Введение к работе
Актуальность темы исследования. Одним из актуальных направлений современного математического моделирования является построение моделей различных процессов окружающего мира, изучаемых в физике, биологии, химии, экономике и других науках, для исследования которых необходимо учитывать их состояния в предшествующий промежуток времени. Математические модели, описывающие такие процессы, представимы с помощью дифференциальных уравнений с запаздыванием.
К настоящему времени исследованы математические модели, описываемые уравнениями с запаздыванием или функционально-дифференциальными уравнениями другого вида с различными дифференциальными операторами: обыкновенными или в частных производных, которые относятся к классическим типам уравнений математической физики — эллиптическому, гиперболическому, параболическому. Однако при описании, например, термомеханического поведения полимеров1, вязкоупругих жидкостей при низких температурах2 возникают модели с запаздыванием, дифференциальная часть которых не соответствует классическим типам уравнений математической физики. Таковой же является полученная при естественном предположении нулевого времени релаксации квазистационарная модель фазового поля3, учитывающая эффекты памяти или запаздывания4'5. Определяемый этой моделью эволюционный процесс является вырожденным, т. е. соответствующая система уравнений является не разрешимой относительно производной по времени. Такие процессы, которые далее будут называться вырожденными эволюционными процессами, с запаздыванием или без, часто встречаются при математическом моделировании в естественных и технических науках6'7. Модели
1Coleman, B.D. Equipresence and costitutive equations for rigid heat conductors / B.D. Coleman, M.E. Gurtin, Z. Angew // Math. Phys. - 1967. - Vol. 18. - P. 199-208.
2Renardy, M. Mathematical problems in linear viscoelasticity / M. Renardy, W.J. Hrusa, J.A. Nohel. — N.Y.: Longman Scientific and Technical; Harlow John Wiley and Sons, Inc., 1987.
3Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651-669.
4Colli, P. Global smooth solution to the standard phase-field model with memory / P. Colli, G. Gilardi, M. Grasselli II Adv. Differential Equations. - 1997. - Vol. 3. - P. 453-486.
5Giorgi, C. Well-posedness and longtime behavior of the phase-field model with memory in a history space setting I С Giorgi, M. Grasselli, V. Pata // Quart. Appl. Math. - 2001. - Vol. 59. - P. 701-736.
6Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Де-миденко, СВ. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 456 с.
7Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа / А.Г. Свешников [и др.]. — М.: Физматлит, 2007. — 736 с.
эволюционных процессов, описываемых посредством начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием (отклонением, в широком смысле, выделенной переменной времени в отрицательном направлении в аргументах некоторых искомых функций или их частных производных в уравнении), не разрешимых относительно старшей производной по времени, до настоящего времени подробно не исследовались. Поэтому тема диссертационной работы является актуальной.
Степень разработанности темы. Математическим моделям, описываемым эволюционным дифференциальным уравнением с вырожденным оператором при старшей производной по времени, посвящены работы А. Пункаре, С.Л. Соболева, М.И. Вишика, С.Г. Крейна и др. Среди работ последних десятилетий отметим работы И.А. Шишмарева, А.И. Кожанова, Г.В. Демиденко, В.Ф. Чистякова, А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова. В работах Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, М.В. Фалалеева рассматриваются модели вырожденных эволюционных процессов при выполнении условий фредгольмовости оператора при производной и существования обобщенного жорданова набора. Аналогичные предположения используются в работах М.В. Фалалеева и С.С. Орлова при исследовании интегро-дифференциальных моделей вырожденных эволюционных процессов с памятью.
Начиная с первой половины XX века, активно исследуются различные математические модели процессов, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, в частности дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Отметим монографии Н.Н. Красовского, Л.Э. Эльсгольца, Р. Беллмана и К. Кука, А.Д. Мышкиса, А.Л. Скубачевского и др.
Численному решению функционально-дифференциальных эволюционных уравнений, в том числе моделирующих вырожденные эволюционные процессы с запаздыванием в конечномерном фазовом пространстве, посвящены работы А.В. Кима, В.Г. Пименова и их учеников и соавторов.
Цели и задачи данной диссертационной работы:
развитие качественных методов исследования математических моделей эволюционных процессов, формализуемых в виде уравнений и систем уравнений в частных производных с запаздыванием, не разрешимых относительно производной по времени;
разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов для указанного класса моделей с применением современных
компьютерных технологий;
реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента при исследовании вырожденных эволюционных процессов.
Научная новизна. Отметим работы М.В. Фалалеева, В.Г. Пименова и некоторых других авторов, также касающиеся вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием. Однако в данной работе используются совершенно другие методы. Они позволяют, в частности, рассматривать случай бесконечномерного фазового пространства и даже случай бесконечномерного ядра оператора при производной в системе уравнений, описывающей вырожденный процесс. Именно это позволяет исследовать в данной работе квазистационарную линеаризованную модель фазового поля с запаздыванием, модель Кельвина-Фойгта, и другие математические модели данного класса.
Теоретическая и практическая значимость работы. В диссертационной работе предложены два различных метода качественного исследования математических моделей, описывающих вырожденные эволюционные процессы с запаздыванием. Найдены по возможности наименее ограничительные условия, гарантирующие разрешимость начально-краевых задач для систем уравнений в частных производных, возникающих при исследовании таких процессов. Построена разностная схема численного решения некоторых задач, доказана ее устойчивость и сходимость решения разностной системы уравнений к истинному решению исходной задачи. Таким образом, проведено полное исследование класса моделей и тем самым решена задача, имеющая существенное значение для математического моделирования.
Практическая значимость работы заключается в возможности использования ее результатов при исследовании конкретных математических моделей, выбора их параметров, допускающих корректную постановку соответствующих начально-краевых задач. Кроме того, создан программный продукт, позволяющий численно решать такие задачи для вырожденных дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием. При этом предложенные разностные схемы и рассуждения, проведенные при их изучении, могут послужить отправной точкой для создания численных методов исследования других математических моделей, близких по структуре.
Методология и методы исследования. При качественном исследовании математических моделей вырожденных эволюционных процессов предложены два взаимно дополняющих друг друга метода. В основе одного из них лежат полугрупповой подход вообще и методы теории вырожденных полугрупп операторов в частности, развитой в работах А. Фавини, А. Яги, Г.А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова, И.В. Мельниковой. С помощью этих методов8 исходная модель разбивается на две подмодели — на взаимно дополнительных подпространствах исходного пространства. Одна из подмоделей оказывается тривиальной при определенных дополнительных условиях на ядро или образ оператора запаздывания. Другая подмодель при этом исследуется методами классической теории полугрупп операторов.
Другой подход заключается в использовании опять же результатов теории вырожденных полугрупп о представлении решения задачи Коши или Шо-уолтера для вырожденного эволюционного уравнения и в последующем применении техники, связанной с использованием теоремы о сжимающем отображении. При этом не используются дополнительные условия на ядро или образ оператора запаздывания, как в предыдущем случае, однако возникают некоторые ограничения на ядро интегрального оператора запаздывания в уравнении. На примерах с квазистационарной системой уравнений фазового поля показаны преимущества и недостатки каждого из подходов.
При численном исследовании квазистационарной системы уравнений фазового поля на основе метода разделения конечномерной и бесконечномерной фазовой составляющей9'10 разработана разностная схема для поиска приближенного решения. Доказана ее устойчивость и сходимость.
Положения, выносимые на защиту
1. Проведено качественное исследование линейных моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием. Найдены условия однозначной разрешимости начальных задач для класса соответствующих эволюционных уравнений при различных ограничениях на оператор запаздывания.
8Фёдоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Фёдоров // Алгебра и анализ. - 2000. - Т. 12, вып.З. - С. 173-200.
9Ким, А.В. г-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений / А.В. Ким, В.Г. Пименов. - М.: Ижевск: РХД, 2004. - 256 с.
10Пименов, В.Г. Разностные схемы в моделировании эволюционных управляемых систем с последействием / В.Г.Пименов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, Na 5. — С. 151-158.
-
Общие результаты использованы при исследовании конкретных моделей вырожденных эволюционных процессов: линеаризованная квазистационарная модель фазового поля с запаздыванием, модель Осколкова жидкости Кельвина-Фойгта, модель свободной поверхности фильтрующейся жидкости и др.
-
Разработаны эффективные разностные схемы для численного исследования квазистационарной модели фазового поля с запаздыванием. Для предложенных разностных схем доказана устойчивость и сходимость, на их основе построены алгоритмы поиска приближенных решений соответствующих задач.
-
Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ «Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием», позволяющий осуществлять численный поиск решений начально-краевых задач для систем уравнений соответствующего класса.
Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным использованием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовниче-го (Москва, 2009 г.), на Международной конференции «Functional Differential Equations and Applications: Research Workshop of the Israel Science Foundation» (Ариэль, Израиль, 2010 г.), на IX Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Челябинск, 2010 г.), на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012 г.), на научном семинаре по теории операторов и дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.Е. Фёдорова на кафедре математического анализа Челябинского государственного университета
Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В.Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат лишь постановка задачи и общее руководство. В совместной статье с М.В. Плехановой
и П.Н. Давыдовым соавторы осуществляли техническую поддержку работы.
