Содержание к диссертации
Введение
1. Условное время до разорения страховой компании, описываемой классической моделью 25
1.1. Вероятности разорения и выживания страховой компании 26
1.2. Производящая функция условного времени до разорения 28
1.2.1. Производящая функция условного времени 28
1.2.2. Плотность распределения при нулевом капитале 31
1.2.3. Асимптотическое поведение условного распределения времени до разорения 32
1.2.4. Условное распределение времени до разорения при произвольном капитале 37
1.3. Условные моменты времени до разорения 41
1.3.1. Уравнения, определяющие условные моменты времени до разорения 41
1.3.2. Неравенства на моменты 46
1.3.3. Асимптотическое поведение моментов 48
1.4. Характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии 50
1.4.1. Вероятность разорения страховой компании 50
1.4.2. Условные моменты времени до разорения 53
1.4.3. Вероятность достижения заданного значения капитала 56
1.4.4. Условное среднее время достижения заданного значения капитала 57
Резюме 59
2. Влияние рекламы на деятельность страховой компании, описываемой классической моделью 60
2.1. Модель изменения капитала 60
2.2. Оптимальное управление расходами на рекламу 66
2.3. Оптимальное управление расходами на рекламу. Второй критерий оптимальности 70
2.4. Вероятности разорения и выживания 78
2.5. Условное среднее время до разорения 87
Резюме 91
3. Исследование модели страховой компании с нестационарным пуассоновским потоком страховых премий 92
3.1. Модель страховой компании. Распределение числа клиентов страховой компании 92
3.2. Оптимальное управление расходами на рекламу 101
3.3 Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний, действующих на ограниченном страховом рынке 107
Резюме 116
Приложение.
Заключение 122
Библиографический список использованной литературы 124
- Производящая функция условного времени до разорения
- Характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии
- Оптимальное управление расходами на рекламу. Второй критерий оптимальности
- Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний, действующих на ограниченном страховом рынке
Введение к работе
Актуальность работы
Одним из важных разделов прикладной математики является математическая теория имущественного страхования (актуарная математика), дающая теоретические основы методам, позволяющим оценить эффективность функционирования страховой компании. Идеи математической теории страхования получили широкое распространение, и круг практических задач, решаемых методами этой теории, непрерывно расширяется.
Основы современной актуарной математики были заложены работами Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования [41,62]. Классическая модель страховой компании, благодаря ее относительной простоте, позволяет вычислить в явном виде вероятности разорения и выживания страховой компании, выработать рекомендации по определению необходимого начального капитала и назначению страховых премий. В то же время классическая модель не отражает многие черты деятельности страховых компаний в реальной жизни. Развитию и уточнению классической модели посвящено большое количество работ по математической теории страхования, однако, остается еще много проблем, требующих дополнительного исследования. К числу малоизученных можно отнести, например, проблемы: введения и исследования, наряду с вероятностями разорения и выживания, некоторых дополнительных характеристик деятельности страховой компании; исследования модели страховой компании с нестационарными потоками страховых премий и страховых платежей; управления потоком страховых премий, поступающих в страховую компанию, в том числе за счет рекламы.
В представленной работе исследуются модели, учитывающие эти факторы, что, по мнению автора, и определяет ее актуальность.
Работа выполнялась по плану научно-исследовательских работ факультета информатики и факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.
Цель работы
Целью данной работы является: нахождение статистических характеристик условного времени до разорения страховой компании, описываемой классической моделью: распределения вероятностей условного времени, моментов условного времени. Нахождение асимптотических статистических характеристик условного времени до разорения при малой нагрузке страховой премии или неограниченно возрастающем начальном капитале; оценка влияния расходов на рекламу на характеристики страховой компании в рамках классической модели: средний капитал, вероятности разорения и выживания, условное время до разорения. Определение условий эффективности рекламы и решение задачи оптимального управления долей капитала страховой компании, выделяемой на рекламу, в рамках классической модели; нахождение характеристик страховой компании с нестационарным пуассоновским потоком страховых премий и произвольной функцией распределения времени пребывания клиента в страховой компании. Решение задачи оптимального управления расходами на рекламу для данной модели; решение задачи о конкурентном взаимодействии двух страховых компаний с пуассоновскими потоками страховых премий, интенсивности которых зависят от нагрузок страховых премий, действующих на ограниченном страховом рынке.
Состояние проблемы
Публикации, посвященные различным проблемам актуарной математики, можно достаточно условно разбить на две группы. Первая группа работ посвящена исследованию так называемой классической модели страховой компании, описание которой можно найти, например, в монографиях Э. Штрауба [48], Д. Кокса и В. Смита [30], Y. Н. Panjer и G.E. Willmont [69], J. Grandell [57], H.U. Gerber [54], H. У. Прабху [39], обзорах В.И. Роторя и В.Е. Бенинга [41], П. Эмбрехтса и К. Клюппенберта [50], В. Калашникова и Д. Константинидиса [27]. В рамках этой модели процесс поступления страховых премий в компанию считается детерминированным, страховые выплаты (требования) - независимые, как правило, одинаково распределенные случайные величины, моменты страховых выплат образуют пуассоновский поток.
