Содержание к диссертации
Введение
1 Морфологические модели в задачах анализа изображений 11
1.1 Общие черты морфологических методов как инструмента для получения новых знаний 17
1.2 Проблема узнавания изображений 21
1.2.1 Традиционные алгоритмы узнавания, основанные на морфологических моделях 22
1.2.2 Теоретико-возможностные модели узнавания 26
1.3 Проблема оценивания параметров объекта по его изображению 29
1.3.1 Морфологические модели изображений объекта для оценивания его параметров 30
1.3.2 Уточенения модели: роль измерительного прибора и среды 34
1.4 Ненараметрические задачи: морфологический подход 36
1.4.1 Проблема фильтрации изображений 37
1.4.2 Задача подавления помех 44
1.4.3 Сегментация изображений: обнаружение и локализация неизвестных объектов 46
1.4.4 Задача определения формы текстурнозначного изображения 50
1.4.5 Прогнозирование фрагментов изображения, основанное на морфологической модели 54
2 Качество морфологических методов как технологии получения новых знаний 60
2.1 Сравнительный анализ морфологических алгоритмов узнавания 60
2.1.1 Байесовское решение [12,15] 60
2.1.2 Статистическое моделирование нечеткого элемента 64
2.1.3 Сравнительный анализ алгоритмов в вычислительном эксперименте 75
2.2 Сравнительный анализ алгоритмов обнаружения и локализации объектов на изображении 80
2.2.1 Морфологический алгоритм , . 81
2.2.2 Локальный корреляционный алгоритм 82
2.2.3 Локальный алгоритм ранговой корреляции [20,21] 83
2.2.4 Сравнение алгоритмов 84
2.3 Качество алгоритма определения формы текстурнозначного изображения 89
3 Приложения 91
3.1 Анализ изображений геологических структур 91
3.1.1 Оценивание параметров особенностей геологической формации 92
3.1.2 Прогнозирование изображений геологических структур 99
3.2 Оценивание качества поверхности образца сплава алюми
ния по его изображениям 101
3.2.1 Пространство изображений микротекстур 102
3.2.2 Поле направлений на изображении 103
3.2.3 Результаты анализа 104
Оглавление 4
Заключение 107
Литература 109
- Традиционные алгоритмы узнавания, основанные на морфологических моделях
- Проблема фильтрации изображений
- Сравнительный анализ алгоритмов в вычислительном эксперименте
- Оценивание параметров особенностей геологической формации
Введение к работе
Актуальность исследования
Анализ изображений, машинное зрение — это та область применения новейших информационных технологий, которая традиционно и по праву считается одной из самых сложных. Для этого существует множество причин, среди которых следует особо отметить саму природу изображения как носителя информации об объекте исследования.
В самом деле, существует широкий класс задач, которые принято относить к задачам анализа изображений, и которые сводятся к проблеме получения нового знания об исследуемом объекте, причем это знание должно быть сформулировано в «концентрированной» форме. Речь идет о таких задачах как оценивание параметров объекта по его изображениям, узнавание объекта, классификация объекта, анализ сцены по ее изображению с целью принятия решения. Между тем сами изображения, предъявляемые для анализа, содержат большое количество «мешающей» информации, т. е. информации, не интересующей исследователя — по крайней мере, напрямую. Например, изображение может содержать информацию о среде, в которой находится объект, в то время как исследователя интересует только сам объект. Другим примером может служить изображение, полученное с помощью технически несовершенного оборудования, и вследствие этого содержащее шум или систематические искажения, привнесенные регистрирующи устройством.
Для эффективного решения упомянутых задач необходимо констру-
Введение
ировать такой инструмент анализа, который позволяет абстрагироваться от сложности изображения, редуцируя ее до уровня сложности представлений об объекте. Получение инструмента, обладающего этим свойством, возможно на основе модели исследуемого объекта и (или) модели формирования изображений, предъявляемых для анализа.
