Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Функционально-дифференциальные модели 29
1.0. Введение 29
1.1. Представители класса ФДМП 46
1.2. Линейные ФДМП 52
1.3. Комментарии и библиография 65
Глава II. Устойчивость Лфдмп 70
2.0. Введение 70
2.1. Функциональные пространства и D— устойчивость 72
2.2. D—устойчивость и классическая устойчивость 85
2.3. W-метод 93
2.4. Признаки устойчивости ЛФДМ с распределенным запаздыванием .106
2.5. Признаки устойчивости ЛФДМП нейтрального типа 122
2-6. Комментарии и библиография 131
Глава III. Оценки матриц коши Лфдмп, разрешенных относительно производной. периодические Лфдмп 135
3.0. Введение 135
3.1. Матрица Коши 137
3.2. Обобщенное полугрупповое равенство 141
3.3. D —устойчивость ЛФДМ с распределенным запаздыванием 144
3.4. Основной признак устойчивости для скалярной ЛФДМП 154
3.5. Теоремы об устойчивости решений обобщенных периодических ЛФДМП 166
3.6. Комментарии и библиография 180
Глава IV. Теоремы Боля-Перрона 185
4.0. Введение 185
4.1. D—устойчивость 187
4.2. Экспоненциальная устойчивость 191
4.3. Асимптотическая устойчивость 197
4.4. Функции, имеющие конечный предел 202
4.5. Асимптотически периодические решения 206
4.6. Сильная В—устойчивость 208
4.7. Связь сильной и равномерной экспоненциальной устойчивостей .213
4.8. О разрешимости относительно производной равномерно экспоненциально устойчивого ЛДРУ нейтрального типа 218
4.9, Об обратимости линейных периодических одераторов в трансляционно-ин вариантных С'—модулях 232
4.10. Комментарии и библиография 243
Глава V. Устойчивость решений нелинейных ФДМП 245
5.0. Введение 245
5.1. Функционально-интегральные неравенства 246
5.2. Устойчивость нелинейных ФДМП по линейному приближению 264
5.3. Условия устойчивости некоторых классов ФДМП 275
5-4. Устойчивость решений уравнений с "максимумами" 286
5.5. Две теоремы о существовании периодических решений для нелинейных ФДМП 297
5.6. Комментарии и библиография 305
Библиографический список 308
- D—устойчивость и классическая устойчивость
- Признаки устойчивости ЛФДМ с распределенным запаздыванием
- Основной признак устойчивости для скалярной ЛФДМП
- Функции, имеющие конечный предел
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования
Разнообразные явления окружающего мира являются источниками моделей, учитывающих не только настоящее состояние объекта исследования, но и существенно использующих предысторию его развития. Кроме того, возникают такие постановки задач, которые требуют построения и анализа моделей, учитывающих зависимость текущего состояние объекта от его будущих состояний. Для таких задач обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) уже не являются удовлетворительной математической моделью. Более точное математическое описание в этом случае дают функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) с последействием (ФДУП). Ниже всюду такие модели будем называть функционально-дифференциальными моделями с последействием (ФДМП).
Отдельные примеры дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом рассматривали еще Л.Эйлер и М.Кондорсе. В середине двадцатого века развитие электротехники, механики, химической технологии, биологии, экологии, медицины, иммунологии, математической экономики, автоматического управления и других областей науки и техники (соответствующие примеры и библиографию можно найти, например, в1'2) вызвало необходимость в развитии теории ФДМП — естественного обобщения классической теории ОДУ. В последнее десятилетие усилился интерес к динамическим моделям экономики, социологии и экологии, комплексным моделям регионов, стран и человеческой цивилизации.
В работах Д.Л.Андрианова и В.П.Максимова (см., например, 3' 4) предложены новые классы ФДМП для описания динамики экономических, социально-экономических и эколого-экономических процессов с учетом эффектов последействия. Доказаны теоремы о структуре стабилизирующего управления, решающего задачу целевого управления для нелинейных ФДМП, Разработаны алгоритмы построения множества допустимых стабилизирующих траекторий нелинейных межотраслевых ФДМП.
Под руководством академика В.М.Матросова проводятся комплексные исследования устойчивости и неустойчивости развития в мире и в регионах, а также анализ устойчивости и поддержки принятия стабилизирующих решений, осуществляется 1Титов Н.Й., Успенский В.К. Моделирование систем с запаздыванием. Л.: Изд-во "Энергия", 1969. 97 с. гАнлрееаа Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием: М.:11аука, 1992. 336 с. 3 Андрианов Д.Л., Максимов В.П. Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последействием // Вестник Пермского университета. Экономика. Пермь: Изд-во Перм, ун-та, 1995, Вып. 2. С. 102-123. 4Максимов В.П. Нелинейные модели экономической динамики и задачи их исследования // Вестник Пермского университета. Экономика. Пермь: Изд-во Перм, ун-та, 1999. Вып. 1. С. 155-163. моделирование и прогнозирование мирового и регионального социально-эколого-эко-номического развития, стратегической безопасности. В монографии5 изложены результаты, методология, математические модели и методы комплексных исследований проблем безопасности, перехода России к устойчивому развитию в XXI веке.
Численным алгоритмам нахождения решений ФДМ посвящены монографии6'7'8. Заметим, что в монографиях6'7 найдены приближенные решения ФДМП, возникающих в кинетике ядерных реакций, в математической биологии и медицине. В работах В.П.Максимова и А.Н.Румянцева (см., например, 9- 10> п) проведено теоретическое обоснование и выполнена практическая реализация специального вычислительного эксперимента по эффективной проверке критериев разрешимости краевых задач для ФДМ. Развитые в этих работах конструктивные методы позволяют достоверно установить факт разрешимости краевой задачи и в случае ее разрешимости — приближенно вычислить решение с гарантированной оценкой погрешности.
Вопросам устойчивости моделей, систем и процессов с последействием посвящены, например, обзоры и монографии А.Д.Мышкиса, В.Б.Колмановского и В.Р.Носова, К.Кордуняну, В.Лакшмикантама и А.А.Мартынюка, Дж.К.Хейла и С.Лунела, В.Г.Курбатова, Ю.Ф.Долгого, М.Т.Терехина, А.В.Кима и В.Г.Пименова Д.Я.Хусаи-нова, А.И.Кирьянена, Е.Н.Чукву и других авторов.
Центральное место при изучении ФДМП занимают вопросы устойчивости и существования периодических режимов (траекторий) ФДМП, разработка общей теории которых еще далека от своего завершения. В связи с этим особенно актуальным является нахождение общих принципов исследования этих вопросов.