В публикациях, посвященных изучению классической модели, в основном исследуются вероятности разорения и выживания страховой компании и принципы выбора нагрузки страховой премии (нагрузки безопасности). Из работ последнего времени отметим, например, работы V.M. Malinovskii [59, 60], в которых рассматривается вероятность разорения на конечном интервале, В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [8], в которой рассматривается вероятность разорения при малой нагрузке страховой премии, J. Grandell [55, 56], в которой исследуются простые аппроксимации вероятности разорения. S. Asmussen [53] исследовал адаптивные процедуры оценки вероятности разорения. В работах О.П. Виноградова [11], Ю.Д. Григорьева и А.В. Куклина [18, 19] рассматриваются возможности построения верхних и нижних границ для вероятности разорения. В работе В.В. Калашникова и Г.Ш. Цициашвили [28] строятся оценки для вероятности разорения при наличии больших выплат. Возможности перестрахования больших рисков рассматриваются в работах Г. А. Медведева [35], Е.В. Глуховой и Е.В. Капустина [13], Е.В. Булинской [10]. В большинстве работ последнего времени рассматриваются более сложные модели, обобщающие классическую модель. Процесс поступления страховых премий в компанию также считается случайным процессом. Так, например, в работе К.И. Лившица [33] находятся вероятность разорения и условное время до разорения для случая, когда страховые премии, поступающие в компанию, образуют пуассоновский процесс, в работах В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [6, 7] исследуется случай, когда моменты страховых выплат образуют процесс Кокса (дважды стохастический пуассоновский процесс). Неоднородный поток страховых выплат рассматривается в работе О.П. Виноградова [12].
В перечисленных выше работах исследуется, как правило, стационарный режим функционирования страховой компании, когда ее характеристики можно считать независящими от текущего времени. Исследованию нестационарных режимов посвящены работы О.А. Змеева, где рассматриваются отдельно случаи как ограниченного [22, 24], так и неограниченного [23, 25] страхового рынка.
Большое внимание уделяется также проблемам, связанным с возможностью страховой компании использовать имеющиеся в ее распоряжении свободные средства для получения дополнительной прибыли и уменьшения тем самым вероятности разорения. Е.В. Глуховой и Е.В. Капустиным [13, 14] рассчитывались вероятности выживания страховой компании при размещении части средств на депозитных вкладах. Минимизации вероятности разорения путем выбора инвестиционной стратегии посвящены работы Т.А. Белкиной, А.Г. Фроловой, СВ. Чекалиной [4, 5], А.В. Бойкова и А.В. Мельникова [9], в которых предполагается возможность как безрисковых, так и рисковых инвестиций.
В ряде работ рассматриваются более сложные по сравнению с предыдущими модели. Например, Н. Schmidli [63] рассматривает возможность одновременного инвестирования и перестрахования. Ф. Еникеева и В. Калашников [21] и Tsitsiashvilii G.Sh. [58, 64], исследовали модели риска с инфляцией.
Другим аспектам математической теории страхования посвящены работы [58, 64]. В работе П. Эмбрехтса [51] прослеживается связь между актуарным и финансовым подходами к расчету страховых премий. Применение методов теории чувствительности к задачам страхования и теории финансов рассматривается в работе R. Norberg [61]. Применению франшизы, которая может получить большое распространение в связи введением обязательного автомобильного страхования, посвящена работа Ю.Д. Григорьева и И.Ю. Хекало [20].
Наиболее близкими по тематике к вопросам, рассматриваемым в диссертации, являются работы Д.Д. Ахмедовой, О.А. Змеева и А.Ф. Терпугова [1, 2, 3], в которых рассматривается влияние расходов на рекламу на деятельность страховой компании, и работы О.А. Змеева [26] и С.А. Масяйкина [34], в которых исследуется конкурентное взаимодействие страховых компаний.
Несмотря на обилие работ по математической теории имущественного страхования, многие вопросы требуют дальнейшего изучения.
Как указывалось выше, основной изучаемой характеристикой обычно является вероятность разорения компании в стационарном режиме. Однако, эта характеристика не дает представления о том, на каком временном интервале нужно ожидать разорение. Дополнительную информацию можно извлечь, изучая распределение условного времени до разорения при условии, что оно происходит.
Страховая компания может использовать свободные средства для привлечения новых клиентов (рекламу). Это, с одной стороны, интенсифицирует поступление средств в компанию, а, с другой стороны, отвлечение средств должно увеличивать вероятность разорения. Поэтому возникает необходимость исследования влияния расходов на рекламу на деятельность страховой компании и оптимизации управления отчислениями на рекламу.
При построении математических моделей процесса страхования обычно за основу берутся потоки страховых премий и страховых выплат, которые считаются независимыми друг от друга. Более естественным представляется взять за основу наряду с потоком страховых премий распределение времени пребывания клиента в компании. Характеристики потока страховых выплат будут при этом определяться основными характеристиками и вероятностью наступления страхового случая.
Функционирование страховой компании во многом зависит от конкуренции со стороны других страховых компаний. Поэтому возникает необходимость в разработке и исследовании модели, учитывающей конкурентное взаимодействие страховых компаний.
Освещению поставленных проблем посвящена представленная диссертация.
Краткое содержание работы
В первой главе диссертации исследуется классическая модель изменения капитала страховой компании [62]. Считается, что процесс поступления страховых премий в компанию является детерминированным, за время / приращение капитала компании равно С/, где С - количество средств, поступивших в компанию за единицу времени; страховые выплаты -независимые случайные величины с плотностью распределения ^(х) и средним значением а; моменты страховых выплат образуют пуассоновский поток интенсивности Я. Параметры Я, а, С связаны соотношением С = (і + в)Ла, где в > О - нагрузка страховой премии.
