Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование математических моделей числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде 20
1.1. Математическая модель числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде
1.2. Исследование переходных режимов математической модели числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде 21
1.3. Асимптотическое приближение распределения Пуассона 2 8
1.4. Исследование процессов изменения числа застрахованных лиц 34
1.5. Исследование процессов изменения числа застрахованных лиц при нестационарном пуассоновском входящем потоке 48
1.6. Резюме 54
Глава 2. Исследование математических моделей процессов изменения объемов денежных средств Пенсионного фонда 56
2.1. Анализ бюджета Пенсионного фонда Российской Федерации на 2002 год
2.2. Анализ Федеральных законов об обязательном пенсионном страховании и об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии 58
2.3. Математическая модель процессов изменения объемов базового капитала Пенсионного фонда 61
2.4. Исследование математической модели процессов изменения страхового капитала Пенсионного фонда 65
2.5. Исследование общей модели процессов изменения страхового капитала Пенсионного фонда при стационарном пуассоновском входящем потоке 76
2.6. Исследование общей модели процессов изменения страхового капитала Пенсионного фонда при нестационарном пуассоновском входящем потоке 88
2.7. Резюме 94
Глава 3. Исследование математических моделей процессов изменения накопленного капитала Пенсионного фонда 95
3.1. Математические модели процессов изменения накопленного капитала
3.2. Исследование математической модели процесса изменения накопленного капитала 100
3.3. Частные случаи математической модели процесса изменения накопленного капитала 120
3.4. Резюме 122
Глава 4. Прогноз количественных результатов пенсионной реформы 123
4.1. Численная реализация математической модели числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде -
4.2. Численная реализация математической модели процесса изменения базового капитала Пенсионного фонда 127
4.3. Численная реализация математической модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда 13 0
4.4. Численная реализация математической модели процесса изменения , накопленного капитала Пенсионного фонда 132
4.5. Резюме 136
Заключение 137
Список литературы 13 9
- Исследование переходных режимов математической модели числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде
- Анализ Федеральных законов об обязательном пенсионном страховании и об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии
- Исследование математической модели процесса изменения накопленного капитала
- Численная реализация математической модели процесса изменения базового капитала Пенсионного фонда
Введение к работе
Актуальность работы. Пенсионная реформа, принятая Федеральным законом об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации [73], затрагивает интересы всех без исключения граждан Российской Федерации как в социальном, так и экономическом плане. Суть реформы заключается в переходе от государственного обеспечения по старости, слабо зависящем от индивидуального вклада пенсионера, к пенсионному страхованию, при котором трудовая пенсия будет иметь три составляющие: базовую, страховую и накопительную, при этом две последние определяются индивидуальным вкладом пенсионера за время его трудовой деятельности.
При этом государство берет на себя ответственность за величину базовой составляющей, увеличивая размер накопительной части пенсии за счет дополнительных доходов от инвестиций временно свободных денежных средств Пенсионного фонда, формируемых, главным образом, накопительной составляющей трудовой пенсии.
Исследование этих сложных процессов выполнено на качественном уровне в работах, в основном, экономистов [4, 11, 23, 42, 82-85], либо государственных деятелей [86], в то время как необходимо их детальное исследование методами математического моделирования, позволяющими получить прогноз количественных оценок результатов пенсионной реформы на достаточно далекую перспективу, так как продолжительность перехода к новой системе пенсионирования составит не менее 20 лет.
Таким образом, данная работа, в которой проводится исследование математических моделей в пенсионном страховании, является, безусловно, актуальной.
Состояние проблемы. Страхование - одна из древнейших категорий общественно-производственных отношений. Эволюцию страхового дела рассматривают в своих работах Гвозденко А.А., Дегтярев Г.П., Пылов К.И. и др. [11, 23, 63]. Страхование в России имеет глубокие корни [23, 63]. Начало истории развития страхового дела в России своими корнями уходит к началу 18 века, когда при Государственном банке в 1786 году была создана Страховая Экспедиция, в функции которой вменялось проведение страхования строений. Вскоре появляются такие виды стра-
ховання как страхование имущества, страхование грузов, страхование от несчастного случая, долгосрочное страхование жизни. В годы советской власти особое развитие получает социальное страхование, декретом «О государственном имущественном страховании» положено начало созданию системы государственного страхования - Госстрах. В 1992 система Госстраха преобразована в систему Росгосстраха. Государственные и муниципальные страховые предприятия преобразуются в акционерные страховые общества. Федеральным законом об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации [73] года регламентирован переход от пенсионного обеспечения к пенсионному страхованию.
Проблемами страхования в нашей стране занимаются экономисты (Александров А.А., Гвозденко А.А., Дегтярев Г.П., Денисова И.П., Саркисов С.Э., Шахов В.В., Шихов А.К. и др. [4, 11, 23, 25-27, 42, 69, 82-85]), что, на наш взгляд, не совсем верно, так как для решения этих проблем необходимо привлекать методы математического моделирования, которыми владеют математики, экономисты-математики и специалисты других направлений. Такой подход реализует так называемая актуарная математика [67, 89, 97, 98], методы которой основаны на теории
* вероятностей [10, 18, 64], математической статистике [58] и других математиче-
ских дисциплинах.
Считается, что первыми работами по математической теории страхования являются работы Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования. Ее описание мож-
4 но найти, например, в монографии Э. Штрауба [87]. В публикациях, посвященных
изучению классической модели, в основном исследуются вероятности разорения и выживания страховой компании, принципы выбора нагрузки страховой премии, анализируются время дожития, вероятность наступления страхового случая, страховые тарифы и страховые возмещения.
Щ' В то время как, например, в пенсионном страховании, а также в других видах
страхования, определяющее значение имеет процесс изменения числа заключенных договоров и продолжительности срока страхования. Эти процессы, очевидно, являются случайными, поэтому при анализе страховых процессов необходимо использовать модели и методы теории случайных процессов [8,64].