Таким образом, методы анализа изображений, основанные на использовании моделей исследуемых объектов, предоставляющие возможность для уточнения этих моделей без необходимости существенно модифицировать применяемый математический формализм, представляют особый интерес при разработке технологий для получения нового знания. По мнению автора, к числу таких методов относятся морфологические методы анализа изображений [1-3]. Ключевым моментом в них является понятие о форме изображения как о множестве, содержащем всю информацию о семантике исследуемого являения, объекта или сцены, которую можно получить из изображения, при этом максимально абстрагируясь от информации, не интересующей исследователя — такой как условия регистрации изображения. Изначально морфологические методы применялись для решения некоторых специфичных задач — таких как узнавание сцен, обнаружение и локализация объектов на сцене, — в условиях, которые формулировались как предположения о характере возможных изменений изображения и не были явно связаны с моделью сцены или объекта исследования. С течением времени класс моделей, применяемых в сочетании с формализмом морфологических методов, становился все более обширным; соответственно все шире становился и круг задач, которые были решены с помощью этих методов.
Важным аспектом при рассмотрении алгоритма для получения новой информации является качество этого алгоритма, понимаемое в соответствии с принятой моделью. Действительно, существует ряд алгоритмов (или даже классов алгоритмов), не основанных на формализованных моделях; при этом они, как правило, вообще не могут быть охарактеризованы в терминах качества. Между тем, гарантированное качество
Введение
вывода, сделанного при помощи некоторого алгоритма, основанного на модели, — например, дисперсия несмещенной оценки параметра в задаче оценивания, или вероятность ошибки в задаче узнавания, — делает алгоритм привлекательным с прикладной точки зрения, а саму модель — перспективной для дальнейшего исследования.
Одна из проблем, которая часто остается в стороне при рассмотрении той или иной модели — это ее адекватность. Исследователя всегда волнует ответ на вопрос о том, насколько он может доверять полученному выводу. Часто решение этого вопроса оставлено самому исследователю, причем механизмы получения нового знания из изображений не предусматривают возможности судить о том, насколько они применимы. Иными словами, верификация вывода часто осуществляется методами, внешними по отношению к самой процедуре получения вывода. Это в целом соответствует современным научно-философским представлениям о возможности (точнее, невозможности) подтвердить некоторый вывод с помощью той же процедуры, которой он получен. Между тем, эти же общие представления устанавливают допустимость отыскания противоречия между моделью и реальностью. Таким образом, наиболее ценным для исследователя при прочих равных условиях является тот алгоритм, который осуществляет верификацию предъявляемых для анализа изображений на предмет остутствия противоречий с моделью, на которой этот алгоритм основан. При обнаружении таких противоречий они должны быть интерпретированы как неадекватность модели.
В настоящей работе рассматриваются некоторые модели, позволяющие получать информацию об изучаемом объекте или сцене в рамках парадигмы морфологических методов анализа изображений, при этом учитывая специфику объекта исследования в теоретико-вероятностной или в теоретико-возможностной формулировках. Первое позволяет строить решения, оптимальные или близкие к оптимальным в смысле, принятом в теории статистических выводов; при этом в работе доказывается оптимальность получаемых решений или приводятся
Введение
агрументы, указывающие на возможность теоретическоий количественной оценки качества решений. Нечеткие модели оказываются полезными в ситуации, когда исследователь не обладает информацией, достаточной для построения стохастической модели; при этом, как показано в диссертационной работе, применение нечетких моделей иногда дает результаты, сопоставимые по качеству с оптимальными статистическими решениями. В работе дан сравнительный анализ решений на основе предлагаемых моделей с другими известными решениями рассматриваемых задач. Отдельная глава посвящена вопросу об адекватности выводов, основанных на предлагаемых моделях.
Цели и задачи исследования
Основной задачей настоящей работы является формализация и изучение свойств теоретико-вероятностных и теоретико-возможностных моделей объектов и сцен, и их применение при построении процедур получения новой информации в рамках парадигмы морфологических методов анализа изображений.
Более точно, исследовалось применение стохастических и нечетких моделей в задачах:
узнавания изображений,
оценивания параметров объекта по его изображению,
подавления помех на изображении,
обнаружения и локализации неизвестных объектов на изображении известной сцены,
определения формы текстурнозначного изображения,
прогнозирования фрагментов изображения.
