Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические модели сплошных сред 30
1.1. Сводка результатов из тензорной алгебры 30
1.1.1. Криволинейные координаты 30
1.1.2. Компоненты вектора и тензора 31
1.2. Некоторые сведения из тензорного анализа 33
1.2.1. Метрический тензор 33
1.2.2. Ковариантное дифференцирование 34
1.2.3. Дифференциальные операторы 35
1.2.4. Интегральные операции 36
1.2.5. Ортогональные координаты 37
1.2.6. Дифференциальные операторы в ортогональных системах 39
1.3. Модели механики сплошной среды 40
1.3.1. Законы сохранения 40
1.3.2. Уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости 42
І.З.З.Потенциальная модель несжимаемой жидкости 44
1.3.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейных системах координат 45
1.4. Основные понятия теории разностных схем 47
1.4.1. Дискретизация. Сетка. Шаблон 47
1.4.2. Сеточные функции 52
1.4.3. Аппроксимация и устойчивость 53
ГЛАВА 2. Разностные схемы в прямоугольных системах координат 56
2.1. Разностные операторы векторного и тензорного анализа 57
2.1.1. Разностные операторы
2.1.2. Критерий согласованности разностных операторов 60
2.1.3. Построение операторов Va,Vffl 61
2.1.4. Построение операторов V ,V , 68
2.1.5. Граничные условия 71
2.1.6. Инвариантность операторов 74
2.2. Трехмерные операторы 76
2.3. Квадратурно- аппроксимационный алгоритм построения дифференциально-разностных схем 79
2.3.1. Основание алгоритма 79
2.3.2.Алгоритм построения полностью консервативных схем... 81
2.4. Разностные схемы в переменных Лагранжа 84
2.4.1. Дифференциально - разностная схема 84
2.4.2. Класс разностных схем с полным набором законов сохранения 86
2.5. Численные расчеты течений несжимаемой жидкости 89
2.5.1. Сетка и операторы 89
2.5.2. Разностная схема 91
2.5.3. Аппроксимация вектора внешних массовых сил 92
2.5.4. Устойчивость схемы 94
2.5.5. Реализация граничных условий 95
2.5.6. Линейный анализ разностной схемы 96
2.6. Численные расчеты двумерных течений 97
2.7. Численное моделирование трехмерных течений 106
2.7.1. Разностная схема 106
2.7.2. Граничные условия 108
2.7.3. Комплекс программ ТОРЗ 108
2.8.Термодинамически согласованные разностные схемы 116
ГЛАВА 3. Инвариантные вариационно - разностные схемы и законы сохранения 123
3.1. Инвариантные двумерные дискретные модели 124
3.1.1. Вариация функционала дискретной системы 124
3.1.2. Тождество Нетер 126
3.1.3. Теорема Нетер 128
3.1.4. Обобщение теоремы Нетер 129
3.1.5.Дифференциально-разностные уравнения гидродинамики.. 131
ГЛАВА 4. Метод базисных операторов построения разностных схем в криволинейных системах координат 136
4.1.Разностные операторы в криволинейной ортогональной системе координат. Случай плоской симметрии 138
4.1.1. Дифференциальные операторы 138
4.1.2. Разностные операторы 139
4.1.3. Некоторые соотношения 144
4.1.4. Согласованность разностных операторов 144
4.1.5. Дифференциально-разностная схема гидродинамики 146
4.1.6. Операторы в полярной системе координат 148
4.2. Формулы для базисных операторов 151
4.3. Осесимметричные разностные операторы в ортогональной системе координат 161
4.3.1. Дифференциальные операторы 161
4.3.2. Разностные операторы 162
4.3.3. Дифференциально-разностная схема гидродинамики 167
4.3.4. Операторы в цилиндрической системе координат 167
4.4. Полностью консервативные осесимметричные разностные схемы в криволинейных ортогональных системах координат... 171
4.5. Метод базисных операторов построения операторных разностных схем в трехмерном пространстве 178
4.5.1. Дифференциальные операторы 179
4.5.2. Разностные операторы 180
4.5.3. Согласованность разностных операторов 185
4.5.4. Дифференциально-разностная схема 186
4.5.5. Базисные операторы 186
4.5.6. Операторы в цилиндрической системе координат 191
4.6.Базисные разностные схемы для неортогональных систем 195
4.6.1. Дифференциальные операторы 195
4.6.2. Дискретизация пространства 196
4.6.3. Операторы усреднения
4.6.4. Разностные операторы 200
4.6.5. Согласованность разностных операторов 201
4.6.6. Базисные операторы
4.6.7. Дифференциально-разностная схема гидродинамики 205
4.6.8. Разностная схема 207
4.6.9. Примеры расчета 208
ГЛАВА 5. Базисный разностный метод для ортогональных систем на поверхности 210
5.1. Дифференциальные операторы 210
5.2. Дискретизация пространства 213
5.3. Дискретные операторы 216
5.4. Базисные операторы 218
5.5.Уравнения механики дискретной среды 221
ГЛАВА 6. Численное моделирование осесимметричных потенциальных течений несжимаемой жидкости 224
6.1. Постановка задачи 224
6.2. Дискретизация области и операторов 227
6.3. Разностная схема 229
6.4.Устойчивость схемы 231
6.5. Вычислительная граница 231
6.6. Модельная задача 233
6.7. Заполнение полости 235
6.8. Заполнение криволинейной полости 239
6.9. Эволюция пузыря 243
6.10. Заполнение шахты 246
ГЛАВА 7. Преобразования разностных схем 249
7.1. Введение 249
7.2. Преобразования дискретных операторов 254
7.3. Дискретные операторы векторного анализа 257
7.4. Сохранение симметрии 259
7.5. Дискретная схема газовой динамики 262
7.6. Законы сохранения дискретной схемы 264
7.7. Задача о двух поршнях 265
7.8. Заключение 272
Приложение 274
Исследование трехмерных нелинейных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в полостях/ краткое описание комплекса программ ТОРЗ/ 274
Литература
- Дифференциальные операторы в ортогональных системах
- Квадратурно- аппроксимационный алгоритм построения дифференциально-разностных схем
- Тождество Нетер
- Метод базисных операторов построения операторных разностных схем в трехмерном пространстве
Введение к работе
Актуальность работы. Широкое распространение в современных технических сооружениях и природных явлениях течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями в водоемах, полостях и сосудах различных форм порождает интерес к математическому моделированию этих течений и численному исследованию особенностей протекающих процессов.
