Содержание к диссертации
Введение
1 Основные методы численного исследования 23
1.1 Общая характеристика изучаемых задач 23
1.2 Модифицированные ньютоновские схемы. Обзор 26
1.2.1 Итерационные схемы на основе обобщения НАМН 27
1.2.2 Примеры модифицированных ньютоновских схем 35
1.3 Схемы продолжения по параметру 39
1.3.1 Общая концепция 39
1.3.2 Схема продолжения через точки поворота 42
1.3.3 Схема продолжения на плоскости двух параметров 44
2 Описание комплексов программ 48
2.1 Комплексы программ. Общая характеристика 48
2.1.1 Комплексы CONTIN-NLIN, CONTIN-NLIN-MOD, OSCILLON 48
2.1.2 Комплекс GAP-EV 50
2.1.3 Комплексы DEUTERON и REL-SCHR 51
2.1.4 Комплекс DIRAC 52
2.1.5 Программы, переданные в библиотеку JINRLIB 53
2.2 Описание программы CONTIN-NLIN 54
2.2.1 Описание вычислительной схемы 55
2.2.2 Программная реализация 57
2.2.3 Численные примеры 60
2.3 Программы PROGON4, PROGS2H4 и MATPROG(CMATPROG) . 64
Оглавление 2
2.3.1 Описание программ PROGON4 и PROGS2H4 G4
2.3.2 Описание вычислительной схемы (на примере программы PROGS2H4) 67
2.3.3 Описание программ MATPROG и CMATPROG 80
2.3.4 Примеры 83
2.4 Описание программ HEA-CRS и HEA-TOTAL 86
2.4.1 Основные формулы 87
2.4.2 Особенности программной реализации 90
2.4.3 Примеры 93
3 Численное исследование нелинейного уравнения Шрёдингера с диссипацией и накачкой 95
Введение 96
3.1 Многосолитонные комплексы с диссипацией и накачкой 97
3.1.1 Постановка задачи 97
3.1.2 Схема численного анализа 99
3.1.3 Результаты вычислений и выводы 101
3.2 Численный анализ движущихся солитопов 108
3.2.1 Постановка задачи 108
3.2.2 Бифуркации движущихся диссипативных солитопов 110
3.2.3 Численное продолжение движущихся солитопов при 7 = 0 . 113
3.2.4 Численное продолжение движущихся солитопов при 7 ф 0 . 117
3.2.5 Устойчивость движущихся диссипативных солитопов . 124
3.2.6 Заключение 125
3.3 Численный анализ темных солитопов 125
3.3.1 Постановка задачи и методы численного анализа 125
3.3.2 Численные результаты 128
3.3.3 Заключение 131
4 Численный анализ устойчивости щелевых солитопов и двух и трехмерных осциллонов 132
Оглавление З
4.1 Щелевые солитоны в модели оптического волокна с периодически меняющимся показателем преломления 133
4.1.1 Введение 133
4.1.2 Постановка задачи 134
4.1.3 Результаты численного анализа 137
4.1.4 Методы численного исследования 140
4.1.5 Заключение 144
4.2 Осциллоны в модели нелинейного фарадеевского резонанса 145
4.2.1 Введение 145
4.2.2 Постановка задачи и методы численного анализа 146
4.2.3 Анализ численных результатов и заключение 150
5 Численный анализ квантово-полевых моделей бинуклона и кваркония 155
5.1 Модель бинуклона в пределе сильной связи 156
5.1.1 Введение 156
5.1.2 Общая постановка задачи 157
5.1.3 Постановка краевой задачи 159
5.1.4 Метод численного исследования и численные результаты . 166
5.1.5 Заключение 173
5.2 Численный анализ релятивистского уравнения Шрёдиигсра в рамках модели кваркоиия 174
5.2.1 Введение 174
5.2.2 Постановка задачи и методы численного исследования . 177
5.2.3 Свойство уравнения (5.40) с потенциалом (5.42) 179
5.2.4 Численный анализ модификаций потенциала (5.41) 180
5.2.5 Численный анализ модификаций потенциала (5.42) 182
5.2.6 Численное исследование релятивистского уравнения 183
5.2.7 Заключение 187
Оглавление 4
6 Численное моделирование ядерных взаимодействий в рамках высокоэнергетического приближения 188
6.1 Модель упругого ядро-ядерного рассеяния 189
6.1.1 Введение 189
6.1.2 Общая постановка задачи 190
6.1.3 Фазы кулоновского и ядерного потенциалов 192
6.1.4 Численные результаты и выводы 196
6.2 Расчет полных сечений ядро-ядерных реакций 198
6.2.1 Постановка задачи в рамках ВЭП 198
6.2.2 Фазы для реалистичных плотностей 200
6.2.3 Численные результаты и выводы 202
6.3 Моделирование ядро-ядерного потенциала 204
6.3.1 Введение 204
6.3.2 Постановка задачи 207
6.3.3 Численные результаты и выводы 209
6.4 Расчет зарядовых формфакторов в а-кластерной модели ядра 12С . 215
6.4.1 Введение 215
6.4.2 Постановка задачи и методы численного исследования . 216
6.4.3 Численные результаты и выводы 218
Заключение
- Итерационные схемы на основе обобщения НАМН
- Программы, переданные в библиотеку JINRLIB
- Численный анализ движущихся солитопов
- Численный анализ релятивистского уравнения Шрёдиигсра в рамках модели кваркоиия
Введение к работе
Актуальность темы
Диссертация посвящена разработке новых методов продолжения по параметрам и комплексов программ для численного исследования ряда нелинейных математических моделей современной теоретической физики, позволяющих изучить зависимость характеристик моделей от параметров, включая анализ бифуркаций. Разработанные методы дают возможность повысить эффективность применения итерационных ньютоновских схем при решении нелинейных уравнений.
