Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Функция накопления 14
1.1. Функция накопления инвестиционного проекта с участием одного инвестора 14
1.2. Функция накопления инвестиционного проекта с участием нескольких инвесторов 22
1.3. Описание инвестиционного процесса с помощью системы дифференциальных уравнений 23
1.4. Дискретный поток платежей 28
1.5. Непрерывный поток платежей 33
1.6. Погашение задолженности частями 36
1.7. Примеры 42
Глава 2. Подсчет различных характеристик контрактов страхования жизни и пенсионных схем 57
2.1. Одиночная нетто-премия 59
2.2. Периодические нетто-премии 65
2.3. Резервы чистых премий 81
2.4. Пенсионное страхование 85
2.5. Примеры 89
Глава 3. Обратная задача 101
3.1. Построение функции накопления инвестиционного проекта по одной экспериментальной кривой 101
3.2. Построение функции накопления инвестиционного проекта по двум экспериментальным кривым 110
3.3. Обратная задача по конечному множеству кривых 113
3.4. Примеры 114
Заключение 118
Литература 119
- Функция накопления инвестиционного проекта с участием нескольких инвесторов
- Дискретный поток платежей
- Периодические нетто-премии
- Построение функции накопления инвестиционного проекта по двум экспериментальным кривым
Введение к работе
В последние годы в нашей стране активное развитие банковской, страховой, инвестиционной деятельности стимулировало распространение применения методов финансовой и актуарной математики.
В начале зарождения теории финансов применение математического аппарата сводилось, в сущности, к подсчету сложных и простых процентов, и основной интерес лежал в области бухгалтерских расчетов, связанных с будущими платежами, прибылями и убытками.
Последующее развитие финансовой теории шло в двух направлениях - в предположении, что экономические процессы протекают в условиях определенности и, с другой стороны, что имеет место случайность, неопределенность.
В первом направлении определяющую роль сыграли работы И. Фишера [99], Ф. Модильяни и М. Миллера [106], в которых рассматривались задачи определения оптимальных стратегий для индивидуумов и фирм соответственно. С математической точки зрения дело сводилось к максимизации функций многих переменных при наличии ограничений.
Во втором направлении классической стала работа Г. Марковитца [102], посвященная проблемам инвестиционных решений в условиях неопределенности. Соответствующий этой модели анализ, называемый "mean-variance analysis", нашел свое продолжение в целом ряде работ, связанных с оптимизацией и управлением на финансовых рынках.
Развитием идей Марковитца явилась работы В. Шарпа [88,108], представившие модель САРМ (Capital Asset Pricing Model). Следующим важным результатом стала модель АРМ (Arbitrage Pricing Model), появившаяся в работе С. Росса [107], где для описания состояния рынка были привлечены идеи арбитража.
В работах Ф. Блека и М. Шоулза [96], Р. С. Мертона [104, 105] рассматривалась оценка производных инструментов и динамические стратегии хеджирования соответствующих контрактов. Существенный вклад в этом направлении внесли Дж. Фон Нейман, Дж. Тобин, Л. Крушвиц [53]. В актуарной математике это работы Н. Бауэрса, Г. Гербера, Дж. Хикмана, Д. Джонса, В. Бенджамина, Дж. Полларда [28, 95] и многие другие.
Среди отечественных работ наиболее известными в мире являются исследования в области стохастической финансовой математики А. Н. Ширяева [90], А. В. Мельникова [61-63] и др., в которых используются теории случайных процессов, стохастического исчисления.
Однако такой подход не всегда способствует быстрому приложению результатов. Поэтому существует большой интерес к более простым математическим методам финансового анализа, прошедшим "обкатку" в практической финансовой деятельности.
Наиболее распространенные в этом направлении задачи можно условно классифицировать следующим образом: портфельное инвестирование, определение оптимальных параметров модели (используется математическое программирование) [14, 19, 20, 39, 81, 89]; игровые модели [64, 69]; средне-дисперсионный анализ вероятностных моделей [74, 93]; динамические модели, описываемые дифференциальными уравнениями [37, 48, 73, 82]; применение интервальной математики [1, 2, 31]; имитационное моделирование; применение нечеткой логики [71]. Новейшие модели используют математическую теорию хаоса, теорию катастроф, нейронные сети [90].
