Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Постановка задачи и методы решения 11
1.1 Основные определения и обозначения 11
1.2 Математическая модель взаимодействия нейтронного газа со средой состоящей из изомеров 14
1.3 Постановка задачи 25
1.4 Метод представления решений в пространствах последовательностей 28
Глава 2 Система линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом 30
2.1 Представление решений в пространстве последовательностей векторов 31
2.2 Пример применения метода представления решений в пространстве последовательностей векторов 38
2.3 Достаточные условия разрешимости краевой задачи 46
2.4 Использование подстановки 50
2.5 Сглаживание решений с ростом аргумента 54
2.6 Конечномерные приближения решений систем уравнений 58
2.7 Непрерывная зависимость решений от начальных данных 65
Глава 3 Линейное дифференциальное уравнение, содержащее отклонения аргумента в дифференциальном члене 67
3.1 Конечномерные приближения для уравнения с отклонениями аргумента в дифференциальном члене 68
3.2 Положительные решения уравнения с отклонениями аргумента в дифференциальном члене 71
Заключение 80
Библиографический список литературы
- Математическая модель взаимодействия нейтронного газа со средой состоящей из изомеров
- Метод представления решений в пространствах последовательностей
- Пример применения метода представления решений в пространстве последовательностей векторов
- Положительные решения уравнения с отклонениями аргумента в дифференциальном члене
Введение к работе
Актуальность темы
Процесс построения математических моделей при решении научных и инженерных задач часто приводит к необходимости использования обыкновенных дифференциальных уравнений. Тщательное изучение содержательных моделей заставляет учитывать, например, предшествующие состояния системы, уточнять математические модели и переходить к исследованию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Систематическая разработка теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом ведется с середины прошлого века. Исследованием таких уравнений занимались В.И. Зубов, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, Р. Беллман. Математический аппарат дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на сегодняшний день достаточно развит, хотя и сложен для широкого применения. Теория дифференциальных уравнений с опережающим аргументом, к сожалению, развита недостаточно, и область применения известных методов решений ограничена. Это становится препятствием для построения эффективных математических моделей. Актуальность темы диссертации связана с необходимостью разработки методов решения и изучения свойств решений таких уравнений.
В работе рассматриваются явления связанные с процессами, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров. В качестве важного практического примера можно привести задачу создания изомерного нейтронного ускорителя. В основе физической модели лежит представление о взаимодействии нейтронного газа со средой, состоящей из вещества, ядра которого находятся как в основном, так и в изомерном состоянии. Состояние квазистационарного равновесия такого взаимодействия может быть описано
дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом, содержащим отклонения обоих знаков:
где аргумент е — энергия (е>0), функция q(e) имеет физический смысл плотности столкновений на интервал энергии, коэффициенты уравнения bj(e), ct(e) — неотрицательные функции, пропорциональные сечениям
НеупруГИХ ПрОЦеССОВ ПереХОДа ИЗ ЭНерГеТИЧеСКОГО СОСТОЯНИЯ e + Xj в
состояние е (при j < 0, ij < 0, при j > 0, Xj > 0) с носителями, расположенными на энергетическом интервале [0,да), коэффициенты с,(е) пропорциональны первому моменту неупругого рассеяния. Неотрицательная функция ys0(e) с носителем на интервале [0,к>) — первый момент упругого рассеяния. Неотрицательная функция s(e) задает на интервале [0,«э) распределение по энергии постоянно функционирующего источника нейтронов.
Необходимо отметить, что модели подобных физических явлений исследованы недостаточно. Построение математических моделей таких процессов является важной самостоятельной задачей. Актуальность темы диссертации связана с необходимостью разработки эффективных математических моделей подобных процессов. В работе исследуется математическая модель указанных явлений, в основе которой лежит дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.