Первый круг задач связан с изучением волновых процессов в моделях нелинейных сред. В диссертации проведено численное исследование различных постановок нелинейного уравнения Шрёдингера, которое в качестве амплитудного уравнения имеет множество приложений в теории конденсированных состояний, нелинейной оптики и физики плазмы. К данному кругу моделей относятся также модель оптического волокна с периодически меняющимся показателем преломления и модель двух- и трехмерных осциллонов в нелинейном фарадеевском резонансе, в которых нелинейное уравнение Шрёдингера выступает как частный случай более общих математических постановок. Численное исследование направлено на решение одной из актуальных проблем современной синергетики - получение новой информации об устойчивых локализованных структурах, возникающих в открытых диссипативных системах в результате уравновешивания диссипативных потерь за счет поступающей извне энергии; а также на анализ бифуркаций и эволюции неустойчивых состояний. В рассматриваемых математических постановках лишь отдельные классы локализованных решений известны в явном виде. Вопрос о существовании других решений (солитонные комплексы, движущиеся солитоны) удается решить только численно. Поэтому разработка эффективных математических методов и программ для исследования новых классов локализованных решений в нелинейных волновых уравнениях является актуальной задачей как для
Введение б
конкретных физических приложений, так и в рамках общей теории солитонов в неинтегрируемых системах.
Второй круг задач связан с разработкой методов и комплексов программ для теоретического исследования наблюдаемых физических характеристик в рамках ряда актуальных задач ядерной физики и физики частиц. Эти исследования вызваны необходимостью правильной интерпретации имеющихся экспериментальных данных и проведения надежных предсказательных расчетов, важных для планирования новых экспериментов и для ряда прикладных задач. Это, во-первых, квантово-полевая модель бинуклона в пределе сильной связи; во-вторых, - релятивистское обобщение уравнения Шрёдингера в модели связанных состояний кварков; и, в-третьих, модель ядро-ядерных взаимодействий при промежуточных энергиях в рамках высокоэнергетического приближения. Учет в квантовых и квантово-полевых моделях микроскопической структуры квантовых объектов в рамках соответствующего волнового уравнения Шрёдингера приводит к нелинейным математическим постановкам задач рассеяния и задач на связанные состояния.
Актуальность представленных в диссертации исследований обусловлена потребностями российских и международных научных программ и проектов. Все они выполнялись автором в соответствии с Тематическим планом ОИЯИ и научными проектами РФФИ. Ряд исследований проводился в рамках Программы сотрудничества с Польшей "Боголюбов - Инфельд" , Программы сотрудничества с болгарскими научными центрами "ОИЯИ - Болгария" и международного Соглашения о сотрудничестве между ОИЯИ и Университетом Кейптауна в области математики и прикладной математики.
Исследование микропроцессов в указанных моделях приводит к необходимости исследования нелинейных сингулярных граничных и спектральных задач для систем дифференциальных и интегральных уравнений, зависящих от физических и (или) феноменологических параметров моделей. Исследование таких систем аналитическими методами удается провести лишь в отдельных частных случаях. Основным, а иногда единственным методом исследования
Введение
является численный анализ, что предъявляет высокие требования к точности и надежности вычислительных алгоритмов. Наличие параметров делает исследование по параметру неотъемлемым элементом численного анализа. Возможная неединственность решений и наличие бифуркаций требует разработки специальных методов численного исследования.
Таким образом, создание новых эффективных методов продолжения по параметрам и комплексов программ для численного исследования различных классов нелинейных многопараметрических сингулярных граничных и спектральных задач явлется важной и актуальной проблемой современного компьютерного моделирования сложных физических систем.