Современное состояние и огромный интерес к финансовой математике объясняется, прежде всего, применениями математических методов для уменьшения финансового риска, для оценки и управления финансовыми проектами.
В мировой практике финансового менеджмента используются различные методы анализа инвестиционных проектов: метод корректировки нормы дисконта [13], метод достоверных эквивалентов (коэффициентов достоверности), анализ чувствительности критериев эффективности (чистый дисконтированный доход, внутренняя норма доходности) [16, 17, 22, 23], метод сценариев, анализ вероятностных распределений потоков платежей, деревья решений, метод Монте-Карло и др. [11, 18, 21, 24, 26, 27, 30, 37, 38, 39,41-42,48, 49, 52, 53, 54, 60, ]
Во всех перечисленных методах для подсчета инвестиционного дохода используется функция сложных процентов, что не всегда адекватно описывает реальность, так как такие модели линейны относительно вложенного капитала.
Более общий подход к анализу эффективности инвестиционных проектов изложен в работе Виленского П.Л., Смоляка С.А. [25], где доходность рассматривается как некоторый функционал в пространстве проектов, для которого выполняются некоторые свойства. Аксиоматический подход также используется в теории производящих функций, в теории полезности [53], где важнейшие результаты теории финансов можно вывести из нескольких аксиом.
В данной работе также предложен аксиоматический подход, но уже к выбору функции, по которой определяются накопленные значения. В дальнейшем эту функцию накопления капитала в инвестиционном проекте будем для краткости называть функцией накопления инвестиционного проекта или просто функцией накопления.
Определим основные понятия, встречающиеся в диссертации.
Финансовым процессом будем называть отображение
А:Т- С, где Т - промежуток времени, С — промежуток значений денежных сумм. Соответствующую величину у = A(t) будем называть состоянием процесса в момент времени t.
Наиболее распространенным видом финансовых процессов являются инвестиционные процессы, которые начинаются с вложением в момент времени /0 первоначального капитала с. Пара {c,t0) описывает начальное
состояние инвестиционного проекта. Поэтому математически финансовый процесс удобно описать функцией накопления y = A(c,t0,t) (1)
Запись процесса (1) с выделением параметров (с,/0), по существу, предполагает, что мы имеем дело не с одним индивидуальным процессом, а с их семейством. В частности, предполагается, что можно "запустить" процесс при другом начальном состоянии. При этом будем предполагать, что функция (1) является однозначной.
Основываясь на некоторых общих финансово-экономических принципах, можно выделить ряд свойств, которым удовлетворяют финансовые законы, связанные с наиболее распространенными и типичными классами финансовых процессов. В финансовой математике ранее описывались основные свойства, которым должна удовлетворять функция накопления. У разных авторов они формулировались по-разному, но все использовали однородность по первоначальному капиталу, откуда следовала линейность [9,16,38].
В русскоязычной литературе об общих принципах, которым должна удовлетворять функция накопления, одним из первых писал Башарин Г.П.
[9].
Функция накопления в [9] рассматривается в виде y = cA(t0,t), (3)
где коэффициент наращения A(t0,t) удовлетворяет свойствам
A(t,t) = \, (4)
A(tQ,tl)A(tut2) = A(tQ,t2). (5)
Свойство (5) в [9] называется принципом стабильности рынка. Сформулирована теорема о том, что непрерывная функция (3), удовлетворяющая свойствам (4) и (5) имеет вид
\5(s)ds где b(s) - непрерывная функция.
В монографии [66] функция накопления, которая в этой работе называется функцией роста, удовлетворяет свойствам стационарности (зависимость только от длины промежутка -/0) аддитивности по вложенному капиталу (откуда следует линейность) и аналог свойства (5), который называется согласованностью по времени.
Свойство (5) также упоминается в [38], где называется принципом согласованности.
Наиболее строгое и последовательное изложение теоретических основ классической финансовой математики дается Бочаровым П.П., Касимовым Ю.Ф. в [16]. Здесь говорится, что математически финансовый процесс можно описать функцией (1), которая удовлетворяет некоторым свойствам. Эти свойства имеют различную степень общности. Постулируя ряд из них или все вместе, можно определить все более узкие классы финансовых схем.
Сформулируем эти свойства, при этом будем придерживаться терминологии [16].
