Введение к работе
Актуальность проблемы. Во многих системах в области физики, техники, биологии, автоматического регулирования и оптимального управления и других происходят сложные процессы, которые на разных отрезках своей эволюции с необходимостью описываются различными видами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Например, для некоторых систем их состояние в конкретный момент времени зависит от состояний в предыдущие или последующие моменты времени. Имеются также системы, которые изменяются по разным законам на различных участках своего движения. Некоторые системы изменяют свою структуру при достижении заранее заданных условий.
При математическом моделировании таких систем с переменной структурой адекватным подходом является использование более сложных классов ОДУ, а именно: 1) с отклоняющимися аргументами, которые учитывают эффекты запаздывания или опережения, 2) с кусочно-непрерывными правыми частями, 3) содержащие импульсы (толчки).
Однако нахождение решений перечисленных выше классов ОДУ представляет крайне трудоемкую задачу, так как приходится интегрировать большое количество ОДУ на всем отрезке интегрирования, причем структура ОДУ сильно усложняется при каждом переходе от одного участка к другому.
По поводу вопроса интегрирования ОДУ с отклоняющимся аргументом Г.Г. Малинецкий на стр. 21 своей книги (Математические основы синергетики, 2005) отмечает: «Сами нелинейные уравнения с запаздыванием — одни из наиболее сложных объектов в современном моделировании. Например, весьма непростым является анализ элементарной на вид модели -уравнения Хатчинсона
i(0 = a-*(0-0-*('-r)). (1)
...Его достаточно трудно анализировать как с помощью численных, так и с помощью асимптотических методов при больших значениях параметра а». В теории автоматического управления, где используются ОДУ и их системы с отклоняющимся аргументом, автор обстоятельного курса (Я.Н. Ройтенберг. Автоматическое управление, 1971) на стр.44 пишет: «Эффективное построение решений дифференциально-разностных уравнений представляет собой достаточно трудную задачу».
В работе (Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости, 1976) относительно исследования ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями на стр. 377 написано, что «... полное сведение исследования её качественной структуры к исследованию некоторого точечного отображения, как правило, делается невозможным».
Точно также обстоит дело с импульсными системами ОДУ, для которых исследование качественной структуры представляет собой ещё более трудную
задачу (А.М. Самойленко, Н.А. Пересчук. Системы дифференциальных уравнений с импульсным возмущением, 1987).
Трудности интегрирования указанных классов ОДУ можно в определенной степени преодолеть при использовании комбинированного метода, в котором вначале выполняются символьные преобразования исследуемой математической модели, а затем на основе полученных аналитических выражений производятся численные расчеты. Для символьных, так и численных этапов интегрирования целесообразно использовать современные пакеты, такие как MAPLE и другие подобные системы компьютерной алгебры.
Таким образом, разработка новых методов и алгоритмов, в особенности символьно-численных, реализация их в виде программных средств с использованием современных компьютерных технологий и их применение для исследования систем с переменной структурой является актуальной проблемой математического моделирования сложных систем.
В диссертационной работе предложены новые алгоритмы, реализованные в виде программ для символьно-численного интегрирования ОДУ указанных выше классов, которые позволяют найти их решения в аналитическом виде, а также находить численные значения решений для заданных значений аргумента и строить графики. При помощи разработанных программ в среде MAPLE были проведены исследования конкретных предложенных в работе математических моделей, описывающих глобальный круговорот воды в природе с учетом запаздывания и динамику численностей биологических популяций: хищник, две жертвы и хищник-жертва.
Цель диссертационной работы - разработка методов, алгоритмов и программ с использованием современных средств компьютерной алгебры для символьно-численного интегрирования ОДУ и их систем следующих классов: 1) уравнений с отклоняющимся аргументом; 2) уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями; 3) уравнений содержащих импульсы (толчки). Проведение с помощью полученных программных продуктов исследования ряда прикладных задач из различных областей науки.
Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:
1. Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений на основе средств компьютерной алгебры с представлением решений в аналитическом и численном виде для следующих классов ОДУ и систем:
а) с постоянным и переменным запаздыванием;
б) с кусочно-непрерывными правыми частями;
в) с правой частью, которая содержит импульсы (толчки).
Получение системы из трёх ОДУ, которая представляет собой новую нульмерную математическую модель круговорота воды в природе, учитывающую эффект запаздывания стока воды в океан. Проведение исследования на устойчивость решений в аналогичных двух моделях, но без учета эффекта запаздывания.