Базовым инструментом решения этой проблемы в диссертации служат вычислительные схемы, реализующие концепцию объединения итераций на основе обобщения непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) с новыми схемами продолжения по параметру. Модифицированные схемы на основе НАМН [1] и его обобщения [2] известны как высокоэффективное средство численного решения различных классов нелинейных задач. Сочетание этого метода с различными схемами продолжения по параметру существенно расширяет возможности численного исследования. Организованное с учетом особенностей конкретных задач численное продолжение позволяет эффективно решить такие проблемы, как расчет параметров в задачах подгонки Jz2] и оптимизации [3]; выявление устойчивых локализованных структур в нелинейных дисперсионных средах [z3, z4], анализ автомодельных тепловых структур в режимах с обострением [4] и др. Таким образом, объединение двух указанных подходов представляется перспективной основой разработки и компьютерной реализации новых эффективных методов численного исследования различных классов нелинейных многопарамстрических задач.
Цели и задачи диссертации
Фундаментальная научно-практическая задача, на решение которой
Введение 8
направлена данная диссертация - разработка методов численного продолжения по параметрам и комплексов программ для исследования многопараметрических процессов, описываемых нелинейными граничными и спектральными задачами в форме систем дифференциальных и интегральных уравнений, а также их численное исследование.
Конкретными целями диссертации являются:
1. Разработка новых схем продолжения по параметру для численного
исследования локализованных решений в нелинейных волновых уравнениях.
2. Построение эффективных вычислительных схем, объединяющих новые схемы
продолжения по параметру с итерационными схемами на основе обобщения
НАМИ.
3. Разработка и программная реализация адекватных методов дискретной
аппроксимации, обеспечивающих необходимую точность и достоверность
численных результатов.
4. Создание комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения
следующих вычислительных экспериментов:
нахождение и исследование новых классов локализованных решений нелинейного уравнения Шрёдингера с диссипацией и накачкой в моделях нелинейных дисперсионных сред;
численный анализ устойчивости щелевых солитонов в модели оптического волокна с периодически меняющимся показателем преломления;
анализ устойчивости двух- и трехмерных осциллонов в модели нелинейного фарадеевского резонанса;
численное исследование квантово-полсвой модели бинуклона;
исследование модели кваркония на основе релятивистского обобщения уравнения Шрёдингера с реалистичными потенциалами взаимодействия;
моделирование ядро-ядерных взаимодействий при промежуточных энергиях в высокоэнергетическом приближении.
Введение 9
5. Численный анализ физических моделей, описываемых нелинейными волновыми уравнениями, с целью получения новой информации о структуре, свойствах и эволюции нелинейных дисперсионных сред и квантовых микросистем, раскрытия их качественных свойств и количественной оценки наблюдаемых величин.
Научная новизна и значимость работы
В диссертации развиты эффективные вычислительные схемы, объединяющие новые схемы численного продолжения по параметрам с итерациями на основе обобщения НАМН. Созданные проблемно-ориентированные программные комплексы позволили успешно провести численное исследование актуальных математических моделей сложных микропроцессов и получить новые важные результаты.
В диссертации разработаны новые схемы продолжения по параметрам - схема продолжения через точки поворота и схема продолжения на плоскости двух параметров, существенно повышающие эффективность ньютоновских итерационных схем, обеспечивающие высокую скорость численного продолжения и возможность устойчивого выхода на новые ветви решений в точках поворота, расширяя тем самым возможности численного исследования.
Созданы новые вычислительные схемы и программные комплексы, реализующие концепцию объединения разработанных схем численного продолжения с итерациями на основе НАМН.
Впервые, и только за счет использования разработанных проблемно-ориентированных программных комплексов, получен ряд новых значимых прикладных результатов, а именно:
(а) В результате проведенного численного исследования нелинейного уравнения Шрёдингера получены новые классы устойчивых локализованных состояний в диссипатшшых системах с
Введение 10
самофокусирующей и дефокусирующей нелинейностью для случаев прямой и параметрической накачки энергии.
В модели оптического волокна с периодически меняющимся показателем преломления выявлены диапазоны параметров, где локализованные структуры (щелевые солитоны) неустойчивы, что в данной модели интерпретируется как искажение сигнала на линии и возможная потеря передаваемой информации.
Проведенное численное исследование устойчивости двух- и трехмерных осциллонов в модели нелинейного фарадеевского резонанса позволило сделать теоретические заключения о механизме образования указанных структур на поверхности жидких и гранулированных сред.
На основе численного анализа квантово-полевой модели сильной связи получено количественное описание основных характеристик бинуклона.
В результате численного анализа найдены параметры функций, аппроксимирующих с заданной точностью реалистичные потенциалы в моделях кваркония, построенных на базе релятивистского уравнения Шрёдиигера.
Проведенное численное исследование характеристик ядерных взаимодействий в рамках модели высокоэнергетического приближения показало, что в данном подходе возможно описание экспериментальных данных в широком диапазоне ядер при энергиях от 10 до 100 МэВ на нуклон падающего ядра без применения процедуры подгонки. Показано, что данный подход может быть адаптирован для моделирования взаимодействия нейтронизбыточных изотопов легких ядер со стабильными ядрами.
Численное исследование квантово-полевой модели бинуклона и модели двух-и трехмерных осциллонов выполнено впервые.
