Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений 11
1.1. Основные обозначения и сведения 11
1.2. Постановка задачи фильтрации диффузионных процессов 21
1.3. Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных 26
1.4. Одномерные линейные стохастические дифференциальные уравнения и их детерминированные аналоги 29
1.5. Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами 35
1.6. Явные формулы для решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом 41
1.7. Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных 45
1.8. Построение решений задачи фильтрации диффузионных процессов с использованием решений систем дифференциальных уравнений в частных производных 62
Глава 2. Разработка математического аппарата для решения задачи фильтрации диффузионных процессов 70
2.1. Некоторые сведения о симметричных интегралах 70
2.2. Симметричные интегралы и замена переменных 71
2.3. Замена переменных в расширенных симметричных интегралах 73
2.4. Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации 84
Заключение 91
Литература 94
- Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных
- Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами
- Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных
- Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации
Введение к работе
Многие математические и технические задачи допускают следующую математическую постановку в терминах теории случайных процессов. На некотором вероятностном пространстве (ГІ, F, Р) задан частично наблюдаемый случайный процесс Zt = (Xt,Yt), t > 0, у которого наблюдаться может лишь вторая компонента Yt, t > 0. В каждый момент времени t требуется, основываясь на наблюдениях Y^j = {Ys, 0 < s < t}, давать оценку (ненаблюдаемых) значений Xt. Эта задача оценивания (иначе - задача фильтрации) Xt по У[о,*] и является предметом рассмотрения настоящей работы.
Хорошо известно, что если EXf < со, то оптимальной в среднеквадра-тическом смысле оценкой Xt является апостериорное среднее mt = E(Xt\Ff), где Fj = а{и) : Ys,s < t} есть сг-алгебра, порожденная величинами Ip,*]- Таким образом, решение задачи оптимальной (в сред-неквадратическом смысле) фильтрации сводится к отысканию условных математических ожиданий mt = E(Xt\F^).
В общем случае эта оценка нелинейно зависит от наблюдений и называется фильтром. Формула Байеса для условного математического ожидания дана в [50] для случая, когда Xt и наблюдаемый "шум" независимы, однако она полезна только для случая фиксированного t. Когда наблюдения поступают непрерывно (как это и происходит в большинстве приложений), то требуется оценка, которую можно непрерывно корректировать, чтобы учитывать новые данные. Формула Байеса не позволяет проводить рекурсивных вычислений подобного рода, так как оценку в момент времени t нельзя эффективно использовать для вычисления оценки в момент t-\-h. Практический метод, который является также и математически более приемлимым, состоит в том, чтобы вывести стохастическое дифференциальное уравнение для вычисления фильтра и использовать стохастическое исчисление Ито.
В 40-х годах XX века японский математик К.Ито заложил основы теории стохастических дифференциальных уравнений (см. [45]), за которыми впоследствии укрепилось название "стохастические уравнения Ито". В дальнейшем теория уравнений Ито бурно развивалась и продолжает развиваться в настоящее время. С ее современным состоянием можно ознакомиться по монографиям И.И.Гихмана, А.В.Скорохода [5], К.Ито, Г.Маккина [12], Н.В.Крылова [17], Р.Ш.Липцера, А.Н.Ширяева [20], С.Ватанабе, Н.Икеды [1] и др.
Первоначально уравнения Ито предназначались для описания на вероятностном языке диффузии в газах и жидкостях (первые варианты такого описания были получены в работах Л.Башелье [37], А.Эйнштейна, М.Смолуховского [35], Н.Винера [63], И.И.Гихмана [4], [5] и др.) Однако впоследствии оказалось, что они являются очень удобным аппаратом для решения многих других физических и инженерных задач. В частности, эти уравнения с успехом применяются в теории управления динамическими системами по неполным данным (см., например, [14], [19], [33]).
Одним из важнейших этапов управления по неполным данным и является "фильтрация" - выделение полезной информации из комбинации " сигнал"+" шум". Эта задача принадлежит к числу классических задач статистики случайных процессов. Первые замечательные результаты, связанные с фильтрацией стационарных процессов, были получены А.Н.Колмогоровым [15] и Н.Винером [64]. После появления работы Р.Калмана и Р.Бьюси [51] в 60-70-х годах XX века бурно развивалась теория фильтрации для систем, динамика которых описывается уравнениями Ито.
