Содержание к диссертации
Введение
1 Математическое моделирование пластической деформации в материалах с ГЦК структурой. Проблемы автоматизации исследований 10
1.1 Модели пластической деформации скольжения в ГЦК материалах 10
1.1.1 Математические модели пластической деформации, основанные на ( уравнениях баланса деформационных дефектов 10
1.1.2 Уравнение для скорости пластической деформации 30
1.2 Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений 34
1.2.1 Жесткие дифференциальные уравнения. Вводные понятия и определения 34
1.2.2 Обзор существующих подходов к нахождению численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений 37
1.2.3 Область устойчивости методов, А-устойчивость. Жестко устойчивые методы 40
1.3 Обзор программных средств, пригодных для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений 43
1.4 Постановка задачи 47
2 Математические модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных сплавах на их основе 50
2.1 Концептуальная модель, выбор переменных модели, структура математической модели однородной пластической деформации скольжения 50
2.2 Интенсивность генерации деформационных дефектов при формировании зоны кристаллографического сдвига 54
2.2.1 Интенсивность генерации сдвигообразующих дислокаций при формировании зоны сдвига 54
2.2.2 Интенсивность генерации дипольных дислокационных конфигураций при образовании зоны сдвига 56
2.2.3 Интенсивность генерации точечных дефектов при пластической деформации 58
2.2.4 Генерации призматических дислокационных петель у частиц в дисперсно-упрочненных материалах 60
2.3 Математическое моделирование процессов аннигиляции деформационных дефектов 61
2.3.1 Математическое моделирование аннигиляции точечных дефектов . 61
2.3.2 Механизмы аннигиляции дислокаций 63
2.4 Математические модели однородной пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных сплавах на их основе 74
2.4.1 Система дифференциальных уравнений баланса деформационных дефектов 74
2.4.2 Математические модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах на их основе 84
2.4.3 Существование и единственность решения, ограничения модели . 88
3 Разработка комплекса программ SPFCC для моделирования пластической деформации скольжения в ГЦК материалах 90
3.1 Переменные и параметры математической модели. Физические ограничения . 90
3.2 Выбор численного метода решения задачи Коши для жестких систем ОДУ . 93
3.2.1 Линейные многошаговые методы численного интегрирования жестких систем ОДУ 94
3.2.2 Итерационный метод коррекции для многозначных методов 95
3.2.3 Матричное представление методов прогноза-коррекции Адамса и Гира 99
3.2.4 Оценка локальной ошибки усечения и ее контроль 103
3.2.5 Алгоритм управления порядком метода и размером шага 106
3.3 Интерфейс и структура комплекса программ SPFCC 110
3.4 Тестирование методов и алгоритмов вычислительного модуля программы SPFCC 128
4 Моделирование пластической деформации скольжения с использованием комплекса программ SPFCC 134
4.1 Математическое моделирование пластической деформации скольжения в условиях деформации с постоянной скоростью деформирования 134
4.2 Математическое моделирование пластической деформации скольжения в условиях ползучести 171
4.3 Формирование модели с использованием комплекса программ SPFCC
Исследование роли различных механизмов аннигиляции дефектов в
деформационном упрочнении ГЦК металлов 180
Основные результаты и выводы 189
Литература
- Математические модели пластической деформации, основанные на ( уравнениях баланса деформационных дефектов
- Интенсивность генерации деформационных дефектов при формировании зоны кристаллографического сдвига
- Выбор численного метода решения задачи Коши для жестких систем ОДУ
- Математическое моделирование пластической деформации скольжения в условиях ползучести
Введение к работе
Актуальность темы. Пластическое поведение и свойства кристаллических материалов существенно определяются совместным, как правило, нелинейным влиянием текущего дефектного состояния, типа и параметров деформирующего воздействия, характеристик материала и упрочняющих фаз. Для исследования закономерностей пластической деформации в широком спектре характеристик материалов и параметров приложенного воздействия одним из наиболее перспективных подходов является математическое моделирование с учетом механизмов и процессов, определяющих основные явления пластичности. Одним из основных явлений пластической деформации (в широком спектре условий и доминирующим), обеспечивающих макроскопическое формоизменение материалов, является кристаллографическое скольжение. Процессы пластичности скольжения обусловлены, главным образом, образованием, движением, взаимодействием и аннигиляцией дефектов, прежде всего дислокаций и точечных дефектов, поэтому весьма эффективно при описании закономерностей пластической деформации скольжения использование математических моделей, основу которых составляют обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) баланса деформационных дефектов (Н.С. Акулов, Дж. Гилмен, Р. Лагнеборг, Б.А. Гринберг, Ш.Х. Ханна-нов, Дж. Бергстрём, В. Эссман и X. Муграби, Л.Е. Попов, B.C. Кобытев, С.Н. Ко-лупаева, В.А. Старенченко, Т.А. Ковалевская и др.). Работа с такими моделями осложняется тем, что системы ОДУ в них входящие, являются, как правило, жесткими, а их решение - весьма нетривиальной задачей. Актуальность автоматизации вычислений при исследовании закономерностей пластической деформации при современном уровне развития вычислительной техники несомненна.
