Содержание к диссертации
Введение
1 Основные подходы к изучению ветровых течений неоднородной жидкости 13
1.1 Определяющие уравнения задачи ветрового движения неоднородной жидкости 13
1.2 Аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости 26
1.3 Параметризация некоторых параметров уравнений гидротермодинамики ' 29
2 Новые аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости 36
2.1 Решения модели типа Экмана с условием проскальзывания на дне и их сравнительный анализ 3G
2.2 Решение задачи о движении жидкости в цилиндрическом бассейне 48
2.3 Выводы к главе 2 53
3 Описание и анализ численных алгоритмов для модели гидротермики замкнутого водоема 54
3.1 Описание используемых моделей 54
3.2 Описание численного алгоритма 58
3.3 Верификация численного алгоритма на аналитических решениях в случае однородной жидкости 61
3.4 Анализ численного алгоритма в двумерном случае 09
3.4.1 Оценка влияния нелинейных членов переноса в уравнениях движения 72
3.4.2 Различные модификации разностной схемы для уравнения теплопроводности 75
3.5 Анализ численных расчетов в трехмерном случае 84
3.5.1 О влиянии сил Кориолиса 89
3.5.2 Оценка влияния нелинейных членов переноса 97
3.5.3 Сравнительный анализ течения в прямоугольном бассейне и его двумерном сечении 102
3.6 Выводы к главе 3 104
4 Анализ численных результатов для соленого озера Шира 106
4.1 Анализ различных уравнений состояния соленой воды 10G
4.2 Численные расчеты для бассейна, моделирующего вертикальное сечение озера Шира (двумерный случай) 110
4.3 Численные расчеты для озера Шира (трехмерный случай) .113
4.4 Выводы к главе 4 116
Заключение 116
Список использованных источников
- Аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости
- Решение задачи о движении жидкости в цилиндрическом бассейне
- Верификация численного алгоритма на аналитических решениях в случае однородной жидкости
- Численные расчеты для бассейна, моделирующего вертикальное сечение озера Шира (двумерный случай)
Введение к работе
Актуальность темы. Темпы развития цивилизации и ее воздействие па природные ресурсы привели к тому, что контроль и управление окружающей средой стали актуальнейшими проблемами современности. Одним из наиболее важных вопросов в деле защиты окружающей среды, рационального управления средой обитания человека является задача обеспечения экологического баланса существующих озер. Экологическое состояние водных объектов зависит от большого количества разнообразных факторов и процессов, которые можно разделить на следующие подсистемы: метеорологические факторы; гидрофизические процессы, гидрохимические и гидробиологические процессы; внешние антропогенные факторы. Гидрофизические параметры являются важнейшими факторами для химических и гидробиологических процессов.
Народно-хозяйственная задача состоит в необходимости исследования озер как резервуаров чистой пресной воды или лечебной соленой воды. Большую роль в гидробиологических процессах играют термические условия. Существенно зависит от температурного режима самоочищение водной среды. Для решения этой задачи имеющихся полевых материалов и произведенных по ним обобщений для определения гидротермического режима озер, как правило недостаточно (Ладожское озеро, [9]; Боденское озеро, [110]; Чудское озеро, [20]).
Научная задача. Построение аналитических и численных моделей тепло-массопереноса для континентальных, в частности, непроточных озер.
Объект исследований. Данная работа является составной частью исследований экосистемы озера Шира и качества воды в нем. Необходимость такого исследования обусловлена тем, что вода озера Шира обладает уни-
кальными лечебными свойствами, поэтому озеро относится к числу водоемов, изучение которых является предметом международных программ.
Озеро Шира представляет собой бессточное озеро без островов, в которое впадает одна речка Сон. В силу малости притока все влияние реки сосредоточено в приустьевой зоне, поэтому основным внешним фактором, определяющим течение в озере, является ветровое воздействие.
