Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах 8
1.1 Классические модели гидро- и аэродинамики 8
1.2 Кинетическое уравнение Больцмана 12
1.3 Обобщение кинетического уравнения Больцмана на случай молекулярных газов. Уравнение Ванг Чанг-Улснбска 14
1.4 Модель Морзе кинетического уравнения Ванг Чанг-Уленбека 18
1.5 Модель Хансона-Морзе интеграла столкновений в уравнении Ванг Чанг-Уленбека 20
1.6 Обобщение БГК-модели кинетического уравнения Больцмана 25
1.7 Обобщение эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения Больцмана 28
1.8 Аналитические методы решения кинетических уравнений 33
1.9 Математическое моделирование течений газа в каналах 35
Выводы из главы 1 36
Глава 2. Математическое моделирование процессов тепло- и массо переноса в каналах 37
2.1 Задача о течении Пуазейля 37
2.2 Задача о течении Куэтта 65
2.3 Задача о тепловом крипе 82
Выводы из главы 2 98
Глава 3. Методы вычислений 99
3.1 Алгоритм расчета 99
3.2 Практическая реализация алгоритма 104
3.3 Математическое обоснование и преимущества выбранных процедур
Выводы из главы 3 108
Заключение 109
Список литературы
- Кинетическое уравнение Больцмана
- Модель Хансона-Морзе интеграла столкновений в уравнении Ванг Чанг-Уленбека
- Задача о течении Куэтта
- Математическое обоснование и преимущества выбранных процедур
Кинетическое уравнение Больцмана
Для решения системы уравнений Навье-Стокса, которая в общем случае представляет собой сложную нелинейную систему дифференциальных уравнений с частными производными, необходимо сформулировать начальные и граничные условия. В классической гидродинамике при постановке граничных условий на обтекаемых поверхностях обычно полагают, что скорость газа у стенки и его температура равны соответственно скорости и температуре самой стенки. Как показывают многочисленные расчеты использование такого граничного условия позволяет получать решения, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. Однако, когда плотность газа становится достаточно низкой, результаты, полученные в рамках классической гидродинамики, все существеннее отличаются от экспериментально наблюдаемых. В достаточно разреженном газе молекулы ”скользят” вдоль стенок, что было экспериментально установлено в конце 19 столетия Кундтом и Варбургом при исследовании движения разреженного газа по трубам [26]. Таким образом, в слабо разреженном газе граничное условие для касательной составляющей массовой скорости газа на обтекаемой поверхности может быть записано в виде:
Здесь Ст - коэффициент изотермического скольжения, ugT - касательная к поверхности компонента скорости газа, полученная в гидродинамическом приближении, хп - координата, нормальная к обтекаемой поверхности, направленная вглубь газа, 1д - средняя длина свободного пробега молекул газа. Аналогичным образом вводятся понятия теплового скольжения и скачка температуры [1]. Последнее условие используется для постановки на обтекаемых поверхностях граничного условия при построении решения уравнения теплопроводности (1.1.7).
Раздел гидродинамики, учитывающий при постановке граничных условий на обтекаемых газом поверхностях явления скольжения и скачка температуры, получил название гидродинамики со скольжением. Учет на обтекаемых газом поверхностях явления скольжения и скачка температуры позволяет расширить порядка до 0,03 диапазон чисел Кнудсена, при которых представляется возможным использование для описания течений газа системы уравнений классической гидродинамики. Последнее является весьма важным, т.к. к настоящему времени разработано большое число пакетов практико-ориентированных программ, например, ANSYS - программное обеспечение для решения задач инженерного анализа с использованием методов математического моделирования (модули Fluent, CFX), Flow Vision, FLOW-3D и ряд других, которые могут быть использованы для описания потоков газа в задачах с различной геометрией течения.
При дальнейшем увеличении степени разреженности газа, методы расчетов, основанные на уравнениях классической газовой динамики, становятся непригодными и в этих условиях необходим переход к кинетическому описанию, основанному на использовании кинетического уравнения Больцмана [2]. Построению моделей течения газа в этих условиях и посвящено настоящее диссертационное исследование.