При исследовании конкретных классов ФДМП, возникающих в приложениях, как правило, теоретические критерии устойчивости оказываются неэффективными, а имеющиеся достаточные условия — слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях, что определяет актуальность задачи эффективной проверки критериев и признаков устойчивости и асимптотического поведения траекторий ФДМП. Теоретическое обоснование и практическая реализация эффективного подхода предполагают разработку специальных методов исследования, основанных на фундаментальных положениях общей теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем. При этом необходимо от- 5Новая парадигма, развития России (Комплексные исследования проблем устойчивого развития) / Под. ред. В.А.Коптюга, В.М.Матросова, В.К.Левашева. 2-изд.,перераб. М.: Изд-во "Acadernia", Иркутск: РИЦ ГП "Облинформпечать", 2000. 460 с. 6Воронина Н.В., Маланин В.В., Рекка Р.А. Осциллирующие функции и некоторые их приложения. Пермь: Изд-во Перм, ун-та, 1993. 116 с. 7Воронина Н.В., Маланин В.В., Рекка Р.А. Иятегродифференциальные уравнения и их приложения. Пермь: Изд-во Перм, ун-та, 1995. 91с. eKim А.V., Pimenov V.G. Numerical methods for delay differential equations. Applications of i— smooth calculus. Seul: Seiil National University, 1999. x p. + 96 p. 9Азбелев H.B., Максимов В.П., Рахматуллмна Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с. 10Румянцев А.Н. Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании краевых задач. Пермь: Изд-во Еерм. ун-та, 1999. 174 с. иАзбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютер, исслед., 2002. 384 с. метить, что основное назначение этих методов — достоверное установление факта устойчивости ФДМП.
Объектом исследования являются ФДМП, в частности, модели экономики и биологии. Диссертационная работа посвящена разработке нового подхода к исследованию устойчивости и асимптотического поведения ФДМП. Предлагаемый подход позволяет исследовать динамические модели, представимые в виде ФДМП (как линейных, так и нелинейных). Рассмотрены, в частности, линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ЛОДУ), системы линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием, системы линейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием аргумента, системы линейных дифференциальных уравнений нейтрального типа, а также некоторые классы нелинейных систем ФДМП.
Основная идея исследования состоит в следующем: по исходному объекту строится вспомогательный объект ("элементарная модель" (ЭМ)) с достоверно вычислимыми параметрами, допускающий эффективное исследование устойчивости. При этом успех исследования предопределен "адекватностью" ЭМ характеру изучаемого явления, процесса. После исследования элементарной модели окончательный результат зависит от "близости" исходной и элементарной моделей. Предлагаемый подход дозволяет формулировать эффективно проверяемые условия, гарантирующие совпадение определенных свойств траекторий элементарной и исследуемой моделей. В случае, если эти условия не выполняются, строится новая, более близкая к исходной, модель и повторяется проверка условий. Реализация этого метода (разумеется, метод не универсален и ориентирован на определенный, но достаточно широкий класс моделей) позволяет сводить исследование конкретной модели к исследованию ЭМ, которую приходится строить и использовать неоднократно.
Цель диссертационной работы
Разработка эффективного метода исследования широкого класса ФДМП на устойчивость (как свойство корректности модели в пространствах траекторий, определенных на бесконечном промежутке).
Научная новизна
В диссертации дано обоснование нового класса моделей (ФДМП с кусочно постоянными запаздываниями) для переходных экономических процессов с непрерывным распределенным запаздыванием и процессов выбытия (амортизации) основных производственных фондов; дано теоретическое обоснование нового подхода к исследованию на устойчивость широкого класса динамических моделей с запаздыванием; разработаны новые методы исследования устойчивости элементарных моделей, систем и процессов, охватывающих системы ОДУ, системы дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием, системы дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием, системы дифференциальных уравнений нейтрального типа; установлена и детально исследована связь между различными видами устойчивости для моделей с последействием; разработан эффективный метод исследования моделей с периодическими параметрами (метод ориентирован на получение гарантированного результата с использованием возможностей современных вычислительных систем и реализован А.Н.Румянцевым и Ж.С.П.Мунембе (см., например, 9|11); на основе результатов для линейных элементарных моделей разработан эффективный метод исследования на устойчивость широкого класса нелинейных динамических моделей, исследованы некоторые модели экономики и биологии.
Методы исследования существенно базируются на современной теории ФДУ9,11,
Теоретическая значимость
Основные идеи, методы и утверждения, предложенные в диссертации, развивают эффективное направление в математическом моделировании и открывают новые возможности исследования широких классов динамических моделей.
Практическая значимость
В диссертации установлена принципиальная возможность применения разработанных в ней методов и схем к исследованию конкретных функционально-дифференциальных моделей, возникающих в различных отраслях практической деятельности, в частности, к исследованию некоторых задач экономики и биологии.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений" (Рига, 1988), на школах-семинарах "Моделирование и исследование устойчивости процессов" и "Разрывные динамические системы" (Киев, 1990— 1994), на Международных коллоквиумах по дифференциальным уравнениям (Болгария, Пловдив, 1991, 1992), на Коллоквиумах по современному групповому анализу и математическому моделированию (Нижний Новгород, 1992; Самара, 1993), на III Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1994), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994, 2002), на II научной конференции по нелинейным наукам (Москва, 1997), на Международном симпозиуме "Дифференциальные уравнения и математическая физика" (Тбилиси, 1997), на Международной конференции по ФДУ (Израиль, Ариель, 1998), на Международном конгрессе "Нелинейный анализ и его приложения" (Москва, 1998), на Международной конференции "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий" (Санкт-Петербург, 1999), на Международных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 1999, 2002; Одесса, 2000), на Международной конференции "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения" (Москва, 1999), на Международной конференции "Устойчивость и управление для нелинейных трансформирующихся систем" (Москва, 2000), на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов, 2000), на Международной школе по динамическим и управляемым системам (Владимир,
2001), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002), на II Международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (Москва, 2002), на V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), на III Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002), на семинаре профессора Ю.В.Покорного (Воронеж, 1985), на семинаре профессора В.Г.Писаренко (Киев, 1986), на проблемном совете механико-математического факультета Киевского госуниверситета (Киев, 1985), на семинаре академика Ю.С.Осипова (Свердловск, 1986), на Пермском городском семинаре по ФДУ под руководством профессора Н.В.-Азбелева (1988-2000), на Магнитогорском городском семинаре по ФДУ (1986-1988), на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления под руководством профессора Е.Л.Тонкова (1996, 1997, 2000), на семинаре кафедры теоретической механики Уральского госуниверситета (Екатеринбург, 1989, 1999, 2002), на семинаре кафедры математического анализа Рязанского государственного педагогического университета (Рязань, 2002).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы более чем в 80-ти работах и в трех (в соавторстве с Н.В.Азбелевым, С.Э.Батищевой и Э.Д.Каданэром) монографиях. Список основных публикаций автора по теме диссертации приведен в конце автореферата.
Подробное описание результатов соискателя в совместных научных работах приведено в содержании при изложении основных результатов работы.
