Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование вращающихся волн в кольце 16
1.1. Описание модели 16
1.2. Свойства линеаризованного оператора в кольце 19
1.3. Существование решения 23
1.4. Исследование коэффициентов разложения решения по малому параметру 25
1.5. Численное моделирование бегущих волн в кольце 28
Глава 2. Математическое моделирование вращающихся волн в круге 33
2.1. Постановка задачи 33
2.2. Свойства линеаризованного оператора в круге 35
2.3. Существование решения 38
2.4. Анализ коэффициентов разложения 40
2.5. Численное моделирование вращающихся волн в круге 43
Глава 3. Нормальная форма бифуркации Андронова-Хопфа 46
3.1. Общая схема построения нормальной формы 46
3.2. Нормальная форма Андронова-Хопфа задачи в кольце 57
3.3. Нормальная форма Андронова-Хопфа задачи в круге 63
Глава 4. Исследование эффекта подавления искажений 69
4.1. Постановка задачи 69
4.2. Исследование эффекта подавления стационарных искажений . 71
4.3. Исследование эффекта подавления искажений, задаваемых бегу щими волнами 90
Заключение 115
ПриложениеА.Программный комплекс 115
A.1. Модуль графического интерфейса 116
A.2. Модуль численного моделирования задачи в кольце 116
A.3. Модуль численного моделирования задачи в круге 118
A.4. Модуль расчета зон устойчивости 120
A.5. Модуль численного решения двухмодовой задачи 122
A.6. Модуль визуализации 122
Литература
- Существование решения
- Свойства линеаризованного оператора в круге
- Нормальная форма Андронова-Хопфа задачи в круге
- Исследование эффекта подавления искажений, задаваемых бегу щими волнами
Существование решения
В главе 1 разрабатывается подход к моделированию вращающихся волн, описываемых нелокальными параболическими ФДУ с запаздыванием, основанный на переходе в движущуюся систему координат и сведении задачи к построению нетривиального решения периодической краевой задачи для стационарного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом. Показано, что при соответствующем выборе параметров , , в модели нелинейной оптической системы в приближении тонкого кольцевого слоя, возникают одномерные по угловой переменной бегущие волны. Приводятся результаты численного моделирования на специально разработанном программном комплексе, которые показали возникновение бегущих волн в численном эксперименте.
В главе 2 описанный выше подход применяется к пространственно двумерной модели оптической системы с круговой апертурой, что позволяет показать существование и единственность решений в виде вращающихся волн в круге и получиться коэффициенты разложения полученного решения по малому параметру. Приведены полученные с помощью программного комплекса результаты численного моделирования, демонстрирующие возникновение вращающихся волн.
В главе 3 способ построения нормальной формы для бифуркации Андро-нова-Хопфа, описанный в [62], адаптируется к пространственно-одномерной задаче с запаздыванием и пространственным поворотом в кольце и впервые применяется к пространственно-двумерной задаче с запаздыванием и поворотом углового аргумента в круге. В главе 4 разрабатывается двухмодовая модель для аналитического и численного исследования эффекта компенсации искажений в модели оптической системы, описываемой параболическим ФДУ с запаздыванием. Для выяснения границ ее применимости проводится сравнение полученных результатов с прямым численным моделированием средствами разработанного программного комплекса для задачи в полной постановке и исследуется влияние запаздывания и поворота пространственных аргументов на качество подавления стационарных гармонических искажений и гармонических искажений, задаваемых бегущими волнами.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.
В приложении А приводится описание общей схемы работы разработанного программного комплекса и функциональности составляющих его программных модулей, нацеленных на численное моделирование задач для моделей в тонком кольцевом слое и круге и визуализацию полученных данных.
В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:
Разработан новый подход к математическому моделированию вращающихся волн в нелинейных оптических системах с запаздыванием и пространственным поворотом, основанный на редукции к краевой задаче для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом в движущейся системе координат. Доказано существование бифуркационных вращающихся волн в кольце и круге, получено разложение волн по малому параметру, разработан программный комплекс для их численного моделирования и визуализации.
Построены нормальная форма бифуркации Андронова-Хопфа для рассматриваемых параболических функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием и соответствующая программная среда, позволя 14 ющие аналитически и численно исследовать устойчивость вращающихся волн в кольце и круге. 3. На основе разработанного двухмодового приближения проведены аналитическое исследование и вычислительный эксперимент по математическому моделированию эффекта подавления стационарных и динамических гармонических искажений для случая тонкого кольцевого слоя. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах. Научная конференция “Тихоновские чтения” (Москва, 25–29 октября 2010). Международная конференция “Diferential Equations and Related Topics”, посвященная И. Г. Петровскому (Moscow, May 30 – June 4, 2011). VI международная конфереция “The Sixth International Conference on Diferential and Functional Diferential Equations” (Moscow, Russia, August 14–21, 2011). Научная конференция “Ломоносовские чтения” (Москва, 15–24 апреля 2013). Научная конференция “Тихоновские чтения” (Москва, 28 октября – 1 ноября 2013). VII международная конференция “The Seventh International Conference on Diferential and Functional Diferential Equations”( Moscow, Russia, August 22–29, 2014) Научно-исследовательский семинар “Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики” под руководством академика РАН, д.ф.-м.н., профессора Е. И. Моисеева на кафедре функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова. Научно-исследовательский семинар кафедры математической физики факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова. Научный семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А. Л. Скубачевского на кафедре прикладной математики факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов. Научно-исследовательский семинар по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию под руководством профессора Ю. А. Ду-бинского и профессора А. А. Амосова на кафедра математического моделирования национального исследовательского университета “МЭИ”. Материалы диссертационной работы опубликованы в 9 печатных работах, из которых 3 статьи в журналах из списка ВАК: [34, 36, 39] и 6 тезисов докладов конференций [35, 37, 38, 40, 90, 91]. Автор выражает благодарность своему научному руководителю Разгулину Александру Витальевичу за постановку содержательной задачи и постоянное внимание к работе.
Свойства линеаризованного оператора в круге
Существуют стационарные пространственно-однородные решения задачи (2.1)-(2.3), задаваемые трансцендентным уравнением w = К{1 + 7COS«;), для которого в некоторой окрестности (—/ІО,/ІО) определена аналитическая по /І ветвь решений (К(ц), W(fi)), задаваемая (1.7).
С помощью замены u(r,ip,t) = W{ji) + v(r,tp,t) приведем исходное уравнение (2.1) к локальному виду в окрестности стационара W{ji): Для поиска решений уравнения (2.4) в виде вращающихся вокруг центра круга со скоростью Q волн используется переход во вращающуюся систему координат, позволяющий перейти к исследованию соответствующей стационарной задачи, описывающей пространственный профиль волны. Для этого решение (2.4) будем искать в виде v(r,(p,t) = R-Qtv(r,(p), (2.5) где г (г, (/?) — новая искомая функция двух переменных (г, ер) Є [0,ro] х [0,27г]. Подставив (2.5) в (2.4), приходим к краевой задаче для уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом:
Рассмотрим задачу нахождения параметров /І и Г2, при которых краевая задача (2.6), (2.8) имеет решение. Ввиду этого под решением (2.6), (2.8) будем понимать тройку элементов (г ,Г2,/і) Є Hfj х К. х К, подстановка которых в уравнение (2.9) обращает его в тождество. По построению (О, Г2 ,0) является решением. Далее будем рассматривать нетривиальные возмущения этого решения.
Для решения уравнения Гельмгольца применяется метод разделения переменных: разложение Фурье по угловой переменной и конечно-разностный метод по радиальной переменной.
Программная реализация численных методов была разработана в рамках программного комплекса, описанного в приложении А, и включает в себя как возможность расчета только на центральном процессоре, так и с использованием гибридной схемы вычисления с применением графических процессоров nVidia.
На рисунке 2.1 приведен наиболее характерный пример результатов численного моделирования для случая круговой апертуры. Решение, стартовав с начального стационарного состояния щ = cos(3(/?), с течением времени вышло на режим, предсказанный теорией с п = 5 лепестками по угловой компоненте. Значения параметров задачи выбраны с учетом условий, возникающим при построении соответствующей нормальной формы для случая круга ( см. рис. 3.3).
Отметим, что в последнее время одним из достаточно распространенных подходов к исследованию качественного поведения решений параболических уравнений является их рассмотрение на центральных многообразиях. Особенность метода нормальных форм заключается в том, что он позволяет получить описание качественной природы решения без предварительного построения соответствующего многообразия. Для случая функционально-дифференциальных уравнений параболического типа с одной пространственной переменной методика построения нормальных форм для различных видов бифуркаций разработана в [62]. Особенность такого построения состоит в том, что получающаяся нормальная форма для исходного уравнения совпадает до членов третьего порядка с нормальной формой бифуркации Андронова-Хопфа для редуцированного ОДУ на соответствующем центральном многообразии, что позволяет судить об устойчивости бифуркационных периодических решений.
Первым этапом построения нормальной формы является запись рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения параболического типа в традиционной для ФДУ абстрактной форме с помощью функции t() = ( + ) для Є [—, 0]. В такой записи функция t при каждом принимает значения из пространства = ([—,0];), — гильбертово пространство, а само уравнение в абстрактной форме с учетом бифуркационного параметра имеет вид:
Нормальная форма Андронова-Хопфа задачи в круге
Следствие 2. Пусть выполнены условия (4.28), (4.29) и (4.33). Тогда в двухмодовой модели (4.8) имеет место подавление искажений.