В настоящее время существует ряд мощных математических пакетов программ широкого назначения (MAPLE, MATLAB), позволяющих решать системы ОДУ. Для проведения исследования процессов пластической деформации с использованием математических пакетов пользователь должен иметь достаточное представление о методах решения ОДУ, навыки работы с программой и, как правило, программирования на внутреннем языке пакета. Создание комплекса программ с развитым интерфейсом пользователя, реализующих математические модели пластической деформации для различных материалов и воздействий, позволяет проводить исследования пользователю, не имеющему опыта программирования и работы с численными методами решения ОДУ.
Целью диссертационной работы является модификация математических моделей пластической деформации скольжения для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных сплавов и создание специализированного комплекса программ с развитым интерфейсом, предназначенного для исследования закономерностей пластической деформации и эволюции дефектной среды в условиях деформации с постоянной скоростью деформирования, постоянного напряжения и постоянной нагрузки при растяжении и сжатии.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 1. На основе анализа моделей пластической деформации, а также частных моделей процессов генерации и аннигиляции деформационных дефектов выбрать структуру математических моделей пластической деформации скольжения для
металлов с гранецентрированной кубической (ГЦК) структурой и дисперсно-упрочненных сплавов на их основе. Модифицировать математические модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах с некогерентной упрочняющей фазой на основе единых предположений с учетом основных деформационных дефектов, образующихся в процессе кристаллографического скольжения, механизмов их генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации.
Выбрать численный метод интегрирования жестких систем ОДУ, к которым относятся математические модели пластической деформации скольжения, основанные на системах уравнений баланса деформационных дефектов.
Разработать алгоритмы реализации численного метода с учетом особенностей физической системы и провести их тестирование.
Разработать комплекс программ, реализующий разработанные модели, с возможностью формирования модели (выбора учитываемых деформационных дефектов, механизмов их генерации и аннигиляции) в интерактивном режиме и провести его тестирование.
С использованием комплекса программ провести исследование влияния различных характеристик материала, упрочняющей фазы, деформирующего воздействия и исходного дефектного состояния на закономерности деформационного упрочнения и развития деформационной дефектной подсистемы в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах с некогерентной второй фазой для различных воздействий. Рассчитать латентную энергию пластической деформации ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с некогерентной второй фазой.
В качестве материалов для исследования закономерностей пластической деформации скольжения в работе выбраны ориентированные для множественного скольжения монокристаллы ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с ГЦК матрицей и некогерентными не деформируемыми частицами второй фазы.
Научная новизна. Сформирована база частных моделей генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации деформационных дефектов, сформулированных на основе единых предположений, и записаны базовые модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах на их основе, включающие наиболее полный набор деформационных дефектов (сдвигообразующие дислокации, дислокации в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, дислокационные призматические петли ва-кансионного и межузельного типа, межузельные атомы, моно- и бивакансии), механизмов их образования, аннигиляции и релаксационной трансформации.
Разработан алгоритм решения жесткой системы ОДУ модели, учитывающий физические особенности исследуемых процессов (включение/отключение процессов при достижении некоторых физических условий, неотрицательность переменных модели). Впервые разработан специализированный комплекс программ SPFCC, позволяющий автоматизировать исследование закономерностей пластической деформации скольжения в широком спектре условий. Комплекс программ обеспечивает возможность в интерактивном режиме выбирать учитываемые де-
формационные дефекты и механизмы их генерации и аннигиляции (формировать модель).
Теоретическая и практическая значимость работы. Записанные в работе базовые математические модели для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с некогерентными частицами позволяют проводить исследования процессов пластической деформации скольжения при различных приложенных воздействиях для широкого спектра характеристик материала и приложенного воздействия. С использованием разработанного комплекса прикладных программ проведено исследование закономерностей деформационного упрочнения, эволюции дефектной подсистемы и латентной энергии пластической деформации для меди, никеля и алюминия и дисперсно-упрочненных сплавов на их основе. Полученные результаты компьютерного моделирования для деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном напряжении и постоянной нагрузке в условиях растяжения и сжатия согласуются с экспериментальными данными.