Основные характеристики озера: озеро имеет овальную форму, длина — 9,4 км, ширина — 5 км, площадь водного зеркала—34,7 км2, средняя глубина—11,2 м, максимальная глубина меняется со временем от 21 м до 24 м, естественный среднем ноголетний водосток —1,6 млн. куб. м/год, подземный водообмен составляет 9% от общего водопоступления.
На рис. 1 показана батиметрия озера Шира по данным измерений 1958 г. В 2000 году были проведены замеры глубины озера с помощью многофункционального эхолота LMS - 350 А (с выводом информации на персональный компьютер). Сравнение данных показало, что уровень воды заметно повысился и наибольшая глубина составила 24,3 м по сравнению с 21,7 м в 1958 г.
Рис. 1. Батиметрия оз.Шира.
Минерализация воды меняется в сторону уменьшения (от 18-22 г/л по наблюдениям 1958 г. до 11-13 г/л по наблюдениям 2004 г.). Согласно рас-
пространенному в лимнологии определению, оз. Шира относится к малым озерам (к большим озерам принято относить водоемы со средней глубиной более 25 м и площадью поверхности не менее нескольких сотен квадратных километров).
В непроточных водоемах динамические процессы в основном происходят под действием ветрового напряжения. Картина ветровых течений зависит от геометрии водоема, направления и силы ветра, глубины и стратификации. Плотпостная стратификация озера связана с неравномерными распределениями температуры и солености воды. Поля температуры и солености зависят от течений и турбулентного перемешивания.
Наиболее важным физико-химико-биологическим параметром в моделях качества воды озер является температура воды и в особенности — ее распределение (изменение) по глубине водоема [74].
На рис. 2 показан характерный летний профиль температуры в озере Шира. Вверху образуется слой конечной толщины, определяемой пределом эффективности механизма турбулентной диффузии в переносе тепловой энергии. Указанный слой (называемый эпилимнионом) в летний период с ростом температуры воды медленно расширяет свою нижнюю границу в глубину водоема. При этом температура придонных слоев тоже повышается, но весьма незначительно. Эта область носит название ги пол им и иона и может быть определена как глубинный слой, в котором вертикальный градиент температуры воды пренебрежимо мал. Между гиполимнионом и эпилимнионом обычно располагается слой воды (металимнион), в пределах которого градиент dTjdiz очень велик. Этот слой часто называют областью термоклина, хотя, строго говоря, термоклин-—это горизонт, на котором c?2T/c?z2 = 0.
В летний период в озере формируется плотностная стратификация. В эпи-лимнионе более высокая температура воды (15-25 С), в гипшшмпионе — бо~
эпитшшон
штатшнион
гипопимнион
Рис. 2. Характерный летний профиль температуры в озере Шира
лее высокая соленость (21-22 г/л) и холодная вода (2-3 С).
Предмет исследований. Предметом исследования является гидротермический режим озера Шира.
Цель исследований состоит в построении математических и численных моделей ветровых течений в замкнутых водоемах и в изучении на этой основе гидротермического режима озера Шира,
В соответствии с это целью в работе поставлены и решаются следующие задачи:
построить частные аналитические решения упрощенных гидрофизических моделей и проанализировать на их основе ветровые течения в замкнутом водоеме;
используя как известные, так и новые аналитические решения упрощенных моделей, осуществить тестирование построенного численного алгоритма;
провести численное исследование ветровых течений для озера Шира;
используя выявленные закономерности, дать оценку гидротермического
режима озера Шира.
Основная идея диссертации заключается в математическом описании гидротермических процессов и процессов переноса и диффузии примесей в замкнутых водоемах на основе уравнений гидротермодинамики и их упрощенных вариантов.
Методы исследований. Методы математического моделирования гидротермодинамики; аналитические решения уравЕїеиий математической физики; численные решения уравнений математической физики.
Основные результаты.
1. Для упрощенных моделей в трехмерном случае для бассейна конечной
глубины построены:
аналитическое решение задачи типа Экмана в случае произвольного коэффициента вертикального турбулентного обмена, условий проскальзывания на дне, без учета сил Кориолиса;
аналитическое решение задачи Экмана в случае постоянного коэффициента вертикального турбулентного обмена, условий проскальзывания на дне, с учетом сил Кориолиса.
