Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Предварительные сведения 17
1.1. Матрицы Римана первого и второго рода 17
1.2. Задача типа Коши. Метод граничных интегральных уравнений 21
1.3. Операторное неравенство в банаховом пространстве с конусом 26
1.4. Гиперболическая модель теплопроводности 27
Глава II. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности ' 30
2.1. Вычисление матриц Римана гиперболической системы двух уравнений 30
2.2. Случай постоянных коэффициентов 37
2.3. Матрицы Римана оператора (1.25) 40
2.4. Задача Коши для гиперболической системы уравнений теплопровод ности. Редукция к параболической модели 43
2,5, Оценки для элементов матрицы Римана второго рода оператора (1.25) ,. 48
Глава III. Задача Стефана для гиперболической системы уравнений теплопроводности 53
3.1. Особенности модели и метода исследования 53
3.2. Формулировка краевой задачи 54
3.3. Производящая функция краевой задачи 57
3.4. Уравнение для производящей функции. Теорема существования и единственности 60
3.5. Теорема существования и единственности решения краевой задачи 7Ї
3.6. Итоговый результат 76
Глава IV, Перенос результатов на случай неоднородного материал а.. 79
4.1, Формулировка задачи , 19
4.2. Уравнение для производящей функции 80
4.3. Теоремы существованиям единственности 87
Заключение 90
Литература
- Задача типа Коши. Метод граничных интегральных уравнений
- Гиперболическая модель теплопроводности
- Задача Коши для гиперболической системы уравнений теплопровод ности. Редукция к параболической модели
- Уравнение для производящей функции. Теорема существования и единственности
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Одна из трудных задач теории теплопроводности - разработка методов расчета процессов фазового перехода, в том числе процессов плавления. В рамках классической теории теплопроводности математическими моделями процессов плавления служат краевые задачи с неизвестной границей для уравнений параболического типа [3, 6]. В связи с появлением гиперболической модели теплопроводности [1,7], устраняющей имеющий место в классической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла, является актуальной задача построения и анализа уточненных моделей процессов плавления на базе теории уравнений гиперболического типа.
Имеющиеся к настоящему времени работы по этой проблематике [4, 5, 10, 11] сводятся к попыткам обоснования — как правило с помощью не вполне строгих методов — корректности рассматриваемой модели.
В после,п 'ие годы в работах [2, 8, 9] развит подход к анализу краевых задач для гиперболических систем на плоскости, который может быть охарактеризован как метод граничных интегральных уравнений. В рамках этого подхода анализ корректности и построение решения краевой задачи приводятся к таким же задачам для системы интегральных уравнений на границе области. На этом пути исследован класс смешанных задач, возникающих, в частности, при моделировании процессов в химических реакторах.
Является актуальным распространение этого метода на краевые задачи с неизвестной границей указанного выше типа.
Цель работы — разработка специального варианта метода граничных интегральных уравнений применительно к краевой задаче с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления одномерного материала в рамках гиперболического закона теплопроводности, и анализ этой задачи на основе построенного математического аппарата.
В работе используется аппарат функционального анализа, теории гиперболических уравнений, гиперболической теории теплопроводности.
Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты.
-
Построено явное представление через коэффициенты матриц Римана первого и второго рода гиперболической системы двух уравнений общего вида, на этой основе вычислены матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.
-
Построение решения краевой задачи с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления, приведено к вычислению производящей функции этой задачи, определенной на границе раздела фаз.
-
Построено уравнение для производящей функции, представляющее собой нелинейное операторное уравнение в конусе положительных непрерывных функций на некотором отрезке. Найдено условие на параметры задачи, обеспечивающее однозначную разрешимость этого уравнения и — на этой основе - краевой задачи.
-
Построена итерационная процедура вычисления характеристик процесса плавления: температуры и теплового потока в жидкой фазе, закона движения границы раздела фаз.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты лежат на стыке теории теплопроводности и теории гиперболических уравнений и представляют собой дальнейшее развитие метода математического моделирования в задачах фазового перехода. Развитый в работе подход к анализу краевой задачи с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления, является развитием метода граничных интегральных уравнений для гиперболических систем на плоскости. Полученные на этом пути результаты могут быть использованы для расчета процессов плавления.
Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих научных конференциях: 1. III Общероссийская научная конференция с международным участием «Успехи современного естествознания» (Дагомыс, 2003). 2. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004). 3. V Международная научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2004). 4. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. (Суздаль, 2006).
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 8 научных работ, список которых приведен в конце автореферата. Работы [12-16] выполнены в соавторстве и их результаты принадлежат авторам в равной мере.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 63 наименований, включая работы автора. В каждой главе и во введении использована своя нумерация параграфов, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации составляет 97 страниц машинописного текста.
Задача типа Коши. Метод граничных интегральных уравнений
. Представим оператор (1 Л) в виде L = D + В{х), D = diag(A,...,Dn), (1.7) где Dk - введенный выше оператор дифференцирования по t вдоль харак теристики іk. Зафиксируем область cR . Будем предполагать, что граница дФ области содержит кусочно-гладкий участок Г такой, что выходящие из каждой точки х є \ Г, где - Ф + д , лучи \{х),...,1 п(х) пересекают Г под ненулевым углом, притом один раз, и не имеют общих точек с Э \ Г f кроме, быть может, ТОЧКИ X . Лемма 1.3. В указанной ситуации среди точек каждого из множеств Мк{х) = Гк{х)пТ, хєГ, = 1,...,и, имеется самая низкая точка ук (х) (с наименьшей ординатой). Если какое-либо из множеств Мк содержит точки, отличные от х, yk{x)t то оно совпадает с отрезком [JC, ук(х)] характеристики к(х).
Построим отображения - Г (рис. 1 а) Ук( ) = ( )пГ, ХФ\Г, (1.8) ук(х), хеТ.
Из (1.8) я непрерывности кривой Г легко следует непрерывность отображения ук(х) в . Далее будем кратко говорить, что участок Г границы Э регулярно достижим из , если выполнены указанные выше требования и при этом каждая точка х є Г принадлежит хотя бы одному из множеств ук(Ф)
2. Рассмотрим краевую задачу (задачу типа Коши) L(u) = f{x\ іє, - ыг = ц/(х\ где Г - регулярно достижимый из участок границы 8 , /, ц/ функции со значениями в Сы, непрерывные соответственно на и на Г. Решением (обобщенным) задачи (1.9) будем называть функцию и(х): - С со свойствами: 1)иеС(Ф);
2) для каждой компоненты ик(х) существует производная Dkuk с С{р), непрерывно продолжаемая в
3) вьшолняются соотношения (1.9), где оператор L понимается в смысле (1.7).
Класс функций, удовлетворяющих условиям 1-3, будем обозначать SL. Пусть х є Ф, ук{х) - функции (1.8). Обозначим U(x) = diag[U1(x,yl),...,U„(x,y)], ) = 1 ( ).-, п(Уп) \Т Jp\x = U(x)fi+ \V(x,y)[y/{y)dG-A{y)y/{y)dT\ г, пТ X X \u1(x,y)f1(y)dr,..., \Un(x,y)fn(y)d, (1.10) Уі У» Jif-]yv( y)f{y)dy. Ф.
Здесь Uki К- матрицы Римана, интегралы в формуле для -j\f берутся вдоль 1 к(х), Гх - часть Г между у}, уп, DX - часть Ф между 1\{х), Г„(х\ Гх. Теорема 1.2. Если краевая задача (1.9) имеет решение и(х) eSL,ro имеет место формула ФО = 7 + (3+72)/. (1.11) Следствие. Если краевая задача (1.9) разрешима в классе SL, то имеет место равенство {i-3)w = &i+J2)L єг. (1.12) Теорема 1.3. 1. При любых і// є С(Т), f = С(Ф) функция (1.10) удовлетворяет уравнению L{u) = /, где L -оператор (1.1).
2. Если при этом у/, f связаны соотношением (1.12), то функция (1.10) - решение класса SL задачи (1.9).
Теорема 1.4. Для однозначной разрешимости краевой задачи (1.9) в классе SL необходимо и достаточно, чтобы данные ц/ є С(Г), / є С(Ф) были связаны соотношением (1.12).
Теоремы 1.2-1.4 позволяют развить следующий подход к анализу краевых задач для гиперболических систем на плоскости, получивший название метода граничных интегральных уравнений.
Гиперболическая модель теплопроводности
В основе классической теории теплопроводности лежит гипотеза Фурье, связывающая тепловой поток с градиентом температуры: q= k(s)gradT. (1.19) Здесь k(s) - удельная теплопроводность в точке s среды, тепловой поток и градиент вычисляются в точке s в один и тот же момент времени і. Соотношение (1.19) вместе с законом сохранения энергии ф) p{s) —+div q = Q, (1.20) 8t где с, p - удельная теплоемкость при постоянном объеме и плотность, образуют параболическую систему уравнений теплопроводности.