Структура комплекса программ предусматривает возможность расширения альтернативными методами решения систем ОДУ, моделями пластической деформации для других материалов либо других приложенных воздействий.
Полученные в работе результаты могут быть использованы для целенаправленного планирования экспериментов по исследованию закономерностей пластической деформации. Разработанные модели и комплекс прикладных программ могут быть использованы для комплексных расчетов совместно с моделями механики и моделями технологических процессов обработки материалов. Вычислительный модуль комплекса программ может быть использован для решения жестких систем ОДУ в различных предметных областях.
По результатам работы на защиту выносятся:
Математическая модель пластической деформации скольжения в монокристаллах металлов с ГЦК структурой, включающая уравнения баланса сдвигообра-зующих дислокаций, дислокаций в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, межузельных атомов, моно- и бивакансий и основные механизмы их генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации, учитывающая полный набор взаимодействий между точечными дефектами.
Алгоритмы численного метода интегрирования жесткой системы ОДУ модели пластической деформации скольжения, учитывающие физические особенности процесса.
Структура комплекса прикладных программ, обеспечивающая простоту сопровождения, модификации и расширения добавлением деформирующих воздействий и математических моделей материалов различного типа.
Комплекс программ SPFCC для моделирования закономерностей пластической деформации скольжения для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов в условиях деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном напряжении и постоянной нагрузке для растяжения и сжатия, предоставляющий пользователю графический интерфейс с возможностью автоматического формирования модели, выбора деформирующего воздействия и значений параметров, сохранения полученных результатов в базе данных с возможностью их импорта и экспорта.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Всероссийская конференция молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов» (Томск, 2001, 2003), The Eight International Scientific and Practical Conference of Students, Post Graduates and Young Scientists «Modern Technique and Technologies» (Tomsk, 2002), Современные проблемы физики и технологии и инновационного развития (Томск, 2002, 2003), II Всероссийская конференция молодых ученых «Материаловедение, технологии и экология в третьем тысячелетии» (Томск, 2003), Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая) (Екатеринбург, 2003), VIII Всероссийская научно-техническая конференции «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 2002), The 7th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology (Korea, Ulsan, 2003), 11th International Conference on Fracture (Turin, Italy, 2005), XIII международная научно-практическая конференция «Прикладные задачи математики и механики» (Севастополь, 2005), Межгосударственный семинар «Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (MHT-VIII)» (Обнинск, 2005).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, в том числе 11 статей, получено свидетельство об официальной регистрации программы.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, заключения и списка использованной литературы из 187 наименований. Диссертация изложена на 203 страницах, включая 62 рисунка и 20 таблиц.
Математические модели пластической деформации, основанные на ( уравнениях баланса деформационных дефектов
Процессы пластичности скольжения определяются, главным образом, образованием, движением, взаимодействием и аннигиляцией дефектов, прежде всего дислокаций и точечных дефектов [8,9,68-73], поэтому весьма эффективно при описании закономерностей пластической деформации скольжения использование математических моделей, в основе которых лежат уравнения баланса деформационных дефектов [1-12,14,15,17-57,74-82]. Рассмотрим только модели, включающие уравнения баланса деформационных дефектов, явный вид которых получен на основе анализа процессов, происходящих при образовании зон кристаллографического скольжения. Развитием именно этих моделей являются сформулированные в настоящей работе математические модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных сплавах на их основе.
В основе математических моделей пластической деформации, включающих уравнения баланса деформационных дефектов, лежат частные модели элементарных механизмов и процессов пластичности. Именно выбор типов деформационных дефектов, определяющих закономерности пластической деформации, и механизмов их рождения, аннигиляции и взаимной трансформации определяет адекватность и возможности математической модели. Отметим, что уже ранние модели кинетики пластичности, основанные на уравнениях баланса деформационных дефектов, были ориентированы па построение модели не конкретного вида деформации, а самого деформируемого тела или деформируемой среды. Так в работах Н.С. Акулова [1 на основе единой модели рассматривались: активная деформация, релаксация напряжений, ползучесть, магнито-механические эффекты. В работе Дж. Гилмена [2[ рассматривались: микроскопическое уравнение скорости деформации, скорость движения дислокаций, плотность подвижных дислокаций, макроскопическое уравнение скорости деформации, неустановившаяся ползучесть, распространение фронта пластического течения, кривые напряжение-деформация, ударное нагружепие с высокой скоростью, течение в неоднородных системах.