Широкое применение метода конечных разностей на подвижных сетках для численного моделирования процессов сплошной среды определяет интерес к построению разностных схем с заданными качествами, такими как полная консервативность, инвариантность.
Существующие методы построения разностных схем с заданными свойствами на косоугольных сетках встречаются с трудностями как технического, так и теоретического характера. Способствует этому многообразие форм областей, аппроксимаций дифференциальных уравнений, особенности решений, видов сеток и т.д. Поэтому математическое моделирование течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями в сосудах сложных форм, развитие теории конструирования полностью консервативных разностных схем наследующих свойства дифференциальных аналогов, в рамках создания теории построения дискретных аппроксимаций основных дифференци- альных операций векторного и тензорного анализа, на косоугольных сетках для систем криволинейных координат, является актуальной задачей.
Явление ядерного излучения при акустической кавитации, выхода нейтронов и ядер трития при акустическом возбуждении кластера паровых пузырьков в дейтерированом ацетоне, подняло интерес к моделированию поведения газовых пузырей в жидкости. Эволюция газовых пузырей в жидкости связана с процессами изменения их формы и объема, дробле- нием и слиянием границ раздела, изменением связности, широко распространена в природе и технических устройствах. Нестационарные процессы в подводных газо и нефтепроводах, шахтах и скважинах, реакторах, цистернах и баках с жидкостью сопровождаются взаимодей- ствием жидкости, газа и твердых тел. Численное моделирование процессов динамики газовых пузырей в жидкости представляет собой актуальную задачу. В диссертации задача моделирования процессов динамики газовых пузырей в жидкости решается на основе полностью консервативной разностной схемы в совместных, эйлерово-лагранжевых переменных, аппроксимирующей потенциальную постановку задачи. Разностная схема сконструирована разработанным в диссертации методом базисных операторов, являющимся развитием метода опорных операторов.
Цель диссертационной работы. Разработка дискретного метода моделирования течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями, в областях с криволинейными границами, наследующего свойства дифференциальных моделей механики сплошной среды в рамках технологической последовательности построения дискретных аппроксимаций основных дифференциальных операций векторного и тензорного анализа на косоугольных сетках для различных систем координат. Декартовых прямоугольных координат, криволинейных координат на плоскости и осесимметричном пространстве, трехмерном пространстве, евклидовых и неевклидовых пространствах. Применение метода моделирования для решения практических задач сложных течений сплошной среды. Групповой анализ разностных схем. Использование дискретных операций векторного и тензорного анализа на косоугольных сетках для конструирования полностью консервативных разностных схем механики сплошной среды, проверке эффективности схем на тестовых задачах и получение численных решений ряда новых задач гидродинамики в интересах отечественной промышленности.
Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
1. Разработка формализованного метода базисных операторов построения разностных аппроксимаций произвольного порядка, наследующих свойства дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа. Для различных неортогональных сеток и криволинейных ортогональных и неортогональных систем координат в евклидовых и неевклидовых пространствах. Эти аппроксимации согла- сованы с помощью формул суммирования по частям в форме квадра- турных соотношений и представлены в виде простых явных выражений, зависящих от дискретных первых производных по пространственным переменным, заданного произвольного порядка аппроксимации.
2. Установление эффективности построенных дифференциально- разностных и разностных схем, и численного моделирования на их основе ряда задач гидродинамики с контактными разрывами, со свободными и криволинейными границами.
3. Выявление связей между групповыми свойствами дифференциально-разностных уравнений механики сплошной среды и законами сохранения основных количеств дискретной среды.
4. Конструирование дискретных операторов векторного и тензорного анализа посредством преобразования дискретных аппроксимаций в декартовой системе координат при преобразовании координат в произвольную криволинейную систему.
5. Математическое моделирование практически значимых задач в интересах промышленности на основе разработанного метода базисных операторов построения дискретных моделей гидродинамики вязкой и несжимаемой жидкости со свободными границами.
