затруднений. Однако в дальнейшем исследовании устойчивости нулевого решения можно ограничиться приведенным порядком точности. Система дифференциальных уравнений (1.43) представляет собой упрощенную линейную модель в специальных координатах движения динамической системы, описываемой уравнением (1.27). При этом устойчивость нулевого решения системы (1.43) равносильна устойчивости нулевого решения системы (1.27).
Приведенные в данном параграфе преобразования и указанные выше формулы используются в последующих параграфах данной главы.
Основные результаты по математической теории параметрического резонанса, полученные для линейных гамильтоновых (канонических) систем, приведены в работах [58], [107]. Кратко остановимся на основных положениях этой теории.
Предполагаем, что некоторые параметры системы S начинают периодически изменяться с частотой в и малыми амплитудами, значения которых определяются некоторым малым параметром є. Движение системы S при этих возбуждениях будет описываться уравнениями, записанными в виде (1.64) или (1.67). Эти возмущенные уравнения при сколь угодно малом є и некотором в могут иметь, в отличие от уравнений (1.66) и (1.68) неограниченные решения. В этом случае говорят, что система S параметрически возбуждается, или наступает параметрический резонанс.
Характерными особенностями параметрического резонанса в отличие от обычного резонанса являются, во-первых, экспоненциальный рост амплитуды колебаний при /-»со, во-вторых, наличие сплошных зон для частоты в, при которых возможен резонанс. Будем предполагать, что пространство параметров представляет собой первый квадрант плоскости {є,в], где є и в соответственно амплитуда и частота параметрического возмущения.
Будем называть неустойчивой точку (є0,90) [107], обладающую тем свойством, что уравнение (1.64) или (1.67) для всех неотрицательных є и (9, достаточно близких соответственно к є0 и в0, имеет неограниченное при t- co решение. Множество всех неустойчивых точек в плоскости {є,в} распадается на счетное число связных областей, имеющих вид клинышков, примыкающих при = 0 к некоторым, называемым резонансными, частотам. Эти области называются областями динамической неустойчивости.
Основными задачами теории параметрического резонанса являются определение резонансных частот и получение формул для приближенного нахождения границ области динамической неустойчивости.
Значения в0, соответствующие точкам (0,#0) на оси в, к которым примыкают области динамической неустойчивости, называются критическими частотами. Более точно [107]: частота в0 называется критической, если для любого 8 0 найдутся є, в такие, что при \є\ 8, \в- 90\ 8 соответствующее уравнение имеет неограниченное при t -» оо решение.
Исследование математической модели динамической системы с гироскопической структурой для различных матриц возмущения при производной
Итак, на основании результатов п. 2.2 и п. 2.3 получены теоремы, которые являются обобщением теорем М.Г. Крейна [57] и К.Г. Валеева [24] на системы с гироскопическим членом G —. Показано, что в частных случаях, при выполнении некоторых условий, простые резонансы в системе могут отсутствовать, а комбинационные резонансы при этом иметь место, и наоборот. Полученные результаты используются далее при исследовании конкретных гироскопических систем.
В этом параграфе исследуется устойчивость решений динамических систем с гироскопической структурой в случае параметрических возмущений при наличии диссипативных сил. Линеаризованные дифференциальные уравнения движения многих гироскопических систем при параметрических возмущениях, (малых по амплитуде) с учетом диссипативных сил представляют собой уравнения вида (2.57). Так, например системой типа (2.57) описывается линеаризованные дифференциальные уравнения движения гиромаятника, четырехгироскопной вертикали, однороторного гирокомпаса при линейных вибрациях основания с учетом сил трения в осях подвесов и уравнения двухроторного гирокомпаса при определенных маневрах корабля.
Нашей задачей является изучение влияния малых диссипативных сил в случае простого и комбинационного параметрического резонанса для систем с гироскопическим членом GX. Влияние диссипативных сил при параметрическим резонансе для гироскопических систем мало изучено. Так, данная задача без учета гироскопических членов GX рассмотрена в работе К.Г. Валеева [24]. Для систем вида (2.57) получены новые результаты.
Перейдем к вопросу о влиянии малых диссипативных сил при параметрическом резонансе. Из анализа формул (2.66) и (2.67), замечаем, что расширение области неустойчивости возможно за счет изменения соотношения между vJP и i/j, и только при комбинационном резонансе. При этом величина а(1,т) (2.67) может быть сколь угодно большой.