1. Нормированность
A(c,t,t) = c.
Это свойство указывает на то, что величина капитала не увеличивается мгновенно, и оно является одним из самых универсальных. Можно предполагать, что ему удовлетворяют все финансовые законы.
2. Транзитивность
A(A(c,t0,ti),tut) = A(c,tQ,t).
Это свойство не такое универсальное, как первое. Оно показывает отсутствие разницы в величине накопленного капитала при инвестировании на большой срок по сравнению с последовательным инвестированием на два меньших срока. Ему не удовлетворяет схема простых процентов, для которой свойство состоятельности будет выполняться при реинвестировании капитала на каждом промежутке времени.
3. Однородность по первоначальному капиталу
A(c,t0,t) = cA(UQ,t).
Это свойство показывает, что накопленное значение пропорционально вложенному капиталу.
4, Стационарность
A{c,tu + t,tx+t) = A{c,tu,tx).
Это свойство показывает, что накопленное значение зависит только от длины промежутка времени, на который инвестирован капитал.
В [16] перечисляются еще несколько свойств, которым могла бы удовлетворять функция (I), например, свойство возрастания. В дальнейшем изложении они не используются, поэтому не приводятся.
Хотя в первой главе [16] говорится о том, что функция накопления может иметь самый общий вид, в дальнейшем излагается теория, основанная на однородности функции (1).
В теории рентных платежей использовалось предположение об аддитивности накопленного и современного значений потоков, о чем говорится в [38]. Так как функция накопления в данной работе не обязательно удовлетворяет свойству (3), то и все характеристики потоков платежей не являются аддитивными.
Во всех перечисленных работах функция накопления зависит от первоначального капитала только одного инвестора. Случай многих участников одного проекта не рассматривался, так как вследствие свойства (3) накопленные значения каждого инвестора не зависят от вложения других. Цель данного исследования - отказаться от однородности по первоначальному капиталу, что позволяет произвести обобщение существующих моделей.
В данной работе рассматривается случай, когда накопленные значения каждого инвестора являются функциями, зависящими от первоначальных капиталов всех участников проекта. Приводится пример функции накопления, когда в проекте участвуют два инвестора, причем проявляется эффект "монополии". В случае, когда первоначальный капитал первого инвестора значительно превышает первоначальный капитал второго, накопленное значение первого является возрастающей функцией, а второго — убывающей.
Данная работа посвящена анализу наиболее общих свойств функции накопления, удовлетворяющей лишь свойствам 1 и 2, а также ее применение в теории рент, страховании жизни и пенсионных схемах, где с помощью этой функции определяются резервы, нетто-премии, современное значение пожизненных рент.
Свою основную функцию - выполнение обязательств по страховым выплатам - страховая компания реализует за счет специальных страховых резервов. Поэтому от того, насколько правильно рассчитываются эти страховые резервы, зависит финансовая устойчивость страховой компании, ее платежеспособность, возможность выполнить принятые обязательства по страховым выплатам.
Структура страхового взноса (брутто-премии) определяется двумя структурными элементами: нетто-премией, которая отвечает обязательствам страховой компании по несению риска, принятого от страхователя, и нагрузки, в которой учитываются затраты на ведение дела и прибыль страховой компании.
Так как страховые резервы предназначены для осуществления выплат, т.е. для выполнения обязательств перед страхователями, то теоретически они должны формироваться за счет нетто-премии.
Расчет тарифных ставок проводится на основе принципа эквивалентности финансовых обязательств - равенства нулю математического ожидания от современного значения величины убытка страхователя, то есть разности между накопленным значением премии страхователя и страховой выплаты. При расчете нетто-премий современное значение находится на момент заключения контракта, а при расчете резервов - на начало года, на который ищется резерв.
В различных математических моделях рост накопления в резерве взносов осуществляется по формуле сложного процента [4, 15, 28, 29, 44, 45, 47, 50, 55, 56, 65, 77, 78, 95]. В данной работе эта теория обобщается на случай, когда функция накопления удовлетворяет лишь свойствам нормированности и транзитивности. В дальнейшем такую функцию будем называть функцией накопления общего вида.