В параграфе 1.1, который носит обзорный характер, приводятся основные соотношения, определяющие вероятности разорения и выживания страховой компании для классической модели.
В параграфе 1.2 вводится понятие условного времени до разорения страховой компании и исследуется условная плотность распределения времени до разорения.
Пусть в момент времени t капитал компании равен S{t) и пусть в начальный момент времени S(o) = S. Пусть (Q, F, Р) - вероятностное пространство, на котором определены траектории процесса S(t). Все траектории процесса S(t), выходящие из точки S, можно разбить на два непересекающихся класса: {^(ґ), со є(]р) - траектории, приводящие к разорению, и {S^yt), со є QB} - траектории, приводящие к выживанию. Пусть t(S,co) - время до разорения на траектории 8ф(ї), со є Qp. Обозначим Так как вероятность разорения p(s) = \p{dco), (2) nP(s) ^,-)= (3) есть производящая функция условного времени до разорения. Теорема 1.1. Если существует производная — ' , то функция <&(S,u) удовлетворяет уравнению С^^- = {Л + и)ф(8,и)-Я\ф(3-х,и)Ч'(х)сіх-Л\ч'(х)сіх (4) 8S І І с граничными условиями Q>(S,0) = p(S), ШпФ(5,и)=0. Обозначим p(S,t) условную плотность распределения времени до разорения при условии, что оно происходит и начальный капитал равен S. Пусть далее Y(co)=\exv(-coS){s)dS, X{co)=-(\-Y(co)). (5) Теорема 1.2. Если производящая функция Y(a>) дифференцируема, то при S = 0 условная плотность распределения времени до разорения х ГФ)И-ФГ(С + яф))ехр(С^>^. (6) с, Теорема 1.3. Если уравнение с-;иг(ю)=о (7) имеет корень со = -к, к>0, функция Х(со) в окрестности точки со = -к, по крайней мере, дважды дифференцируема, то случайная величина _t + aS z~ pjs9 1 2Х(-к)-кХ{-к) а~АкХ(-к)'Р~ Я2к3Х(-к) ' имеет при 5" —»оо нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Теорема 1.4. Условная плотность распределения времени до разорения p\S,t) имеет вид p{Sj)=X^{-M)f}^Pn{S + Ct)- -Cj]^\p{0,t-x)Gxv(-Ax)xnQn{S + Cx)dx, (8) п=о п- о Pn(s)=^-\X(a>Y{co)n Qxv{o>S)d6), В параграфе 1.3 рассматриваются условные моменты времени до разорения. Если функция (>(S,u) необходимое число раз дифференцируема по и, то п-й момент tn\S) определяется соотношениями ф>т mm{rirr& Теорема 1.5. Если существует Х^"'(со), то Тп(9)_ (-1)"ЛХ(")(0) ^(0)(-^1^ d»-i{C-XX{eo)y С(С-Ла)" j*~J^'{C-AaY dcon~3 Имеют место следующие соотношения. Теорема 1.6. Для любого S имеют место неравенства 7;(5)<-^-[1 + ^]ехр(-^)5 T2{s)<--l—[2 + kS]2exV{-kS), Ф)< , * з [з(і + ^)+(3 + Л)3]ехр(-^), где к > 0 - корень уравнения С - ЯХ(- к) = 0. Теорема 1.7. В условиях теоремы 1.5 при S -> о / ч , )n+i faSnexV(-kS) (12) (13) (14) В параграфе 1.4 исследуются характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии в. Теоремы 1.8-1.10. Если существуют конечные моменты a J = ^xix(x)dx, і = 1,3, то при в -> О I a2(U0) J p(s) = ехр< V ' 1+0 ' »(1), i+. 2a's 2axeS 2Яа2в(\ + в)[ а2(\ + в)\ { а2(\ + в) + о{1), T2(S) = Я2 а2 в2 {l + в) 2axeS а2(\ + в\ За2+2а,а^в a,S S2 «і"з1 + о(1). (18) бва2 а,в{\ + в) (1 + (9)2 В этом же параграфе исследуется вероятность gu(S) того, что капитал компании станет не меньше чем и при условии, что в начальный момент времени он равен S, и условное время tu(s) достижения заданного капитала и при условии, что в начальный момент времени он равен S. Получены выражения, определяющие данные величины при малой нагрузке страховой премии в. Во второй главе диссертации исследуется влияние отчислений на рекламу на деятельность страховой компании, описываемой классической моделью. В параграфе 2.1 дается описание предлагаемой модели. Предположим, что в отсутствие расходов на рекламу изменение капитала компании описывается классической моделью с параметрами Я0, а0, С0. Пусть в момент времени t капитал компании равен S{t) и в промежутке времени [t, t + At] на привлечение новых клиентов расходуется часть капитала ii{t)S(t)At. Введем функцию R{t), связанную с S{t) соотношением tR(t)=]h(t-x)s(x)u(x}ix, (19) где h(t)>0, h(t)->0 при /-»оо, и будем считать, что расходы на рекламу приводят к тому, что скорость поступления страховых премий увеличивается с величины С0 до величины С0 +(^(/-г), а интенсивность потока страховых выплат увеличивается с величины Я0 до величины Я0 + A^Rit - т) соответственно. Если затраты на рекламу не изменяют нагрузку страховой премии 0, то — = —. В простейшем случае функции R(t) и S(t) могут быть связаны соотношением k^l = ^R{t)+u{t)s{t). (20) Функция R(t) определяет эффект последействия затрат на рекламу, а параметр т - задержку в отдаче средств, затрачиваемых на рекламу. Изменение среднего капитала определяется соотношениями ^&--»№(')+ (Со -V) (21) при / < г, и ^Р = -и(0&(0+ (С0 - Я0а)+ (Q - VM* - 0 (22) при t > т. Показано, что при u(t)=u = const условие эффективности затрат на рекламу имеет вид (Cl-Ala)^h(t)dt>l. (23) В параграфах 2.2, 2.3 рассматривается задача оптимального управления расходами на рекламу. Цель страховой компании состоит в том, чтобы, выбирая рекламную стратегию u(t), оптимизировать какие-то характеристики страховой компании. Если критерий оптимальности имеет вид S(T) = msK для некоторого момента времени Т и изменение капитала описывается соотношениями (20)-(22), то имеет место следующая теорема. Теорема 2.1. Если параметр у = Сх- Л^а > 1, то оптимальное управление отчислениями на рекламу для системы, описываемой соотношениями (20)-(22), имеет вид 1/(/) = и0, если 0 < / < t . О, если / Если критерий оптимальности имеет вид \ p{t)s(t)dt = max, где p{t) - положительная, монотонно возрастающая функция, то имеет место теорема. Теорема 2.2. Если выполняется условие (' T-Z J p(z)dz < у\ 1 - ехр Т—-- \p{z)d: то оптимальное управление отчислениями на рекламу для системы, описываемой соотношениями (20)-(22), имеет вид !