Введение к работе
Актуальность темы исследованя. Различные математические модели физики, механики, техники, физической химии приводят к необходимости исследовать задачу Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений. К уравнению Лапласа приводится, например, задача о распределении температуры в стационарном процессе, задача о электрическом потенциале и т. д. Различные математические модели теории упругости приводят к необходимости изучения бигармонических функций. Одной из важнейших задач для бигармонического и полигармонического уравнений является задача Дирихле. Эту задачу изучали С.Jl. Соболев, И.Н. Векуа, М. Николеску и др.
Для исследования математических моделей, соответствующих различным краевым задачам для полигармонического уравнения, как правило, ищутся приближенные рбШбНИЯ ЭТИХ ЗЗіДЗіЧ Для этого целесообразно использовать методы ортогональных проекций, Трефца, наименьших квадратов и др. Обоснование этих вычислительных методов можно найти в монографии С.Г. Мих. піни. В качестве координатных функций в этих методах удобно использовать полигармонические полиномы. Базисные системы полиномиальных решений строились и использовались и для многих других математических моделей, например, в задачах теории упругости, диффузии и задачах вибрации. Поэтому, построение приближенных полиномиальных решений для различных математических моделей является актуальной темой.
Степень разработанности темы. Для рбШбНИЯ 39j^9j4H Дирихле, в> также И ДРУГИХ 3 QjfJlt LT~I j ДЛя бигармонического уравнения в единичном шаре необходимо раскладывать граничные функции в ряды по базисным бигармоническим полиномам, записанным в сферической системе координат. Построение полигармонических полиномов в декартовых координатах на базе шаровых функций при помощи формулы Альманси приводит к громоздким вычислениям. В многомерном случае, т.е. при n > 3 ситушщя еице более сложная. Систему линейно независимых однородных бигармонических полиномов строили П.П. Теодореску, К. Цвайлинг, Г. Герглотц, Б.А. Бондаренко.
В настоящей диссертационной работе исследованы математические модели, соответствующие гармоническому и бигармоническому уравнениям путем нахождения приближенных полиномиальных решении, когда граничные данные и возмущения модели аппроксимированы многочленами. Для любой размерности n > 2 приведены простые формулы представления полиномиальных решений однородного и неоднородного бигармоничекого уравнения без преобразований из шаровых функций. Полученные формулы требуют лишь вычисления степеней оператора Лапласа от некоторых вспомогательных полиномов, зависящих от граничных данных и возмущений модели. Такого типа результаты не были известны ранее.
Цель и задачи исследования. Целью данной работы является исследование математических моделей, описываемых гармоническим и бигармони- ческим уравнениями с помощью представлений Альманси. В качестве приближенных численно-аналитических решений рассматриваемых задач (задача Дирихле и обобщенная третья краевая задача) берутся точные полиномиальные решения этих же задач, краевые условия и правая часть которых приближены некоторыми полиномами. Для достижения этой цели необходимо решить СЛбДуЮТТЩб ЗОїДОіЧИ
-
Построить и исследовать новую неклассическую математическую модель, описываемую обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона и исследовать приближенно (полиномиально) математические модели, описываемые задачей Дирихле для гармонического и бигармонического урав-
Н6НИЯ В TTT^рб
-
Разработать эффективный численный метод символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в
TTT ^рб
-
Спроектировать и реализовать комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод. Провести вычис- лите.IbUbiii эксперимент для проверки эффективности предложенного подхода.
Методы исследования. В работе использованы методы теории краевых задач для гармонического и бигармонического уравнения, методы теории потенциалов, методы теории полигармонических функций, свойства гармонических полиномов и функций, методы символьного дифференцирования и символьного интегрирования.
Научная новизна работы состоит в новом подходе к исследованию математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями, заключающемся в построении приближенных решений различных краевых задач для этих уравнений. С помощью найденного представления гармонических компонент в формуле Альманси удалось решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона с полиномиальными начальными и граничными данными, найти условия разрешимости и построить полиномиальные решения обобщенной третьей краевой задачи для уравнения Пуассона В TTT«і HQjITТії ПО линомиальное решение задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения в шаре. На основании представленного метода разработан комплекс программ в системе известного пакета "Mathematica" для символьного пред-
СТ9іВЛ6НИЯ рбТТТбНИЯ 30)Д9іЧИ Дирихле для гармонического и бигармоиического уравнений в единичном шаре размерности n > 2.
Теоретическая значимость работы заключается в приближенно аналитическом решении классических и неклассических краевых задач для гармонического и бигармоиического уравнений в шаре, что создает основу для дальнейшего развития моделирования процессов, описываемых указанными задачами. Построена новая модель потенциала заряженной сферы, описываемая обобщенной третьей краевой задачей. Полученные новые результаты развивают теорию построения точных полиномиальных решений различных краевых задач и могут быть использованы для численного исследования таких задач.
Практическая значимость заключается в применении созданного комплекса программ к численному и аналитическому исследованиям математических моделей термодинамики, теории упругости и физической химии.
Работа выполнялась при поддержке гранта в рамках реализации федеральной целевой программы Научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013г. (Соглашение №14.В37.21.0613)
Методы исследования. В работе использованы методы теории краевых задач для гармонического и бигармоиического уравнения, методы теории потенциалов, методы теории полигармонических функций, свойства гармонических полиномов и функций, методы символьного дифференцирования и символьного интегрирования.
Положения, выносимые на защиту:
-
-
Новая неклассическая математическая модель ориентированных коллоидных мультиполей, описываемая обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона;
-
Численный метод символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармоиического уравнений в шаре;
-
Комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод.
Полученные результаты соответствуют следующим областям исследования специальности:
-
-
-
разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений (п.1);
-
развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей (п.2);
-
реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов (п.4).
Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми и получены автором лично. Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, сформулированных
в диссертации, подкрепляется строгим математическим доказательством всех утверждений. Математическая строгость доказательств соответствует современному уровню. Основные положения диссертации докладывались автором на следующих международных и всероссийских конференциях:
на 3-й Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию Jl.Д. Кудрявцева (3-4 ноября 2008г., г. Москва);
на Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых ЗCLrZI^cL4i «і ПОСВЯЩЄННОИ 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (1-6 сентября 2008г., г. Екатеринбург);
на Международной конференции "Modern problems of applied mathematics and informational technologies" (18-21 September, 2009r., Tashkent);
на XI международной научной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (17-19 мая 2010г., г. Смоленск);
на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (2-7 июля 2010г. , г. Суздаль);
на 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундамен- тельных и прикладных нctyк ( 2010г., Москва);
на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (26-29 июня 2011г., г. Самара);
на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (12-17 сентября 2011г., г. Минск);
на международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (31 октября - 5 ноября 2011г., г. Екатеринбург).
Похожие диссертации на Применение представлений Альманси в численном исследовании математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями
-
-
-
