Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод инерциальной навигации 11
1.1. Историческая справка 11
1.2. Принцип инерциальной навигации 14
1.3. Форма Земли и связанные с ней системы координат 30
1.4. Обзор литературы. Характеристики задач, исследуемых в диссертации 34
1.5. Краткие итоги главы 37
Глава 2. Теоретико-механические, общесистемные и математические основания инерциальной навигации 39
2.1. Уравнения идеальной работы автономной ИНС 39
2.2. Обратные задачи 43
2.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их численное решение 46
2.4. Некоторые аспекты разрешимости обратных задач динамики движущихся объектов 51
2.5. Методы решения обратных задач 55
2.6. Краткие итоги главы 60
Глава 3. Задача высотной (радиальной) коррекции систем инерциальной навигации 62
3.1. Модельные представления задачи высотной коррекции 3D-HHC 63
3.2. Переход к схеме двухкомпонентной ИНС. Задача радиальной коррекции 2D-HHC
3.3. Анализ принципиальной разрешимости задач коррекции систем инерциальной навигации 74
3.4. Имитационное моделирование задач коррекции 79
3.5. Краткие итоги главы 86
Глава 4. Гравиметрические аспекты метода инерциальной навигации 87
4.1. Основные модельные представления 89
4.2. Модель двухкомпонентной гравиинерциальной системы 93
4.3. Модель двухкомпонентной гравиинерциальной навигационной системы 101
4.4. Модель трёхкомпонентной гравиинерциальной системы 111
4.5. Краткие итоги главы 120
Заключение 123
Список литературы
- Форма Земли и связанные с ней системы координат
- Обыкновенные дифференциальные уравнения и их численное решение
- Переход к схеме двухкомпонентной ИНС. Задача радиальной коррекции 2D-HHC
- Модель двухкомпонентной гравиинерциальной навигационной системы
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время значимость теории навигации определяется высокими требованиями, предъявляемыми к характеристикам современных объектов, движущихся по земле, по воздуху, по воде и под водой, по баллистическим траекториям между двумя точками на земной поверхности, по околоземным орбитам и в межпланетном пространстве. Во всех случаях, в том числе и при малых скоростях, требуется знать параметры движения и местоположения объекта с большой точностью. При этом постоянно растущая интенсивность транспортных потоков на улицах городов, в воздушном пространстве и акваториях портов обуславливает непрерывное повышение требований к точности определения навигационных параметров.
Начиная с 30-х годов XX века теоретические основы инерциальной навигации были заложены и развиты в работах М. Шулера, Е.Б. Левенталя, И.М. Бойкова, Л.И. Ткачева, Б.В. Булгакова, А.Ю. Ишлинского, Ч. Дрэйпера, Р. Граммеля, Г.О. Фридлендера, И.А. Горенштейна, И.Б. Челпанова, Е.А. Девянина, В.Д. Андреева, М.Д. Агеева, Н.А. Парусникова, В.М. Морозова, В.И. Калёновой, О.С. Салычева, А.В. Небылова, Ю.В. Болотина, А.А. Голована, А.С. Девятисильного и др.
Инерциальные навигационные системы (ИНС) становятся широко распространенными бортовыми средствами определения параметров движения объектов различного целевого назначения. В качестве дублирующих систем ИНС служат для уточнения навигационной информации, вырабатываемой автоматическими идентификационными системами (АИС), которые входят в состав систем управления движением судов (СУДС) и управления воздушным движением (УВД). Кроме того, системы инерциальной навигации находят своё применение в геодезических и гравиметрических исследованиях. ИНС обеспечивают идентификацию таких параметров движения как координаты и скорость, а также ориентация объекта в выбранной системе отсчета. Основным достоинством таких систем является автономность при решении навигационных задач (в случае чисто инерциальных систем), что обеспечивает успешное функционирование в неблагоприятных погодных условиях, недоступности спутниковой связи или при необходимости соблюдения скрытности объекта (что особенно актуально при использовании объекта в военных целях)
Существенной проблемой при эксплуатации автономных ИНС является накопление ошибок определения навигационных параметров. Это обусловлено наличием инструментальных погрешностей инерциальных измерителей (акселерометров и гироскопов, составляющих блок чувствительных элементов ИНС), неточностей при вводе начальных условий (координаты места старта объекта и ориентации системы отсчета, в которой интегрируются модельные уравнения его движения), погрешностей интегрирования уравнений идеальной работы ИНС. При длительной работе в автономном режиме накопление погрешностей приводит к тому, что вырабатываемая ИНС навигационная информация утрачивает необходимую адекватность. Данные обстоятельства актуализируют проблему создания устойчивых систем инерциальной навигации.