Основные результаты отражены также в отчетах о НИР, выполнявшихся в соответствии с планами госбюджетной НИР Международной лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей при кафедре экономической кибернетики Пермского государственного университета в рамках Программы Министерства образования РФ "Университеты России — фундаментальные исследования" (1997, Л/о 6032; 2001, Л/о 015.03.01.025), "Университеты России" (2002, Л/ЬУР. 03. 01. 023), в соответствии с планами госбюджетной НИР Научно-исследовательского центра "Функционально-дифференциальные уравнения" при Пермском государственном техническом университете по грантам Международного научного фонда (1993), грантам Госкомвуза и Минобразования РФ (1992-1993, Л/о 2-13-7-47; 1998-2000; 2002, Л/о У Р. 04. 01. 001), по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (1993-1995, ЛЬ93-011-1722; 1996-1997, Л^96-01-01613; 1999-2000, Л^о99-01-01278; 2001-2002, Л/о 01-01-00511), по гранту Президента РФ в рамках программы государственной поддержки ведущих научных школ (1996-1999, Л/о 96-15-96195), по единому заказ-наряду Пермского государственного технического университета (1993-1995, 1996-1998, 1999-2002), в соответствии с планами НИР Центра аналитических исследований "Прогноз" (г. Пермь) по грантам Международного научного фонда и Правительства РФ (1994-1995, Л/bNRKOOO, AbNRK300).
Структура и объем работы Общий объем работы составляет 340 страниц текста, список литературы включает 450 наименований.
Содержание и основные результаты диссертационной работы
Впервые отдельные уравнения с запаздыванием появились в литературе в конце XVIII века (М.Кондорсе, 1771 г.), но систематическое изучение их началось лишь в XX веке в работах В.Вольтерры по исследованию моделей хищник-жертва и по теории вязкоупругости.
Начиная с 40-х годов минувшего столетия появилось много работ, посвященных теории ФДМ. Отметим монографии А.Д.Мышкиса, Э.Пинни, Р.Э.Беллмана и К.Л.Кука, Л.Э.Эльсгольца и С.Б.Норкина, Дж.К.Хейла.
Большую роль в развитии теории ФДМ сыграли идеи и результаты Свердловской школы математиков, прежде всего идеи Н.Н.Красовского, который предложил трактовать состояние ФДМП как элемент подходящего функционального пространства, а также исследования С.Н.Шиманова, Ю.С.Осипова и их учеников. Глубокое и всестороннее изучение уравнений с отклоняющимся аргументом было проведено участниками Пермского городского семинара по ФДУ12'13, результаты которого систематизированы в монографиях9,11.
Диссертация посвящена вопросам устойчивости и асимптотического поведения решений ФДМП
Сх = Тх + q (1) с линейным С и нелинейным F вольтерровыми операторами, определенными на множестве D/oc локально абсолютно непрерывных функций х : [а, ос) —* Rn (функций, t допускающих представление x(t) = f x(s)ds + х(а), где х ї^іос — пространству ло- кально суммируемых на [а,оо) функций). Такие уравнения являются обобщениями ОДУ и ряда других актуальных в современных приложениях классов ФДМП.
Теория устойчивости долгое время развивалась в направлениях, указанных еще сто лет тому назад Ляпуновым. Однако для уравнений с запаздывающим аргументом и их обобщений классические концепции и приемы Ляпунова иногда оказываются неестественными и не приводят к желаемым результатам. Это объясняется спецификой ОДУ, на которой основаны некоторые идеи Ляпунова.
В работах Р.Э.Беллмана, М.Г.Крейна и Ю.Л.Далецкого, Х.Л.Массеры и Х.Х.Шеф-фера, а также в монографии Е.А.Барбашина предложены новые направления исследования устойчивости решений ОДУ. Они основаны на том, что свойства устойчивости можно связать с разрешимостью задачи Коши в специальных пространствах состояний, В работах В.А.Тышкевича, В.Г.Курбатова и Р.Р.Ахмерова и ряда других авторов упомянутые направления развивались применительно к специальным классам ФДМ. Эти исследования посвящены общим концепциям, явлению дихотомии и теоремам типа теоремы Бол я Перрона о том, что для линейного уравнения ограниченность всех решений при всех ограниченных правых частях q эквивалентна при определенных условиях равномерной экспоненциальной устойчивости. В большей части работ упомянутых авторов вопрос об эффективных (выраженных через параметры 12Азбелев Н.В. К 25-летию Пермского семинара по функционально-дифференциальным уравнениям //Дифферена. уравнения. 2001. Т. 37, Н 8. С. 1136-1139. 13Азбелев Н.В. Как это было (исторический очерк возникновения и развития теории ФДУ) // Вестник ПГТУ. Функц.-дифференц. уравнения (спец. выпуск) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2002. С. 13-40. модели) признаках устойчивости не рассматривался. В предлагаемой диссертационной работе глава IV полностью посвящена теоремам типа теоремы Боля-Перрона, однако основной акцент в диссертации сделан на получении конкретных признаков устойчивости моделей.
Современное состояние наших представлений о ФДМ естественным образом приводит к новым концепциям в задачах об асимптотическом поведении поведении решений и к эффективному "W—методу" Н.В.Азбелева исследования конкретных моделей. Этот метод и некоторые другие приемы, рассмотренные в диссертации, позволили получить ряд новых признаков устойчивости, упростить доказательства, а иногда и уточнить известные результаты.
Современная теория ФДМ подчеркивает роль выбора пространства состояний при построении каждой конкретной модели в виде ФДМ и тот факт, что выбор пространства состояний определяет степень адекватности мдели исследуемому процессу14. Серия работ Пермского городского семинара по ФДУ посвящена изучению сингулярных моделей (см., например, 1г). В этих работах центральным моментом исследования является выбор пространства состояний, в котором рассматривается модель. При правильном выборе пространства сингулярная задача становится регулярной, то есть к ней оказываются применимыми стандартные методы анализа. Новый подход к изучению асимптотических свойств траекторий ФДМП основан на рациональном выборе пространства состояний, в котором определена ФДМП. Упрощая ситуацию, можно сказать, что асимптотическое поведение траекторий (в частности — устойчивость) определяется таким выбором пространства состояний, в котором задача корректно разрешима.
Предлагаемый нами подход к изучению асимптотических свойств решений уравнения (1) основан на установлении "D—свойства" этого уравнения — корректной разрешимости задачи Коши
Сх = J-x + q, х(а) = а (2) в заданном пространстве состояний D при правой части q из заданного пространства возмущений В и начальном условии а из конечномерного пространства R". Иначе говоря, D—свойство (или, что то же, "D—устойчивость") — это корректность модели, то есть существование, единственность и непрерывная зависимость от параметров q В и а Є Rn решения задачи (2) в банаховом пространстве D функций х : [0, оо) — Rn с заданными асимптотическими свойствами элементов. При соответствующем выборе пространств В и D наличие D —свойства гарантирует ту или иную устойчивость в обычном смысле. При этом центральным вопросом исследования данного уравнения на устойчивость оказывается вопрос о построении такого пространства D с заданными свойствами, в котором удается установить корректную разрешимость задачи (2). Решение этого вопроса основано на выборе линейного уравнения Cqx = z, играющего роль элементарной модели, и пространства В локально суммируемых функций z : [0, оо) —* Rn. А именно, пространство D — это линейное многообразие всех абсолютно непрерывных решений х модельного 14Азбелев Н.В. К вопросу о формализации математических моделей // Вестник ПГТУ. Функ-ционально-дифференц. уравнения (спец. выпуск) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. № 4. С. 7-14. уравнения Cqx = z при всех z Є В. Норму в пространстве D удобно определять равенством
1М1оЧ1^*11в+1И«)1к»-
Новый подход к проблеме устойчивости приводит к построению специальных пространств D. При надлежащем выборе пространства D из D—устойчивости следует устойчивость по Ляпунову, при другом выборе пространства D — асимптотическая устойчивость, устойчивость по части переменных и т.д. Непрерывная обратимость линейного оператора, который в явном виде записывается для каждой линейной ФДМП вида (1), необходима и достаточна (при естественных предположениях) для D—устойчивости этой модели. Для нелинейной ФДМП вида (1) локальная D—устойчивость обеспечивается применимостью принципа Банаха о сжимающих отображениях к некоторому оператору, записанному в явном виде и действующему в некотором шаре пространства D.
