Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения 15
1.1 Методы интегральных уравнений в радиотехнике 15
1.2 Классы функций 17
1.3 Определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов 19
1.3.1 Определения одномерных сингулярных и гиперсингулярных интегралов 19
1.3.2 Определения полигиперсингулярных и многомерных гиперсингулярных интегралов 25
1.4 Постановка задачи построения оптимальных алгоритмов вычисления гиперсингулярных интегралов 30
1.5 Обзор приближенных методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов и решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений 34
1.5.1 Приближенное вычисление сингулярных и гиперсингулярных интегралов 34
1.5.2 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений 37
1.6 Вспомогательные утверждения 40
1.6.1 Понятие корректности и некорректности 40
1.6.2 Критерии регулярности 41
Глава 2 Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора 44
2.1 Введение 44
2.2 Постановка задачи 45
2.3 Приближенное решение уравнения Поклингтона 52
2.4 Уравнение Галлена 56
2.5 Границы применимости уравнения Галлена 59
2.6 Гиперсингулярные интегральные уравнения теории электрических вибраторов 62
Глава 3 Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов 67
3.1 Приближенные методы вычисления одномерных сингулярных и гиперсингулярных интегралов с подвижной особенностью 67
3.2 Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью 74
3.3 Построение аналитических способов вычисления полигиперсингулярных и двумерных гиперсингулярных интегралов 78
3.4 Приближенное вычисление двумерного гиперсингулярного интеграла по треугольной области 90
3.5 Приближенное вычисление многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области 96
Глава 4 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений 104
4.1 Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений 104
4.2 Приближенное решение гиперсингулярного интегрального уравнения моделирующего электрический вибратор 109
4.3 Приближенные методы решения двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений 115
4.3.1 Сплайн-коллокационный метод 116
4.4 Проекционные методы решения уравнения Гельмгольца 120
4.4.1 Приближенное решение слабосингулярных интегральных уравнений первого рода 120
4.4.2 Приближенное решение граничной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца 124
Заключение 127
Список использованных источников 129
Приложение 137
- Определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов
- Приближенное решение уравнения Поклингтона
- Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью
- Приближенное решение гиперсингулярного интегрального уравнения моделирующего электрический вибратор
Введение к работе
Актуальность темы
В последнее время все большее распространение в различных областях науки получает исследование объектов и явлений путем составления и анализа их математических моделей (описаний). Одно из ведущих мест в этих исследованиях принадлежит интегральным уравнениям. Прежде всего интегральные уравнения находят свое применение в решении задач исследования различного рода полей и сред. Основанием для составления интегральных уравнений, как правило, служат общие физические законы (законы сохранения массы, импульса, энергии), которые приводят к моделям конкретных процессов и явлений в интегральной форме. Стоит отметить, что достоинства этих моделей состоят в их общности, в том, что они не содержат производных от функций, являющихся характеристиками состояния среды. Таким образом, модели этого типа не накладывают каких-либо существенных ограничений на гладкость решения, и допускают существование разрывных решений, чего не скажешь относительно дифференциальных уравнений.
Помимо этого, интегральные уравнения успешно применяются при решении задач электродинамики, в анализе электрических и магнитных полей, для решения пространственных задач (метод граничных интегральных уравнений). В настоящее время значительно возросла сложность задач анализа, и в практику исследования динамических систем вошли многие задачи математической физики, задачи идентификации (обратные задачам анализа) и др.
Задачи анализа описываются интегральными уравнениями второго рода, решение которых представляет собой корректную задачу. Задачи восстановления внешних воздействий, общие задачи идентификации и другие задачи приводят к уравнениям первого рода, обладающим
свойствами некорректности (нарушается хотя бы одно из следующих условий: решение существует, оно единственно и устойчиво).
При исследовании краевых задач радиотехники вопрос расчета основных характеристик излучения некоторого антенного устройства связан с решением внутренней задачи теории электрического вибратора, а именно, с нахождением функции распределения тока вдоль его длины.
