Содержание к диссертации
Введение 4
1 Постановка задачи о периодических решениях динамической систе
мы с запаздыванием и подкачкой 8
Постановка задачи 8
Исторический очерк работ, посвященных исследованию динамических систем с запаздыванием и возможностью подкачки 9
Технические и экономические приложения исследуемой в работе математической модели динамической системы 11
Некоторые свойства решений простейшего дифференциального уравнения с запаздыванием и корней его характеристического уравнения . 15
Выводы по Главе 1 20
2 Исследование периодических процессов в непрерывной динамиче
ской системе с запаздыванием и возможностью подкачки 22
Предварительные замечания 22
Необходимые условия существования колебаний в системе (2.1) 23
Использование интегрального преобразования Эйлера-Лапласа для нахождения периодических решений исследуемой динамической системы с длинами периодами большими 2 25
Свойства функции F(t) 29
Периодичность решения, полученного в виде экспоненциального разложения 32
Случай т = 2 35
Доказательство существования и единственности положительного периодического решения непрерывной динамической системы 35
Исследование возможности существования периодических решений динамической системы с запаздыванием и подкачкой с периодами г < 2 . 43
Случай |<т<2 43
Случай т = \ 45
Случай 1 < г < 47
Частный случай г = | 49
Случай т = 1 51
Случай т < 1 51
Вариант т0 > \ 52
1~
Вариант т0 < \ 53
Случай т0 = \ 55
Условие существования колебаний в системах с подкачкой 56
Исследование периодических решений в динамической системе с несколькими запаздываниями и возможностью подкачки 58
Выводы по главе 2 61
3 Исследование периодических решений в конечномерных динамиче
ских системах с возможностью подкачки 62
Исследование дискретной системы 62
Случай 0
Случай h > 1 64
Случай \
Задача о границах параметра h при которых в системе существует периодические решения с периодом п > 1 68
Исследование устойчивости периодического решения дискретной динамической системы (3.1) "в целом" 70
Исследование периодических решений в непрерывной динамической системе второго порядка с подкачкой 73
Постановка задачи 73
Характеристическое уравнение и план дальнейшего исследования 74
Случай действительных некратных корней характеристического уравнения 74
Случай действительных кратных корней характеристического уравнения 79
Случай комплексных корней характеристического уравнения . . 80
Исследование возможности существования периодических колебаний в динамической системе второго порядка с использованием преобразования Эйлера-Лапласа. Сравнение возможностей методов исследования 83
3.8 Исследование динамики "в целом"для линейной непрерывной системы
второго порядка с возможностью подкачки 85
Случай различных действительных корней 85
Случай кратных действительных корней 89
Случай комплексных корней 91
3.9 Выводы по Главе 3 94
4 Алгоритмы численных расчетов процессов в динамических системах
с запаздыванием, релаксацией и подкачкой 97
Алгоритм численного нахождения корней трансцендетного характеристического уравнения 97
Алгоритм численного нахождения нулей функции F(r) 98
Алгоритм численного нахождения периодического решения непрерывной динамической системы в виде экспоненциального разложения . . . 101
Алгоритм прямого численного решения исходной системы 104
4.5 Выводы по главе 4 104
Список использованных источников 111
ПРИЛОЖЕНИЕ 114
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В диссертации исследовались, представляющиеся в настоящее время важными и перспективными в плане применения, динамические системы с наличием запаздывания и подкачек. Многие динамические системы являются составными и содержат в себе несколько связанных между собой подсистем. Во многих случаях процессы в различных подсистемах сильно различаются по времени. В таких случаях целесообразно изучать предельные динамические системы, в которых быстрые процессы в некоторых подсистемах считаются мгновенно проходящими. В этих случаях результат таких процессов сказывается в медленной части системы в виде мгновенного изменения некоторых фазовых координат. Такое явление называется подкачкой. В теоретических работах и в приложениях теории колебаний изучались и использовались только простейшие динамические системы в виде обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с подкачкой. Классическим примером таких разрывных колебаний являются генераторы пилообразного напряжения.
Отсутствие общих аналитических методов исследования не позволяло изучать периодические процессы в системах с подкачкой и сдерживало возможность разработки устройств, описываемых такими математическими моделями. Несмотря на то, что были известны некоторые свойства простейших систем с запаздыванием и подкачкой, а также сформулирован ряд гипотез о существовании и единственности периодических решений в них, отсутствие общих методов решения этих вопросов не позволяло накапливать опыт решения поставленных задач. Поэтому на данный момент развития исследования этой проблематики возникла необходимость разработки специального аппарата аналитического исследования для изучения уже поставленных задач, как в случае непрерывных, так и для дискретных моделей динамических систем с подкачкой, а также доказательства и проверки высказанных гипотез.