2. На основе найденных аналитических решений и анализа численных рас
четов для моделей движения жидкости в замкнутом водоеме различно
го уровня сложности были сделаны следующие выводы для бассейна,
моделирующего стратифицированное по температуре и солености озеро
Шира:
движение жидкости в трехмерном случае является квазидвумерным в вертикальной плоскости;
если тенденция к уменьшению градиента солености в озере сохранится, то возможно изменение типа этого озера с меромиктического на димиктический.
3. На основе разработанной компьютерной модели вертикального распре-
* деления фитопланктона озера Шира изучены механизмы формирования
вертикальной структуры водорослей, типичных для озера Шира.
Научная новизна.
Найдены новые аналитические решения упрощенных моделей движения жидкости в трехмерном случае (случай однородной жидкости, стационарное течение) для переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена.
На основе двумерных в вертикальной плоскости расчетов по численной модели, адаптированной для озера Шира, выявлена картина течения (одно- и двух циркуляционное) в зависимости от стратификации и силы ветра.
Выявлена структура трехмерного ветрового течения озера при различных ветрах, в частности, показано, что течение является «квазидвумерным» в вертикальной плоскости для сильно стратифицированной жидкости.
Значение для теории. Полученные аналитические решения упрощен
ных моделей движения жидкости в трехмерном случае (случай однородной
жидкости, стационарное течение) для переменного коэффициента вертикаль-
1 ного турбулентного обмена могут применяться для тестирования численного
,-* алгоритма и для анализа ветровых течений в случае однородной жидкости.
Значение для практики. Построенная численная модель является важным этапом на пути решения проблемы описания гидрофизических процессов в замкнутых водоемах. Предлагаемая модель может быть использована при оценке влияния антропогенного воздействия на гидробиологический режим
озера Шира. Такая модель может также служить гидродинамической основой для разработки комплексной модели экосистемы малых озер.
Представленные в диссертации исследования проводились в рамках следующих проектов и грантов: проект № ЭЗ-137 «Комплексные исследования уникальных соленых озер юга Сибири: мониторинг, эксперименты, модели», ФЦП «Интеграция»; грант № REC-002 при поддержке Министерства Образования РФ и Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза; проект РФФИ № 99-05-64695 — «Разработка математических моделей для исследования гидрофизических процессов в водоемах»; научно-исследовательский проект INTAS-97-0519 "Mechanisms of microalgae blooming in continental water ecosystems: eco-physiological approaches, mathematical simulation and space-borne monitoring"; молодежный грант № 10F230N «Математическая модель пространственного распределения планктона оз. Шира» при поддержке Красноярского краевого фонда науки.
Достоверность полученных результатов. Достоверность численного метода основана на сопоставлении численных результатов с найденными аналитическими решениями упрощенных моделей движения жидкости и частными результатами других авторов. Достоверность полученных результатов также подтверждается сопоставлением расчетных характеристик с натурными данными в задаче о формировании вертикальных распределений компонентов экосистемы озера Шира.
Использование результатов диссертации. Результаты работы использовались Институтом биофизики СО РАН для моделирования вертикального распределения фитопланктона в летний период в оз. Шира (отчеты о НИР «Экспертиза, мониторинг, прогноз качества воды и лечебных свойств уникального сибирского озера Шира», ФЦП Интеграция, per. № 73, № гос. per.
01.9.80 002279, Красноярск, 1998-2000 гг.).
Личный вклад автора заключается в разработке компьютерных моделей движения стратифицированїюй жидкости в непроточных водоемах, проведении численных расчетов, получении точного решения стационарной задачи ветрового движения однородной жидкости в трехмерном случае с переменным коэффициентом вертикального турбулентного обмена.
Рекомендации по использованию результатов диссертации. Математическое и численное моделирование является эффективным средством оценки термического состояния озера и прогноза его изменений иод воздействием природных и антропогенных факторов, в частности, средством оценки влияния загрязнения на термический режим озера.