Введение
Для указанных задач построены процедуры получения выводов, основнные на предложенных моделях, и приведены результаты, характеризующие качество процедур*. В работе проведен сравнительный анализ полученных процедур с другими известными процедурами решения задач в схожей постановке (теоретически, где это возможно, или в вычислительном эксперименте). Автором исследуется также вопрос о выявлении противоречия между используемой моделью и данными, предъявляемыми для анализа, в контексте проверки адекватности модели.
Методологическая и теоретическая основа исследования
Методологической и теоретической основой исследования являются работы Ю. П. Пытьева, в которых заложены базовые принципы морфологических методов анализа изображений [1-3]. Для построения и использования стохастических моделей объектов исследования в работе применяется аппарат и результаты теореии вероятностей и математической статистики. Формализация нечетких моделей, а также понятие оптимальности в связи с использованием таких моделей, опирается на работу [17], в которой нашли теоретико-возможностную интерпретацию важные аналоги результатов теории статистических выводов.
Сравнительный анализ предлагаемых автором процедур проводится в том числе в вычислительном эксперименте, что является одним из принятых приемов при рассмотрении методов анализа изображений.
Суждение об адекватности обсуждаемых в диссертации моделей опирается на теорию надежности выводов [8].
Основные положения и результаты, используемые в работе, привидятся в основном тексте диссертации непосредственно перед их исполь-
* Интерпретация термина «качество решающее процедуры* в каждом случае соответствует природе используемой модели и зависит от характера решаемой задачи.
Введение
зованием, в соответствующих разделах.
Практическая значимость работы
Результаты выполненного исследования могут быть использованы при разработке информационных систем анализа изображений или технического зрения, где решаются задачи получения оптимальных выводов и их верификации.
В частности, во время работы над диссертацией некоторые из предложенные результатов применялись автором в составе исследовательской группы, работающей над задачами анализа изображений геологических структур в рамках договора о сотрудничестве между Физическим Факультетом МГУ им. М.В.Ломоносова и компанией Schlumberger. Другие приложения были найдены в работе, посвященной оцениванию качества металлопрокатной продукции компании ALCOA. Соответствующие прикладные задачи и полученные результаты отражены в основном тексте диссертации.
Апробация результатов исследования
Основные положения и результаты диссертации были представлены на 5-й Международной конференции «Распознавание Образов и Анализ Изображений: Новые Информационные Технологии» (РОАИ-5-2000), 10-й и 11-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», а также опубликованы в 3-х печатных работах.
Традиционные алгоритмы узнавания, основанные на морфологических моделях
Предположим, что в (1.6) координаты Уу вектора шума v одинаково распределены, независимы, Ev = 0 и Ev = a2 оо, г = 1, n, j = 1, т. Как показано в [16], при таких условиях случайная величина ІНІ2/ 2 имеет распределение, близкое к центральному -распределению с N = m х п степенями свободы, если JV достаточно велико.
Рассмотрим случайную величину = \\g — Р )д\\2/а2, Пусть д = /Ю + „, тогда (fc) = IJ/W + v - P/W(/m + е)) Ц/с2. При больших JV и rankPf( Є JV, к = 0, 9, случайная величина имеет распределение, близкое к распределению х2 с N — гапкР ц степенями свободы, центральному, если к = I, и имеющему параметр нецентрал ышсти (2. = / — Руш/С 0, если к ф I и изображение / не сравнимо по форме с /W.
Пусть имеется 10 случайных величин 0 , ..., (9 , о которых известно, что все они имеют распределение \2 с одинаковым числом степеней свободы и разными параметрами нецентральности , ..., 1%. Пусть известно также, среди них есть лишь одна случайная величина, }-к \
При большом JV и небольшом количестве я . N уровней яркости на эталонных изображениях можно не учитывать тот факт, что оператор Pfw, вообще говоря, не является ортогональным проектором при наличии условий вида (1.11), так как неортогональность проектора Pj влечет неравенство rank Pj \ з вместо равенства rankPf(t) = 8, и Это различие при N ; з не играет роли в последующем рассуждении.
