Введение к работе
Актуальность темы. Системы с полилинейной правой частью представляют большой интерес, так как многие модели процессов физической, технической, экономической природы описываются именно такими моделями. Более того, все странные аттракторы, найденные на данный момент, являются именно такими системами.
В настоящее время для построения решений подобных систем используются стандартные методы численного анализа, не учитывающие конкретный вид правой части системы. Более того, стандартные методы численного анализа не могут быть применимы для построения решения на большом промежутке времени вследствие накопления систематической ошибки. Таким образом, использовать это решение для точного исследования невозможно. Поэтому выводы, построенные на основе численных экспериментов для систем с полилинейной правой частью, зачастую содержат неточности.
Возникает проблема построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью. Под моделью исследования будем понимать дискретную динамическую систему вдоль решений динамических систем с полилинейной правой частью. Конкретный вид правых частей подобных систем позволяет применять к ним процедуру символьного интегрирования, избегая при этом численных методов интегрирования и округления вещественных чисел, а следовательно, и ошибки вычислений. Более того, алгоритм построения приближенной модели исследования позволит производить вычисления в распределенной компьютерной среде, что повышает эффективность алгоритма.
В качестве примеров систем с полилинейной правой частью рассматриваются две системы: система Лоренца и модель экономики Н.А. Магницкого.
Система Лоренца описывает модель конвекции в плоском слое жидкости. Лоренц считал, что в этой системе имеется счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов. Однако, насколько нам известно, строго существование циклов в системе Лоренца не доказано. При этом традиционные численные методы, используемые для интегрирования системы Лоренца, дают значительные систематические ошибки вследствие неустойчивости решений.
Экономическая модель Н.А. Магницкого описывает движение капитала и спроса под воздействием норм прибыли в условиях саморазвивающейся рыночной среды. Существует гипотеза о наличии в данной системе сложных аттракторов.
В настоящее время отсутствуют примеры диссипативных систем, в которых строго доказывается существование странных (хаотических, ги-
перболических и т.д.) аттракторов. Сказанное в полной мере относится и к системе Лоренца и к системе экономики Н.А. Магницкого. Поэтому проблема разработки приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде является актуальной. Более того, существующие стандартные методы численного анализа дают большие систематические ошибки при построении решений подобных систем. Целью работы является построение приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде; разработка численного метода, алгоритма и комплекса программ для построения приближенной модели и решений; исследование системы Лоренца и модели экономики Н.А. Магницкого. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:
-
Разработать модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде.
-
Разработать численный метод и алгоритм символьного построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью с заданной точностью.
-
Разработать комплекс программ, реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования в распределенной компьютерной среде.
-
Исследовать структуру аттрактора в системе Лоренца.
-
Исследовать структуру системы экономики Н.А. Магницкого.
Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, теории алгоритмов, а также методы символьных вычислений и вычислений в распределенной компьютерной среде.
Научная новизна:
-
Разработана модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью, отличающаяся возможностью построения точного решения в символьном виде.
-
Разработан численный метод и алгоритм символьного построения приближенной модели исследования, отличающийся возможностью с любой заданной точностью получать решения динамических систем с полилинейной правой частью.
-
Разработан комплекс программ, реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования, отличающийся возможностью проводить вычисления в распределенной компьютерной среде.
-
Показано, что в аттракторе системы Лоренца не содержится счетного всюду плотного множества седловых предельных циклов.
5. Показано, что в системе экономики Н.А. Магницкого отсутствуют сложные аттракторы.
Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют символьно строить приближенные модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью с заданной точностью в распределенной компьютерной среде. Также предложенные алгоритмы могут быть использованы для построения приближенной модели исследования систем с правой частью в виде многомерного многочлена.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления» (г. Тамбов, 2011 г.) и «Современные методы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (г. Воронеж, 2011 г.), а также на XV научной конференции ТГТУ «Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование» (г. Тамбов, 2010 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, из которых 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК, и 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 92 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 19 рисунков и 2 таблицы . Список литературы состоит из 81 наименования.
