Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия все большее внимание привлекают к себе задачи, связанные с построением математических моделей процессов тепло- и массопереноса, протекающих в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае для описания потоков массы газа и тепла уравнения классической гидродинамики неприменимы и для решения поставленных задач, необходимо исходить из кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять функция распределения на стенках канала. Для расчета макропараметров газа в канале в рамках кинетического подхода в общем случае используют методы прямого численного моделирования. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов, как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени. В силу этого актуальным является развитие и применение к моделированию процессов тепло- и массопереноса в каналах аналитических методов.
Математические модели тепло- и массопереноса в каналах в рамках кинетического подхода к настоящему времени построены с использованием почти зеркальных граничных условий и для случая диффузного отражения молекул газа стенками канала. Модель почти зеркального отражения молекул газа стенками канала мало реализуема на практике. В то же время для легких газов, например, таких, как гелий и неон, коэффициент аккомодации тангенциального импульса может существенно отличаться от единицы. Кроме того на значение коэффициента аккомодации тангенциального импульса также существенное влияние оказывает степень обработки поверхности стенок канала: для загрязненной поверхности коэффициент аккомодации тангенциального импульса больше, чем в случае специально обработанной, например, путем химической очистки, поверхности.
Цель и задачи исследования. Цель работы - разработка и применение аналитических методов, численных процедур и комплексов программ для решения задач, связанных с математическим моделированием процессов тепло- и массопереноса в каналах, приводящих к корректным результатам при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала.
Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:
-
Построение на основе БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модели кинетического уравнения Больцмана с использованием зеркально-диффузного граничного условия Максвелла математических моделей процессов тепло- и массопереноса в задачах о течениях Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, обобщающих существующие ранее результаты.
-
Проведение анализа построенных математических моделей при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам течения.
-
Разработка алгоритма для расчета на основе построенных моделей макропараметров газа в канале.
-
Создание программного комплекса, позволяющего рассчитать значения макропараметров газа при различных значениях толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.
-
Проведение на основе представленного программного комплекса расчетов макропараметров газа и сравнение полученных результатов с аналогичными, имеющимися в открытой печати.
Объект исследования - поток разреженного газа в канале. При построении моделей предполагается, что стенки канала образованы двумя параллельными бесконечными плоскими поверхностями, а относительные изменения макропараметров газа на длине свободного пробега молекул газа малы, что позволяет рассмотреть поставленные задачи в линеаризовнном виде. В качестве основного уравнения, описывающего кинетику процесса, в работе используется линеаризованная БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия на стенках канала - модель зеркально-диффузного отражения.
Методы исследования. Основными методами исследования задач, поставленных в диссертационном исследовании, являются метод Кейза (метод разложения решения по собственным сингулярным обобщенным функциям характеристического уравнения, соответствующему заданному кинетическому уравнению) и вычислительный эксперимент с применением численных методов для нахождения значений итоговых выражений для макропараметров газа.
Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем:
-
Построены математические модели процессов тепло- массопереноса для течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, которые обобщают имевшиеся ранее результаты и содержат их в качестве частных случаев.
-
На основе анализа полученных результатов построены математические модели процессов переноса при переходе к гидродинамическому и свободно-молекулярному режимам.
-
Разработаны алгоритм и программный комплекс для расчета макропараметров газа в канале, позволяющий получить корректные результаты при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала.
-
С использованием разработанного программного комплекса для различных значений толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала найдены численные значения отличных от нуля компонент вектора потока массы газа, вектора потока тепла.
Теоретическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.
Практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потерь массы газа в установках низкого давления через дефекты соединительной арматуры; для расчета количества тепла, выделяющегося при перекачке газов при низких давлениях; для расчета потерь тепла в рефрижераторных установках и т.д.
Область исследования - содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки), область исследования соответствует п.1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности», п. 2 «Разработка, исследование и обоснование математических объектов, перечисленных в формуле специальности», п. 4 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ», п. 6. Комплексное исследование научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Исследование проведено при преобладании математических методов в качестве аппарата исследования и при получении результатов в виде новых математических методов и вычислительных алгоритмов, характеризующих изучаемые объекты.
Основные результаты, выносимые на защиту:
-
Математические модели течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа.
-
Инженерные формулы для расчета потоков массы газа и тепла при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам.
-
Алгоритм расчета макропараметров газа в канале.
-
Комплекс программ для расчета макропараметров газа в канале.
-
Зависимости макропараметров газа от толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и семинарах: XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 11-15 апреля 2011 г.; Вторая Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем», Россия, Москва, МГТУ «СТАНКИН», 6-10 июня 2011 г.; Пятая международная научная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е.В. Воскресенского, Саранск, 1-13 июля 2011 г.; X Молодежная международная научно-практическая конференция «Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания», Новосибирск, ЦРНС. 13 апреля 2012 г.; Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Инженерная мысль машиностроения будущего», Екатеринбург, УрФУ имени первого президента России Б.Н. Ельцина, 18-20 апреля 2012 г.; X конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, Саранск, 27-29 августа 2012 г.; Научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», Пермь, Перм. гос. нац. исслед. ун-т. 30 октября-1 ноября 2012 г.; 55 научная конференция «Проблемы фундаменталь-ных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном пространстве», Долгопрудный, МФТИ, 19-25 ноября 2012 г.; Всероссийская научная конференция с международным участием «Спектраль-ная теория операторов и ее приложения», Архангельск, САФУ имени М.В. Ломоносова, 25-29 ноября 2012 г.; XI научно-
практическая конференция «Молодежь - двигатель науки», САФУ имени М.В. Ломоносова, 13 декабря 2012 г.; научных семинарах кафедры математики САФУ им. М.В. Ломоносова.
Публикации. По теме диссертации опубликованы три статьи в научных рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК и десять статей в иных печатных изданиях.
Личный вклад автора. Автор участвовал в постановке рассмотренных в диссертации задач и полностью разработал и реализовал комплекс программ, необходимый для расчета параметров газа в канале. Автор лично проводил все расчеты, результаты которых приведены в диссертации, и наравне с другими соавторами участвовал в написании работ, опубликованных по теме диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 64 наименований. Объем работы составляет 115 страниц текста, содержащего 9 рисунков и 22 таблицы.
Соискатель благодарит А. А. Юшканова за помощь в постановке задач, выводе основных уравнений, обсуждении методов решения и полученных результатов.