#
Наиболее адекватными математическими моделями процессов изменения числа заключенных договоров страхования являются процессы теории массового обслуживания [19, 50, 52, 57, 65, 68]. Такой подход рассматривается в работах Ахме-
довой Д.Д.[5, 6], Глуховой Е.В., Капустина Е.В. [14-17], Змеева О.А. [29-41], Лив-*
шица К.И. [46, 47, 56], Терпугова А.Ф. [6, 39-41] и ряда других авторов.
Системы массового обслуживания, используемые для моделирования числа застрахованных лиц при пенсионном страховании, обладают существенной особенностью, заключающейся в том, что необходимо рассматривать двухфазное обслуживание, отражающее период, когда застрахованный работает, а страхователь оплачивает страховые взносы, и период, когда застрахованный является пенсионе-ром, тогда выплату пенсий финансирует Пенсионный фонд.
Исследованию таких процессов изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, и изменения объемов денежных средств фонда и посвящена данная диссертационная работа.
Целью данной работы является построение и исследование математических
моделей, определяющих результаты пенсионной реформы, количественными пока-
щ зателями которой являются размер пенсии и величина накопленных временно сво-
бодных денежных средств Пенсионного фонда, формирующих инвестиционный фонд государства.
Реализуя эту цель, необходимо:
- построить математическую модель процесса изменения числа лиц, застрахо-
^ ванных в Пенсионном фонде, в виде бесконечнолинейной двухфазной системы
массового обслуживания;
-провести исследование построенной математической модели, определив ее основные вероятностно-временные характеристики;
- построить математическую модель изменения объемов временно свободных
'ф денежных средств и провести ее исследование;
- оценить влияние уровня инфляции и доходности инвестиционных проектов
на результаты пенсионной реформы;
-построить прогноз оценки величины пенсии и объема временно свободных денежных средств Пенсионного фонда на достаточно продолжительный горизонт планирования.
#
Методика исследования. Предлагается в качестве математической модели числа застрахованных лиц рассмотреть бесконечнолинейную двухфазную систему массового обслуживания, а процесс изменения накопленного капитала определить дифференциальным соотношением, включающим число застрахованных лиц; провести исследование этих моделей методами теории случайных процессов, включая гауссовские и диффузионные, теории стохастических дифференциальных уравнений, методами асимптотического анализа марковизируемых систем.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:
предложена математическая модель процесса изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде в виде бесконечнолинейной двухфазной системы массового обслуживания;
показано, что в стационарном режиме распределение вероятностей их значений является пуассоновским с параметром, определяемом только интенсивностью входящего потока и средним значением времени обслуживания, не зависящим от вида функции распределения времени обслуживания;
доказано, что в асимптотической модели двумерный случайный процесс, характеризующий изменение числа работающих пенсионеров, можно аппроксимировать двумерным стационарным гауссовским процессом, найдена его матричная корреляционная функция;
предложены математические модели процессов изменения величины базового, страхового и накопленного капитала Пенсионного фонда;
найдены явные выражения, характеризующие изменения с течением времени средних значений величины пенсии и объема накопленного капитала в зависимости от уровня инфляции;
-доказано, что случайный процесс, характеризующий изменение накопленного капитала, является нестационарным гауссовским процессом, найдена его корреляционная функция;
- получены прогнозные оценки средних значений трудовой пенсии и величины
накопленного капитала на перспективу.
Эти результаты, выносимые на защиту, и составляют научную новизну диссертационной работы.
Теоретическая ценность работы состоит в том, что предлагаются математические модели и методы их исследования для процессов, количественно характеризующих результаты пенсионной реформы в Российской Федерации, т.е. разработана теоретическая база таких исследований. 4
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволяют проводить количественный анализ результатов пенсионного страхования при возможных вариантах его реформы. Это проиллюстрировано численными расчетами результатов пенсионной реформы в Российской Федерации на основе Бюджета Пенсионного фонда за 2002 год, текущего уровня инфляции, страховых тарифов, установленных Федеральным законом об обязательном пенсионном
страховании от 15 декабря 2001 года.
Краткое содержание работы
В первой главе исследуются процессы изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде РФ. В качестве математической модели предлагается бесконеч-нолинейная двухфазная система массового обслуживания, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с параметром А,(/), имеющим смысл среднего
числа новых лиц, застрахованных за единицу времени (за один год).
Каждая заявка, поступающая в систему, проходит две фазы. Первая фаза сис
темы соответствует периоду трудовой деятельности застрахованного лица, в тече
ние которого страхователь уплачивает в Пенсионный фонд страховые взносы. Вто
рая фаза соответствует периоду выплаты застрахованному пенсии из средств Пен-
* сионного фонда. Полагаем, что длительность пребывания лица на каждой фазе яв-
ляется экспоненциально распределенной случайной величиной с заданным средним значением у. Для первой фазы и у - для второй.
/ Hi / Н-2
Завершив пребывание на первой фазе заявка с вероятностью г переходит на <ш> вторую фазу обслуживания, а с вероятностью \ — г покидает рассматриваемую
смо.
Обозначим / - число застрахованных лиц на первой фазе, а у - их число на второй фазе.
'»
Для исследования математической модели введем вероятности P{i,j,t) = P(i(t)=i,j(t) = j). В работе показано, что распределение P(i,j,t) удовлетворяет системе уравнений
^^ + (^ + [ili+[i2j)P(iJj) = XP(i-\,jj) + (l-r)^(i + l)P(i + lJj) + ot
+ r[i{(i + l)P(i + lj-\,t) + ii2U + l)P(i,j + l,t).
В пункте 1.2 проводится исследование переходных режимов данной математической модели. Решение указанной системы уравнений осуществляется методом производящих функций, что позволяет установить, что число работающих лиц, застрахованных в Пенсионном фонде и число вышедших на пенсию в один и тот же момент времени t как в стационарном, так и нестационарном режиме являются стохастически независимыми пуассоновскими случайными величинами.