Научная новизна. В работе предложен новый метод базисных операторов построения разностных схем механики сплошной среды, позволяющий получать формализованные, полностью консервативные разностные схемы в произвольной системе координат в виде явных выражений через аппроксимации дифференциальных производных первого порядка. Метод позволяет записать разностные аппроксимации основных дифференциальных операций векторного и тензорного анализа в произвольной криволинейной системе координат в пространстве дискретных функций на косоугольных сетках в виде конечных формул. Эти аппроксимации, как для непрерывного, так и для дискретного времени, согласованы на основе формул суммирования по частям в форме квадратурных выражений и соотношений типа Гаусса – Остроградского, связывающих дискретные производные в произвольных криволинейных системах координат евклидовых и неевклидовых сеточных пространств.
Для конструирования дифференциально-разностных схем в криволинейных системах координат, в рамках метода базисных операторов, разработаны две различные процедуры построения дискретных первых производных по пространственным переменным заданного порядка аппроксимации.
В рамках первой процедуры, для аппроксимации объема ячейки в криволинейных координатах, предложена формализованная дивергентная трехпараметрическая формула, обобщающая известные формулы объемов в декартовой прямоугольной, цилиндрической, сферической системах координат. Формула основана на представлении аппроксимации произведения функций Ламе через первообразные этого произведения. На основе этой формулы построены трехпараметрические дискретные операторы первых производных по пространственным переменным.
Вторая процедура создана как формализованный метод преобразования дискретных операторов векторного и тензорного анализа в декартовой системе координат в произвольную криволинейную систему. Установлено, что алгоритм преобразования дискретных операторов сохраняет симметрии решений относительно координатных кривых, присущие дифференциальной системе уравнений, и сохраняет согласованность дискретных операторов, что позволяет конструировать эффективные дифференциально-разностные схемы с граничными условиями для дискретных областей с криволинейными границами.
Для построения полностью консервативных разностных схем предлагается квадратурно-аппроксимационный метод построения таких схем на основе дискретных законов сохранения на сеточной области. Метод работает для эйлеровых, лагранжевых и смешанных эйлерово-лагранжевых координат. Используя аппроксимации метода базисных операторов (как обобщение метода опорных операторов), дифференци- ально-разностная схема строится как следствие системы законов сохране- ния в квадратурной форме, которые кладутся в основу численной модели. Построены классы разностных схем в криволинейных системах координат, аппроксимирующие уравнения механики сплошной среды для разработан- ного комплекса программ моделирования трехмерных течений несжима- емой жидкости со свободной поверхностью в сосудах сложной формы.
Метод группового анализа С.Ли - Л.В. Овсянникова обобщен на класс дифференциально-разностных уравнений на косоугольных сетках. Исследованы групповые свойства дискретных моделей и их связь с законами сохранения. Установлена классифицирующая роль выражения для объема ячейки для классификации дифференциально-разностных схем.
Построены разностные схемы, имеющие такие же законы сохранения, что и исходные дифференциальные уравнения. Для газовой динамики такие схемы названы термодинамически согласованными. Численными расчетами подтверждена эффективность этих схем.
Построен класс разностных схем для расчета потенциальных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в многосвяз- ных областях. Эффективность разностных схем подтверждается числен- ными расчетами ряда задач гидродинамики. Получены численные решения эволюции пузырей в несжимаемой жидкости с процессами дробления и слияния границ, изменения связности, разрывами потенциала скорости.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность диссертации заключается в разработке новой формализованной теории построения дифференциально-разностных и разностных схем любого порядка аппроксимации для широкого класса сеток. Построенные в работе разностные операторы векторного и тензорного анализа в евклидовых и неевклидовых пространствах и схемы в криволинейных, ортогональных и неортогональных системах координат, имеют вид явных выражений, зависящих от дискретных производных первого порядка. Разработанные алгоритмы реализации схем и граничных условий послужили основой для создания универсальных алгоритмов моделирования течений сплошной среды в областях сложной формы и моделирования многосвязных течений. Тестовые примеры и решения практических задач подтверждают эффективность теоретических построений. Важным результатом является обобщение группового анализа на дифференциально-разностные схемы.
Практическая ценность диссертации заключается в полученных численных результатах моделирования течений сплошной среды, как в областях сложной формы, так и в многосвязных областях. Комплекс программ математического моделирования нелинейных течений несжимаемой жидкости и расчета форм свободной поверхности в тороидальных и цилиндрических областях использовался в практике работы предприятия п/я Г-4725. (ныне ФГУП ГРЦ «КБ им. акад. В.П. Макеева», г. Миасс). Основные результаты опубликованы в авторитетных научных изданиях и используются как у нас в стране, так и за рубежом.
Методы исследования. В диссертации применяются методы теории разностных схем, векторного и тензорного анализа, теории групповых преобразований, теоретической механики и механики сплошных сред.
Положения, выносимые на защиту:
1. Комплекс программ математического моделирования трехмерных возмущений гидродинамики вязкой и несжимаемой жидкости со свободными границами в сосудах сложной формы.