В рамках параболической модели теплопроводности наблюдается парадокс, впервые замеченный Максвеллом: начальное финитное тепловое возмущение в любой следующий момент времени имеет носитель, совпадающий со всем пространством, т.е. распространяется с бесконечной скоростью. Неприемлемость этого с физической точки зрения, а также эксперименты по распространению тепловых импульсов в твердых телах и в химических реакторах, показывающие, что тепловой импульс в ряде ситуаций ведет себя как волна, привели в последние десятилетия к новым моделям теплопроводности, в основе которых лежит гипотеза Каттанео-Лыкова-В ернотта: q(s,t+T0) = -k(s) gradT(s,t), где г0- время релаксации теплового потока. Для металлов эта величина г0 «10"пс, для полимеров та «10 6 -10"5с. Разлагая левую часть в ряд по степеням малого параметра и отбрасывая члены выше первого порядка, получим соотношение q + T0 + k(s)gradT = 0, (1.21) образующее вместе с законом сохранения (1.20) гиперболическую систему уравнений теплопроводности. В рамках этой модели тепловой импульс распространяется со скоростью а аг VTo а0 = ср (1.22)
Детальные расчеты быстропротекающих процессов тепломассопереноса в рамках гиперболической модели дают удовлетворительное совпадение с данными опыта [6].
Доказательство. 1. Покажем, что при любых фиксированных х, yeY {x) ряд (2.13) сходится. Проведем произвольно горизонталь t - const ниже точки у, и пусть А - построенный выше криволинейный треугольник. Из (2.10) легко получить: для любой непрерывной в А матрицы h(y) верны равенства Пусть Яд - банахово пространство непрерывных матриц h: А Mat (2, Ж) с нормой (2.16). Из оценки (2.15), в частности, следует: ряд Я" для оператора (2.10) сходится в операторной топологии в НА, в=0 верна оценка е а (1,-1 &) и=0 где а- константа (2.9), tA -mmt Отсюда легко получить: оператор уєА 1-Я обратим в Яд и верна формула
Ввиду произвольности выбора нижней границы t const области А оператор 1-Я обратим на линеале Я непрерывных в Y{(х) матриц второго порядка и верна формула (1-ЯГН= ЯпЬ, heH. и=0 (2.17) 3. Будем рассматривать матрицу Ух как функцию от х в области Y}+(y). Участок Т = і\{у) + Є2{у) границы области регулярно достижим выходящими из Yx (у) лучами к, поэтому, в силу пункта (iii) 1.3, матрица V представляется через свои значения V(z,y) на Г формулой (1.11):
Задача Коши для гиперболической системы уравнений теплопровод ности. Редукция к параболической модели
В той главе рассматривается и решается на основе результатов глав 1, 2 краевая задача со свободной (неизвестной) границей, моделирующая процесс плавления одномерного твердого материала в рамках гиперболического закона теплопроводности.
1. Основные особенности модели: а) в ее рамках автоматически выполняется требование: граница раздела фаз движется не быстрее фронта тепловой волны [23; 24]; б) учтены скачки температуры и теплового потока на границе раздела фаз [39-41, 58]; в) исследование процесса плавления начинается сразу после включения источника тепла (в [11] рассматривается существенно более простая си туация, когда прошло некоторое время после включения); г) источник тепла формализуется заданием теплового потока q 0; д) в постановку задачи входит требование поиска условия на параметр q , при выполнении которого процесс плавления с гарантией продлится в течение заранее заданного промежутка времени [0, / ].
2. Разработан специальный вариант метода граничных интегральных уравнений, учитывающий специфику краевой задачи: (і) вводится понятие «производящая функция краевой задачи», решение задачи приводится к ее вычислению; производящая функция определена на неизвестном участке границы (границе раздела фаз); (ii) центральным местом в выполненном исследовании является построение и анализ уравнения для производящей функции, представляющего собой нелинейное операторное уравнение; (ш) при условии q const, где константа строится по параметрам задачи, доказана однозначная разрешимость этого уравнения методом итераций, что позволяет построить итерационную процедуру решения краевой задачи.
Рассматривается следующая краевая задача с неизвестной границей. 1. При произвольно фиксированной константе t 0 требуется найти функции Т(х), q(x), (p(t) такие, что (peCl[0,t l )(0) = 0, g?{t) 0 при t 0, (3.1) а функции Т, q в замкнутой области (D, где = {x = (s,t):0 t t , 0 s p(t)}s (3.2) удовлетворяют системе уравнений и краевым условиям ?L=? ІС=Р РЄ\ = ф, T\f 0, (3.4)
Здесь = {x: J = 9(/)} - граница раздела жидкой (0 s p(t)) и твердой (s p(f)) фаз в момент t \ г, Т, g - соответственно плотность внутренней энергии, температура и тепловой поток в жидкой фазе; d- скрытая теплота плавления; q - заданная положительная константа; условия (3.4) записаны по правилам механики сплошной среды с учетом скачков температуры и теплового потока на границе раздела фаз. Поясним кратко условия на кривой . Будем рассматривать произвольно фиксированный отрезок а с как «бесконечно узкую» полоску с жидким и твердым берегами и считать, что равенства (3.3) продолжаются в нее. Интегрируя по полоске первое равенство (3.3), применяя формулу Грина и переходя к пределу при условии, что берега стягиваются к линии , получим: $\p p(e-e)-(q-qj\d = 0, h где е, ё, q, q - предельные значения е(х), д(х) со стороны жидкой и твердой фаз, откуда, ввиду произвольности 0, следует рф(е ё) = д д.