Найденные частные аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости могут применяться для тестирования численных алгоритмов, предназначенных для исследования ветрового движения жидкости.
Разработанные компьютерные программы могут быть использованы при создании пакетов прикладных программ для решения задач ветрового движения неоднородной жидкости в непроточном водоеме.
Программная реализация приведенного в Приложении численного алгоритма переноса и диффузии примеси может применяться для оценки распределения по глубине различных органических и неорганических веществ.
Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998); Ш-ем Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1998); Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999); V-ой конференции «Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей» (Моск-
ва, 1999); 1-ом Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2000); Международной конференции «Biodiversity and Dynamics of ecosystems in North Eurasia» (Novosibirsk, 2000); Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001); 11-ом Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2002); Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2002); 8-ой Международной конференции по соленым озерам (пос. Жемчужный, Хакасия, 2002); Десятой международной конференции «Математика, Компьютер, Образование» (Пущино, 2003); Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Усть-Каменогорск, Казахстан, 2003); Ш-см Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2004); Двенадцатой международной конференции «Математика, Компьютер, Образование» (Пущино, 2005).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, из которых: 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК, 1 статья в зарубежном рецензируемом журнале, 3 работы в трудах международных конференций, 2 работы в трудах всероссийских конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и приложения. Работа состоит из 133 страниц основного текста, включая 82 рисунка. Список использованных источников включает 116 наименований.
Автор выражает благодарность д.ф.-м.н., профессору Белолипецкому В.М. за конструктивное обсуждение основных результатов, изложенных в диссертации.
Аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости
Аналитические решения находятся, как правило, для упрощенной системы уравнений. ,. Рассмотрим сначала случай стационарного течения. Первые результаты для системы уравнений дХ 9f (1.17) gdy + lU=K d? были получены в 1905 г. В стационарном случае для бассейна конечной глубины (Н = і/(х, у)) и условия прилипания на дне локальное (зависящее от х, у только параметрически) аналитическое решение получено Экманом [88] dQ дС .дС, w в терминах комплексной скорости W = и + гг , — = ——\- г—, т = тх + гту on ох оу (ро = 1) cosh д /4rz \ f)/ 7 -1 F (1-18) 1 вшЬ Я + г) {/-- lil W = — rw - — JtiK cosh / tf l .
Первое слагаемое отвечает случаю дрейфового течения V — 0, второе — описывает течение, обязанное градиентам уровня (геострофическое течение).
В работах [50, 88] выписаны решения для водоема бесконечной глубины. Для такого водоема дрейфовое течение на поверхности отклоняется вправо от направления ветра на угол 45. С глубиной компоненты скорости убывают (по экспоненциальному закону) и вектор скорости делает поворот. Глубина, на которой вектор скорости принимает направление, противоположное направлению на поверхности, называется глубиной слоя Экмана. Глубина слоя Экмана равна D = T:/ 1/2KZ.
В статье [113] получены уравнения, позволяющие найти градиенты свободной поверхности.
В двумерном в вертикальной плоскости случае, при условии, что дно ровное, параметр dQ/dx легко исключается и решение имеет явный вид [72]
Отметим, что во всех этих случаях коэффициент турбулентного обмена — постоянная величина и только в статье [115] рассматриваются случаи, когда коэффициент турбулентного обмена зависит от глубины линейно и экспоненциально. В стационарном случае получено решение в виде функций Бесселя.
В статье [96] для нестационарного случая и коэффициента турбулентного обмена, заданного как произвольная функция глубины, решение ищется в виде ряда по собственным функциям некоторой краевой задачи.