В пункте 1.4 осуществляется более детальное исследование процессов {/(/), j(0} методом асимптотического анализа, для чего выполняется замена вида:
l = x(t), JE = y(t),^-P(i,j,t) = 1l(x,y,t,z).
Здесь *(f), y(t) имеют смысл асимптотически среднего нормированного значения числа работающих и пенсионеров, застрахованных в Пенсионном фонде РФ. Доказываются теоремы:
Теорема 1.4.1. При X -> оо предельный процесс {^(0^2(/)} Для последовательности случайных процессов \ — i(t), — j(t)> является детерминированной двумерной вектор-функцией, определяемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
[4(0 = 1-^(0,
a\(t) = r^,flf,(0- ^2 СО-
Теорема 1.4.2. При Х.-»оо предельный процесс {x(t),y{i)} для последователь
но ~^i(0 j(t)-Xa2{t)\ ,,
ности {——=Д^, г- г является двумерным гауссовским диффузион-
I Л Л J
ным процессом с коэффициентами переноса
А(х>У>0 = -V\x> A2(x,y,t) = г\іхх-\і2У
и диффузии
,,(/) = 1 + ц,а, (О, Я12(0 = -гц,а,(0,
#22 (О = rV\a\ (О + Й2«2 (О
Найдены явные выражения указанных процессов.
В пункте 1.5 приведено обобщение рассматриваемой модели для нестационарного пуассоновского входящего потока. Доказаны теоремы, аналогичные предыдущим и найдены соответствующие характеристики нестационарной модели.
Во второй главе проводится анализ федеральных законов «О бюджете Пенсионного фонда Российской Федерации», «Об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации» и «Об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии в Российской Федерации», регламентирующих реформирование пенсионной системы, исследуются процессы изменения базового и страхового капиталов ПФР.
Под базовым капиталом Фонда понимаются средства, направляемые на финансирование базовой части пенсии и поступающие из федерального бюджета за счет сумм единого социального налога. Страховым капиталом Фонда называем совокупность средств, образуемых суммами страховых взносов, зачисляемые в Фонд на выплату страховой части трудовой пенсии.
В разделе 2.3 полагаем, что величина базового капитала G(t} связана с величиной страховых взносов с,(ґ), поступивших в бюджет фонда в течение года за каждого работающего и величиной с2 (t) базовой части трудовой пенсии, выплаченной за год каждому пенсионеру следующим соотношением:
і G(t)= j(cl(s)x(s)-c2(s)y(s))ds. о
Показано также, что процесс G(t) является гауссовским процессом.
В работе рассмотрены две модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда. В разделе 2.4 приведена модель, в которой величина страхового капитала зависит от двух факторов: суммы поступивших страховых взносов и суммы выплаченной страховой части пенсии застрахованным лицам.
Для анализа величины страхового капитала Пенсионный фонд Российской Фе-
дерации представлен как некоторый объект, который в момент времени / характеризуется двумя случайными процессами: числом застрахованных пенсионеров j(t) и страховым капиталом фонда S(t). Таким образом, в качестве математической
# модели процесса изменения страхового капитала рассмотрен двумерный случай
ный процесс {/(/), S(t)}.
Отметим, что страховой капитал S(t) представляется здесь не реально накопленной суммой средств, а с позиции внутреннего долга государства по обязательствам перед пенсионерами.
Исходными считаем следующие положения:
1) с выходом застрахованного лица на пенсию страховой капитал фонда увели
чивается на величину, равную сумме перечисленных за данное лицо страховых
взносов, являющейся случайной величиной с функцией распределения А(х);
2) поток заявок на назначение трудовой пенсии по старости является простей
шим с параметром Хг (Я - интенсивность поступления заявок на страхование, г -
вероятность достижения пенсионного возраста), имеющим смысл среднего числа
> лиц, достигших пенсионного возраста за единицу времени;
3) каждому пенсионеру ежемесячно выплачивается страховая часть пенсии, ко
торая является случайной величиной с функцией распределения В(х). Суммарный
поток выплат пенсий всем застрахованным пенсионерам является марковским с
интенсивностью 12у,где j - число пенсионеров;
(щ 4) продолжительность получения пенсии является случайной величиной, рас-
пределенной по экспоненциальному закону с параметром \х2.
Показано, что в таком случае распределение вероятностей P(j,S,i) = P(j(t) = j,S
dPU'S,t)+(lr + (n2 +12)j)P(j,S,t) = XrSjPU-hS-u,t)dA(u) +
dt о
+\2j\PU,S + u,t)dB(u) + ii2(j + l)P(j + l,S,t).
Аналогичным представленным в пункте 1.4 способом доказываются теоремы: Теорема 2.4.1. При Я-»оо предельный процесс {Р(0>у(0} для последователь-
'*
ности процессов \ — j(t), — S(t)> является детерминированной двумерной вектор-
(А. А. I
функцией вида:
3(0 = — (і - е-м'-'о))+pV^"'^ .
H2V '
Й2 v J К v-г J
где «J, Z>[ - первые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения А(х) и В(х); Р(?0) = Ро' Y(?o) = Yo-
Теорема 2.4.2. При Я, -> со предельный процесс {y(t), z(t)} для последователь-
[ЛО-ЩО 5(0-Ху(0]
ности < j=* , г- > является двумерным гауссовским диффузионным
процессом с коэффициентами переноса
4(У>2>0 = -ИгУ> A2{y,z,t) = ~\2bxy и диффузии
Вп(0 = г + ц2р(0, B22(t) = ra2+\2b2m, Вп =гах, где ах, bx, а2, b2 - первые и вторые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения А(х) и В(х).