Математическая модель пластической деформации скольжения, основанная на уравнениях баланса деформационных дефектов [8-57], разработана в трудах Л.Е. Попова с сотрудниками. Основой концептуальной модели при разработке математической модели пластической деформации скольжения стала концепция упрочнения и отдыха, сформулирован
пая и детально разработанная в 30-50-х годах XX века М.А. Больпіашшоіі [58-62]. Согласно этой концепции, «весь ход пластической деформации определяется совокупностью двух противоположных процессов: упрочнения, связанного с возникновением искажений кристаллической решетки (предполагается, что этот процесс - атермический) и отдыха - снятия этих искажений, зависящего от температуры и времени» [59]. Таким образом, предполагалось, что упрочнение кристаллов в процессе деформации происходит вследствие накопления деформационных дефектов решетки, а разупрочнение связано с их исчезновением в результате термически активируемых процессов, происходящих во время деформации. Изменение деформирующего напряжения в процессе пластической деформации рассматривалось фактически как величина, косвенно характеризующая количество деформационных повреждений решетки.
Главным успехом теории упрочнения и отдыха была достигнутая на се основе высокая степень понимания природы зависимости деформационного упрочнения от скорости деформации и детальные исследования самой этой зависимости. Скоростная зависимость сопротивления активной деформации рассматривается (подобно температурной зависимости) как проявление термически активируемых процессов релаксации деформационных искажений решетки. В некоторых температурных интервалах для поликристаллов ГЦК металлов удается установить количественно эквивалентность влияния скорости деформации и температуры. Полученные в таких случаях энергии активации оказались совпадающими с энергиями активации диффузионных процессов: миграции моно- и бивакансий, самодиффузии. В то же время было установлено, что отдых в процессе деформации - явление сложное, связанное с наложением нескольких взаимодействующих релаксационных процессов, по-разному зависящих от деформирующего напряжения.
В качестве базового структурного элемента, относительно которого ведется рассмотрение механизмов пластичности скольжения, в математических моделях пластической деформации скольжения [8—57] выбрана зона кристаллографического сдвига. Описание механизмов и закономерностей формирования зон сдвига последовательно базируется на фундаментальных физических и топологических свойствах дефектов, осуществляющих пластический массоперенос. Характерной чертой моделей, развиваемых в работах [8-57], является то, что все входящие в них параметры имеют ясный физический или геометрический смысл и могут быть вычислены из физических соображений, либо может быть указан интервал их возможных значений. Математическая модель пластичности скольжения в различных модификациях применялась для описания пластического поведения металлов и сплавов при различных воздействиях (ползучесть, релаксация напряжении, деформация с постоянной скоростью деформирования [8-57,75].
Первоначально модель пластической деформации кристалла была сформулирована в виде [10,75]: = Ф(р), (1.1) є = Ф(/0. (1-2) где а — напряжение, є — деформация, р — плотность дислокаций.
Уравнения (1.1), (1.2) представляют в параметрической форме кривую деформации с—є. Такая формулировка модели кривой деформационного упрочнения неудобна математически и часто скрывает физическое содержание микроскопических процессов пластичности ]75], но именно с: ней связаны первые успешные реализации модели. Уравнение (1.1) было представлено в виде: а = т [ту + а (р, і, Т) Gbp /2] , где m - множитель Тейлора, ту - напряжение трения, G - модуль сдвига, Ь - модуль вектора Бгоргерса, Т - температура. Используя дифференциальное уравнение баланса дислокаций уравнение (1.2) записывали: di = ai + -%- (1.3) de де є at Уравнение (1.3) было использовано для расчетов кривых деформации в предположении, что — const, явный вид функций др/дє, dp/dt не содержит времени и параметр интенсивности междислокациоппых взаимодействий a = const. Если в уравнении баланса дислокаций учитывать только генерацию дислокаций, то имеем [75] = GB Р м \\ dp KFiTf+aGbpWy { / где К = а/т, F - определяется геометрией дислокационных петель и их распределением в активных плоскостях скольжения зоны сдвига. Коэффициент деформационного упрочнения можно представить как [10, 11,75] da da Ide m-K-G-F { тпт/\ . . ii = Tp/Tp = —щ.— І1-—J- L5 пли для кривой т = т(а) da 2В \ т) } где В - параметр, определяемый вероятностью образования протяженных дислокационных барьеров, т - приложенное напряжение.
