Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели и методы в кинетической теории разреженного газа 11
1.1. Уравнение Больцмана и его модели 11
1.2. Граничные условия и их модели 22
1.3. Модель гидродинамики со скольжением 26
1.4. Представление факторизующей функции на разрезе 41
1.5. Дифференцирование по параметру интегралов, вычисленных в смысле главного значения 48
1.6. О применении метода Кейза к решению неоднородных модельных кинетических уравнений 49
1.7. Основные результаты, полученные в первой главе 52
Глава 2. Моделирование процессов в разреженных газах с использованием неоднородного БГК уравнения Больцмана с постоянной частотой столкновений 54
2.1. Изотермическое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности 54
2.2. Тепловое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности 68
2.3. Тепловое скольжение второго порядка 76
2.4. Переход к размерным величинам
2.5. Учет коэффициентов аккомодации (приближение Чепмена — Энскога) 93
2.6. Обтекание цилиндрической поверхности 109
2.7. Граничные условия при обтекании сферы изотермическим потоком резреженного газа 113
2.8. Граничные условия при обтекании сферы неизотермическим потоком резреженного газа 121
2.9. Вращение сферы в разреженном газе 124
2.10. Учет коэффициентов аккомодации (приближение Барнетта) 136
2.11. Тепловое и изотермическое скольжение с учетом внутренней структуры молекул газа 139
2.12. Тепловое скольжение второго порядка с учетом внутренней структуры молекул газа 145
2.13. Влияние коэффициентов аккомодации на скорость скольжения структурных газов 150
2.14. Влияние температуры на значения коэффициентов скольжения структурных газов 155
2.15. Основные результаты, полученные во второй главе 158
Глава 3. Моделирование процессов в разреженных газах с использованием неоднородного ЭС уравнения Больцмана с постоянной частотой столкновений 162
3.1. Изотермическое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности 162
3.2. Тепловое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности 170
3.3. Тепловое скольжение второго порядка 177
3.4. Обтекание цилиндрической поверхности 188
3.5. Переход к размерным величинам 192 3.6. Общая процедура постановки граничных условий на поверхности обтекаемой разреженным газом сферической поверхности 193
3.7. Обтекание сферы изотермическим потоком разреженного газа 200
3.8. Учет коэффициентов аккомодации 204
3.9. Основные результаты, полученные в третьей главе 211
Глава 4. Моделирование процессов в разреженных газах с использованием неоднородного БГК уравнения Больцмана с переменной частотой столкновений 214
4.1. Изотермическое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности 214
4.2. Тепловое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности 231
4.3. Тепловое скольжение второго порядка 235
4.4. Обтекание цилиндрической поверхности 248
4.5. Переход к размерным величинам 253
4.6. Учет коэффициентов аккомодации 255
4.7. Тепловое и изотермическое скольжение с учетом внутренней структуры молекул газа 267
4.8. Влияние коэффициентов аккомодации на скорость скольжения структурных газов 272
4.9. Основные результаты, полученные в четвертой главе 274
Основные результаты работы 276
Список литературы
- Модель гидродинамики со скольжением
- Учет коэффициентов аккомодации (приближение Чепмена — Энскога)
- Тепловое скольжение второго порядка
- Тепловое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности
Введение к работе
Актуальность темы К настоящему времени ценой огромных усилий как отечественных, так и зарубежных ученых создана теория кинетических процессов над плоской поверхностью, в рамках которой построены математические модели динамики разреженного газа, физики плазмы, физики металлов, теоретической астрофизики
Однако в последние годы наблюдается значительное возрастание интереса к проблемам математического моделирования кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей Это связано с необходимостью исследования движений аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и концентрации газовых средах (термо - и диф-фузиофорез), при решении проблем, связанных с охраной окружающей среды (осаждение в фильтрах и каналах частиц, взвешенных в выбросах продуктов сгорания, конденсационных аэрозолей металлургических и химических комбинатов), с развитием новых микро - и нанотех-нологий, в частности, с исследованием кинетических явлений в тонких металлических пленках или малых проводящих частицах при наличии внешних электромагнитных полей, в задачах о взаимодействии электромагнитного излучения с аэрозольными системами, состоящими из мелких частиц разнообразной формы, которые используются для экранировки электромагнитного излучения Когда толщина пленок или размеры частиц становятся субмикронными, обычное макроскопическое описание отклика электронной плазмы металла на переменное (периодическое) электрическое поле становится неадекватным Учет кривизны поверхности необходим и при изучении течения газов и газовых смесей в каналах наномикронных размеров Это связано, с одной стороны, с созданием мембран нового поколения, с нанометро-выми каналами определенной геометрии, а с другой - с обнаружением необычного поведения газов в этих каналах, в частности, заметного повышения скорости переноса газа и степени разделения газовых смесей, особенно при пониженных температурах С актуальностью дан-