В настоящей работе решаются задачи, связанные с гравиметрическими аспектами метода инерциальной навигации. Решение задач гравиметрии – определение силы тяжести Земли и идентификация аномалий гравитационного поля являются чрезвычайно актуальными научно-прикладными проблемами современной геодезии. Результаты таких исследований используются, например, для поиска полезных ископаемых, мониторинга сейсмической ситуации, при геофизических изысканиях.
В теоретико-методологическом плане актуальность работы заключается в развитии модельных представлений задачи коррекции ИНС. Прикладная сторона актуальности связана с технологией вычислительного эксперимента.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование теоретических и численно-экспериментальных предпосылок создания устойчивых прикладных систем метода инерциальной навигации.
Задачи исследования. В процессе достижения декларируемой цели решаются следующие задачи:
разработка и исследование моделей систем метода инерциальной навигации (ИНС, ГИС, ГИНС) как моделей обратных задач;
аналитический и численный анализ разрешимости исследуемых обратных задач;
численно-имитационное моделирование и верификация устойчивости алгоритмов работы интегрированных систем инерциальной навигации;
Положения, выносимые на защиту. По результатам исследований согласно поставленным целям на защиту выносятся следующие положения:
модель и результаты численного исследования задачи высотной коррекции трёхкомпонентной ИНС (3D-ИНС);
метод трансформации 3D-ИНС в асимптотически устойчивую двухкомпонентную ИНС (2D-ИНС);
модели и результаты численного анализа 2D- и 3D-задач навигации и гравиметрии на основе метода инерциальной навигации;
результаты исследования разрешимости обратных задач инерциального метода.
Научная новизна работы. На основе проведённых научных исследований разработаны методы решения задач коррекции систем инерциальной навигации в виде обратных задач в форме «состояние-измерение».
Предложен способ учёта измерения высоты в задаче коррекции 3D-ИНС, обеспечивающий асимптотически устойчивое решение навигационной задачи.
Предложена оригинальная концепция трансформации изначально неустойчивой 3D-ИНС в асимптотически устойчивую 2D схему в случае движения объекта по траектории, близкой к концентрической с Землёй сфере известного радиуса.
В рамках инерциального метода, впервые корректно поставлена и подробно исследована задача гравиметрии, обусловливающая перспективу оценивания локальных гравитационных аномалий с точностью не хуже, чем 10-6м/с2 как на неподвижном, так и на подвижном основании.
Впервые предложен метод совместного, асимптотитчески устойчивого решения задач гравиметрии и горизонтирования приборной платформы с помощью двух- и трёхкомпонентных ИНС.
Разработаны динамические и точечные модели задач коррекции ИНС и гравиметрии, а также алгоритмы их решения.
Достоверность результатов исследований обеспечивается использованием положений теории инерциальной навигации, современной теории управления, теоретической механики, теории ОДУ и методов их численного решения, теории вероятностей и случайных процессов, точечных и динамических методы решения обратных задач; вычислительных методов линейной алгебры; имитационного моделирования;
Практическая ценность работы. По результатам численно-аналитических исследований, выполненных в настоящей диссертации, предлагаются модели гравиинерциальных систем на базе 2D-ИНС: двухкомпонентная гравиинерциальная система (2D-ГИС), двухкомпонентная гравиинерциальная навигационная система (2D-ГИНС) и на базе 3D-ИНС: трёхкомпонентная гравиинерциальная система (3D-ГИС). Результаты, полученные в ходе исследований, могут быть использованы при создании высокоточных систем, ориентированных на решение задач подвижной гравиметрии и функционально превосходящих существующие аналоги.
Научные результаты диссертации используются в ОАО «НОРФЕС», на кафедре «Математическое моделирование и информатика» ДВГТУ, в работе Секции прикладных проблем ДВО РАН.
Результаты диссертационной работы нашли применение при выполнении научно-исследовательских работ:
- проект РФФИ-ДВО №09-01-98503-р_восток_а.
- инициативные научные проекты ДВО РАН (№ 09-1-П29-02, № 09-III-А-03-066)
Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях: Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, Хабаровск, 2004-2006); Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2004); Sixth International Young Scholars' Forum of the Asia-Pacific Region Countries (Vladivostok, 2004), 5-ой научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация, управление» (Санкт-Петербург, 2008).
Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории управления и навигации и межлабораторных семинарах «Физика и управление» в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (Владивосток, 2006-2009 гг).
Публикации. По итогам исследований опубликовано 27 работ, в том числе 16 из них в рекомендуемых ВАК научных журналах
Структура и объём работы. Диссертация объёмом 137 страниц основного текста состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы из 143 наименований. Диссертационная работа включает 59 рисунков и 3 таблицы.
Личный вклад автора. Все основные результаты, представленные в диссертации получены автором лично. Работы [2-4, 14-15, 22] выполнены автором самостоятельно. В работах [1, 5, 7-13, 16-21] руководителем выполнены постановки задач, а автором проведены исследования и сформулированы основные результаты. В [6] автору принадлежат материалы, непосредственно относящиеся к теме диссертации.
Форма Земли и связанные с ней системы координат
Термин «навигация» происходит от латинского слова navigo — «плыть на корабле» и может быть переведен как «искусство кораблевождения». На протяжении всей истории мореходства создавались и совершенствовались навигационные приборы, т.е. устройства, которые используются для решения навигационной задачи — определения местоположения и направления движения.
Самыми первыми навигационными средствами служили наземные ориентиры, которыми быть какие-либо особенности местного ландшафта, например скалы, группы деревьев и т.д. Когда такие средства становились недоступны, путешественники днем ориентировались по Солнцу, а ночью по звездам. Мореходы древности - египтяне, греки, финикийцы - умели рассчитывать угол между направлением на Полярную звезду и плоскостью местного горизонта для оценки широты и грубого определения местоположения корабля. Подтверждением того, что люди давно осознали важность навигационных средств, является тот факт, что одним из семи чудес света был признан Александрийский маяк. Надежность таких методов навигации оставляла желать лучшего, так как они были слишком зависимы от погодных условий в районе плавания.
Следующим шагом по пути развития навигации стало изобретение магнитного компаса в средние века. Однако, из-за многочисленных аномалий магнитного поля Земли и магнитных бурь, компас является достаточно капризным и ненадежным устройством. Долгое время отсутствие точной информации о местоположении движущегося объекта было серьезным препятствием на пути развития авиации. Решить эту проблему могла навигационная система, которая бы не зависела от видимости звезд и земных ориентиров, от капризов погоды и искусства штурмана.
Стремительное развитие техники обуславливало необходимость создания надежных навигационных средств, способных работать не только на поверхности Земли, но и в космосе и под водой. Поэтому появление и развитие теории инерциальной навигации в первой половине XX века положило начало качественно нового этапа в насчитывающей тысячелетия истории навигации, а создание инерциальных навигационных систем (ИНС), которые могли функционировать полностью автономно, стало одним из важнейших направлений в развитии авиации, космической техники, создании атомного подводного флота.
Первым применением инерциальных методов в навигации можно считать появление корабельных гирокомпасов в начале XX века (Г. Аншютц-Кемпфе (1908 г.) и Элмер А. Сперри (1911 г.))[3, 88]. Примерно в то же время возникла идея создания систем инерциальной навигации, в которых текущее положение движущегося объекта определяется интегрированием измеряемых на борту ускорений. Полная автономность, независимость от внешних факторов является одним из главных достоинств инерциальных навигационных систем и делает их распространенными средствами решения навигационных задач в современных движущихся объектах различного целевого назначения.
Идею определения местоположения объекта с помощью двукратного интегрирования по времени проекций вектора ускорений, измеряемого на борту объекта, запатентовал Р. Вуссов в 1905 году. Для этого он предложил поместить на объекте акселерометр, ось чувствительности которого стабилизировалась с помощью свободного гироскопа. Указанная заявка в своей основе содержала идею метода навигации, позже названного инерциальным. Кроме того, практически одновременно с Вуссовым была запатентована идея американского и русского изобретателей М. Керри (1903) и В. В. Алек-сеева (1911) инерциальных систем геометрического типа, которые должны были обеспечивать определение координат объекта, движущегося по поверхности вращающегося земного шара [88].
Важнейшими достижениями стали работы немецкого ученого М. Шулера, установившего условия невозмущаемости горизонтальными ускорениями гирокомпаса (1910 г.) и физического и гироскопического маятников (1923 г.). Дальнейшими этапами развития идей инерциальной навигации стали предложенный С.А. Ноздровским принцип силовой гироскопической стабилизации (1924 г.) [3], а также принцип горизонтируемой платформы, предложенный советскими инженерами Л.М. Кофманом и Е.Б. Левенталем в 1932 г. [88, 100]
Началом практической реализации идеи инерциальной навигации можно считать разработку системы управления немецкой баллистической ракетой ФАУ-2 во время Второй Мировой войны. В послевоенное время работы по созданию ИНС проводились в СССР, США и некоторых странах Западной Европы и связаны с разработкой систем управления баллистическими и крылатыми ракетами. В то время практическое осуществление ИНС стало возможным благодаря созданию поплавковых гироскопов, которые были предложены советским инженером Л.И. Ткачевым в 1945 году и основателем американской школы инерциальной навигации Чарльзом Дрэйпером в 1946 году [3]. Прогресс в создании систем инерциальной навигации был тесно связан математическими работами в области небесной механики, поскольку дифференциальные уравнения пространственных систем инерциальной навигации совпадают с уравнениями движения небесных тел.
Важным техническим решением стало создание бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС), в которых гиростабилизиро-ванная платформа моделируется виртуально посредством компьютера, а ко ординатный трёхгранник, в осях которого производятся инерциальные измерения, жёстко связан с движущимся объектом.
За рубежом наибольший вклад в развитие теоретических основ инерци-альной навигации внесли представители немецкой и американской школ: И. М. Бойков (создатель систем инерциального управления для ракет ФАУ) [100], О Доннелл [135], Д. Питтман [133], К. Макклур [86], В. Ригли, Р. Вуд-бери, Дж. Говорка [104], Р. Калман [78], Р.Граммель и другие.
В Советском Союзе успехи в развитии теории и практики инерциальной навигации связаны с именами А.Ю. Ишлинского, в работах которого были заложены основы строгой теории инерциальных систем, А.Н. Крылова (научный консультант разработок гироприборов), Н.Н. Острякова (первый отечественный главный конструктор гироскопических приборов), В. Д. Андреева, Б. В. Булгакова, Я. Н. Ройтенберга, Б.И. Кудревича, И.В. Геккелера, Г. О. Фридлендера, И.А. Горенштейна, В.Г. Пешехонова, Н.А. Парусникова Е.А. Девянина. Ряд оригинальных результатов по развитию теории инерциальной навигации получен сотрудниками лаборатории управления и навигации института автоматики и процессов управления ДВО РАН под руководством д.т.н. А.С. Девятисильного [31-33, 35, 37,42, 45-47, 50, 52, 54-55, 61].
Обыкновенные дифференциальные уравнения и их численное решение
Прежде чем приступить к обсуждению вопросов разрешимости обратных задач динамики, напомним некоторые ключевые понятия линейной алгебры и численных методов.
Собственные значения (числа) линейного оператора. Число X является собственным значением линейного оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что Ах = Хх. При этом вектор х называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению X. Иначе говоря, собственные значения X являются корнями характеристического уравнения линейного оператора А det(A - XI) = О Левая часть которого представляет собой полином от Я степени п. Таким образом, каждая пх-п матрица имеет, с учетом кратностей, ровно п собственных значений. Множество собственных значений матрицы называют ее спектром. Сингулярные числа. Из литературы [83, 113] известна теорема, согласно которой, для любой вещественной квадратной матрицы А размера пх-п существуют две вещественные ортогональные пх-п-матрицы U и V такие, что Числа sl,...,sn называются сингулярными числами матрицы А. Они представляют собой неотрицательные квадратные корни собственных значений симметричной матрицы Аг А.
Матрица А представляет собой линейное преобразование одного и-мерного пространства X в другое такое же пространство Y. Таким образом, у=Ах принадлежит Y для любого х из X. Квадратная невырожденная матрица А с сингулярными числами sx s2 ... sn 0 обладает следующим важным свойством. Имеется прямая Lx в X, такая, что матрица А растягивает (или сжимает) Lx в jj раз. Существует другая прямая Ln, ортогональная к Z,,, такая, что матрица А растягивает (или сжимает) ее в sn раз. Кроме того АЦ и АХ„ ортогональны в Y. Единичная окружность в плоскости Lx и Ln отображается матрицей А в эллипс с полуосями sx и sn. Это наибольшее искажение, которое может произойти с любой окружностью в X.
Число обусловленности. Мера искажения. Число обусловленности представляет собой меру максимального искажения единичной сферы при применении линейного преобразования с матрицей А. Если число обусловленности относительно мало, то матрица А является хорошо обусловленной по отношению к задаче решения линейных уравнений. В противном случае матрица А является плохо обусловленной.
Напомним, что число обусловленности Д(А) матрицы А называется число, которое дает следующую оценку возмущения решения Ах системы линейных уравнений Ах = Ь при возмущениях вектора свободных членов какая-либо норма вектора и соответствующая (согласованная с нормой вектора) или подчинённая норма матрицы. На практике обычно пользуются евклидовой нормой вектора и подчинённой спектральной нормой матрицы. В этом случае речь идет о спектральном числе обусловленности
Переходя к рассмотрению роли, которую играет сингулярный анализ в обратных задачах, необходимо обратить внимание на важнейшую особенность этих задач, состоящую в том, что их решение выполняется, как правило, в условиях наличия погрешностей в модельных представлениях. Особое место среди них занимают, во-первых, инструментальные погрешности измерений и, во-вторых, погрешности вычислений, связанные с конечной точностью представления чисел в ЭВМ. Именно наличие этих факторов обуславливает то обстоятельство, что принципиальная разрешимость (наблюдаемость) задач типа x = Ax + Bq, х(0) = х0, z = Нх + є еще не означает их конструктивной разрешимости.
Разрешимость задачи в условиях неточности модельных представлений можно отождествить с понятием вычислительной устойчивости, т.е устойчивости вычислительной процедуры оценивания в смысле корректности по Ж. Адамару [112]. Наряду с анализом наблюдаемости, отождествляемой с существованием и единственностью решения, анализ разрешимости как вычислительной устойчивости является важным этапом при постановке и решении обратных задач.
Переход к схеме двухкомпонентной ИНС. Задача радиальной коррекции 2D-HHC
В этом разделе рассмотрим трансформацию, которая заключается в уменьшении размерности вектора состояния систем инерциальной навигации. Пусть объект движется по концентрической с Землёй сфере известного радиуса, по крайней мере, в течение достаточно длительного временного интервала. Такая особенность движения характерна в первую очередь для морских объектов (подводных лодок, надводных кораблей). Реализация двухкомпонентной схемы ИНС на летательных аппаратах возможна, очевидно, если на некотором участке траектории обеспечивается режим движения на постоянной высоте. В этом случае возможен переход от полнокомпонентной (3D) ИНС к двухкомпонентной (2Б-ИНС) путём исключения из ЗБ-схемы вертикального ньютонометра (канала ИНС). Преимущество 20-систем заключается как в большей технологической и эксплуатационной простоте [3, 4], так и в большей устойчивости функционирования, что будет показано ниже.
Формальный переход к схеме 2D-HHC осуществим, если объект движется по траектории, для которой выполняется геометрическое условие г = const - известная величина, измеряемая в соответствии с (3.1.5). Тогда, учитывая (3.1.5) при формировании в (3.1.1) модели напряженности гравитационного поля (далее будем считать его центральным), а также полагая в (3.1.1) і = 1,2, получим уравнения функционирования 2D-MHC, которые, «наследуют» свойство неасимптотической устойчивости. Соответствующие уравнения эволюции динамической группы погрешностей 2D-HHC имеют вид:
Дополнительно уточним, что в соответствии с вышеизложенной процедурой перехода к схеме 2D-HHC в уравнениях (3.2.1) следует считать, что ql=q1=z 0, q3 = г, bq3 = є, pl = co2r, p2 = -(агг, p3=0; заметим также, что в силу данного ранее определения трёхгранника oq значения 5д, и 8q2 связаны с компонентами вектора малого угла \J/ = (\J/P \j/2)r, на который плоскость oqxq2 (платформа) отклоняется от нормального к вектору q (горизонтального) положения, следующими соотношениями: XJ/J = bq21 г, у2 = -5g, I г.
Изложенным, по сути, исчерпывается существующий взгляд [4] на роль радиальной информации при формировании 2D-HHC. Вместе с тем необходимо отметить, что геометрическое условие на траекторию (г = const), столь важное при трансформировании 3D-HHC в 2D-ИНС, может быть дополнено не рассматриваемым прежде в теории двухком-понентных систем физическим условием равновесного состоянием объекта на сфере - отсутствием вертикальных ускорений. Формально это условие записывается следующим образом - р3 = 0 или
Учёт условия (3.2.2) — это качественно новый взгляд на 2D-HHC. Действительно воспроизводство условия (3.2.2) на основе представлений о движении объекта, формируемых 2D-HHC с учётом измерения (3.1.5), и представлений о подъёмной силе F3, приводит к текущей невязке вида: которая содержит информацию об ошибках работы ИНС. Исходя из этого, невязку (3.2.3) можно интерпретировать как измерение, что даёт основание рассматривать (3.2.1) и (3.2.3) в качестве базовой модели обратной задачи для получения текущих оценок динамической группы погрешностей 2D-ИНС. Входящая в« (3.2.3) величина /3 - погрешность представлений об удельной подъёмной силе F3, и это может быть инструментальная погрешность ньютонометра, соосного с инструментальной осью oq3 и измеряющего F3 (полагаем, что только этим и ограничивается его роль в ИНС, назовём такой ньютонометр нефункциональным), но это может быть и флюктуация, значения подъёмной силы F3 около некоторого априорно оцененного её значения, вдоль траектории движения объекта.
Для завершения постановки обсуждаемой задачи необходимо принятие адекватных реальным физическим ситуациям гипотез о погрешностях измерений - v, є, f, так как в конечном итоге от этого зависит вид оцениваемого вектора состояния (х), его размерность (dim(x)) и сложность алгоритма решения. В данном разделе, ограничиваясь чисто навигационной ситуацией, из множества возможных гипотез [56] рассмотрим следующую: пусть погреш ности v, є, /- случайные процессы типа «белый шум». Такая гипотеза может быть принята и с тем большим основанием, чем меньше времена корреляции реальных физических процессов по сравнению с шулеровским периодом
Такая ситуация характерна, например, для классов ограниченно маневрирующих по высоте (глубине) воздушных и морских объектов, когда измерение (3.1.5) формируется радио-, акустическими и батиметрическими средствами, а инерциальные - с участием нефункционального ньютонометра.