Значительные результаты этой теории были получены Р.Ш.Липшером и А.Н.Ширяевым. В монографии [20] этих авторов подробно рассмотрены вопросы оптимальной фильтрации (а также смежные задачи интерполяции, экстраполяции, последовательного оценивания,
различения гипотез и т. п.) для случая непрерывного времени. Привлекательность этих задач в случае непрерывного времени объясняется (помимо их собственного интереса) тем, что для них удается получать прозрачные формулировки и компактные формулы. Для условно-гауссовских процессов (в, ) получена замкнутая система уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Тем самым выделен очень широкий класс случайных процессов, для которых удается эффективным образом решить задачу построения оптимального нелинейного фильтра. Помимо фильтрации, в [20] изложены соответствующие результаты для задач интерполяции и экстраполяции. Даются применения теории фильтрации к разнообразным задачам статистики случайных процессов. Подробно рассмотрены задачи линейного оценивания, даются применения к некоторым задачам управления, теории информации. Даны применения к небайесовским задачам статистики (оценки максимального правдоподобия для коэффициентов линейной регрессии, последовательное оценивание и последовательное различение статистических гипотез).
Широкое распространение в приложениях получил метод фильтрации, применимый к процессам, которые описываются линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, так называемый метод Калмана-Бьюси (см. [20]).
Известно (см. [30]), что решение задачи фильтрации для процессов, описываемых уравнениями Ито, эквивалентно решению некоторого уравнения, называемого обычно уравнением фильтрации. Это уравнение фильтрации относится к совершенно новому типу, оно сочетает в себе черты уравнений Ито и уравнений в частных производных. Уравнения такого типа называют стохастическими дифференциальными уравнениями Ито в частных производных.
Как выяснилось, теория фильтрации не обладает монополией на использование уравнений такого типа. Они возникают во многих областях
знания: физике, химии, биологии и других.
Наиболее подробно в настоящее время исследованы линейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, которые изучены в монографии Б.Л.Розовского [30]. Общий метод решения таких уравнений был предложен Ф.С.Насыровым [27]. Данный метод основан на теории потраекторных симметричных интегралов [26], которые в случае винеровского процесса являются детерминированными аналогами стохастических интегралов Стратоновича. Ф.С.Насырову с помощью техники симметричных интегралов удалось при определенных условиях свести решение стохастического дифференциального уравнения Ито в частных производных к решению некоторой системы (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных. Ранее в теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений случаи, когда известна явная формула для определения (сильного) решения стохастического дифференциального уравнения, были немногочисленны (см. [1]).
В настоящей работе для решения задачи фильтрации диффузионных процессов применяется новая техника симметричных интегралов по произвольной непрерывной функции, которые, с одной стороны, являются ослабленными вариантами интегралов типа Стилтьеса, а с другой стороны, в случае винеровского процесса, совпадают со стохастическими интегралами Стратоновича.
Цель и задачи исследований. Целью настоящей работы является построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В работе решались следующие задачи.
1. Построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и вывод явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.
Получение некоторых способов замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.
Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе диссертации в п. 1.1-1.3 даются основные сведения о теории стохастических дифференциальных уравнений, рассматривается математическая модель фильтрации диффузионных процессов и дается постановка задачи фильтрации.
В п. 1.4-1.5 дается вывод формул для явных решений стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных в одномерном случае.
В п. 1.6 выводятся явные формулы для решения линейных стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом.
В п. 1.7 рассматриваются нелинейных стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и строится явное решение для одного случая.
Основной результат работы приведен в п. 1.8, где строятся явные формулы для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов.
Во второй главе разрабатывается математический аппарат, используемый для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В п. 2.1 даются основные сведения о симметричных интегралах. В п. 2.2-2.3 показаны некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах. В п. 2.4 дано решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.
На защиту выносятся следующие результаты:
Аналитический метод построения явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и способ получения явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.
Некоторые способы замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.
Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации полезного сигнала на фоне шума.
Методы исследований. Методы исследования опираются на методы теории стохастических дифференциальных уравнений; теории вероятностей; теории случайных процессов; теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, а также на аппарат теории локальных времен.
Научная новизна результатов. Новым является аналитический метод и полученное с его помощью решение задачи фильтрации диффузионных процессов, путем сведения решения данной задачи к некоторой системе (неслучайных) дифференциальных уравнений. Данный метод также применим для решения других видов стохастических дифференциальных уравнений в частных производных.
Новыми являются формулы замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, позволяющие в некоторых случаях упростить уравнение для фильтрационной плотности распределения диффузионного процесса.
Новым является решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации полезного сигнала на фоне шума.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое и практическое значение. Полученные результаты теории фильтрации могут найти широкое применение к разнообразным задачам статистики случайных процессов. В частности, к таким задачам, как задача фильтрации полезного сигнала на фоне шума, задача линейного оценивания и задача управления. Методы и результаты диссертации также могут быть использованы в теории стохастических дифференциальных уравнений, в теории симметричных интегралов, а так же в других областях знания, где стоит задача выделения полезного сигнала на фоне шума.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в девяти публикациях, среди которых четыре статьи автора ([66], [69], [70], [71]), четыре публикации тезисов докладов ([65], [67], [68], [73]) и одна статья в соавторстве ([72]).
Апробация работы. По основным результатам были сделаны доклады:
На Международной Молодежной научной школе-конференции (Казань, 2002).
На Международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, МГУ, 2003).
На Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Абрау-Дюрсо, 2004).
На Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 2004).
На математических семинарах УГАТУ, БГПИ, ВолГУ, РГСУ.
Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных
Стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных называются уравнения вида А(и,ш) = О, где A(.,cv) - интегро-дифференциальный оператор, содержащий частные производные, а си -переменная, символизирующая случай. Будем исследовать эволюционные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и их потраекторные аналоги, т. е. уравнения вида где L и M - интегро-дифференциальные операторы (по х), v(t) - либо стандартный (возможно, многомерный) винеровский процесс, либо произвольная непрерывная функция неограниченной вариации, а само равенство (1.2.2) понимается в смысле стохастического дифференциального исчисления Ито. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных возникают во многих задачах из различных областей естествознания, более того, к ним приводят важные задачи теории случайных процессов. Приведем некоторые из них.
Уравнение фильтрации. Пусть наблюдается смесь "сигнал" (х()) плюс "шум" (w(t)). Задачей фильтрации называют задачу, состоящую в оценке ненаблюдаемого сигнала x(t) или некоторой функции от него по наблюденной траектории y(s) = x(s) + w(s) при s t.
Данная схема возникает во многих технических задачах. Например, x(t) может описывать фактические координаты движущегося объекта в момент времени t, a y(t) - координаты этого объекта по результатам радиолокационного наблюдения. В этом случае "шум" w{t) описывает ошибки измерений. Если предположить, что траектории ненаблюдаемого процесса x{t) описываются обыкновенным дифференциальным уравнением dx{t)/dt = b(x(t)), x(0) = XQ и "шум" w{t) - винеровский процесе, то наблюдаемый процесс описывается уравнением Ито dy{t) = b(x(t))dt-\-dw(t), 2/(0) = 2/0 Как известно, дисперсия w(t) равна t. В реальных же задачах случайный разброс значений наблюдаемого процесса часто зависит от его фазовой координаты. Поэтому более реалистичной моделью наблюдаемого процесса является следующая — a(x)du(s), при этом второй интеграл в правой части последнего уравнения есть обратный стохастический интеграл Ито. 3. Один из простейших объектов релятивистской квантовой механики - свободное бозонное поле. Это поле является стационарным решением ([40]) уравнения где А - оператор Лапласа, v(t, х) - винеровский процесс в т - некоторая физическая постоянная. 