В разделе 2.5 проведено исследование второй, более общей модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда в виде трехмерного случайного процесса {i(t),j(t), S(t)}, отражающего изменение капитала в зависимости от изменения численности лиц, занятых в экономике и лиц, достигших пенсионного возраста. Изменим условия 1) и 2) вышерассмотренного случая на следующие:
страховой капитал фонда регулярно увеличивается на величину, равную сумме поступивших страховых взносов, перечисленных работодателями за застрахованных лиц;
сумма страховых взносов, поступившая за застрахованное лицо в бюджет Пенсионного фонда является значением случайной величины с функцией распределения А(х) и определяется величиной его заработной платы и ставкой страхово-
го взноса;
3) поток заявок на страхование является простейшим с параметром А., а сум
марный поток поступающих взносов - марковским с интенсивностью 12/(/), где
/ = /(/) - число застрахованных работающих лиц в момент времени /, а множитель
12 получен в результате того, что страховые взносы перечисляются 12 раз в год;
продолжительность трудовой деятельности является значением случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону с параметром Ц];
вероятность достижения пенсионного возраста равна г.
В рамках данной задачи распределение вероятностей
P(i(0-i>j(t) = J> S
dP(i,j,S,t)
+ (X + (iil+\2)i + (Vi2+l2)j)P(i,j,S,t) =
= XP(i-l,j,S,t) + Vil(l-r)(i+l)P(i+l,j,S,t) + +^r(i+\)P(i + l,j-l,S,t) + ^.2(j + \)P(<iJ + \,S,t) +
S 00
+12/ \P(i, j, S-u, t)dA(u) +12; \P(it j, S + u, t)dB(u).
о о
Доказаны следующие утверждения.
Теорема 2.5.1. При А.-»оо предельный процесс {a(/),P(0»Y(0} Для последовательности процессов <—i(t),~j(t),—S(t)> является детерминированной трехмер-
I А Л, Л, I
ной вектор-функцией вида:
а(0 = —(l-e"t,,('~*)) + a0e",,,(Mo).
Р(0 = — + —
V-2 И2-И1
^2 J
(
\
rbx\xx
12цЛ
(е-М:('-'а)_^ +
+
(1-^,)(^^-1)+
\"\
(1-аоИ2) + ^р0
\h \V-2-V\
+
Гі2а, 12Vi6)+To>
Щ Й2
где «і, ^ - первые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения А(х) и В(х), а ос0, (30, у0 определяют начальные условия в момент времени t = ґ0,тоесть а(/0) = а0, Р(Г0) = р0, у(^о) = Уо-
Теорема 2.5.2. При X -> оо предельный процесс {*(/), >>(/), z(/)} для последовало - МО Д/)-яр(0 5(0-л.у(0]
тельности < = ,- —-—,— г- г является трехмерным гауссовским
диффузионным процессом с коэффициентами переноса
Ax(x,y,z) = -\i{x, A2(x,y,z) = \i{rx-yL2y, А3 =12а1х-12Ь1у и диффузии
Bu(t) = l + ^a(t), Bl2(t) =-ціГа(0, В22 (/) = u,m(0 + ц2Р(0, В33 (/) = \2a2a(t) +126^(/), где ах, Ъх, а2, Ь2 - первые и вторые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения А{х) и В(х) соответственно.
В разделе 2.6 исследование модели пункта 2.5 обобщается на случай нестационарного пуассоновского входящего потока, для которого получены все вышеперечисленные характеристики.
Третья глава посвящена исследованию процесса изменения накопленного капитала Пенсионного фонда, то есть капитала, включающего в себя суммы страховых взносов, перечисленные в Пенсионный фонд на финансирование данной части пенсии и доходы от операций по инвестированию временно свободных средств пенсионных накоплений.
Вследствие того, что формирование капитала будет происходить в течение не менее 20 лет, прежде чем начнутся выплаты накопительной части пенсии, целесообразно учесть влияние инфляции.
В настоящей работе рассмотрена следующая модель процесса изменения уровня инфляции к (г):
dK.(t) f і \ \
-ЛІ = -у(к(/)-к,),
k(0) = k0,
здесь v > 0 - параметр, определяющий темп снижения уровня инфляции, параметр к, имеет смысл экономически обоснованного уровня инфляции.
Таким образом, уровень инфляции в момент времени t определяется равенством
к(?) = к1+(к0-к1)е_%".
Предполагается, что темпы изменения во времени средней заработной платы совпадают с соответствующим уровнем инфляции, а в качестве доходности 8 инвестиционных портфелей рассмотрена номинальная доходность 5(/).
Аналогично ранее рассмотренным случаям, при построении нестационарной математической модели процесса изменения во времени накопленного капитала Пенсионного фонда Российской Федерации исходим из следующих предположений:
поток заявок на страхование является пуассоновским с параметром А,(/);
сумма страховых взносов, ежемесячно перечисляемая в ПФР на финансирование накопительной части трудовой пенсии, является значением случайной величины с функцией распределения A{x,ty,
величина накопительной части трудовой пенсии, ежемесячно выплачиваемой пенсионерам, является значением случайной величины с функцией распределения B(x,t);
величина выплат пенсионных накоплений в случае смерти застрахованного лица его правопреемникам, является значением случайной величины с функцией распределения D(x,i);
продолжительность трудовой деятельности и продолжительность получения пенсии являются случайными величинами, распределенными по экспоненциальному закону с параметрами \i{ и д2 соответственно;
вероятность достижения пенсионного возраста равна г ;
ставка доходности инвестиционных портфелей равна 8(/).
В качестве математической модели процесса изменения накопленного капитала ПФР рассматривается трехмерный случайный процесс {/(?), y'(j), 5(/)}, где /(/)
- число работающих застрахованных лиц, у'(/) - число пенсионеров, S(t) -накопленный капитал фонда. Обозначим
P{m = ij{t) = j, S
S 00
+
= Яр (t) P{i -1, j, S, t) +12/ j>(/, j,S-u,t)dA(u,t) + l 2j j>(/, j, S + u, t)dB(u, t)
о 0
+\i]r(i+l)P(i+l,j-\,S,t) + [i2U + l)P(i,j + l,S,t) +
+\ix{\-r){i+X)\p(i + \J,S + u,t)dD{u,t).