Принимая е = # 0, получим первое соотношение (3.3) на . Применяя такой же прием ко второму равенству (3.3), получим (с учетом fydsdt- Q при стягивании полоски к линии) второе соотношение (3.4) на і. Случай, когда константа ё#0, приводится к этому заменой в (3.3) е(х) на е(х)-ё.
Уравнение для производящей функции. Теорема существования и единственности
При условии (3.24) краевая задача (3.1), (3.6), (3.7) однозначно разрешима. Функция р(/)дается формулой (3.10), где v(t) -решение (3.39) уравнения (3.29). Решение и(х) класса SL задачи (3.5) - (3.7) дается формулой (3.11), где у/(х) вычисляется по формулам (3.13).
Доказательство. Построим по константе t и решению v{t) уравнения (3.29) функцию p(t), область , участок Г границы и функцию \j/{x) на Г, как указано в 3.3. Нетрудно убедиться, что значения у/ф,і) и y/((p(t), t) в точке (0,0) совпадают, поэтому у/ є С(г). В силу теоремы 1.3 функция и{х) = V[v], где V- оператор (3.12), есть решение класса SL системы (3.5). Проверим выполнение равенства (1.12).
В силу теоремы 3.1 равенство (1,12) верно на участке s = 0 кривой Г. Покажем, что оно верно на участке і є Г. Рассмотрим в построенной ранее области 0 е (см. рис. 4а) задачу Коши L{u)-0, и\{ =y/{q {t),t) где L - оператор (3.5), у/ дается первым равенством (3.12). В силу замечания 2 к 1.3 эта задача имеет единственное решение її(х) є SL, представляемое в Ф0 \ через свои значения (3.16) на формулой вида (1.11) при п-2, где Uk - функция (3.8), роль матрицы У играет V, определяемая равенствами (2.4), (3.8), роль Г - кривая I, контур Тх - часть между лучами $(х), Г2(х). Из способа получения уравнения для функции v{t) в 3.4 следует: компоненты вектор-функции и (0, t) связаны вторым равенством (3.12), Далее, в силу теоремы 1.2 функция и(х) может быть представлена через свои значения (3.16) на и на участке $ = 0 границы области 0 формулой вида (3.11), где в данном случае у/(0,t) = її(0, t). Повторяя без изменений рассуждения, проведенные при доказательстве пункта 2 теоремы 3.1, получим: и(0, t) совпадает на указанном участке с построенной ранее функцией i//(0J), определяемой равенствами (3.12), (3.13); тем самым построенная ранее функция (3.11) совпадает с и(х) в 0. Отсюда следует выполнение равенства (1.12) для функции (3.14) на кривой .
Из доказанного с учетом следствия из теоремы 1.2 следует: построенные при условии (3.24) функции p(t) и u(x) =SL - единственная пара функций, удовлетворяющая (3,1), (3.6), (3.7),
По произвольно фиксированным t 0 и гу є С+ - {w є С[0, t ], w 0} построим кривую iw с уравнением s = pw (t), где pw(t)- решение задачи Коши (4,6) с заменой v на w и область го, определяемую аналогично
(3.2). Каждому числу / є (О, Ґ] поставим в соответствие число tw є (0, t), определяемое равенством
Одна из задач теории теплопроводности - разработка методов расчета процессов фазового перехода, в том числе процессов плавления. В связи с появлением гиперболической модели теплопроводности, актуальной является задача построения и анализа уточненных моделей процессов плавления на базе теории уравнений гиперболического типа.
Диссертационная работа посвящена этой проблематике. Получены следующие основные результаты [33-38,42-45].
1. Построено явное представление через коэффициенты матриц Римана первого и второго рода гиперболической системы двух уравнений общего вида, на этой основе вычислены матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.
2. Построение решения краевой задачи с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления, приведено к вычислению производящей функции этой задачи, определенной на границе раздела фаз,
3. Построено уравнение для производящей функции, представляющее собой нелинейное операторное уравнение в конусе положительных непрерывных функций на некотором отрезке. Найдено условие на параметры задачи, обеспечивающее однозначную разрешимость этого уравнения и - на этой основе - краевой задачи.
4. Построена итерационная процедура вычисления характеристик процесса плавления: температуры и теплового потока в жидкой фазе, закона движения границы раздела фаз.