Исследование устойчивости локализованных структур в модели оптического волокна впервые проведено на основе численного анализа соответствующей задачи на собственные значения для линеаризованного оператора, что
Введение
позволило впервые для данного класса моделей показать, что указанные структуры (щелевые солитоны) могут быть неустойчивы, б. В рамках высокоэнергетической модели впервые получены удобные приближенные аналитические выражения, существенно упрощающие вычисление основных характеристик ядро-ядерных взаимодействий при промежуточных энергиях.
Практическая ценность
Разработанные в диссертации вычислительные схемы и программные комплексы позволили получить конкретные результаты, касающиеся свойств моделируемых физических систем, установления области применимости исходных квантовых и полевых моделей, возможных приложений в целенаправленном планировании новых физических экспериментов.
Разработанные методы и программы имеют самостоятельную ценность, что подтверждается, в частности, успешным решением задач, выходящих за рамки данной диссертации.
В числе исследований, которые ведутся в настоящее время с использованием разработанных программных продуктов - численный анализ солитонов в дискретном нелинейном уравнении Шрёдингера в коллаборации с Дрезденским институтом сложных физических систем и моделирование энергетической зависимости полных сечений реакций легких нейтронизбыточных ядер со стабильными ядрами для обработки экспериментов, выполняемых в ЛЯР ОИЯИ.
Часть программ для расчета характеристик ядерных взаимодействий передана в Институт Ядерных Исследований и Ядерной Энергии (София, Болгария).
Ряд программных продуктов: CONTIN-NLIN, PROGS2H4, PROGON4, МАТ-PROG(CMATPROG), HEA-CRS, HEA-TOTAL (в общей сложности около 7000 операторов фортранного кода), которые использовались при решении рассматриваемых в диссертации задач и представляют интерес для широкого круга пользователей, переданы в библиотеку JINRLIB и доступны для пользователей через интернет.
Введение 12
Результаты и положения, выносимые на защиту
I. Разработаны эффективные вычислительные схемы, реализующие концепцию
объединения новых схем продолжения по параметрам с итерациями на основе
обобщения непрерывного аналога метода Ньютона: (1) схема продолжения по
параметру в точках поворота и (2) схема продолжения на плоскости двух
параметров с одновременным вычислением одного из них.
Разработанный подход существенно расширяет возможности численного исследования, обеспечивая устойчивую сходимость ньютоновских итераций в ходе численного продолжения, высокую скорость численного продолжения и возможность выхода на новые ветви решений в точках поворота.
II. С использованием развитых алгоритмов разработаны проблемно-
ориентированные комплексы программ для численного исследования сложных
микропроцессов, описываемых нелинейными волновыми уравнениями.
III. Проведено численное исследование ряда актуальных математических моделей
многопараметрических микропроцессов и получены новые результаты.
IV. Разработанные вычислительные схемы и программы используются при
решении других задач, возникающих в современных моделях сложных
физических систем. Ряд программных продуктов передан в библиотеку JINRLIB.
Они доступны для пользователей через интернет.
В развернутом виде полученные в диссертации результаты представлены в ЗАКЛЮЧЕНИИ.
Публикации
Основное содержание диссертации опубликовано в 47 работах, в числе которых
15 публикаций в российских журналах, рекомендуемых ВАК [1-15]; Математическое Моделирование, Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра, Письма в ЭЧАЯ, Ядерная Физика, Известия РАН (серия физическая);
11 публикаций в трудах конференций [16-26];
Введение
17 работ в зарубежных журналах [27-43]: Physical Review Letters, Physical Review E, Journal of Physics G, International Journal of Modern Physics E, Nuclear Physics B, Computer Physics Communications, SIAM Journal on Applied Mathematics, Progress of Theoretical Physics Supplement, Physica D;
2 Сообщения ОИЯИ и 2 статьи в научных сборниках [44-47].
Достоверность результатов
Достоверность представленных в диссертации результатов обеспечивается проведением численных экспериментов на последовательности сгущающихся сеток, расширяющихся интервалов и увеличивающегося числа участвующих в разложении базисных функций, а также сравнением с имеющимися данными экспериментов, с теоретическими оценками, с аналитическими и численными результатами других авторов. Полученные в диссертации новые результаты инициировали численные и теоретические исследования ряда других авторов, в которых эти результаты нашли независимое подтверждение.
Личный вклад автора
Автор диссертации в сотрудничестве с коллегами и соавторами из ОИЯИ и других (российских и зарубежных) научных центров участвовал в математической постановке рассматриваемых в диссертации задач, в создании, проверке и улучшении соответствующих математических моделей, в разработке методов их численного исследования, в анализе и интерпретации получаемых численных результатов.