Соотношения (1.5) и (1.6) были применены для описания кривых деформации упорядоченного сплава КїзРе. Выбор обусловлен тем, что в упорядоченных сплавах со сверхструктурой Ы2 ашшгнляционные процессы затруднены. При значениях Вг равных 350 и 500 было получено хорошее согласие с экспериментальными кривыми деформационного упрочнения на стадии II, соответственно, для поли- и монокристалла упорядоченных сплавов и сплавов, разулорядоченных закалкой. Соотношение (1.5) успешно применяли также для нахождения напряжения трения ту в виде [11]
Интенсивность генерации деформационных дефектов при формировании зоны кристаллографического сдвига
Существует ряд возможных механизмов размножения дислокаций [8,9,70—73]. Это источники Франка-Рида, спиральные источники, дислокации могут зарождаться также на поверхности кристалла, на границах зерен. Одним из основных способов, которым серии дислокаций могут генерироваться в одной плоскости скольжения, является источник Франка-Рида, представляющий собой дислокационный сегмент, закрепленный на обоих концах, например, тройными узлами дислокаций. В результате работы источника Франка-Рида возникает серия замкнутых дислокаций, образующих зону сдвига [8, 9, 70-73]. Под зоной сдвига понимается семейство дислокационных петель (вместе с сопутствующими им деформационными дефектами), объединенных общим источником, распространение которых в деформируемом кристалле ограничено барьерами той или иной природы. При рассмотрении процессов, происходящих в зоне сдвига, естественным образом вводятся величины, характеризующие образование ряда кристаллографических дефектов в процессе деформации [8,9,12,14,15]. Зона сдвига является экспериментально наблюдаемым элементом микроструктуры деформируемого кристалла.
Интенсивность генерации дислокации применительно к различным материалам детально исследована в работах 8, 9, 15] на основе идеи В.Л. Инденбома и А.Н. Орлова [3,138,139] и Д. Кульман-Впльсдорф [140] о существовании геометрической связи между деформацией и производством дислокаций. Если считать, что процесс деформации осуществляется в идентичных зонах сдвига, то интенсивность генерации сдвигообразугощих дислокаций деформацией можно описать как [8,9]: Gm(p) = (2.2) где D - средний диаметр зоны сдвига, параметр F определяется геометрией дислокационных петель и их распределением в активных плоскостях скольжения зоны сдвига. В общем случае, этот параметр может изменяться в довольно широких пределах [141]. Параметр F — Г /Гг, где 1\ и Г2 - геометрические параметры, связывающие диаметр зоны сдвига, соответственно, с периметром и площадью зоны сдвига. Диаметр зоны сдвига определяется барьерами, которые могут ограничивать пробег дислокаций. В работе [141] показано, что под диаметром зоны сдвига понимается средняя ширина зоны сдвига.
Торможение и остановка дислокационных петель при формировании зоны кристаллографического сдвига может осуществляться в ГЦК материалах в результате образования прочных дислокационных барьеров [8,9] либо (при достаточно высоких скоростях движения дислокаций) в результате торможения околовинтовых сегментов дислокационной петли при генерации точечных дефектов за порогами па них [12-14]. Форма зоны сдвига зависит от приложенного напряжения и расположения дислокационных соединений, ограничивающих зону сдвига [9,141]. В ГЦК материалах при множественном скольжении зоны сдвига преимущественно ограничены 60-градусными дислокациями, и наиболее характерной конфигурацией зон сдвига является ромб [8,9]. В этом случае F = 4,7,..., 6 [9].
Для условий квазистатической деформации предположим, что пробег дислокаций ограничен барьерами дислокационной природы, и диаметр зоны сдвига D определяется вероятностью захвата скользящей дислокации с включением ее в некоторую достаточно протяженную неподвижную конфигурацию [8,9]. В этом случае диаметр зоны сдвига определяется прочными дислокационными барьерами, и может быть использовано выражение [8,9] где [8,9,12] В = &7Г2/(а,РТ) - параметр, определяемый вероятностью образования протяженных дислокационных барьеров, « 0, 5 - геометрический параметр, - доля дислокаций леса, Рг - доля реагирующих дислокаций леса, г - приложенное напряжение.
