Введение к работе
В настоящей работе проведен анализ принципов и методов построения моделей сплошных сред на межфазных границах, описывающих процессы образования и роста структур адсорбата на поверхности твердого тела. На основании этого анализа развиты методы моделирования образовать: и эволюции таких структур эффективные с точки зрения обоснованности модели и отображения в модели специфичности исходной физической задачи. Методы, применяемые в настоящей работе являются развитием подходов к моделированию, основанных на использовании методов физической механики сплошных сред, теории динамичечских систем, теории марковских процессов, статистической термодинамики, современной теории сложных систем, уравнений математической физики. Термин сплошная среда используется в математическом смысле как вероятностное пространство состояний. В этом пространстве исследуются модели физической сплошной среды, образованной адсорбционными структуррами на поверхности твердого тела. Задачи динамики роста поверхностных структур входят составной частью в более общий класс задач динамики газовой среды вблизи поверхности с учетом твердой фазы, образуемой адсорбируемыми частицами (адатомами). Эти задачи представляют большой интерес в связи с современными исследованиями в области вакуумной техники, микроэлектроники, материаловедения и т.д. Эта общая проблема имеет фундаментальный характер, заключающийся в необходимости рассмотрения элементарных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции, диффузии, химических реакций на поверхности, энергетической релаксации. Необходимо описать в терминах моделей фазовые переходы в адсорбате, образование упорядоченных структур адсорбата, исследовать их устойчивость и т.д.
Актуальность задачи обусловлена следующими фактами. Традиционные феноменологические и термодинамические подходы в исследованиий динамики неравновесных процессов на межфазной границе сплошной среды газ - твердое тело при несомненных успехах в объяснении ряда экспериментальных фактов оказываются недостаточными для описания широкого спектра физических явлений в динамике роста структур. Поэтому затруднены оценка области применимости различных подходов такого рода, описание возможных механизмов образования структур и стадий их роста, сравнение с экспериментами и построение вычислительных алгоритмов. Это делает весьма актуальной задачу последовательного и всестороннего аналитического и численного исследования динамики ростовых процессов на микроскопическом, ме-зоскопическом и макроскопическом уровнях. Проблема имеет междисциплинарный характер, соединяя в себе задачи статистической физики, теории стохастических процессов, физической механики сплошных сред, классической теории динамичес-
Typeset by .AmS-TIeX
кил систем и современной теории сложных систем. Эта особенность исследуемой проблемы объясняет тот факт, что имеется сравнительно небольшой запас принципиально различных моделей, используемых в практических исследованиях.
Основной цепью настоящей работы является развитие универсальных методов постановки и решения задач моделирования динамики роста структур на поверхности твердого тела, образующихся в результате адсорбции атомов или молекул из газовой фазы. Автор подробно проанализировал около 1500 работ (примерно треть из которых приведена в списке литературы в диссертации), посвященных моделированию процессов адсорбции, десорбции, поверхностной диффузии, химических реакций на поверхности твердого тела, энергетической релаксации, моделированию роста поверхностных структур, и связанных с этими задачами работ по теории стохастических процессов, теории динамических систем, уравнений математической физики, современной теории сложных систем. Как показал анализ один из путей достижения этой цели состоит в использовании при моделировании процессов роста поверхностных структур приближения трехмерного решеточного газа с использованием методов марковских процессов и современной теории сложных систем. Для эффективного использования этих методов потребовалось провести детальное изучение работ (кратко изложенных в главе I диссертации), посвященных исследованию и моделированию основных элементарных процессов: адсорбции, десорбции и диффузии. В результате изучения проблемы Автор пришел к убеждению в необходимости использования концепции моделирования, при которой основой моделирования этих процессов является моделирование химических потенциалов адсорбированных частиц. Этот подход позволил описать в рамках единого марковского процесса динамику роста поверхностных структур. Это особенно важно при изучении фазовых переходов в адсорбате, образования диссипативных структур, флуктуации изучаемых величин. При таком подходе удается получить выражения для переходных вероятностей в модельных уравнениях, учитывающие достаточно полно (в рамках принятых при моделировании взаимодействий адатомов ограничений) физические параметры поверхностных процессов. Также удается установить точные границы интервалов изменения обобщенных безразмерных управляющих параметров, соответствующих различным режимам и стадиям роста структур, из которых легко получить значения соответствующих физических, параметров. В более традиционных подходах из упомянутого выше списка изученных автором работ процессы адсорбции, десорбции и диффузии моделируются с использованием соответствующих физических результатов, но практически независимо друг от друга. При таком подходе моделируются известные из экспериментальных данных или теоретических представлений поверхностные структуры и процессы, формирующие эти структуры. При этом получить выражения для переходных вероятностей, эффективно учитывающих физические параметры, и точные интервалы изменения параметров очень трудно или невоз-
можно. Развиваемые в работе методы и модели в значительной мере свободны от этих недостатков, так как основой моделирования является описание основного физического процесса - взаимодействия адатомов. Этот процесс генерирует особенности основных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции, диффузии. При этом построенные модели можно использовать для уточнения известных феноменологических моделей. В работе выведены и исследованы уравнения для функций состояния системы адатомов (заполненностей ячеек) и для корреляционных функций. Методы развиваемые в данной работе позволяют строить модели, которые имеют предельные квазистационарные и стационарные решения, согласуемые с термодинамикой в силу флуктуационно-диссипативных соотношений, удовлетворяют теоремам Ляпунова об устойчивости. Ввиду сложности проблемы основное внимание было уделено построению моделей, описывающих достаточно полно и детально сответствующие физические задачи. При построении моделей автор ориентировал их на использование стандартных численных алгоритмов, достаточно простого языха программирования (FORTRAN), использование распространенных пакетов программ (MAPLE и MathLab) с целью упростить сравнение рассчитанных с помощью моделей данных с экспериментальными. Поэтому построенные модели можно эффективно применять для математических исследований сложных нелинейных процессов при межфазных взаимодействиях газовая среда-твердое тело методами теории стохастических процессов и современной теории сложных систем.