Из формулы (2.75) следует, что Х± означает угловой коэффициент касательной, проведенной к границе области неустойчивости в точке (0,#0) на плоскости є, в. На основании формул (2.65), (2.66), (2.69), заключаем, что расширение области неустойчивости может происходить только на комбинационной частоте при наличии в системе достаточно малого трения и при выполнении определенного условия.
Итак, получен важный результат о расширении области неустойчивости в случае комбинационного резонанса при наличии в системе с гироскопической структурой достаточно малого трения. Найдены условия, при которых эти явления имеют место. Выводы и результаты
Для динамических систем с гироскопической структурой получена теорема о расширении области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса, при наличии в системе трения. Значимость этого результата обусловлена тем, что в реальных системах всегда имеет место трение. На возможность расширения области неустойчивости для систем без гироскопического члена указано в работах [24], [107], [109].
Найдены соотношения, при которых происходит расширение границы области неустойчивости на плоскости параметров. Получены также результаты, обобщающие теоремы М.Г. Крейна и К.Г. Валеева об устойчивости решений уравнений с периодическими коэффициентами на класс систем с гироскопической структурой, и установлено новые результаты об устойчивости для различных классов периодических матриц возмущений.
Исследование математической модели гироскопически стабилизированных динамических систем для симметрических и кососимметрических матриц возмущений при производной
Исследуется устойчивость определенного класса системы линейных дифференциальных уравнений при параметрических возмущениях. Данный класс уравнений характеризуется тем, что устойчивость решений системы дифференциальных уравнений при отсутствии параметрических возмущений обеспечивается за счет наличия гироскопического члена. При этом решения системы, которая получена от исходной системы, где гироскопические члены и члены, определяющие параметрические возмущения, положены равными нулю, предполагаются неустойчивыми.
Целью данной работы является исследование устойчивости решений системы (3.1) при параметрических возмущениях. Аналогичная задача была рассмотрена в работе [43]. Принципиальное различие исследуемой здесь задачи состоит в том, что решения системы (3.5) при отсутствии гироскопического члена GX неустойчивы, а в работе [43] был рассмотрен случай, когда решения системы при отсутствии гироскопического члена и є = 0 были устойчивы.
Исследуем устойчивость решений системы (3.1) в случае симметрической матрицы M{9t). Квадраты частот собственных колебаний системы (3.1).
Тогда из формул (3.40), (3.41) следует, что частоты в = 2ах , 9 = 2а 2 не могут быть сильно неустойчивыми, т.е. в случае этих частот параметрический резонанс в системе отсутствует. Частоты же в = со1 - тг и 0 = со + со2 не могут быть сильно устойчивыми, т.е. на близких к ним частотах при 0 в системе (3.35) возникнет параметрический резонанс.
Сформулированные и доказанные в данной главе теоремы позволяют найти множество частот, которые не могут быть сильно устойчивыми (сильно неустойчивыми) в зависимости от свойств матриц возмущений системы. Из результатов данной главы следует, что резонансные свойства гиростабилизированной системы имеют свои особенности при параметрических возмущениях.
Найдены соотношения, при которых в рассмотренных системах отсутствуют некоторые параметрические резонансы в случае для определенных видов матриц возмущений.
Полученные результаты представляют практический интерес, так как в прикладных задачах матрицы возмущений имеют специальный вид.
Приведенные в работе формулы позволяют также найти границы области неустойчивости, непосредственно выраженные через параметры системы.
Исследование четырехгироскопной гировертикали при вибрации основания
Рассматривается вопрос об устойчивости четырехгироскопной вертикали, установленной на платформе, которая совершает вибрации в вертикальном направлении. Учитывается вязкое трение в опорах подвесов. При исследовании используются результаты главы 2. Показано, что в четырехгироскопной вертикали возможны как простые и комбинационные резонансы. Приводятся формулы для угловых коэффициентов к границе неустойчивости. Особую опасность для системы представляют комбинационные резонансы. При комбинационных резонансах в рассматриваемой системе с достаточно большим значением кинетического момента гироскопов наличие малого трения приводит к расширению области неустойчивости.
Рассмотрим устойчивость четырехгироскопной вертикали [80], основание которой испытывает вибрации в вертикальном направлении.
Пусть основание прибора совершает вибрации в вертикальном направлении. Для простоты примем, что вибрации происходят по гармоническому закону (t) = Ncos(0t). Учтем моменты вязкого трения в опорах осей наружной и внутренней рамок подвеса, а также в опорах кожухов гиромоторов.