Электродинамическая теория вибратора была построена в работах Галлена [66], М. А. Лсонтовича [34], М. Л. Левина и др. авторов, и предполагала рассматривать вибратор достаточно тонким. Указанная модель при исследовании краевых задач для проволочных антенн приводит к двум основным интегральным уравнениям - уравнениям Галлена и Поклингтона. Вопрос касающийся получения строгого аналитического решения для этих уравнений остается открытым, а на практике используется решение в первом приближении (упрощенной форме). Вопрос численного решения указанных уравнений связан с работами Р. Митры и предполагает использование метода моментов, принципиальную роль в котором имеет выбор базисных функций. На сегодня оптимальный выбор базисных функций для решения уравнений Поклингтона и Галлена является открытой проблемой. Но даже в этом в этом случае электродинамическая модель сводится к системе линейных алгебраических уравнений, порядок которой в принципе не ограничен, а для реализации достаточной точности модели требует больших вычислительных ресурсов. Кроме того, уравнения Поклингтона и Галлена моделируют электрический вибратор с конечной величиной диаметра по всей длине вибратора, однако в зоне модулирования колебаний вибратор представляется бесконечно тонким, и это не соответствует физической постановке задачи. Стоит заметит, что при построении модели поверхностные электрические токи и магнитные эквивалентные токи заменяются расположенной на оси вибратора бесконечно тонкой нитью непрерывного тока.
Поэтому представляется актуальным построение модели свободной от указанных недостатков. Для этого интересным было бы предположить вибратор бесконечно тонким, и перейти к особым интегральным уравнениям, в которых интегралы следует понимать как конечночастные (в смысле Адамара). Тем более, что вопросы применения этих особых (сингулярных и гиперсингулярных) интегралов в других областях уже давали свои плоды.
В начале XX в. в работах Д. Гильберта и А. Пуанкаре возникла теория сингулярных интегральных уравнений, содержащая интегралы в смысле главного значения по Копій. В течение первой половины 20 столетия основное внимание исследователей было направлено на развитие теории сингулярных интегральных уравнений. Первой работой по приближенным методам решения сингулярных интегральных уравнений, описывающих задачу обтекания воздушным потоком крыла конечного размера, была работа М. А. Лаврентьева. Начиная с середины прошлого столетия теория сингулярных интегральных уравнений набирает все большие обороты в прикладных вопросах. Теория сингулярных интегральных уравнений становится наиболее эффективной для решения граничных задач (задача Римана и задача Гильберта), различных задач математической физики (здесь на искомые и задаваемые функции, фигурируемые в интегральных уравнениях, налагаются некоторые ограничения, значительно упрощающие изложение). В последнее время особое внимание уделяется гиперсингулярным интегралам (иногда говорят конечночастным интегралам), понимаемым в смысле главного значения Коши-Адамара. Данный тип интегралов также находит активное приложение в задачах электродинамики, аэродинамики, теории упругости и др. Гиперсингулярные и сингулярные интегралы позволяют определять значения, в смысле конечночастного интеграла (Адамара) для расходящихся интегралов, поэтому их рассмотрению и изучению также должно быть
уделено должное внимание.
Основные достижения в развитие теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений связаны со следующими именами С. М. Белоцерковскпй [5], И. В. Бойков [13, 15], Г. М. Вайникко [18], И. Н. Векуа [19], Н. П. Векуа [20], Ф. Д. Гахов [24], В. В. Иванов [27, 28], И. К. Лифанов [37], А. М. Линьков [36], Л. Г. Михайлов [40], С. Г. Михлин [42], С. Г. Михлин и 3. Пресдорф [67], Н. И. Мусхелишвили [43], 3. Пресдорф и Б. Зильберман [69], 3. Пресдорф и Г. Шмидт [70], Г. Н. Пыхтеев [53, 54], К. Е. Atkinson [63], D. Elliot [65], A. G. Ramm [71].
Начиная с 80-90-х гг. прошлого столетия заметен все возрастающий поток публикаций, посвященных вычислению гиперсингулярных интегралов и решению гиперсингулярных интегральных уравнений. Это связано с двумя обстоятельствами:
увеличивается число областей физики и техники (электродинамика, теория упругости, гравиразведка, квантовая физика и т.д.), в которых существенную роль играют гиперсингулярные интегралы и гиперсингулярные интегральные уравнения;
необходимостью доведения исследований в этой области до уровня исследований в теории сингулярных интегральных уравнениях.