Надо отметить, что упомянутая теория устойчивости позволяет не только достаточно просто доказывать ряд известных утверждений классической теории устойчивости ОДУ, но и применима к широкому классу ФДМП, для которых классические приемы либо неприменимы, либо недостаточно эффективны.
Диссертация состоит из пяти глав. В главе I приведены необходимые для дальнейшего изложения сведения о ФДМП. В этой главе в наиболее общем виде доказана теорема о представимости решений линейной ФДМП в виде формулы Коши.
В 1.0 первой главы для случая непрерывного распределенного запаздывания предложено использовать операторы Вольтерры, которые являются операторами Коши некоторах элементарных ФДМП, возникающих в экономических задачах. Как известно15, в динамических моделях экономики используют инерционные и дискретные запаздывания между входными и выходными процессами. При этом инерционные запаздывания первого порядка определяют бесконечно длящиеся переходные процессы, что не всегда адекватно реальным процессам. Нами предложено моделировать запаздывание между входным и выходным процессом линейным дифференциальным уравнением (элементарной ФДМП) вида Tyf(t)+y(\t/T]T) = x(t), t>0, (3) где Т — время (лаг) запаздывания (переходного процесса), [t/T] — целая часть числа t/T, x(t) — входной процесс, y(t) — выходной процесс. Ниже для простоты изложения будем считать все функции заданными при t > 0. В случае x(t) = 1 и у(0) = 0 решение уравнения (3) имеет вид y(t) = t/T при 0<ї<Ти y(t) ~ 1 при і >Т. Таким образом, переход из состояния 0 в состояние 1 происходит по линейной зависимости за время Т.
В монографии16 отмечено: "Имеется большое разнообразие способов начисления амортизации. В зависимости от принятого способа годовая норма амортизации может выбираться следующими способами: равномерно, если стоимость каждой единицы основных фондов возмещается равными долями в течение всего срока служ- 15Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ, 1963. 668 с. 1еКитайгородский В.И., Котов В.В. Моделирование экономического развития с учетом замещения невозобновляемых энергетических ресурсов. М.: Наука, 1990. 168 с. бы; прогрессивно, по нарастающей шкале; по убывающей шкале; по проработанному времени. На практике наиболее распространен равномерный способ начисления амортизации. Он наиболее прост и удобен в задачах учета и анализа хозяйственной деятельности. Однако непосредственное использование равномерной нормы амортизации в задачах математической экономики встречает некоторые затруднения. Это связано с тем, что при разновременных капиталовложениях и равномерном способе начисления амортизации невозможно записать динамику основных фондов в виде обыкновенного дифференциального уравнения".
Далее авторы приводят уравнение динамики основных производственных фондов (ОПФ), которое в принятых нами обозначениях имеет вид к\г) = 1{1)-цК{1), (4) где K(t) — уровень ОПФ в момент времени t, I(t) — интенсивность валовых инвестиций в ОПФ в момент времени і, (і — (постоянная) норма амортизации (выбытия) ОПФ за единицу времени,
В монографии16 также отмечено, что уравнение (4) "... приближенно реализует равномерный способ начисления амортизации. По сравнению с равномерным способом уравнение (4) приводит к несколько ускоренной амортизации".
Нами предложена линейная ФДМ равномерного способа начисления амортизации в виде K'{t) = I(t)-pKW)- (5)
Как правило, норму fi определяют равенством fi = 1/Г, где Т — количество единичных временных промежутков. Величина Т берется целочисленной и имеет смысл времени (лага) амортизации. В модели (5) при I(t) = 1 и К(0) = 0 на промежутке [0,1) амортизация не производится, поэтому ОПФ растут по линейному закону K(t) = t. Далее K{t) будет возрастающей кусочно линейной функцией, стремящейся на бесконечности к уровню Т единиц ОПФ.
Заметим, что модели с кусочно постоянными запаздываниями встречались ранее цри моделировании биологических популяций17. Различные виды "затухающей" памяти материалов используются в механике сплошных сред18. В книге1 приведен следующий перевод одной фразы из статьи М.Калецкого 1935 года: "... никоим образом введение постоянного запаздывания не соответствует действительности; есть только средняя величина различных наблюдаемых продолжительностей периода запаздывания и система, в которой г есть постоянная величина, должна рассматриваться как простейшая модель действительности". В монографии19 отмечена необходимость использования в динамических моделях экономики переменного характера памяти о предыстории, влияющей на развитие системы и приводящей к принципиальному изменению характера развития процесса. 17Gopai3amy К. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht e.a.: Kluwer Academic Publishers, 1992, xii p. + 501 p. 18Трусделл К, Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М: Изд-во "Мир", 1975. 592 с. 19Кобринский Н.Е., Кузьмин В,И. Точность экономико-математических моделей. М.: Финансы и статистика, 1981. 256 с.