4. Модели популяционной генетики с географической структурой при водят ([49]) к уравнениям вида обозначения те же, что и в предыдущем примере. Поскольку с помощью формулы Ито в случае гладких интеграндов стохастические интегралы Ито (прямые и обратные) могут быть сведены к потраекторным симметричным интегралам (стохастическим интегралам Стратоновича), то оказалось возможным рассматривать не только стохастические, но и потраекторные (детерминированные) аналоги эволюционных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных вида где второй интеграл в правой части (1.3.3) есть симметричный интеграл по детерминированной непрерывной функции неограниченной вариации v{t). Достоинством такого подхода является тот факт, что в этом случае нет необходимости в ограничительных условиях типа предсказуемости, налагаемых при использовании стохастического интеграла Ито. где a(s,x) = a(s,x,u ), b(s,x) = b(s,x,uj), c(s,x) = C(S,X,UJ), f(s,x) = /(s,z,u/), a(s,x) = J(S,X,UJ), h(s,x) = h(s,x,cv), g(s,x) = g(s,x,u) (переменную о; и в дальнейшем будем опускать). Второй интеграл в правой части уравнения (1.4.1) есть стохастический интеграл Ито, v{s) - одномерный стандартный винеровский процесс. Будем полагать, что коэффициенты уравнения (1-4.1) удовлетворяют условиям предсказуемости, необходимым для существования стохастических интегралов Ито; при этом выполняются условия существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения. Наложим следующее условие: коэффициент J(S,X) ф 0 при любых s и х. Решением этого уравнения будет любая функция вида rj(s,x) = p(s,x,u)\u=v(s), для которой имеют смыслы интегралы в правой части уравнения (1.4.1), и которое обращает это уравнение в тождество.
Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами
Таким образом, найдены некоторые способы замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.
Рассмотрим задачу фильтрации в следующей постановке. Пусть Y(t) = X(t) + w(t), где X(t) - полезный сигнал (гладкая функция), w(t) - так называемый "шум", например, некоторый случайный процесс, обладающий локальным временем. Надо оценить значения X(t) по наблюдаемым значениям Y(t). В некоторых случаях бывает полезным узнать, обладает ли выходной сигнал X(t) + w(t) локальным временем, поскольку локальное время может дать дополнительную информацию о поведении выходного сигнала.
Пусть (s), s Є [0,1], - вещественнозначная борелевская функция. Ниже удобно интерпретировать переменную s как время. Обозначим через т(-) произвольную меру на сг-алгебре /3([0,1]). Рассмотрим (см. [25]) функцию распределения: Определение 2.4.1. Если при каждом t мера $f(-) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега А(-), то производная Радона - Никодима a(t,u) = (и) называется локальным временем функции v(s). Локальное время a(t,и), если оно существует, при каждом фиксированном t есть плотность времени пребывания. Это означает, что при каждом х Є R справедливо следующее равенство: Из определения локального времени следует, что для любой ограниченной (или знакопостоянной) борелевской функции f(s,u) справедливо равенство Так как функция a(t,u) при каждом t определяется с точностью до множества нулевой лебеговой меры, то естественным является вопрос о выборе "хорошего" варианта (версии) локального времени. Оказывается, можно всегда считать, что локальное время a(t, и) измеримо как функция двух переменных и является при каждом и неубывающей непрерывной справа функцией по t; меру на сг-алгебре борелевских множеств /3([0,1]) отрезка [0,1], которую она порождает, мы будем обозначать a(dt,u).
Известно, что локальные времена содержат ценную информацию о поведении исходной функции.
Задача возмущения была впервые поставлена в работе Гемана и Горо-вица [43]. Она состоит в следующем. Пусть v{t), t Є [0,1], - вещественно-значная, борелевская функция, которая обладает "хорошим" локальным временем a(dt, х). Возьмем достаточно гладкую функцию /(). Надо определить, будет ли сумма v(t) + f(t) обладать локальным временем. Решить эту задачу Геману и Горовицу (см. [44]) удалось только в случае, когда f(t) непрерывно дифференцируема и v(t) обладает совместно непрерывным локальным временем а(,ж), таким, что отображение х — a(t,x) является абсолютно непрерывным для каждого t, и a (t,x) = а х интегрируема на [0,1] х R.