В разработку представленных в диссертации вычислительных схем и комплексов программ, в получение численных результатов, в анализ их точности и достоверности автором внесен определяющий вклад. Конкретно, работы [zl, z3, z4, zl7, zl8, zl9, z45] выполнены с определяющим вкладом автора; все численные результаты в работах [zl5, z20, z22, z23, z24, z29, z30, z31, z33, z35, z42, z46| получены автором на основе составленных им алгоритмов и программ; а в работах
Введение 14
[z5, z6, z7, zll, zl3, z21, z25, z34, z26, z37, z39, z40, z43, z44j - с определяющим вкладом автора в разработку вычислительных схем и программ и в проведение численного анализа. В работах [z8, zlO, zlG, z27, z28, z38, z41, z47] вклад автора - существенный. В работах [z9, zl2, zl4, z32, z36], помимо представленных в них численных результатов, автор внес существенный вклад в получение приближенных аналитических выражений, упрощающих расчет характеристик ядерных взаимодействий в рамках высокоэнергстического приближения.
Апробация результатов
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах ОИЯИ и на следующих международных конференциях:
III Международный Симпозиум "Дубна - Дейтрон - 95" (июль 1995) Дубна, Россия
I Workshop on Numerical Analysis and Application (June 1996) Rousse, Bulgaria
Международная Конференция "Computational Modelling and Computing in Physics" (сентябрь 1996) Дубна, Россия
VI Международный Семинар но Физике Тяжелых Ионов (сентябрь 1997) Дубна, Россия
22nd Symposium of South African Society for Numerical Mathematics SANUM'98 (April 1998) Cape Town, South Africa
I Международная Конференция "Modern Trends in Computational Physics" (июнь 1998) Дубна, Россия
32nd Symposium on Mathematical Physics (May 1999) Torun, Poland
II Международная Конференция "Modern Trends in Computational Physics" (июль 2000) Дубна, Россия
XVI Международный Балдинский Семинар по Проблемам Физики Высоких Энергий "Релятивистская Ядерная Физика и Квантовая Хромодинамика" (июнь 2002) Дубна, Россия
Введение
52-е Международное Совещание по Ядерной Спектроскопии и Структуре Атомного Ядра "Ядро-2002" (июнь 2002) Москва, Россия
V Международный Конгресс по Математическому Моделированию (октябрь 2002) Дубна, Россия
53-е Международное Совещание по Ядерной Спектроскопии и Структуре Атомного Ядра "Ядро-2003" (октябрь 2003) Москва, Россия
HI Workshop on Numerical Analysis and Application (June 2004) Rousse, Bulgaria
Структура и объем диссертации
Диссертация содержит 243 страницы, 50 рисунков, 19 таблиц и состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 47 основных публикаций автора по теме диссертации и 221 наименование цитируемой литературы. Нумерация формул, таблиц и рисунков сквозная в пределах каждой главы.
Краткое содержание диссертации
Итерационные схемы на основе обобщения НАМН
В работе [18], где впервые был предложен НАМН, рассматривается группа одношаговых итерационных методов решения нелинейного уравнения в В-пространстве3 ВД = 0, (1.2) в которых на каждом шаге с номером к итерационного процесса поправка ДФ . к известному приближению Фд. искомого решения вычисляется по формуле ДФ = (Ф ), Ф +і = Ф + ДФ , = 0,1,2,-- Ф0 - заданный элемент. Способ построения функции т/ (Ф) определяется в зависимости от используемого итерационного метода. В частности, для метода Ньютона КФ) = -ПФ)- (Ф),
В тех формулах, где это несущественно, зависимость функции F от а опущена. где F (ty) - линейный оператор, производная Фрсше функции F($). Показано, что для каждого итерационного процесса указанного вида можно построить его непрерывный аналог путем введения вместо дискретной переменной к (к — 0,1,2,---) непрерывного параметра t (0 t оо). Предполагая непрерывную зависимость Ф = Ф() и вводя вместо приращения ДФ производную —-Ф(), получаем дифференциальное уравнение (і) = ф(Щ), Ф(0) = Фо. (1.3)
В результате, нахождение решения уравнения (1.2) осуществляется путем решения задачи Коши (1.3) на полуоси 0 t оо. В работе [18] доказан ряд утверждений о сходимости непрерывных аналогов итерационных методов при t — оо к изолированному решению Ф уравнения (1.2). Для НАМН такое доказательство основано на преобразовании уравнения (1.3) к виду j/m)) = -wo), (о) = Фо, (1.4) откуда следует существование интеграла F(4 (t)) = е (Ф0). При условии гладкости функции (Ф) и существовании ограниченного оператора -Р (Ф)_1 в окрестности начального приближения Фо доказано существование в этой окрестности корня Ф уравнения (1.2) и сходимость траектории Ф() при t — оо к этому корню. Для приближенного решения задачи Коши (1.3) в работе [18] предлагается использовать подходящие численные методы, ожидая их устойчивость при асимптотической устойчивости Ф = Ф().