Цель работы состоит в разработке и развитии методов постановки, исследования и решения задач образования и динамики роста структур на межфазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела. Исследования проводятся на основе методов теории марковских процессов, статистической термодинамики, теории динамических систем и учитывают основные поверхностные процессы: адсорбцию, десорбцию и диффузию.
Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:
-
Развиты методы построения класса математических моделей, описывающих образование и рост структур на межфазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела, основанные на теории марковских процессов и статистической термодинамике и учитывающие основные поверхностные процессы: адсорбцию, десорбцию и диффузию.
-
Выведены математические модели образования и эволюции поверхностных моно- и многослойных структур, учитывающие основные теоретические представления о процессах адсорбции, десорбции и диффузии адатомов на поверхности твердого тела.
-
Выполнены математические исследования построенных моделей. Предложены методы получения аппроксимации переходных вероятностей в уравнениях моделей. Выделены критерии существования различных режимов динамики роста структур, проведены исследования этих режимов и стадий роста структур, исследована связь между параметрами модельных структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.
-
Построены математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающих известные феноменологические модели. Проведен сравнительный анализ построенных и известных ранее моделей.
-
Установлены критерии возникновения самоорганизованных структур, фазовых переходов, проведены оценки скоростей химических реакций, исследованы режимы роста на различных стадиях эволюции структур.
6. Получены численные и аналитические результаты, включающие постановки
начальных, начально-краевых и краевых задач, доказательства теорем существова
ния и единственности решений, доказательства существляютя предельных плотнос
тей вероятностей для уравнений моделей, доказательства флуктуационно-диссипа-
тивных соотношений для построенных моделей, исследования сформулированных
задач и их численные или аналитические решения. Эти результаты входят в мате
матическую базу обоснования методов построения и исследования моделей.
Все полученные результаты являются новыми. Наиболее важные из них следующие.
-
Разработаны универсальные методы построения моделей динамики роста поверхностных структур методами теории марковских процессов, позволяющие выводить уравнения модели в рамках единого марковского процесса, основой которого является моделирование взаимодействия частиц (адатомов) с учетом основных физических параметров моделируемых систем.
-
Выведены уравнения динамики роста структур, для которых флуктуоционно-диссипативные соотношения получаются естественным образом. Проведены доказательства существования, единственности и устойчивости предельных стационарных плотностей вероятностей для уравнений моделей.
-
Проведены полные математические исследования построенных моделей. Развиты методы получения аппроксимации переходных вероятностей в уравнениях моделей. Доказаны теоремы, дающие критерии существования различных режимов динамики роста структур. Проведены численные исследования моделей для различных режимов и стадий роста структур, исследована связь между геометрией
структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.
-
Построены математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающих известные феноменологические модели. Проведен сравнительный анализ построенных и известных ранее моделей.
-
Модели адаптированы для использования стандартных вычислительных алгоритмов и распространенных комплексов программ (MAPLE и MathLab).
-
Проведены качественные, с использованием методов теории динамических систем, и численные, с применением стадартных вычислительных алгоритмов и математических систем MAPLE и MathLab, исследования построенных математических моделей. Получены критерии возникновения самоорганизованных структур, фазовых переходов, оценки скоростей каталитических реакций на поверхности твердого тела, исследованы режимы роста на различных стадиях эволюции структур.