В работе [109] рассматриваются аналитические решения в случае бассейна бесконечной глубины для следующей системы уравнений ди дф . _. д2и +g h=K ov аф , _, ov _+,_+,„= ,_. Здесь Кг — const. Частное решение u(z, ), v(z, t) для системы (1.19) может быть записано в следующем виде u = ui{t) + u2{z,t), v = vi[t) + v2(z,t), (1.20) где щ(і) и vi(t) — геострофические потоки, которые являются решением системы дщ _ дф dt дх . „,. ЭЩ , Эф L21 w+lui = -w Так как существует поверхностный градиент давления, компоненты скорости U2(z, t), v2{zt t) дрейфового течения зависят от глубины дич д2и2 dv2 , d2v2 —— -\-lu2 = Л,тт. ot ozi
Если напряжение т на поверхности действует в положительном направлении оси Ох и поверхностный градиент давления (поверхностный наклон) дф/дх направлен в положительном направлении оси Ох и не зависит от времени, то для водоема бесконечной глубины уравнения (1.20) и (1.21) имеют частные решения 1(Чі іл для геострофического потока, и coste / Z2 ч №)0-5 Ч 4KZ о г f smls . . "2 = 7їУ (к ехр-— ds \Л?У (К )0 5 Ч 4Jf. О для дрейфового течения, соответственно. U2 = VnJ "" ЄХР _Т dSi
В общем случае формулы для нахождения нестационарного течения выписаны, например, в [ИЗ]. Задача о собственных значениях внутренних колебаний для уравнения мелкой воды двухслойной жидкости рассматривалась в [112]. В [114] изучает ся циркуляция движения жидкости в однослойном и двухслойном океане под действием ветра. Рассматриваются проинтегрированные по глубине уравне ния, учитываются ветровое воздействие, трение на дне и между слоями и коэффициент Кориолиса. Проинтегрированные по глубине уравнения движения океана служат, при некоторых допущениях, для оценки циркуляции в океане [84] и [100]. В работе [93] получены некоторые аналитические решения задачи для бас сейна, имеющего продольное сечение прямоугольной формы в случае двух слойной жидкости.
Решение задачи о движении жидкости в цилиндрическом бассейне
Во всех аналитических решениях модели типа Экмана присутствует дС,/дп. Для нахождения этой величины надо привлекать дополнительное уравнение для функции тока ф, позволяющее найти dQjdn. Рассмотрим частный случай, когда движение жидкости инициируется в круговом цилиндре радиуса R под действием ветра, задаваемого формулой Тх/ро = -у, Ту/ро = х, Кг = const. Тогда {тх/ра)у = -1, (ту/ро)х 1, {т х/ро)у — {ту/ра)х — 2. На дне ставится условие прилипания. В этом случае легко удается вычислить dQ/dn.
Это означает, что жидкость в бассейне цилиндрической формы под действием такого ветра движется послойно, скорость движения линейно замедляется ко дну и на дне становится нулевой.
На рис. 5 изображена картина течения на поверхности для задачи о движении жидкости в бассейне цилиндрической формы под действием ветра, наклоны поверхности найдены по формуле (2.29), 1 0. На рис. 6 показано дрейфовое течение, когда наклоны свободной поверхности равны 0. На рис. 7 изображена картина течения на поверхности для задачи о движении жидкости в бассейне цилиндрической формы при параметре Кориолиса равном 0. Решение получено для цилиндра радиуса 190 м и глубиной 1300 м.
Анализ рис. 5 и 6 показывает, что применяемый обычно анализ дрейфовой составляющей ветровых течений дает завышенный по сравнению с реальной ситуацией поворот течения на поверхности по отношению к направлению ветра. Если параметр Кориолиса не учитывается, то направление течения на поверхности в точности совпадает с направлением ветра.
Таким образом, для случая / = 0 (когда силами Кориолиса можно пренебречь) удается найти локальное решение задачи типа Экмана при произвольно меняющемся Кг и условиях проскальзывания и прилипания на дне. Для 1 0 решение для произвольного Kz в общем случае найти невозможно, так как для произвольного Кг нельзя однотипно выписать общее решение урав нения — Kz-y-— — ilW — g-z-. Для частных случаев изменения К, (Kz oz\ oz } on линейная и экспоненциально убывающая функция) решение известно [115]. Анализ этого решения показывает, что для мелких водоемов выбор граничного условия на дне становится существенным.
В случае движения жидкости в бассейне цилиндрической формы получено аналитическое решение модели Экмана в целом, при этом возможен полный анализ решения, а не только дрейфовой составляющей.