Отметим, что в случае искажений, заданных в виде бегущих волн, аналогично случаю стационарных искажений, следует учитывать условие отрицательности вещественных частей спектра исходной линеаризованной задачи без искажения: то есть выполнение усиленного условия (4.18).
Далее рассмотрены наиболее характерные результаты численного моделирования задачи подавления искажений (4.1) для случая искажений, заданных в виде бегущих волн, в привязке к условиям, полученным с помощью исследования двухмодового приближения.
Отметим важность усиленного условия (4.33) на примере результатов численного моделирования, выполненного для следующих значений параметров: = 2.3, Л = 2.94, = 0.3, = 0.1, = . Искажение = 0.3cos(2 + 0.5) + 0.4sin(2 + O.b) формировалось гармоникой с номером = 2 и временной частотой Q = 0.5. Как видно из рис. 4.19, параметры Л, лежат в области устойчивости. В рассматриваемом же случае усиленное условие (4.18) не выполнено для ряда других гармоник, в том числе для гармоники с номером = 8, и , как видно из рис. 4.20, система не только не может подавить входные искажения, но и выходит на режим бегущей волны, соответствующий гармонике Рис. 4.19: К п. 4.3.3.1: Диаграмма выполнения условий (4.28) и (4.33) для п = 2, = 0.5, в = 0.22. Белым выделена область, где условия выполнены, светлосерым — области, где нарушается выполнения условия (4.28), темно-серым — области, где нарушается выполнение обоих условий. О 5 10 15 20 25 ЗО
Рассмотрим ситуацию, когда условие (4.28) компенсации искажений для двухмодового приближения не выполнено, но условие устойчивости (4.33) выполнено на примере значений параметров: = 2.3, Л = 2.94, = 0.1, = 0.6, = . Искажение = 0.3cos(2 + 3) + 0.2sin(2 + 3) формировалось гармоникой с номером = 2 и временной частотой Q = 3. Как видно из рис. 4.22, параметры Л, лежат в области устойчивости, но условие (4.28) не выполнено.
Диаграмма выполнения условий (4.28) и (4.33)для п = 2, = 3, в = 0.1. Белым выделены области значений параметров , Т, где условия выполнены, светло-серым — области, где нарушается выполнения условия (4.28), темно-серым — области, где нарушается выполнение обоих условий. жений и скомпенсировать их и она выходит на некоторый периодический режим, равно как и соответствующий суммарному выходному сигналу функционал , представленный на рис. 4.24). Траектория двухмодового приближения ((), ()) имеет вид, представленный на рис. 4.25.
Отметим, что при невыполнении условия (4.33) отрицательности вещественных частей спектра линеаризованной задачи для двухмодового приближения в проведенных вычислительных экспериментах эффект подавления искажений не наблюдался. Например, в ситуации для параметров = 7.8, Л = 5.97, = 0.1, = 0.6, = и искажениях = 0.3cos(3 + ) + 0.2sin(3 + ) , заданных гармоникой с номером = 3 и пространственной частотой Q = 1, вид выходной волны (рис. 4.26) и графика среднеквадратичного отклонения (рис. 4.27) подтверждают отсутствие эффекта подавления искажений. Траектория двухмодового приближения ((),()) для этого случая представлена на рис. 4.28. Видно, что траектория выходит из положения равновесия и начинает наматываться на предельный цикл большого диаметра.
Рассмотрим ситуацию, когда выполнены условия (4.28), (4.29) и (4.33) и эффект компенсации искажений имеет место в исходной задаче. Приведем характерный вид графиков зависимости функционала среднеквадратичного отклонения от величины запаздывания.
Пример 1. Рассмотрим следующий набор параметров = 7.8, Л = 5.97, = 0.1, начальной функции = и искажения = 0.7cos(3 + A) + 0.2sin(3 + A). На рис. 4.33 приведены графики среднеквадратичного функционала при значениях величины запаздывания = 0.1, = 0.15 и = 0.2 соответственно. На рис. 4.34 приведен вид суммарного выходного сигнала при величине запаздывания = 0.2. Характерный вид траектории двухмодового приближения ((),()) представлен на рис. 4.35. и n 1.0
Пример 2. Рассмотрим следующий набор параметров = 2.8, Л = 3.05, = 0.1, начальной функции = и искажения = 0.2cos(3 + ) + 0.5sin(3 + ). На рис. 4.33 приведены графики среднеквадратичного функционала при значениях величины запаздывания = 0.1, = 0.3 и = 0.5 соответственно. На рис. 4.34 приведен вид суммарного выходного сигнала при величине запаздывания = 0.5. Характерный вид траектории двухмодового приближения ((),()) представлен на рис. 4.35.