2. Математическое моделирование процесса заполнения осесимметричной полости и динамики газовых пузырей на основе потенциальной модели жидкости и метода базисных операторов.
3. Новая теория построения разностных схем в криволинейных системах координат на основе формализованного метода базисных операторов для косоугольных сеток. Метод позволяет строить согласованные разностные аппроксимации основных дифференциальных операторов дискретного векторного и тензорного анализа для различных криволинейных, как ортогональных, так и неортогональных систем координат на неортогональных, регулярных и нерегулярных, сетках. Построенные аппроксимации согласуются с помощью формул суммирования по частям, в форме квадратурных (кубатурных) соотношений и представлены в виде простых явных формул.
4. Дифференциально-разностные и разностные схемы гидродинамики, построенные методом базисных операторов, обеспечивающие выполнение всех законов сохранения, присущих непрерывному случаю.
5. Теория преобразования разностных схем (при преобразовании координат) хорошо зарекомендовавших себя в декартовой системе координат, как развитие метода базисных операторов для областей, криволинейные границы которых являются координатными линиями. Обоснование постановки граничных условий.
6. Групповой анализ дифференциально-разностных и разностных схем гидродинамики.
Обоснованность и достоверность результатов. Полученные в диссертации теоретические результаты имеют строгое математическое обоснование. Достоверность результатов работы основана на математическом уровне строгости, использовании корректных постановок задач. Построение разностных операторов и схем с заданными свойствами, наследуемыми у дифференциальных операторов и аппроксимируемых дифференциальных уравнений. Подтверждение аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем, и тестирование предложенных в диссертации алгоритмов численного решения задач на известных аналитических и численных решениях.
На всех решениях построенных разностных схем точно выполняются дискретные законы сохранения, аппроксимирующие интегральные законы сохранения соответствующих дифференциальных уравнений. Эффективность разработанных алгоритмов и достоверность численных результатов подтверждается сравнением тестовых результатов расчетов с результатами других авторов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
Девятая Всероссийская конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казанский федеральный университет, Казань, 16-22 сентября 2012 г.
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М.Лаврентьева. Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия, 5-12 августа 2012.
Международная конференция «Fifth Conference on Numerical Analysis and Applications. June 15-20, 2012. Lozenetz. Bulgaria. University of Ruse».
Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-лению со дня рождения акад. Н.Н. Яненко. – Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 2011.
Международная конференция «Математические и информационные технологии МИТ 2011», Mathematical and Informational Technologies, MIT-2011, IX Conference «Computational and Informational Technologies for Science, Engineering and Education» held in Vrnjacka Banja and Budva, August 27 – September 5, 2011.
Международная конференция «Актуальные проблемы современной математики, информатики и механики – II», Алматы, 28-30 сентября 2011г.
Международная конференция "Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики", посвященная 100-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР А. А. Ляпунова 11 - 14 октября 2011 г., Академгородок, Новосибирск, Россия.
II Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем, Нижний Новгород, 1990 г.
Всесоюзная конференция по нелинейным колебаниям механических систем, Киев, 1976 г.
Научно-практическая конференция "Молодые ученые и специалисты Томской области в девятой пятилетке". Томск, 1975 г.
Всесоюзная конференция по механике сплошных сред, Ташкент, 1979 г.
YI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986 г.
Всесоюзные школы молодых ученых под руководством А.А.Самарского, Кишинев, 1981 г.; Львов, 1983 г.; Рига, 1985 г.; Минск, 1987 г.
Всесоюзная школа - семинар "Динамика механических систем", Томск, 1986 г.
Также основные результаты диссертации докладывались на научно- исследовательских семинарах:
Всесоюзные семинары "Динамика упругих и твердых тел взаимодействующих с жидкостью", Томск, 1975 г.,1984 г.
YII Всесоюзный семинар "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", Кемерово, 1988 г.
Семинары " Численные методы решения задач математической физики" в ВЦ РАН, Москва, 1987 г., 1988 г.
Семинар под руководством академика Л.В.Овсянникова в ИГ и Л СО РАН, Новосибирск, 1987 г.
Семинар под руководством академика Н.Н.Яненко в ИТПМ СО РАН, Новосибирск, 1983 г.
Семинар под руководством профессора В.Ф.Тишкина в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, Москва, 2012 г.
Семинар под руководством профессора Л.Б. Чубарова в ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2012 г.
Семинары под руководством академика С.К.Годунова, профессора В.С.Белоносова и д.ф.м.н. М. В.Фокина в ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2012 г.
Семинар под руководством член-корреспондента В.В.Пухначева в ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 2012 г
Семинары в НИИПММ ТГУ, кафедр вычислительной математики, теоретической механики Томского госуниверситета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 статей, из них
15 входят в перечень ВАК.
Личный вклад автора.