Сравнение двух решений показывает, что ранее применявшееся для анализа ветровых течений решение, в котором считается, что наклоны свободной поверхности равны 0, дает завышенный по сравнению с реальной ситуацией поворот течения на поверхности по отношению к направлению ветра. Если параметр Кориолиса не учитывается, то направление течения на поверхности в точности совпадает с направлением ветра.
В третьем разделе описываются используемые модели и численные алгоритмы для них в двумерном в вертикальной плоскости и трехмерном случаях, проводится анализ численных алгоритмов. Приводятся результаты тестирования численных алгоритмов на аналитическом решении, полученном в разделе 2, и сравнение с результатами других авторов. Анализируются различные алгоритмы для уравнения теплопроводности. Оценивается влияние нелинейных членов переноса и параметра Кориолиса на результаты расчетов в 2D и 3D случае.
В процессе исследований использовались различные модели. Ввиду того, что данная работа является составной частью исследования экосистемы оз. Ши-ра, при выборе математических моделей принимались во внимание следующие особенности этого водоема: а) единственным притоком этого озера является река Сон, имеющая малый расход, поэтому была выбрана модель замкнутого водоема; б) озеро Шира относится к стратифицированным по температуре и соле ности водоемам, поэтому рассматривались различные уравнения состояния в виде (1.29), где зависимость от температуры рассматривалась до четвертого порядка, зависимость от солености —до третьего порядка; в) так как площадь озера относительно невелика (34.7 км2), считается, что величина и направление ветра одинаковы по всей акватории.
Верификация численного алгоритма на аналитических решениях в случае однородной жидкости
Видно, что аналитическое и численное решение совпадают достаточно хорошо.
Как видно из сравнения моделей 1 и 2, первая представляет собой интегро-дифференциальную систему уравнений, а модель 2 — совокупность дифференциальных уравнений в частных производных. Хотелось бы знать, насколько различаются получаемые по этим моделям результаты.
Для сравнения двух моделей проводились расчеты для случая однородной жидкости, водоема прямоугольной формы длиной около 5 км и глубиной 21м, ветер брался 10 м/с. Для модели 2 для нахождения скоростей в зависимости от глубины применялась явная условно устойчивая разностная схема. Для аппроксимации интегралов применялась формула прямоугольников. Для нахождения температуры применялась явная разностная схема. Для решения уравнений мелкой воды (3.23) - (3.24) применялась неявная безусловно устойчивая разностная схема.
На рис. 14 выведены графики скорости и в центральном сечении водоема. Сплошная линия соответствует решению, полученному по модели 1, пунктирная линия — решению, полученному по модели 2. Видно, что для однородной жидкости решения, полученные по двум моделям, отличаются незначительно.
В трехмерном случае численный алгоритм проверялся на аналитическом решении (2.32) в частном случае, когда бассейн представляет собой круговой цилиндр (рис. 15, а) радиуса R — 350 м с ровным дном, Н = 10 м, Ах = 100 м, Ау = 100 м, Az = 0.5 м, At = 1 с, Р\(х, у) = —а у, (ж, у) = а х, Кг = Ю-3 м2/с, I — 0, на дне ставится условие прилипания.
На рис. 15, б) представлено распределение скорости и по глубине в точке, отмеченной на рис. 15, а) квадратом. Прямой линией обозначено решение, полученное по разностной схеме на момент времени, когда движение жидкости становится практически стационарным, пунктирной линией —аналитическое решение, найденное по формуле (2.32). Как видно из рис. 15, решения, полученные обоими способами, отличаются незначительно.
Программа тестировалась также на аналитическом решении (2.20) с I ф 0. Брался цилиндр радиуса R = 350 м с ровным дном, Н = 10 м, Ах = 100 м, Ду = 100 м, Az - 0.5 u,At-l с, ft(x, у) = -у, ft(x, у) = ж, ЯГг = 10 3 м2/с, на дне ставилось условие прилипания. После выхода решения на стационар было получено dQ/dx = 2.7851 при х = 50, у 0, а аналитиче х D ское решение дает в этом случае д/дх — —TZ = 2.7722. При х — 150, gh Ь у — 0 численное решение дает д/дх — 8.3089, а аналитическое решение дает dQjdx — 8.3165. Таким образом, численное и аналитическое решения достаточно близки.