Во многих отраслях современной промышленности, например, радиоэлектронной, ядерной, медицинской и т.д.., широко применяются различные техно 13 логические процессы, протекающие при очень низких давлениях. Например, технологии, связанные с вакуумным напылением пленок, пайка и сварка при низких давлениях, вакуумное разделение изотопов, вакуумная теплоизоляция в криотехнике [2]. Разработка такого рода технологических процессов потребовала время глубокого изучения процессов протекания тепло- и массообмена в разреженных газах. О чрезвычайно большом значении динамики разреженного газа свидетельствует огромное число работ, опубликованных в последнее время в периодических изданиях, как в России, так и за рубежом [2].
К числу важнейших в прикладном значении задач динамики разреженного газа относятся задачи о течении разреженного газа в каналах [1, 2]. Несмотря на то, что первые исследования, посвященные этой задаче были выполнены в начале-первой половине прошлого столетия Кнудсеном в 1909 г. [21], Смолу-ховским в 1910 г. [22] и Клаузингом в 1932 г. [23], они до сих пор привлекают к себе внимание [1]—[20].
Выбор математического аппарата, используемого для моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах, существенным образом зависит от соотношения расстояния между стенками канала D и длины свободного пробега молекул газа 1д. При D /1д » 1 можно использовать уравнения механики сплошной среды, а при постановке граничных условий можно полагать, что значения скорости газа и его температуры на стенках канала равны скорости и температуре самой стенки. Однако при условии, что степень разреженности газа становится велика, расчеты, основанные на использовании уравнений классической газовой динамики, становятся непригодными. В этих условиях необходим переход от макроскопического описания, основанного на использовании уравнений классической гидро- и газодинамики, к кинетическому подходу, основанному на решении уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна соответствовать на обтекаемых газом поверхностях функция распределения молекул газа [2].
Модель Хансона-Морзе интеграла столкновений в уравнении Ванг Чанг-Уленбека
Графики зависимости U() и (0 ( = x/d) для различных значений к и Рг рассчитанные, согласно (2.1.88) и (2.1.91) приведены на рисунках 2.1.2 и 2.1.3, из которых следует, что для тонких каналах существенную зависимость оказывает значение числа Прандтля.
Полученные результаты, а также результаты, полученные в [9] - [11] с использованием численных методов на основе модели уравнения Больцмана с комбинированным ядром (CES) (для одноатомных газов), (S) модели, БГК модели и линеаризованного уравнения для модели молекул - жестких сфер (LBE) приведены в Таблице 2.1.2 и Таблице 2.1.3. Из приведенных таблиц следует, что отличие результатов, вычисленных на основе (2.1.89) и (2.1.91) от аналогичных, полученных численными методами в [11] на основе линеаризованного уравнения для модели молекул - жестких сфер (LBE), не превышает 10% для потока массы и для потока тепла при значениях
Многоатомные газы. Значения потока тепла JQ (2.1.92), приходящегося на единицу ширины канала при различных значениях к. Анализ полученных результатов. Рассмотрим решение задачи о течении Пуазейля в рамках классической гидродинамики. В изотермическом приближении плотность газа р и коэффициент динамической вязкости г] можно считать постоянными. Тогда в рамках классической гидродинамики для нахождения отличной от нуля компоненты скорости uz (х) газа приходим к уравнению Навье-Стокса, которое для стационарных течений в отсутствии массовых сил, записывается в виде
Здесь Ід - средняя длина свободного пробега молекул газа, Ст - коэффициент изотермического скольжения, хп - направленная внутрь газа нормаль к поверхности стенок канала, иТ - скорость газа, вычисленная в рамках классической гидродинамики и определяемая выражением (2.1.96). Тогда, с учетом граничных условий (2.1.98), система уравнений (2.1.95) для нахождения входящих в общее решение (2.1.94) коэффициентов С1 и С2 записывается в виде Выражения (2.1.99), (2.1.100) описывают зависимость массовой скорости газа в канале в зависимости от расстояния от оси канала и удельный поток массы газа.