Дифференциальные операторы в ортогональных системах
Вариационный метод построения полностью консервативных разностных схем позволяет строить схемы математических моделей, для которых выполняется вариационный принцип, это, в основном, обратимые процессы. Для диссипативных процессов встает задача аппроксимации членов уравнений, описывающих эти процессы с сохранением свойства полной консервативности. На регулярных ортогональных сетках такая проблема в основном решена [68], [65]. Сложнее обстоит дело в случае косоугольных сеток. Для решения этой задачи А.А.Самарский, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский и М.Ю.Шашков [92], [94] предложили метод опорных операторов, который формулирует требования и позволяет строить разностные операторы векторного и тензорного анализа, удовлетворяющие на сетке квадратурным тождествам, являющимися аналогами соответсвующих интегральных соотношений - следствиями формулы Гаусса-Остроградского. Метод позволяет строить такую систему опорных операторов, исходя из определяющего оператора, который аппроксимируется непосредственно. Опорные операторы строятся путем последовательного разрешения рекуррентных соотношений, являющихся квадратурными уравнениями относительно опорных операторов. Недостатком этой процедуры является ее привязанность к определяющему оператору. Изменение определяющего оператора (шаблон и коэффициенты) приводит к необходимости повторить процедуру построения разностных операций. С целью уменьшения этого недостатка в [32] предложено автоматизировать, с помощью ЭВМ, процесс построения опорных операторов и программирование операторных разностных схем. В [38] решается вопрос построения опорных операторов на сетках, состоящих из центров ячеек и их ребер. Исходя из принципа максимума для разностного оператора Лапласа, получены ограничения на деформацию (косоугольность) сетки. В [39] сформулированы достаточные условия сходимости обобщенных решений разностных схем для уравнения Пуассона в плоском случае, которые имеют вид связей между метрическим оператором и геометрическими характеристиками сетки.
В [3] сформулирована общая схема метода опорных операторов в пространствах тензор - функций произвольного ранга, основанная на формулах суммирования по частям. Возможности такой схемы показаны на примере построения явных формул для сеточных аналогов основных дифференциальных операторов в цилиндрической системе координат и на произвольной сетке из треугольных ячеек.
Таким образом, из рассмотренных методов построения полностью консервативных разностных схем предпочтение следует отдать методу опорных операторов, который математически описывает класс полностью консервативных разностных схем посредством задания квадратурных соотношений, связывающих разностные операторы векторного и тензорного анализа (неявное описание). С целью развития метода встает задача явного описания разностных операторов, для которых квадратурные соотношения метода опорных операторов являются следствием. Помимо выполнения законов сохранения, разностные схемы должны воспроизводить симметрийные свойства течений среды [19]. Воспроизведение математическими моделями симметрийных особенностей течений связано с инвариантными свойствами уравнений, граничных и начальных условий. Инвариантность дифференциальных уравнений относительно некоторых точечных групп преобразований напрямую связана с наличием у этих уравнений законов сохранения. Для дифференциальных уравнений существует развитый аппарат группового анализа Ли - Овсянникова [34], [75], который позволяет исследовать симметрийные свойства дифференциальных уравнений. Как отмечается в [ПО], переход к разностной схеме затрудняет групповой анализ. Эти затруднения порождаются не инвариантностью как сеточной области, так и не инвариантностью решений схем на таких сетках, что проявляется в методических и практических расчетах. При рассмотрении преобразований разностных схем появляется дополнительный объект преобразования -разностная сетка. При этом, если прямоугольная сетка с равномерным шагом при сдвигах, пропорциональных этому шагу, переходит в саму себя, что и дает возможность в численных решениях сохранить симметрию плоских течений, то при вращениях такой инвариантности у этой сетки нет. Такая не инвариантность сетки вносит определенные погрешности в расчет особенностей решения, которые геометрически расположены под углом к линиям сетки. Один из путей учета этих особенностей - выбор соответствующей системы координат.
Другой путь, не отрицающий отмеченный, в рамках выбранной системы координат и связанной с ней сеткой,- построение разностных схем, наилучшим образом воспроизводящих в численном расчете особенности решения. На этом направлении исследования появляются различные подходы к определению и построению инвариантных разностных схем [102], [109], [ПО], среди которых наиболее разработанным является метод дифференциального приближения. В этом методе групповому анализу подвергается не разностная схема, а ее соответствующее дифференциальное приближение. Построены инвариантные, в смысле первого дифференциального приближения, разностные схемы газовой динамики, установлена связь полной консервативности разностных схем со свойствами их дифференциальных приближений [110].
Квадратурно- аппроксимационный алгоритм построения дифференциально-разностных схем
Пусть Q{fiv42 4i,A " область в R3 течения жидкости, {qi,q2,q3)-система криволинейных ортогональных координат. Обозначим через S + S границу Q{f) . S - смоченная поверхность Q(t), являющаяся твердой границей, а - свободная поверхность. Динамические уравнения Навье -Стокса вязкой несжимаемой жидкости в области Q(t) имеют вид diVW = (3.3) pdwjdt-diva = 0. На твердой неподвижной границе ставится условие прилипания и = 0, а на свободной границе кинематические и динамические условия dr/dt = w, &v = vp0, где р0- давление на свободной поверхности. При линейной зависимости между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций а = -р1 + 2pvS, получается модель ньютоновской жидкости div w - 0, pdw/dt = -gradp + pvAw, v- коэффициент кинематической вязкости. В системе Навье - Стокса выполняются законы сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии, движения центра масс. Особенность закона сохранения энергии заключается в том, что в силу диссипативных свойств вязкой жидкости полная энергия при отсутствии источников - величина убывающая. Для идеальной жидкости, v = 0, сохраняется величина вихря скорости. В вязкой жидкости поведение завихренности описывается для плоских течений уравнением д /dt + w V = vA , = rotw. Поведение энстропии (квадрата модуля вихря), как следствие последнего соотношения, в вязкой жидкости моделируется уравнением — Jo. S dxdy - v feA&buty = 0.