В обзоре [1] описан простейший одношаговый метод приближенного интегрирования задачи (1.3) - метод Эйлера для НАМН. Этот метод на дискретной сетке {tk,к = 0,1,2, ;tk+i tk = тк} приводит к последовательности линейных задач F (Vk)vk = -F( ), Фк+і = Ф + 7%. к = 0,1,2,---, (1.5) где Ф0 - заданный элемент. При тк = 1 получается последовательность итераций метода Ньютона.
Выбор параметра 7 может осуществляться разными способами и представляет специальную проблему. В результате практического опыта и теоретических исследований ряда авторов [19, 20, 21, 22] выработан ряд алгоритмов вычисления этого параметра [2J, расширяющих область сходимости НАМН и уменьшающих число ньютоновских итераций. В большинстве комплексов программ, реализующих НАМН и его обобщение применительно к различным математическим постановскам, используются пять наиболее эффективных алгоритмов (см., например, [23J).
Остановимся здесь на одном из наиболее эффективных методов вычисления т , впервые предложенном в [19]. Для того, чтобы Ф = Ф(Т) мало отличался от искомого решения Ф , необходимо выбрать t = Т достаточно большим. В то же время, для более точного вычисления методом Эйлера значения Ф = Ф(Г) необходимо задавать тк достаточно малыми. Данные требования являются противоречивыми, поскольку нас не интересуют все приближенные значения Ф Ф( ), а лишь необходим элемент Ф(Г).
Чтобы найти представление параметра т , соответствующее требованиям минимальности вычислительных затрат при достижении с требуемой точностью решения Ф , вспомним, что метод Ньютона, обладая квадратичной сходимостью в близкой окрестности решения, обеспечивает минимальность невязки для линейной части F(4f) [24]. Обобщая это свойство, будем рассматривать 7 как итерационный параметр в итерациях (1.5), оптимальный выбор которого дает минимум функции перехода фк+і{т) в оценке [22]
Программы, переданные в библиотеку JINRLIB
Программа CONTIN-NLIN реализует численное продолжение по параметру применительно к следующей системе двух нелинейных уравнений: $1 щ(х) + Fn(ui,u2,x,a)ul(x) + Fi2{uhU2,x,a)u 2{x) + Gi(uuu2,x,a) = О, Ф2 = u2(a;) + F2i(wi,U2,x,5)u1(x) + F22(ui, щ, x,a)u2(x) + Є2(щ,и2,х,а) = 0, где a x b, a - вектор параметров, Fy и G (i,j = 1,2)-функции, обеспечивающие существование решения (они задаются пользователем), продолжение ведется по одному из элементов вектора а (ниже он обозначается а ), краевые условия на функции щ и и2 имеют вид: Diu ila) + Qrnia) = О, Д (6) + &щ(Ь) = 0. (2.2) Здесь і = 1,2; D\ + Q\ 0, Df + С% 0. В программе реализована описанная в [z3] схема численного продолжения с возможностью продолжения по параметру через точки поворота. Для численного решения системы (2.1)-(2.2) на каждом шаге продолжения используется ньютоновская итерационная схема [z2]. 5Ю.Г. Соболев и др. Энергетическая зависимость полного сечения реакции 4,6Не, 7Li 4 28Si при Е=5-50 МэВ/А. Изв. РАН сер. физ., T.G9, вып. 11, 2005 (в печати)
Согласно [z2j на каждом s-u шаге численного продолжения ньютоновская итерационная схема для численного интегрирования задачи (2.1)-(2.2) имеет следующий вид: 1 = 1 +7 , (2.3) где і = 1,2; к = 0,1,2,... - номер ньютоновской итерации, г - итерационный параметр, v\ \х) - итерационная поправка, которая вычисляется путем численного решения граничной задачи (2.4) [к)" , тр(к) (к) , г (Jfc) . тз(к) {к) , D(fc) (к) лАк) k V2 + 21 «1 + р22Щ + 21 Щ + Р22Щ = Щ . с краевыми условиями (2.5) I ivS } (а) + QrfV) = - 4%) + QMk) {a)] D2v[k)\b) + Q2v[k\b) = -[D2u[kY(b) + Q2uf(b)} DlVf{a) + &і/«(а) = -[DlUfY(a) + Qm a)] 5 ( + Ык\ь) = -[Ыку(Ь) + Q2uf\b)\ (2.6) Функции Рц(х,щ,и2,а) определяются как Рп = [dFn/dui и\ + dFu/du! и 2 + dd/dmfl pg) = [dFn/du2 и[ + dF12/du2 и 2 + dGi/dix2](fc), P2ki = Wn/du, «; + dF22/c/ixi v!2 + dG2/dUlf\ Рю = [dF2l/du2 u\ + dF22/du2 u 2 + dG2/du2f\
Численное решение задачи (2.4-2.6) осуществляется с помощью подпрограммы PROGS2H4 [z45], в которой реализована трехточечная конечно-разностная аппроксимация четвертого порядка согласно обобщению метода Нумсрова. Используется равномерная дискретная сетка с шагом h. Исходная система (2.1)-(2.2) аппроксимируется с помощью пятиточечных конечно-разностных схем, также имеющих порядок 0(h4) [60].