#(/) = если 0 0, если t В параграфе 2.4 рассматривается задача определения вероятностей разорения и выживания страховой компании для частного случая рассмотренной выше модели. Считается, что при отчислениях на рекламу, равных uS{t)At, скорость поступления денежных средств в компанию равна 0)+((^+1)^(/), а интенсивность потока страховых случаев равна XQ+A^uSit). Обозначим через g(S,u) и p(S,u) вероятности выживания и разорения страховой компании при условии, что в начальный момент времени капитал компании равен S, а через Fg(ca) и F (о)) их преобразования Лапласа. Теорема 2.3. Преобразование Лапласа вероятности выживания имеет вид FAco) = Л) _ Л Н-ї-ЇІтг: C0g(0,u) (о{сх - ^x((o)yQ I \ Л J0 Q - Кх(р + «О dz, (27) g{0,u) = При и «1 g(o,n)= 1 + 6» 1+(^F+o(u) Второй член в выражении (29) определяет уменьшение вероятности выживания за счет расходов на рекламу. При S »1 ий«1 вероятность разорения %Х{-к)и |ехр(-Ы1 + уЦу p{S,u) = 2^(-fc)„ \ехр(-ку]\ + ^-иуо L яо . В параграфе 2.5 рассматривается условное среднее время до разорения при условии, что оно происходит. Пусть t(S,co) - время до разорения на траектории S^t). Обозначим T(S,u)= \t(S,a))P(da>). Ц,(5) /0 ч tAs,u) Среднее значение условного времени до разорения ґ(л,и)=-^—(, где p{S,u) p(S,u) - вероятность разорения. Теорема 2.6. Преобразование Лапласа FT(a>) величины T(S,u) определяется выражением і00 ( z FT(co)= , _ , .A[cj(0,u)-Fp(uz + g))]qxA - J 00 Ґ z ^ C0[exp -\ При и «1 C06b г(0)^ X(0) (3-^)(2X(0)2+^(0))i;|o(ij 2^ cr AqCq В третьей главе диссертации рассматривается модель страховой компании, в которой процесс поступления страховых премий интерпретируется как пуассоновский процесс с переменной интенсивностью A,(t). Страховые премии - независимые случайные величины с плотностью распределения у/{х) и средним значением а. Время пребывания клиента в страховой компании (время действия договора страхования) является случайной величиной с функцией распределения В{х). Будем предполагать далее, что страховые случаи происходят с клиентами компании независимо друг от друга с некоторой вероятностью pAt за время At. Страховые выплаты - независимые случайные величины с плотностью распределения ^j(x) и средним значением Ь. В параграфе 3.1 рассматриваются некоторые характеристики страховой компании, описываемой вышеприведенной моделью. Теорема 3.1. Распределение P{n,t) числа п клиентов компании в момент времени t, имеет вид PM = ^fexp(-«,(0), (p(t) = ^X(t-x\l-B(x)}ix. (36) Как следствие теоремы 3.1 можно получить теперь соотношения, определяющие некоторые другие характеристики страховой компании, а именно: интенсивность потока клиентов, покидающих компанию, y{t) задается соотношением у(і)=\л(і-х)сів(х); (37) средний капитал страховой компании описывается уравнением ^l = aZ{t)-pb\z(t-xl\-B{x)}ix; (38) at 0 дисперсия капитала D(t) - соотношением ^ = а2Л(і)+ Ь2р]л{і - х\\ - B(x)]dx, (39) at 0 где а2 и Ь2 - вторые моменты, соответствующие iy(x), Yx{x) соответственно. Таким образом, основные характеристики страховой компании являются функционалами от интенсивности Я(/) потока страховых премий, поступающих в компанию, и распределения В(х) времени пребывания клиента в компании. В параграфе 3.2 исследуется оптимальное управление расходами на рекламу. Модель изменения капитал компании учитывающая в явном виде отчисления на рекламу, строится аналогично рассмотренной в гл. 2. Предположим, что в отсутствие расходов на рекламу интенсивность потока страховых премий, поступающих в компанию, Л{{) = Л0 и пусть в промежутке времени [t, t + At] на привлечение новых клиентов расходуется часть капитала u(t)s(t)kt. Введем величину R(t), связанную с S(t) соотношением (20), и будем считать, что расходы на рекламу приводят к тому, что интенсивность потока страховых премий увеличивается с величины Я0 до величины Z(t) = X0+XlR(t). Средний капитал компании описывается уравнением ^Р- = -u(t)s(t)+ [Я0 + ЛД (')]* - РЬ \ [Л + ^R(rp(t - r]dr, (40) B(t)=l-B(t). Считается, что цель страховой компании состоит в том, чтобы максимизировать средний капитал компании в некоторый момент времени Т S(T) = max. Теорема 3.2. Оптимальное управление расходами на рекламу для системы, описываемой соотношениями (20) и (40), имеет вид u(t) = если t < t , 0, если t>t , где t - решение уравнения ( г T.t\\ 7-/ / \а 1-ехр \pb J9(zH-exp ( T-t-zW dz = \. (41) В параграфе 3.3 третьей главы рассматривается проблема конкурентного взаимодействия двух страховых компаний, действующих на ограниченном страховом рынке. Так как число возможных клиентов N ограничено, то потоки клиентов, поступающих в каждую из компаний, делаются зависящими друг от друга. Пусть K^t) и St(t) - число клиентов и капитал / -й компании в момент времени t. Считается, что изменения состояния / -й компании описываются следующими соотношениями: за малое время А/ в компанию приходит новый клиент с вероятностью уплачивающий страховой взнос со средним значением а{; с вероятностью ///Л!'