Операторы div при эйлеровом описании среды являются линейными операторами. При переходе от эйлеровых координат к лагранжевым координатам а, Ь, с : qt= q] (а, Ъ, с, i), j = 1,2,3/ воспользуемся соотношениями д(ф/дак = dq /dqy dqy /да , ах=а,аг= Ъ, аг = с, разрешая которые, при условии / = d(ql,q2,q3)/d(a, Ъ, с,) 0, приходим к искомым выражениям. В случае декартовых прямоугольных координат и плоского двумерного течения динамические уравнения несжимаемой вязкой жидкости (3.3) в области Q в переменных Лагранжа имеют вид / = /.. (3-4) pd xJdt rdiojJ/da.+F,, (3.5) dxi/dt = w , /,а,(З = 1,2; (3.6) где I - якобиан перехода от эйлеровых координат xt к лагранжевым з, 10- начальное значение якобиана, w = {wl,w2,wi,}- вектор скорости частиц среды, ац - компоненты тензора напряжений, F = {Fl,F2,,F3}- вектор внешних массовых сил, имеющих потенциал, Іц = дІ/д[іц, (іу =дхі/а].
Уравнения (3.4)-(3.6), дополненные соотношением между тензором скоростей деформаций S и тензором напряжений а, а также начальными условиями, граничными условиями на смоченной границе S (условия прилипания или проскальзывания) и на свободной границе a. .2=-M2 (3-7) полностью определяют эволюцию объема жидкости. В случае ньютоновской жидкости связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций выглядит как ( 5,у - символ Кронекера) crv -p5IJ+2pVSv, (3.8) Su = 0.5 {Iladwk /даа + /tadw( /даа)//, (3.9) С учетом этого уравнение движения (3.5) запишется в виде pd2xjdt2 =I-ld{-pIia+pvriI Iyadwi/da /daa+PFi, (3.10) Групповые свойства течений со свободной границей - решений уравнений Навье-Стокса исследованы в [78].
Безвихревое осесимметричное течение тяжелой жидкости происходит в области, ограниченной твердыми и свободными границами, границами раздела. Возможны также границы на бесконечности. С учетом осевой симметрии задачи решение ищется в области меридионального сечения течения жидкости Q(x,r,t), t 0, на полуплоскости (x,r),r 0, Е-поверхность раздела газ - жидкость, g - вектор силы тяжести параллельный оси симметрии Ох . Потенциал скорости p(x,r,t) в Q удовлетворяет уравнению Лапласа в цилиндрической системе координат (JC, г): д2(р/дх2 +г х 8{гд(р/дг)/дг = 0. (3.11) На оси симметрии г = 0 и твердых границах нормальная производная Эф/Эи обращается в нуль. При приближении к бесконечности скорость w = Vq и потенциал скорости ср стремятся к нулю. На границе выполняются два граничных условия: кинематическое dx/dt = dy/dx,dr/dt = d(p/dr,{x,r)e , (3.12) и динамическое условие непрерывности давления р в окрестности границы раздела 2. Для потенциальных течений давление в фиксированной точке (x,r)eQ связано с потенциалом через интеграл Лагранжа — Коши Эф/аг + о. 5v92 + P/p+gx = /(f), (З.із)
Тождество Нетер
Под законом сохранения (квадратурным законом сохранения) некоторых сеточных количеств дискретного аналога сплошной среды будем понимать квадратурное соотношение по произвольной сеточной подобласти исходной дискретной области (сетки), которое описывает сохранение (изменение) этого количества среды (массы, импульса, энергии, момента импульса и т.д.) в даннной подобласти. Мы будем говорить, что для разностной, или дифференциально-разностной схемы выполняется закон сохранения, если этот закон есть алгебраическое следствие схемы. Имея базисные операторы, переход от дифференциальной системы уравнений в векторной форме механики сплошной среды к дифференциально-разностной схеме проводится заменой дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа на их разностные согласованные аппроксимации. Такая замена приводит к операторным схемам, которые не всегда являются полностью консервативными, например, для эйлерова описания среды. Вклад в дисбаланс энергии вносит аппроксимация членов конвективного переноса в уравнении движения. Для устранения дисбаланса в [25] предложена специальная форма записи членов переноса, названная каскадной формой представления конвективных членов переноса количеств в уравнениях. Мы опишем другой способ построения полностью консервативных разностных схем, основанный на базисных операторах. Идея этого подхода заключается в повторении методологии получения дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере вывода уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. Запишем законы сохранения массы, импульса и энергии для произвольного обьема среды Q с поверхностью в виде
Характерной особенностью этого представления закона сохранения энергии является присутствие под знаком интеграла как уравнения движения (3.5), так и дифференциального уравнения энергии dps/dt + divpzw + pdivw = О, причем член 2divpwa w = ри gradwa + divpwa w + wadivpw, в уравнении (3.5) представлен в свернутом виде. Поскольку возможности разностных выражений сворачиваться не такие широкие как у дифференциальных, будем применять последнее тождество для аппроксимации конвективной производной. Положим это наблюдение в основу алгоритма построения полностью консервативных разностных схем в переменных Эйлера.