Другая возможная интерпретация, соответствующая случаю гравиметрической платформы на неподвижном основании, рассматривается в параграфе 4.2 настоящей диссертации.
Таким образом, уравнения (3.2.1) и (3.2.3) формируют модель обратной задачи [44, 45], целью решения которой является оценка вектора x = (8ql,8pl,8q2,8p2)T. Аналогично с (3.1.8), учитывая что при рассматриваемом классе движений объекта-носителя (в восточном направлении вдоль произвольной географической параллели) C0j =0, а членом co2v9r из (3.2.3) можно пренебречь ввиду его малости, запишем модель обратной задачи в виде «состояние-измерение» следующим образом:
Модель двухкомпонентной гравиинерциальной навигационной системы
Данный параграф посвящен исследованию способа решения задачи оценки локального значения напряженности гравитационного поля Земли (задача локальной гравиметрии) с помощью двухкомпонентной ИНС (2D-ИНС), переход к которой от 3D-HHC при помощи использования радиальной информации рассмотрен в третьей главе диссертации. Такая система включает в себя два планарных — в горизонтальной плоскости - ньютонометра на горизонтируемой приборной платформе. Главная отличительная особенность такой модели заключается в отказе от традиционного гравиметра в качестве измерительного прибора и замене его на вертикальный ньютонометр, не участвующий в моделировании движения объекта-носителя. Назовём такой ньютонометр нефункциональным.
Для того, что обосновать возможность такого решения сначала необходимо обратиться к уравнениям функционирования 3D-HHC [4, 61]. Ограничимся только динамической группой уравнений (4.1.1). Их покомпонентная запись имеет вид
Как уже говорилось в третьей главе, модель обратной ЗБ-задачи (или задачи коррекции 3D-HHC), целью решения которой является оценка шести фазовых координат системы (4.2.1), формируется при условии, что доступна измерению величина Iql = q3 = г, т.е. имеет место измерение J = r + E, (4.2.2) где є - инструментальная погрешность измерителя. Собственно, совокупность уравнений (4.2.1) и (4.2.2) и декларирует модель этой задачи.
Формальный переход к схеме 2D-PfflC традиционно выполняют при условии, что объект находится на траектории, для которой г = соті -известная величина. Тогда, учитывая (4.2.2) при формировании в (4.2.1) модели напряженности гравитационного поля (далее будем считать его центральным), а также полагая в (4.2.1) / = 1, 2, получают уравнения функционирования 2D-HHC, которые, как известно [4, 61], неасимптотически устойчивы. Соответствующие уравнения эволюции динамической группы погрешностей 2D-MHC принимают вид
В соответствии с вышеизложенной процедурой перехода к схеме 2D-. ИНС в уравнениях (3) следует считать, что Ч\ Чг , q3 = г, bq3 = є, pl = со2г, р2 = -co , /?3 = 0; заметим также, что в силу данного ранее определения трёхгранника бу значения бд, и dq2 связаны с компонентами вектора малого угла \/ = (у,, у2)г, на который плоскость оуху2 (платформа) уклоняется от нормального к вектору q (горизонтального) положения, следующими соотношениями: у, = bq2 /г, \j/2 = -5#, 1г.