Решение задачи возмущения для случайного процесса броуновского движения vt = v(t,u)) приведено в работе П.-А.Мейера ([60]): пусть wt -случайный процесс, согласованный с сг-алгебрами броуновского движения vt, у которого почти все траектории являются функциями ограниченной вариации, тогда процесс vt + Wt обладает локальным временем; в данной работе используется техника стохастического интегрирования. В настоящей работе решена задача возмущения в более общей постановке.
Теорема 2.4.1. Пусть v{t), t Є [0,1], - вещественнозначная боре-левскя функция, обладающая локальным временем a(t,u), совместно непрерывным по двум переменным, f(t) - гладкая, строго монотонно возрастающая функция, Поскольку локальное время a(t,u) непрерывно по t при всех и, и функция /-1(а — v) непрерывна по v, то функция a(/-1(a — v) At, и) непрерывна по v при всех и. Тогда справедливость равенства (2.4.2) вытекает из теоремы Лебега о дифференцировании интегралов в случае, когда интегранд представляет собой непрерывную функцию.
Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных
Теперь дадим строгую математическую формулировку задачи фильтрации диффузионных процессов. Понятие случайного (стохастического) процесса является расширением понятия случайной величины. Можно сказать, что случайный процесс - это семейство случайных величин, эволюционирующих во времени. Теория случайных процессов - это новейший раздел теории вероятностей, активно развивающийся начиная с 20-30-х годов XX века.
В 1829 году ботаник Р.Броун, наблюдая под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыль, обнаружил, что частицы пыли находятся в непрерывном беспорядочном движении. Закономерности, связанные с броуновским движением, были обоснованы теоретически А.Эйнштейном в 1905 году. Позднее Н.Винер построил строгую математическую модель, описывающую броуновское движение, которое называют еще и винеровским процессом. За пять лет до Эйнштейна в 1900 году Л.Башелье предпринял попытку описать стоимость акций как случайный процесс. Хотя его рассуждения не обладали математической строгостью и содержали ошибочное допущение, что цены акций могут быть отрицательными, он был первым, кто заметил, что при малых промежутках времени приращения цен акций ведут себя как некоторая случайная величина. И это позволило через 65 лет П.Самуэльсону для описания эволюции стоимости акций ввести так называемое геометрическое (он также писал "экономическое") броуновское движение.
Винеровский процесс, или процесс броуновского движения, является простейшим примером диффузионного процесса. т. е. винеровский процесс непосредственно связан с уравнением теплопроводности и имеет отношение к дифференциальному оператору эллиптического типа (см. [2]). Определение 1.2.2. Диффузионным процессом в пространстве Rm называется строго марковский процесс с непрерывными траекториями, инфинитезимальный оператор которого задается формулой где коэффициенты b{(t,x) называются коэффициентами сноса (переноса), a,ij(t,x) (образующие неотрицательно определенную матрицу) - коэффициентами диффузии. Обозначим через соответственно длину n-мерного вектора и норму матрицы. Пусть X(t), Y(t), t Є [О, Г], - некоторые диффузионные процессы, которые задаются стохастическими дифференциальными уравнениями Ито: где W(s) = (w(s),u(s)) - двумерный винеровский процесс, а коэффициенты этой системы являются предсказуемыми. Запишем эту систему в следующем виде: причем Z{t) — (X(t),Y(t)). Она имеет единственное решение, если для ее Предположим, что диффузионный процесс Y(t) доступен наблюдениям, a X(t) - нет. Наша задача состоит в том, чтобы по значениям Y(t) построить условное распределение случайной величины X(t). Пусть Ру (соответственно Рх ) пополненная по мере Р сг-алгебра, порожденная значениями процесса Y(t) (соответственно Х{)) при t Є [s,r]. Будем считать, что задана функция / : R — R, для которой E\f(X(t))\2 оо. Хорошо известно, что E(f(X(t))\/3y ) является наилучшей в среднем квадратичном /Зу -измеримой оценкой для f(X(t)), є[0,Т]. Задачу вычисления E(f (X(t))\Py ) называют задачей фильтрации, а условное распределение P(X(t) Є D\(3Y ) D Є /?(#), - фильтрационной мерой. Известно, что условное математическое ожидание E(f(X(t))\fiY ) можно вычислить явно, если известна некоторая функция p(s,x), которая называется нормализованной фильтрационной плотностью. Тогда искомое математическое ожидание выразится следующим образом:
Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации
Рассмотрим задачу фильтрации в следующей постановке. Пусть Y(t) = X(t) + w(t), где X(t) - полезный сигнал (гладкая функция), w(t) - так называемый "шум", например, некоторый случайный процесс, обладающий локальным временем. Надо оценить значения X(t) по наблюдаемым значениям Y(t). В некоторых случаях бывает полезным узнать, обладает ли выходной сигнал X(t) + w(t) локальным временем, поскольку локальное время может дать дополнительную информацию о поведении выходного сигнала.