Ньютоновский итерационный процесс останавливается при выполнении соотношения 8к = тьх\\ФР\\ е, (2.7) 1=1,2 где е - заданное малое положительное число, - невязка, вычисляемая в сеточной норме. Для вычисления итерационного параметра тк в программе реализованы три алгоритма, наиболее экономичные и эффективные в рамках метода численного продолжения: 1. rfe = T0; 0 т0 1. (2.8) min(l,2Tfc_i), если 5к 6к-\, тк = { (2.9) тах(т0,7- /2), если 5к 5к-и (2.10) 4= тії І, -!- -), если 6k 6k-i, ок m&x(T0,Tk-i—f-), если 4 4-і Ок
При устойчивой сходимости итераций во время численного продолжения эффективным является выбор т 1, т.е. TQ 0.8 в (2.8-2.10). На начальных этапах вычислений следует выбирать алгоритм (2.10) с малым значением г0, обеспечивающий расширение области сходимости ньютоновских итераций [22].
Начальное приближение щ для каждого (s+l)-ro набора параметров строится по схеме Эйлера с использованием результатов, полученных на (s — 1)-м и S-M шагах численного продолжения (см. блок-схему на Рис. 2.1). Шаг движения по параметру Да = а - a _j может быть постоянным или вычисляется по формуле Д +1 = Да; [Д],-і/[Л]8, (2-11) где [АЕ]а = E(a s) — E(as-i), Е - какая-либо скалярная характеристика решения, задаваемая пользователем ("бифуркационная мера").
Численный анализ движущихся солитопов
В настоящем разделе изучаются движущиеся с постоянной скоростью солитоны нелинейного уравнения Шрёдингера. Мы ограничиваемся здесь случаем параметрической накачки. Запишем здесь еще раз соответствующее уравнение: гфі + фхх + 2\ф\2ф -ф = кф- г-іф. (3.18)
Уравнение (3.18) имеет солитонные решения [78, 96, 82] - как устойчивые, так и неустойчивые, которые могут образовывать устойчивые и неустойчивые солитонные комплексы [97, 98, 95, z30]. В случае ненулевой диссипации все локализованные решения, обнаруженные до сих пор, не имели зависимости от времени. Что же касается движущихся солитонов, как устойчивых, так и неустойчивых, их удавалось получить только при отсутствии диссипации [z35j. Более того, до недавнего времени считалось, что солитоны принципиально не могут двигаться при наличии диссипации. Этот вывод опирался на
Фрагменты диаграммы, представленной на Рис. 3.4: (а) - вблизи нижней границы существования по h; (b) - вблизи верхней границы теорию возмущений, которая предсказывала замедление и остановку солитонов, первоначально двигавшихся с ненулевой скоростью [99, 96, 100, 101, 102, 103]. Тем не менее, как было показано в [z42], движущиеся солитонные решения нелинейного уравнения Шрёдингера с параметрической накачкой и непулевой диссипацией существуют при определенных значениях параметров. В [z42] сформулированы условия, при которых такие решения могут возникать, и представлены соответствующие численные результаты. Схема численного решения разработана в [z3, z4], изложена в разделе 1.3 и реализована в комплексах программ CONTIN-NLIN и CONTIN-NLIN-MOD, представленных в Главе 2.
Движущиеся с постоянной скоростью V солитоны il (x,t) = -ф(х — Vt) = ф 0 при -» оо. удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению в котором скорость V играет роль внешнего параметра. Принципиальное значение имеет устойчивость решений к малым возмущениям. Линеаризуя уравнение (3.18) в движущейся системе координат и предполагая, что линейное возмущение зависит от времени экспоненциально:
Критерием устойчивости является отсутствие собственных значений А с положительной вещественной частью. Приведем характеристики решения, которые будут использоваться в дальнейшем изложении. Это интегралы импульса и энергии, определяемые соответственно выражениями
Эти два солитона могут образовывать множество стационарных комплексов, которые символически обозначаются ф(++), ф{ ), т/ (+_+), Ф{-+-) и т.д. [z30].
Предположим, о( ) = wo + г у0 - один из таких солитонных комплексов, существующий при значениях параметров h0 и 7о- В работе [z42j сформулировано необходимое условие, при выполнении которого решение может быть продолжено в область V Ф 0. Для четных функций4 необходимое условие продолжения в7 0 из [z42] сводится к выполнению равенства есть непрерывная функция от параметра h; и 0 и v 0 - производные по х; (v, w)T = у(х) -собственный вектор оператора С\ соответствующий нулевому собственному значению )у = 0. Оператор С, имеет вид
С помощью условия (3.26) было, в частности, показано, что при 7о Ф 0 односолитонные решения ф+ и ф- (элементарные составляющие, из которых "строятся" все комплексы) не могут быть продолжены BV O.