Как показано в работах [47, 57, 58], для преобразования трёхкомпо-нентной ИНС в 2D-PfflC геометрическое условие на траекторию (г = const), необходимо дополнить физическим условием (4.1.5) — равновесным состоянием объекта на сфере известного радиуса, измеряемого в соответствии с (4.2.2). Как уже отмечалось, учёт условия (4.1.5) — это качественно новый взгляд на роль радиальной информации в модели 2D-HHC [49, 51]. Воспроизводство условия (4.1.5) на основе представлений о движении объекта, формируемых 2D-HHC с учётом измерения (4.2.2), и представлений об удельной силе F3, приводит к невязке вида (4.1.6), интерпретация которой в качестве измерения даёт основание рассматривать (4.2.3) и (4.1.6) в качестве базовой модели обратной задачи для получения текущих оценок динамической группы погрешностей 2D-HHC. Входящая в (4.1.6) величина /3 является погрешностью представлений о силе F3, т.е. отклонение значения силы F3 от некоторого априорно оцененного её значения. Именно эта интерпретация /3 имеет место в настоящем параграфе, и она, вообще говоря, может быть не связана с использованием традиционных гравиметров, более того, допускает их отсутствие [31].
Рассмотрим случай наземной гравиметрии на неподвижном основании и примем следующую гипотезу об инструментальных погрешностях: v, f, є -случайные процессы типа гауссовский белый шум. Тогда, полагая, что g = const и расширяя систему (4.2.3) уравнением окончательно придём к модели двухкомпонентной гравиинерциальной системы на неподвижном основании в виде обратной задачи,
Выполненное аналитическое исследование корректности постановки этой расширенной обратной задачи, отождествляемое здесь с проверкой условия калмановской наблюдаемости [78], указывает на её разрешимость, если только не принимать во внимание весьма незначительное число исключений, не влияющих на прикладную перспективу задачи. Более того, заметим, что выполнение названного условия свидетельствует о том, что предложенная концепция преобразования 3D-HHC в 2D-HHC в отличие от традиционной [4] приводит к возможности реализации как устойчивых точечных (например, метода наименьших квадратов - МНК), так и асимптотически устойчивых алгоритмов оценивания значений переменных расширенной динамической группы уравнений погрешностей работы 2D-HHC. Суть предлагаемого способа гравиметрии состоит в следующем. Если рассматриваемая обратная задача решена, т.е. получены оценки 6q, 8ри g, а в конечном итоге и векторов q, р, F, то из (4.4.4) находится оценка G3, значение которой в силу того, что при выбранной ориентации приборного трёхгранника Gx = G2 = 0, отождествляется со значением напряженности гравитационного поля в пункте наблюдения.
Ниже приводятся результаты имитационного моделирования, в котором работа 2D-HHC имитируется для случая, когда её платформа предварительно выставлена в горизонте с угловыми погрешностями \\гх и \/2, не меняющимися далее в процессе эксперимента, т.е. речь идет о стационарной
Результаты численного исследования разрешимости задачи гравиметрии на основе 2В-метода инерциальной навигации (модель 2Б-ГИС, dim(L)=Nx5, N=1..15000) платформе. Это позволяет в качестве оцениваемого вектора рассматривать начальный (при / = 0) вектор состояния системы (х). Результаты имитационного моделирования 2D rHC приводятся для следующих условий: широта места гравиметрической съемки ф = 45 ; средне-квадратические значения инструментальных погрешностей ньютонометров и гироскопов соответственно равны с. =10"3 м/с2 и ov =10"3 /час; начальные условия: углы у
Численное решение задачи выполнялось с использованием МНК; к соответствующей модели легко прийти от модели (4.2.3, 4.2.5), если учесть стационарность рассматриваемой ситуации.
При численном исследовании разрешимости было выявлено, что оператор решаемой МНК-задачи (L) на всём интервале наблюдения характеризуется значениями числа обусловленности порядка u(L) «108 -НО15 и минимального сингулярного числа smin(L) «Ю-14-ИСТ6 (рис. 4.2.1). Таким образом, как видно из рисунка, условия u(L) ц. и smiri(L) s m-n выполняются не на всём интервале решения. Выход из положения заключается масштабировании переменных задачи, т.е. в постолбцовой нормировке оператора - каждый столбец оператора L делится на свою евклидову норму. Как видим, значения ц(Ы)) и smin(LD), где D- масштабирующий оператор, удовлетворяют условиям разрешимости на всём интервале решения.
Похожие диссертации на Разработка и исследование моделей устойчивых систем инерциальной навигации