Далее в первой главе диссертации с учетом моделей (4), (5) выведены модификации известных моделей микро- и макроэкономики: модель Вальраса-Эванса-Самуэльсона (ВЭС) рынка одного товара с учетом запаздывания цен спроса и предложения15,20,21; модель ВЭС рынка одного товара с учетом запаздывания спроса от предложения, а также с учетом запаздывания цены спроса от цены предложения22; модель Маршалла рынка одного товара с учетом запаздывания предложения и запаздывания цены предложения15,21; модель Аллена рынка одного товара с учетом запаздывания предложения и с зависимостью спроса и предложения от цены и скорости изменения цены15; модель ВЭС рынка одного товара с учетом отклонения запаса от заданного уровня и с учетом запаздывания цены15'23,24; модель ВЭС рынка нескольких товаров учетом запаздывания цен предложения и спроса15,21; модель Видала-Вулфа (ВВ) объема сбыта одного товара в зависимости от расходов на рекламу и модель В В объема сбыта двух взаимодополняющих товаров в зависимости от расходов на рекламу24; модель динамики уровня ОПФ (производственного капитала) с учетом выбытия и запаздывания освоения инвестиций19; модель управляемого производства в зависимости от поступающих заказов и заданного уровня запасов на складе1; модель формирования связанных установок поведения индивидов с учетом запаздывания реакции25'2в; простейшая линейная модель динамики чистого внутреннего продукта (ЧВП) с учетом запаздывания ввода индуцированных инвестиций15; нелинейная модель Филлипса-Гудвина динамики ЧЕГР'15'20'23; линейная односектор-ная модель динамики валового внутреннего продукта (ВВП)23; ранняя модель Калец-кого динамики ВВП и ОПФ с учетом амортизации1,15; неоклассическая нелинейная односекторная модель Рамсея-Солоу-Свена (РСС) динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций1621'27; неоклассическая нелинейная односекторная модель РСС динамики ВВП с акселератором и с учетом запаздывания ввода инвестиций28; неоклассическая нелинейная двухсек торная модель с запаздыванием ввода инвестиций 20; неоклассическая нелинейная модель Занга динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций и образования человеческого капитала (ЧК)21; неоклассическая нелинейная двухсекторная модель Удзавы-Лукаса динамики ВВП и ЧК с 20Бергстром А.Р. Построение л применение математических моделей, М.: Изд-во "Прогресс", 1970. 176 с. 213анг В.-Б. Синергетическая экономика. Бремя и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. 336 С. 32Неймарк Ю.И., Островский А.В. Дифференциальные экономические модели типа Самуэльсона // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1999. Вып. 1(20). С. 123-129. 23Багриновский К.А. Модели и методы экономической кибернетики. М.: Экономика, 1973. 208 с. 24Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2000. 256 с. 25 Гавр и леи Ю,Н,, Карташева А.В. Модель формирования связанных установок при активном участии индивидов // Мат. и компьютер, моделир. социально-эконом. процессов: Сб. ст. / Под. ред. Ю.Н.Гаврильца. ЦЭМИ РАН. М., 1997. С. 8-26. 26Ковалев Д.А. Компьютерный анализ динамики установки с запаздыванием // Там же. С. 27-32. 27Харрис Л. Денежная теория. М,: Прогресс, 1990. 751 с. зеНакоряков В.Е., Гасенко В.Г. Математическая модель плановой макроэкономики // Экономика и мат. методы. 2002. Т. 38, № 2. С. 118-124. учетом запаздывания ввода инвестиций в ОПФ и с учетом запаздывания образования ЧК29; неоклассическая нелинейная односекторная модель Тобина-Сидрауски динамики ВВП с учетом денежного рынка 21<27,
В 1.1 даны описания типичных представителей ФДМП — дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и их обобщений. Подчеркивается единство широкого класса таких уравнений. В 1.2 подробно рассмотрена линейная ФДМП (ЛФДМП), причем внимание акцентируется на представлении общего решения (формуле Копій). В наиболее общем виде сформулированы достаточные условия справедливости формулы Коши.
Линейная ФДМП записывается в виде Сх — /, где линейный оператор С действует из пространства Dfoc локально абсолютно непрерывных функций х : [а, со) —* Rn в пространство 1цдс функций z : [а,оо) —* R", суммируемых на каждом конечном отрезке [а, 6]. Центральным здесь является вопрос об условиях, при которых общее решение уравнения Сх = f может быть представлено "формулой Коши" t. x(t) ~ J C(t, s)f(s)ds + X(t)x(a), где столбцы n x n— матрицы X (фундаментальной матрицы) составлены из линейно независимых решений однородного уравнения Сх = О, п х п—матрицу С(-, -) называют матрицей Коши (весовой матрицей).
Для интегродифференциальных и интегральных уравнений Вольтерры формула Коши появилась ещё в середине прошлого века в работах Ю.К.Ландо, Я.В.Быкова, В.Р.Винокурова, Е.А.Барбашина и Л.И.Бисяриной, Р.К.Миллера и С.И.Гроссмана. Для отдельных классов ЛФДМП с запаздывающим аргументом и нейтрального типа интегральные представления решений и аналоги "формулы вариации произвольных постоянных" были получены Р.Э.Беллманом и К.Л.Куком, А.М.Зверкин-ым, А.Халанаем, М.Н.Огюзторели, С.Н.Шимановым и Г.С.Юдаевым, Х.Т.Бэнксом, Д.Хенри, К.Кордуняну, Н.Лукой, Дж.К.Хейлом, Дж.Като, К.Р.Мейером, М.А.Круз-ом, В.Б.Колмановским, С.С.Ахиевым и К.Т.Ахмедовым, В.Е.Слюсарчуком, Т.Наи-то, К.Савано, П.Ч.Дас и Н.Пархи, Р.Датко, М.Мадави и Ю.Ли. Для ЛФДМП общего вида формула Коши была получена Н.В.Азбелевым, Л.Ф.Рахматуллиной, В.П.Максимовым и Л.М.Березанским. Глубокие исследования, связанные с формулой Коши для ЛФДМП с распределенным запаздыванием были проведены в кандидатской и докторской диссертациях В.П.Максимова.
D—устойчивость и классическая устойчивость
Для линейной ФДМП Сх = / предложено понятие "D—устойчивости" ("DCEO-йства") как корректной разрешимости задачи Коши Сх = /, х{а) = а в заданном банаховом функциональном пространстве D в зависимости от правой части / из заданного банахова функционального пространства В и начального значения а из конечномерного пространства R". При соответствующем выборе пространств В и D наличие D—свойства гарантирует ту или иную устойчивость в классическом смысле. Предлагаемый в главе II выбор пространства D оказывается оптимальным в том смысле, что каждый элемент х D оказывается решением уравнения Сх = / при соответствующих / Е В и а Є R". Это избавляет от лишних рассуждений, не связанных с сутью вопроса, и позволяет лаконично формулировать и доказывать утверждения о наличии интересующих нас свойств решений изучаемого уравнения. В частности, D—устойчивость гарантируется обратимостью линейного оператора, записанного в явном виде.
В 2.1 предложена схема построения пространств D. Эта схема основана на понятии модельного уравнения (элементарной модели) и на понятии совпадения пространств всех решений двух ЛФДМП. Доказан критерий совпадения пространств решений элементарной модели и исследуемой ЛФДМП. Показано, что эти условия гарантируют однозначную разрешимость задачи Конш и непрерывную зависимость решения іот/еВлоб Rn в метрике пространства D. Дано определение D—устойчивости, показана ее связь с вложением и совпадением пространств всех решений исследуемой и элементарной модели. Приведены примеры конкретных пространств D. Доказаны утверждения о совпадении пространств решений для ЛОДУ с измеримыми и ограниченными в существенном на полуоси компонентами. Доказано несколько признаков сохранения пространства D для простейших скалярных ЛФДМП при "малых" в некоторых смыслах возмущениях запаздывания.