Изображение д называется сравнимым по форме с изображением /, если д Є V/ имеющая центральное -распределение, t\. = 0, у№ — реализация случайной величины k\ ргхз(-, t\) — плотность распределения х2 с данным числом степеней свободы ( N) и параметром нецентральности t% к = 0, 9. Пусть предъявлены десять значений у(\ ..., у случайных величин , отвечающих одной реализации шума v. Если стоит задача отыскания случайной величины с параметром нецентральности, равным нулю, то, как известно [14,15], решающее правило, минимизирующее математическое ожидание частоты появления ошибочных решений, предписывает считать таковой ту, реализация которой равна Ук", где к — argmaxpx2(y(h\ t\) = argminj/ . (1.14) к к Как видно, решающее правило (1.14) совпадает с (1.13). Подведем итоги. Лемма 1. Пусть в равенстве (1.6) координаты vti вектора шума v одинаково распределены, независимы, Ev = 0 и Evfj = и2 оо, і = l,n,j = 1, т. Тогда морфологическое решающее правило (1.13) асимптотически при N —+ оо минимизирует математическое ожидание числа ошибочных решений,
Теоретико-возможностные модели узнавания
В этом разделе построены стратегии решений сформулированные для теоретико-возможностных моделей, обсуждаемых в [17]. Здесь и далее будут приведены некоторые результаты из этой книги. Теоретико-возможностное морфологическое решение Пусть, как и ранее, fW = {Д } $ п — эталонное изображение цифры «fc», г = 1, т, j — 1,п, причем / = 0 W + 1 X(fe)1; Х 4 е Jtmxnt q = 0, 1 — индикаторные функции множеств постоянной яркости (О и 1) на/ \ к = 0/9.
Предъявляемое для узнавания изображение g Ji.N будем считать значением нечеткого вектора , который формируется как сумма вектора / — эталонного изображения одной из цифр — и нечеткого вектора v Є Ж , распределение которого неизвестно, моделирующего шум. Здесь ж — нечеткий элемент, имеющий дискретное распределение возможностей, принимающий значения от 0 до 9 (для простоты будем считать, что все изображения цифр, предъявляемые для узнавания, априори равно-возможны, то есть P( r= k) = 1, Vfc = 0, 9).
Форму Vj{k) эталонного изображения / определим как двумерное линейное подпространство $.N і V/W = {k Є %т п : h = J q,x fc4 -оо со +оо, оо ъ +оо}, которое является линейной оболочкой изображений W 0 и х 1) и СО" ответственно оператор Ру о — как ортогональный проектор на V ): і )ЛГ f 3 = $ fc) ?)X(fcK ЗЄЗІЛ где 4fc)(g)- 4[,J.fc-0.9, = 0,1 Пусть cW(ff) = ( j 5) j є Ж2, є = Г) Є &, Я = jx( },02 0 \ 1. Тогда суммарная яркость проекции предъявленного изображения g на форму V}(t) равна (с (д),Н е). С другой стороны, при фиксированной суммарной яркости проекции, величина CL (д) — со (в) тем больше, чем контрастнее изображение проекции Естественно предположить, что при прочих равных условиях (т. е. при фиксированной средней яркости) чем контрастнее проекция изоб Р(х = к) — возможность равенства н = к .
Проблема фильтрации изображений
Полем зрения X будем называть некоторое ограниченное подмножество евклидовой плоскости $L2. Изображением /(-) называется функция, определенная на всем поле зрения X, принимающая конечные значения в некотором нормированном пространстве R, интегрируемая с квадра-том нормы в X: ІІ/(-)ІІІ( ) = / ИЯ )11!Жс) со. (1.30) X "Как правило, предполагается выполненным более жесткое требование, а именно — требование на геометрию областей, где яркость изображения постоянна.