Д/)А/ + о(Аґ) возможен уход клиента из компании; с вероятностью VjAt + oy&t) с каждым из клиентов компании происходит страховой случай и ему выплачивается страховое возмещение со средним значением bt. Параметры //,, ai3 vt, bt связаны соотношением fxiai = (і + #,.УД, где 91> 0 - нагрузка страховой премии. Так как компании действуют на одном и том же страховом рынке, то естественно считать, что они действуют в одинаковых условиях, т.е. //,=//, vt=v, b{=b. Тогда приращение среднего капитала компаний в единицу времени при t»1 определяется соотношениями AS, = Nvjub—^ , AS2 = Nvpb^& . (42) Я^+Я^+ju Я1+Я2+/^ Величины Я1, Я2 рассматриваются как функции \ - Я1(91,92), Я2 = Я2[9^,в2) от нагрузок страховых премий. В работе обоснован выбор функций Я1 = Я1(в1,02) и Я2 = Я2(в1,92) в виде К- Ч"1У^ч , Я2= mf>{, (43) '2_ *1 1 + / где f(z) - монотонно возрастающая функция, /(о) = 0, /(і) = 1, lim f(z) = оо; Я{9Х,92) - симметричная по 01э #2 функция, lim Я(0Х,92) = Я(91), где Я(^) - монотонно убывающая функция, lim Я\9Х,92)= Я0, функция Я{9)9 имеет 02-»о максимум по 9. Цель каждой из страховых компаний состоит в том, чтобы, выбирая премии 9t, максимизировать приращение капитала компании. С математической точки зрения получившаяся задача представляет собой кооперативную игру двух лиц. В основе решения получившейся игры лежит построение переговорного множества, на котором происходит согласование стратегий игроков. В работе предложен алгоритм построения переговорного множества, рассмотрено несколько конкретных примеров его построения. Основные научные результаты Основные научные результаты, полученные автором и выносимые на защиту, состоят в следующем: для классической модели страховой компании получено выражение для условной плотности распределения времени до разорения страховой компании и его моментов, исследовано асимптотическое поведение моментов при неограниченно возрастающем начальном капитале и в случае малой нагрузки страховой премии; на основе классической модели страховой компании построено ее обобщение, учитывающие в явном виде отчисления на рекламу, получены условия эффективности рекламы, решена задача оптимального управления расходами на рекламу, исследовано влияние отчислений на рекламу на вероятности разорения и выживания, найдено условное среднее время до разорения; исследована модель страховой компании с пуассоновским потоком страховых премий переменной интенсивности, в которой в качестве второй основной характеристики используется функция распределения времени пребывания клиента в компании. Методика исследований Исследование носит теоретический характер и проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории интегральных преобразований, теории управления, методов оптимизации. Теоретическая ценность работы, по мнению автора, состоит в том, что в ней получены основные характеристики страховой компании для различных моделей: условное распределение времени до разорения и его моменты для классической модели; вероятности разорения и выживания для классической модели, учитывающей расходы на рекламу; распределение числа клиентов компании для модели с нестационарным пуассоновским потоком страховых премий. Практическая ценность работы состоит в том, что полученные в ней формулы могут быть использованы для расчета нагрузок страховых премий, организации и оценки эффективности рекламных кампаний. Публикации по работе Основное содержание работы отражено в следующих публикациях. Кац В.М., Лившиц К.И. Влияние расходов на рекламу на характеристики страховой компании // Известия вузов. Физика. - 2001. - Т. 44, № 1. - С. 28-33. Кац В.М., Лившиц К.И. Условное время разорения страховой компании при показательном распределении страховых выплат // Новые технологии и комплексные решения: Материалы всерос. науч.-практ. конф. Ч. 2. - Анжеро-Судженск, 2001. - С. 32-33. Кац В.М., Лившиц К.И. Условное время до разорения страховой компании // Известия вузов. Физика. - 2002. - №2. - С. 64-70. Кац В.М., Лившиц К.И., Назаров А.А. Исследование нестационарных бесконечнолинейных систем массового обслуживания и их применение к анализу экономико-математических моделей // Вестник Томск, гос. унта. - 2002. - № 275. - С. 189-192. Katz V.M., Livshits K.I. Optimization of Advertising Expenses in the Functioning of an Insurance Company II Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. - P. 82-84. Электронная версия: «Information Process», . 206-208. 6. Кац B.M., Лившиц К.И. Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний на ограниченном страховом рынке // Вестник Томск, гос. ун та. Приложение. - 2002. - № 1 (I). - С. 163-166. Кац В.М., Лившиц К.И. Характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии // Вестник Томск, гос. ун-та. Приложение. -2002.-№1(1).-С. 159-163. Кац В.М., Лившиц К.И. О конкурентном взаимодействии двух страховых компаний на ограниченном страховом рынке // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т. 9. - Вып. 2. - С. 389. Кац В.