В случае динамического режима деформирования, когда дислокации движутся с высокими скоростями размер областей в плоскостях скольжения, где произошел кристаллографический сдвиг, определяется прешгуществешю величиной пробега винтовых дислокаций, движение которых происходит медленнее вследствие генерации за порогами на скользящих винтовых дислокациях точечных дефектов, в количестве, нарастающем с увеличением длины пробега [12,48]. В этом случае можно предположить, что диаметр зоны сдвига определяется выражением D = 2 где - длина пробега винтовых компонент дислокации. Длина свободного пробега винтовой дислокации под воздействием напряжения Tdyn [142,143], избыточного над статическим сопротивлением движению дислокации Тд, оценена в предположении, что более быстрые краевые компоненты дислокационной петли «разбегаются», их длиной пренебрегают и считают, что пробег дислокации определяется движением более медленных винтовых компонент. В этом случае пробег винтовой дислокации равен / . = 4т" (о Л) Ц рр ЬЕк [2А) где АЕь — средняя энергия образования точечного дефекта, pj — вероятность встретить порогообразуюигую дислокацию среди дислокаций некомплапарпых систем скольжения (дислокаций «леса»). Если диаметр зоны сдвига определяется величиной Dr, определяемой (2.3), то в предположении ориентации кристалла для множественного скольжения интенсивность генерации сдвигообразующих дислокаций определяется соотношением [8,9] GM = Р—. (2.5) D Т Если принять средний диаметр зоны сдвигав равным удвоенному пробегу винтовой t дислокации, D = 2d, соотношение для интенсивности генерации дислокаций в процессе F деформации в динамических условиях принимает вид [12,14]: Gm(p) = . В этом случае F—2 [12-14, 85]. Воспользовавшись минимальной оценкой пробега винтовой дислокации (2,4), получим Fp АЕк GM = 8TdynV Pm- (2 б)
В гетерофазных материалах с недеформируемыми частицами при скольжении дислокаций, осуществляющих сдвиговые процессы в матрице, позади фронта скольжения образуются замкнутые дислокационные петли (геометрически необходимые дислокации) вблизи частиц. Отметим, что протяженность одной геометрически необходимой дислокации (кольца Орована, призматической петли) существенно меньше длины скользящей дислокации. Поэтому в дисперсно-упрочненных материалах в образовании протяженных барьеров, ограничивающих пробег дислокаций, принимают участие преимущественно сдвигообразующие дислокации. Однако, геометрически необходимые дислокации вносят вклад в сопротивление движению дислокаций г, которое в рассматриваемом случае можно записать как т = Tf + Tor + aaGbp1 2, где Tpj. - сопротивление движению дислокаций, связанное с накоплением геометрически необходимых дислокаций на частицах [8,9,15].
Если принять средний диаметр зоны сдвига D равным удвоенному пробегу винтовой дислокации, D = 2d, для интенсивности генерации дислокаций в процессе деформации в дисперсно-упрочненных материалах в динамических условиях принимает вид [15]:
Выбор численного метода решения задачи Коши для жестких систем ОДУ
Математическая модель пластической деформации скольжения для ГЦК металлов использована в виде (2.93) и дисперсно-упрочненных сплавов на их основе - (2.94). Параметры на входе расчетов целесообразно разделить на несколько типов. Параметры, характеризующие:
материал как химический элемент и как кристалл, приведены в табл. 3.1-3.6; нефизические (вспомогательные) величины: шаг интегрирования, отрезок интегрирования, погрешность вычислений, шаг пользователя; условия деформирования , способ нагружения, скорость деформирования.
Исходная плотность дислокаций и концентрация точечных дефектов (иачальпгле условия задачи Коши). По умолчанию начальная плотность сдвигообразую-пщх дислокаций р„, равна 1012 м-2, начальные плотности межузельных и вакансиоппых дислокационных диполей (р , pj),начальные плотности призматических дислокаций межузель-ного и вакансиоппого типов (ргр, р), концентрация бивакансий c iv — равны нулю, начальные концентрации вакансий cv и межузельных атомов С; равны концентрации термодипамичеки равновесных вакансий с[ = exp(—U /(kT)) и межузельных атомов с\ = exp( U[/(kT)) соответственно, где її — энергия образования вакансий, U[ — энергия образования межузельных атомов.
Проведенный в разделе 2.4.3 анализ области непрерывности функций системы уравнений и их частных производных показывает, что решение системы не существует при (1=0, Tdyn=t т=0, Tf—Q, Т=0, С=0, Лр=0, 5=0, рт=0; решение не единственное при р 0.
При любых физически реальных значениях переменных и параметров модели решение существует и является единственным, т.е. на выходе должна иметься таблица значений параметров и переменных системы (2.93) или (2.94) на заданном интервале с заданным шагом. Программный комплекс должен позволять выбирать полную или выборочную (по запросу) информацию о значениях переменных и параметров в любой требуемый момент времени.
Вычислительные методы, использованные в программе должны быть пригодны для решения жестких систем ОДУ, поскольку возникающие при работе с системами ОДУ модели пластической деформации скольжения ГЦК металлов (2.93) и гстсрофазпых сплавов с некогерентпой упрочняющей фазой (2,94) задачи часто являются жесткими. Напомним обозначения введенные в разделе 1.2.1. В векторной форме система обыкновенных диффе ренциальных уравнений будет выглядеть (3.1) УЫ = Ко, где К, К0, У и F это вектора размерности JV 1, х - это независимая неременная. Жесткость не является простым определением, имеющим четкое математическое описание. Решение жесткой системы содержит как «быстро убывающие», так и «медленно убывающие» составляющие [104]. Начиная с некоторого значения независимой переменной (время или степень деформации) решение системы ОДУ модели пластической деформации скольжения ГЦК металлов (2.93) и гетерофазных сплавов с некогерентной упрочняющей фазой (2.94) почти полностью определяется медленно убывающей составляющей.