Целью диссертационной работы является:
1) построение конструктивной теории функций накопления общего вида, применение этой теории для анализа дискретных и непрерывных потоков платежей, а также моделей погашения задолженности частями;
2) применение этой теории в страховании жизни и пенсионном страховании;
3) решение обратной задачи определения функций накопления общего вида по экспериментальным данным.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе строится теория функций накопления инвестиционного процесса на основе свойств 1 и 2.
В § 1.1 рассматривается класс функций накопления общего вида для инвестиционного проекта с участием одного инвестора.
Показывается, что если функция накопления удовлетворяет свойствам 1-4, то класс таких функций накопления состоит из функций сложных процентов с постоянной интенсивностью выплаты процентов.
Если же функция накопления удовлетворяет свойствам 1-3, то класс таких функций накопления состоит из функций сложных процентов с переменной интенсивностью выплаты процентов.
Единообразное описание класса функций, удовлетворяющим только свойствам 1 и 2, не является тривиальной задачей. Тем не менее, используя лишь свойства 1 и 2, можно построить конструктивную теорию, обобщающую указанные выше традиционные модели финансовой математики. Доказываются свойства функции накопления, следующие из свойств 1 и 2.
В § 1.2 рассматривается функция накопления общего вида инвестиционного проекта с участием нескольких инвесторов.
В § 1.3 устанавливается связь между математической моделью инвестиционного проекта, описываемой с помощью функции накопления общего вида и математической моделью инвестиционного проекта, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказаны две теоремы о взаимосвязи этих подходов.
В § 1.4 определяются накопленные и современные значения дискретного потока платежей, генерируемого инвестиционным проектом, описываемым функцией накопления общего вида. Исследованы границы применимости полученных формул для накопленного значения.
В § 1.5 определяются накопленные и современные значения непрерывного потока платежей, генерируемого инвестиционным проектом, описываемым функцией накопления общего вида.
В § 1.6 рассматривается математическая модель возврата долга частями, когда погасительный фонд описывается функцией накопления общего вида.
В последних трех параграфах дана методика нахождения этих характеристик процесса инвестирования, а также эффективные оценки существования этих решений.
В § 1.7 рассматривается применение вышеуказанной теории для функции накопления конкретного вида, которая при достаточно малом первоначальном капитале ведет себя как функция сложных процентов, но, в отличие от нее, средства в проекте не могут накапливаться до бесконечности, то есть существует некоторая предельная сумма, больше которой невозможно освоить на этом участке рынка.
Во второй главе теория функций накопления общего вида применяется в долгосрочном страховании, когда средства страхователей инвестируются в различные проекты.
В § 2.1 определяются формулы для одиночных нетто-премий в случае дискретных и непрерывных контрактов бессрочного, срочного страхования, контрактов дожития. Для бессрочного страхования приводятся доказательства теоремы существования и единственности решения уравнения для определения величины нетто-премии.
В § 2.2 рассматриваются формулы для периодических премий, когда контракт страхования оплачивается дискретным или непрерывным потоками. Доказываются теоремы существования и единственности в случаях бессрочного страхования жизни для дискретного контракта, оплачиваемого дискретным потоком; бессрочного страхования жизни для непрерывного контракта, оплачиваемого непрерывным потоком.
В § 2.3 предлагаются формулы для резервов нетто-премий для различных контрактов страхования жизни.
В § 2.4 определяются формулы для одиночных нетто-премий в случае, когда страховая выплата производится не одной суммой, а потоком платежей. Такие контракты встречаются в пенсионном страховании. Доказывается теорема существования и единственности в случае бессрочной пожизненной ренты.
В § 2.5 рассматриваются примеры вышеуказанной теории для функций накопления конкретного вида. В частности, показывается, что для функции сложных процентов предложенная методика приводит к известным формулам актуарной математики.
В третьей главе рассматривается задача определения параметрического семейства функций накопления по экспериментальным данным.
В § 3.1 определяется возможный вид функции накопления инвестиционного проекта по одной экспериментальной кривой. Рассмотрены различные методы решения этой задачи: сжатие и произвольный сдвиг, сжатие и горизонтальный сдвиг, сжатие и вертикальный сдвиг, вертикальный и горизонтальный сдвиг. Также находится решение, удовлетворяющее дополнительному условию.
В § 3.2 определяется вид функции накопления инвестиционного проекта по двум экспериментальным кривым с использованием аналога интерполяционного многочлена Лагранжа.