Покажем основную схему алгоритма на примере построения дифференциально-разностных схем газовой динамики в переменных Эйлера. В основу построения схемы положим дискретные законы сохранения массы, импульса и энергии в форме квадратурных равенств. Из закона сохранения массы, аналога (3.1) Y.pv M + I wp/) = o, (3.6) а. Л Г применяя соотношение (1.5) {y-y/pl) = VDIV(pw), получим разностное Г ш уравнение неразрывности dp/t + DIV(pw) = 0. (3.7) д Здесь у/єИт,рєНп,р = (рУ)ш/аєНт. Оставляя пока в стороне закон сохранения импульса, рассмотрим квадратурный закон сохранения полной энергии (аналог закона (3.3)) a[o.5XpFw4 pFe]/ar + o.5X(H2/ -v/) + Z( w-v/)+Z( w-v/) = 0 (3-8) V u пу/ г г г где є є На,є = (є)т,р є На,()а : Нп - На,()п :На- Нп- усреднение. Последние три члена (3.8) преобразуем, прибегнув к помощи формулы суммирования по частям (1.1), к виду Z(wfpw v/) = YJV(w,)DIVwipw + Х Чри GRAD(wi), Г П а (рєи . у/ = Y/DIVzpw, г n X (/?и vl) = X К/?/)/Ки + X Ри GiMDp Г П ш Применяя формулу X ( )n = Х ( )ш пеРвое соотношение запишем П a; в форме, не содержащей суммирование по ячейкам Х(м/2ри v/\ = 5 ,(Кри GRAD(w,) + (VDIVw,pwj). г Так как операторы частной производной по времени и усреднения переставимы, уравнение (3.7) представим следующим образом Уш др/dt + (VDIVpw)a = О (3.9) Применяя формулу д{р\м\2/l)/dt = w dpw/dt - 0.5w2 др/dt, первый член в выражении закона сохранения полной энергии (3.8) представим в виде d\0.5 pV\w\2 + рКє \ dt = 5 (vdpw/dt + 0.5w(VDIVpw)J+ Vd(pE)/dt Теперь можно записать закон (3.8) в форме, содержащей как уравнение энергии, так и уравнение количества движения Xw, (Va dpw,/dt + 0.5w,(VaDIVpw)a + 0.5Vapw GRADw, + (0 + 0.5(КпЯ/ Чри )ш+ VmGRAD,p) + + Z Kn (3pe/5f + /Fp в w + D/Kw) = 0. n Приравняв выражения в круглых скобках нулю, нетрудно установить, что первое из них является дифференциально-разностным уравнением количества движения Va dpw, /dt + 0.5w, (VnDIVpw)a + 0.5Vapw GRADw + + 0.5{VnDIVw,pw)m + VaGRAD,p = 0, так как аппроксимирует уравнение dpw/dt + divpw + gradp - 0, а второе дрг/dt + DIVpzw + pDIVw = 0, (3.11) аппроксимирует уравнение энергии дрг/dt + divpsw + pdivw = 0. Суммируя уравнение (3.10) по сеточной области соЛ, легко устанавливается консервативность этого уравнения (заложенная процедурой построения), т.е. эквивалентность квадратурному закону сохранения количества движения, который можно представить в форме dl.V.pwJdt + 0.5((м; pw vl) + {w,pw v/»+ 2 v,Z) = 0.
Отметим, что вид аппроксимации конвективных членов уравнения (3.10) в [93], [25] назван согласованной аппроксимацией конвективных потоков. Построенная дифференциально- разностная система уравнений является полностью консервативной схемой. Вопросы, возникающие при дискретизации времени и построении полностью консервативной разностной схемы, рассматривались в [12], [26], [40], [64], [91]. 2.4 Разностные схемы в переменных Лагранжа
Будем строить дифференциально-разностную схему, исходя из законов сохранения массы, импульса и энергии в переменных Лагранжа. Закон сохранения массы на сетке QA d pV/dt O, (4.1) n / в силу лагранжева описания течения, приводит к уравнению неразрывности в виде d{pV)/dt = О. (4.2) Из закона сохранения массы следует, что масса mv = pvVv є #п каждой ячейки не меняется и эта функция не зависит от времени. Следовательно, масса узла тш= тп/к =Н11), к - величина, не зависящая от времени, п суммирование в последней сумме проводится по к центрам ячеек Q , окружающих узел сои. Определим функцию реНш - плотность узла, как р = m/V
Метод базисных операторов построения операторных разностных схем в трехмерном пространстве
Множитель Лагранжа р имеет смысл суммы давления жидкости и потенциала внешних массовых сил. Для системы (1.13) выполняются законы сохранения массы d Idt = О, импульса в форме (1.12а), полной энергии d 2 5Крм;2+П \/dt = 0, EpKp-w« ЬКк- л Мкл 0 (1Л2 момента импульса в форме (1.12в) и движения центра масс в виде (1.12г). П- потенциальная энергия системы (1.13). Перечисленные законы сохранения выполняются на лагранжевой сетке, состоящей из четырехугольных ячеек. На сетке треугольных ячеек закон сохранения импульса выполняется в более общем виде dJ Ш V со У Г Это связано с тем, что справедливо соотношение Z W =Z(Wa .-/«pV) 134 являющееся следствием разностной формулы В GRADxk=Bk, которых на четырехугольной сетке нет. Здесь xtt є Нп - усреднение функции хк є На на центр ячейки, ф( = ф( (?) - произвольные функции от t. Хотя схемы на треугольных ячейках требуют большего числа арифметических операций на один узел (в сравнении со схемами на четырехугольных ячейках), они широко используются в вычислительной практике. Это можно объяснить лучшим воспроизведением свойств дифференциальных операторов и сопротивлением ячеек к выворачиванию в процессе деформирования сетки.
Применение группового подхода к анализу дифференциально-разностных схем позволило сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых группе преобразований соответствует закон сохранения схемы. Практическое значение этого результата состоит в том, что при аппроксимации конкретной системы дифференциальных уравнений формулируются условия, при которых разностная схема будет иметь законы сохранения, аналогичные непрерывному случаю, выполнение этих условий позволит строить устойчивые полностью консервативные разностные схемы.
Применительно к схеме (1.11) эти условия выступают в виде требований к аппроксимации якобиана преобразований J, а именно: инвариантность разностного якобиана J относительно группы галилеевых переносов Xit Хи, X3,Yi - необходимое и достаточное условие, при котором каждому галилееву переносу соответствует закон сохранения. При у = 2 условие: Jt 2 является инвариантом группы ХА- оказывается необходимым и достаточным для существования двух дополнительных дискретных законов сохранения, отвечающих операторам Zn, Z2.
Эта глава содержит некоторые новые результаты, касающиеся развития универсального метода базисных операторов конструирования полностью консервативных разностных схем. При решении задач механики сплошной среды в областях с криволинейными границами зачастую применяются криволинейные координаты, упрощающие процесс получения решения. Построению разностных схем в криволинейных системах координат посвящено множество работ (см. например, [19], [91], [104], [65], [92], [94], [ПО], [37] и цитируемую там литературу). Существенной проблемой здесь является построение разностных аппроксимаций дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа, которые наследуют основные свойства дифференциальных операторов, такие, как самосопряженность, знакоопределенность, инвариантность и др.
На регулярных ортогональных сетках такая проблема в основном уже решена [65], [68], [106]. Сложнее обстоит дело в случае косоугольных сеток. На таких сетках проблему решает метод опорных операторов [86], [92], [94]. Этот метод позволяет строить систему опорных операторов (разностных аналогов основных операций векторного и тензорного анализа), исходя из определяющего оператора, который аппроксимируется непосредственно. Опорные операторы строятся путем последовательного разрешения рекуррентных соотношений, являющихся квадратурными уравнениями относительно опорных операторов. Недостатком этой процедуры является ее привязанность к определяющему оператору.
Изменение определяющего оператора (шаблон и коэффициенты) приводит к необходимости повторить процедуру построения разностных операций. С целью уменьшения этого недостатка в [32] предложено автоматизировать на ЭВМ процесс построения опорных операторов и программирование операторных разностных схем.
В главе 2 показано, что согласованные разностные операторы векторного и тензорного анализа (опорные операторы) на косоугольных (неортогональных) сетках для любого порядка аппроксимации можно построить, не конкретизируя вид определяющего оператора, по формализованным правилам, аналогичным формулам, определяющим вид аппроксимируемых дифференциальных операторов. Получение этих формализованных правил базируется на формальном согласовании операторов разностных производных по переменным х, у в виде формулы суммирования по частям на косоугольной сетке. При конкретизации вида определяющего оператора согласованность операторов разностных производных на регулярной косоугольной сетке оказывается следствием формулы суммирования по частям для разностных производных на регулярной ортогональной сетке. Последняя сетка связана с регулярной косоугольной сеткой некоторым невырожденным преобразованием с сохранением топологической структуры узлов.
Цель главы состоит в разработке метода базисных операторов для ортогональных систем координат с плоской и осевой структурами. Строится формализованная система разностных операций векторного и тензорного анализа произвольного порядка аппроксимации для произвольной ортогональной криволинейной системы координат при наличии плоской и осевой симметрии, а также для трехмерного случая. Эта система разностных операций базируется на согласованных разностных производных по криволинейным координатам и формулах усреднения (операторы проектирования) сеточных функций (метод базисных операторов). Для них получены явные конечные выражения, исследована аппроксимация, показана ихсогласованность и инвариантные свойства.
Построены классы полностью консервативных дифференциально -разностных и разностных схем, аппроксимирующих нестационарные уравнения механики сплошной среды в произвольной ортогональной системе координат. На основе этих схем разработаны алгоритмы расчета течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в областях с криволинейными границами, решаются вопросы аппроксимации граничных условий на твердых границах и свободных поверхностях. Приводятся результаты расчетов таких течений.