В 2.2 для ЛОДУ установлена связь D—устойчивости и устойчивости в классическом смысле: показано, что при надлежащем выборе пространства D D—устойчивость гарантирует устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость, или, соответственно, экспоненциальную устойчивость. В частности, в качестве иллюстрации приведены для ЛОДУ новые доказательства утверждений типа классической теоремы Боля-Перрона о том, что если при любой правой части / Е М все решения х уравнения принадлежат пространству С (уравнение С —устойчиво), то матрица Коши и фундаментальная матрица имеют экспоненциальные оценки с отрицательными показателями. В качестве иллюстрации эффективности предложенного подхода получены известные признаки устойчивости ЛОДУ с переменными коэффициентами типа условий "диагонального преобладания" и "квазидоминантно-сти диагонали". Для Л ОДУ с постоянными коэффициентами приведено новое доказательство критерия экспоненциальной устойчивости в терминах собственных чисел матрицы коэффициентов. На простейшем примере показана схема применения D—устойчивости в задаче "устойчивости по первой компоненте". 2.3 посвящен описанию W—метода, позволяющего установить наличие D—устойчивости для данной линейной ФДМП. Сформулирована эффективная достаточная теорема о D—устойчивости. В этой теореме утверждается, что для D —устойчивости ЛФДМП, определенной на полуоси [а,со), достаточно установить аналогичную устойчивость этой же модели, но "урезанной" на некоторую полуось [6, оо) при некотором Ь а. Доказаны леммы об эквивалентности D—устойчивости и разрешимости классической задачи о накоплении возмущений. В частности, указан класс моделей, для каждой из которых D —устойчивость совпадает с С —устойчивостью. Предложен алгоритм построения более сложных элементарных моделей на примере нестационарной системы Л ОДУ второго порядка. В результате были получены новые признаки С—устойчивости таких систем. В заключительной части параграфа для некоторых элементарных ЛФДМП приведены вспомогательные результаты Н.В.Азбелева о положительности функции Коїли и вспомогательные результаты С.АХусаренко об оценке нормы оператора Коши. В 2.4 на основе W—метода получен ряд коэффициентных признаков С —устойчивости для ЛФДМП, разрешенных относительно производной. Причем, для скалярных ЛФДМП первого порядка получена граница устойчивости 1 + 1/е, ранее известная по работам С.А.Гусаренко и А.И.Домошницкого, Л.М.Березанского.
Признаки устойчивости ЛФДМ с распределенным запаздыванием
Более тонкие признаки разрешимости уравнений (2.3.1) и (2.3.2) удается иногда получить путем целесообразных преобразований уравнения. Такие преобразования С.А.Гусаренко успешно проводил в работах [102], [105], [106], [109] на основе следующих соображений.
Замечание 2.3.2. Пусть образ Qhx каждой функции хЄС6={хЄС: x(t) = 0 на [а, Ь]} принадлежит пространству D . Тогда разрешимость уравнения х = Qbx +- hb в пространстве С гарантирует его разрешимость в пространстве D .
Из теоремы 2.3.1 вытекают критерии и достаточные признаки наличия D—свойства решений данного уравнения. В зависимости от выбора пространства В и модельного уравнения CQX = z это свойство характеризует различные стороны асимптотического поведения решений.
В теории асимптотического поведения решений уравнения пока что наиболее актуальной остается задача об устойчивости в классических постановках или незначительных модификациях этих постановок. Для получения эффективных (выраженных в терминах параметров уравнения) признаков устойчивости еще не возникала настоятельная потребность построения специальных пространств В: в качестве такого пространства в обычных ситуациях достаточно использовать хорошо изученное пространство М измеримых и существенно ограниченных функций z : [а, оо) — R" с нормой \\Z\\M = vraisup г(і).
Таким образом, применение W—метода к задачам устойчивости сводится к выбору соответствующего модельного уравнения. Этот выбор определяется возможностью получить нужную оценку нормы оператора Коши W модельного уравнения. Таким образом, вопрос о возможности применения W—метода в теории устойчивости — это вопрос о возможности установить разрешимость уравнений (2.3.1) и (2.3.2). Для этого требуется изобретательность и аналитическое искусство исследователя.
Ниже предлагается ряд эффективных признаков, полученных на основе типичных случаев выбора модельного уравнения. Эти признаки формулируются в виде условий, гарантирующих совпадение пространств D(JC,M) И W, где W — пространство таких функций х Є D[oc, что а; С, ІЄМ. Напомним, что при естественных ограничениях теоремы 2.2.1, 2.2.2 и 2.3.2 утверждают, что из такого изоморфизма следует экспоненциальная устойчивость уравнения Сх = /.
Распространение теоремы 2.1.1 на некоторые классы сингулярных уравнений (рассматриваемых на конечном отрезке) существенно расширило возможности исследования таких уравнений. Упомянутые исследования сингулярных уравнений и предлагаемые ниже приемы исследования уравнений на устойчивость привели участников Пермского Семинара по теории функционально-дифференциальных уравнений к общим концепциям "теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения" ([32], гл.6; [351], Ch.6; [352]), которые, в свою очередь, оказали влияние на дальнейшее развитие теории устойчивости.
В теории устойчивости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений обычно рассматривают более слабое понятие, чем D — устойчивость. Это так называемая устойчивость по правой части, или, другими словами, устойчивость относительно постоянно действующих возмущений, устойчивость по отношению к входному воздействию, допустимость пары пространств, разрешимость задачи о накоплении возмущений (см., например, [63], [234]). Сформулируем это понятие в удобной для нас форме. Пусть всюду ниже V — некоторое банахово пространство функций у : [а,оо) — R." с нормой [v Будем говорить, что уравнение Сх = / V-устойчиво (в целом) (обладает (глобальным) V— свойством), если задача Коши Сх = /, х(а) = а имеет единственное решение х Є V при каждой паре {/, а) В х Rn и это решение непрерывно зависит от / и а {т.е. для любого є 0 найдется такое 6 = 6(х,є) О, что а:і — x[v є. если \\/г — /[в S, [«і — а\ S, где х — решение задачи Сх = /, х(а) = а при f = fit а = о ). V—устойчивость уравнения Сх = / означает, что определены и ограничены линейные операторы С : В — V и X : R" — V. Поэтому число S выбирается независимо от х. В частности, если с = Св-лг + ЦА Ня -лг, то можно положить 6 = є/с.
Иными словами, V—устойчивость уравнения Сх = / означает, что пространства D(,B) непрерывно вложено в пространство V, т.е. D(, В) С V и существует такая положительная постоянная с, что x]v сЦ Цо Э) для любого х Є D(,В). Справедливы следующие соотношения между D— и V—устойчивостью.
Лемма 2.3.1. Пусть уравнение Сх — / с линейным ограниченным оператором С : D — В D— устойчиво и вложение D С V непрерывно. Тогда, это уравнение V—устойчиво.
Доказательство. В силу теоремы 2.1.1 банаховы пространства D и D(,B) совпадают. Поэтому вложение D(, В) С V непрерывно, а это и означает V—устойчивость уравнения Сх =. Лемма 2.3.2. Пусть линейный оператор С\ : D В ограничен, а уравнение С\Х = і) ТУ—устойчиво, причем вложение D С V непрерывно. Тогда, если линейный оператор Т = С—С\ : V — В ограничен, то уравнение х = / D—устойчиво тогда, и только тогда., когда оно V— устойчиво.
Доказательство. В силу условий леммы оператор Т действует из пространства D в пространство В и ограничен. Поэтому из леммы 2.3.1 следует, что D—устойчивость уравнения Сх = f влечет его V—устойчивость.
Пусть теперь уравнение Сх = f V—устойчиво. Тогда при любом / В имеем: х Є V, Тх Є В и / — Тх Є В. Уравнение С\х = TJ D—устойчиво, поэтому при т} = / — Тх получаем: х Є D и это решение непрерывно зависит от {/, а} 6 В х К/1. Лемма доказана.
Ниже предложена реализация нового подхода [51], [315] к проблеме построения модельного уравнения в W—методе. На основе этой реализации получены новые признаки устойчивости двумерной системы Л ОДУ.
Рассмотрим уравнение (2.1.2) в предположениях 2.1 на поуоси [0,оо). Обозначим через /() нормированную в точке 0 фундаментальную п х п— матрицу (U(0) — Е) модельного уравнения где правая часть z и столбцы n х п—матрицы Ро{-) принадлежат пространству
М. Через W обозначим оператор Коши этого уравнения. Известно, что (Wz)(t) = В 2.1 показано, в случае С —устойчивости уравнения (2.3.7) банахово пространство D D(0,M) совпадает с банаховым пространством W, то есть D — W и нормы - D И w эквивалентны.
Из приведённых в 2.1 и в 2.2 утверждений следует, что успех исследования устойчивости решений уравнения Сх = f зависит от выбора модельного уравнения. В работах ([11]; [25]; [18]; [32], гл.5; [348]; [350]; [43]) в качестве модельного уравнения было выбрано уравнение с диагональной матрицей PQ. В работах [43], [105] были рассмотрены примеры модельных уравнений с постоянной матрицей Р0. Кроме упомянутых случаев уравнение (2.3.7) интегрируется в явном виде при выполнении условий Лаппо-Данилевского [157], [129].
В работах [51], [315] был предложен следующий приём построения модельного уравнения. Пусть n х п—матрица-функция U(-) с абсолютно непрерывными компонентами такова, что U(0) = Е и det U(t) ф 0 для любого ( 0, а для матрицы-функции W(t,s) — t/(t)/-1(s) выполнено хотя бы одно из условий (2.1.4)
Основной признак устойчивости для скалярной ЛФДМП
Теория устойчивости развивалась до недавних пор главным образом в направлениях, указанных еще Ляпуновым. Попытки приспособить старые идеи к уравнениям с запаздывающим аргументом не всегда оказывались удачными. Это объясняется тем, что у таких уравнений нет специфики оператора Немыцкого, определяющего обыкновенное дифференциальное уравнение.
Например, метод функций Ляпунова основан на теореме Чаплыгина о дифференциальном неравенстве для вспомогательного уравнения. Но в случае уравнения с запаздывающим аргументом теорема Чаплыгина вообще говоря не верна. В известных монографиях Х.Л.Массеры и Х.Х.Шеффера [234], М.Г.Крейна [177], Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна [ПО], а также в III главе книги Е.А.Барбашина [63] предложено и развито новое направление в теории устойчивости дифференциальных уравнений, В этом направлении свойство устойчивости связывается со свойством разрешимости задачи Копій в некотором специальном функциональном пространстве. Следует отметить, что в упомянутых книгах играют важную роль равенства C(t,s) = X(t)X 1(s) = С(і,т)С(т, s) для матрицы Коши. Но эти равенства верны только для обыкновенного дифференциального уравнения! Идея рассматривать явление устойчивости как разрешимость задачи Коши в специальном пространстве (определяющем тип устойчивости) и современная теория функционально-дифференциальных уравнений с последействием [32], [351], [33] приводят к новым понятиям и методам в теории устойчивости. Этим понятиям и методам для линейных уравнений посвящена глава II. Более подробно предлагаемый нами подход к задачам устойчивости решений линейного уравнения Сх — f состоит в следующем. Всюду далее предполагается, что линейное многообразие всех решений уравнения Сх = f при всех / из множества L/oc всех локально суммируемых функций г : [а, оо) — R определяется формулой Коши Интегральный оператор (Cf)(t) = J С (і, s)f(s)ds называют оператором Коши, его ядро C(t,s) — матрицей Коши, п х п— матрицу X(t), столбцы которой составляют п линейно независимых решений однородного уравнения Сх = 0, называют фундаментальной матрицей. Формула Коши хорошо известна для дифференциального уравнения где P(t) = —X(i)X-1(t), C(t, s) = X(t)X l(s). Формула Коши справедлива для уравнений с запаздывающим аргументом и их обобщений вида Отметим, что равенства на которых основаны многие исследования по устойчивости дифференциального уравнения ([177]; [234]; [63], гл.Ш; [ПО]), справедливы только для уравнений обыкновенных дифференциальных. Зафиксируем некоторое модельное уравнение CQX = z, для которого известны фундаментальная матрица Xo(t) и матрица Коши Ca(t7 s). Зафиксируем также некоторое подпространство
В пространства Тцос. Линейное многообразие Т)(о, В) всех решений х модельного уравнения 0х = z при всех z В определяется равенством t x(t) = і Co(i,s)z(s)ds + Xo(t)x(0y. Таким образом, D(o,B) = CQB + AoRn, где one ратор Ao : R" — Djoc определен для любого a R равенством: (X0a)(t) = XQ(t)a. Пространство П(0,В) будет банаховым, если В —банахово пространство, причем Линейное многообразие D(,B) всех решений уравнения Сх = f при всех / Є В определяется равенством D(, В) — СВ + A R. Для широких классов уравнений Сх = / многообразия D(, В) при фиксированном В совпадают. Более того, нормы в этих пространствах эквивалентны. Такие пространства естественно считать совпадающими (равными). Решения этих уравнений обладают в некотором смысле одинаковыми асимптотическими свойствами. Теорема 2.1.1 в предположении ограниченности оператора С : D(0, В) — В устанавливает, в частности, эквивалентности утверждений о совпадении пространств D(0,B) и D(,B) и существования ограниченного обратного оператора (CCQ) :В - В. Совпадение пространств D(JCGTB) И D(,B) решений модельного уравнения и исследуемого уравнения Сх — f получило название D —устойчивости (или D—свойства) (см., например, ([11]-[15]; [17]; [18]; [25]; [21]-[24]; [275]; [32], гл.5; [351], СЬ.5; [28]; [128]; [348]; [26]; [51]; [300]; [353]; [43]-[46]; [350]; [342], Cap.IV; [33], гл.П, 2.3)). D—устойчивость при соответствующем выборе модельного уравнения и пространства В гарантирует устойчивость по Ляпунову (или, соответственно, асимптотическую или экспоненциальную устойчивость). По сложившейся традиции устойчивость дифференциальных уравнений принято изучать в пространстве С. Изложенная в 2.1, 2.2 теория устойчивости ЛФДМП была предложена в работах ([11]-[15]; [17]; [18]; [25]; [21]-[24]; [32], гл.5; [351], Ch.5; [28]; [348]; [43]; [353]; [350]; [33], гл. II, 2.3) и основана на замене пространства С на пространство D = D(0,B) решений модельного уравнения CQX = z. Это позволило использовать общую схему теории абстрактного ФДУ ([53]; [31]; [35]; [10]; [54]; [100]; [101]; [260]; [41]; [261]; [29]; [30]; [142]-[144]; [12]-[15]; [32], гл.6, гл.12; [347]; [351], Ch.6; [352]; [33], гл.І, гл.П; [132]) и теорию линейных операторов в банаховых пространствах. Первый вариант доказательства теоремы 2.2.3 с помощью правого W—метода был найден Л.М.Березанским при использовании евклидовой нормы в Rn. Затем эта идея была применена Р.И.Кадиевым для получения достаточных условий устойчивости стохастических Л ОДУ [145], [149]. Предложенный здесь вариант доказательства теоремы 2.2.3 был дан П.М.Симоновым и опубликован в [43]. Некоторые результаты 2.3 для частных случаев уравнения (1.2.14) были приведены в [20]. Окончательные формулировки утверждений, их доказательства, а также контрпримеры содержатся в [24], [278].