Здесь под мерой ц(-) будем понимать меру Лебега, если X — континуум, и считающую меру, если X — конечное или счетное множество. Множество всевозможных изображений обозначим L(X). Будем считать, что предъявляемые для анализа изображения таковы, что некоторое их свойство (определенное во всех точках поля зрения) принимает лишь конечное число значений; такие изображения далее будем называть кусочно-постоянными по данному свойству. Множество значений свойства 6 будем в дальнейшем обозначать как S. Подобным свойством может служить яркость изображения в точке, его цвет, текстура. Будем считать, что на множестве S задана метрика ps(-, ) S2 — 3V .
Пусть дано изображение Є (Х), и его свойство в точках поля зрения принимает п значений ві Є S, і = 1, ..., п. Область поля зрения X, содержащую точки, в которых свойство принимает г-е значение, обозначим А\ , г = 1, ..., п. В совокупности {А; , і — 1, ..., п} образуют разбиение поля зрения X: п U А{ = X; Ар П Ар = 0 при і ф j. І=І
Например, модель формирования мозаичного изображения (т. е. изображения, яркость которого в точках поля зрения принимает лишь конечное число значений) можно записать в виде п І=І где СІ Є 31і — яркость на соответствующем множестве А± , а ХІ() — XAf ) индикаторная функция множества А,- , г = 1, ..., п. Если "Индикаторная функциия хв(-) X — {0. 1} произвольного множества В С X определяется следующим образом: { 1, если ІбР, Vi Є X : хв{х) — 0, в противном случае. изображение /() имеет на множествах А\ , і = 1, ..., п, постоянную текстуру , оно представимо как п Я )=5 ( М ), Х, (1.32) где tj(-) : X — Зі1 —- изображение, характеризующее текстуру на множестве А[ . Пусть задан класс 2) //-измеримых подмножеств поля зрения X, такой, что мера каждого множества Т Є S3 равна отличной от 0 константе, не зависящей от Т: VT є //(Г) = const 0. для каждой точки поля зрения X найдется (по крайней мере одно) множество Т Є 2), содержащее эту точку: Vx X ЗТ Є 2) : х Є Т. класс 33 метризован; метрика на 53 обозначена /?я(-,) : S)2 — &f и определена как мера симметрической разности : РЙСГІ, Т2) = М іДГз), Тъ Г2 Є 2?.
В дальнейшем множества — элементы класса Э - будем называть шаблонами. Заметим, что, будучи подмножествами ограниченного множества X, шаблоны также ограничены. Трактовка понятия «текстурнозначное изображение приведена в разделе 1.4.4.
При таком определении функция рх (-, ) не является метрикой в строгом понимании. В самом деле, если симметрическая разность двух множетв, принадлежащих классу S, отлична от пустого множества, но имеет меру 0, то эти два множества с точки зрения «метрики» ря(-, ) совпадают. Однако эта деталь не является принципиальной для дальнейшего.
Приведем конструктивный способ определения класса 5Х Пусть задано TQ С X — подмножество поля зрения — и множество Г обратимых отображений 7 : , сохраняющих меру любого подмножества поля зрения X (VA С X t{")A) = fi(A)) . Будем считать, что совокупность отображений Г и подмножество То поля зрения X таковы, что для всякой точки х X найдется хотя бы одно у є Г такое, что х уТо. Тогда класс 2? может быть определен как совокупность всех образов множества 7Q:
Сравнительный анализ алгоритмов в вычислительном эксперименте
В терминах раздела 1, в каждой точке поля зрения для кусочно-постоянного текстурнозначного изображения следует считать определенным значение s(x) = St, х е Aj, свойства 3 Є S, которое является совокупностью статистических характеристик случайного поля U{-), «ответственного» за значение изображения в данной точке. В примерах, приведенных выше, случайные поля параметризуются значением единственного параметра функции распределения своих (независимых) значений, — дисперсии т2 в первом примере и вероятности р во втором.
Пусть, как и прежде, задано подмножество Г0 поля зрения X и в соответствии с (134) определено множество Г обратимых отображений 7 : X — X. Рассмотрим некоторую процедуру оценивания, которая ставит в соответствие функции р7го(0 Є -(7) сужению Є &(Х) на множество 7?о — значение Sy{g-yTa( )) є #» которое будем интерпретировать как оценку параметра s случайного поля t3(-) Є Т. Эту процедуру обозначим как s7(-) : .(7 0) — S.