М., Лившиц К.И. Оптимальное управление расходами на рекламу при деятельности страховой компании // Труды международной научно-практической конференции «Гуманитарные исследования и их роль в развитии педагогического образования». -Томск: Изд-во ТГПУ, 2002. Кац В.М. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний // Рыночная экономика России в XXI веке: Сборник трудов. - Томск: Изд-во «SPRINT», 2001. - С. 238-240. Кац В.М. Основные принципы моделирования деятельности страховых компаний в условиях рынка // Вторая областная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых: Сб. статей. -Томск: Изд-во «Графика», 2001. - С. 86-87 Апробация работы Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на: Второй областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, г. Томск , 2001 г. Научно-практической конференции «Рыночная экономика России в XXI веке», г. Томск, 2001 г. Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука образование, производство», г. Анжеро-Судженск, 2001 г. Мемориальном семинаре, посвященном 60-ю со дня рождения В.В. Калашникова, «Прикладные стохастические модели и информационные процессы», г. Петрозаводск, 2002 г. IV Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», г. Томск, 2002 г. Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия), г. Сочи, 2002 г. Международной научно-практической конференции «Гуманитарные исследования и их роль в развитии педагогического образования», секция «Актуальные проблемы экономики», г. Томск, 2002 г. Автор выражает глубокую признательность доктору технических наук, профессору К.И. Лившицу, доктору физ.-мат. наук, профессору А.Ф. Терпугову, доктору технических наук, профессору А.А. Назарову за помощь при работе над диссертацией. Для определения статистических характеристик условного времени до разорения страховой компании применим подход, использованный в [33, 46]. Обозначим через S(t) капитал компании в момент времени t и пусть в начальный момент времени S(o)=S. Пусть (Q,F,Р) - вероятностное пространство, на котором определены траектории процесса S(t). Все траектории процесса S(t), выходящие из точки S, можно разбить на два непересекающихся класса: {5 (/), со є Пр - траектории, приводящие к разорению, и {S it), со є QB} - траектории, приводящие к выживанию. Пусть t(S,co) - время до разорения на траектории Sa(t). Обозначим Так как вероятность разорения есть производящая функция [31] условного времени до разорения. Функция 0(S,u) должна удовлетворять граничным условиям второе из которых вытекает из того, что при S —» оо область интегрирования в (1.14) Qp(iS )- 0. В дальнейшем будем считать, что Ф и) дифференцируема по своим аргументам. Теорема 1.1. Если существует производная — , то функция 8S Доказательство. Для вывода уравнения, которому должна удовлетворять функция Ф и) рассмотрим два близких момента времени t и t + At. Пусть прошло время At. За это время капитал компании изменится на величину AS согласно соотношениям (1.2) и, очевидно, Проводя усреднение в (1.14), получим Раскладывая правую часть в ряд по степеням At и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим Откуда после предельного перехода при Аґ—»0 получим уравнение (1.18), решение которого должно удовлетворять граничным условиям (1.17). Теорема доказана. В принципе для решения уравнения (1.18) можно применить преобразование Лапласа. Обозначим Так как ф( 5,w)j 1, то F(a ,u) заведомо существует. Применяя к уравнению (1.18) преобразование Лапласа, получим функция Х\со) определяется соотношением (1.7). Плотность распределения условного времени до разорения p\S,t) определяется теперь как обратное двумерное преобразование Лапласа [31] Доказательство. Условная плотность распределения времени до разорения при нулевом начальном капитале может быть получена из следующих соображений. Так как функция F(co,u) должна быть аналитической в области своего определения Re и О, Re со О (как преобразование Лапласа [32]), то функция ф(0,и) должна быть выбрана так, чтобы нули числителя в (1.19) совпадали с нулями знаменателя. Откуда где со = р 1(и) - решение уравнения лежащее в полуплоскости Re со О. Учитывая, что при любом распределении В настоящей главе рассматривалась задача определения статистических характеристик условного времени до разорения страховой компании при условии, что разорение происходит. Помимо уравнения, определяющего производящую функцию условного времени, получены расчетные формулы, позволяющие вычислить условное распределение времени до разорения при нулевом и произвольном начальном капитале, показано, что при неограниченном возрастании капитала условное распределение времени до разорения является асимптотически нормальным. Получены уравнения, определяющие условные моменты времени до разорения, выражения, определяющие значения моментов при нулевом начальном капитале, определены оценки моментов сверху и найдены асимптотически выражения для моментов при неограниченно возрастающем капитале. Для случая малой нагрузки страховой премии получены асимптотические выражения для вероятностей разорения и выживания, первого и второго условных моментов времени до