Для солитонных комплексов, полученных в [z30j, возможность продолжения в область V ф 0 была проверена численно. При анализе этих ветвей многосолитонных комплексов обнаруживаются три точки, в которых интеграл 1(h) меняет знак (черные точки на Рис. 3.7). В каждой из этих трех точек нам удалось численно продолжить решения с 7 Ф 0 в область ненулевых значений V. Результаты представлены в разделе 3.2.4.
Численный анализ релятивистского уравнения Шрёдиигсра в рамках модели кваркоиия
Современные экспериментальные проекты физики частиц ставят перед теоретической физикой задачу построения моделей, обеспечивающих адекватное описание экспериментальных данных взаимодействия легких и тяжелых кварков и мезонов. Такие исследования активно ведутся в различных направлениях.
В рамках ряда моделей квантовой теории поля выражения для описания физических характеристик, которые могут наблюдаться в экспериментах, формулируются на основе фейнмановских диаграмм и представляют собой те или иные интегралы высокой кратности. Например, в работах [z27, z38, z41] рассчитаны некоторые физические характеристики, которые могут быть измерены в экспериментах по рассеянию элементарных частиц.
Так, в [z27] получены замкнутые аналитические выражения для дифференциального сечения электрон-позитронпого рассеяния Баба на большие углы с учетом логарифмических вкладов в радиационные поправки за счет излучения жестких фотонов, которые сводятся, соответственно, к трех- и пятикратному интегралам для коллинеарной и полуколлинеарной кинематических областей.
В [z38] моделирование вклада скалярного и псевдоскалярного мезонного поля в аномальный магнитный момент a\i (SP) на основе соответствующих фейнмановских диаграм приводит к восьми- и десятикратным интегралам, которые рассчитываются с использованием метода Коробова [155].
В [z41] в рамках модели тяжелого фермиона, использованной для описания струи глюона, порождаемой поляризованным протоном, рассчитана одиоспиновая корреляция в дифференциальном сечении процесса образования пиона при протон-протонном столкновении, возникающая из-за интерференции механизмов обмена с одним и двуми глюонами в канале рассеяния. Показано, что измерение односпиповой корреляции может дать информацию об интерсептах оддероиа и померона. Численный анализ в рамках модели позволяет вычислить эти характеристики путем численного интегрирования соответствующих четырех- и шестикратных интегральных выражений.
Один из активно используемых подходов для теоретического и численного моделирования спектров мезонов (связанных состояний кварка и антикварка) основан на квантово-полевом обобщении нерелятивистской потенциальной модели одноглюонного обмена [15б]-[161]. В этом подходе экспериментальные характеристики - спектры мезонов и констант лептонных распадов - описываются через решения систем уравнений Швингера - Дайсона (ПІД) и Бете - Солпитера (БС) в импульсном пространстве. Уравнение ПІД описывает волновую функцию кварка "внутри" мезона; решения уравнения БС (собственные значения и собственные функции) имеют физический смысл масс и волновых функций мезонов. Путем сравнения с экспериментальными данными исследуется вопрос построения эффективного потенциала КХД, не зависящего от аромата кварков.
В пределе тяжелых кварков уравнения модели переходят в релятивистское уравнение Шрёдингера [162, 163]. В работах [164]-[167] кварковая потенциальная модель с различными феноменологическими потенциалами была применена для описания широкого спектра масс мезонов, волновых функций и их констант лептонного распада. Главным результатом этого исследования можно считать описание на качественном уровне спектров масс мезонов, а также количественное описание некоторых экспериментальных данных. Отметим, что данный подход допускает обобщение на случай конечной температуры и плотности, что делает его перспективным для теоретического и чиленного моделирования фазового перехода от связанных состояний кварков к кварк-глюонной плазме (см., например, [168] и недавние работы [169]). Численное исследование обобщения систем ШД и БС для конечной температуры и плотности было проведено в [170].
Одна из трудностей численного исследования упомянутых релятивистских потенциальных моделей связана с тем, что в качестве эффективного потенциала в них, как и в нерелятивистском случае, обычно используется комбинация кулоновского и линейного потенциалов, что приводит к расходимостям в ядрах интегральных уравнений. В литературе для решения этой проблемы часто используется так называемая "перенормировка волновой функции кварка внутри мезона". По сути, устранение сингулярностей при этом происходит за счет дополнительно введенных в гамильтониан контрчленов.
Другой путь преодоления проблемы сингулярностей предполагает модификацию исходного потенциала на уровне координатного представления путем его аппроксимации некоторыми функциями с "хорошими" свойствами. В частности, в работах [z5, z34] рассматривается ряд функций, аппроксимирующих кулоновский и линейный потенциалы и, на примере нерелятивистского уравнения Шрёдингера, проведено исследование свойств этих аппроксимаций.