В качестве поясняющей иллюстрации рассмотрим случай, когда множество Т0 конечно, на нем задана считающая мера, и mes TQ = N. Тогда сужение g-yTai ) функции з( ) представляет собой конечномерный вектор, а множество .(7 0) есть пространство 0lN. Допустим на время, что параметрическое семейство X позволяет определить плотность рв{х\, ti, ..., JEJV, t?j): (XxR)N — Зі1 совместного распределения для N сечений случайного поля ts(-) : X — R (в точках Xj Є -уТ0, j — 1, ..., TV) для каждого s Є S. При этом оценка s7(-) : RN — S может быть построена, например, как оценка максимального правдоподобия: Ч(з-уТо(0) = argmaxps(ib g(xi), ..., xN, g{xNy)t {хг, ..., xN] = 7. В соответствии с формализмом, изложенным в разделе 1, функционал : Г х (Х) — S определим следующим образом: 1/(7, 9(-)) = MW-)), 7 Г, д{.) Є И{Х),
Вместе с оценивающей процедурой Яу(-) рассмотрим величину d(7, д(-)) Э11, которую будем интерпретировать как погрешность оценки s7( 77r0(-)) значения & на множестве 7Ї0,7 Є Г. Эта погрешность, как и сама оценка, носят пока абстрактный характер, и должны быть конкретизированы при решении прикладной задачи.
Совокупность значений d("f, д(-)) при всевозможных f и д(-) определяет функционал d( , Г х И(Х) Зі1. Задание d(7, ?) и v(7 9(-)) таким образом, чтобы выполнялись требования (I).-(IV). позволяет воспользоваться определением результата фильтрации текстурнозначного изображения, который, в соответствии с (1-37), равен р(х) = зГ(х)(дГ(х)То(-)), xGX, (1.43) где 7 (#)7о — решение уравнения (1.36).
Полученная оценка р(-) : X — S поля значений свойства & изображения 5(), в свою очередь, является мозаичным изображением. Форму изображения tp(-) будем интерпретировать как оценку формы текстурнозначного изображения д(-).
Как отмечалось во введении, критерий качества в проблеме определения формы изображения должен зависеть от того, какая задача должна быть решена в дальнейшем с использованием оценки формы. Для того, чтобы проиллюстрировать результат работы предлагаемого алгоритма оценивания формы текстурнозначного изображения, предположим, что множество S есть подмножество действительной оси Ж1, и определим погрешность оценивания истинной формы Р изображения формой изображения ip(-) следующим образом: то есть как невязку между проекцией р(-) на форму истинного ноля значений свойства & изображения предъявленного для анализа.
В этом разделе речь пойдет о решении задачи прогнозирования фрагментов изображения в случае, если модель анализируемого изображения характеризуется априорным знанием его локальных свойств. В частности, в некоторых случаях можно предполагать, что предъявляемое изображение /(0 = Л(-) + (0 является кусочно-постоянной функцией /с() : X — R, к которой добавлена некоторая случайная функция f : X — R, моделирующая шум, причем области постоянства функции /с(), Ах,.. .,Ак,... ((J Ак = Л", Ак П Aj =0 при к ф j), таковы, что каждая точка внутри каждой из областей Ak может быть накрыта множеством из некоторого семейства Т, целиком лежащим внутри Л . Обозначим это предположение звездочкой ( ).
Семейство Т будем назвать семейством текстурных шаблонов. Оно допускает несколько способов формализации. Один из них состоит в том, чтобы представить каждый шаблон семейства в виде изображения hg(-) на поле зрения Х\ здесь g Є G означает параметр шаблона семейства.
Фактически семейство Т, в совокупности с предположениями о свойствах распределения случайной функции У( ), представляет всю априорную информацию о предъявляемых изображениях.