B разделе 3.2 приведено доказательство следующих теорем. Теорема 3.2.1. При Я-»оо предельный процесс {а(О>Р(О>у(0} для последовательности процессов < — i(t),—j(t),—S(t)> является детерминированной трехмер-
IЛ Л. А 1
ной вектор-функцией вида:
a(t) = e-*'
а0е*' +
Jp(5)eM'V5
р(0 = е-^'
1 S
р>мЛ +щг j а0ем + |р(и)Л/и
h\
{^)sds
|б(и)t (s(u)du
y(/) = y0e' + \{(\2ax (s)-nl(l-r)dl(s))a(s)-\2b](s)^))e' ds,
где a, (/), bx (f), dx (/) - первые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения A(x,t), B(x,t), Z)(x,/); а(/0) = а0, |3(/0) = (30,
7('o) = Yo-
Теорема 3.2.2. При Я,-» со предельный процесс [x{t),y{t),z(t)} для последова-
Г/(0-Я.а(0 У(0-ЭД(0 S(t)-Xy(t)\
тельности < j= ,- г- -,——т=^—\ является трехмерным гауссовским
диффузионным процессом с коэффициентами переноса
Ax(x,y,z,t) = -\ixx(t)\ A2(x,y,z,t) = ц,гх(ґ)- [i2y(t)>
^з(^У,^0=02аі(0-Ці(і-^К(ОМО-12>і(ОЯО+5(Ф(0
и диффузии
Яц(О = р(0+Иі<*(О, ДІ2(ґ) = -Ціга(0, 5,3(/) = ^(1-^(0, В22(0=Ц,га(0+Ц2Р(0.^2з(0=0.
53зМ=02«2(О+^0-О^(О)аМ+12^МР(О'
где «j (ґ), fy(f), с^(/); «2(0' ^2 (0 > ^2 (О _ первые и вторые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения A(x,t) и B{x,t), D(x,t).
В пункте 3.3 представлены частные случаи математической модели процесса изменения накопленного капитала. Отдельно рассматривается процесс чистого накопления капитала, а также процесс изменения его величины по окончании переходного периода.
В четвертой главе представлена численная реализация рассмотренных моделей. Расчеты произведены с использованием системы Mathcad.
Получены сценарии изменения следующих количественных показателей:
числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде Российской Федерации,
величины базового и страхового капитала ПФР,
величины накопительной части пенсии и накопленного капитала ПФР с учетом их увеличения за счет инвестирования временно свободных денежных средств.
Показано, что величина накопленного капитала будет сравнима с бюджетом страны, вместе с тем накопительная часть пенсии не позволит кардинально изменить величину трудовой пенсии.
Публикации. Основное содержание работы отражено в следующих статьях и материалах научных конференций:
1. Гарайшина И.Р. Асимптотическое приближение числа лиц, застрахованных Л, в Пенсионном фонде // Сборник трудов межрегиональной VII научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». - Анжеро-Судженск, 2002. С. 22-24.
Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Математическая модель числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде // Труды второй всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. -Красноярск, 2003. С.41-44.
Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование переходных режимов в математической модели изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 14-20.
Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование математической модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда//Вестник Томского государственного университета, 2003. №280. С. 109-III.
Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование бесконечнолинейной двухфазной системы массового обслуживания// Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети. Материалы международной научной конференции «Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей» 23-25 сентября. Выпуск 17. - Гомель, 2003. С. 88-92.
капитала Пенсионного фонда // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Наука и практика: диалоги нового века» (14 ноября 2003 г., г. Анжеро-Судженск). Часть III. -Томск: «Твердыня», 2003. С. 58-60.
7. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование математической модели числа
($' лиц, застрахованных в Пенсионном фонде // Материалы XLI Международной на
учной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». -
Новосибирск, 2003. С. 130-131.
8. Гарайшина И.Р. Математические модели процесса изменения накопленного
капитала Пенсионного фонда // Обработка данных и управление в сложных систе
мах. Вып. 6. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 39-48.
9. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование математической модели изме
нения страхового капитала Пенсионного фонда при стационарном пуассоновском
входящем потоке страховых взносов // Известия ВУЗов. Физика. - 2004. - №2. - С.
44-53.
Гарайшина И.Р. Исследование процесса изменения накопленного капитала Пенсионного фонда // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции (16-17 апреля 2004 г.). Ч. 1-Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 22-24.
Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Прогноз величины накопленного капитала ПФР и накопительной части трудовой пенсии // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (11-12 декабря 2004 года) Ч. 2. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 142-144.
Гарайшина И.Р. Исследование процесса изменения накопленного капитала Пенсионного фонда при нестационарном входящем потоке фонда // Вестник Томского государственного университета, 2004. №284. С.46-48.
Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
1. VII межрегиональной научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2002.
Второй Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск, 2003.
XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2003.
Международной научной конференции «Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей». Гомель, 2003.
Всероссийской научно-практической конференции «Наука и практика: диалоги нового века». Анжеро-Судженск, 2003.
VIII Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2004.
III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2004.
Исследование переходных режимов математической модели числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде
Пенсионного фонда на достаточно продолжительный горизонт планирования. Методика исследования. Предлагается в качестве математической модели числа застрахованных лиц рассмотреть бесконечнолинейную двухфазную систему массового обслуживания, а процесс изменения накопленного капитала определить дифференциальным соотношением, включающим число застрахованных лиц; провести исследование этих моделей методами теории случайных процессов, включая гауссовские и диффузионные, теории стохастических дифференциальных уравнений, методами асимптотического анализа марковизируемых систем. Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем: - предложена математическая модель процесса изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде в виде бесконечнолинейной двухфазной системы массового обслуживания; - показано, что в стационарном режиме распределение вероятностей их значений является пуассоновским с параметром, определяемом только интенсивностью входящего потока и средним значением времени обслуживания, не зависящим от вида функции распределения времени обслуживания; - доказано, что в асимптотической модели двумерный случайный процесс, характеризующий изменение числа работающих пенсионеров, можно аппроксимировать двумерным стационарным гауссовским процессом, найдена его матричная корреляционная функция; - предложены математические модели процессов изменения величины базового, страхового и накопленного капитала Пенсионного фонда; - найдены явные выражения, характеризующие изменения с течением времени средних значений величины пенсии и объема накопленного капитала в зависимости от уровня инфляции; -доказано, что случайный процесс, характеризующий изменение накопленного капитала, является нестационарным гауссовским процессом, найдена его корреляционная функция; - получены прогнозные оценки средних значений трудовой пенсии и величины накопленного капитала на перспективу.