Путь, который необходимо пройти от реального объекта или системы (ситуации, явления, процесса и т.д.) до предсказания его будущего состояния и прогноза поведения, сам является предметом для изучения. Основные этапы, вопросы и проблемы, роль математики и математического моделирования на этом пути рассмотрены многими авторами [1, 10, 11, 28, 35, 39, 52, 60, 62, 69]. Достаточно полное представление о математических
моделях в различных областях естествознания можно получить из работ [13, 33, 61, 68]. Во многих приложениях предполагается, что будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим, а система подчиняется уравнению, содержащему переменные состояния и скорости их изменения. Таким образом, математическая модель принимает форму обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные вопросы, которые здесь возникают, — это существование и единственность решений, свойства и поведение решений, устойчивость решений. Получить ответы на эти вопросы помогают работы [2, 30, 56, 58, 74]. Следующий шаг заключается в нахождении решения, численным методам, которые при этом используются, посвящены книги [3, 9, 24, 52].
Однако часто это лишь первое приближение к истинной ситуации. Более реалистичная модель вынуждает обратиться к исследованию более сложных уравнений — дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. История развития, вопросы и проблемы теории таких уравнений описаны в работах [36, 38, 40, 68]. Особенно интенсивно в последние десятилетия разрабатывалась теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, которые нашли многочисленные приложения в механике, физике, технике, экономике, биологии и особенно в теории автоматического регулирования. Вот лишь небольшая часть работ, в которых представлены результаты, связанные с этим классом уравнений [4, 5, 6, 8, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 29, 32, 57, 59, 61, 64, 66, 68, 70, 71, 73, 75, 76, 77, 78].
Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями с опережающим аргументом затрагивались в работах [20, 37, 47, 48, 49, 50, 51, 75]. Отставание в изучении уравнений этого класса можно объяснить, в том числе и небольшим количеством физических задач, математической моделью которых являются дифференциальные уравнения с опережающим аргументом. В диссертации рассматривается модель процессов, описывающих распределение нейтронов по энергии при взаимодействии
нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия. Для описания этого явления и моделей процессов использовались материалы [16, 27, 31, 53, 54, 55, 63, 65], В основе одной из возможных математических моделей этого процесса лежит дифференциальное уравнение с запаздывающим и опережающим аргументом, которым является энергия.
Для поиска решения в диссертации используется метод представления решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в пространствах последовательностей векторов [45, 46, 48]. Метод позволяет построить эффективный вычислительный алгоритм поиска решения, описать процедуру получения конечномерных приближений решений. Доказательство возможности представления решений в пространствах последовательностей и построения решений осуществляется с использованием математического аппарата теории функционального анализа и теории матриц [7, 14,19,25,26, 67,72].
Цели и содержание поставленных задач
Целью работы является исследование математических моделей, базирующихся на дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом, в частности, описывающих распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия.
Задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели:
1, получить представление решений для линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего
соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в
дифференциальном члене;
2. исследовать методы нахождения решений и представить условия
существования положительных решений;
3. получить представление решений для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака, изучить свойства и методы нахождения решений.
Методы исследования. В работе используются методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений и функционального анализа, методы численного анализа.
Объект и предмет исследования. Основными объектами исследования, выполненного в диссертации, являются дифференциальные уравнения, лежащие в основе математических моделей изучаемых процессов:
линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, содержащее соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене,
система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.
Предметом исследований являются методы решения указанных классов дифференциальных уравнений с начальной задачей, формулируемой специальным образом, и свойства получаемых решений.
Результаты, выносимые на защиту
Для математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, получены следующие результаты:
1) достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей и доказательство сходимости конечномерных приближений получаемого решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;
достаточные условия существования положительного решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, и представление положительного решения в пространстве последовательностей;
необходимые и достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей векторов и достаточные условия разрешимости краевой задачи в пространстве последовательностей векторов для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака;
доказательство сходимости конечномерных приближений решения, представленного в пространстве последовательностей векторов, для определенного класса систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.
Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, получены впервые и являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость
Полученные в диссертации результаты позволяют исследовать математические модели, возникающие в практических задачах, в частности, описывающие процессы, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров. Необходимо особо отметить возможность представления решений для определенного класса дифференциальных уравнений с опережающим аргументом, которые на сегодняшний день недостаточно изучены,
Практическая значимость работы определяется также тем, что основные результаты носят конструктивный характер, описывают процедуру
получения конечномерных приближений решений, позволяют оценить погрешность метода при построении вычислительного алгоритма нахождения решений, построить эффективные методы численного поиска решений. Полученные результаты позволяют сформировать рекомендации по практической реализации комплекса программ для расчета основных характеристик нейтронных ускорителей.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXXVI межвузовской научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», СПбГУ (С-Петербург, 2005); на Международной конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова, СПбГУ (С-Петербург, 2005); на XXXVII международной научной конференции «Процессы управления и устойчивость» СПбГУ (С-Петербург, 2006).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы (в том числе одна статья в журнале, входящем в список ВАК), список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом 89 страниц, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы, включающего 78 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сделан краткий обзор литературы по теме, сформулированы цели работы, научная новизна, теоретическая и практическая ценность, основные результаты.
В первой главе вводятся основные определения и обозначения, описана математическая модель взаимодействия нейтронного газа со средой состоящей из изомеров, формулируется начальная задача, рассматривается метод, который используется для представления решений.
Во второй главе диссертации получено представление решений для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака, исследованы свойства и методы нахождения решений.
В третьей главе диссертации рассматривается линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, содержащее соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, лежащее в основе математической модели, описывающей распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия. В главе доказана сходимость конечномерных приближений решений и представлены условия существования положительных решений исследуемых уравнений. При получении результатов этой главы используется сведение с помощью линейного преобразования рассматриваемого класса уравнений к уравнению, не содержащему отклонения аргумента в дифференциальном члене, что дает возможность использовать результаты, полученные во второй главе диссертации.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы по результатам диссертации.
В диссертации принята двойная нумерация формул: ссылка на формулу (3.1) означает первую формулу третьей главы. Для параграфов принята двойная нумерация. Для теорем нумерация сквозная.
Математическая модель взаимодействия нейтронного газа со средой состоящей из изомеров
В диссертации рассматривается физическая модель взаимодействия нейтронного газа с веществом, ядра которого находятся как в основном, так и в изомерном состоянии. Нейтроны, сталкиваясь с ядрами среды, участвуют в двух процессах: упругого взаимодействия и неупругого взаимодействия.
Формулировка задачи. Пусть процессы, описываемые моделью, удовлетворяют следующему условию: на фиксированном энергетическом интервале [А,Т\А 0,Т 0 заданы сечения реакций а(Е) и соответствующие им косинусы углов рассеяния (), заданные в СЦМ. Необходимо найти решение задачи — плотность столкновений на интервал энергии — исходя из единственного требования: плотность тока нейтронов в энергетическом пространстве в стационарной задаче равна нулю.
Далее увидим, что эта задача приводит к функциональному уравнению, которое может быть заменено дифференциальным уравнением (в частности, дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом), решения которого при делаемых предположениях близки к решению данного функционального уравнения.
Математическая модель взаимодействия нейтронного газа со средой состоящей из изомеров в самом общем виде описана в работе [48]. Для более подробного описания использовались материалы [16, 53, 54, 55,63].
При создании изомерного нейтронного ускорителя, как указано в [48], рассматривается физическая задача описания взаимодействия нейтронного газа со средой, состоящей из вещества, ядра которого находятся как в основном, так и в изомерном состоянии. Нейтроны, сталкиваясь с ядрами среды, либо замедляются в результате упругого и неупругого взаимодействия, либо ускоряются при взаимодействии с ядрами, находящимися в изомерном состоянии. В предположении, что ядра среды можно считать неподвижными и отношение А ] массы нейтрона к массе ядра вещества мало (порядка 0,01) при постоянно действующем источнике нейтронов, состояния квазистационарного равновесия такого взаимодействия описываются дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом, содержащим отклонения обоих знаков. Рассматривается математическая модель, описывающая распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия
Здесь аргумент е — безразмерная энергия (е 0), функция q(e) имеет физический смысл плотности столкновений на интервал энергии, коэффициенты уравнения a i (е) — неотрицательные функции, пропорциональные сечениям неупругих процессов перехода из энергетического состояния е + \! в состояние е (при j 0, т. 0, при / 0, т 0 ) с носителями, расположенными на энергетическом интервале [0,со). Неотрицательная функция у,(е) с носителем на интервале [0,да) — первый момент упругого рассеяния. В рассматриваемой модельной ситуации при условии, что Л «1, функция 7i(e) может быть представлена в виде у, (е) = у (е) е, где функция у (е)«1 на всем интервале задания. Неотрицательная функция s(e) задает на интервале [О,») распределение по энергии постоянно функционирующего источника нейтронов. Решается следующая начальная задача 1 для уравнения: найти неотрицательную непрерывную функцию q(E), являющуюся решением уравнения на интервале [(),« ) и принимающую в точке +0 значение q0 (т.е. для рассматриваемого неоднородного уравнения решается одноточечная начальная задача в предположении, что уравнение действует только на интервале [0,та)). Получаемое решение описывает энергетический спектр нейтронов в состоянии квазистационарного равновесия, который формируется в результате взаимодействия нейтронного газа с ядрами среды при постоянно действующем источнике нейтронов, на заданном энергетическом интервале. Как правило, такой интервал конечен, и рассматриваемая физическая модель не вполне адекватно описывает ситуацию в окрестности нуля и при больших значениях энергии. В работе предполагается, что в точке +0 решение конечно и рассматривается энергетический интервал [0, та).
Метод представления решений в пространствах последовательностей
Основным методом, применяемым в диссертации для рассматриваемого класса уравнений, является метод представления решений в пространствах последовательностей.
Основная идея используемого метода состоит в следующем: мы заменяем рассматриваемую на интервале [0, +к ) систему дифференциальных уравнений на бесконечную систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений, рассматриваемую на интервале [0, т).
Данный метод решения начальной задачи 1 для уравнения (1.8) устраняет описанные трудности. Он позволяет в ряде важных случаев получить по существу явные представления решений уравнения (1.8). Рассматриваемый метод может трактоваться как обобщение метода шагов для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Суть метода шагов заключается в том, что решение собирается из функций заданных на интервалах [И, (к + 1)т), произвольная постоянная находится из условия непрерывности решения в точках кх. В предлагаемом методе рассматриваемая система дифференциальных уравнений (1.8) заменяется бесконечной системой линейных дифференциальных уравнений и для нее ставятся коллективные условия непрерывности решения в точках кт,к 1. Таким образом, решается система линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (в пространстве последовательностей векторов или в пространстве последовательностей) с присоединенной системой краевых условий, которая также является уравнением в банаховом пространстве.
Впервые упоминание о методе представления решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в пространстве последовательностей появилось в работе [47]. В последующих исследованиях [49, 50] были получены результаты, которые для ряда частных случаев позволили связать метод редукции сдвига на период с операционным методом, что позволило получать формулу решения в классической для обыкновенных дифференциальных уравнений форме. В работе [49] были описаны достаточные условия представления решения начальной задачи 1, которое, по существу, является частным решением (решением с характеристическим показателем 0). " j=-M В этой главе сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия представления решений в пространстве \р последовательностей векторов (теорема 1 и теорема 2); приведен пример применения метода представления решений в пространстве последовательностей векторов для систем уравнений с запаздывающим аргументом; представлены достаточные условия разрешимости краевой задачи в пространстве последовательностей векторов (теорема 3); описан класс систем уравнений, удовлетворяющих достаточным условиям разрешимости краевой задачи в пространстве ограниченных последовательностей векторов (теорема 4); исследовано свойство гладкости решений (теорема 5); доказана сходимость конечномерных приближений решения (теорема 6); описан класс систем уравнений, для которых имеет место непрерывная зависимость от начальных данных и единственность получаемых решений.
Все результаты этой главы получены для системы линейных дифференциальных уравнений вида (2.1). Результаты второй главы используются в третьей главе для исследования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, лежащего в основе математической модели, описывающей распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистациоиарного равновесия.
Пример применения метода представления решений в пространстве последовательностей векторов
Пусть рассматриваемая задача является задачей для уравнения с запаздывающим аргументом. Приведем запись уравнения в векторной форме для заданной системы дифференциальных уравнений фиксированной конечной размерности: da dt = Xa,n(f + tf) + f(0. j= M В этом случае матрица представления Л будет нижнетреугольной: ай 0 0 ... О 0 0 а., а0 0 ... 0 0 А = а_2 а_, а0 ... 0 0 0 0 ... а_м ... а0 Пусть Р„ оператор проектирования на первые п координат (под координатой здесь понимается вектор, имеющий размерность исходной системы), тогда: АЯ=РЙЛ = АР11 , Р„е =е Ря = „. Если решение и(/) имеет в пространстве 1 представление X Z(x) = ехр( Ах) 4 + jtxp(A(x - s)) F(s) eb, где вектор \ решение в ]р уравнения (Е - Sехр(Лт) = r\ + S Jexp(Л(т - s)) F(s)ds, (2.14) о то Z„ (x) = Pn Z(x), где Zn (JC) является представлением решения конечномерной задачи .і Z„ (х) = ехр(А„х) І, + Jехр(4 (jc - J)) F„ (s) els, F„(s) = P„F(s), (E„ -5eexpUwT)) =л + 5„ Jexp(4,(w)) » fc. (2.15) о Чтобы доказать это утверждение, достаточно показать, что %„=РН1,. Очевидно, что если удовлетворяет в пространстве ї;, уравнению (2.14), то Pll(E-SSxp(AzM = (Ei,-S}lSxp(AllT) ll =P„t\ + P„S )eyip(A(i-s))F(S)c/S = U = 4 + S„ {ехр(4(т- ))ад , о т.е. Ь,„ — решение уравнения (2.15). Заметим, что в этом случае конечномерная задача (2.15) всегда имеет решение det(„-S,/»T) = l, т.е. зная решение на интервале [0, т], можно продолжить его на интервале [0,(л + 1)т]. Перейдем к применению метода представления решений систем уравнений в пространстве последовательностей векторов. Рассмотрим пример приведенный в монографии А.Д.Мышкиса [37]: x{t) = ax(t-\\ а 0, / є[0,+оо), p(0 Y-We[-I,0]. ( ; Решением уравнения будет функция ,. Аа;"(/-/ + 1)/ г , п j - У! Докажем это по индукции (база индукции при п = 1). Покажем, что при / є [и, 77 + 1] решение имеет представление 1«1ЫШ- , (2.17) в предположении, что это верно для п, т.е. при г Є [л -1. й]. Подставим (2.17) в уравнение (2.16) a {t-j + \y-1 С С0 = ЇІ O -l)! С другой стороны, считая что при te[n-\, п] формула для решения верна, получаем т.е. левая часть равна правой при t [n, и + 1]. Формула для решения уравнения доказана. Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом следующего вида a;(o=M.c-i)+iw-i) с начальными условиями «,(0 = ф[(0 Уі на интервале [-1, 0], __ ОЇІЬЛИГІ 1 ЕКА щ (0 = (р2 (0 s у2 на интервале [-1, 0], где apa pppj,?!, —постоянные. Записанная в матричном виде система имеет вид — = a ,u(t-\), где di и /) = « (0Ч «2(0. вектор-функция; Й_, = а, а2% — матрица размера 2x2; У = J2, вектор.
По аналогии с одномерным случаем можно показать, что решением (метод шагов) будет функция 7=0 У компоненты где стоящие под знаком суммы векторы airf умножаются на скалярные (t-J + 1) . Доказательство так же, как и в одномерном случае, У! проводится по индукции. В качестве примера рассмотрим систему u\(t) = au2(t -\), и;(о = ри,С -і), у, =у2=у, т.е. матрица о_, = ґ0 ал р о , вектор у = чУ/ Применим метод представления решений систем уравнений в пространстве последовательностей векторов. Рассмотрим ту же систему, записанную как u j(t) = au2(t-1) + / ), Введем следующие обозначения а, = с , е = 1 0 » 0 = Г 1 ,Р 0J I, ,0 0, т.е. ЙЧ, е, 0 — матрицы размера 2x2. Будем считать, что у, = у2 = у, вектор У = . Функция F(l) = = a_ty на интервале /є[0,1) и тождественно равна нулю вне этого интервала. Начальные условия для функций и,(0 = 7,и2(0) = у.
Положительные решения уравнения с отклонениями аргумента в дифференциальном члене
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента Т - + a%a + V)«a + V)+/CO-(l-Y)"(0, (3-2) at at у&Л/ v-i ,, drikz) drikz- -О) , _ , где r{i)= У c,%(t + y)u(t + y) и - -—І - в точках АтД 0, у — jtti, dt dt вещественное число и у є (0,1), %(t) — характеристическая функция интервала [0,+о ), bt с — вещественные положительные числа, N,M — целые положительные числа, % 0 — вещественное число, f{t) — положительная функция, непрерывная на интервалах [fa,(k + ])x), к 0, ограниченная на интервале [0,+со), є — вещественный параметр. Решается задача нахождения положительного решения такого уравнения на интервале [0, +да). Вначале рассмотрим случай, когда є = 0. В этом случае применение подстановки u(t) = ехр(Х.О p(t), "к 0 приводит уравнение (3.2) к виду У±+ blX(t + y)p(i + y)+Xyp(t) + e-}Jf(t) = (l-7)p(0. (3.3) Рассмотрим представление решений уравнения (3.3) в пространстве L ограниченных последовательностей. Пусть вектор-функция F(x) определяется как: 1 f "1( Ч- ). F(x)=-{e-lWf(h + x)\k ot хє[0,т). (3.4) У Строка коэффициентов матрицы представления А. (см. параграф 2.1) определяется следующим образом: au=y-l -ik), =-yVn;, je[-M,N], у 0. Уравнение представления имеет вид &p. = AZix)-F{x), хе[0,х). (3.5) ах Имеет место следующая теорема, дающая положительные решения уравнения (3.3) в пространстве /и. Теорема 8. [51] Пусть числа ує(о,і),йу 0, je[-M,N] bzu и выполнено условие Л f "ї Z«,-r- I - у - уА - Х Ч /=-,1-/ ч j=-M,j 0 J 0. Положительная функгщя (3.4) F(x) со значениями в пространстве /„ непрерывна на интервале [0, -с) и F(x) = Mm F(x), F(x) є /и. і-ії-п
Уравнение (3.5) имеет в пространстве 1т положительное решение, задаваемое выражением Z(x) = exp(Ax) -fap(A(x-,4))F(s)ds, (3.6) где вектор є/ю есть решение уравнения і ( - ехр(- т)5 ) - Jexp(- j) F( ) Л и представляется рядом Неймана хрЫт)У l pi As)F(s)ds (3.7) j =0 где S —матрица левостороннего сдвига (яаддиагональ едитщ над главной диагональю, остальные элементы — нули). Доказательство. Рассмотрим уравнение краевых условий т (E-S ехр(Лт)) - ті - 5 ехр(Д т - s)) F(s) ds. (3.8) а Пусть существует вектор е/в, удовлетворяющий уравнению (3.8). Применим к обеим частям (3.8) оператор ехр(-Лт)", в результате получим ехр(-,4т)5" - схр( Ах)$ S ехр{Ах) = exp(-Az)S , - = т т = ех.