В § 3.3 определяется вид функции накопления инвестиционного проекта по конечному множеству кривых путем решения задачи Коши заданного вида.
В § 3.4 рассматриваются примеры решения обратной задачи вышеизложенными методами по конкретным экспериментальным кривым.
Основные результаты работы.
1. Построена теория функций накопления, обобщающая традиционные модели, исследуются свойства функций накопления общего вида.
2. Предложены методы:
• определения накопленных и современных значений дискретного и непрерывного потоков платежей, суммы депозита погасительного фонда, описываемых функцией накопления общего вида, а так же эффективные оценки существования этих характеристик;
• нахождения одиночных нетто-премий, периодических премий, резервов чистых премий для различных видов страхования жизни, а также нетто-премий для контрактов пенсионного страхования, используя функцию накопления общего вида;
• решения обратной задачи для определения функции накопления общего вида по экспериментальным данным.
3. Определены границы применимости предложенных методов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3-8, 33-36].
Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям доценту Б. В. Алексееву и профессору А.Ю. Иваницкому за предложенную тему и постоянное внимание к работе.
Функция накопления инвестиционного проекта с участием нескольких инвесторов
В предыдущем пункте было показано, что функцию накопления можно рассматривать как параметрическое семейство функций одного аргумента -времени, где параметрами являются величины первоначальных капиталов и моменты их вложения. В данном параграфе будет определена система дифференциальных уравнений, решением которого является данная функция накопления. Также будет показано, что при некоторых условиях решение задачи Коши удовлетворяет свойствам нормированное и транзитивности. Теорема 5. Если в системе дифференциальных уравнений где у = (уі,...,у„), /0,ге[а,р], с,є[а„й,], / = 1,...,/и, все функции //(у,О» /-I,...,/77 непрерывны в области /є[а,р], У/е[а/,йу], а, следовательно, ограничены, \fj\ Mhn удовлетворяют в этой области условию Липшица где N — постоянная, то решение y(t) = y(c,tQ,t) системы (1.8) удовлетворяет свойствам в области Dj аСхТ2,СcRm,TaR, определяемой соотношениями Доказательство.
Согласно теореме существования и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для \t0\ h, w = min(p-a, ,— Lv) ") существует единственное решение (1.8), а значит, оно существует и единственно и в более узкой области Д. Заменим задачу Коши (1.8) эквивалентной системой интегральных уравнений Проверим равенство (1.10) Для того, чтобы доказать равенство (1.11), рассмотрим пространство равномерной сходимости Qai.Pil» точкои которого будет система т непрерывных функций, где расстояние между функциями у = (у\,---,ут) и z = (z[,.,., zт ) определяется равенством Зафиксируем c,tl,t2 и покажем, что р(у(у(с, ,/2) 2, ),уСс 1)0) = 0.
Действительно В этом пункте рассмотрим случай, когда каждый участник проекта инвестирует не одиночную сумму, а несколько сумм в различные моменты времени. При этом термин "инвестировать" будем понимать в общем смысле, то есть если сумма больше нуля, то происходит вложение средств, а если меньше, то заем. Объединение моментов вложения по всем инвесторам обозначим как {/,,—/„}, при этом вектор сумм, инвестируемых в момент времени tj обозначим с \ у = 1,...,я (/-я координата — сумма, инвестируемая /-м участником, / = 1,...,от)- Считаем, что tj, у = 1,...,и, упорядочены по возрастанию. Если в момент времени /.- /-й участник не вкладывает средства, тоср О. Будем также предполагать, что функция накопления такова, что для любого /=1,...,/я если С; = 0, то ЛДс,/0,/) = 0. Таким образом определенные пары (c V), J = l,...,« будем называть дискретным потоком платежей. Следующий результат в дальнейшем будет часто использоваться, поэтому выделим его в лемму.
Дискретный поток платежей
Мы определили одну из характеристик потока платежей - накопленное значение на момент времени t tn. Можно поставить также перед собой задачу определения современного значения потока платежей, то есть характеристику на момент времени /0 й tx, то есть заменить рассматриваемый дискретный поток, состоящий из п векторов одним платежом в момент времени t0, эквивалентным этому потоку. Эквивалентность будем понимать в том смысле, что участникам проекта можно предложить два способа инвестирования: внести свои средства единовременно в момент f0 или по частям в моменты времени /],..., „, финансовый результат в момент /„ (а значит и для всех t tn, так как если кривые накопленных значений имеют одну общую точку, то они совпадают) при этом одинаков.