Для установления границ применимости выражений (2.1.96), (2.1.97), (2.1.99), (2.1.100) сравним полученные с их использованием результаты с аналогичными, полученными в рамках кинетического подхода. Для этого перейдем в (2.1.96), (2.1.97), (2.1.99), (2.1.100) к безразмерным величинам так, как это принято в данном параграфе. Тогда (2.1.96) можем переписать в виде
Значения JM7 вычисленные согласно (2.1.105), (2.1.106) и (2.1.89) приведены в Таблицах 2.1.6-2.1.7. Там же приведены результаты, полученные в [9] -[11] на основе численных методов с использованием модели уравнения Больц-мана с комбинированным ядром (CES), S и БГК моделей и линеаризованного уравнения для модели молекул - жестких сфер (LBE).
Тот факт, что учет эффекта скольжения на стенках канала позволяет расширить область применения гидродинамического подхода к исследованию процессов переноса в разреженных газах, подтверждается и данными, приведенными в Таблицах 2.1.6-2.1.7. Сравнивая результаты, полученные на основе кинетического подхода по формуле (2.1.89), с расчетами, выполненными в рамках классической гидродинамики и гидродинамики со скольжением согласно формулам (2.1.105) и (2.1.106), легко видеть, что погрешность, меньшая 1.1%, во втором случае (для Рг = 1) достигается при толщине канала D 201д (соответственно при значениях числа Кнудсена Кп = lg/ D 0.05). В то же время в первом случае погрешность остается более 5% и при D 1001д.
Как видно из графиков, приведенных на рисунке 2.1.4, для каналов, толщиной более 10/5, профиль массовой скорости газа, построенный в рамках гидродинамики со скольжением, достаточно хорошо согласуется с аналогичными результатами, полученными в рамках кинетического подхода. В то же время отличие результатов, полученных в рамках классической гидродинамики, остается значительным даже для достаточно больших каналов. 2.2 Задача о течении Куэтта
Постановка задачи. Построение функции распределения молекул газа. Рассмотрим течение разреженного газа в канале, расстояние между стенками которого равно D (соответственно стенки расположены в плоскостях х = ±d декартовой системы координат). Здесь d! = D /2. Будем полагать, что стенки канала движутся, оставаясь в своих плоскостях, с равными по модулю скоростями и и — и в противоположных направлениях.
Задача о течении Куэтта
Постановка задачи. Построение функции распределения. Рассмотрим течение разреженного газа в канале, расстояние между стенками которого равно D (соответственно стенки расположены в плоскостях х = ±d! декартовой системы координат). Здесь d! = D /2. Предположим, что в канале поддерживается постоянный градиент температуры, параллельный его стенкам. Направим ось Oz декартовой системы координат против градиента температуры. VT функция распределения молекул газа по координатам, скоростям и внутренним степеням свободы; р = пквТ и r]g - давление и коэффициент динамической вязкости газа; кв - постоянная Больцмана; Ttr - температура поступательных степеней свободы молекул газа; v и 9 - параметры релаксации; 9 = 1/Z: где Z = TR/T7 TR - время релаксации внутренних и поступательных степеней свободы молекул газа, г - промежуток времени между двумя столкновениями молекул, а параметр v связан со значением числа Прандтля газа Рг соотношением Рг- = 1 - v + ви, v и г - скорости поступательного движения и размерные радиус-векторы координат центров масс молекул газа; G[f] -обобщенное гауссово распределение [68].