' и V
ной темы связано большое число работ, посвященных исследованиям в этой области путем прямого численного моделирования
В представленной работе проблема математического моделирования кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей рассматривается в контексте процессов, протекающих в неоднородных по температуре и массовой скорости разреженных газах До недавнего времени аналитические методы исследования такого рода процессов отсутствовали Основные результаты были получены приближенными, главным образом, моментными методами, были посвящены отдельным вопросам и носили разрозненный, а порой и противоречивый характер Отсутствовали и систематические исследования в области моделирования процессов вблизи искривленных поверхностей в молекулярных газах
Таким образом, актуальность данной работы заключается в систематическом исследовании математических моделей кинетических процессов, протекающих в неоднородных по температуре и массовой скорости разреженных газах вблизи искривленных поверхностей, с использованием различных моделей кинетических уравнений, моделей граничных условий и формы искривленных поверхностей как для простых, так и для молекулярных газов
Целью работы является математическое моделирование кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей Для ее достижения были поставлены и решены следующие задачи
разработка аналитического метода исследования математических моделей кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей,
исследование в рамках этого метода математических моделей кинетических процессов с использованием различных моделей кинетических уравнений, моделей граничных условий и формы искривленных поверхностей как для простых, так и для молекулярных газов
Метод исследования В качестве основного метода в работе используется обобщение метода Кейза (метода разложения решений по собственным функциям соответствующего характеристического уравнения) на случай неоднородных интегро - дифференциальных уравнений
Научная новизна работы заключается в следующем
развит аналитический метод исследования математических моделей кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей, в рамках которого могут быть построены и исследованы математические модели самых разнообразных процессов кинетической теории газа и плазмы, физики металлов, астрофизики, теории переноса нейтронов, электронов,
в рамках предложенного метода построены математические модели процессов, связанных с обтеканием потоком неоднородного газа сферы и цилиндра, которые позволили сделать вывод о существенной зависимости коэффициентов скольжения второго порядка от геометрии обтекаемой поверхности и ориентации относительно нее градиента температуры и массовой скорости,
рассмотрена общая постановка граничных условий с учетом бар-неттовской поправки к функции распределения, что позволило при постановке граничных условий учесть ряд эффектов, которые ранее не могли быть учтены и объяснены в рамках феноменологического подхода, используемого в теории термофореза аэрозольных частиц,
полученные результаты обобщены на случай двухмоментного аккомодационного граничного условия, что позволило установить зависимость коэффициентов скольжения от коэффициентов аккомодации тангенциального импульса и потока тангенциального импульса молекул газа,
предыдущие результаты обобщены на случай молекулярных газов, что позволило учесть зависимость характеристик процессов от числа Прандтля и температуры
Все результаты данной работы получены впервые
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается соответствием с экспериментальными данными или результатами прямого численного моделирования Все численные расчеты проводились с использованием выверенных и протестированных процедур
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании движения аэрозольных частиц в неоднородных по температуре газовых средах (термо - и диффузиофорез), при решении проблем, связанных с охраной окружающей среды (осаждение в фильтрах и каналах частиц, взвешенных в выбросах продуктов сгорания), с исследованиями в области медицины, с проблемами физики атмосферы, физики гетерогенных систем, с созданием тонких химических технологий и т п Предложенный метод может быть использован в кинетической теории газа и плазмы, в теории переноса нейтронов, электронов, в теоретической астрофизике