Таким образом, увеличение величины запаздывания до некоторого достаточно небольшого значения приводит к улучшению качества подавления, дальнейшее же ее увеличение может повлечь за собой отсутствие эффекта подавления в системе, поскольку параметры, с ростом величины запаздывания, попадут в зону, где нарушены те или иные условия подавления искажений.
Исследование эффекта подавления искажений, задаваемых бегу щими волнами
Численный метод, используемый при решении этой задачи, приведен в 2.5 и сводится к решению разностного уравнения Гельмольца на каждом временном шаге, что требует достаточных вычислительных ресурсов. В этой связи применение используемого численного метода (метода разделения переменных: разложение Фурье по угловой переменной и конечно-разностного метода по радиальной), допускающего распараллеливание как с использованием директив OpenMP на вычислительных машинах с общей памятью, так и с помощью использования графического процессора nVidia, является особенно эффективным. Максимальное ускорение вычислений, которое может быть достигнуто с помощью первого подхода, ограничено числом параллельных thread ов, выполняемых центральным процессором ( их максимальное число равняется 16 для процессоров Intel Core i7 и Intel Xeon и 32 — для процессоров AMD Opteron соответственно). Тогда как использование подхода, основанного на выполнении параллельных частей программы на графическом процессоре, дает гораздо больший выигрыш производительности за счет того, что технология CUDA и архитектура современных графических процессоров nVidia допускает одновременное выполнение от несколько сотен до несколько тысяч процессов.
Выбор режима работы Solver задается с помощью GUI-модуля и может быть изменен перед началом расчета или непосредственно в ходе работы расчетного модуля. Режим с использованием графического процессора использует библиотеку cuFFT, осуществляющую быстрое дискретное преобразование Фурье, и последнюю версию библиотеки cuSPARSE с поддержкой параллельного солвера СЛАУ с трехдиагональной матрицей, оптимизированных для достижения максимального ускорения и масштабируемости на различных по мощности графических процессорах.
Как и 1D-Solver, данный модуль учитывает специфику численного моделирования задачи с запаздыванием и за счет распределенного хранения и работы с рассчитываемыми данными, позволяет осуществлять быстрый доступ к значениям, взятым на шаге запаздывания, что позволяет избежать временных задержек времени чтения-записи данных на диск.
На рис. A.2 приведены результаты численного решения уравнения Гельм-гольца для сеток различной размерности для режима расчета только на центральном процессоре с использованием директив OpenMP ( CPU ) и для гибридного режима ( GPU ), при котором только подготовка входных массивов данных и их копирование проводится средствами центрального процессора, а остальной расчет ведется исключительно на графическом процессоре.
Как видно из рис. A.2 при малых размерах сетки по радиальной переменной r, ощутимый выигрыш по производительности имеет режим расчета на центральном процессоре, поскольку набор из полученных после БДПФ ( /2 + 1) задач по радиальной переменной представляет собой набор СЛАУ с трехдиагональной матрицей размерности r, что при достаточно небольших значениях этой величины успешно решается центральным процессором с использованием директив OpenMP, тогда как время расчет на графическом процессоре оказывается сопоставимым со временем копирования рассчитываемых данных в память графического процессора и после проведения расчета обратно в оперативную память. Следствием этого является тот факт, что при небольших значениях r (256) скорость работы режима на центральном процессоре оказывается порядка б раз выше, чем гибридного режима.
Тем не менее, с ростом r решение набора трехдиагональных СЛАУ размерности r становится достаточно ресурсоемкой задачей, время копирования данных на память графического процессора и обратно в оперативную память перестает быть сопоставимым со временем расчета, и ключевую роль начинают играть масштабируемость и параллельный алгоритм решения трехдиагональных СЛАУ, возможный при гибридном режиме, что подтверждается проведенными численными экспериментами. С ростом r скорости работы обоих режимов оказываются почти одинаковым ( r = 2048), а дальнейшее увеличение r приводит к увеличению эффективности гибридного режима и выигрышу по скорости работы до
Модуль расчета зон устойчивости ( Stability-Solver ) написан на языке matlab и предназначен для нахождения коэффициентов \, , отвечающих за устойчивость моделируемых решений, решения возникающих при их нахождении краевых задач для ОДУ 2 порядка и численного вычисления определенных
Модуль численного решения двухмодовой задачи ( 2-mode-Solver ) реализован на языке matlab и использует солвер dde23 из стандартного набора пакетов matlab для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием (4.25), возникающей при исследовании двухмодовой модели к исследованию эффекта подавления искажений. В качестве входных данных модуль получает набор значений параметров задачи и параметров искажения, таких как пространственная и временная частоты. Результатом работы модуля являются два файла, которые содержат изображение численно полученных значений функций 1() и 2() в пространстве координат (, ) и (1, 2) соответственно.