разорения. Наконец, были введены и исследованы в случаи малой нагрузки страховой премии такие характеристики, как вероятность достижения заданного значения капитала и среднее условное время достижения заданного значения капитала. Свободный капитал страховой компании может быть, в частности, направлен на привлечение новых клиентов (рекламу). Это, с одной стороны, интенсифицирует поступление денежных средств в компанию, а, с другой стороны, увеличивает количество страховых выплат и отвлекает часть средств собственно на рекламу, что должно увеличивать вероятность разорения страховой компании. Поэтому возникает задача исследования влияния расходов на рекламу на характеристики деятельности страховой компании. В этой главе данная задача решается в рамках классической модели изменения капитала страховой компании. Предположим, что в отсутствие расходов на рекламу изменение капитала компании описывается классической моделью: страховые премии поступают непрерывно, так что за время А/ капитал компании увеличивается на величину C0At, страховые выплаты независимые случайные величины с плотностью распределения (х) и средним значением а, моменты страховых выплат образуют пуассоновский поток интенсивности Л0, так что за время At на выплату страхового возмещения в среднем тратится капитал Пусть в момент времени t капитал компании равен S(t) ив промежутке времени [t, t + At] на привлечение новых клиентов расходуется часть капитала u(t)s(t)At, где u(t) u0 1. Если и0«1, то можно было бы считать, что скорость поступления денежных средств в компанию за счет привлечения большего числа клиентов растет пропорционально затрачиваемому капиталу, т.е. увеличивается на величину, пропорциональную u(t)s(t). Однако, затраты на рекламу не могут, во-первых, дать эффект ранее, чем через некоторое время г, а во-вторых, обладают эффектом последействия, т.е. после прекращения расходов на рекламу она еще некоторое время продолжает действовать. Поэтому введем функцию R{t), связанную с S{t) соотношением где h(t) 0, /г(ґ) — 0 при ґ-»оо, и будем считать, что расходы на рекламу приводят к тому, что скорость поступления страховых премий увеличивается с величины С0 до величины С0 + Qi f - г). Однако с увеличением числа клиентов компании увеличивается и число страховых случаев. Поэтому интенсивность потока страховых выплат должна увеличиваться с величины Я0 до некоторой Я0 + A1R(t-r). Если нагрузка страховой премии в остается при этом постоянной, то величины С0, Q, Я0, /Lj связаны соотношением Классическая модель страховой компании обладает двумя недостатками: во-первых, поток страховых премий считается детерминированным, во-вторых, потоки страховых премий и страховых платежей не зависят друг от друга, хотя их характеристики считаются согласованными. Избавиться от этих недостатков можно, рассматривая процесс поступления страховых премий как случайный процесс, а интенсивность потока страховых выплат как некоторый функционал от интенсивности потока страховых премий. В настоящей главе рассматривается случай, когда поток страховых премий, поступающих в компанию, является пуассоновским с интенсивностью Я(ї), в общем случае зависящей от времени. В параграфе 3.1 предлагается и исследуется модель страховой компании, описываемая двумя характеристиками: интенсивностью A(t) потока страховых премий и функцией распределения B(t) времени пребывания клиента в страховой компании. В параграфе 3.2 исследуется, как и в гл. 2, влияние расходов на рекламу на деятельность страховой компании. Наконец, в параграфе 3.3 рассматривается задача о конкурентном взаимодействии двух страховых компаний на ограниченном страховом рынке. Будем предполагать, что моменты поступления страховых премий в страховую компанию образуют пуассоновский поток интенсивности X\t). Страховые премии - независимые случайные величины с плотностью распределения у/{х) и средним значением а. Время пребывания клиента в страховой компании (время действия договора страхования) является случайной величиной с функцией распределения В(х). Будем предполагать далее, что страховые случаи происходят с клиентами компании независимо друг от друга с некоторой вероятностью pAt за время At. Страховые выплаты - независимые случайные величины с плотностью распределения у/\ {х) и средним значением Ъ. Для дальнейшего рассмотрения удобно интерпретировать страховую компанию как бесконечнолинейную систему массового обслуживания [42] (СМО), так как потенциальное число страховых договоров неограниченно. Поток страховых премий при этом рассматривается как входящий поток заявок в СМО, время действия страхового договора как время обслуживания заявки в системе. Таким образом, за математическую модель страховой компании может быть принята бесконечнолинейная СМО, на вход которой поступает нестационарный поток заявок интенсивности Z(t). Обслуживание каждым прибором рекуррентное с одинаковой для всех приборов функцией распределения В(х) времени обслуживания. Нашей основной целью является определение P(n,t) - вероятности того, что в момент времени t занято п каналов (число клиентов страховой компании равно п). Рассмотрим случай произвольного обслуживания, определяемого функцией распределения В(х). Основное