Апробация работы. Основные результаты дисертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно - технических конференциях и семинарах
на III научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов "Вакуумная наука и техника", Гурзуф, 1996 г
на Российской научной конференции с участием зарубежных специалистов "Математические модели возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах", Тверь, 1996, 1998 гг
на 5 -м Международном конгрессе по математическому моделированию, Дубна, 2002 г
на XX научной конференции стран СНГ по дисперсным системам, Одесса, 2002
на Всероссийском семинаре "Кинетическая теория и динамика
разреженных газов", приуроченном к 130 - летию опубликования уравнения Больцмана, Новосибирск, 2002 г
теоретическом семинаре кафедры гидродинамики СПГУ, Санкт-Петербург, 2004 г
Международной научной конференции "Гармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование", Тамбов, 2005
научных семинарах кафедры математического анализа МГОУ
Публикации По теме диссертации опубликовано 39 научных работ, в том числе 1 монография
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 237 наименования Содержит 15 рисунков и 7 таблиц Полный объем работы составляет 304 страницы машинописного текста
Соискатель благодарит А В Латышева, А А Юшканова и М Н Гайдукова за помощь в выводе основных уравнений, обсуждении методов и результатов
Модель гидродинамики со скольжением
Динамика разреженного газа, большинство ранних исследований которой в конце XIX - начале XX веков касались, в основном, либо течений с очень малой скоростью, либо различного рода "внутренних" течений (в трубах, соплах, насадках и.т.д.), связанных с проблемами получения глубокого вакуума, претерпела в середине XX столетия свое второе рождение, что было обусловлено в первую очередь развитием сверхзвуковой высотной авиации, атомной промышленности, созданием ракетно-космической техники, разработкой новых химических технологий.
Известно [102], что уравнения гидродинамики, представляющие собой дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие изменения плотности газового потока р, его макроскопической скорости U и температуры Т в зависимости от координат и времени и включающие в себя различные коэффициенты переноса - вязкости, диффузии, теплопроводности и.т.д., позволяют с необходимой степенью точности описывать течения достаточно плотных газов при малых гидродинамических скоростях. В качестве граничных условий на обтекаемых поверхностях в классической гидродинамике используют так называемые условия прилипания, т.е. полагают, что скорость газа и его температура на стенке равны соответственно скорости и температуре самой стенки.
Вместе с тем существует целый ряд явлений, для которых макроскопическая теория, основанная на методах классической гидродинамики, не дает правильных результатов. Например, в случае, когда плотность газа становится достаточно низкой, такой, что средняя длина свободного пробега молекул А уже не является пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером течения L, результаты, полученные с использованием классической гидродинамики, требуют введения поправок, которые становятся все более и более значительными по мере увеличения степени разреженности газа.
В предельном случае, когда X/L — оо (так называемый свободномо лекулярный режим) вместо макроскопического описания, основанного на использовании феноменологических параметров (массовой скорости, температуры, плотности и т.д.), удовлетворяющих уравнениям классической гидродинамики (так называемый гидродинамический подход), необходим переход к микроскопическому описанию, основанному на использовании функции распределения частиц газа по координатам и скоростям, удовлетворяющей кинетическому уравнению Больцмана.
В переходной области, когда 0.01 X/L 0.3 для описания течения разреженного газа можно использовать уравнения классической гидродинамики, а степень разреженности газа учитывать при постановке граничных условий на ограничивающих поток газа поверхностях (так называемый режим гидродинамики со скольжением).
Возникновение гидродинамики со скольжением обычно связывают с выходом в свет в 1929 году работы Эпштейна [199], в которой впервые при постановке граничных условий был учтен эффект теплового скольжения газа [134] вдоль поверхности частицы, помещенной в неоднородно нагретый газ, что позволило получить формулу для вычисления установившейся скорости термофоретического движения крупных аэрозольных частиц.
В 1962 году Брок [179], [180] предложил в граничных условиях учитывать наряду с тепловым, вязкостное (изотермическое) скольжение и скачок температуры [134] на поверхности тела. Брок искал решение в виде разложения по степеням числа Кнудсена и получил формулу, которая при Кп = X/L -» оо переходит в результат Эпштейна, причем для высокотеплопроводных частиц доминирующими становятся слагаемые, пропорциональные числу Кнудсена.
В 80-х годах прошлого столетия появились работы [141], [143], [144], [171], авторы которых предприняли попытку полностью учесть влияние слоя Кнудсена на скорость термофореза умеренно крупной аэрозольной частицы. Полученное в этих работах выражение для скорости скольже ния разреженного газа вдоль сферической поверхности имело вид Н,5= ф(1 - /№п) + Cg (1 - С « Кп)Л - 4ІА + S» . (1.3.1)
Здесь Cm , -Kjrj, /Зд суть коэффициенты изотермического, теплового и барнеттовского скольжений, /Зц - коэффициент теплового скольжения второго порядка, /3 и Ст - коэффициенты, учитывающие влияние искривленности поверхности на значения коэффициентов теплового и изотермического скольжений, v - кинематическая вязкость газа, Л - средняя длина свободного пробега газовых молекул, Тц - компоненты тензора объемных температурных напряжений.
Выражение (1.3.1) записано в сферической системе координат, начало которой связано с центром частицы, а полярная ось ориентирована относительно невозмущенных (в точках, расположенных вдали от поверхности частицы) градиентов температуры и массовой скорости газового потока.
Учет влияния кривизны поверхности, а также смешанной производной температуры, позволил теоретически предсказать существование отрицательного (в направлении градиента температуры) термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц.
Асимптотическая теория течения разреженного газа над твердой стенкой с произвольной, но гладкой формой изложена в работах [224], [225], [226].
Введение граничных условий скольжения и скачка на поверхности аэрозольной частицы позволяет вне слоя Кнудсена получить решение, которое при использовании гидродинамического подхода с точностью до соответствующего приближения совпадает с решением уравнения Больцмана с заданными на стенке истинными кинетическими граничными условиями. Поскольку при рассмотрении течений при малых числах Кнудсена нас, как правило, не интересуют детали течения в кнудсеновском слое, то скорость скольжения и скачок температуры -это, собственно говоря, все, что необходимо для описания течения газа в Навье-Стоксовском или Барнеттовском приближении. Но для нахождения этих величин необходимо знать истинные значения скорости и температуры газа на внешней границе слоя Кнудсена, для определения которых нужно решить уравнение Больцмана внутри этого слоя при заданном законе отражения молекул на стенке.
История построения точных аналитических решений однородных модельных кинетических уравнений начинается с 1962 года, когда Чер-чиньяни [183] с использованием метода элементарных решений (метода Кейза) получил точное аналитическое решение задачи Крамерса (задачи об изотермическом скольжении разреженного газа вдоль твердой плоской поверхности). За прошедшие с тех пор сорок лет в этой области удалось достигнуть значительного прогресса. Построены точные аналитические решения большого числа нестационарных и стационарных граничных задач кинетической теории разреженных газов с использованием модельных кинетических уравнений как с постоянной, так и с переменной частотой столкновений [3]-[75].
Учет коэффициентов аккомодации (приближение Чепмена — Энскога)
Первая глава настоящего диссертационного исследования посвящена рассмотрению математических моделей, используемых в кинетической теории разреженного газа. Рассмотриваются модельные кинетические уравнения, модели граничных условий, модели, используемые для описания течения разреженных газов при произвольных значениях числа Кнудсена (свободномолекулярный режим, модель механики сплошной среды, модель гидродинамики со скольжением), методы регуляризации процедуры применения метода Кейза к решению неоднородных модельных кинетических уравнений и методы вычисления на разрезе значений интегралов, вычисленных в смысле главного значения.
Как показал проведенный анализ к началу работы над данным диссертационным исследованием в открытой печати были опубликованы лишь отдельные работы, посвященные различным аспектам моделирования процессов, протекающих в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей, выполненные главным образом с использованием приближенных (моментных методов) в рамках построения теории термофореза сферических аэрозольных частиц [141, 143, 144, 171], либо результаты, полученные численными методами в рамках асимптотической теории на основе БГК - модели кинетического уравнения Больцмана [224, 226]. Систематический анализ проблемы моделирования процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей на основе единого подхода с использованием различных моделей кинетического уравнения Больцмана и моделей граничных условий отсутствовал. Оставался открытым вопрос о причине существенных расхождений результатов, полученных в работах [141, 143, 144, 171], как с использованием различных моделей кинетического уравнения Больцмана, так и с результатами [224, 226]. Отсутствовали также и результаты по моделированию процессов вблизи искривленных поверхностей в разреженных молекулярных газа. Цель данного диссертационного исследования состояла в том, чтобы восполнить этот пробел. Глава 2.
Моделирование процессов в разреженных газах с использованием неоднородного БГК уравнения Больцмана с постоянной частотой столкновений
Решается задача о вычислении поправки к коэффициенту изотермического скольжения, обусловленной кривизной стенки. Для этого построено точное решение неоднородного модельного кинетического уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК - модели. Получена в линейном приближении по числу Кнудсена зависимость коэффициента изотермического скольжения от радиуса кривизны межфазной поверхности. Приводится сравнение с результатами, приведенными в литературных источниках.
Постановка задачи. Вывод основных уравнений. Рассмотрим сферу радиуса L, обтекаемую потоком разреженного газа при ма лых отклонениях от равновесного состояния. Свяжем с центром кривизны обтекаемой поверхности сферическую систему координат, выделенное направление которой совпадает с направлением скорости газового потока вдали от поверхности. Предположим, что касательная к поверхности составляющая скорости газового потока ив не постоянна, а медленно меняется вдоль направления нормали к поверхности. Таким образом, в задаче отлична от нуля величина дщ/дг . В выбранной системе координат стационарное уравнение Больцмана с оператором столкновений в форме БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модели запишется в виде [100] функция распределения молекул газа по координатам и скоростям, г - размерный радиус - вектор, v - скорость молекул газа, feq- локально-равновесный максвеллиан, г/ и р - динамическая вязкость и давление газа.
Подставляя (2.1.2) в (2.1.1) и переходя в полученном выражении к безразмерным координатам, после линеаризации feq относительно абсолютного максвеллиана приходим к следующему уравнению для нахождения функции У (г, С) _ дУ . [ГУ дУ Су дУ , _2 _JJ. ЗУ из которых находим вид двух первых членов разложения (2.1.4).
Уравнение (2.1.5) описывает процессы, происходящие на границе твердой плоской поверхности, а (2.1.6) позволяет учесть влияние кривизны обтекаемой поверхности. Граничные условия для функций Y (r, 9, С) и Y(r, в, С) с учетом модели диффузного отражения молекул газа поверхностью сферы запишутся в виде
Обозначим [L = Сг и для краткости записи опустим в аргументах функций переменную в, так как зависимость от этой переменной проявляется посредством Gv. Подставляя разложения (2.1.7) и (2.1.8) в (2.1.5) и (2.1.6), домножая полученные соотношения на Св ехр(—Сд — С ) и интегрируя по С в и С(р от —со до +оо, получим уравнения для нахождения функций Ya (r,[l) (j дисперсионная функция Черчиньяни, Рж-1 - распределение в смысле главного значения при вычислении интеграла от я-1, 5(х) - дельта функция Дирака, в{т) - однозначная регулярная ветвь аргумента функции А+(г), фиксированная в нуле условием 0(0) = 0, Qn -интегралы Лойалки [209]. При записи (2.1.19) учли, что Щ \s = —Qi Gv. На действительной положительной полуоси интеграл в X(rj) понимается в смысле главного значения [92]. Таким образом, задача отыскания поправки к коэффициенту изотермического скольжения, обусловленной кривизной поверхности, свелась к решению уравнения (2.1.11) с граничными условиями (2.1.13).
Необходимость введения числа Прандтля (Рг) связана с тем, что при переходе к гидродинамическому пределу БГК - модель кинетического уравнения Больцмана дает его значение, равное 1, в то время как для одноатомных газов это значение составляет 2/3. Подставляя в (2.1.55) значение Рг = 2/3, находим Ст = 1.665603. Полученная в линейном приближении по числу Кнудсена зависимость коэффициента изотермического скольжения от радиуса кривизны имеет тот же вид, что и в [226], [171]. Найденное значение Ст хорошо согласуется с аналогичным результатом (Ст — 1.721), полученным в [171].
Решается задача о вычислении поправки к коэффициенту теплового скольжения, обусловленной кривизной стенки. Для этого построено точное решение неоднородного модельного кинетического уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК - модели. Получена в линейном приближении по числу Кнудсена зависимость коэффициента теплового скольжения от радиуса кривизны межфазной поверхности. 1. Постановка задачи. Вывод основных уравнений. Рассмотрим сферическую поверхность, обтекаемую потоком разреженного газа. Предположим, что вдали от поверхности задан постоянный градиент температуры VT. Вследствие столкновения молекул, движущихся в тонком пристеночном слое, толщиной порядка длины свободного пробега молекул газа, называемом слоем Кнудсена, с неравномерно нагретой поверхностью вдоль последней возникает макроскопическое движение газа, называемое тепловым скольжением. Свяжем с центром кривизны поверхности сферическую систему координат, полярная ось, которой направлена вдоль градиента температуры вдали от поверхности. Тогда, в силу осевой симметрии задачи, отличной от нуля будет касательная к поверхности компонента массовой скорости щ. Так как поверхность непроницаема для частиц газа, то радиальная компонента массовой скорости газа на поверхности ur\s= 0.
Вне слоя Кнудсена течение газа описывается уравнениями Навье-Стокса, для решения, которых необходимо поставить соответствующие граничные условия на стенке. В качестве одного из таких граничных условий принимается скорость скольжения - экстраполированное значение гидродинамической скорости на стенке u$\s [165]. При малых градиентах температуры щ\с= KJSVGTI где GT = (1/То)(дТ/д0)\„ - значение касательной к поверхности составляющей градиента температуры, отнесенной к температуре поверхности То, К 3 - коэффициент теплового скольжения разреженного газа вдоль твердой плоской поверхности, v -кинематическая вязкость газа. Для нахождения щ s необходимо в слое Кнудсена решить кинетическое уравнение Больцмана с заданными микроскопическими условиями на стенке.
Полагая изменения гидродинамических величин на средней длине Л свободного пробега частиц газа малыми, в качестве основного уравнения используем кинетическое уравнение Больцмана с оператором в форме БГК - модели (2.1.1), решение которого в рассматриваемой за даче ищем в виде [165]
Тепловое скольжение второго порядка
С использованием двухмоментного граничного условия в линейном по числу Кнудсена приближении вычислена скорость скольжения неоднородного по температуре и массовой скорости разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности. Исследована зависимость поправок к скорости скольжения, обусловленных кривизной межфазной поверхности, наличием объемных температурных напряжений и неравномерностью распределения температуры в слое Кнудсена от коэффициентов аккомодации первых двух моментов функции распределения.
Постановка задачи. Вывод основных уравнений. Рассмотрим неоднородный по температуре и массовой скорости разреженный газ, обтекающий при M,Re С 1 твердую сферическую поверхность радиуса L. Будем полагать заданными вдали от поверхности сферы градиент массовой скорости Gv, логорифмический градиент температуры GT, смешанную производную второго порядка логарифма температуры BR и отличную от нуля компоненту Вт тензора объемных температурных напряжений.
Линеаризуем функцию распределения частиц газа относительно абсолютного максвеллиана Здесь функция У (г, С) удовлетворяет линеаризованному кинетическому уравнению Больцмана с оператором столкновений в форме БГК - модели. В сферической системе координат, начало которой совпадает с центром частицы, это уравнение записывается в виде
Обозначим \i = Сг. Тогда, подставляя разложения (2.5.11) и (2.5.12) в (2.5.9) и (2.5.10), домножая полученные соотношения на С ехр(—(7 — С2) и интегрируя по Св и Ctp от —со до +оо, получим уравнения для нахождения функций У} (х,ц) (к = 1,2)
Уравнение (2.5.13) с граничными условиями (2.5.15), (2.5.16) описывает процессы, происходящие на границе твердой плоской поверхности. Поэтому параметры d\ и а[ совпадают с соответствующими параметрами, вычисленными в [131]
Учитывая далее, что в линейном по числу Кнудсена приближении скорость изотермического скольжения разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности определяется выражением
Здесь Cm = 1.146648, Cm = 1.110402 суть значения коэффициентов изотермического скольжения и поправка на кривизну, полученные для случая полностью диффузного отражения частиц газа от межфазной поверхности, а множители av и (3V определяют зависимость коэффициентов Ст и Cm от коэффициента аккомодации первых двух моментов функции распределения (см. рисунок 2.5.1).
Решение (2.5.10) как и в предыдущем случае ищем в виде (2.5.12). Уравнение (2.5.13) и граничные условия (2.5.15), (2.5.17), (2.5.18) при этом не изменятся, а уравнение (2.5.14) и граничное условие (2.5.16) запишутся в виде [111]
Таким образом, с учетом коэффициентов аккомодации первых двух моментов функции распределения скорость теплового скольжения разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности в линейном по числу Кнудсена приближении запишется в виде суть коэффициент теплового скольжения разреженного газа вдоль твердой плоской поверхности и поправка на кривизну, полученные для случая диффузного отражения частиц газа поверхностью, а ат и (Зт - коэффициенты, учитывающие их зависимость от коэффициентов аккомодации первых двух моментов функции распределения (см. рисунок 2.5.2).
Здесь Y (r, 0, С) совпадает с решением задачи о скачке температуры на границе твердой поверхности, а Сд в совокупности с bk{Cg, С у) образует полную систему ортогональных (в смысле скалярного произведения) многочленов.
В линейном по числу Кнудсена приближении получены учитывающие кривизну межфазной поверхности поправки к коэффициентам теплового и изотермического скольжений в задаче об обтекании потоком неоднородного по температуре и массовой скорости разреженного газа поверхности прямого кругового цилиндра.
Рассмотрим цилиндрическую поверхность, обтекаемую потоком неоднородного по температуре и массовой скорости разреженного газа при малых отклонениях от равновесного состояния. В рассматриваемой задаче возможны две качественно различные ситуации: поперечное обтекание поверхности цилиндра (при условии, что градиент температуры и массовая скорость газа вдали от поверхности перпендикулярны его оси) и продольное обтекание (при условии, что градиент температуры и массовая скорость газа вдали от поверхности направлены вдоль его оси). В обоих случаях течение газового потока будем описывать линеаризованным уравнением Больцмана с оператором столкновений в форме БГК - модели, записанным в цилиндрической системе координат, ось Oz которой совпадает с осью цилиндра [100]
Тепловое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности
К настоящему времени ценой огромных усилий как отечественных, так и зарубежных ученых создана теория кинетических процессов над плоской поверхностью, в рамках которой построены математические модели динамики разреженного газа, физики плазмы, физики металлов, теоретической астрофизики.
Однако в последние годы наблюдается значительное возрастание интереса к проблемам математического моделирования кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей. Это связано с необходимостью исследования движений аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и концентрации газовых средах (термо - и диффузиофорез); при решении проблем, связанных с охраной окружающей среды (осаждение в фильтрах и каналах частиц, взвешенных в выбросах продуктов сгорания, конденсационных аэрозолей металлургических и химических комбинатов), с развитием новых микро - и нанотехнологий, в частности, с исследованием кинетических явлений в тонких металлических пленках или малых проводящих частицах при наличии внешних электромагнитных полей, в задачах о взаимодействии электромагнитного излучения с аэрозольными системами, состоящими из мелких частиц разнообразной формы, которые используются для экранировки электромагнитного излучения. Когда толщина пленок или размеры частиц становятся субмикронными, обычное макроскопическое описание отклика электронной плазмы металла на переменное (периодическое) электрическое поле становится неадекватным. Учет кривизны поверхности необходим и при изучении течения газов и газовых смесей в каналах наномикронного размеров. Это связано, с одной стороны, созданием мембран нового поколения, с нанометровыми каналами определенной геометрии, а с другой - обнаружением необычного поведения газов в этих каналах, в частности, заметного повышения скорости переноса газа и степени разделения газовых смесей, особенно при пониженных температурах. С актуальностью данной темы связано большое число работ, посвященных исследованиям в этой области путем прямого численного моделирования.
В представленной работе проблема математического моделирования кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей рассматривается в контексте процессов, протекающих в неоднородных по температуре и массовой скорости разреженных газах. До недавнего времени аналитические методы исследования такого рода процессов отсутствовали. Основные результаты были получены приближенными, главным образом, моментными методами, были посвящены отдельным вопросам и носили разрозненный, а порой и противоречивый характер. Отсутствовали и систематические исследования в области моделирования процессов вблизи искривленных поверхностей в молекулярных газах.
Таким образом, актуальность данной работы заключена в систематическом исследовании математических моделей кинетических процессов, протекающих в неоднородных по температуре и массовой скорости разреженных газах вблизи искривленных поверхностей, с использованием различных моделей кинетических уравнений, моделей граничных условий и формы искривленных поверхностей, как для простых, так и для молекулярных газов.
Целью работы является математическое моделирование кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей. Для ее достижения были поставлены и решены следующие задачи: - разработка аналитического метода исследования математических моделей кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей; - исследование в рамках этого метода математических моделей кине тических процессов с использованием различных моделей кинетических уравнений, моделей граничных условий и формы искривленных поверх ностей как для простых, так и для молекулярных газов.
Метод исследования. В качестве основного метода в работе используется обобщение метода Кейза (метода разложения решений по собственным функциям соответствующего характеристического уравнения) на случай неоднородных интегро - дифференциальных уравнений.
Научная новизна работы заключается в следующем: - развит аналитический метод исследования математических моделей кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей, в рамках которого могут быть построены и исследованы математические модели самых разнообразных процессов кинетической теории газа и плазмы, физики металлов, астрофизики, теории переноса нейтронов, электронов; - в рамках предложенного метода построены математические модели процессов, связанных с обтеканием потоком неоднородного газа сферы и цилиндра, которые позволили сделать вывод о существенной зависимости коэффициентов скольжения второго порядка от геометрии обтекаемой поверхности и ориентации относительно нее градиента температуры и массовой скорости; - рассмотрена общая постановка граничных условий с учетом барнет-товской поправки к функции распределения, что позволило при постановке граничных условий учесть ряд эффектов, которые ранее не могли быть учтены и объяснены в рамках феноменологического подхода, используемого в теории термофореза аэрозольных частиц; - полученные результаты обобщены на случай двухмоментного аккомодационного граничного условия, что позволило установить зависимость коэффициентов скольжения от коэффициентов аккомодации тан генциального импульса и потока тангенциального импульса молекул газа; - предыдущие результаты обобщены на случай молекулярных газов, что позволило учесть зависимость характеристик процессов от числа Прандтля и температуры.
Все результаты данной работы получены впервые. Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается соответствием с экспериментальными данными или результатами прямого численного моделирования. Все численные расчеты проводились с использованием выверенных и протестированных процедур.
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании движения аэрозольных частиц в неоднородных по температуре газовых средах (термо - и диффузиофорез); при решении проблем, связанных с охраной окружающей среды (осаждение в фильтрах и каналах частиц, взвешенных в выбросах продуктов сгорания), с исследованиями в области медицины, с проблемами физики атмосферы, физики гетерогенных систем, с созданием тонких химических технологий и т.п. Предложенный метод может быть использован в кинетической теории газа и плазмы, в теории переноса нейтронов, электронов, в теоретической астрофизике.