Таким образом, под современным значением будем понимать такой вектор величин а(ґ0), вложенных в описываемый инвестиционный проект, что на какой-то момент времени t tn в будущем накопленное значение этого вектора и данного потока платежей будут равны. Современное значение в этом случае согласно теореме 7.
Для иллюстрации рассмотрим инвестиционный проект, в котором имеется только один участник, инвестирующий свои средства дискретным потоком (с,-,/,-), /=1,...,и. Функция накопления с фиксированными первыми двумя аргументами является функцией одного аргумента /, график которой можно представить на плоскости время-деньги. На рис. 1.1 приведена схема нахождения современного значения дискретного потока платежей.
Накопленное значение потока платежей является кусочно-непрерывной функцией с разрывами первого рода в моменты времени ,.,./и, так как в эти
В этом пункте будем рассматривать случай, когда кроме вложения в момент времени t0 первоначального капитала, каждый участник проекта инвестирует свои средства не в дискретные моменты времени, а непрерывно, на определенном промежутке времени.
Обозначим через Л/;-(/0,/) количество всех денег, поступивших за период [t0,t] от /-го инвестора, /-1,...,т. Интенсивностью потока платежей назовем вектор-функцию p(t), где каждая координата определяется по формуле
Таким образом, количество денег, выплаченных в течение бесконечно малого промежутка времени (t,t + dt) /-м инвестором, составляет p;(t)dt, / = 1,...,т. Обозначим через вектор-функцию s(c,/0,r) накопленное значение непрерывного потока платежей к моменту времени t. Будем предполагать, что эта функция такова, что накопленное значение к моменту времени t + At можно представить как сумму из 1) аккумулированного за промежуток времени At накопленного к моменту времени t значения, 2) поступивших за промежуток Дґ средств, и 3) слагаемого, бесконечно малого по сравнению с длиной промежутка At, то есть платежей является решением системы дифференциальных уравнений где f(s,/) определяется из (1.15).
Для того чтобы эти формулы имели смысл, вектор s должен принадлежать области определения функции А. Заменим задачу Коши (1.18) эквивалентной системой интегральных уравнений
Проверим принадлежность s области определения функции накопления так как выполнены все условия теоремы 6. Поэтому решение существует и единственно. Теорема доказана.
Эта математическая модель непрерывного потока платежей относится к тому наиболее простому случаю, когда инвесторы планируют свою стратегию управления инвестициями в начальный момент, до инвестирования, причем стратегия каждого конкретного инвестора, определяемая размером начального капитала сД/,) и интенсивностью потока платежей р/(/), не зависит от стратегии остальных инвесторов.
В общем случае возможно сочетание стратегии начального планирования рДО и текущего управления p,(s). Этот подход позволяет исследовать характеристики процесса накопления капиталов и в этом, более общем, случае комплексной стратегии инвестирования p(s,/).
Можно показать, что накопленное значение в этом случае является решением системы дифференциальных уравнений
Аналогично современному значению дискретного потока платежей современное значение непрерывного потока платежей на момент времени /0 Ц определяется по формуле где s(0 решение (1.18).
В финансовой математике часто приходится решать задачи, связанные с определением тех или иных параметров кредитных операций. В этом пункте рассмотрим задачу определения суммы депозита погасительного фонда. Допустим, что в моменты времени /і,...,/„ требуется погасить задолженность частями размера с ,.--»с (здесь /-я координата каждого вектора может интерпретироваться как выплата /-му кредитору). Для этого в момент времени ґ0 открывается погасительный фонд, накопление средств в котором определяется функцией накопления у = А(с,/0,/). Найдем вектор сумм, которые надо инвестировать в момент времени t0 для погашения задолженности.