Будем считать, что температура мало изменяется на средней длине свободного пробега молекул газа. Тогда рассматриваемая задача допускает линеа 84 ризацию и функцию распределения молекул газа можно представить в виде где щ - концентрация молекул газа; R = к/т; 5 - число внутренних степеней свободы молекул газа; С = \// v безразмерная скорость молекул газа; т -масса молекулы газа; Т0 - температура газа в некоторой точке; i6 2 = I5 2/RT0\ I6 2 - внутренняя энергия; GT = (l/p)dp/dz - безразмерный градиент температуры, направленный против оси Oz \ Z(x, Сх) - линейная поправка к локально-равновесной функции распределения; х = Ртх /1д и z = Prz /lg - безразмерные координаты; 1д = г]д/3-1 2/р - длина свободного пробега молекул газа.
Здесь разрез совпадает со всей действительной числовой прямой. С учетом (2.3.22) - (2.3.25) сведем интегральное уравнение (2.3.19) к краевой задаче Римана на действительной положительной полуоси
Особенность краевой задачи (2.3.26) состоит в том, что функции N(z) и X(z) имеют различные разрезы. Чтобы устранить эту особенность необходимо решить задачу факторизации, то есть найти такую не обращающуюся в ноль ни в одной конечной точке функцию X(z), для которой на действительной положительной полуоси выполняется условие (2.3.27) и которая аналитична во всех остальных точках комплексной плоскости
С учетом решения однородной краевой задачи (2.3.27) перепишем (2.3.26) N + (n)X + (n) - N - (fi)X - (n) = f_;M;2 /i/(/i) ехр(-/і2 ), /І 0. (2.3.28)
Линии скачков функций N(z) и X{z) совпадают с контуром краевого условия. Следовательно, получили краевую задачу Римана - задачу определения аналитической функции по заданному скачку. Учитывая поведение входящих в (2.3.28) функций, по формулам Сохоцкого получаем ее общее решение
Здесь H(p) - функция Хевисайда (H(p) = 1, если /І 0 и Н(р) = О, если /І 0). Таким образом, все неизвестные параметры Ао, А\ и функция a(j)), входящие в (2.3.9) найдены, и построение функции распределения завершено.
Вычисление параметров газа в канале. Исходя из смысла функции распределения и учитывая (2.3.2), (2.3.4), находим z-компоненту вектора потока тепла [16]
Значения JM И Jg согласно (2.3.45) и (2.3.43) вычислены интегрированной программной системой Maple 9.5 для различных значений к и Рг и приведены в Таблицах 2.3.16 и 2.3.17.
Графики зависимости U() и (0 ( = x/d) для различных значений А; и Рг рассчитанные, согласно (2.3.44) и (2.3.42) приведены на рисунках 2.3.10 и 2.3.11, из которых следует, что для тонких каналов существенную зависимость оказывает значение числа Прандтля.
Полученные результаты, а также аналогичные результаты [9] - [11], полученные с использованием численных методов на основе модели уравнения Больцмана с комбинированным ядром (CES) (для одноатомных газов), S модели, БГК модели и линеаризованного уравнения для модели молекул - жестких сфер (LBE) приведены в Таблице 2.3.14 и Таблице 2.3.15. Из приведенных таблиц следует, что отличие результатов, вычисленных на основе (2.3.45) и (2.3.43) от аналогичных, полученных с использованием численных методов в [11] на основе линеаризованного уравнения Больцмана для модели молекул - жестких сфер (LBE), не превышает 10% для потока массы и для потока тепла при значениях к 1.
Математическое обоснование и преимущества выбранных процедур
- Для проведения численных расчетов и написания комплекса программ была выбрана система компьютерной математики (СКМ) Maple 9.5. Выбрана именно СКМ, а не какой-то из языков программирования (например Basic, Delphi или C++). Кстати, ядро системы Maple написано на языке С. Причины этого, как отмечалось ранее, в том, что СКМ являются лидерами в области символьных вычислений и обладают специальными встроенными пакетами и функциями для работы с математическими обьектами разной сложности. Также стоит заметить, что если, например, вычислять один и тот же интеграл по формуле прямоугольников (то есть непосредственным программированием формулы прямоугольников) на Delphi и Maple, то по скорости вычислений Delphi превзойдет Maple. Однако, если в Maple находить интеграл в символьном виде, то преимущество уже будет за СКМ.