В случае движения неоднородной жидкости в водоеме цилиндрической формы для слабой (рис. 16, а) и сильной (рис. 16, б) стратификации получаем линейное распределение скорости по глубине (рис. 16, с). Решения найдены на момент времени, когда движение вышло на стационар и стало однородным, скорости в этом случае совпадают. Для верификации модели 1 было проведено сравнение с результатами, полученными в работе [110] для Боденского озера. В статье [ПО] проводится сравнение различных численных методов для членов переноса при расчете ветрового течения во втором по величине альпийском озере в Европе (Боденском озере). Это озеро имеет длину 64 км и ширину 16 км, максимальная глубина 253 м (рис. 17).
Для моделирования использовалась трехмерная математическая модель в приближении гидростатики, Буссинеска, «твердой крышки» с учетом горизонтальных диффузионных членов. Повторить расчеты для такого же озера не удалось, так как нет точных данных по его батиметрии. Были проведены расчеты для озера, условно напоминающего Боденское озеро.
Для этого была рассмотрена батиметрия озера Шира, но длина, ширина и глубина были увеличены в десять раз. Брался ветер 4 м/с, уравнение состояния для пресной воды (1.30), остальные параметры (начальное распределение температуры, коэффициент вертикального турбулентного обмена, сила и направление ветра) брались как в работе [110].
Численные расчеты для бассейна, моделирующего вертикальное сечение озера Шира (двумерный случай)
Сравним полученные результаты с результатами расчетов для озера Шира по модели мелкой воды.
Из литературы известно, что для озер, по размерам близким к Чудскому (площадь водного зеркала 2670 км2, глубина 7.8 м) учет ВЛИЯЕШЯ СИЛ Кориолиса почти не меняет картину течения качественно и количественно [20]. Естественно, возникает вопрос о том, можно ли пренебречь влиянием сил Кориолиса при расчете течения в озере Шира.
Расчеты проводились по модели мелкой воды на равномерной сетке, шаг сетки Да; = Дг/ = 276 м. Для расчета течения применялись явная условно устойчивая двухшаговая разностная схема второго порядка аппроксимации Мак-Кормака и явная условно устойчивая разностная схема первого порядка аппроксимации (по явной разностной схеме с центральными разностями находилось возвышение свободной поверхности, насчитанные значения применялись при расчете скоростей).
Были проведены расчеты при следующих значениях параметров: At = 10 с, д - 10 м/с, Kw = 1.56 Ю-6, коэффициент Маннинга кт — 0.02, W — (10,0), число шагов по времени 200. На рис. 62 показана картина течения при расчете по схеме Мак-Кормака без учета сил Кориолиса, а на рис. 63 —с учетом сил Кориолиса. Видно, что учет влияния сил Кориолиса почти не меняет картину течения качественно [26], что наблюдается даже для более крупных озер (типа Чудского [20]), и количественно, что связано с небольшими размерами озера.
Для оценки влияния нелинейных членов переноса был проведен ряд расчетов для однородной и неоднородной жидкости. Расчеты проводились для прямоугольного бассейна и для батиметрии озера Шира. В расчетах брался западный ветер, скорость ветра 5 м/с, коэффициент вертикального турбулентного обмена брался постоянным Кя — 2 Ю-3 м2/с.