Провести апробацию разработанных программ на известных задачах и применить их для символьно-численного интегрирования и исследования свойств решений следующих предложенных математических моделей:
а) нульмерная модель глобального круговорота воды в природе с учетом
запаздывания стока воды в океан;
б) модель взаимодействующих популяций один хищник и две жертвы в
виде системы ОДУ с разрывной правой частью;
в) модель динамики численности популяций хищник-жертва при наличии
импульсов, связанных с мгновенным изъятием из популяции жертвы опреде
ленного ее количества в моменты достижения своих максимальных значений.
Методы исследований. В работе использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как с непрерывными, так и с разрывными правыми частями, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики, прикладные пакеты программ.
Научная новизна. Показана эффективность применения символьно-численных вычислений для исследования физических, технических, биологических систем с переменной структурой, которые описываются ОДУ как постоянным, так и переменным отклонением аргумента, с кусочно-непрерывными правыми частями, а также содержащих импульсы.
Исследована устойчивость предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе, описываемая ОДУ с запаздывающим аргументом, и показано, что наличие запаздывания является причиной неустойчивости решений в отличие от моделей без учета этого эффекта.
Найдены и исследованы решения предложенной математической модели один хищник и две жертвы в виде системы из трех ОДУ с разрывной правой частью и показано, что существуют такие значения параметров, при которых в системе возникают устойчивые периодические колебания.
Получены и исследованы решения математическая модель в виде системы ОДУ с импульсами, которая описывает динамику численности двух популяций хищник и жертва и обнаружено, что при определенных значениях параметров в такой системе возникает явление динамического хаоса.
Практическая значимость и полезность полученных результатов. Диссертационная работа имеет одновременно теоретический и практический
характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть с успехом использованы как в теоретических исследованиях, так и для решения прикладных задач, например, в физических, биологических, системах автоматического регулирования и оптимального управления.
Полученные программы для символьно-численного интегрирования всех рассмотренных в работе ОДУ могут быть применены при исследовании устойчивости, зависимости от параметров, отыскания периодических и стохастических движений этих уравнений в сложных системах с переменной структурой.
Отдельные положения диссертационной работы используются в учебном процессе БелГУ при проведении занятий по теории дифференциальных уравнений.
Положения, выносимые на защиту.
Алгоритмы и программы символьно-численных вычислений при интегрировании ОДУ и систем с постоянными и переменными отклоняющимися аргументами, систем ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями и систем ОДУ с импульсами.
Программная реализация алгоритмов символьных преобразований и ее применение для вычисления решений предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе с учетом запаздывания стока воды в океан и результаты исследования режимов движения в этой модели.
Результаты исследования решений нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде линейной и нелинейной систем ОДУ без учета эффектов запаздывания.
Результаты исследования предложенной математической модели системы один хищник и две жертвы, описываемой системой ОДУ с разрывными правыми частями, и расчеты значений параметров, при которых в системе существует устойчивый периодический режим.
Результаты символьно-численных вычислений в математической модели для биологической системы хищник-жертва при наличии импульсов, которые показывают существования стохастических решений.
Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием теорем теории ОДУ (как с непрерьшными, так и с разрывными правьми частями) и теории ОДУ с отклоняющимся аргументом, положений метода точечных отображений и теории устойчивости. Кроме того, результаты, полученные с применением разработанных символьно-численных программ, согласуются с имеющимися результатами, полученными другими методами и другими авторами.
Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября, 2006); IX Междуна-
родная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября, 2007); X Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 15-20 сентября, 2008); Первая Международная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г. Минск, 10-16 ноября, 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2007 г.); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (г. Харьков, 23-25 марта 2007); V Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2008 г.); IX Международная математическая школа (Алушта, 15-20 сентября 2008); VI Международная научно-практическая конференция «Геометрическое моделирование и компьютерные технологии: теория, практика, образование» (г. Харьков, 21-24 апреля 2009); Международная конференция по математическому моделированию (г. Херсон, 14-19 сентября, 2009); Первая Международная научно-техническая конференция «Компьютерные науки и технологии» (г. Белгород, 8-9 октября 2009).
Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их приложения», утверждённого Учёным советом БелГУ от 03.11.2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-02-6263).
Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертационной работе. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах, в трудах международных научных конференций. Из них четыре - в изданиях по списку ВАК РФ. Программы «Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом» и «Пакет программ для интегрирования дифференциальных уравнений запаздывающего, нейтрального или опережающего типов с несколькими постоянными отклонениями аргумента методом шагов» по теме диссертационного исследования зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и'программ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений. Объём диссертации 180 страниц, 36 рисунков. Список литературы включает 190 наименований.