Периодические нетто-премии
Обратимся теперь к вопросу нахождения периодических премий. В этом пункте будут рассматриваться контракты страхования жизни, по которым страховая фирма обязуется выплатить сумму b при наступлении страхового случая, страхователь оплачивает контракт потоком платежей, характеристики которого требуется определить из принципа эквивалентности финансовых обязательств. При этом возможны четыре различные комбинации: дискретный контракт страхования оплачивается дискретным потоком с одинаковыми платежами, непрерывный контракт страхования оплачивается дискретным потоком с одинаковыми платежами, дискретный контракт страхования оплачивается непрерывным потоком с постоянной интенсивностью, непрерывный поток оплачивается непрерывным потоком с постоянной интенсивностью. В первых двух видах договоров определяемой величиной будет сумма периодической премии, а в последних двух — интенсивность непрерывных потоков. Как и в случае одиночной нетто-премии, периодические премии определяются из условия равенства нулю математического ожидания от современного значения величины убытка страховщика по данному виду контракта. Бессрочное страхование жизни Определим возможные реализации убытка страховщика для бессрочного контракта страхования жизни, когда страховая выплата совершается в конце года смерти. Если человек умирает в первый год после заключения договора, то современное значение убытка страховщика составит решение которого существует и единственно для (2.8). Доказательство. Покажем ограниченность современного значения Lk(P) убытка страховщика на промежутке (2.8). Для этого покажем монотонность Lk (Р) по Р.
Пусть / ! Р2. Так как выполняется (2.6), (2.14), то в силу монотонности современного значения убытка страховщика, оно ограничено при любом значении периодической премии из промежутка (2.8). По определению периодическая нетто-премия будет определяться из соотношения ЕХ] = 0, то есть является решением уравнения (2.15). Ряд в (2.15) сходится равномерно по признаку Вейерштрасса в силу ограниченности современного значения величины убытка и сходимости ряда (2.9). Покажем существование и единственность решения (2.15). В силу равномерной сходимости ряда в (2.15), сумма этого ряда является непрерывной функцией. При Так как сумма ряда (2.15) является непрерывной функцией по Р и на отрезке (2.8) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то на этом отрезке есть такое значение Р, при котором эта функция равна нулю. Показали существование. Покажем теперь единственность. Так как современное значение величины убытка страхователя является монотонной функцией по Р, то в силу равномерной сходимости (2.15) сумма ряда является монотонной функцией, то есть решение единственно.
Теорема доказана. Рассмотрим теперь контракт, который также оплачивается дискретным потоком, но страховые выплаты совершаются в момент смерти. Здесь величина убытка страхователя будет зависеть не только от года смерти К, но и от момента смерти внутри года. В этом случае современное значение убытка страхователя составит где Ак определяется из (2.12), А0=Р. Периодическая премия будет определяться из соотношения ряд (2,18) сходится равномерно по признаку Вейерштрасса. Поэтому сумма ряда (2.18) является монотонной непрерывной функцией по Р которая принимает как положительные, так и отрицательные значения, то есть существует единственное решение (2.18). Рассмотрим непрерывный случай контракта, когда страховая выплата совершается в момент смерти. Будем считать, что премии поступают непрерывно с постоянной интенсивностью р, которую надо определить. Случайная величина современного значения убытка в этом случае определяется как предполагать, что правая часть (2.19) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения. Теорема 13. Если правая часть дифференциального уравнения (2.19) удовлетворяет условию Липшица в области СхГ, то решение задачи Коши (2.19) монотонно возрастает по параметру р в этой области.
Построение функции накопления инвестиционного проекта по двум экспериментальным кривым
В первом направлении определяющую роль сыграли работы И. Фишера [99], Ф. Модильяни и М. Миллера [106], в которых рассматривались задачи определения оптимальных стратегий для индивидуумов и фирм соответственно. С математической точки зрения дело сводилось к максимизации функций многих переменных при наличии ограничений.
Во втором направлении классической стала работа Г. Марковитца [102], посвященная проблемам инвестиционных решений в условиях неопределенности. Соответствующий этой модели анализ, называемый "mean-variance analysis", нашел свое продолжение в целом ряде работ, связанных с оптимизацией и управлением на финансовых рынках.
Развитием идей Марковитца явилась работы В. Шарпа [88,108], представившие модель САРМ (Capital Asset Pricing Model). Следующим важным результатом стала модель АРМ (Arbitrage Pricing Model), появившаяся в работе С. Росса [107], где для описания состояния рынка были привлечены идеи арбитража.