На рис. 64 - 67 показана картина течения на поверхности, распределение горизонтальных составляющих вектора скорости по глубине у левого берега и в центральной точке прямоугольного в плане бассейна с ровным дном в случае однородной жидкости (рис. 64 —с учетом нелинейных членов переноса, рис. 65 —без учета нелинейных членов) и в случае неоднородной жидкости (рис. 66 — с учетом нелинейных членов переноса, рис. 67 — без учета нелинейных членов)
Анализ расчетов показывает, что в случае однородной жидкости в центральной части водоема решения совпадают, различие наблюдается у границ. В случае неоднородной жидкости влияние нелинейных членов несущественно. Это легко объяснить: так как стратифицированное озеро можно рассматривать как «фиктивное» однородное озеро меньшей глубины, то скорость течения в таком озере будет меньше и, соответственно, влияние нелинейных членов переноса меньше.
Рассматривались прямоугольные бассейны глубиной 21 м, 10 м и 5 м, однородная жидкость, ветер 5 м/с, коэффициент вертикального турбулентпого обмена Kz = 10_3 м2/с, на дне ставилось условие проскальзывания (кь = Ю-3), в трехмерном случае параметр Кориолиса учитывался. На рис. 72 показано изменение модуля скорости по глубине в центральном сечении бассейна (а) Н = 21 м, б) Н = 10 м, в) Н — 5 м) для однородной жидкости, сплошная линия соответствует трехмерному случаю, пунктирная линия —двумерному случаю. Видно, что при II = 5 м скорости в двумерном и трехмерном случае совпадают.
Аналогичные расчеты были проведены и для неоднородного случая (рис. 73). Видно, что для неоднородной жидкости скорости в двумерном и трехмерном случае также совпадают Полученные результаты подтверждают гипотезу о движении жидкости в стратифицированном озере как в однородном озере меньшей глубины. Следующий рисунок также подтверждает эту гипотезу. На рис. 74 показано распределение горизонтальной составляющей вектора скорости по глубине в центральной точке бассейна. Н,м 4М » J. и, м/с Рис. 74. Распределение горизонтальной составляющей вектора скорости по глубине в центральном сечении бассейна, сплошная линия — неоднородная жидкость, Нтах — 21 м; пунктирная линия — однородная жидкость, «фиктивное озеро», Ята1 = 9м
Расчеты проводились для ветра 7 м/с. В случае неоднородной жидкости расчеты проводились на батиметрии озера Шира, Нтах — 21 м, на дне ставилось условие проскальзывания, кь = 0.001 (сплошная линия); в случае однородной жидкости расчеты проводились для «фиктивного озера», Нтах = 9 м, на дне ставилось условие прилипания (пунктирная линия). Видно, что оба решения практически совпадают.
Тестирование численного алгоритма на аналитических решениях и сравнение с результатами других авторов показало работоспособность численного алгоритма. Выбор разностного алгоритма для расчета температуры имеет принципиальное значение.
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы о движении жидкости иод действием ветра в однородном и стратифицированном по температуре водоеме.
1. Течение существенно зависит от батиметрии. Для озер типа Боденского озера с его резко меняющейся береговой линией возможно появление внут ренних вихрей [Ш].
Для озер, имеющих втекающие и вытекающие реки, появление вихрей в этих областях возможно и при гладкой береговой линии [9].
Для ряда ситуаций, например, движения неоднородной жидкости в «кубике», возможен вариант «квазидвумерного» течения [30]. В работе [68] также отмечается, что в водоемах простых очертаний с плавным рельефом дна осуществляется движение с преобладанием макроциркуляции вод в вертикальной плоскости. Такие же результаты наблюдаются и при расчетах для оз. Шира с его достаточно гладкой береговой линией и плавно меняющейся батиметрией в случае однородной и неоднородной жидкости.
2. Трехмерные расчеты позволяют выдвинуть гипотезу о том, что дви жение в сильно стратифицированном озере происходит следующим образом: нижний слой покоится, а верхний слой движется как однородная жидкость в фиктивном озере, глубина которого определяется глубиной перемешанно го слоя. Это иллюстрируют методические расчеты и расчеты для оз. Шира. Также эту гипотезу подтверждают расчеты из работы [Ш]. При расчетах для однородного и стратифицированного по температуре Боденского озера в последнем случае отклонение направления вектора скорости на поверхности от направления ветра меньше, как если бы движение происходило в верхнем однородном слое жидкости меньшей глубины.