Несмотря на активное развитие методов вычисления гиперсингулярных интегралов и решения гиперсингулярных интегральных уравнений остается не исследованным ряд принципиальных моментов:
построение оптимальных алгоритмов вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов с особенностью на границе;
построение приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов по областям со сложной геометрией;
разработка и обоснование приближенных методов решения
одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений.
Численным методам решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, возникающих в теории антенн, механики разрушений, и методам вычисления этих особых интегралов посвящена теоретическая часть данной диссертации.
Практическая часть диссертации состоит в построении алгоритмов приближенного решения классической модели электродинамической теории вибраторов, основой которых являются интегральные уравнения. В случае достаточно тонких электрических вибраторов, когда существующие методы не отражают суть протекающих процессов (в виду возникающих особых интегралов), предлагается использовать аппарат сингулярных pi гиперсингулярных интегральных уравнений.
Цель и задачи исследования
Целью исследования является построение и обоснование численных алгоритмов решения классических уравнений теории электрических вибраторов - Галлена и Поклингтона, а также программная реализация алгоритмов. Существующая математическая модель тонкого вибратора, описываемая уравнениями Поклингтона и Галлена не описывает физику процесса в случае очень тонкого вибратора, поэтому необходимо построение математической модели описывающей электрический вибратор в случае бесконечно малого радиуса. Одним из способов такой реализации модели является использование особых интегральных уравнений (в которых интегралы понимаются в смысле Коши и в смысле Коши-Адамара) и, соответственно, построение и обоснование вычислительных схем ее численного решение. Для достижения поставленной цели необходимо:
разработать численные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена;
построить программную реализацию алгоритмов;
исследовать модель вибратора, описываемую гиперсингулярными интегральными уравнениями;
разработать алгоритмы вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов;
построить оптимальные квадратурные формулы вычисления ряда гиперсингулярных интегралов;
разработать и провести обоснование численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений различных видов;
провести исследование различных вычислительных схем решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанных на различных критериях обращения матриц;
разработать программы, реализующие эти методы, и применить полученные результаты к решению задач теории электрических вибраторов.
Методы исследования
В работе использованы методы функционального анализа, прикладного функционального анализа, краевых задач теории функции комплексного переменного, квадратурных формул, теория сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач.
Научная новизна
Научная новизна работы состоит в следующем:
предложена математическая модель электрических вибраторов в случае бесконечно тонкой антенны, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях;
построены алгоритмы решения гиперсингулярных интегральных уравнений, моделирующих электрический вибратор;
предложены и обоснованы приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена;
предложены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью;
построены кубатурные формулы вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по областям, ограниченным кривыми Ляпунова;
предложены кубатурные формулы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области;
предложены алгоритмы приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанные на различных критериях регулярности;
разработан пакет следующих программ:
решения классических уравнений Поклингтона и Галлена теории электрических вибраторов;
решение модели электрических вибраторов, основанной на гиперсингулярных интегральных уравнениях;
вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по треугольной области;
вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью.
Публикации. По результатам диссертации опубликовано восемь печатных работ, три из которых из списка ВАК:
Тарасов, Д. В. Приближенные методы вычисления гиперсингуляр
ных интегралов с фиксированными особенностями / И. В. Бойков,
Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2008. -№ 1. - С. 21-40.
Тарасов, Д. В. Применение гиперсингулярных интегральных
уравнений к численному моделированию электрического
вибратора / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. —
2008. -№ 4. - С. 94-106.
Тарасов, Д. В. Приближенное решение некоторых классов
гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков,
Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. —
2009. -№ 1. - С. 100-112.
Апробация. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
Международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2006)
третьей Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск,
2007);
второй Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2007)
второй Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008)
третьей Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008)
научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета.