В работах Ф. Блека и М. Шоулза [96], Р. С. Мертона [104, 105] рассматривалась оценка производных инструментов и динамические стратегии хеджирования соответствующих контрактов. Существенный вклад в этом направлении внесли Дж. Фон Нейман, Дж. Тобин, Л. Крушвиц [53]. В актуарной математике это работы Н. Бауэрса, Г. Гербера, Дж. Хикмана, Д. Джонса, В. Бенджамина, Дж. Полларда [28, 95] и многие другие.
Среди отечественных работ наиболее известными в мире являются исследования в области стохастической финансовой математики А. Н. Ширяева [90], А. В. Мельникова [61-63] и др., в которых используются теории случайных процессов, стохастического исчисления.
Однако такой подход не всегда способствует быстрому приложению результатов. Поэтому существует большой интерес к более простым математическим методам финансового анализа, прошедшим "обкатку" в практической финансовой деятельности.
Наиболее распространенные в этом направлении задачи можно условно классифицировать следующим образом: портфельное инвестирование, определение оптимальных параметров модели (используется математическое программирование) [14, 19, 20, 39, 81, 89]; игровые модели [64, 69]; средне-дисперсионный анализ вероятностных моделей [74, 93]; динамические модели, описываемые дифференциальными уравнениями [37, 48, 73, 82]; применение интервальной математики [1, 2, 31]; имитационное моделирование; применение нечеткой логики [71]. Новейшие модели используют математическую теорию хаоса, теорию катастроф, нейронные сети [90].
Современное состояние и огромный интерес к финансовой математике объясняется, прежде всего, применениями математических методов для уменьшения финансового риска, для оценки и управления финансовыми проектами.
В мировой практике финансового менеджмента используются различные методы анализа инвестиционных проектов: метод корректировки нормы дисконта [13], метод достоверных эквивалентов (коэффициентов достоверности), анализ чувствительности критериев эффективности (чистый дисконтированный доход, внутренняя норма доходности) [16, 17, 22, 23], метод сценариев, анализ вероятностных распределений потоков платежей, деревья решений, метод Монте-Карло и др. [11, 18, 21, 24, 26, 27, 30, 37, 38, 39,41-42,48, 49, 52, 53, 54, 60, ]
Во всех перечисленных методах для подсчета инвестиционного дохода используется функция сложных процентов, что не всегда адекватно описывает реальность, так как такие модели линейны относительно вложенного капитала.
Более общий подход к анализу эффективности инвестиционных проектов изложен в работе Виленского П.Л., Смоляка С.А. [25], где доходность рассматривается как некоторый функционал в пространстве проектов, для которого выполняются некоторые свойства. Аксиоматический подход также используется в теории производящих функций, в теории полезности [53], где важнейшие результаты теории финансов можно вывести из нескольких аксиом.
В данной работе также предложен аксиоматический подход, но уже к выбору функции, по которой определяются накопленные значения. В дальнейшем эту функцию накопления капитала в инвестиционном проекте будем для краткости называть функцией накопления инвестиционного проекта или просто функцией накопления.
Определим основные понятия, встречающиеся в диссертации. Финансовым процессом будем называть отображение где Т - промежуток времени, С — промежуток значений денежных сумм. Соответствующую величину у = A(t) будем называть состоянием процесса в момент времени t.
Наиболее распространенным видом финансовых процессов являются инвестиционные процессы, которые начинаются с вложением в момент времени /0 первоначального капитала с. Пара {c,t0) описывает начальное состояние инвестиционного проекта. Поэтому математически финансовый процесс удобно описать функцией накопления
Запись процесса (1) с выделением параметров (с,/0), по существу, предполагает, что мы имеем дело не с одним индивидуальным процессом, а с их семейством. В частности, предполагается, что можно "запустить" процесс при другом начальном состоянии. При этом будем предполагать, что функция (1) является однозначной.
Основываясь на некоторых общих финансово-экономических принципах, можно выделить ряд свойств, которым удовлетворяют финансовые законы, связанные с наиболее распространенными и типичными классами финансовых процессов. В финансовой математике ранее описывались основные свойства, которым должна удовлетворять функция накопления. У разных авторов они формулировались по-разному, но все использовали однородность по первоначальному капиталу, откуда следовала линейность [9,16,38].