отличие рассматриваемого случая от исследованного ранее в литературе [42] состоит в том, что в нашем случае случайный процесс n{t) - число каналов, занятых в момент времени /, не является марковским процессом. Поэтому для его исследования нельзя применить стандартный метод анализа, когда составляется и решается бесконечная система дифференциальных уравнений Колмогорова. Теорема 3.1. Распределение P{n,t) числа приборов, занятых в момент времени t (числа п клиентов компании в момент времени t), имеет вид Выделим в СМО N приборов и будем считать, что начальное распределение реализовано на остальных, не выделенных приборах так, что все выделенные приборы в начальный момент времени t0 свободны. Разделим входящий поток по полиномиальной схеме на N независимых пуассоновских потоков, каждый из которых имеет интенсивность X(t)/N. Пусть каждый поток заявок обслуживается одним из приборов выделенной группы. В момент времени, когда соответствующий прибор занят, заявка, поступающая на этот прибор, теряется. Таким образом, исследуемая СМО разделена на N + 1 независимые системы обслуживания, N из которых однолинейные с потерями и пуассоновскими входящими потоком интенсивности A(t)/N. Последняя СМО характеризуется тем, что на ее приборы заявки не поступают, а обслуживаются лишь те, которые находились в исходной системе в начальный момент времени t0. Полагая, что система функционирует достаточно долго, будем считать, что /0 — -со, так что к текущему моменту времени t последняя СМО оказывается свободной. Пусть две страховые компании действуют на одном и том же страховом рынке, на котором число возможных клиентов равняется N. Так как число возможных клиентов ограничено, то потоки клиентов поступающих в каждую из компаний, делаются зависящими от друга. Поэтому возникает задача изучения влияния друг на друга двух страховых компаний. Состояние каждой компании будем по аналогии с [22] характеризовать двумя величинами: K((t) - числом клиентов /-й компании, S{{t) - капиталом z-й компании в момент времени / (/ = 1,2). Будем далее предполагать, что изменение величин K;(t) и S{(t) за малое время At определяется следующим образом. 1. С вероятностью Л;(Ы-K t)-K2(t))/±t в /-ю приходит клиент из числа N - K t)- K2(t) возможных клиентов и уплачивает страховую премию. Клиенты приходят независимо друг от друга. Страховые премии -независимые случайные величины со средними значениями а{. 2. С вероятностью //,.Д/ каждый из K t) клиентов уходит из і-и компании (заканчивается действие страхового договора). 3. С вероятностью V;At с каждым изЛГД/) клиентов происходит страховой случай и ему выплачивается страховое возмещение. Страховые возмещения - независимые случайные величины со средним значением Остальные события имеют вероятность o{At). Обозначим через K{(t) среднее число клиентов z -ой компании. При сделанных предположениях величины K{(t) удовлетворяют системе уравнений Таким образом, при / »1 приращение среднего капитала і -й компании пропорционально среднему числу клиентов компании Kt(t) и разности между средним взносом клиента, поступившим в компанию, и средней страховой выплатой клиенту. Будем считать, что параметры fii, а{, v., bt связаны соотношением Параметр в. - нагрузка страховой премии. Условие 9( 0 гарантирует, что капитал компании в среднем с течением времени возрастает. С учетом (3.40) приращения средних капиталов в единицу времени Так как компании действуют на одном и том же страховом рынке, то естественно считать, что они действуют в одинаковых условиях, т.е. Ці = /л, Величины /lj, Я2, которые до сих пор рассматривались как фиксированные параметры, на самом деле являются функциями от нагрузок страховых премий 9Х и в2: Конкретный вид Я. {вх, в2 ) возможно, по-видимому, определить только эмпирическим путем. Однако, о них можно высказать некоторые «разумные» предположения. Во-первых, можно считать, что \\9Х,в2) = Я2(в2,вх). Во-вторых, функция Я1(в1,92) должна быть монотонно убывающей по и монотонно возрастающей по 92. Далее, естественно предположить, что при увеличении 9Х и 92 в одинаковое число раз соотношение между вероятностями Ях и Х2 (предпочтения клиентов) не должно меняться, т.е. Откуда, положив к = \/9х, получим (3.43) =/ Функция Х[9Х,92) должна быть симметричной по 9Х и В2. При 9Х (или #2)—»0 Х(9Х,92) — Х0, где Х0 - некоторая константа, так как при нулевой нагрузке премии в одной из компаний все клиенты должны переходить в эту компанию независимо от поведения второй компании. При 92 - со Х{9Х,92) Х(9Х), где А( ) - монотонно убывающая функция. При этом, как следует из (3.41), Х(9Х)9Х должна иметь максимум по 9Х. Наконец, Х(9Х,92) Х0. В качестве примеров простейших функций, удовлетворяющим выдвинутым требованиям, можно предложить, напримерПроизводящая функция условного времени до разорения
Характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии
Оптимальное управление расходами на рекламу. Второй критерий оптимальности
Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний, действующих на ограниченном страховом рынке
Похожие диссертации на Исследование математических моделей страхования при нестационарных потоках страховых премий с интенсивностью, зависящей от капитала