Пакет прикладных программ «Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений и их применение к моделированию электрических вибраторов» используется в производственной деятельности ОАО «НПП «Рубин» (акт о внедрении прилагается к диссертации).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений и изложена на 221 странице.
В приложении к диссертации помещены тексты программ, реализующих алгоритмы, предложенные в работе, а также результаты решения модельных примеров.
Определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов
Вопросы излучения и приема электромагнитных волн своей основой имеют фундаментальные законы теории электродинамики - уравнения Максвелла. Изучение этих вопросов с XIX в. тесно связано с разработкой антенных систем, основой которых является электрический вибратор. Первоначально возбуждение электромагнитных волн и их экспериментальное исследование было осуществленно Г. Герцом; а первая проволочная антенна в виде заземленного провода, основой которой служил вибратор Герца, была изобретена А. С. Поповым.
В это время исследования были посвящены вопросам исследования длинных волн. Аннтенны, размеры которых были значительно больше длины волны, рассматривались как системы с сосредоточенными параметрами, т.е. параметры не имели пространственной протяженности, либо этой протяженностью можно пренебречь. Состояние таких систем обычно характеризуется функцией или конечным набором функций, аргументом которых служит только временная переменная t. Как правило, поведение системы с сосредоточенными параметрами описывается конечным числом дифференциальных уравнений в обыкновенных производных.
Современная радиотехника идет по пути освоения все более и более коротких волн. В этом случае антенные системы следует рассматривать как системы с распределенными параметрами, что вносит значительные трудности в их исследование. Так, для расчета основных характеристик излучения простейших антенных устройств - диаграмма направленности, сопротивление излучения, КНД (коэффициент направленного действия), необходимо решить так называемую внутреннюю задачу теории вибратора. Эта задача состоит в нахождении функции распределение тока по длине электрического вибратора.
Строгое решение внутренней задачи даже для простейшего электрического вибратора представляет значительные трудности, поскольку приводит к интегральным уравнениям специального вида, аналитическое решение которых не получено до настоящего времени. Поэтому в виду практической значимости достаточно долгое время использовались методы позволяющие получить пусть грубое, но хоть какое-то решение.
Достаточно часто электродинамической моделью вибратора служит вибратор с характеристиками удовлетворяющими неравенству /За С 1, где /3 - волновое число, а - радиус вибратора. В частности, такой подход имел место в работах Е. Галлеиа [66], М. А. Леонтовича [34] и др.
Модели «толстых» цилиндрических вибраторов также приводят к интегральным уравнениям и подробно исследованы в работах Е. Н. Васильева [21].
Следует отметить, что при исследовании краевых задач для проволочных антенн рассматривают два основных интегральных уравнения - Галлена и Поклингтона. Строгое аналитическое решение для этих интегральных уравнений не известно, и на практике используют несколько упрощенное численное решение. Для сведения интегральных уравнений к системам линейных алгебраических уравнений в радиотехнике, как правило используется метод моментов, в котором важную роль имеет выбор собственных, или базисных, функций. Основные вопросы, касающиеся выбора собственных функций и их сравнительный анализ, подробно изучены в работе Р. Митры [1]. Такой подход может быть реализован, при условии достаточной точности модели, только вычислительными методами и с использование ЭВМ. Таким образом, вопросы касающиеся построения вычислительных методов решения внутренней задачи носят актуальный характер.
В последнее время для решения уравнений Галлена и Поклингтона, описывающих электрический вибратор, применяется аппарат сингулярных интегральных уравнений [46]. В общем случае, модель предполагающая вибратор достаточно тонким может быть сведена к сингулярным интегральным уравнениям (что и естественно в силу тонкого электрического вибратора), для решения которых требуется построение соответствующих численных алгоритмов (желательно оптимальных) вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов, а также алгоритмов решения уравнений с ними.
Вопросам решения уравнений Галлена и Поклингтона в общем случае, а также проблеме сведения этих уравнений в предельном случае (бесконечно тонкий вибратор) к гиперсингулярныи интегральным уравнениям, и вопросам посроения эффективных методов их решения и посвящена данная диссертация.