Пусть (s), s Є [0,1], - вещественнозначная борелевская функция. Ниже удобно интерпретировать переменную s как время. Обозначим через т(-) произвольную меру на сг-алгебре /3([0,1]). Рассмотрим (см. [25]) функцию распределения:
Определение 2.4.1. Если при каждом t мера $f(-) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега А(-), то производная Радона - Никодима a(t,u) = (и) называется локальным временем функции v(s).
Локальное время a(t,и), если оно существует, при каждом фиксированном t есть плотность времени пребывания. Это означает, что при каждом х Є R справедливо следующее равенство: $Дж) = J a ujdu.
Из определения локального времени следует, что для любой ограниченной (или знакопостоянной) борелевской функции f(s,u) справедливо равенство Так как функция a(t,u) при каждом t определяется с точностью до множества нулевой лебеговой меры, то естественным является вопрос о выборе "хорошего" варианта (версии) локального времени. Оказывается, можно всегда считать, что локальное время a(t, и) измеримо как функция двух переменных и является при каждом и неубывающей непрерывной справа функцией по t; меру на сг-алгебре борелевских множеств /3([0,1]) отрезка [0,1], которую она порождает, мы будем обозначать a(dt,u). Известно, что локальные времена содержат ценную информацию о поведении исходной функции. Задача возмущения была впервые поставлена в работе Гемана и Горо-вица [43]. Она состоит в следующем. Пусть v{t), t Є [0,1], - вещественно-значная, борелевская функция, которая обладает "хорошим" локальным временем a(dt, х). Возьмем достаточно гладкую функцию /(). Надо определить, будет ли сумма v(t) + f(t) обладать локальным временем. Решить эту задачу Геману и Горовицу (см. [44]) удалось только в случае, когда f(t) непрерывно дифференцируема и v(t) обладает совместно непрерывным локальным временем а(,ж), таким, что отображение х — a(t,x) является абсолютно непрерывным для каждого t, и a (t,x) = а х интегрируема на [0,1] х R. Решение задачи возмущения для случайного процесса броуновского движения vt = v(t,u)) приведено в работе П.-А.Мейера ([60]): пусть wt -случайный процесс, согласованный с сг-алгебрами броуновского движения vt, у которого почти все траектории являются функциями ограниченной вариации, тогда процесс vt + Wt обладает локальным временем; в данной работе используется техника стохастического интегрирования. В настоящей работе решена задача возмущения в более общей постановке. В диссертации получены явные формулы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов, найдена методика решения стохастических дифференциальных уравнений в частных производных с линейными и нелинейными коэффициентами, которая необходима для решения задачи фильтрации, рассмотрены некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах, позволяющие упростить уравнение фильтрации, и решена задача возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации. Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом. 1. Построены явные формулы для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов. Они позволяют свести решение стохастического дифференциального уравнения для ненормализованной фильтрационной плотности к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных, с помощью которой можно найти явные формулы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. Пусть X(t), Y(t) - некоторые диффузионные процессы, которые задаются стохастическими дифференциальными уравнениями Ито:где W(s) = (w(s),u(s)) - двумерный винеровский процесс. Предположим, что диффузионный процесс Y(t) доступен наблюдениям, a 1(f) - нет. Наша задача состоит в том, чтобы по значениям Y(t) построить условное распределение случайной величины X(t). Тогда интересующее нас математическое ожидание можно выразить следующим образом.