-
Получены математические результаты по обоснованию методов построения и исследования моделей. Они включают постановки начальных, начально—краевых и краевых задач, доказательства теорем существования и единственности решений, доказательства существования предельных плотностей вероятностей для уравнений моделей, доказательства флуктуационно-диссипативных соотношений для построенных моделей, модификацию и адаптацию вычислительных алгоритмов и комплексов программ для численного исследования моделей и расчетов характеристик моделируемых структур.
В результате проведенных исследований развиты методы, позволяющие получать уравнения моделей, согласованные с термодинамическим описанием. Это обеспечивает возможность использования полученных критериев для управляющих параметров в известных физических моделях: модель Кардара - Паризи - Жанга и ее обобщения, модели группы Введенского, модели поверхностных структур Кукушкина -Слезова и т.д. Развитые методы позволяют эффективно сравнивать рассчитанные с помощью моделей данные с экспериментальными с контролируемой точностью. В этом также состоит научная новизна работы. Уравнения, полученные в ранках предлагаемых подходов, ранее практически не предлагались. Математические исследования задач динамики роста структур на поверхности твердого тела в рамках моделирования единого марковского процесса и вывода соответствующих самосогласованных уравнений методами современной теории сложных систем имеют принципиальное значение. Помимо перечисленных качеств эти модели имеют структуру уравнений, удобную с точки зрения применения методов математической физики для их исследования и решения. Уравнения моделей обладают определенной симметрией, облегчающей постановки начально-краевых задач и получение вариационных
формулировок задач. Все эти свойства моделей являются в общем контексте таких задач новыми, их получение составляло часть целей, поставленных при написании данной работы.
1. Результаты по развитию и обоснованию универсальных методов построения
класса математических моделей, описывающих образование и рост структур на меж
фазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела. Они являются раз
витием методов, основанных на теории стохастических процессов, статистической
термодинамике, теории динамических систем и учитывают физические параметры
основных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции и диффузии.
-
Математические модели образования и эволюции поверхностных моно- и многослойных структур, обобщающие и уточняющие основные известные модели, с учетом основных физических параметров моделируемых систем.
-
Результаты математических исследований построенных моделей. Они включают методы получения аппроксимаций переходных вероятностей в уравнениях моделей, доказательства теорем, дающих критерии существования различных режимов динамики роста структур. Результаты численных и аналитических исследований уравнений моделей для различных режимов и стадий роста структур, включающие исследование связи между геометрией структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.
4. Математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщаю
щие и уточняющие известные феноменологические модели.
5. Критерии возникновения поверхностных самоорганизованных структур, фазо
вых переходов, режимов роста на различных стадиях эволюции структур, оценки
скоростей химических реакций, зависимости характеристик структур от значений
безразмерных управляющих параметров и физических параметров адсорбата, газо
вой фалы и твердого тела.
6. Математические результаты по обоснованию методов построения и исследо
вания моделей: постановки начальных, начально-краевых и краевых задач, доказа
тельства теорем существования и единственности решений этих задач, доказатель
ства существования, единственности и устойчивости предельных плотностей веро
ятностей для уравнений моделей, доказательства флуктуационно-диссипативных со
отношений для построенных моделей.
Основные результаты работы регулярно представлялись на международных и национальных конференциях, симпозиумах и семинарах. Среди них можно указать
следующие:
- X Всесоюзная Конференция по Динамике разреженных газов, 1989, Москва; -Школа - семинар АЗАУ - 89, Черноголовка, 1989; - XI Всесоюзная Конференция по Динамике разреженных газов, 1991, Ленинград; - 2nd European Fluid Mechanics Conference, Krakow, 1994; - XIX Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Oxford, England, 1994; - Int. Conf. "SyDergetics-95", 1995, SPb; - Международная конференция "Математическое моделирование нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах, 1996, ТвГТУ, Тверь; -3d International Conference "Problems of Geocosmos", 1998, SPb; - XXI International Conference on Rarefied Gas Dynamics, 1999, Marseille, France; - Национальная конференция "Информационно - вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем и прикладных задач химии, биологии, фармацевтики и ме-дицины(ИВТН - 2002), 2002, Москва; - 4th International Conference "Problems of Geocosmos", 2002, SPb; - Национальная конференция "Информационно вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем и прикладных задач химии, биологии, фармацевтики и медицины(ИВТН - 2002), 2004, Москва; -5th International Conference "Problems of Geocosmos", 2004, SPb; - на семинаре "Теория сложных систем в прикладных и междисциплинарных исследованиях", СПбГУ, 2000 -2003 и на ряде других семинаров.
По теме диссертации опубликованы две монографии и 15 статей, из них 11 в рекомендованном ВАК списке реферируемых изданий. Общее количество публикаций по теме диссертации - 32 работы.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации 349 страниц основного текста, включая рисунки и список литературы из 451 наименования.
