Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математические модели эволюционных процессов на пространственных сетях 10
1. Математические модели гемодинамических процессов 10
1.1. Диффузионные процессы гемодинамики 10
1.2. Математическая модель процесса переноса
веществ по графу сосудов при наличии диффузии 13
1.3. Пульсовые волны в кровеносных сосудах 14
2. Математические модели физического происхождения 16
2.1. Моделирование колебаний мачты и поддерживающих ее растяжек. Антенные конструкции 16
2.2. Одноуровневая система «мачта-растяжки» 16
2.3. Двухуровневая система «мачта-растяжки» 19
2.4. Многоуровневая система «мачта-растяжки» 21
3. Другие задачи естествознания на сетях. Задачи
Глава II. Краевые и начально-краевые задачи на пространственных сетях 25
1. Основные понятия и обозначения 25
2. Разрешимость краевых задач 34
2.1. Обобщенные решения краевых задач 34
2.2. Вспомогательные утверждения 36
2.3. Энергетическое неравенство. Теорема единственности 41
2.4. Разрешимость задачи Дирихле 43
2.5. Разрешимость общей краевой задачи 47
3. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнения
3.1. Предварительные рассуждения 51
3.2. Однозначная разрешимость начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности 53
3.3. Однозначная разрешимость начально-краевой задачи для уравнения общего вида 59
4. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа 65
4.1. Общие утверждения 65
4.2. Существование обобщенного решения 69
4.3. Единственность обобщенного решения 71
5. Начально-краевые задачи с краевыми условиями 2-го и 3-го рода 73
6. Оптимальные решения для дифференциальных систем с распределенными параметрами на сетях 75
6.1. Оптимальные решения для параболических систем 76
6.2. Оптимальные решения для гиперболических систем 77
Выводы 79
Глава III. Метод конечных разностей для математических моделей эволюционных процессов на пространственных сетях 80
1. Аппроксимация краевой задачи для эллиптического уравнения 81
1.1. Разностная схема 84
1.2. Устойчивость разностной схемы 85
1.3. Сходимость разностных решений 87
1.4. Краевые условия общего вида 88
2. Аппроксимация начально-краевой задачи для параболического уравнения 88
2.1. Вспомогательные предложения 89
2.2. Разностная схема 91
2.3. Устойчивость разностной схемы 92
2.4. Сходимость решений разностной схемы 94
3. Аппроксимация начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 94
3.1. Аппроксимация, разностная схема 95
3.2. Устойчивость разностной схемы. Сходимость приближенных решений 96
4. Алгоритмическое описание процесса отыскания решений краевой и начально-краевых задач 98
4.1. Алгоритм отыскания решения краевой задачи для эллиптического уравнения 989
4.2. Алгоритм отыскания решения начально-краевой задачи для параболического уравнения 100
4.3. Алгоритм отыскания решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 102
Выводы 103
Глава IV. Прикладные задачи гемодинамики и волновых процессов в сетевых антенных конструкциях 104
1. Моделирование диффузионных процессов в сердечно-сосудистой системе 105
1.1. Задача переноса лекарственных веществ (однотипные сосуды) 106
1.2. Задача переноса лекарственных веществ (разнотипные сосуды) 113
1.3. Задача дозирования лекарственных веществ (однотипные сосуды) 116
1.4. Задача дозирования лекарственных веществ (разнотипные сосуды) 119
1.5. Задача целевой транспортировки лекарственных веществ (однотипные сосуды) 122
1.6. Задача целевой транспортировки лекарственных веществ (разнотипные сосуды) 123
2. Моделирование волновых явлений в сердечно-сосудистой
системе 123
2.1. Пульсовые волны кровопотоков графа сердечнососудистой системы (однотипные сосуды) 125
2.2. Пульсовые волны кровопотоков графа сердечнососудистой системы (разнотипные сосуды) 127
2.3. Стабилизация пульсовых волн графа сердечнососудистой системы (однотипные сосуды) 128
2.4. Стабилизация пульсовых волн графа сердечно сосудистой системы (разнотипные сосуды) 129
3. Моделирование диффузионных процессов метаболизма клеток
3.1. Метаболизм по однотипным цепочкам реакций 130
3.2. Метаболизм по разнотипным цепочкам реакций 130
4. Задачи физического происхождения. Антенные
4.1. Одноуровневая система «мачта-растяжки» 131
4.2. Двухуровневая система «мачта-растяжки» 131
5. Структура комплекса проблемно-ориентированных
- Диффузионные процессы гемодинамики
- Энергетическое неравенство. Теорема единственности
- Сходимость разностных решений
- Задача дозирования лекарственных веществ (разнотипные сосуды)
Диффузионные процессы гемодинамики
Актуальность проблемы. Эволюционные процессы на сетях в большинстве своем имеют одну общую характерную особенность - математическое описание этих процессов (математические модели) использует уравнения математической физики с распределенными параметрами на пространственных графах. Классическим примером того является сердечно-сосудистая система человека (ССС), которую можно представить в виде совокупности сосудов, сосудистых участков, полостей, содержащих некоторый полный (текущий) объем крови. С точки зрения математического описания, структура ССС в пространстве такова, что является естественным представлять ее в виде геометрического ограниченного связного пространственного графа - граф ССС [44]. Тепловые и волновые процессы, протекающие в сетеподобных технических конструкциях, также описываются математическими моделями, реализуемыми на геометрических графах [67]. Аналогичные подходы и принципы математического моделирования могут быть положены в основу современного понимания процессов, происходящих и в биологической системе на клеточном уровне (метаболизм клеток): продукты одних химических реакций, происходящих в клетке, являются субстратами для других, образуя цепи метаболических реакций (граф метаболизма) [83]. Приведем важные примеры из разных областей знания.
Математическое моделирование многих гемодинамических процессов так или иначе связано с необходимостью расчета переноса разнообразных веществ потоком крови по графу ССС: кислород, различные гормоны, соли, лекарственные препараты и прочее (Е.В. Астраханцева, В.Ю. Гидаспов, У.Г. Пирумов, Д.Л. Ревизников, А.Я. Буничева, В.Б. Кошелев, В.А. Лукашин, С.И., В.Н. Соснин, А.П. Фаворский, О.А. Царев). В диссертационной работе развиваются имеющиеся и представлены новые подходы для анализа математических моделей процесса переноса кровопотоком разнообразных веществ с учетом диффузионных свойств и пульсирующих явлений.
Другая важная прикладная задача - анализ процессов колебаний сетепо-добных механических конструкций, каковыми являются, например, антенные конструкции разного типа. Непрерывное наблюдение за такими объектами, помогает совершенствовать конструкции с целью либо сгладить, либо убрать негативные явления (искажение передающих/принимающих сиг-6 налов), порождаемые перепадами температур или внешними механическими воздействиями. В работе предлагается исследование нескольких математических моделей антенных систем. Следует отметить, что анализ колебательных процессов в сетеподобных механических конструкциях ограничился поиском общих закономерностей теоретического характера (С.А.Авдонин, С.А.Иванов, М.И.Белишев, А.В.Боровских, М.Г.Завгородний, К.П.Лазарев, О.М.Пенкин, Ю.В.Покорный, В.В.Провоторов, В.Л.Прядиев, В.А.Юрко, G. Lumer, S. Nicaise, J. Below), численные же методы анализа применительно к конкретным прикладным задачам оставались в тени, находясь в стадии формирования. Развитию последних посвящена существенная часть диссертационной работы.
Тема диссертационной работы соответствует научной теме "Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений регистрационный номер № 0120.0853009, выполняемой математическим факультетом Воронежского государственного университета.
Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка и исследование математического и программного обеспечения на основе аппарата эволюционных уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах для исследования математических моделей гемодинамических процессов, сложных физических и биологических систем, имеющих сетеподобную структуру, а также применение полученных результатов на практике. Для достижения цели в работе решаются следующие основные задачи: – обоснование, разработка и исследование класса краевых и начально- краевых задач для эволюционных дифференциальных систем с распределенными параметрами на геометрическом графе; – разработка и обоснование с использованием систем с распределенными параметрами на графе математических методов моделирования гемодина-мических процессов в ССС, тепловых и волновых процессов, проходящих в сетеподобных промышленных конструкциях; – разработка класса численных методов применительно к математическим моделям гемодинамических, тепловых и волновых сетеподобных процессов; – разработка эффективных маршевых алгоритмов определения слабых ре-7 шений начально-краевых задач с распределенными параметрами на графах; – разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для решения прикладных задач гемодинамики, деформации и колебаний сетеподоб-ных промышленных конструкций, реализующих предложенный класс численных методов; – проведение серии вычислительных экспериментов на тестовых задачах.
Методы исследования основаны на использовании теории математического моделирования, фундаментальных методов современного анализа прямых задач математической физики, теории построения и обоснование разностных схем для уравнений с распределенными параметрами на графах, теории графов.
Тематика работы соответствует следующим пунктам Паспорта специальности 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ": п. 2 Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычисленных методов с применением современных компьютерных технологий; п. 4 Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: - введен и исследован новый класс краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на геометрическом графе, отличающийся возможностью получения и анализа разрывных решений (слабых решений) при разрывных исходных данных задачи, и разработан аппарат для его использования в моделировании сетеподобных процессов; - введен и исследован новый класс математических моделей гемодинамических, тепловых и волновых се-теподобных процессов, отличающийся возможностью использования его при математическом описании процессов с разрывными исходными данными; -разработан новый класс численных методов для дифференциальных систем с распределенными параметрами на графе и разрывными исходными данными, включающий в себя полное обоснование: аппроксимация разностными схемами интегральных тождеств на графе, лежащих в основе определения слабых решений разностных схем; проведен подробный анализ слабых реше ний (устойчивость, сходимость); - разработаны маршевые алгоритмы решения поставленных задач, учитывающие структурные особенности моделей; - разработан программный комплекс для проведения вычислительного эксперимента прикладного характера: представлены решения задач, описывающих гемодинамические, теплофизические, волновые процессы в сетеподоб-ных объектах.
Энергетическое неравенство. Теорема единственности
Процесс метаболизма живого организма (набор химических реакций, которые возникают в живом организме для поддержания жизни) на клеточном уровне (клеточный метаболизм) происходит по так называемым метаболическим путям, образуя своего рода «сеть» метаболизма. Описание математической модели (или моделей) метаболизма является весьма важной компонентой теоретической деятельности исследователей в различных областях современной биофизики и в настоящее время интенсивно развивающееся направление в биоинформатике [46]. Основными проблемами этого направления являются исследования структурной организации сетей метаболических потоков, выявление принципов их регуляризации и определение регулятор-ных инвариантов, обеспечивающих гомеостаз в сетях метаболических потоков живого организма (например, [30]). Несомненным, по-видимому, является наличие диффузионных явлений в обмене веществ клеток. Результаты глав III и IV дают основание утверждать, что представленные там математические модели, описывающие диффузионные процессы в сетеподобных структурах, могут быть использованы как фрагменты математических моделей клеточного метаболизма. Схожие диффузионные явления происходят и в региональных ритейлеровских сетях, подчиненных единой маркетинговой и дис-трибьюторской политике [48]. Мы не приводим здесь математические модели упомянутых процессов, т.к. они (модели) во многом повторяют формализмы, представленные в вышеприведенных параграфах.
Приведенные 2, 3 примеры математических моделей определяют задачи управления (оптимального управления) различными процессами, протекающими в сетеподобных биологических, механический и экономических системах [3, 6, 19, 33–36, 40, 41, 44, 49, 50, 81–83]. При этом основополагающим объектом управления являются дифференциальные системы с распределенными параметрами на графе и тесно связанные с ними начально-краевые задачи для этих систем. В 2 главы IV представлены задачи прикладного характера, сводящиеся к задачам управления по начальным данным дифференциальными системами с распределенными параметрами на графе.
Почему возникла нужда в новых подходах – прежде всего, отсутствие непрерывности в исходных данных Содержание глав II–IV посвящено изложению методов и приемов анализа начально-краевых задач, формализмы которых использованы при описании таких математических моделей. Глава II. Краевые и начально-краевые задачи на пространственных сетях
При описании и анализе краевых и начально-краевых задач используются понятия и обозначения, принятые в монографиях [70, 79, 80, 95].
Рассмотрим связный компактный граф-дерево Г с корнем о, множеством узлов V = {о?ъ jra} и множеством ребер Ш = {7ъ725 ігїт} : длина каждого ребра равна 1. Узел называется граничным, если он принадлежит только одному ребру (граничное ребро), все остальные узлы и ребра - внутренние; множество граничных узлов обозначим через 9Г, J (Г) - множество внутренних узлов: V = дГ U /(Г). Естественным образом вводится частичная упорядоченность на Г: для двух точек а\ и 22 определено отношение а\ 22, если а\ лежит на единственном пути, соединяющем корень о с ач- Обозначим через [ х , w\ = {z Є Г : UJ z ш} И если [ x , w\ - ребро 7, то UJ - начальная точка 7, ъз конечная точка 7- Объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, обозначим через Го (Го = Г\У); Г у = Го х (0, Т) (Г = Го х (0, t): дГт = дГ х (0,Т)). Под Го понимается несвязное объединение всех ребер -замкнутых отрезков. Для каждого внутреннего узла обозначим через R() множество ребер, выходящих из . Для любого узла Є V длина пути, соединяющий корень о с является целым неотрицательным числом, обозначим его через І7І и назовем порядком узла . Пусть V = {{; Є V : = и} -множество узлов порядка v.
Занумеруем узлы графа Г следующим образом: 9Г = p+i V l\ a j, j р + 1, занумерованы в порядке возрастания -, J(T) = { Р+Ь Р+2? iCm}- Аналогично занумерованы ребра: jk, к = 1,р + 1- граничные ребра (Тр+1 = [o5p+i]), Ik = [kj,k\: к = р + 2,m, kj к - внутренние ребра. Каждое ребро j Є Ш параметризуется отрезком [0,1]. Ориентацию на ребрах удобно выбрать следующим образом: если 7 = [ ], т0 узлу си соответствует число 1, узлу w - число 0.
Пусть Г - произвольный связный компактный граф, содержащий циклы. В каждом цикле фиксируется ребро и ему принадлежащий узел. Формальное разъединение графа по таким узлам, оставляющее граф связным, превраща ет его в «дерево». Ориентация и параметризация, а также нумерация узлов и ребер полученного графа приведены выше. Внутренний узел произвольного графа может иметь более одного входящего в него ребра в отличии от внутреннего узла графа-дерево, имеющего только одно входящее в него ребро. Аналогично обозначению множества R() ребер, выходящих из внутреннего узла , через г() обозначим множество ребер, входящих в узел .
Обозначим через С(Т) множество непрерывных на Г функций, С (То) -множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными), Сп(То) - множество функций, для которых все производные до n-го порядка включительно принадлежат С (То). Через Со(Го) обозначим множество функций (р(х) Є С00(Го), компактный носитель которых лежит в Го (финитные бесконечно дифференцируемые в Го функции); (Г) и L2(TT) - пространство функций, интегрируемых с квадратом на Г и Тт соответственно. Пространства С (То) и Со(Го) плотны в (Г): плотность пространства С (То) в (Г) является следствием плотности C(jk) в (jk) для каждого ребра 7& (к = 1,ш), аналогично устанавливается и плотность класса С0Х)(Го) в (Г) (плотность класса С0Х)(7) в - 2(7) для любого интервала 7 доказана в [88].
Сходимость разностных решений
Тождество (2.46) формально получается интегрированием по частям в левой части соотношения при этом следует учитывать утверждение леммы 1 и принадлежность элементов и: г] соответствующим пространствам.
Следуя рассуждениям монографии [46, с. 163], из соотношения (2.45) можно получить априорную оценку нормы м9Г обобщенного решения и(хА) которая вместе с утверждением следствия из теоремы 2 гарантирует однозначную разрешимость задачи (2.40)-(2.42) в пространстве У2 о (а т) - имеет место
Теорема 3. Начально-краевая задача (2.40)-(2.42) имеет единственное обобщенное решение из V20(ot,LT) при (р{х) Є Ь2{1), W[xA) Є Ь2{і-Т), f(xA) Є L/2,I(TT) и для него справедливо уравнение энергетического баланса (2.45).
Доказательство. Возьмем ортонормированную в (Г) систему обобщенных собственных функций {і/} (х)} из Wloia T ) (утверждение 3 теоремы 1 при а(х) = ск(7))- Аппроксимируем (р(х) в (Г) функциями срт(х) = куда вытекает сходимость \и \ в норме 1/20(а,1 т) к элементу и Є 1/20(а5-1-т)-Кроме того для функции и{хА) будет справедливо соотношение (2.44) и тождество (2.45), которые получаются из тех же соотношений для функций um(x t) предельным переходом при т — сю. Единственность решения задачи (2.40)-(2.42) вытекает их утверждения следствия 1 теоремы 2.
Однозначная разрешимость начально-краевой задачи для уравнения общего вида Далее для уравнения более общего вида рассмотрим задачу нахождения решения u(x,t) в области Гу, удовлетворяющего условиям (2.10) во всех внутренних узлах графа Г, начальному (2.41) и краевому условию (2.42) при (р(х) Є (Г), f(x,t) Є Ь2,і(Гт). Как и выше в 1, коэффициенты а(ж),&(ж) — измеримые ограниченные функции на Г, а именно: равенство (2.51) также получается интегрированием по частям того же соотношения, если г] заменить нами учитывать вместе с утверждением леммы 1 принадлежность элементов и, г] соответствующим пространствам.
Используя утверждения теорем 2 и 3, покажем, что существует обобщен т 71,0/ т-1 ное решение задачи (2.41), (2.42), (2.48) из пространства 1/20( 2,1т) и для него справедливо соотношение (2.51). Предварительно докажем следующее утверждение.
Покроем отрезок [0,Т] отрезками Ai = [0, to], Л2 = [to, 2to], ... , Адг (0 to to) с длинами, не превышающими to (отрезки Aj, і = 1,7V — 1, имеют длину to, отрезок Адг — длину, не превышающую to). Для каждого такого отрезка имеет место оценка вида (2.55). Учитывая неравенство Введем определение обобщенного решения начально-краевой задачи (2.41), в пространстве И/Г2 о(а? Гт) и докажем, что начально-краевая задача (2.41), (2.42), (2.48) имеет обобщенное решение в этом пространстве. Затем, учитывая дополнительное предположение относительно коэффициента а{х) в уравнении (2.48), покажем, что каждое такое решение принадлежит
Теорема 4. Для любых (р(х) Є - (Г), f(x,t) Є Ь2,і(Гт) при выполнении предположений (2.49) краевая задача (2.41), (2.42), (2.48) имеет обобщенное решение из И/Г2 о(а5Гг).
Доказательство. Возьмем ортонормированную в (Г) систему обобщенных собственных функций {(pk(x)} из И/2о((2?Г) (утверждение 3 теоремы 1). Будем искать приближенные решения uN(x,t) для каждого фиксированного
Соотношения (2.57) есть система N линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно неизвестных ci(t) = cf(t), I = 1,7V, свободные члены f f(x,t)(pi(x)dx, I = 1,7V — г суммируемые на (0, T) функции; система (2.57) с условиями (2.58) однозначно разрешима. Получим для uN(x,t) оценки, не зависящие от 7V. Для этого умножим каждое из уравнений (2.57) на свое с/, просуммируем по / от 1 до N и проинтегрируем по отрезку [0,], t Т. В результате придем к (2.51) для и = uN и в силу леммы 2 получаем неравенство (2.52) с правой частью вида C(t) [ \\uN(x, 0) L т + 2 II f IIт (г А. Отсюда, учитывая нера с постоянной С , не зависящей от TV. В силу (2.59), из последовательности {uN(x,t)} , N = 1,2,..., можно выделить подпоследовательность { (ж, )}, А; = 1, 2,..., слабо сходящуюся в (Г) вместе с производными и д х к некоторой функции u(x,t) из И/Г2 о(а5Гг).
Покажем, что u(x,t) является обобщенным решением задачи (2.41), (2.42), (2.48) в пространстве И 2 о(а5Гт). Для этого умножим (2.57) на произвольную абсолютно непрерывную на [0,Т] функцию hi(t): Ы(Т) = 0, сложим полученные равенства по / = 1, N и проинтегрируем по t от 0 до Т. Затем в первом члене проведем интегрирование по частям по t: в результате получим тождество элементы этого подпространства равны нулю при t = Т. В соотношении (2.60) перейдем к пределу по выбранной выше подпоследовательности {uNk} при фиксированном Ф , получим (2.60) для u(x,t) с f](x,t) = Фм Є 9Лдг. Изменяя N от 1 до оо, приходим к тождеству (2.56) для и(х, t) с любой г)(х, t) Є ШТ. Тем самым доказана разрешимость задачи (2.41), (2.42), (2.48) в пространстве W$(a,TT).
Переходим к исследованию обобщенного решения u(x,t) Є И/Г2 о(а5Гг) начально-краевой задачи (2.41), (2.42), (2.48)). Предположим, что коэффициент а(х) в уравнении (2.48), удовлетворяющий предположению (2.49), подчинен дополнительному условию:
Условие А. Значения функции а(х) в концевых точках ребер, соединяющих два подграфа-звезды, равны.
Очевидно к таким ребрам относятся и ребра, формирующие петлю любого цикла. Соотношения (2.10) во всех узлах множества /(Г) представимы в виде (2.39), значит, пространства И/Г2 о(а5Гг) и ]У2 о{сх,Тт) в этом случае совпадают. Представленное предположение определяет следующее утверждение:
Задача дозирования лекарственных веществ (разнотипные сосуды)
Из оценки (3.36) очевидным образом следует устойчивость разностной схемы (3.32)-(3.35) (в тех нормах которые в него входят), на ее же основе доказывается сходимость последовательности сеточных функций Uh к обобщенному решению u(x,t) начально-краевой задачи (3.29)–(3.31). Это делается так же, как и в п. 1.3 1 (теорема 3). Из неравенства (3.36) выводится равномерная ограниченность норм интерполяций Uh(x,t) в пространстве W\(TT) (а потому и слабая компактность в W\(TT)) решений Uh систем (3.32)-(3.35) при любых /гиг, удовлетворяющих условию (3.37). Из равномерной ограниченности норм последовательности интерполяций Uh{x,t) вытекает существование слабо сходящейся в И о Гу) (W\Q{CL)TT) с W\(TT)) подпоследовательности такой последовательности к некоторой функции и(х, і) Є W\ Q(CL, IV), при этом u(x,t) является обобщенным решением начально-краевой задачи (3.29)-(3.31). Последнее показывается предельным переходом при г Ои/г Ов разностном аналоге интегрального тождества (2.64) (ф = ср = fh{k) = 0) предельным переходом при 0. Таким образом, справедлива
Теорема 8. Пусть для начально-краевой задачи Тогда разностная схема (3.32)-(3.35) однозначно определяет сеточную функцию щ при всех f єп, єп = min(-/=, r) и ее интерполяции при h — 0 и т — 0 слабо сходятся в И/2о((2?Гт) (и сильно в Ь2(Гт)) к обобщенному решению u(x,t) задачи (3.29)–(3.31). Замечание 3. Доказательство теоремы конструктивно — одновременно показан как алгоритм построения приближенных решений начально-краевой задачи (3.29)–(3.31) (сравнительно простой способ фактического вычисления решения на конечном интервале времени), так и теорема существования обобщенного решения независимо от доказательства теоремы 7 ( 2, глава II).
Используемый выше подход применим без каких-либо существенных изменений и для определения решений начально-краевых задач при других классических краевых условиях, например, аналогичных (3.16).
Алгоритмическое описание отыскания решений краевой и начально-краевых задач на графах сводится к описанию алгоритмов, полученных на основе результатов 1-3 данной главы: 1 — содержит основополагающие результаты для алгоритма отыскания решения краевой задачи, 2 и 3 — для алгоритмов начально-краевых задач.