В качестве характеристики поведения решения системы (3.1) в окрестности некоторой точки будем использовать матрицу Якобп J = dF/dY, размера N х N, элементы которой определяются по правилу 4,=3/,/3. i,j = l,...,N. (3.2) Методы решения, используемые в программе, формируют приближенное численное решение Yn в дискретных точках хп,п = 1,2, Расстояние между двумя соседними точ ками x„_i, хп обозначим hn и будем называть размером шага, то есть hn = хп — хп-ъ
Для нахождения решения жесткой системы (3.1) в программе использован неявный метод Гира {в форме формул дифференцирования назад), который устойчив при любой величине шаге интегрирования, и поэтому шаг интегрирования можно выбирать произвольно, руководствуясь лишь соображениями точности, а неустойчивости [102,104,113,122,125,126,166].
Для построения «точек разгона», необходимых для метода Гира использован метод Адамса. Оба метода интегрирования относятся к семейству многошаговых методов.
Оптимальная стратегия использования многошаговых методов подразумевает наличие процедуры автоматического управления порядком и величиной шага, чтобы приспособиться к локальному поведению решения и сократить объем вычислений при соблюдении требуемой точности [124]. Это потребует вычисления оценки локальной ошибки метода и эффективной (в смысле экономии оперативной памяти ЭВМ) организации вычислений, хранения и воспроизведения массива предшествующих значений решения.
Линейные многошаговые методы численного интегрирования жестких систем ОДУ
Линейные многошаговые методы, используемые при численном интегрировании дифференциальных уравнений, определяются следующим процессом: искомая функция Y(x) аппроксимируется интерполяционным полиномом Yn = Y(xn) [102, 113, 124, 130]. Коэффициенты полинома подбираются так, чтобы его значения совпадали с найденными на предыдущих шагах значениями решения Yn-j и производной Y _- = Fn j системы (3.1) [102,104,113,124,130J. В общем виде формулу линейных многошаговых методов можно представить как Yn = Y, «jYn-j + h»Y, №-,-, 3-3) где текущее приближенное решение это вектор Yn = (уі,„, ї/2,п, , Ух,п)Т- (3.4)
В выражении (3.3) вектор-функция Fn_j — F(Yn-j) - аппроксимация вектора производных Y (xn_j) = F(Y(xn-j)) в точке x„_j, коэффициенты {a,j}, {bj} и числа К\, К% соответствуют численному методу. Метод является линейным, потому что функции {Yj}, {Fj} входят линейно. Метод является многошаговым, потому что он использует информацию о решении в нескольких предыдущих точках. Максимальное из чисел К\, K i определяет число предыдущих точек, которые используются при нахождении численного решения. При К\ = 0, К2 = q — 1 получаем неявный метод Адамса или Адамса-Мултона порядка q [102,104,113,124,130,135]:
Математическое моделирование пластической деформации скольжения в условиях ползучести
Строго говоря, под ползучестью понимают деформацию под действием постоянного приложенного напряжения (г — const) [180-183]. Устройство для испытаний на ползучесть, позволяющее получить кривые ползучести при постоянном напряжении, впервые было применено Э.Апдраде в 1910 году. Однако во многих испытательных машинах коррекция напряжения с изменением сечения не предусматривается, деформация происходит под воздействием постоянной нагрузки (которую тоже часто относят к деформации ползучести). В этом случае на собственно деформацию ползучести накладывается активная деформация под действием возрастающего напряжения. В настоящем разделе эти два вида пластического поведения воспроизводятся на основе математической модели кинетики пластичности скольжения.
В условиях постоянной нагрузки при растяжении напряжение возрастает с изменением поперечного сечения образца в процессе деформации но закону т = TQ exp(a/ks) (при сжатии т = т0 ехр(—a/ks)), где кя ж 2 - множитель Закса. В случае деформирования монокристаллов ГЦК металлов с постоянным напряжением или постоянной нагрузкой математическую модель кинетики пластичности скольжения (2.93), для дисперсно-упрочненных материалов — (2.94) необходимо дополнить уравнением описывающим приложенное воздействие т = const, т — то ехр(±а/к).