Эти результаты, выносимые на защиту, и составляют научную новизну диссертационной работы. Теоретическая ценность работы состоит в том, что предлагаются математические модели и методы их исследования для процессов, количественно характеризующих результаты пенсионной реформы в Российской Федерации, т.е. разработана теоретическая база таких исследований. 4 Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволяют проводить количественный анализ результатов пенсионного страхования при возможных вариантах его реформы.
Это проиллюстрировано численными расчетами результатов пенсионной реформы в Российской Федерации на основе Бюджета Пенсионного фонда за 2002 год, текущего уровня инфляции, страховых тарифов, установленных Федеральным законом об обязательном пенсионном страховании от 15 декабря 2001 года. Краткое содержание работы В первой главе исследуются процессы изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде РФ. В качестве математической модели предлагается бесконеч-нолинейная двухфазная система массового обслуживания, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с параметром А,(/), имеющим смысл среднего числа новых лиц, застрахованных за единицу времени (за один год).
Каждая заявка, поступающая в систему, проходит две фазы. Первая фаза сис темы соответствует периоду трудовой деятельности застрахованного лица, в тече ние которого страхователь уплачивает в Пенсионный фонд страховые взносы. Вто рая фаза соответствует периоду выплаты застрахованному пенсии из средств Пен сионного фонда. Полагаем, что длительность пребывания лица на каждой фазе яв ляется экспоненциально распределенной случайной величиной с заданным средним значением у. Для первой фазы и у - для второй. Завершив пребывание на первой фазе заявка с вероятностью г переходит на вторую фазу обслуживания, а с вероятностью \ — г покидает рассматриваемую смо. Обозначим / - число застрахованных лиц на первой фазе, а у - их число на второй фазе. Для исследования математической модели введем вероятности P{i,j,t) = P(i(t)=i,j(t) = j). В работе показано, что распределение P(i,j,t) удовлетворяет системе уравнений В пункте 1.2 проводится исследование переходных режимов данной математической модели. Решение указанной системы уравнений осуществляется методом производящих функций, что позволяет установить, что число работающих лиц, застрахованных в Пенсионном фонде и число вышедших на пенсию в один и тот же момент времени t как в стационарном, так и нестационарном режиме являются стохастически независимыми пуассоновскими случайными величинами. В пункте 1.4 осуществляется более детальное исследование процессов {/(/), j(0} методом асимптотического анализа, для чего выполняется замена вида: Здесь (f), y(t) имеют смысл асимптотически среднего нормированного значения числа работающих и пенсионеров, застрахованных в Пенсионном фонде РФ. Доказываются теоремы
Анализ Федеральных законов об обязательном пенсионном страховании и об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии
Изучение Федерального закона об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации [73] показывает, что в результате реализации пенсионной реформы в Российской Федерации трудовая пенсия будет складываться из трех частей: базовой части, финансирование которой будет осуществляться за счет сумм единого социального налога, зачисляемых в федеральный бюджет, страховой и накопительной частей, финансирование которых будет осуществляться за счет сумм страховых взносов.
Бюджет Пенсионного фонда Российской Федерации формируется за счет следующих источников: сумм единого социального налога, поступающих из федерального бюджета, страховых взносов, зачисляемых в Фонд на выплату страховой части трудовой пенсии, страховых взносов на накопительную часть трудовой пенсии, доходов от размещения (инвестирования) временно свободных средств обязательного пенсионного страхования, иных источников.
В статье 22 Федерального закона об обязательном пенсионном страховании приведена таблица тарифов страховых взносов, величина которых зависит от налогооблагаемой базы.
Очевидно, что для основной массы Страхователей база для начисления страховых взносов вряд ли превышает 280 тыс. руб. Для этой базы ставка страховых взносов равна 14%, которые распределяются на финансирование страховой и накопительной части трудовой пенсии. Так, для лиц 1967 года рождения и моложе тарифы составляют: 8% для страховой части и 6% для накопительной.
Для лиц 1966 года рождения и старше накопительная часть пенсии не формируется и весь объем страховых взносов предназначается для выплаты страховой части пенсии.
Отметим, что выплаты накопительной части трудовой пенсии начнутся примерно через 20 лет, когда женщины 1967 года рождения достигнут пенсионного возраста. В течение этого времени будет формироваться накопительный капитал Пенсионного фонда.
Очевидно, что пенсионная реформа имеет смысл в случае эффективной реализации ее второй составляющей, заключающейся в том, что Федеральный закон [73] дает право Пенсионному фонду использовать временно свободные средства обязательного пенсионного страхования, реализуя управление средствами бюджета Фонда, более того, это право является обязанностью Фонда, декларированной Федеральным законом об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии в Российской Федерации [75].
Проведем краткий анализ данного Федерального закона [75]. Его изучение показывает, что Пенсионный фонд Российской Федерации осуществляет свои права и исполняет обязанности, установленные настоящим Федеральным законом, исключительно в интересах застрахованных лиц. Для этого он обязан заключать договоры с государственными управляющими компаниями, которые отобраны в результате конкурса и передавать им временно свободные средства пенсионных накоплений с целью их инвестирования. В статье 27 говорится, что целью инвестирования средств пенсионных накоплений, передаваемых Пенсионным фондом управляющим компаниям, является получение дополнительного дохода.
В статье 12 сказано, что управляющая компания обязана: инвестировать средства пенсионных накоплений исключительно в интересах застрахованных лиц, осуществлять инвестирование средств пенсионных накоплений разумно и добросовестно, исходя из необходимости обеспечения принципов надежности, ликвидности, доходности и диверсификации.