Особый интерес представляют динамические системы с запаздыванием, как пример бесконечномерной динамической системы. Математические модели для систем с запаздыванием и подкачкой были впервые предложены А.Д. Мышкисом. Им же были осуществлены первые исследования в этой области и высказан ряд гипотез, которые изучались в настоящей работе. Разрабатываемый математический аппарат исследования должен быть приспособлен и для исследования такого рода систем. Необходимо находить при заданных значениях параметров все периодические процессы, а также выделять те из них, которые обладают свойствами, обусловленными условием подкачки. В простейших случаях такое условие является условием неотрицательности решения. Также требуется находить все множество значений параметров, при которых существуют периодические решения, а также проводить исследо-
вания устойчивости этих решений.
Цель работы. Целью работы является разработка новой методики исследования непрерывных и дискретных динамических систем с условием возможной подкачки, как содержащих запаздывание, так и без него. В соответствии с поставленной целью основными задачами исследования являются:
Найти максимальное множество значений параметра непрерывной динамической системы первого порядка с запаздыванием и условием подкачки для которых справедлива теорема о существовании положительных периодических решений.
Для каждого значения параметра в найденной области проверить наличие единственности положительного периодического решения, сформулировав и доказав теорему единственности этого решения.
Найти аналитическое выражения для периодического решения непрерывной динамической системы первого порядка с запаздыванием и условием подкачки в виде ряда или конечного выражения.
Найти максимальное множество значений параметра дискретной динамической системы второго порядка с условием подкачки, для которых справедлива теорема о существовании положительных периодических решений.
Для каждого значения параметра в найденной области проверить наличие единственности положительного периодического решения дискретной динамической системы второго порядка с условием подкачки, сформулировав и доказав теорему единственности этого решения.
Найти аналитическое выражения для периодического решения дискретной динамической системы второго порядка с условием подкачки. Исследовать найденные решения на устойчивость в малом. Исследовать периодические решения на устойчивость в целом.
Для непрерывной динамической системы второго порядка с условием подкачки найти максимальную область значений параметров, при которых существует единственное периодическое решение. Исследовать это периодическое решение
на устойчивость.
Методика исследования. Методологические исследования проведены на основе использования интегрального преобразования Эйлера-Лапласа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории разностных уравнений, качественной теории динамических систем, теории устойчивости.
Научная новизна. Научная новизна исследования заключается в следующем:
1 Специально для модели непрерывных динамических систем с запаздыванием и без него автором был впервые использован метод, основанный на интегральном преобразовании Эйлера-Лапласа, который позволяет свести изучение исходной системы с возможностью подкачки к изучению специального рода бесконечномерной, в случае наличия запаздывания, системы разностных уравнений. Исследование полученной системы разностных уравнений позволило получить аналитическое выражение для периодического решения непрерывной динамической системы первого порядка с запаздыванием и условием подкачки в виде экспоненциального ряда.
С помощью преобразования Эйлера-Лапласа найдены интегральные оценки полученного экспоненциального решения в виде однократных и двукратных интегралов специального вида, позволившие для системы первого порядка с запаздыванием и подкачкой сформулировать и доказать теорему существования и единственности однофрагментных положительных периодических решений для параметра системы к, принадлежащего интервалу (e_1,ln(l + \/2)].
При исследовании дискретной системы второго порядка с возможностью подкачки изучены все случаи, при которых существуют однофрагментные периодические решения. Найден аналитический вид периодического решения и длина периода. Доказано, что помимо найденных аналитически периодических решений, других не существует. Доказано, что при фиксированном значении параметра дискретной динамической системы, в ней может существовать не более двух однофрагментных положительных периодических решений. Исследована устойчивость найденных периодических решений в целом.
Для непрерывной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки найдены необходимые и достаточные условия существования периодических решений. Доказана единственность периодических решений при каждом конкретном значении параметров непрерывной системы второго порядка. Найденное периодическое решение исследовано на устойчивость в целом.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит, как теоретический, так и практический характер. Теоретическая ценность исследования состоит в разработке аналитических методов нахождения периодических решений исследуемых динамических систем с подкачкой с помощью интегрального преобразования Эйлера-Лапласа. Этот гибкий аппарат создает возможность исследовать вопросы связанные с существованием и единственностью периодических решений и исследовать их на устойчивость.
Практическая значимость исследования заключается в возможности применения разработанных математических моделей и аппарата их исследования для динамических систем более общего вида, а также для изучения колебательных процессов в целом ряде электронных устройств (ключевых схем, генераторов колебаний специальной формы, преобразователей напряжения из постоянного в переменное).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников. Текст изложен на 119 страницах, содержит 32 рисунка и 2 таблицы.