Алгоритм отыскания решения краевой задачи для эллиптического уравнения. Реализация описанного в 1 подхода в виде алгоритма основана на утверждениях теорем 1-3 и представляет собой следующие шаги.
1-й шаг. Разобьем ребра 7 графа Г точками kh (к - натуральные числа, h 0 - фиксированное число, равное длине элементарного отрезка uih, называемого ниже ячейкой ребра графа), при этом считаем, что внутренние узлы Є J(r) графа входят в число таких точек. Множество точек {kh} является сеткой Th графа Г. Для сеточных функций ин (индекс h для упрощения записи иногда опускается), определенных на Th и соответствующих функциям и(х),х Є Г, введем разностные операции (разностные отношения)
Аналогичные представления имеют место для сеточных функций bh и fh. Заметим, что в случае непрерывности функций а(х), Ъ[х) и /(ж), для вычислений удобно брать их значения в узлах сетки 1\. Интегралы по Г заменим суммами интегралов по ячейкам (элементарным отрезкам) LOh, принадлежащим Г, и в пределах каждой ячейки uih функции и и ц - кусочно-постоянными аппроксимациями (восполнениями [46]) каких-либо однотипных вышепредставленных разностных отношений, их аппроксимирующих. Требование и(х),г](х) Є И- о Г) в соотношении (3.4) естественным образом заменяется требованием обращения в нуль сеточных функций Uh и щ (uh и щ) в граничных узлах Є dTh = дГ.
3-й шаг. Соотношение, определяющее искомую сеточную функцию и заменяющее тождество (3.4), принимает следующий вид: (Г есть множество точек kh тех ячеек ujkh, которые принадлежат сетке Th) для всевозможных сеточных функций r/h, определенных на Th и равных нулю на dTh и вне Th.
4-й шаг. Отыскание решения линейной алгебраической системы (4.1) относительно Uh при любых указанных в предыдущем шаге сеточных функциях 7ь, при этом количество последних определяется числом точек kh в сетке Th графа Г.
Замечание. Выбор г](х) (и последующее построение щ) достаточно осуществлять из класса непрерывно дифференцируемых на Го функций с нулевыми значениями ц иг] во всех узлах графа Т, что существенно облегчает формирование алгебраических систем, используемых на 4-м шаге. Обоснованием тому является плотность множества указанных функций г]{х) в пространстве W\(){a)T).
5-й шаг. В соответствии с утверждением теоремы 3 ( 1, п. 1.3) при достаточно малом h (т.е. достаточно большом числе разбиений сетки Th) кусочно-постоянная аппроксимация uh сеточной функция Uh мало отличается от предельной в норме пространства И- Г). Завершение работы алгоритма можно осуществлять по наперед заданному сколь угодно малому є О, если выполняется условие \\йм — u Hw1 ) є, где h ,h" – фиксированные числа, например, Ы = /г, h"
Реализация описанной выше алгоритмической процедуры для уравнений параболического и гиперболического типов на графе сложнее (особенно для последнего), ибо в соответствующих им интегральных тождествах главные члены не образуют положительно определенных билинейных форм и в соответствии с этим выводы энергетических оценок используют интегрирование по частям, а для гиперболических уравнений — и дифференцирование произведений [46]. В виду этого для всех членов параболического и гиперболического уравнений, кроме первого, можно использовать разностную аппроксимацию, рассмотренную для уравнения эллиптического типа. Замена первого члена требует своего подхода для каждого типа уравнений.
Алгоритм отыскания решения начально-краевой задачи для параболического уравнения. Мы используем в качестве пространства до 1,0 т-1 ТтД,0/ т-i пустимых решений V20((i,i), случай пространства VV20{CL, 1 т) отличается от рассматриваемого только выбором усреднений для функции u(x,t) Є И/Г2 о(а5Гг). Реализация описанного в 2 подхода в виде алгоритма основана на утверждениях теорем 4-7 и представляет собой следующие шаги. нения (п. 4.2).