Приближенное решение уравнения Поклингтона
Интенсивное развитие вычислительной техники и расширение областей применения ЭВМ требует активного развития вычислительных алгоритмов для решения широкого класса задач. Но полученное решение и, соответственно, алгоритм его построения, должны удовлетворять определенным требованиям. В частности, среди математических задач выделяется класс задач, неустойчивых к сколь угодно малым изменениям исходных данных. Задачи такого рода приводят к произвольно большим изменениям решения. В начале XX в. Ж. Адамаром, при исследовании вопроса постановки наиболее "естественных" граничных условий для различных типов дифференциальных уравнений, было введено понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач. Достаточно долго считалось, что некорректно поставленные задачи не могут иметь практического значения и всякая математическая задача должна удовлетворять требованиям корректности. В настоящее время данному классу задач (некорректных задач) посвященно огромное число работ, классической среди которых стала книга А. Н. Тихонова и В. Я. Арсенина [59].
В данной работе авторы приводят большое число некорректно поставленных задач и методы их регуляризации, позволяющие получить решения, свободные от перечисленных выше недостатков. Для определения понятия корректно поставленной задачи введем следующие обозначения: решение z будем считать элементом метрического пространства F, исходные данные и - элементами метрического пространства U; z = R(u). Расстояние между элементами определим согласно метрикам введенных пространств (метрики обычно определяются постановкой задачи): Пусть определено понятие "решения"и каждому элементу и U отвечает единственное решение z = R(u) из пространства F. Определение 1.6.1. Задача определения решения z = R(u) из пространства F по исходным данным и из пространства U называется корректно поставленной, если выполняются условия: 1) для всякого элемента и Є U существует решение z из пространства F; 2) решение определяется однозначно; 3) если для любого числа є 0 можно указать такое число 6(є) О, что из неравенства pu(u\,U2) S(e) следует /9 ( 1,-) є, где z\ = Riu\), Z2 = R(u2); ui,U2 Є U; z\,Z2 Є F, т.е. малое изменение исходных данных приводит к малому изменению решения. Задачи, не удовлетворяющие указанным выше требованиям, называют некорректно поставленными. Следует также заметить, что определение некорректно поставленных задач относится к паре метрических пространств F и U, т.к. в других метриках та же задача может быть корректно поставленной. Как правило, некорректность возникает из-за нарушения последнего условия, и даже очень малые возмущения (например, порядка 10 7) правой части (а также ядра исходного уравнения) могут привести к тому, что численное решение не будет иметь практически ничего общего с точным.
В данном пункте укажем различные критерии регулярности, позволяющие судить об однозначной разрешимости, которые непосредственно применяются в диссертации. Подробный обзор данных критериев приведен в работе Ф. Р. Гантмахера [22]. У этой матрицы все недиагональные элементы 0, а диагональные 0. Напомним, что матрица с вещественными элементами называется М-матрицей, если у нее все недиагональные элементы 0, т.е. неположительные и все главные миноры положительны. Основным математическим аппаратом, применяемым при моделировании электромагнитных процессов в электрическом вибраторе, являются интегро-дифференциальные уравнения Поклипгтона и Харрингтона [55] и интегральное уравнение Галлена [55]. В последнее время к исследованию этих процессов привлекаются также сингулярные интегральные уравнения [46]. В качестве численных методов для решения уравнений Поклингтона и Галлена привлекается, как правило, метод моментов и его модификации. При выводе уравнений Поклингтона, Харрингтона и Галлена тонкий вибратор замещается цилиндром с конечным радиусом а. В данной главе выводится гиперсингулярное интегральное уравнение, описывающее бесконечно тонкий электрический вибратор, предлагается и обосновывается численный метод его решения. Помимо этого, предлагается несколько численных методов решения уравнений Поклингтона и Галлена и проводится сравнение полученных численных результатов.
Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью
Пусть в плоскости Оху задана кривая , удовлетворяющая условиям Ляпунова. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение Пусть N - целое число. Обозначим через &, к = 0,1,...,N точки дуги I, расстояние между которыми, измеренное по дуге, равно L/N, где L - длина дуги. (Здесь to - начало кривой, tjy - ее конец. Кривую I проходим против часовой стрелки). Отметим, что при решении практических задач нахождение точек &, к = 0,1,..., JV, удовлетворяющих указанному условию может оказаться сложным. Поэтому при достаточно больших значениях N можно ограничиться условием, чтобы были равны между собой хорды, соединяющие точки , = 0,1,...,#. Приближенное решение уравнения (4.1) будем искать в виде кусочно-постоянной функции Здесь E означает суммирование по к ф I — 1,/+1. Как и в [13], за счет выбора /г можно добиться, при b(t) ф 0, однозначной разрашимости системы уравнений (4.3). Отметим, что выбор значений h гарантирует однозначную разрешимость системы уравнений (4.3) как в регулярном, так и в исключительных случаях. По аналогии с [13] можно показать, что оценка близости приближенного решения x N{t), полученного из системы (4.2), (4.3) и точного решения x (t) уравнения (4.1) зависит от гладкости последнего. Это обусловлено тем, что значения h отличаются, как правило, от величины L/(2N). Приведем несколько модификаций вычислительной схемы (4.2)-(4.3), позволяющих получить более точные приближенные решения.
Для простоты обозначений при описании модификаций будем рассматривать характеристические уравнения. При решении системы (4.4) естественно следующим образом распорядиться параметрами h, jij,i, j = 0,1,..., N — 1. Положим h = - , 1Ц-1 = %i+i = 0, цк = 1 при 2 \l - к\ [Ф-Ъ Jlk = о при \l-k\Z [Ц ]. Если при этих значениях параметров /г, 7гь 1,к = 0,1,..., N — 1, условия теоремы Адамара (теорема 1.6.1) о разрешимости систем линейных алгебраических уравнений выполнены, то последовательно увеличиваем значения h в пределах от до F, JIJ-I, 7/,/+1 в пределах от 0 до 1, а затем значения уц., К — & [ f\ в пределах от 0 до 1. Изменения проводятся до тех пор, пока выполняются условия теоремы Адамара. В случае, если условия теоремы Адамара не выполняются, то уменьшаем параметр h до тех пор, пока они не будут выполнены. Как только они будут выполнены, можно начать увеличение 7м-ъ 7м+і за счет уменьшения параметров 7/ь при \к — l\ « . Описанные выше процедуры не носят характер строгих утверждений, но их применение, как показали вычислительные эксперименты, значительно повышает точность вычислений. Отметим также, что выбор параметров h, Jij,i,j = 0,1,..., N — 1, требует времени значительно меньше, чем решение систем уравнений вида (4.3),(4.4) методом Гаусса.
Результаты вычислительного эксперимента приведены в приложении А.7. Вторая модификация Прежде чем перейти к описанию вычислительной схемы обратимся к теореме Адамара о блочных матрицах (теорема 1.6.2). Приближенное решение уравнения (4.1), в котором для простоты обозначений опущен компактный оператор, будем искать в виде кусочно-постоянной функции j\r(), коэффициенты которой в соответствие с классической вычислительной схемой находятся из системы линейных алгебраических уравнений Пусть m - целое число. Будем считать, что числа N и т подобраны таким образом, что т п — N, где п - целое число.