Почему именно Maple, а не какая-нибудь другая программа компьютерной математики, например, Matcad, MatLab, Mathematica и т.д.? Принципиальной разницы здесь нет, разве что в тех случаях, когда система не может справиться с вычислением и приходится прибегать к другим методикам расчета. Плюс ко всему в Maple имеется полный доступ прямо из окна программы, который реализован командным режимом работы, что значительно упрощает работу (удобный интерфейс).
Для нахождения суммы ряда приходиться вычислять несобственные интегралы различной кратности. Вычисление кратных интегралов представляет весьма объемную работу в первую очередь по времени. Если кроме того интеграл имеет бесконечные пределы интегрирования, то задача становится еще более сложной. В нашем случае можно ограничиться конечным пределом интегрирования (используя свойства несобственных интегралов и подынтегральных функций), что немного упрощает процедуру вычислений.
Каким способом вычислять кратные интегралы? Если изначально, не интерполируя функцию линейными сплайнами, воспользоваться формулой прямоугольников (трапеций), то без больших затрат времени сможем вычислить интегралы первой, а иногда и 2-ой кратности. Для вычисления интегралов высшей кратности потребуются как минимум огромные затраты времени и объемы оперативной памяти ПК, так как число итераций увеличивается в геометрической прогрессии. Совершенно очевидно, что для решения поставленной задачи в "домашних условиях", необходимо использовать более подходящий метод. Вследствие этого, будем применять метод Монте-Карло [80], который имеет огромное преимущество при вычислении кратных интегралов, в том числе и интегралов бесконечной кратности, перед стандартными методами численного интегрирования (в первую очередь по времени).
Замечание. Как было только что сказано при вычислении кратных интегралов на Maple применялся метод Монте-Карло. Но как известно члены ряда Неймана состоят из интегралов, которые реккурентно выражаются через предыдущие по формуле [78]
То есть каждый интеграл можно найти численно посчитав двойную сумму, используя массив значений, сохраненный на предыдущем шаге (интеграл кратности п сводится к вычислению двойных интегралов). В то же время, если находить интегралы численно, не используя свойство рядов Неймана, то число итераций будет возрастать в геометрической прогрессии.
Заметим, что функции Х(—т) и А+(т)2 не зависят от толщины канала D. Поэтому их можно затабулировать с каким угодно малым шагом на Maple и сохранить в библиотечные файлы. Затем на Delphi вводим параметры к и Рг (тем самым найдя D = Ртк) и используя сохраненные массивы значений функций Х(—т) и А+(т)2 приступаем к реализации алгоритма со 2 шага. Это позволяет найти те же значения рядов Неймана, но с более меньшими временными затратами.
Вывод: Идеальный способ вычислений не найден, но используя 2 копью-терные программы (СКМ - Maple и язык программирования - Delphi) сохраняем их сильные стороны и нейтрализуем недостатки. Такой подход на практике дает хорошие результаты. Выводы из главы 3 1. Конечные выражения для макропараметров газа в канале записываются в виде ряда Неймана - бесконечного ряда кратных интегралов. 2. Количество членов ряда, учитываемых при нахождении суммы ряда, существенно зависит от толщины канала D. 3. При выполнении символьных (аналитических) вычислений СКМ (система компьютерной математики) Maple имеет преимущество перед ЯП (язык программирования) Delphi по времени вычислений и написанию кода программы. 4. При выполнении численных процедур ЯП Delphi имеет огромное преимущество по времени вычислений перед СКМ Maple. 5. Практическая реализация алгоритма расчета макропараметров газа в канале при использовании 2-х программ Maple и Delphi позволяет найти значения этих макропараметров за наименьшее время. 6. Для толстых каналов (то есть решая задачу в гидродинамическом приближении) и при невысокой точности вычислений достаточно проводить расчеты на СКМ Maple, при кинетическом подходе целесообразно использовать 2 программы Maple и Delphi.