Для деформации ползучести, как и для деформации с постоянной скоростью деформирования, проведём с использованием программы SPFCC основные расчёты для параметров, характерных для монокристаллов меди [8,9,12,15,70,71,75,163]: Ь = 2,5 Ю-10 м-2, F = = 4,7, =800, vD = 1013 с 1, а=0,5, аа=0,45, аг=0,3, adyn = 0,33, Д. = 0,14, =0,5, т/=1МПа, f=l/3, (7=12, Z = 12,k= 1,38 - 10 23Дж/К, pj = 0,5, 7rf = 2)5, us = 0,3, зависимость модуля сдвига от температуры приведена в табл. 3.2, энергии миграции и образования дефекта fc-ro типа приведены в табл. 3.G. Начальная плотность сдвигообразующих дислокаций рш равна 1012 м-2, начальные плотности межузельных и вакансиопных дислокационных диполей (pld, pvd), начальные плотности призматических дислокаций межузельного и вакансионного типов (р рр, концентрация бивакансніі с2и - равны нулю, начальные концентрации вакансий с„ и межузельных атомов С; равны концентрации термодинамичеки равновесных вакансий сь и (0) межузельных атомов с- соответственно.
Типичная кривая ползучести при постоянном напряжении может быть разделена на мгновенную деформацию и три следующих за ней стадии [180-183]. На первой стадии ползучести скорость непрерывно уменьшается (стадия I), эту стадию обычно называют стадией неустановившейся ползучести [180-183]. При низких температурах для многих металлов и сплавов кривая ползучести хорошо описывается логарифмическим законом [180,181]. При более высоких температурах испытания зависимость деформации от времени на первой стадии а t1/3 (ползучестью Андраде) [180-183].
При достаточно большом времени испытании (и высоких температурах) первая стадия ползучести сменяется второй стадией, на которой деформация происходит с приблизительно постоянной скоростью. Эта стадия называется стадией установившейся ползучести [24,184-187]. В конце, перед разрушением образца, стадия установившейся ползучести переходит в стадию ускоряющейся ползучести - стадию III, заканчивающуюся разрушением образца. На этой стадии скорость ползучести непрерывно возрастает.
На рис. 4.36, 4.37 приведены кривые ползучести при т — const и зависимости общей плотности дислокаций, плотности сдвигообразующих дислокаций, плотности дислокаций в дипольных конфигурациях, концентрации вакансий, мсжузсльных атомов, бивакансий от времени при различных значениях внешнего напряжения для температуры 400, 450 К соответственно, а также зависимости скорости деформации от степени деформации. Приведённые кривые соответствуют первой стадии ползучести, - неустановившейся ползучести. Приложенное напряжение оказывает существенное влияние па величину деформации, которая достигается на стадии неустановившейся ползучести, - чем выше напряжение, тем большая деформация достигается {рис. 4.3G, 4.37).
На рис. 4.38 приведены начальные участки кривых ползучести при различных значениях начальной плотности дислокаций. Изменение начальной плотности дислокаций существенно влияет на величину деформации, которая достигается на первой стадии.
Кривые ползучести, полученные в случае испытания при постоянной нагрузке существенно отличаются от кривых ползучести, полученных при постоянном напряжении (рис. 4.39). Кроме стадии I неустановившейся ползучести и следующей за ней стадией II с приблизительно постоянной скоростью деформации, которую можно условно отождествить со стадией установившейся ползучести, при постоянной нагрузке (растяжение) появляется ещё и стадия III с катастрофически нарастающей скоростью деформации.
На рис. 4.40 приведены кривые ползучести при постоянной нагрузке (растяжение) и зависимость скорости деформации от степени деформации для различных температур. На рис. 4.41, 4.42 приведены зависимости общей плотности дислокаций, плотности сдвигообра-зующих дислокаций, плотности дислокаций в дипольных конфигурациях вакансиошюго и межузелыюго типа, концентрации межузельных атомов, вакансий, бивакансий от степени деформации при постоянной нагрузке (растяжение)(соответствует рис. 4.40). С повышением температуры до 400К появляется стадия установившейся ползучести, которую нельзя было наблюдать при более низких температурах. При дальнейшем повышении температуры время стадия II существенно сокращается.
Комплекс программ SPFCC позволяет формировать модель пластической деформации с учетом различных дефектов и механизмов их генерации и аннигиляции {раздел 3.3). Рассмотрим реализацию этой возможности при исследовании роли различных механизмов аннигиляции дефектов в деформационном упрочнении и эволюции дефектной среды в ГЦК металлах. Различные варианты математической модели пластической деформации скольжения ГЦК металлов, используемые в исследовании, представлены в табл. 4.1 (знаком «+» отмечены механизмы, включенные в модель). Для включения в математическую модель стоков для точечных дефектов, механизмов генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации, а, следовательно, и учета соответствующих уравнений баланса для переменных модели, пользователь должен выделить переключатели дерева «Дефекты» (раздел 3.3).