Для реализации этих принципов статьей 26 определены разрешительные активы (объекты инвестирования): 1) государственные ценные бумаги Российской Федерации; 2) государственные ценные бумаги субъектов Российской Федерации; 3) облигации российских эмитентов; 4) акции российских эмитентов, созданных в форме открытых акционерных обществ; 5) паи (акции, доли) индексных инвестиционных фондов, размещающих средства в государственные ценные бумаги и акции иных иностранных эмитентов: 6) ипотечные ценные бумаги; 7) денежные средства в рублях на счетах в кредитных организациях; 8) депозиты в рублях в кредитных организациях; 9) иностранную валюту в кредитных организациях. При этом отмечено, что не допускается размещение средств пенсионных накоплений в иные объекты инвестирования, прямо не предусмотренные настоящим Федеральным законом. Наконец, в статье 38 определены виды выплат за счет пенсионных накоплений. Здесь говорится, что «за счет средств пенсионных накоплений осуществляются выплаты накопительной части трудовой пенсии, а также выплаты правопреемникам умерших застрахованных лиц».
Таким образом, в результате изучения Федеральных законов об обязательном пенсионном страховании [73] и об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии [75], нами установлено, что процессы изменения денежных средств Пенсионного фонда для финансирования базовой и страховой частей трудовой пенсии аналогичны друг другу. Процесс изменения объема денежных средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии имеет принципиальное отличие в связи с инвестированием его значительной части в высокодоходных, надежных, ликвидных активах, получения дополнительной прибыли, которая должна обеспечить увеличение накопительной части трудовой пенсии, не меняя тарифов страховых взносов. Учитывая таблицу тарифов страховых взносов, приведенных в Федеральном законе об обязательном пенсионном страховании [73], необходимо рассмотреть разные математические модели процессов изменения объемов денежных средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии, то есть модели изменения накопленного капитала Пенсионного фонда. Проведем исследование процесса изменения базового капитала в зависимости от стохастических изменений числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, рассматривая в качестве его математической модели трехмерный случайный процесс {i(t),j(t),S(t)}, где i(t) - число работающих застрахованных лиц, j(t) -число пенсионеров, S(t) — объем базового капитала фонда в момент времени t. Введем следующие обозначения: - cx(t) -средняя величина денежных средств, поступающих в бюджет Пенсионного фонда на индивидуальный счет застрахованного лица на финансирование выплат базовой части пенсии за единицу времени (календарный год);
Исследование математической модели процесса изменения накопленного капитала
Для того, чтобы гарантировать пенсионные права тех поколений россиян, которые будут выходить на пенсию в неблагоприятные демографические периоды, государству необходимо резервировать им те финансовые ресурсы, которых будет недоставать для оплаты социальных обязательств перед ними, когда они выйдут на пенсию. Единственным источником для этого являются страховые платежи, которые перечисляются за них работодателями, часть из которых и предназначена на финансирование выплат дополнительной - накопительной части пенсии. Ожидает ся, что выплата накопительной части сгладит последствия ухудшения демографической ситуации и позволит удержать размер пенсии на должном уровне, не прибегая к увеличению страховых тарифов. Под накопленным капиталом, предназначенным для финансирования накопи тельной части трудовой пенсии, мы понимаем совокупность средств, включающую в себя суммы страховых взносов, перечисленные в Пенсионный фонд на финанси-рование данной части пенсии и доходы от операций по инвестированию временно свободных средств пенсионных накоплений. Согласно Федеральному закону [74], внесшему изменения в принятый ранее Федеральный закон об обязательном пенсионном страховании [73], накопительная часть пенсии формируется только для лиц 1967 года рождения и моложе, при этом тариф страховых взносов на финансирование данной части пенсии составляет 6%. Очевидно, что в течение ближайших двадцати лет будет наблюдаться процесс «чистого» накопления капитала Пенсионного Фонда, образуемого за счет поступления страховых взносов и доходов от их инвестирования. Выплаты в этот период осуществляются только в случае смерти застрахованного лица его правопреемникам.
Систематические выплаты накопительной части трудовой пенсии начнутся с 2022-2027 годов, то есть с того момента, когда женщины и мужчины 1967 года ро-ждения достигнут пенсионного возраста. В связи с этим имеет смысл рассмотреть различные математические модели процесса изменения накопленного капитала Пенсионного Фонда, отражающие особенности его формирования в отдельные промежутки времени для мужчин и женщин. " Выделим три интервала времени: 1)2002-2021 г.г., в течение которого происходит процесс чистого накопления как для мужчин, так и для женщин; 2) 2022-2026 г.г. - в этот период начинаются выплаты накопительной части женщинам, достигшим пенсионного возраста, для мужчин продолжается процесс чистого накопления капитала; 3) 2027 г. и далее - начиная с 2027 г. всем выходящим на пенсию осуществля-ется выплата накопительной части пенсии. Для наглядного представления рассматриваемых ситуаций составим таблицу 3.1.1, в которой будем ставить знак «+», если в указанный период осуществляется выплата накопительной части пенсии, а знак «-» в противном случае. Из приведенной таблицы становится видно, что можно выделить четыре основных случая, отличающихся указанным показателем. Важной составляющей, обеспечивающей формирование накопленного капитала, является получение доходов от инвестирования средств пенсионных накоплений.
При долгосрочных прогнозах необходимо учесть изменение во времени уровня доходности (обозначим его 5) инвестиционных портфелей, т.е. считать 5 = 5(/) . По мнению специалистов, существует достаточно сильная корреляционная связь между доходностью 8(/) и уровнем инфляции к(/). Рассмотрим наиболее простую модель изменения уровня инфляции к(/), определяемую следующим образом: здесь v 0 - параметр, определяющий темп снижения уровня инфляции, параметр к, имеет смысл экономически обоснованного уровня инфляции. В развитых странах он составляет 2-3%. Значение параметра v, определяющего темп снижения инфляции, необходимо выбирать из целесообразных экономических соображений и в этом плане v является одним из важнейших управляющих параметров развития экономики. С точки зрения пенсионной реформы, при малых значениях v уровень инфляции уменьшается медленно, и долгосрочные накопления с течением времени значительно обесцениваются. При больших значениях v уровень инфляции снижается быстро, при этом значительно снижается доходность инвестиционных проектов, так как, по мнению специалистов, доходность определяется не текущим уровнем инфляции, а его ожидаемым значением, поэтому происходит незначительное увеличение долгосрочных накоплений за счет дополнительных доходов от инвестиций.