Система (4.63), представляющая собой уравнения малых колебаний четырехгироскопной вертикали при вибрации основания и учете сил трения, относится к типу уравнения, рассмотренных в главе 2. Используя результаты п.2.1, покажем, что в системе (4.63) возможны параметрические колебания.
Частоты со1,...,(о4 собственных колебаний системы (4.63) при = 0 определяются из формулы (2.8), где следует подразумевать, что а2 -і а2і 2.5-1 25 25-15(5 1 2) элементы матриц A,B,G (4.64). При этом ю25-і ю25 _ частоты нутационных и прецессионных колебаний.
Из сравнения угловых коэффициентов касательных Я± (4.70) и (4.71) соответственно для системы (4.63) без трения и с трением, приходим с учетом соотношений (4.75) к заключению. А именно, введение в систему с большим значением кинетического момента гироскопов малого трения приводит к расширению области неустойчивости для комбинационной частоты 9 (o2sA+(o2s (5 = 1,2).
Это утверждение, не имеющее место в случае простых резонансов, показывает опасность комбинационных резонансов. Исследуется движение однороторного гирокомпаса с маятником при трехкомпонентной линейной вибрации основания. При составлении уравнений движения гирокомпаса учитываются массы рамок подвесов, вращение Земли и вязкое трение в осях наружной и внутренней рамок подвесов. На основе результатов главы 2 исследуется параметрический резонанс. Показано, что при вибрации основания в системе может наступить параметрический резонанс. Рассмотрим однороторный гирокомпас с маятником. Движение гирокомпаса отнесем к системе координат ОЕ,г/ , ориентированной географически: ось Е, направлена на восток, ось г\ - на север и ось С, - в зенит. С кожухом гироскопа свяжем оси Резаля Oxyz, при этом ось х направлена вдоль оси кожуха, ось у - вдоль оси ротора, а ось z - перпендикулярно осям х и у так, чтобы система координат Oxyz была правой. Положение осей Oxyz относительно трехгранника ОЕ,г\С, определим двумя углами: углом а поворота вокруг оси С, и углом Р поворота вокруг оси х. Угол поворота ротора гироскопа относительно кожуха обозначим через (рх. Считаем, что центр тяжести маятника смещен на величину z0 вдоль оси z. Найдем параметры гирокомпаса, при которых простые параметрические резонансы в системе не возникают. В качестве критерия устойчивости для частот в, примыкающих к частотам в0 = 2щ и в0 = 2 х 2, используем соответственно неравенства (4.94) и (4.95) Выбираем параметры, при которых выполняются эти неравенства, т.е. простые резонансы не наступают. Для частоты в0 = 2 х х это будут значения ах =\в,а2 =5,75,6, = 0,002,Ъ2 =50, в0 «5,6, я, =0,0\,п2 = 0,01, в0 » 5,6, а для частоты в0 = 2со2 соответственно значения а, = 16,а2= 5,75,6, = 0,002, Ъ2 =50, в0 « 0,01, и, = 0,01,и2 =0,01, 0О «0,011.
Рассматривается вопрос об устойчивости двухроторного гирокомпаса типа Аншютца при циркуляции корабля с учетом диссипативных сил. Исследование устойчивости гирокомпаса для случая маневра корабля, состоящего из последовательных полуциркуляций рассмотрено в работе [83]. В работе [52], с помощью методов нелинейной механики, найдены условия неустойчивости указанного прибора без учета диссипативных сил, в случае равномерной циркуляции корабля. Ниже, используя результаты главы 2 данной диссертации, найдены области неустойчивости при параметрическом резонансе в гирокомпасе для указанных условий.
Здесь точка означает дифференцирование по времени, а - угол отклонения гиросферы в азимуте, /? - угол возвышения северного конца гиросферы над плоскостью, касательной к земной сфере, у - угол поворота гиросферы относительно линии Север-Юг, 5 - угол отклонения гироскопов относительно осей их камер от положения, характеризуемого углом є0, S -крутизна характеристики восстанавливающего момента компаса, т - масса чувствительного элемента, / - метацентрическая высота компаса, g ускорение силы тяжести, R - радиус Земли, V - абсолютная линейная скорость корабля, Q - проекция абсолютной угловой скорости основания на вертикальную ось трехгранника Дарбу, В - собственный кинетический момент ротора гироскопа, kvk2 0 - коэффициенты вязкого трения, правые части системы (4.96) характеризуют влияние малых диссипативных сил.