Теорема 2.4.1 доказана авторами и опубликована в [43]. Варианты этой теоремы имеются в ([353]; [33], гл.II, 2.3, 2.3.1, теорема 3.2). Другие, более общие результаты о вольтерровой обратимости получены В.Г.Курбатовым ([180]; [181]; [183]; [197], гл.4, 4.2-4.4; [413], Ch.ll), В.Г.Курбатовым и А.А.Студеникиным [414], Д.Ф.Юнгом [450], С.А.Гусаренко ([100]; [393]; [33], гл.П, 2.4), В.И.Суминым [287] (см. также [389], [391], [380]). В основе многих приведенных в этой главе результатов лежит преобразование задачи (2.1.1) к эквивалентному уравнению (см., например, ([291]; [90], Введение, II; [292]; [259]; [64]; [85]; [56]; [339]; [42]; [38]; [211]; [212]; [310]; [6]; [312]; [55]; [382]; [293], гл.2, 4, 6, гл.З; [133]; [114]; [442], с.131; [260]; [102]; [261]; [105]; [109]; [391], Ch.Il; Использование модельных уравнений (модельных краевых задач) и преобразований Л ОДУ к уравнению вида (2.6.1) связано с именами Ж.Лиувилля, М. Брату, А.И.Некрасова, В.В.Васильева, Г.Фубини, и Ф.Дж.Трикоми (см., например, ([365], 4; [291], гл.1,1.8,1.13; гл.Ш, 3.13; [90], Введение, II; [292], гл.Ш, 27)). Сведение ЛОДУ к уравнению вида (2.6.2) использовалось в работах Ж.Лиувилля, В.А.Стеклова, П.Бу-ргатти, Т.Лалеску, Р.Лангера, Г.Фубини и Ф.Дж.Трикоми, Г.Сегё (см., например, ([291], гл.1, 1.8; [90], Введение, II; [292], гл.ІУ, 29, 30)). Согласно традициям Пермского Семинара преобразование задачи (2.1.1) к уравнению (2.8.1) получило название uAeebiif ("левосторонний") W—метод, а преобразование задачи (2.2.1) к уравнению (2.6.2) — "правый" ("правосторонний") W—метод. В теории линейных операторных уравнений такие преобразования соответственно называются левой и правой регуляризацией (задачи, оператора) (см. например, ([141], гл.УІ, 5, 5.1; [296], гл.Ш, 1, 9, 10)).
Функции, имеющие конечный предел
Итак, при любой f L[0, oo) решение x уравнения (4.8.39) суммируемо на [0, оо). Так как х — T (ltx + f), то і Є L[0, oo). Таким образом, при любой / Є L[0, DO) имеем: x,і L[0,oo). В терминологии статьи [24] (см. также 4.6 главы IV диссертации) это свойство означает сильную L—устойчивость уравнения (4.8.39). Операторы 71 и S ввиду условий на коэффициенты и ограниченности запаздываний удовлетворяют AL—условию [24] или условиям теорем 4.2.1, 4.2.2, 4.6.1, 4.7.1 из главы IV диссертации (условию экспоненциального убывания памяти [185], [188], [193], [195], [197], [276], [277], [370]). Фундаментальная матрица X,(t) = X(t,s) уравнения (4.8.11) является ([32], гл.З, 3.4, с.62; [209]) решением матричной задачи Коши (4.8.4) и совпадает с фундаментальной матрицей уравнения (4.8.1)
Тогда согласно теореме 4 статьи [24] или теореме 4.7Л из главы IV диссертации сильная L—устойчивость влечет при некоторых положительных М и а экспоненциальную оценку (4.8.14) для матрицы X(t, $). Проведенное в [24] и в 4.6, 4.7 главы IV диссертации изучение сильной устойчивости показывает, что для ЛДРУ любой признак такой устойчивости (и, следовательно, экспоненциальной оценки (4.8.5) матрицы Коти C(t,s)) может быть получен W— методом.
В заключение отметим, что при доказательстве теоремы предлагаемой работы были использованы результаты Л.Вейса (например, [444]) о представлении порядково непрерывных операторов, действующих в пространствах измеримых функций. Кроме того, в доказательстве использована идея, близкая к идее доказательства теоремы Ю.С.Колесова из работы [162]. Разрешимость относительно производной как необходимое условие экспоненциальной устойчивости по норме С рассматривал В.Г.Курбатов в статье [193]. В работе [195] выделен класс таких ЛДРУ, для которых С—устойчивость, С 1 —устойчивость и W—устойчивость эквивалентны. Здесь С 1 — банахово пространство непрерывно дифференцируемых и ограниченных на [0, оо) вместе с производными х функций х : [0, сю) — R с нормой ж[с(і) = \\х\\с + \Щ\с Предложена схема исследования обратимости периодических операторов, основанная на дискретном преобразовании Фурье.
Класс периодических операторов содержит различные по своей структуре линейные операторы, каждый из которых коммутирует с некоторым оператором сдвига. Типичными представителями ФДУ с периодическими операторами являются ЛДРУ с периодическими параметрами ([75], с.498) и линейные интегральные уравнения с периодическими ядрами [252]. В стационарном случае, то есть в случае уравнений с постоянными коэффициентами, условия разрешимости изучаются методами операционного исчисления [246], [75], 40, [280], 41, [197], [413], сводящего вопрос об обратимости стационарного оператора к исследованию его изображения — аналитической (вообще говоря, операторозначной) функции. Методы, близкие к операционному, применяются и для исследования разрешимости некоторых типов нестационарных периодических уравнений [75], [280], [252], [218]. Во многих случаях периодический оператор можно представить в виде абстрактного разностного оператора с постоянными коэффициентами [280]. Это позволяет применить аппарат обобщенных преобразований Фурье41.
В предлагаемой параграфе приведены результаты работ [276], [277], [370] о распространении операционного метода на широкий класс нестационарных периодических уравнений. В основу такого распространения положена идея разложения решений на элементарные. Как известно, в стационарном случае элементарными решениями являются экспоненты и поэтому разложение решений на элементарные приводит к преобразованию Лапласа-Фурье. Для нестационарных периодических уравнений набор элементарных решений состоит из так называемых решений Флоке — произведений экспонент и периодических функций. Этот факт является очевидным следствием коммутирования периодического оператора с оператором сдвига. В соответствии с классической схемой разложение решений на элементарные решения Флоке позволяет сразу указать преобразование Лапласа-Фурье периодических операторов и в терминах этого преобразования сформулировать условия разрешимости периодических уравнений.
Параграф состоит из трех частей. В первой из них дано описание класса банаховых пространств, где рассматриваются операторы. Указаны условия, необходимые для содержательного анализа периодических операторов: инвариантность нормы относительного сдвига, возможность умножения на достаточно гладкие функции и оценка асимптотического роста нормой Лебега. Эти условия определяют класс трансляционно-инвариантных С —модулей Лебега. Представителем этого класса является пространство С.Л.Соболева WjP(R) скалярных дифференцируемых функций.