Приближенное решение гиперсингулярного интегрального уравнения моделирующего электрический вибратор
Интерес к этому конкретному виду гиперсингулярных интеральных уравнений вызван тем, что одна из задач теории разрушения -задача растяжения круглой трещины единичными усилиями перпендикулярными к ее поверхности, описывается уравнением Ниже исследуется сплайн-коллокационный метод нулевого порядка для решения уравнения (4.15). Из приведенных рассуждений следует, что этот метод применим к гиперсингулярным интегральным уравнениям, определенным в произвольных выпуклых областях. В качестве приложения полученного утверждения рассмотрено уравнение (4.16). Рассмотрим гиперсингулярное интегральное уравнение вида (4.15). Для приближенного решения этого уравнения, покроем область интегрирования S следующей сеткой. Обозначим через N достаточно большое натуральное число и покроем область D = [—1, 1] квадратами Д = [vk, Vk+ґ, Щ, vi+i ,}, к, I = 0, 1, ..., iV — 1, где Vk — — 1 4- 2k/N, kj = 0, 1, ..., N. Квадраты Afc/, полностью расположенные в области S, назовем базисными и обозначим их через А к1. Квадраты Д&;, не являющиеся базисными, но имеющие с областью S пересечение с мерой больше нуля (это пересечение обозначим через Д ), назовем отмеченными. Каждый из отмеченных квадратов объединяем с тем из базисных квадратов, для которого общая граница с отмеченным квадратом будет наибольшей. Таким образом, пусть общее число базисных квадратов А к1 (через Ак1 обозначен базисный квадрат Ак1, если он не имеет присоединенного отмеченного квадрата или объединение базисного квадрата Ак1 с присоединенной областью Д , если базисный квадрат граничит с соответствующим отмеченным квадратом) равно Щ. Обозначим центры базисных квадратов через vkl. Приближенное решение уравнения (4.15) будем искать в виде кусочно-постоянной функции где 2 2 означает суммирование по базисным квадратам; Коэффициенты {ctki} будем определять из системы линейных алгебраических уравнений, которая строится следующим образом. Подставим в уравнение (4.15) вместо неизвестной функции x{t\, 2) ее приближенное значение xjsr{ti, 2) и приравняем обе части уравнения (4.15) в точках vkl, являющихся центром базисных квадратов.
В результате приходим к системе алгебраических уравнений вида Исследуем сходимость вычислительной схемы (4.18). Для этого воспользуемся теоремой Адамара об обратимости квадратных матриц. Нетрудно видеть, что сумма (4.20) имеет наибольшее значение при (к, I) = ([у] +1, [у] +1) (не ограничивая общности можно считать N - нечетным числом). Таким образом, вместо (4.20) достаточно оценить сумму Из теоремы Адамара вытекает справедливость следующего утверждения. Теорема 4.3.1. Пусть выполнены условия (4.24). Тогда система уравнений (4.15) имеет единственное решение. Опишем применение полученного результата к приближенному решению уравнения (4.16). Введем новую неизвестную функцию Замечание 4.3.1. Переход от уравнения (4.16) к уравнению (4.15) носит формальный характер. Подобный переход естественно использовать для нахождения решения в области Sa = R((0,0), 1-а), где а 0. При использовании перехода от уравнения (4.16) к уравнению (4.25) для нахождения решения в окрестности границы области S возникает значительная погрешность. В приложении А.8 приведены результаты решения модельных примеров сплайн-коллокационным методом, согласно выражению (4.18), для различного числа элементов покрытия N. Многочисленные задачи электродинамики, аэродинамики, геофизики сводятся к различного рода краевым задачам для уравнения Гельмгольца [30, 2]. Приближенному решению этих задач посвящено значительное число работ, в которых, как правило, рассматривались области правильной геометрической формы. В данном работе предлагается проекционный метод решения краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца, определенного в пространственных областях с кусочно-непрерывной границей. Известно, что слабосингулярные интегральные уравнения первого рода являются некорректными задачами и для их решения необходимо использовать различные методы регуляризации [59].
В случае если ядро уравнения дифференцируемо, слабосингулярное уравнение может быть сведено к сингулярному или гиперсингулярному, и для решения последних может быть предложен параллельный метод решения. Изложению этого вопроса посвящен данный параграф. Рассмотрим слабосингулярное интегральное уравнение Будем считать, что функции h (t, т) и f (t) имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным i, t2: t%. В случае, если правая часть не дифференцируема, то ее можно аппроксимировать сплайном невысокого порядка. По-видимому, наиболее целесообразно аппроксимировать функцию f(t) локальными сплайнами, т.к., во-первых, в этом случае легко оценить погрешность дифференцирования и, во-вторых, изменение в способе аппроксимации функции f(t) в какой-то области А С Г2 не сказывается на аппроксимации f(t) в целом. Вычислим производную второго порядка по одной из переменных t\, 2, 3 (для определенности будем считать, что производная берется по переменной t\) от обеих частей уравнения (4.26). В результате приходим к уравнению