Оценивание параметров особенностей геологической формации
Изображения, типичные для таких особенностей формации как трещины, выглядят с учетом топологии скважины и пространственной ориентации трещины как изображения полоски, яркость которой отличается от яркости фона, форма которой напоминает график функции sin на одном периоде своего аргумента. Аплитуда и фаза такой «синусоиды» зависит от ориентации трещины по отношению к скважине; тощи-на полоски определяется раствором трещины. Все эти параметры являются критически фажными в производственном процессе, поскольку они определяют стратегию и тактику дальнейших действий инженера-геолога на месторождении. Задача оценивания этих параметров была решена с помощью морфологических методов аналиа изображений в рамках предложенных в настоящей работе моделей им процедур.
Для эффективного использования данных ADN при анализе изображений скважины, одной из наиболее важных проблем является получение реалистичной модели процесса, в котором физические характеристики среды, окружающей скважину, трансформируются в измеряемое изображение ADN относительно низкого разрешения. Изображения ADN содержат 16 кривых с «вертикальным» разрешением 0.5ft. Это в 15 раз меньше, чем количество данных, содержащихся в изображе ниях RAB. В такой ситуации решение задачи обнаружения слоистых структур и оптимального оценивания их параметров, очевидно, требует модификации методов морфологического анализа изображений ADN,
Предположим, что характеристики среды, окружающей скважи-ну,отображаются посредством функции /() : X — $У (или /() Є L(X)), ставящей в соответствие каждой точке х «поля зрения» X — развертки поверхности скважины — вещественное число f(x) Є Зі1, которое интерпретируется как яркость «идеального» изображения /(-) в точке х. Это — обычная абстракция изображения с бесконечно высоким разрешением и идеальным качеством.
Данные ADN представляют собой изображения низкого качества и небольшого разрешения. Будем считать, что изображение ADN задано значениями яркости в N = т х п точках аг1( х2, ядг поля зрения X. Будем считать, что модель формирования изображений ADN соответствует модели, предложенной в разделе 1.3.2, а именно:
Рассмотрим линейный оператор А : &(Х) — 3iN, превращающий «идеальное изображение» /(-) в размытое изображение Af(-) с невысоким разрешением. Далее мы будем использовать лишь операторы, допускающие представление в интегральной форме Ш)к= f f(x)p(x-xk)dx, k = l,...,N, (3.1) X в которой «ядро» /){) Є &{Х) — некоторая неотрицательная функция, похожая на, к примеру, плотность нормального рапределсния. В таком случае, модель получения ADN изобраюения д Є %.N может быть записана как g = Af + v, (3.2) где v — случайный вектор (например, v N{0, „)), f Є 31 , моделирующий шум. Модель (3.2) описывает ситуацию, в которой измеряемая среда («физическая реальность») является регулярной, а шум возникает в измерительном устройстве.
Другой взгляд на рассмтариваемые данные состоит в том, что измеряемая среда нерегулярна, и в сравнении с этой нерегулярностью измерительное устройство можно считать сколь угодно точным. Эта точка зрения формализуется соответствующей моделью g = A(f + (i)) (3.3) где случайный вектор //{): X — Ж1 (например, (i Х(0, й)) представляет нерегулярную составляющую исследуемой среды.
При использовании этих моделей на практике возникает проблема, связанная с тем, что ни оператор А, ни корреляционные операторы Е„, пс известны. Для проверки адекватности модели можно оценивать т. н. надежность, этот метод излагается ниже; однако одним из убедительных агрументов в пользу (или, наоборот, против) той или иной модели может служить визуальное сходство данных, синтезируемых при помощи этой модели, с реальными данными. Изображения д, соответствующие моделям (3.2) Й (3.3) представлены на рис. 3.1. На рис. 3.2 представлен фрагмент реального изображения ADN (слева) и изображение, синтезированное при помощи модели (3.3). Как видно, отличить реальные данные от искусственных непросто. Это свидетельствовует о том, что должным подбором оператора А и корреляционного оператора шума м можно получить вполне приемлемую модель изображений ADN.
Допустим, что операторы А, Е„ известны, и получаемая при этом модель (3.2) адекватна. В этой ситуации понятие формы в морфологическом анализе должно быть модифицировано таким образом, чтобы учесть эту информацию о модели формирования изображений ADN. Пусть изображение /() Є &(Х) допускает следующее представление:
