Исследование математических моделей процессов страхования при нестационарных потоках страховых рисков Змеев Олег Алексеевич

Содержание к диссертации

ВВЕДЕНИЕ 57

Глава I. Модели страховых компаний при марковском стационарном потоке входящих рисков

1.1. Марковская модель с неограниченным страховым полем 57

1.1.1. Описание модели 57

1.1.2. Распределение числа рисков в стационарном режиме 58

1.1.3. Функция корреляции числа рисков в стационарном режиме 62

1.1.4. Математическое ожидание капитала компании в стационарном режиме для числа рисков

1.1.5. Дисперсия капитала компании в стационарном режиме для числа рисков

1.1.6. Ковариация капитала компании и числа застрахованных рисков в стационарном режиме для числа рисков

1.1.7. Функция корреляции капитала компании в стационарном режиме для числа рисков

1.1.8. Среднее, дисперсия и функция корреляции для числа рисков в нестационарном режиме

1.1.9. Поведение капитала страховой компании в нестационарном режиме для числа рисков

1.2. Марковская модель с ограниченным страховым полем 76

1.2.1. Описание модели 76

1.2.2. Распределение числа рисков в стационарном режиме 77

1.2.3. Функция корреляции числа рисков в стационарном режиме 80

1.2.4. Математическое ожидание капитала компании в стационарном режиме для числа рисков

1.2.5. Дисперсия капитала компании в стационарном режиме для числа рисков

1.2.6. Ковариация капитала компании и числа застрахованных рисков в стационарном режиме

1.2.7. Функция корреляции капитала компании в стационарном режиме 87

1.2.8. Среднее, дисперсия и функция корреляции для числа рисков в 88 нестационарном режиме

1.2.9. Поведение капитала страховой компании в нестационарном режиме 90

1.3. Марковские модели с учетом банковского процента 94

1.3.1. Дополнительные предположения 94

1.3.2. Математическое ожидание капитала компании при условии, что число рисков стационарно

1.3.3. Дисперсия капитала компании при условии, что число рисков стационарно

1.3.4. Функция корреляции капитала компании при условии, что число рисков стационарно

1.4. Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний в рамках марковских моделей

1.4.1. Модель страховой компании 101

1.4.2. Модель взаимодействия двух компаний 102

1.4.3. Построение переговорного множества для положительных значений 5 105

1.4.4. Интервал изменения значений параметра 110

1.4.5. Построение переговорного множества для отрицательных значений 8 115

Резюме 118

Глава И. Модели страховых компаний при марковском нестационарном потоке входящих рисков

2.1. Описание модели страховой компании 120

2.2. Параметр входящего потока - детерминированная функция 121

2.2.1. Характеристики страховой компании при неограниченном числе страховых рисков

2.2.2. Характеристики страховой компании при ограниченном числе страховых рисков

2.2.3. Оптимальное управление средними страховыми взносами 240

2.3. Параметр входящего потока - случайная функция 143

2.3.1. Характеристики числа рисков страховой компании при неограниченном числе страховых рисков

2.3.2. Характеристики капитала страховой компании при неограниченном числе страховых рисков

2.3.3. Характеристики страховой компании при неограниченном числе страховых рисков в случае зависимости функции средних первоначальных 157 взносов от интенсивности входящего потока рисков

Резюме ': 176

Глава III. Математическая модель и управление деятельностью страховой компании с учетом расходов на рекламу

3.1. Модель страховой компании 178

3.2. Исследование деятельности страховой компании при неограниченном числе страховых рисков 184

3.2.1 Динамика капитала и числа застрахованных рисков 179

3.2.2 Условия эффективности рекламы 181

3.2.3 Управление денежными средствами, вкладываемыми в рекламную программу страховой компании ': 206

3.3. Исследование деятельности страховой компании на ограниченном страховом поле

3.3.1. Поведение капитала и числа рисков 206

3.3.2. Исследование стационарного режима в страховой компании 209

3.3.3. Условия эффективности рекламы 218

Резюме 220

Глава IV. Исследование математической модели фонда социального страхования Российской Федерации

4.1. Описание объекта моделирования/ 222

4.2. Диффузионноя аппроксимация деятельности фонда 223

4.2.1. Математическая модель деятельности фонда 223

4.2.2. Построение диффузионного приближения 225

4.2.3. Релейное управление капиталом 228

4.2.4. Определение параметров управления 23

4.2.5. Релейное гистерезисное управление капиталом 231

4.2.6. Определение параметров управления 235

4.3. Исследование математической модели деятельности фонда при релейном гистерезисном управлении капиталом и экспоненциально распределенных страховых выплатах

4.3.1. Особенности математической модели деятельности фонда 235

4.3.2. Релейно-гистерезисное управление капиталом 236

4.3.3. Стационарная плотность вероятностей величины капитала 236

4.3.4. Вероятностные характеристики 245

4.3.5. Релейное управление 245

4.4. Исследование математической модели деятельности фонда при произвольном законе управления капиталом и экспоненциально распределенных страховых выплатах

4.4.1. Особенности математической модели деятельности фонда 248

4.4.2. Плотность вероятностей величины капитала 249

4.4.3. Вероятностные характеристики работы фонда 253

4.4.4. Временные характеристики деятельности фонда 253

4.4.5. Релейное управление капиталом 259

Резюме 260

Глава V. Проектирование каркаса приложений имитационного моделирования смо дискретно-событийным методом

5.1. Языки и среды имитационного моделирования. Достоинства и недостатки 262

5.2. Дискретно-событийные имитационные модели 265

5.2.1. Формальное описание метода моделирования 265

5.2.2. Элементы дискретно-событийной модели и их организация 268

5.3. Проектирование базовой архитектуры каркаса 271

5.3.1. Основные идеи для архитектуры приложений, построенных на базе каркаса

5.3.2. Взаимодействие базовых классов на верхнем уровне архитектуры 275

5.3.3. Порядок инициализации приложения 276

5.4. Проектирование архитектуры на уровне предметной области 277

5.4.1. Диаграммы состояний и активности UML как способ представления графа событий дискретно-событийного метода

5.4.2. Реализация моделей, имеющих сложную иерархическую структуру 281

5.4.3. Организация взаимодействия с библиотечными пакетами 286

5.4.4. Реализация механизмов синхронизации и обработки событий 289

5.4.5. Порядок инициализации модели 290

Резюме 291

Глава VI. Реализация имитационных моделей 294

6.1 Диаграммы активности для моделей страховых компаний 294

6.2 Представление моделей в виде компоновщика 303

6.3 Программное обеспечение 304

6.3.1 Общая характеристика программы 304

6.3.2 Системные требования 305

6.3.3 Инсталляция 305

6.3.4 Запуск программы 305

6.3.5 Окончание работы с программой 306

6.3.6 Работа с моделями 306

6.4 Результаты моделирования 313

Резюме 330

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 331

ЛИТЕРАТУРА 332 

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

Математическому моделированию различных экономических процессов в настоящее время уделяется достаточно большое внимание. Это связано с тем, что в последние годы в нашей стране произошли значительные изменения в области приложений математики. Переход к рыночной экономике заставил перенести интересы специалистов по прикладной математике в новые области, которые не были известны до начала 90-х годов. Одной из таких областей стала актуарная математика или математика, связанная со страхованием. В числе проблем, которые приходится решать, находится вопрос о построении модели страховой компании в целом.

Страхование как отрасль экономики обязано своим возникновением тому, что многие области человеческой деятельности связаны с риском случайных финансовых потерь. Они возникают в результате нежелательных происшествий, таких, например, как пожары, дорожно-транспортные катастрофы, несчастные случаи, потеря трудоспособности и т. п. Страхование уменьшает риск путем передачи его профессиональным страховым компаниям, которые, принимая на себя за определенную плату случайные риски финансовых потерь из независимых источников, снижают их опасность путем объединения. Таким образом, основной принцип любого вида страхования состоит в том, что страховая компания (страховщик), получив предварительно от страхователя определенную денежную сумму (страховую премию), обязуется при наступлении страхового случая произвести страховую выплату, покрывающую финансовые потери.

Хотя для каждого страхового контракта значения страховой премии и возможной страховой выплаты строго оговорены, до момента заключения контракта они неизвестны и должны рассматриваться как случайные величины. Моменты поступления страховых премий и наступления страховых случаев также являются случайными величинами. Поэтому любая математическая модель деятельности страховой компании должна наряду с правилами начисления страховых премий включать в себя статистические модели потоков страховых премий и выплат.

Работы по математической теории страхования можно условно разделить на три группы. К первой можно отнести работы, посвященные анализу и построению моделей распределений вероятностей страховых премий и страховых выплат. Ко второму - работы, посвященные правилам назначения страховых премий. Наконец, третью группу составляют работы, посвященные расчету характеристик деятельности страховой компании в целом на основе принятой математической модели. К этой группе работ, по мнению автора, принадлежит и настоящая диссертация.

Считается, что первыми работами по математической теории страхования являются работы Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования [138, 169, 207]. Классическая модель страховой компании, благодаря ее относительной простоте, позволяет вычислить в явном виде вероятности разорения и выживания страховой компании, выработать рекомендации по определению необходимого начального капитала и назначению страховых премий. В то же время классическая модель не отражает многие черты деятельности страховых компаний в реальной жизни. Развитию и уточнению классической модели посвящено большое количество работ по математической теории страхования, однако, остается еще много проблем, требующих дополнительного исследовайия. К числу малоизученных можно отнести, например, проблемы:

• описание математических моделей страхования в виде многомерных случайных процессов;

• учет нестационарности и случайности потоков входящих рисков;

• управление величиной страховых премий в зависимости от состояния страховой компании;

• вопросы конкурентного взаимодействия страховых компаний на рынке страховых услуг;

• математические модели неклассических страховых компаний, таких как фонды социального страхования и пенсионные фонды.

В представленной работе исследуются модели, учитывающие эти факторы, что, по мнению автора, и определяет ее актуальность. Работа выполнялась по плану научно-исследовательских работ факультета информатики Томского государственного университета.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы является:

1. Разработать математическую модель страховой компании в виде двумерного случайного процесса, компонентами которого являются капитал компании и число застрахованный рисков, и исследовать вероятностные характеристики этой модели.

2. Построить и изучить характеристики страховой компании в случае, когда интенсивность потока входящих рисков зависит от времени и когда она является случайным процессом (дважды стохастические модели потока входящих рисков).

3. Рассмотреть конкурентное взаимодействие двух страховых компаний на рынке страховых услуг.

4. Рассмотреть вопросы управления страховой премией в зависимости от интенсивности потока входящих рисков.

5. Построить математическую модель влияния рекламы на деятельность страховой компании.

6. Построить математическую модель фонда социального страхования.

7. Построить каркасы приложений имитационного моделирования страховых компаний и систем массового обслуживания дискретно-событийным методом и создать программный комплекс такого имитационного моделирования.

СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Как уже было отмечено выше, считается, что первыми работами по математической теории страхования являются работы Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования. Описание и различного рода исследования в рамках классической модели можно найти, например, в монографиях Э. Штрауба [155], Д. Кокса и В. Смита [117], Y. Н. Panjer и G.E. Willmont [207], J. Grandell [186], H.U. Gerber [185], H. У. Прабху [136], обзорах В.И. Роторя и В.Е. Бенинга [138], П. Эмбрехтса и К. Клюппенберта [160], В.Калашникова и Д. Константинидиса [105]. Классическая модель страховой компании базируется на следующих предположениях [184]: процесс поступления страховых премий в компанию считается детерминированным, за . время / приращение капитала равно ct, где с - количество средств, поступивших в компанию за единицу времени; страховые выплаты - независимые, одинаково распределенные случайные величины; моменты страховых выплат образуют пуас-соновский поток. Таким образом, величина страховых требований, поступивших в компанию за время t, образует сложно-пуассоновский процесс [150]. Основным достоинством классической модели является ее относительная простота, которая позволяет вычислить в явном виде такие характеристики, как вероятности разорения и выживания страховой компании.

В публикациях, посвященных изучению классической модели, в основном исследуются вероятности разорения и выживания страховой компании и принципы выбора нагрузки страховой премии (нагрузки безопасности). Из работ последнего времени отметим, например, работы V.M. Malinovskii [200, 201], в которых рассматривается вероятность разорения на конечном интервале, В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [24], в которой рассматривается вероятность разорения при малой нагрузке страховой премии, J. Grandell [187, 188], в которой исследуются простые аппроксимации вероятности разорения. S. Asmussen [164] исследовал адаптивные процедуры оценки вероятности разорения. В работах О.П. Виноградова [35], Ю.Д. Григорьева и А.В. Куклина [56, 57] рассматриваются возможности построения верхних и нижних границ для вероятности разорения. В работе В.В. Калашникова и Г.Ш. Цициашвили [106] строятся оценки для вероятности разорения при наличии больших выплат, а в работе К.Г. Гунченко [59] - прямые методы оценки вероятности разорения для различных видов распределений суммарного риска. Возможности перестрахования больших рисков рассматриваются в работах Г.А. Медведева [129], Ю.Д. Григорьева [54, 55], Е.В. Глуховой и Е.В. Капустина [51], Е.В. Булин-ской [27], И.В. Черепановой [154] и Л.Д. Шона [156, 157].

В большинстве работ последнего времени рассматриваются более сложные модели, обобщающие классическую модель. В рамках этих работ, процесс поступления страховых премий в компанию также считается случайным процессом. Так, например, в работе К.И. Лившица [120] находятся вероятность разорения и условное время до разорения для случая, когда страховые премии, поступающие в компанию, образуют пуассоновский процесс. В работах М. А. Маталыцкого, Т. В. Романюк [127, 128] страховая компания рассматривается как некоторая система массового обслуживания В работах К.И. Лившица и Л. Ю. Сухотиной [121, 122]

рассмотрены характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии для пуассоновской модели и модель страховой компании с учетом сезонных изменений. В работах В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [22, 23] исследуется случай, когда моменты страховых выплат образуют процесс Кокса (дважды стохастический пуассоновский процесс). Неоднородный поток страховых выплат рассматривается в работе О.П. Виноградова [34].

Большое внимание уделяется также проблемам, связанным с возможностью страховой компании использовать имеющиеся в ее распоряжении свободные средства для получения дополнительной прибыли и уменьшения тем самым вероятности разорения. Е.В. Глуховой и Е.В. Капустиным [50] рассчитывались вероятности выживания страховой компании при размещении части средств на депозитных вкладах, а в [107] учитывается возможность одновременного наступления страховых случаев. Минимизации вероятности разорения путем выбора инвестиционной стратегии посвящены работы Т.А. Белкиной, А.Г. Фроловой, СВ. Чекалиной [20, 21], А.В. Бойкова и А.В. Мельникова [26], в которых предполагается возможность как безрисковых, так и рисковых инвестиций.

В перечисленных выше работах исследуется, как правило, стационарный режим функционирования страховой компании, когда ее характеристики можно считать независящими от текущего времени. Исследованию деятельности страховой компании при нестационарных потоках страховых рисков посвящены первые три главы настоящей работы. Наиболее близкими по тематике к вопросам, рассматриваемым в этих главах, являются работы Д.Д. Ахмедовой, А.Ф. Терпугова [3-5, 18], В.М. Каца, К.И. Лившица и А.А. Назарова [109-116, 195], А.Ю. Голубина [185], С.А. Масяйкина [125, 126], в которых рассматривается влияние расходов на рекламу на деятельность страховой компании и исследуется конкурентное взаимодействие страховых компаний на общем страховом поле.

В ряде работ рассматриваются более сложные, по сравнению с предыдущими, модели. Например, Н. Schmidli [212] рассматривает возможность одновременного инвестирования и перестрахования. Ф. Еникеева и В. Калашников [60] и D.G. Коп-stantinides, Q.H Tang, G.Sh.Tsitsiashvilii [196, 217], исследовали модели риска с инфляцией. В работе П. Эмбрехтса [159] прослеживается связь между актуарным и финансовым подходами к расчету страховых премий. Применение методов теории чувствительности к задачам страхования и теории финансов рассматривается в работе R. Norberg [208]. Применению франшизы, которая может получить большое распространение в связи введением обязательного автомобильного страхования, посвящена работа Ю.Д. Григорьева и И.Ю. Хекало [58].

С другой стороны, кроме классических страховых компаний у нас в стране на рынке страховых услуг существуют объекты, в деятельности которых активную роль играет государство, выполняя с их помощью некоторые социальные функции и гарантии. В качестве отличительной особенности деятельности таких объектов на рынке страховых услуг отметим полный или частичный отказ от получения коммерческой выгоды. К числу таких объектов можно отнести различного рода государственные фонды социального страхования и пенсионного страхования.

Построению и исследованию математических моделей таких объектов в последние годы посвящен ряд работ, в которых для исследования работы государственных фондов применяются различные методы теории массового обслуживания или идеи классических моделей страхования применяются с учетом особенности работы таких фондов. Например, в работе Л.Ф. Адашкина [2] строится диффузионная аппроксимация для математической модели деятельности фонда социального страхования РФ. В работах А.А. Назарова, И.Р. Гарайшиной, Я.В. Галайко [41, 43, 44, 46-48, 132] исследуются математические модели фондов пенсионного страхования.

В четвертой главе настоящей работы предлагается и исследуется математическая модель Фонда социального страхования Российской Федерации, основанная на адаптации классической модели страхования с учетом особенностей деятельности фонда. С математической точки зрения вопросы, рассмотренные в этой главе, сводятся к задаче управления так называемым процессом разорения. Описание и обзор основных результатов различного рода исследований по этой тематике можно найти, например, в седьмой главе монографии Л. Такача [145]. К публикациям последнего времени, посвященным исследованию процессов разорения, можно отнести работы А.Т. Семенова [140 - 143].

Последние две главы настоящей работы посвящены разработке и исследованию имитационных моделей процессов страхования, рассмотренных в предыдущих частях работы. По утверждению А. М. Лоу и В. Д. Кельтона [1], имитационное мо делирование является одним из самых распространенных методов исследования операций и теории управления. Согласно исследованию Gupta [189] эта технология исследования сложных систем занимает второе место, после математического программирования.

В рамках настоящей работы для реализации имитационного моделирования использован метод дискретно-событийного моделирования [1, 166]. К сожалению, необходимо отметить, что в отечественной литературе этот термин не является устоявшимся. В качестве примера приведем только ряд учебных пособий последних лет, в которых приведено описание этого метода. Например, в учебнике В. И. Вар-фол омеева, С. В. Назарова [33] метод называется дискретно-стохастической моделью (стохастическим автоматом) или Р-схемой, в работе Ю. И. Рыжикова [139] -дискретной моделью, наконец, в учебном пособии Б. Г. Ослина [133] все задачи имитационного моделирования сводятся к указанной схеме.

Основной трудностью в рамках дискретно-событийного метода является правильное определение переменных состояния, необходимых для реализации моделирования с корректной последовательностью событий и получением интересующей статистики. В связи с этой сложностью необходимо отметить работу L.W. Schruben [213], который в 1983 году предложил метод представления событий с помощью графов, и работы Т.К. Som и R.G. Sargent [211, 216], в рамках которых этот метод был значительно усовершенствован. Альтернативный метод формального описания СМО предложен, например, в работе Н.Н. Лябах, М.А. Бутакова [123].

В последние годы значительно вырос интерес к распределенным технологиям имитационного моделирования. Вопросы, связанные с применением распределенных вычислений в рамках дискретно-событийного метода, можно проследить в работах Chandrasekaran U., Sheppard S. [173], J. Misra [203], R. M. Fujimoto [182, 183], D.M. Nicol [204], R.L. Bagrodia [165]. Перечислим основные направления, которые рассматриваются в рамках распределенной реализации метода. Например, идеи, связанные с реализацией многопроцессорной обработки имитационной модели, рассмотрены в работе S. Sheppard et al. [216], в работе J.C. Comfort [177] рассматривается обработка списка событий по принципу «главный-подчиненный». "Другим подходом к распределению имитационной модели между различными процессорами является декомпозиция исходной модели на подмодели, выполнение которых передается различным вычислительным ресурсам. Этот метод распределенного моделирования был изначально разработан К. М. Chandy и J. Misra [174 -176], в более поздних работах J. Misra [203] рассмотрены проблемы технической реализации этого подхода. Альтернативная концепция виртуального времени, связанная с распределением подмоделей между параллельными вычислительными процессами, реализованная через механизм изменения шкалы времени рассмотрена у D.R. Jefferson [192].

Специальные исследования по эффективности распределенного моделирования описаны в работах S. Lavenberg, R. Muntz, В. Samadi [197], J.C. Comfort [177]. В работе P. Heidelberger [190] рассматривается влияние распределенного моделирования на статистическую эффективность со смешанными результатами. Решение вопроса о декомпозиции имитационной модели для распределения между параллельными вычислительными процессами можно найти в монографии М. S. Shanker, R. Padman, W. D. Kelton [214]. Анализ конкретных приложений для распределенного и параллельного моделирования приведен в работах D.M. Nicol, М.М. Johnson, A.S. Yoshimura [205] и CD. Carathers, В. Topol, R. M. Fujimoto, V. Sunderam [172].

В связи с быстрым развитием технологий World Wide Web необходимо отметить ряд работ последнего времени, связанные с исследованиями самых разнообразных возможностей применения этих технологий для расширения возможностей моделирования. Так, например, в работах P. A. Fishwick [179, 180] исследуется широкий спектр вопросов, связанных с использованием механизмов клиент-сервер для увеличения производительности, распространения имитационных моделей и результатов их выполнения. Общий обзор подходов к моделированию, основанный на использовании веб-узлов и базирующийся на характерные примеры, дан в работе P. Lorenz, Н. Dorwarth, К. С. Ritter, T.J. Schriber [199].

В последнее время в качестве альтернативы или возможного пути реализации для распределенного подхода рассматривается объектно-ориентированное моделирование. Фактически объектно-ориентированное моделирование берет свое начало от объектно-ориентированного языка SIMULA, который появился в начале 60-х годов прошлого века. В качестве источников, в которых рассмотрены вопросы объектно-ориентированного моделирования, отметим J.A. Levasseur [198] и D.W. Jones, S. D. Roberts [193].

В рамках настоящей работы разработка объектно-ориентированных имитационных моделей осуществляется с применением Унифицированного Языка Моделирования (UML, Unified Modeling Language). UML является прямым потомком методов объектно-ориентированного анализа и проектирования (OOA&D), которые появились в конце 80-х начале 90-х годов прошлого века. UML непосредственно унифицирует известные методы Г. Буча [167], Д. Рамбо (ОМТ) [209, 210] и А. Джекобсона [191], при этом он обладает гораздо большими возможностями. Язык UML стандартизирован консорциумом OMG (Object Management Group) и в настоящее время является стандартом OMG. Подробное описание истории возникновения, целей и задач этого средства визуализации, специфицирования, проектирования и документирования программных систем можно найти в книге Г. Буча, Д. Рамбо, А. Джекобсона [28], краткое изложение основных принципов языка приведено в работах К. Скотта [144] и М. Фаулера [180]. Предложенный в пятой главе работы каркас для разработки систем имитационного моделирования, основан на концепции типовых решений проектирования (паттернов, шаблонов проектирования), которая была предложена С. Alexander, S. Ishikawa, М. Silverstein, М. Jacob-son, I. Fiksdahl-King, S. Angel в [163], в области разработки программного обеспечения идея применения паттернов подробно изложена в классической монографии Э. Гаммы, Р. Хемла, Р. Джонсона Дж. Влиссидеса [42]. В качестве примера работы последнего времени, посвященной тематике применения типовых решений при разработке информационных систем, приведем монографию М. Фаулера [149]. Эти работы образуют методологическую основу решений, которые рассматриваются в последних главах настоящей работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Условно предлагаемую диссертационную работу можно разбить на три части. В первой части, в которую входят главы 1-ІЙ, предлагаются и исследуются математические модели страховой компании в виде двумерного случайного процесса, компонентами которого являются капитал компании и число застрахованных рисков, при различных предположениях, относительно числа застрахованных рисков, капитала компании, влияния рекламы и т.д.

В первой главе рассмотрены математические модели страховых компаний в предположениях, что поток входящих рисков является стационарным марковским потоком. Первый параграф главы посвящен исследованию модели, в которой интенсивность входящего потока линейно зависит от числа уже имеющихся рисков, а страховое поле считается неограниченным. В 1.1.1 относительно рассматриваемой модели делаются следующие предположения: Будем описывать состояние страховой компании в момент времени t двумерным случайным вектором {k(t), S(t)}, где k(t) - число рисков, застрахованных компанией, a S(t) - ее капитал в момент времени t. Изменения капитала и числа застрахованных рисков происходят в следующих случаях:

1. Компания страхует новый риск. Будем предполагать, что поток приходящих рисков - это примитивный поток с параметром Х+Р k(t). Первое слагаемое в последнем выражении отражает поток рисков, которые клиенты страхуют в компании по независящим от нее обстоятельствам, а второе - тот факт, что среди людей, не застраховавших свои риски, распространяется информация о страховой компании, происходит неявная реклама компании. Вероятность того, что за время At компания застрахует новый риск, равна (Я. + Р5 k)At+o(At). Каждый новый риск приносит компании страховую премию , размер которой является случайной величиной с функцией распределения F (z) и моментами М{,} = а, Л/ 2]= а2.

2. Будем считать далее, что по каждому из застрахованных рисков регулярно с интенсивностью Х выплачивается взнос в размере С,, который является случайной величиной с функцией распределения F {z) и моментами М{с} = с и MJ2}= с2. Будем считать, что взносы вносятся независимо друг от друга и поэтому за время At в компанию поступит такой взнос с вероятностью kX At + o(At).

3. Страховое время некоторых рисков заканчивается. Будем считать, что каждый риск покидает компанию независимо от поведения других рисков с интенсивностью ц. Тогда за время At компанию покинет риск с вероятностью k\iAt+o(Ai).

4. Наконец, наступают страховые случаи. Будем считать, что с каждым клиентом может наступить страховой случай с интенсивностью цп и эти страховые случаи для различных рисков независимы. Тогда на интервале At наступит страховой случай с вероятностью k\i kl + o(At), а компания при этом выплатит страховое возмещение в размере ц, которое является случайной величиной с функцией распределения F (z) и моментами М{ц} = Ь,М 2}=Ь2.

Целью исследования является рассмотрение статистических характеристик процессов k(t) и S(t), т. е. поведение числа рисков и капитала компании.

В 1.1.2-1.1.7 проведены исследования модели в предположении, что процесс k(t) находится в стационарном режиме. Полученные результаты сформулированы • в виде следующих утверждений и теорем:

Теорема 1.1. В предположениях 1)-4) финальные вероятности тсу- определяются соотношениями 7С0 =

Ц(»+і)р

я+/р

Пк = 7li /+/В Д™ V = l,co, (1.2)

=i »=о V + 411 а условие существования стационарного режима имеет вид Р /ц 1.

Так как полученные выражения для финальных вероятностей являются достаточно громоздкими и «неудобными» для дальнейшего использования, то было рассмотрено так называемое диффузионное приближение, когда процесс k(t\ аппроксимируется диффузионным процессом. Для нахождения такого приближения использовался асимптотический метод анализа марковизируемых систем. С учетом следующих обозначений доказана теорема 1.2

р = Х/ц, ф = рДі. — = s2, 2j = к+ех, -тс- = Р(х,є). р є J

Теорема 1.2. Если

1. существует конечный предел lim Р(х, є) = Р(х),

є- 0

2. функция Р(х,є) дважды дифференцируема по х,

то функция Р(х) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка вида (i- M +J- M o. (1.5)

dx \- $ dx

При этом константа к = l/(l - (р).

Таким образом, показано, что число рисков является асимптотически нормальной величиной при р - оо с М\к\ = — —- = и D\k) = , „ = — .

W 1-Ф ц-Э W (1-ф)2 (ц-р)2

Теорема 1.3. В стационарном режиме функция корреляции процесса k(t) определяется выражением

(т ДДт)-М2 { }=—Р_ехр{-(р-р J Н}. (1.8)

(1-ф)

Теорема 1.4. В стационарном для числа рисков режиме математическое ожидание капитала М ,} определяется выражением

M{St}=SQ+—-( + Xt-c-iir]b), (1.14)

•ц-р

где 0 капитал компании в момент ґ0.

Таким образом, условие возрастания среднего капитала имеет вид ІШ + Х С-\ІЦЬ 0, если ца + Х с-р ЬкО, компания разоряется. Нетрудно заметить, что полученное условие имеет достаточно естественное экономическое обоснование, в среднем доходы компании должны превышать ее расходы.

Теорема 1.5. В стационарном для числа рисков режиме дисперсия капитала D{St} определяется выражением

D{St} =

а2\і + с2\ +Ь2\і +7— ЦтЙЧ +с\ -Ь\іУ

х +

2Х\х

+ {а +СХ, - J iy-(exp{-(u-p5 }-l). (1.17)

Из равенства (1.17) следует, что при больших / дисперсия капитала, так же как и его среднее, растет пропорционально времени /.

Теорема 1.6. Функция корреляции cov{S„k(t + tQ)} процессов St и k(t) в

стационарном режиме для числа рисков имеет вид

cov{St,k(t+h)}=( h -ЬЦп-сЧ)г- ТТ& еЧ){-(и-Р }]- (1-21)

Теорема 1.7. Функция корреляции процесса S, Rosih h) в стационарном режиме для числа рисков определяется выражением

К( 2) =

a2h + г, +Сг\ + / _Ц у( - л - )2

Яц

ц-Р«

+ (flpft - +а J e" + И" -И -і], (1.22)

В 1.1.8 получены характеристики k{t) в нестационарном режиме. В результате доказана следующая теорема:

Теорема 1.8. В нестационарном режиме среднее число рисков k(t), дисперсия числа рисков Dk(t) и функция корреляции числа рисков Rokihh) определяются выражениями

Щ:

Ц-Р ц-Р5

ехр{-(ц-р4)ґ},

(1.25)

(г)=ї 7(і_ехр{"2(ц"р })

(1.26) (1.27)

ц + Р4

Іл- ц-Р5

ехр{- (ц - pt »(l - ехр{- (ц - р5 )}),

Ц-Р5

R0k(tih)= ДЛтіп( 2))ехрЦи-р J/2 -ґ,}. где /0 число рисков, застрахованных в компании в момент t0.

В 1.1.9 рассмотрено поведение капитала страховой компании S(t) в нестационарном режиме для числа рисков:

Теорема 1.9. В нестационарном режиме для числа рисков режиме математическое ожидание капитала M{St} и дисперсия капитала D{St} определяются выражениями 4 Ті M{St} = SQ+ —(а -цЬ + Хі-с, /0 ц-р -_L-fo-M+v( -.Jj-,

exp(-(u-pj/),

(1.30)

D{st} = —:7-( .+ 1,+V2, о JT

м

-( +ц)

f +

ЛІ

+(P5«-M +V)2

X + 5p5+5p,

6(n-pJ

о И-Р

їУ

+і( 7Г"( +/ [n-h

-( + Р-т 2 + 2)+ - + 40)2 х

4;

х- FP7

0 ЗХ

ц-Р.

+

я( +ц)

M F

,4н»с .

и-Р

ц-Р

U

+

+ (P5«- n6 + V)2

Я(я + 2ц + р4) .2 1 . А,-ц

К

+ 15 -ц + v)2

ґ А, 2Р-5А.-2ц

/° ji-pj 2(n-pJ

+

(aP.- + v)1

Ц-Р У

ЗЯ,+Р+д

+

2(P-Pj

+

-)3

.2 7i(?i + pj 2Л. + р +ц

/075 7" ц-Р5

о

-

Л

. (1.31)

Заметим, что в нестационарном режиме математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции числа застрахованных в компании рисков имеют более сложный вид, чем в стационарном режиме.

Среднее значение капитала компании в нестационарном режиме при больших t растет пропорционально t, аналогично стационарному случаю. Дисперсия капитала при больших t растет, как L.

При сравнении соответствующих выражений при условии, что число рисков стационарно, и при условии, что оно нестационарно, можно отметить, что в нестационарном режиме есть дополнительное слагаемое, пропорциональное отклонению начального числа рисков /0 от стационарного значения. Именно это слагаемое и описывает переходный режим.

Во втором параграфе рассмотрен случай, когда потенциальный рынок страховых услуг (страховое поле), на котором действует компания, ограничен, т.е. число рисков, которые может застраховать компания, ограничено. Пусть N - максимально возможное число рисков, за бесконечно малый промежуток времени At каждый из N потенциальных рисков может застраховаться с вероятностью XAt + o(At). Риск не может быть застрахован повторно, пока не истечет срок текущего договора. Величину k(t) по-прежнему будем считать числом застрахованных в компании рисков. Тогда суммарный поток поступления рисков в компанию будет примитивным потоком с интенсивностью В отличие от модели, рассмотренной в предыдущем параграфе, вероятность поступления в компанию нового риска за время At в этом случае равна (N-k)XAt+o(At). По-прежнему в этой ситуации компания получает страховую премию ,, размер которой является случайной величиной с функцией распределения F (z), М{,} = а и М \=а2 .Остальные вероятности, связанные с приходом и уходом рисков, аналогичны модели с бесконечным страховым полем, которую мы рассмотрели выше.

Целью исследования, как и ранее, является рассмотрение статистических характеристик процессов k(t) и S(t), т. е. поведения числа застраховавшихся рисков и капитала компании в стационарном и нестационарном режимах.

В 1.2.2 доказаны следующие утверждения:

Теорема 1.10. Для модели с ограниченным страховым полем финальные вероятности itj определяются соотношениями

я, =CJNpJ(l + p)-N,для VJ = IN , (1.37)

где р= Х/\х.

Теорема 1.11. При N- x в стационарном режиме распределение числа рисков является асимптотически нормальным с

ij 1+p X + \i

Np NX\i

D{k} =

\2

(I+P)2 ( +n)3

Далее в 1.2.3 - 1.2.7 исследована деятельность компании в предположении, что число застрахованных рисков стационарно. Результаты сформулированы в виде следующих теорем:

Теорема 1.12. В стационарном режиме функция корреляции процесса k(t) определяется выражением

% (фЛ М- М2 {ф- _ехр(- (Яп-иИ) (1.42)

l1+Pj

Теорема 1.13. В стационарном для числа рисков режиме математическое ожидание капитала М{St} определяется выражением

M& So+ BL c- b + iia), (1.48)

1+р

где S0 капитал компании в момент t0.

Таким образом, условие возрастания среднего капитала и в этом случае имеет вид \ш + Х с-\хцЬ О. Если \ia + Х с-\ацЬ О, компания разоряется. Нетрудно

заметить, что полученное условие имеет достаточно естественное экономическое обоснование, в среднем доходы компании должны превышать ее расходы.

Теорема 1.14. В стационарном для числа рисков режиме дисперсия капитала D{St} определяется выражением

Np 1+р

{,}= а2\х+Ь2\хц + с2Х + Ц (aX-b\x +cX f

(X+\i)

+ (aX-bvn+cXj (exp{-{X + v)t}-l). (1.51)

Теорема 1.15. Функция корреляции cov{St,k(t + t0)} процессов S, и k(t) в стационарном режиме для числа рисков имеет вид

covfe t+Zo - - J- fl-expt- -h }]. (1.55)

Теорема 1.16. Функция корреляции процесса S, Ros uh) в стационарном режиме для числа рисков определяется выражением

Rs(hh)=

а2 \i+b2 цл + с2\ +——(dk - b\i + с\ f

(Х+ц)

Х+ц

+ {аХ-Ьцц +сХ -™ [е- + е 1+ -i- Mk- .)], (L56)

(Х+ц)

Аналогично параграфу 1.1.9 в 1.2.9 получены характеристики k(t) в нестационарном режиме. В результате доказана следующая теорема:

Теорема 1.17. В нестационарном режиме среднее число рисков ЩГ), среднее

от числа рисков в квадрате кг{і) и функция корреляции числа рисков RQ I I) определяются выражениями

Ґ

ТТЛ NX w Х + р

NX Л

(1.59)

h exp{-(X + [i)t}.

X + u

(0=7Г (1-ехР{-2( }) {X + ii)

NX + ІІ

+

h Х + ц

exp{- (X + ц }(і - exp{- (X + ц)}), (1.60)

%( 1 2)= (ттЙ,Г2))ехр{-(Х + )г2- }. (1.61)

где /0 число рисков, застрахованных в компании в момент /0.

В 1.2.10 рассмотрено поведение капитала страховой компании S(t) в нестационарном режиме для числа рисков:

Теорема 1.18. В нестационарном режиме для числа рисков режиме математическое ожидание капитала M{St) и дисперсия капитала D[St] определяются выражениями

M{St\ = Sn+ [XrC-aX-ii b] L +t \ХгС + ца-и.пЬ) —{X c -aX- nnb] /0 - — exp(- (Uu ),

D{St} = ——{\inb2-Xa2+X c2\iQ-— X + \i \ X + \i)

(1.65)

+ +

б(?.+ ц)3 і, Х + ц) l(X+\i)

+ \Xa-\iX]b + Xt cf

NX-5X + 5ii(. NX Ї /о2

NX

(?.+ц):

V)

(NX + Ц)

X+\i

+1\ (}inb2 -Xa2 +Х с2)+(Ха-ццЬ +X cf x

x NX

[b+vf

lo

3NX X + \iy

+

NX(NX + \i)

(X + nY J

-e

-(UH І7— fcr

b1-Xa1+Xcc2\ /0

m

X + \l;

+

+ \Xa - \іцЬ+X cf

A,-i

•+/0 NX(NX + 2\i-X) .2

(;Uu)4 u(;Uu)2 °( + ц)3

+

X + U

(Ха-ц + с)2 Ь о-т—

2( + u)2

зла-л+ц.

2(Х + ц)2

+

.2 JVk(iVk + p.) 2NX-X + \i

NX

+

h lO

(1.66)

Х + ц_

3( + ц)3

(X + ixf Х + ц

Как и ранее, в нестационарном.режиме математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции числа застрахованных в компании рисков имеют более сложный вид, чем в стационарном режиме.

Среднее значение капитала компании в нестационарном режиме растет пропорционально /, аналогично стационарному случаю. Дисперсия капитала при больших t растет, как /.

При сравнении соответствующих выражений при условии, что число рисков стационарно и при условии, что оно нестационарное, можно отметить, что в нестационарном режиме есть дополнительное слагаемое, пропорциональное отклонению начального числа рисков /0 от стационарного значения. Именно это слагаемое и описывает переходный режим.

В параграфе 1.3. для моделей, рассмотренных в 1.1. и 1.2 , исследуется более сложная модель поведения капитала компании. Считается, что за время At капитал компании увеличится на rS(t)At, ще г - ставка банковского процента.

Как показано выше, в ситуациях, когда входящий поток рисков является стационарным марковским потоком, исследование моделей необходимо начинать с определения вероятностных характеристик процесса k(t). Однако из найденных ранее соотношений следует, что характеристики процесса k{t) могут быть определены независимо от капитала компании S(t). Поэтому дополнительно были исследованы только характеристики капитала компании. (1.3.2-1.3.4).

Теорема 1.19. Для моделей с учетом банковского процента в стационарном для числа рисков режиме математическое ожидание капитала компании определяется выражением Sl(t)=S0-e" + a +b Mm-{e"-ll (1.82)

где SQ - стартовый капитал компании.

Следствие. Математическое ожидание капитала компании в стационарном режиме для модели с неограниченным страховым полем равно

м№ь ГГ Ч 0-86)

Для модели с ограниченным страховым полем

M(x( v Hbg .( ,). (,87)

Заметим, что при г = О выражения (1.86) и (1.87) превращаются в соотношения (1.14) и (1.48) соответственно.

Теорема 1.20. Дисперсия капитала страховой компании для модели с работающим капиталом в стационарном для числа рисков режиме определяется выражениями

V h

DS(t) =

Ха2 + \Х с2 + Цп&2 + Ха2 у

2г

+

(X+tf г[гг -(x+tf)

і С — — 1 Z . ГТГ ! гй JJQ

для модели с неограниченным страховым полем и

2r

DSlt ) =

XNa2 + \Х с2 + [іцЬ2 - Ха2)

ґ , NX 2rt

\

X + \ij - + для модели с ограниченным страховым полем, где S0 - стартовый капитал компании.

Наконец, функция корреляции капитала компании определяется выражением

Г

где bx, а2, b2, М{к}, D{k} и 9, параметры соответствующих моделей.

В параграфе 1.4. рассматривается проблема конкурентного взаимодействия двух страховых компаний, действующих на общем страховом рынке. В этом случае потоки страховых премий, поступающих в каждую из компаний, делаются зависимыми друг от друга. В рамках параграфа рассматривается модель страховой компании, основанная на следующих предположениях:

1. С вероятностью XAt + o{At) в компанию поступает новый риск. Клиенты, страхующие риски, вносят страховые премии, являющиеся случайными величинами с математическим ожиданием а. Риски поступают независимо друг от друга.

2. Время страхования некоторых рисков заканчивается, и клиенты покидают компанию. Считается, что каждый клиент уходит из компании с вероятностью \\At + o(At) независимо от другого.

3. С вероятностью X At + o(At) каждый из клиентов компании уплачивает

дополнительный взнос, который является случайной величиной с математическим ожиданием с.

4. Наконец, с вероятностью цп At + o(At) у каждого из клиентов компании

независимо от других наступает страховой случай, выплата по которому является случайной величиной с математическим ожиданием Ъ.

В 1.4.2 описана модель взаимодействия страховых компаний. Считается, что вероятности прихода клиентов в ту или иную компанию А,,- зависят от величин

страховых взносов щ и а2, то есть Я,,- = ,-( ,а2)« Далее довольно естественно считать, что эти вероятности обратно пропорциональны величине страховых взносов, т. е. Хх/Х2 = ОгІа\ • Если

/(ах,а2) = Хх{ах,а2)л-Х2(аХіа2). Тогда

i =- -/( 1.). 2 =- -f(ax,a2). (1.103)

ах + а2 ах + аг

Вид зависимости f(ax, а2) от ИА2 определить достаточно сложно. В настоящей работе мы будем считать, что f{ax, а2) зависит лишь от некоторого параметра р, который, в свою очередь, зависит от ах и а2, так что р = р(а],а2). Относительно вида функции f(p) естественно выдвинуть следующие предположения:

1./(0) +оо;

2. f{p) монотонно убывает с ростом р;

3. lim f(p)=0;

р-м-00

4. lim pf(p)=0.

Что касается самой зависимости р(аі,а2), то к ней можно предъявить следующие достаточно естественные требования. Пусть а2 фиксировано, тогда:

1. Если ах -» +оо, то р должно равняться а2, так как при этих условиях вся динамика рынка страхования будет определяться именно этой величиной, клиенты просто будут игнорировать первую компанию. Таким образом, сформулируем следующее утверждение:

lim р(ах,а2)=а2.

д,-»+оо

2. С уменьшением ах р(а1,а2) также должно монотонно убывать, так как у

желающих застраховаться в этом случае появляется возможность выбора. Поэтому должно выполняться следующее условие:

Ф(д1 2) 0

дах

3. При ах -»0 р{ах, а2) также должна стремиться к нулю, так как в этом

случае страховаться будут все потенциальные клиенты, следовательно,

lim р(ах,а2)=0.

я,-»0

4. Наконец, р{ах,а2) должно быть симметричной функцией относительно

переменных ах и а2, т. е. р{ах, а2)= р(а2, а{).

По-видимому, достаточно правдоподобной является следующая зависимость

р от ах и а2:

1 1 1

— 1 V «v V

p a\ a2

ill

(1.104)

удовлетворяющая всем вышеперечисленным условиям и напоминающая среднее геометрическое с некоторым параметром v 0. В данной работе будем считать, что

4 «й . (1105)

№+av2

Таким образом, выражения (1.103) можно записать в следующем виде:

Я., = —f(p\ А.2 =-Нї—/(р), (1.106)

щ +а2 ci\+ а2

тогда

= f2(eL±61)/W; .«,(«,+8,) (1 107)

«і + а2 а\ + я2

Цель каждой из компаний состоит в том, чтобы, выбирая величину средней страховой премии а(, максимизировать величину капитала компании. С математической точки зрения получившаяся задача представляет собой кооперативную игру двух лиц с ненулевой суммой. В основе решения получившейся игры лежит построение переговорного множества (множества Парето), на котором происходит согласование стратегий игроков. В работе предложен алгоритм построения переговорного множества для различных значений v и 5, рассмотрено несколько конкретных примеров его построения.

Во второй главе диссертации исследуется математическая модель функционирования страховой компании при нестационарном марковском потоке входящих страховых рисков.

В 2.1. описывается модель страховой компании. Предполагается, что

1. Компания страхует новый риск. Будем предполагать, что поток приходящих рисков - это пуассоновский поток с переменной интенсивностью с парамет ром X(t). Вероятность того, что за время At компания застрахует новый риск, равна X(t)At+o(At). Каждый новый риск приносит компании страховую премию ,, размер которой является случайной величиной с функцией распределения F (z) и моментами М{ } = ax{f), М\%2 j= a2(t). Так как величина первого страхового взноса - это прерогатива компании и может устанавливаться по её усмотрению, поэтому будем считать, что ax(t), a2{t) зависят от времени и являются величинами, которыми можно управлять. Также предположим, что ax(t\ a2(t) могут быть функциями, имеющими разрывы первого рода.

2. Будем считать далее, что по каждому из застрахованных рисков регулярно с интенсивностью Х выплачивается взнос в размере , который является случайной величиной с функцией распределения F {z) и моментами М{С)} = с1 и

М 2)= с2. Будем считать, что взносы вносятся независимо друг от друга и поэтому за время At в компанию поступит такой взнос с вероятностью kX At + o{Ai).

3. Страховое время некоторых рисков заканчивается. Будем считать, что каждый риск покидает компанию независимо от поведения других рисков с интенсивностью ц. Тогда за время At компанию покинет риск с вероятностью к иЛ/ + o(At).

4. Наконец, наступают страховые случаи. Будем считать, что с каждым клиентом может наступить страховой случай с интенсивностью \іц и эти страховые случаи для различных рисков независимы. Тогда на интервале At наступит страховой случай с вероятностью кр At + o(At), а компания при этом выплатит страховое возмещение в размере л, которое является случайной величиной с функцией распределения Fn(z) и моментами M{r\} = blt M\r\2j=b2.

В параграфе 2.2. предполагается, что поток входящих рисков пуассоновский и его параметр X{t) - непрерывная функция или функция, имеющая разрывы только первого рода. В 2.2.1. определяются выражения характеристик капитала и числа застрахованных рисков в случае неограниченного страхового поля.

Теорема 2.1. В предположениях 1)-4) математическое ожидание kl(t)=M{k(t)}, дисперсия Dk(t)u функция ковариации числа застрахованных рисков Ck(tx,t2) определяются выражениями

(2.1)

(2.2) (2.3)

о

Ск( 2)=кх(тт(іх,і2)У - І где k(tQ) число рисков в начальный момент времени.

Теорема 2.2. В предположениях 1)-4) математическое ожидание S{(t) и дисперсия капитала компании Ds(t) определяются выражениями

S,(t)=S0+ U (u)X(u)du - іИл"Сі с х 5 X

Jx(v)(l - e-?( -v))/v + (і - е- ) \\(vYvdv

(2.21)

где SQ капитал компании в момент t0.

t Ds(t)= ja2(z)l(z}lz +

+

о L dz,

(2.22)

где, для простоты SQ=0.

Теорема 2.3. В предположениях 1)-4) функция ковариации капитала и числа застрахованных рисков Csk(t) определяется выражением

ft о ]

О (0 = (c\h -biVn)\ \uk(t-uy du-не- \x(uYuduI (2.35)

-00

Ю

В 2.2.2. определены выражения для тех же что и в 2.2.1 характеристик капитала и числа рисков в случае ограниченного страхового поля (теоремы 2.4-2.6).

Теорема 2.4. Для модели с ограниченным страховым полем математическое ожидание, дисперсия и функция ковариации числа застрахованных рисков опреде ляются выражениями

:i(t) = k(t0)e ° +iVJX(z dz,

о

(2.39)

t( Dk(t)= J AX(z)+ ,(z)ui-A.(z) -2\x(t-z)-2\x(x)dx

dz, (2.40)

max (/1,) min(/i,/2)

J

С4( ,,/2) = Д(тіп( ,,/2))е

(2.41)

где k(t0) число рисков в начальный момент времени.

Теорема 2.5. Для модели с ограниченным страховым полем математическое

ожидание Si(f), дисперсия капитала Ds(t) определяются выражениями

t t

Si(t)=S0 + lNai

ц(u)\{u)du- \кл(и)а{(u)k(u)du- \Ьі\іц -с{к )щ(u)du, (2.54) о о

где S0 - капитал в начальный момент времени.

і t

(t) = N \а2{u)X{u)du + \р2\іц + с2\ )\кх(u)du- о о

- J i{и]а2{u)\{u)du + 2\bxцл -с{К f J] \Ck(z,u)du о oU

t/z y

+ 2( 1J.T1-c1 ) \Ck(z,uJai(u)X(u)+ai(z)x(z)}iu dz +

oU j

t/z \

+ 2J \Ck(z,u)al(u)X(u)al(z)x(z)du dz,

(2.55)

где, для простоты S0 = 0.

риации

Теорема 2.6. Для модели с ограниченным страховым полем, функция кова-капитала и числа застрахованных рисков Csk (t) определяется выражением

-5 (0=(сіЦ„ -bxX )\ck{t,u)du- \ск(/,и)ді("М"У« (2.71)

о о

где Ck(t,u) выражается формулой (2.41).

В 2.2.3. предполагается, что ax{t\ a2(t) влияют на интенсивность потока входящих рисков, так как уменьшение ах (t) приводит к увеличению X(t) и, наоборот, при увеличении ax(t) число желающих застраховаться уменьшается. Поэтому в общем случае предполагается, что X зависит от ах (t) и от /.

Предположение 5). Для конкретизации будем считать, что

X(t)=F(ax(t))XQ(t), (2.74)

где F(o) = 1, F(+ ОО) = 0 и F(al) монотонно убывает с ростом ax{t), XQ(t) имеет смысл максимальной интенсивности потока входящих рисков.

Теорема 2.7. В предположениях 1)-5) оптимальное управление ах(у),

О v Т, доставляющее максимум среднему значению капитала в конце рассматриваемого промежутка, определяется из уравнения

)+ =vlZf!k(l_e. v))

FMV)) ц

Следствие. При Т - оо уравнение (2.78) приобретёт вид

«,M+#fl[ = Cfk. (2.79)

что и определяет асимптотическое значение ах{у).

В параграфе 2.3 предполагается, что параметр входящего потока X(t) - непрерывный в средне квадратичном стационарный случайный процесс.

Предположение 6). Пусть характеристики X(t):

M{x(t)} = X,

M{x(tl)x(h)}=R(h-hl

Л(г)=Ло(г)+5?, limi?0(z)=0.

Z-»oo

В 2.3.1. и 2.3.2 определяются выражения для характеристик числа застрахованных рисков и капитала для неограниченного страхового поля.

(2.81) (2.81)

Теорема 2.8. В предположениях 1)-4), 6) математическое ожидание, дисперсия и функция ковариации числа застрахованных рисков определяются выражениями

Т „""И г- іІ I 2- 1! t[/2—/і »

Ск(Н ) = -е- Ч Є- - J R0(vyvdv + — JR0(vy»vdv. (2.82)

Теорема 2.9. В предположениях 1) - 4), 6) математическое ожидание - А.{ І(0} и дисперсия Ds(t) капитала компании определяются выражениями

i&WbSo + vVv-f

fiV ii А? (О = \аг М& + hцп + с2Х + - (ьгцп - сх\ f

—t

.V- .

+

и

Ifoi, -с \}\{е-» -l)+ }Д0(«-У)а,(« »,№« + f Cf&

xs V o(x/r - x - (-е- - е- +1 - е -х) + і-е"2 ))dx + І X Л2 2 ))

+ (1-е- -]к0(х)е- с1х+ 2(l-e- )- \Rs{xU-e -є + V & +

+ J 0( /l-e,w--e"f, ) + -e"1lMV

/ /

Л

JJi?0 (и - v)or, (v)(l - e- udv + (l - - ) J J/?0 (и - v , (uYvdu dv , (2.86)

.0 0 -ooVO ,

где 50 - значение капитала в начальный момент времени.

В 2.3.3 предполагается, что величина ах, обозначающая средние первоначальные взносы является функцией, зависящей от Х0(/).

Предположение 7). Пусть а{ = i( o(0)- Рассмотрим случай, когда интенсивность потока рисков X(t), страхующихся в компании, связана с X0(t) соотношением

X(t) = X0(t)F(ai(X0(t))). (2.95)

Выражение (2.95) имеет следующий смысл: X0(t) есть интенсивность потока рисков, желающих застраховаться, но реально каждый риск страхуется с вероятностью . ( ) зависящей, естественно, от величины взноса ах, таким образом, интенсивность потока рисков, которые будут застрахованы, равна X(t) = X0(t)F(cti). Желание управлять этой интенсивностью изменяя величину страхового взноса а{, находит свое отражение в том, что ах из константы превращается в функцию от X0(t),T.e. а, =Яі(Яр(0).

Теорема 2.11. В предположениях 1)-4), 7) оптимальное управление а\ ai( o( )) реализующее максимальный темп роста среднего значения капитала определяется как решение уравнения.

F(ax)+ а{+ lb. F (ax)=0. (2.100)

Теорема 2.12. Пусть Х0(и) = Х и X0(v)=X2 имеют совместную плотность

распределения вероятностей

p(Xl,X2,w)= pQ(X{,X2,w)+ р(Х1)р(Х2),

limp0(Xl,X2,w)=0,

w-хя

тогда в предположениях 1)-4), 7) асимптотическое поведение дисперсии капитала определяется выражением

D (t\ м

Jp(A0) 0 M o)) o 1

+ —

ч

+ +2- - )2

Ц

WW

— 2 J J «J (XJ J (X, 2 )X{X2F(al {Xi )) ((3, (X2 )V( i Л 2 )dh\dX 2 +

+ b -cfa

И

jj%lX2F(al(Xl))F(al(X2))R(Xl,X2yD,ldk. СіЧ т,

+ 4

JJ{XiMi&-i№( iMai( 2))W lA2) i 2 . (2.104)

» 00

Теорема 2.13. В предположениях 1) - 4), 7) в случае экспоненциально распределенных первоначальных страховых взносов оптимальное управление страховыми взносами, реализующее максимум среднего темпа роста капитала при ограничении на флуктуацию этого капитала, то есть

,. Mx{s(t)}

lim — = max, при

/-»00 t

определяется из уравнения

p(Xi)X

p- )

+ 4e,(X,)F(«i( i))+

V [CiXr -bx\inf

И

NN

J)

P"(°lM)

+

+ 21X

ii

{F(a, (X,))+ Лі (Л., ) (Лі (Л 1))}/«, (Х2 )Я2 (Лі ( 2 ) ( i . 2

(c\\-b\Vy\

/ ,))+2

Kt

\XiF{ci\ (X2 )M i 2 ) -:

(с -Ъ Л2

V )

x(F(a ))W iM i04)))

= 0. (2.109)

В третьей главе исследуются математическая модель страховой компании с учетом расходов на рекламу.

В параграфе 3.1 дается описание модели. Считается, что в момент времени t состояние страховой компании характеризуется её капиталом S(t) и числом застрахованных рисков k(t). Далее будем считать, что компания отчисляет часть своего капитала на рекламную компанию, так что на интервале [/, / + At] на её про ведение выделяется a(t)s(t)At денег, где a(t) - доля капитала, выделяемая на рекламу в единицу времени.

1. С вероятностью (Я0 +a(t) )5 ) + o(At) в компанию придет новый риск

и, страхуясь, внесёт страховую плату , которая является случайной величиной с функцией распределения F (x). Слагаемое a(t)XiS(i) описывает приток новых

рисков, обусловленный рекламой, параметр Л,0 определяет интенсивность прихода рисков, не находящихся под воздействием рекламы; параметр XY определяет эффективность рекламы.

2. С вероятностью ццk(t)At + o(At) произойдет страховой случай и компания

выплатит страховое возмещение в размере TJ , которое является случайной величиной с функцией распределения F x). Будем считать, что страховые случаи независимы.

3. С вероятностью X k(t)At + o(At) поступит очередной взнос С, от застраховавшихся в компании рисков, который является случайной величиной с функцией распределения F (x). Предполагается, что взносы осуществляются независимо

друг от друга.

4. Наконец, с вероятностью \ik(t)At + o{At) прекращается действие страхового договора и один из рисков покинет компанию независимо от других рисков.

В параграфе 3.2 исследуется модель для случая неограниченного страхового поля. В 3.2.1 находятся выражения математического ожидания капитала и числа рисков компании:

УІЇ2

CI(Y1+ 4C2(Y2+ 4 - (

УіУ2

(3.5)

sit)- константы определяются из начальных условий S(o)=S0,k(6) = к0.

В 3.2.2 определяются условия эффективности рекламы, и результаты сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1. Для модели с учетом расходов на рекламу в случае неограни ченного страхового поля реклама эффективна, если выполнено хотя бы одно из условий

h

а + 1, Х1а 1 + -. (3.8)

а

Расшифруем экономический смысл полученных условий эффективности рекламы. Рассматривая первое условие, перепишем его в виде

XxaS

а +

f -ck -bp. aS.

В последнем неравенстве слева первый сомножитель X1OLS - это интенсивность дополнительного потока рисков, который возникает из-за действия рекламы, сомножитель а+[сХ -Ь\іл)/ц - это средний доход, который получает компания от

каждого застрахованного риска,

Таким образом, выражение в левой части неравенства определяет средние дополнительные доходы, которые получает компания за счет действия рекламы в единицу времени, выражение в правой части неравенства aS - это расходы на рекламу в единицу времени. Следовательно, экономический смысл первого условия можно сформулировать следующим образом: дополнительные доходы, полученные за счет действия рекламы, должны превышать расходы на проведение рекламной компании.

Смысл второго критерия менее очевиден. Для того, чтобы его получить, представим второе неравенство из (3.8) в следующем виде:

aXxaS aS + \\S.

В этом случае левая часть неравенства akxaS - это дополнительный доход, которые получает компания за счет первоначальных взносов от рисков, привлеченных рекламой, справа aS - это, как и ранее, расходы на рекламу в единицу времени, а последнее слагаемое запишем в виде \ik(t)S/k(t) - это потери капитала, связанные

с завершением срока договоров страхования в единицу времени. Следовательно, экономический смысл второго критерия эффективности рекламы можно сформулировать в следующем виде: дополнительный доход от первоначальных взносов,

полученных за счет рекламы, больше чем расходы на ее проведение и потерь капитала, связанных с завершением срока действия некоторых договоров страхования.

Следствие. При выполнении первого условия (3.8) реклама будет эффективна при любом а 0. Второе условие (3.8) может быть выполнено лишь при Хха 1; оно даёт ограничение на величину параметра а, определяющего количество денег, выделяемых на рекламу. Имеем

с г- -т. (3.11)

Ajtf-l

То есть вкладывать деньги в рекламу стоит лишь тогда, когда параметр, соответствующий доле денег на рекламу, превышает некоторую величину.

В 3.2.3 решается следующая задача оптимального управления: пусть страховая компания начинает свою работу в момент времени t = 0 и её цель провести рекламную программу таким образом, чтобы к концу рассматриваемого промежутка времени [О, Г] темп прироста её среднего капитал стал максимальным. Критерий

Л _, M{S{T)}-S0

оптимальности определяется следующим образом: и = —. . , .. - = max. Мак симум определяется по виду ос(/), 0 ,t T с учетом ограничений 0 сс( ) а0;

SQ- капитал компании в начальный момент времени. Заметим, что это лишь одна

из постановок задач на оптимизацию рекламной деятельности. Для решения задачи рассматриваемый промежуток времени [0,Г] делится на три: [0,Г0], [7 ,7 ] и

[Г, ,Г], причем каждому из промежутков соответствует своё значение а(/):

О, 0 / Г0, a(t) = a0,TQ t Tx, О, Tx t T.

Система относительно средних капитала и числа рисков получена в 3.2.1 Система для ковариаций капитала и числа рисков выводится в данном параграфе и имеет следующий вид

й = 2a(0K - 1Ж )}+ a2a(t)M{s(t)}+ dt

+ 2{c\ -bnn]Csk(t)+(c2 kl- +b2\i4 )M{k(t)}+X0a2,

Щ = Xxo.(t)M{s{t)}+ \iM{k{t)} 2\xD{k(t)}+ 2 a(f)C5, {t}+ X0, at

= X,a(W)HK - « « )} +

+ Xlaa(t)M{s(t)}+ k0a + ( aa(f)- a(f) n)O»(0- (3-30)

Решение системы находится для каждого из промежутков, где параметр a(t) изменяет свои значения. На первом промежутке решение имеет вид

/) ,0)= - +/), +-.

(3.35)

Csk(t,0)=(cX -ЬрА- е-2 + Де- 1+С2е +(сЯ.; -6цп + яц) §-. (3.36)

Z)s ,0)=

2Я

1_М

f-(c\ -b\i ){c\ -Ьцц +a\i)+

2Д

rV + Є

- 2С2 (сХ -Ъ\хц ) 2Д [с\ - biin f V \i2

+ С3,

(3.37)

-е 2 и2 2ц

константы находятся из начальных условий Z)5(0,0)=0, Dk(0,6)=0, CSk(0,6)=0.

Далее для каждого из решений, соответствующих второму и третьему промежутку константы находятся из условий сшивания на границе M{s(T0,0)} = M{s(T0,a)},

M {S(T0 ,6)} = M {S(TQ, а)} (для решения на втором промежутке) и 5(7і,сс)= 5(7і,0), Са(Г„а)=Ся(7і,0) ,/) (Г„а)= (Г„0) (на третьем). Поэтому в выражениях для среднего значения и дисперсии капитала в момент времени Т присутствуют константы, зависящие от моментов Т0 (включение рекламы) и Тх

(выключение рекламы). При выполнении условий Т0 0 и Г0 7j Г условие максимума по по Г0 и Г, имеет вид

dU(T0,Tt)

дТп

= 0, ди(т0л)

дТх Страховая компания включает рекламу в нулевой момент времени. Далее задача сводится к отысканию с помощью численных методов такого момента Тх, при котором функция С/(0,Г,) имеет максимум.

В параграфе 3.3 исследуется модель страховой компании с учетом отчислений на рекламу в случае ограниченного страхового поля. В 2.3.1 выводится и решается система относительно средних значений капитала и числа рисков аналогично случаю неограниченного страхового поля. В 2.3.2 рассматривается стационарный режим страховой компании. Находится точка покоя системы

х„ [NX cX Ь\іц + ац)-а(ц+Х0)\+4ї5

S 2Я.,сґ

, а(А,0 -ц)+Ща(сХ -Ь +ац)+Л5

к =J\— 7 г—j=, (З.оУ)

а(Х0 + \i)+ Ю сцсХ - Ь\іц + a)i)+ -JD

в асимптотике при N - со определяются условия, при которых эта точка является устойчивой.

В 3.3.2 определяются условия эффективности рекламы (теорема 3.2) Теорема 3.2. Для модели с учетом расходов на рекламу в случае ограниченного страхового поля реклама эффективна, если выполнено хотя бы одно из условий

NX,

я + 1,

Ща 1 + . (3.77)

а

Во второй части диссертации (глава IV) предлагается и исследуется математическая модель работы фонда социального страхования при различных предположениях относительно способа страховых выплат. В отличие от обычных страховых компаний в задачу фонда входит не только оплата страховых случаев (временная нетрудоспособность, пособия по беременности и родам и т.д.), но и систематические выплаты по реализации региональных и отраслевых программ по охране здоровья работников, санаторно-курортному лечению, обслуживанию детей и т.д.

Все это требует изменения классической модели работы страховой компании и решения задач оптимального в каком-то смысле управления капиталом такого фонда. В параграфе 4.2 строится диффузионная аппроксимация деятельности фонда. Основной характеристикой состояния фонда является его капитал S(t) в момент времени /. С этим капиталом происходят следующие изменения:

1. В фонд поступают средства от предприятий и организаций. Мы будем считать, что они поступают непрерывно во времени со скоростью с0.

2. Фонд выделяет часть своих средств на социальные программы. Мы будем считать, что эти средства также выделяются непрерывно во времени, однако

скорость их выделения с (S) зависит от величины капитала S в данный момент времени.

Величину CQ-C (S) МЫ в дальнейшем будем обозначать как c(S). Таким образом, c(S) есть скорость изменения капитала за счет детерминированных расходов и она зависит от величины капитала . Именно в наличии слагаемого с (S) и зависимости c(S) от S и заключается отличие данной модели от классической.

3. Происходят страховые выплаты, Будем считать, что поток страховых выплат является пуассоновским потоком постоянной интенсивности X, и сами страховые выплаты являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения F (t) и начальными моментами

МЙ} = Й,ЙЩ2} = Й2 Кроме того, будем считать, что достижение порога S(t) = 0 не приводит к разорению фонда, и даже при S(t) 0 он продолжает функционировать, только происходят задержки по страховым выплатам.

Заметим, что процесс S(t) - марковский процесс. Обозначим P(S, t) = r{S S(t) S + dS}/dS.

Теорема 4.1. Если

1. плотность распределения вероятностей P(S, і) дифференцируема по /,

2. произведение c(S)P(S, і) дифференцируемо по S,

со

3. несобственный интеграл jP(S + u,t)dF (u) конечен,

О то плотность распределения вероятностей P(S, і) удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова следующего вида

Й.іШ.фК #). (4Л)

Решение уравнения (4.1) в общем виде представляет определенные математические проблемы, сделав ряд дополнительных предположений, его можно найти, воспользовавшись методом асимптотического анализа марковизируемых систем. Сформулируем дополнительные предположения, пусть процесс S(t) принимает достаточно большие значения, если выберать бесконечно малый параметр є 0 таким образом, чтобы при є -» О процесс s2S(t) не равен тождественно нулю.

c(5)=ci(e25 ), tz2 = т, Ss2 = х(т)+гу, -P(S,t) = U(y,т,є), (4.3)

о

Теорема 4.2. Если

1. функция с,(х) дифференцируема,

2. существует конечный предел lim П(у, т, є)=П(у, х),

3. функция П(у, т) дифференцируема по т и дважды по у, то функция П(у, т) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка вида

5т ду 2 ду2

При этом функция х(т) определяется как решение дифференциального уравнения

4й С М- 1- (4.6)

ах

Из полученного уравнения (4.5) следует, что процесс

frefr 2 )- ),

s

в пределе при є - 0 по распределению сходится к процессу у(х), удовлетворяющему стохастическому дифференциальному уравнению вида

dy(x) = с[ (x(x))ydx + Jkaldw(x), (4.8)

где w(t) - стандартный винеровский процесс.

Из уравнений (4.6) и (4.8) вытекает следующее утверждение.

Теорема 4.3. Если функция сх (х) дважды дифференцируема, то случайный процесс

z(x) = x(x)+ey(x) (4.9)

удовлетворяет равенству вида

є2

dz(x) = (с, (z) - Я-Л] )dx + e Xa2 dw(x)+—R2dx, (4.10)

где R2 = -y2c"(syQ), 0 . Є й 1.

Таким образом, показано, что процесс S(t) можно аппроксимировать решением стохастического дифференциального уравнения

dS(t) = (c(S)-alX)dt + a2Ydw(t). (4.13)

Так как фонд не стремится к неограниченному накоплению капитала, то существует стационарное (финальное) распределение вероятностей p(S) капитала S.

2

p(S) = С • ехр — \(c(S) - a,X)dS

а Д

(4.14)

где константа С находится из условия нормировки.

Далее в 4.2.3 находится плотность вероятностей величины капитала S при фиксированном релейном управлении. В 4.2.4 определяются вероятностные характеристики деятельности фонда при фиксированном управлении: вероятность неплатежеспособности фонда и вероятность выделения денег на социальные расходы - и предложена процедура, позволяющая определить параметры управления, которые обеспечивают заданные вероятностные характеристики работы фонда. В 4.2.5 и 4.2.6 аналогичная задача решается для релейно-гистерезисной процедуры управления капиталом.

В параграфе 4.3. получены точные формулы для плотности вероятностей капитала фонда в стационарном режиме и предложена процедура, позволяющая определить параметры управления, которые обеспечивают заданные вероятностные характеристики работы фонда, в предположении, что страховые выплаты распределены по экспоненциальному закону, когда поток страховых выплат является пу-ассоновским потоком постоянной интенсивности X, и сами страховые выплаты являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальным распределением р (х) = ехр{- х/а}/а, х 0.

В 4.4. решена задача нахождения вероятностных характеристик капитала фонда при произвольном законе управления его капиталом, но в отсутствии гистерезиса при этом управлении.

Третья часть диссертации (главы V-VI) посвящена вопросам разработки программного комплекса, реализующего имитационное моделирование рассмотренных в предыдущих главах случайных процессов дискретно-событийным методом. В главе V методами объектно-ориентированного анализа и проектирования разработан каркас для реализации приложений имитационного моделирования, основанных на дискретно-событийном методе. В параграфе 5.1. проанализированы существующие подходы к реализации имитационных моделей, связанные с использованием специализированных пакетов имитационного моделирования и разработкой на основе универсального языка программирования. Выявлены достоинства и недостатки этих подходов, и, таким образом, обоснована возможность разработки соответствующего каркаса. В качестве средства документирования каркаса выбран унифицированный язык моделирования UML.

В параграфе 5.2. рассмотрены элементы дискретно-событийной имитационной модели. В 5.2.1 приведено формальное описание метода моделирования, а в 5.2.2 выполнена функциональная декомпозиция элементов дискретно-событийной модели, проиллюстрированная соответствующей диаграммой состояний (рис. 5.2).

Параграф 5.3. посвящен вопросам применения стандартной трехуровневой архитектуры в рамках приложения, реализующего дискретно-событийное имитационное моделирование. Взаимодействие логических уровней приложения строится с использованием типовых решений проектирования (шаблонов, паттернов проектирования). Абстрактная фабрика используется в рамках каркаса для разделения логики моделирования и визуального представления модели и обеспечивает четкое функциональное и предметное разделение модулей программы (шаблоны распределения обязанностей высокое зацепление и слабая связанность). Для обеспечения механизма передачи команд между уровнями приложения используются другие типовые решения медиатор - одиночка и команда.

В параграфе 5.4. рассмотрены вопросы, связанные с проектированием уровня бизнес-логики в рамках стандартной трехслойной архитектуры. В 5.4.1 приведено решение, позволяющее использовать диаграммы активности и диаграммы со стояний UML для документирования метода представления событий с помощью графов, предложенного L.W. Schruben. Далее в 5.4.2. рассмотрена задача организации моделей, имеющих сложную иерархическую структуру с применением паттерна компоновщик. Для инициализации компоновщика используется типовое решение строитель. Приведены примеры организации объектов, формирующих модель, в рамках компоновщика. В 5.4.3 рассмотрена проблема взаимодействия с библиотечными пакетами, для решения которой предлагается использовать паттерны стратегия и адаптер. Наконец, в 5.4.4.описан порядок инициализации и разработки имитационной модели с помощью каркаса.

В главе VI дано краткое описание программного обеспечения имитационного моделирования работы страховых компаний для вариантов, рассмотренных в теоретической части диссертации, которое иллюстрирует возможности каркаса для разработки приложений имитационного моделирования в рамках дискретно-событийного метода.

В процессе эксплуатации программного обеспечения были проверены всевозможные комбинации параметров, при которых соблюдаются условия нормальной работы компании. Несмотря на разнообразие результатов, полученных при моделировании систем с различными наборами параметров и достаточное различие отдельных реализаций внутри одной и той же модели, результаты имитационного моделирования подтверждают аналитические формулы, полученные предыдущих главах.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные научные результаты, полученные автором и выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Разработана математическая модель страховой компании в виде двумерного случайного процесса, компонентами которого являются капитал компании и число застрахованных рисков, и получены вероятностные характеристики этих процессов для случаев неограниченного и ограниченного страхового поля.

2. Найдены характеристики капитала страховой компании и числа застрахованных рисков в случае, когда интенсивность потока входящих рисков зависит от времени и когда она является случайным процессом (дважды стохастические модели потока входящих рисков).

3. Рассмотрено конкурентное взаимодействие двух страховых компаний на рынке страховых услуг и построено переговорное множество (множество Парето) для такого взаимодействия.

4. Рассмотрены вопросы управления страховой премией и найдено оптимальное управление ею в зависимости от интенсивности потока входящих рисков.

5. Построена математическая модель влияния рекламы на деятельность страховой компании и найдено оптимальное управление средствами, отводимыми на рекламу, в период рекламной кампании.

6. Построена математическая модель фонда социального страхования и найдены основные вероятностные характеристики капитала фонда при релейно-гистерезисном управлении капиталом фонда.

7. Построен каркас приложений имитационного моделирования страховых компаний и систем массового обслуживания дискретно-событийным методом и создан программный комплекс, реализующий имитационное моделирование в рамках, рассмотренных в диссертации моделей.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ

Исследование носило теоретический характер и проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории управления, методов оптимизации, методов объектно-ориентированного анализа и проектирования.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ

Теоретическая ценность работы, по мнению автора, состоит в том, что в ней предложены и исследованы математические модели страховых компаний в виде двумерного случайного процесса.

Фактически пионерской является предложенная и исследованная автором математическая модель фонда социального страхования; исследования в этом направлении могут быть продолжены.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ

Практическая ценность работы, по мнению автора, заключается в том, что полученные в ней результата могут быть использованы для прогнозирования дея тельности страховых компаний и фондов социального страхования.

Разработанный программный комплекс может быть использован для имитационного моделирования деятельности страховых компаний при предположениях, отличных от принятых в настоящей работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ

Содержание работы опубликовано в 68 печатных работах. Основное содержание работы отражено в следующих публикациях в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов докторских диссертаций:

1. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов.// Известия вузов. Физика. № 4.1999, с. 34-39.

2. Змеев О.А. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с интенсивностью входного потока, зависящей от числа имеющихся рисков.//Известия вузов. Физика. №4.2000, с. 10-16.

3. Змеев О.А. Математические модели функционирования страховой компании с учетом банковского процента.// Известия вузов. Физика. №1.2001, с. 19-25.

4. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании.// Известия вузов. Физика, № 6.2001, с. 3-7.

5. Змеев О.А. Построение переговорного множества при конкурентном взаимодействии двух страховых компаний.// Известия вузов. Физика, № 2. 2002, с. 24-28.

6. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Оптимизация деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу.// Вестник Том. гос. ун-та. № 275, 2002, с. 181-184.

7. Змеев О.А., Лезарев А.В. Шаблон объектного проектирования для реализации функциональности процесса моделирования в имитационных моделях систем массового обслуживания.// Вестник Том. гос. ун-та. № 275,2002, с. 108-111.

8. Змеев О.А., Моисеев А.Н. Шаблон диаграммы компонентов информационной системы корпоративного уровня.// Вестник Том. гос. ун-та. № 275, 2002, с. 130-132.

9. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Нахождение характеристик страховой компании с нестационарным входящим потоком и ограниченными числом рисков.// Вест-ник Том. гос. ун-та. Приложение №1 (I), 2002. С. 3-8.

10. Змеев О.А., Моисеев А.Н., Новиков Д.В. К вопросу проектирования уровня хранения в виде OOP ДБ.// Вестник Том. гос. ун-та. Приложение №1 (II), 2002. С. 363-367.

11. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы (диффузионное приближение).// Известия вузов. Физика, № 3. 2003, с. 83-87.

12. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования со случайными расходами на социальные программы (диффузионное приближение).//Известия вузов. Физика, № 3.2003, с. 88-93.

13. Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах.// Вестник Том. гос. ун-та, 2003, №280. С. 130-135.

14. Змеев О.А., Моисеев А.Н. Сравнительный анализ некоторых методов O-R-преобразования.//Вестник Том. гос. ун-та, 2003, № 280. С. 263-271.

15. Вальц О.В., Змеев О.А. Диффузионная аппроксимация модели фонда социального страхования с релейно-гистерезисным управлением капитала // Известия вузов. Физика, 2004. № 2. - С. 26-31.

16. Змеев О.А. Деятельность фонда социального страхования при релейно-гисте-резисном управлении капиталом.// Математическое моделирование, 2004, т.16,№2.-С.43-53.

17. Вальц О.В., Змеев О.А. Исследование модели фонда социального страхования.// Обозрение прикладной и промышленной математики. ТИ. Вып. 2. 2004.-С. 311-312.

18. Вальц О.В., Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах и случайными расходами на социальные программы.// Вестник Том. гос. ун-та. № 284, 2004. С. 37-41.

19. Войтиков К.Ю., Змеев О.А., Моисеев А.Н., Якушев А А. Архитектура надстраиваемых приложений клиент/сервер с обобщенным протоколом передачи данных.//Вестник Том. гос. ун-та. № 284,2004. С. 169-173.

20. Змеев О.А., Приступа А.В. Разработка объектно-ориентированного программного комплекса имитационного моделирования систем массового обслуживания.// Вестник Том. гос. ун-та. № 284,2004. С. 174-176. Частично результаты, отражающие основное содержание работы, опубликованы в монографии

Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 178 с. В ней автору принадлежит глава 4. Кроме этого, по работе имеются следующие публикации:

1. Змеев О.А., Змеева Е.Е. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Наука и образование: пути интеграции. Часть 2. Тезисы докладов. Анжеро-Судженск. 1998, с. 32-33.

2. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Модель функционирования страховой компании при интенсивности потока, зависящего от числа клиентов // Наука и образование: пути интеграции. Часть 2. Тезисы докладов. Анжеро-Судженск. 1998, с. 33-34.

3. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Сб. статей. - Томск: Изд-во Том. унта, 1999.-С. 67-73.

4. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний // Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция. Тезисы докладов. Барнаул. 1999, с. 88-90.

5. Змеев О.А. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с интенсивностью входящего потока, зависящей от числа клиентов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей- Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. - Вып. 1. - С. 57-66.

6. Змеев О.А. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных клиентов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей- Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. - Вып. 1. - С. 66-75.

7. Змеев О.А., Змеева Е.Е. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с интенсивностью входного потока, зависящей от числа имеющихся рисков // Качество образования и наука. Тезисы докладов. Анжеро-Судженск. 1999, с. 32-33.

8. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с конечным числом возможных рисков // Качество образования и наука. Тезисы докладов. Анжеро-Судженск. 1999, с. 33-34.

9. Змеев О.А. Математическая модель страховой компании с «работающим» капиталом.// Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса. Ч. I. Межрегиональная научно-методическая конференция. Тезисы докладов. Анжеро-Судженск. 2000.

10. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Модель страховой компании с ограничением на число клиентов с учетом банковского процента // Математическое моделирование экономических систем и процессов. Всероссийская научно-практическая конференция. Тезисы докладов. Чебоксары. 2000, с 60-63.

11. Змеев О.А., Змеева Е.Е. Определение вероятностных характеристик времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей-Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. - Вып. 2. - С. 70-78.

12. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных рисков // Экономика, технология, предпринимательство. Сб. статей. Томск. 2000, с. 60-67.

13. Змеев О.А., Моисеев А.Н., Погудин А.А. Использование объектно-ориентированного проектирования для модификации модели базы данных в среднем звене многоуровневой информационной системы.// II научно-практическая конференция «Наука и образование». Тезисы докладов. Белове 2001, с. 44-46.

Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом банковского процента.// Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. Международная науч но-практическая конференция. Часть 3. Тезисы докладов. Новочеркасск. 2001,

с. 33-36.

15. Змеев О.А. Математические модели страхования в виде дважды стохастического случайного процесса.// Образование и наука в третьем тысячелетии. Третья международная научно- теоретическая конференция. Часть 1. Тезисы докладов. Барнаул. 2001, с. 46.

16. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу при ограниченном числе клиентов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. - Вып. 3. - С. 3-14.

17. Змеев О.А. Нестационарный режим в математической модели функционирования страховой компании с учетом банковского процента/// «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование производство». Материалы всероссийской научно-практической конференции. Часть II. (Математика). Тезисы докладов. Анжеро-Судженск. 2001, с. 44-45.

18. Змеев О.А. Нестационарный режим для математической модели функционирования страховой компании с интенсивностью входного потока, зависящей от числа клиентов.// Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. - Вып. 3. - С. 45-53.

19. Змеев О.А., Масяйкин С.А. Расчет характеристик страховой компании с учетом расходов на рекламу.// «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование производство». Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Часть II. Тезисы докладов. Анжеро-Судженск. 2001, с. 36-37.

20. Змеев О.А., Моисеев А.Н., Новиков Д.В. Технология хранения объектов в реляционной базе данных.// «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование производство». Материалы всероссийской научно-практической конференции. Часть VI. Тезисы докладов, г. Анжеро-Судженск. 2001, с. 19-20.

21. Войтиков К.Ю., Змеев О.А., Моисеев А.Н. Реализация классификаторов на сервере приложений в трехзвенной архитектуре «клиент/сервер» // «Новые информационные технологии в университетском образовании». Тезисы международной научно-методической конференции. Кемерово, 2002, с. 120-122.

22. Гарайшина И.Р., Змеев О.А. Расчет математического ожидания капитала страховой компании с учетом банковского процента в нестационарном режиме // Сборник трудов межрегиональной VI научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Тезисы докладов. Анжеро-Судженск. 2002, с. 41-43.

23. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Исследование математической модели страховой компании при нестационарном потоке рисков // Математические методы в финансах и экономике. Материалы второй международной конференции «Проблемы актуарной и финансовой математики». Минск, 2002, с. 5-Ю.

24. Змеев О.А., Масяйкин С.А. Построение переговорного множества при конкурентном взаимодействии двух страховых компаний // Математические методы в финансах и экономике. Материалы второй международной конференции «Проблемы актуарной и финансовой математики». Минск, 2002, с. 20-24.

25. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Нахождение характеристик работы страховой компании с нестационарным входящим потоком клиентов // Труды I Всероссийской ФАМ конференции. Ч. II. Красноярск, 2002, с. 20-27.

26. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Нахождение характеристик капитала страховой компании с нестационарным входящим потоком, параметр которого случайная функция.// Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 2002, с 23-26.

27. Змеев О.А., Лезарев А.В. Функциональные требования для систем имитационного моделирования систем массового обслуживания.// Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 2002, с 128-130.

28. Змеев О.А., Моисеев А.Н., Новиков Д.В. Решение проблемы переполнения «родительских» таблиц в ООРБД.// Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 2002, с 130-131.

29. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Математическая модель функционирования страховой компании с входящими рисками в виде пуассоновского потока событий

с переменной интенсивности.// Обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - Вып. 4. - С. 3-12.

30. Войтиков К.Ю., Змеев О.А., Моисеев А.Н. Объектный подход к проблеме проектирования подсистемы нормативно-справочной информации.// Обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей-Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - Вып. 4. - С. 13-20.

31. Змеев О.А. Построение переговорного множества при конкурентном взаимодействии двух страховых компаний.// Обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - Вып. 4. -С. 33-47.

32. Змеев О.А., Моисеев А.Н., Новиков Д.В. Применение метаданных при проектировании уровня хранения в системах, использующих ООРБД // Обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей.- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - Вып. 4. - С. 48-53.

33. Войтиков К.Ю., Змеев О.А., Моисеев А.Н. К вопросу о реализации классификатора в объектно-ориентированной информационной системе // Вестник Кем. гос. ун-та № 2(10). Кемерово. 2002, с. 167-177.

34. Ахмедова Д. Д., Змеев О. А. Оптимальное управление первоначальным страховым взносом при деятельности страховой компании.// II Всероссийская ФАМ конференция: Тезисы докладов. Красноярск, 2003, с. 57.

35. Змеев О.А. Диффузионное приближение в математической модели фонда социального страхования со случайными расходами на социальные программы.// II Всероссийская ФАМ конференция: Тезисы докладов. Красноярск, 2003, с. 62.

36. Войтиков К.Ю., Змеев О.А., Моисеев А.Н. Основные функциональные требования к подсистеме «Брокер объектных запросов» в рамках унифицированного процесса разработки программного обеспечения.// Обработка данных и управление в сложных системах. Сб. статей- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. -Вып. 5.-С. 3-13.

Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы при ре-лейно-гистерезисном управлении капиталом.// Обработка данных и управле ниє в сложных системах. Сб. статей-Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. - Вып. 5.-С. 42-56.

38. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Характеристики числа рисков и капитала страховой компании при зависимости среднего первоначального взноса и средних страховых выплат от времени.// Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Наука и практика: диалоги нового века» Часть 3. Томск: Изд-во «Твердыня», 2003. С. 23-24.

39. Змеев О.А., Моисеев А.Н., Якушев А.А. Каркас брокера распределенной объектной базы данных // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Наука и практика: диалоги нового века» Часть 3. Томск: Изд-во «Твердыня», 2003. С. 93-95.

40. Змеев О.А., Приступа А.В. Классификация коммерческих систем имитационного моделирования // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Наука и практика: диалоги нового века» Часть 3. Томск: Изд-во «Твердыня», 2003. С. 93-95

41. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Оптимальное управление первоначальным страховым взносом при деятельности страховой компании // Труды II Всероссийской ФАМ конференции. Ч. II. Красноярск, 2002, с. 21-24.

42. Змеев О.А. Диффузионное приближение в математических моделях фонда социального страхования // Труды II Всероссийской ФАМ конференции. Ч. И. Красноярск, 2002, с. 80-85.

43. Змеев О.А., Приступа А.В. Применение паттернов проектирования при построении систем имитационного моделирования // Материалы VIII Всеросс. научн.-практ. конф. «Научное творчество молодежи». Томск: Изд-во ТГУ, 2004. С. 34-36.

44. Змеев О.А., Приступа А.В. Диаграммы состояния UML как способ представления графа событий имитационной модели системы массового обслуживания.// Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. - Томск: Изд-во ТГУ, 2004. - С. 76-81.

Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Модель страховой компании с нестационарным потоком входящих рисков и переменной интенсивностью наступления стра ховых случаев.// Ill Всероссийская ФАМ конференция: Тезисы докладов. Красноярск, 2004, с. 14.

46. Вальц О.В., Змеев О.А. Диффузионная аппроксимация модели фонда социального страхования с релейно-гистерезисным управлением капиталом.// Ш Всероссийская ФАМ конференция: Тезисы докладов. Красноярск, 2004, с. 17.

47. Pristupa А. V., Zmeyev О. A. 8th Korea - Russia International Symposium on Science and Technology KORUS 2004, Tomsk, RUSSIA, June 26 - July 3, 2004, Vol. LP. 141-144.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на:

1. Межрегиональной научно-практической конференции «Наука и образование: пути интеграции» Анжеро-Судженск. 1998.

2. Научно-теоретической конференции «Образование и наука на пороге третьего тысячелетия». Барнаул. 1999.

3. Межрегиональной научно-практической конференции «Качество образования и наука». Анжеро-Судженск. 1999.

4. Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса». Анжеро-Судженск. 2000.

5. Всероссийской научно-практической конференции «Математическое моделирование экономических систем и процессов». Чебоксары. 2000.

6. II научно-практической конференции «Наука и образование». Белово. 2000.

7. Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Новочеркасск. 2001.

8. III международной научно-теоретической конференции «Образование и наука в третьем тысячелетии». Барнаул, 2001.

9. Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование производство». Анжеро-Судженск. 2001.

10. Международной научно-методической конференции «Новые информационные технологии в университетском образовании». Кемерово, 2002.

11. Межрегиональной VI научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск. 2002.

12. II международной конференции «Проблемы актуарной и финансовой математики». Минск, 2002.

13. I, II, III Всероссийской ФАМ конференции. Красноярск, 2002,2003,2004.

14. IV Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Томск, 2002.

15. Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2002.

16. Всероссийской научно-практической конференции «Наука и практика: диалоги нового века». Анжеро-Судженск, 2003.

17. VIII Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2004.

18. V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Кисловодск,2004.

19. 8th Korea - Russia International Symposium on Science and Technology KORUS 2004, Tomsk, RUSSIA, 2004.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор хотел бы выразить огромную благодарность доктору физ.-мат. наук, профессору А.Ф. Терпугову, доктору технических наук, профессору А.А. Назарову, доктору технических наук, профессору К.И. Лившицу за неоценимую помощь в работе над диссертацией; кандидату технических наук А. Н. Моисееву, кандидатам физико-математических наук Д. Д. Ахмедовой (Даммер) и Е.Е. Змеевой, совместная работа с которыми привела к ряду результатов, изложенных в настоящей диссертации; аспирантам и студентам, которые в разные годы работали под моим руководством и выполняли различного рода исследования, связанные с тематикой настоящей диссертации: О.В. Вальц, К.Ю. Войтикову, И.Р. Гарайшиной, А.В. Ле-зареву, С.А. Масяйкину, Д.В. Новикову, А.А. Погудину, А.В Приступе, А.А. Якушеву.