Численная реализация математической модели процесса изменения базового капитала Пенсионного фонда
Отметим, что для рассматриваемой модели интенсивное снижение уровня инфляции происходит в течение первых 15 лет, а далее в течение еще 20 лет уровень инфляции снижается до заданного уровня в 3%. Таким образом, при темпе снижения v = 0,1 в течение 35 лет экономика выходит на стационарный по уровню инфляции режим развития. Рассчитаем теперь величину базового капитала ПФР.
Согласно модели (2.3.3) процесса изменения базового капитала Пенсионного фонда РФ, в момент времени t его величина G{t) равна: где cx(t) - средняя величина страховых взносов, перечисленных на финансирование базовой части пенсии платы за календарный год, c2{t) - средняя величина базовой части пенсии застрахованного лица в год, ос(/), р(/) соответственно число работающих и число пенсионеров. Страховые взносы на выплату базовой части пенсии перечисляются в ПФР из сумм единого социального налога в размере 14% от заработной платы застрахованного лица. Считаем, что темп изменения во времени средней заработной платы совпадает с соответствующим уровнем инфляции. Размер базовой части трудовой пенсии определяется в соответствии с Федеральным законом о трудовых пенсиях и индексируется с учетом темпов роста инфляции в пределах средств, предусмотренных на эти цели в федеральном бюджете и бюджете Пенсионного фонда Российской Федерации на соответствующий финансовый год. В 2002 году средняя величина базовой части пенсии выплачивалась в размере 566,7 руб.
Так как, согласно статистике, в 2002 году средняя заработная плата в Российской Федерации составляла 3200 руб., то за каждое застрахованное, лицо работодатель перечислял 448 руб. в месяц или 5 376 руб. за год. Таким образом, по нашим подсчетам, сумма единого страхового взноса, предназначенная для финансирования выплат трудовых пенсий, которая должна быть перечислена в Федеральный бюджет в 2002 году составляет 5 376 -64,664 -106=347,634 млрд. руб., или с учетом среднегодового коэффициента сбора ЕСН в размере 0.98 340,680 млрд. руб., что вполне соотносится с суммой в 331,603 млрд. руб.. указанной в «Федеральном законе об исполнении бюджета Пенсионного фонда Российской Федерации за 2002 год» [76]. В соответствии с полученными начальными условиями рассчитаем величину базового капитала G{t) в момент времени / (таблица 4.5). Базовая часть пенсии, очевидно, будет определяться главным образом величиной средней заработной платы в Российской Федерации как в настоящее время, так и в достаточно далекой перспективе. При изменении заработной платы в соответствии с уровнем инфляции базовая часть трудовой пенсии не будет меняться и составит в будущем примерно ту же сумму, что и в настоящее время, то есть приблизительно 6 800 руб. в год в сопоставимых с 2002 г. ценах. Еще раз отметим, что сделанный вывод будет справедливым при выполнении . трех условий: 1. Стабильного развития экономики страны. 2. Изменения средней зарплаты в соответствии с уровнем инфляции. 3. Соблюдения баланса доходов и расходов базового капитала Пенсионного Фонда.
В результате процессов увеличения числа пенсионеров и снижения числа лиц в трудоспособном возрасте весьма вероятным оказывается снижение уровня базовой части трудовой пенсии при сохранении существующих ныне тарифов страховых взносов либо станет необходимым их увеличение для поддержания соответствующего уровня пенсии. С введением нового законодательства по пенсионному страхованию ожидается, что выплата страховой и накопительной частей пенсии должна будет сгладить последствия ухудшения демографической ситуации и позволит удержать размер пенсии на должном уровне, не прибегая к увеличению страховых тарифов. Перейдем к расчету страхового и накопительного капитала ПФР. Как отмечалось в пункте 2.2, в отличие от единого для всех работающих размера взносов на финансирование базовой части пенсии, тарифные ставки страховых взносов на финансирование страховой части пенсии дифференцированы и составляют 14% для лиц 1966 г.р. и старше, 8% - для лиц 1967 г.р. и моложе. В наших численных расчетах будем считать, что в среднем перечисляется 11% налогооблагаемой базы. 130 В соответствии с формулой (2.6.2), величина страхового капитала ПФР y(t) в момент времени t определяется средней величиной страховых взносов a{{t), зачисляемых ежемесячно в Фонд на выплату страховой части трудовой пенсии, средней величиной страховой части трудовой пенсии bx(t), а также численностью работающих застрахованных лиц а(/) и пенсионеров р(/) следующим образом: Рассчитаем величину ах (t) в 2002 году:
Тогда за 2002 год за каждое застрахованное лицо было перечислено 4 224 руб., а в целом на финансирование выплат страховой части пенсии в бюджет Пенсионного фонда поступило 4 224-64,664-106=273,141 млрд.руб., с учетом 98%-ых сборов - 267,678 млрд.руб., что достаточно близко к сумме 246,13 млрд.руб., приведенной в Федеральном законе [76]. Определяя таким образом «доходную» часть страхового капитала и принимая в качестве начального значения величины страховой части пенсии, сумму 828,3 руб. и учитывая ее индексацию в соответствии с темпом инфляции, рассчитаем величину страхового капитала y(t). Отметим, однако, что сумма страховых взносов, поступающих в Фонд, не обеспечивает финансирование страховой части трудовых пенсий, поэтому текущие выплаты страховой части пенсии осуществляются в том числе и за счет сумм базового капитала бюджета ПФР.