р{-Ат)3 г\ - exp(-Az)S S [ехр(Л(т - л-)) F(s)ds = - jexpt-As) F(s) ds. о о Здесь пользуемся соотношениями S S = E, SS =Е-Р}, где i —-проектор на первую координату. Таким образом, вектор I, удовлетворяет уравнению т (-ехр(-Лт)5 ) = JexpC-ЛлО F{s)ds. (3.9) Покажем теперь, что если вектор удовлетворяет уравнению (3.9), то он удовлетворяет и уравнению (3.8), где вектор 71 = ( ,0,0,...,0,,..) и 1,а — первая координата вектора . Применим к обеим частям (3.9) оператор Sexp(Ax), в результате получим S ехр(Лт) ехр(Лт) ехр(-Лт) 5 = 5 ехр( Лт) S = т = S ехр(Лт) Ч + ч = 5 ехр(Д т - )) F(s) abr, о т.е. вектор t, удовлетворяет уравнению (3.8) с вектором г, определяемым единственным образом. Таким образом, решение краевой задачи (3,8) в пространстве /га может быть получено как решение уравнения (3.9) в пространстве /щ. Покажем, что уравнение (3.9) имеет в пространстве /и единственное решение, представляемое рядом Неймана. Это следует из оценки ( и \ ехр(-Лт) S1 ехр(-Лт) ; ехр 2у L " і, J-м J Докажем, что представляемое решение Z(x) положительно. Матрица (-1)Л имеет представление (-})А = у ] Е + А], где А] — положительная матрица. Следовательно, матрица sxp(-As) = sKp(-y lEs)sx.p(Als), s 0 положительна. Вектор-функция F(s), Оє[0,т]) положительна, следовательно, вектор %= jexp(-As)F(s)ds + 1i(fixp(-Ai)Sy \exp(-As)F(s)ds положителен. Вектор-функция Z(x), имеющая представление (3.6), удовлетворяет неравенству X I Z(x) ехр(Ах) Гехр(-Лл)F(s)ds- \ехр(Л(х-s))F(s)ds о n T = jexp(A(x s))F(s)ds Q (x-j 0). Теорема 8 доказана. Пусть тогда условия теоремы выполнены при Х = 0. Асимптотические свойства положительных решений уравнения (3.3) могут быть описаны с помощью операционного метода, рассматриваемого в работе [50]. Теперь для уравнения (3.2) рассмотрим случай, когда Е 0. Пусть с матрица С составлена из коэффициентов —, (у є (0,1)) выражения для КО по У тому же правилу, что и матрица А. Определим следующие матрицу АЕ =А(Е + ЕС) ] И вектор-последовательность ад = ( + єС)ВД, ХЕ[0,Т]. (3.9) Рассмотрим уравнение представления решений задачи 1 в пространстве последовательностей с матрицей для уравнения (3.2) dY (х) -f-!- = AX(x)-F(x); є[0,т] ах с представлением для Ye(x) по формулам (3.6), (3.7) теоремы 8. Из теорем 1,2 следует, что при выполнении условий этих теорем, задача 1 имеет решение представленное в пространстве последовательностей по формуле (3.9). В частности, при є = ОД = О и выполнении условий теоремы 8 где функция Z0(x} положительное решение задачи 1 для уравнения (3.2). Имеет место следующая теорема, описывающая положительные решения задачи 1 для уравнения (3.2) при малых значениях є. Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 8 (при К = 0), и, кроме того, Ъ) положительная функция /(!) на всем интервале [0,+от) удовлетворяет условию fit) 5 0 (где Ъ некоторая постоянная), тогда существует s„ 0 такое, что для любого \г\ е„ уравнение (3.2) имеет положительное региение представленное в пространстве /щ в виде ряда:
