Содержание к диссертации
Введение
1. Асимптотики Пуанкаре функций Грина модельных линейных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарного тепло-и массо переноса 100
1.1. "Лучевая" асимптотика функции Грина многомерной сингулярно возмущенной краевой задачи нестационарной теплопроводности в области произвольной формы 101
1.2. Асимптотики функций Грина сингулярно возмущенных краевых задач в ограниченных областях вне пограничных слоев подвижных границ 118
1.2.1. Интегральное представление функции Грина и соответствующие линейные интегральные уравнения 119
1.2.2. Асимптотические разложения решений системы линейных интегральных уравнений 121
1.2.3. Асимптотические разложения функций Грина 124
1.3. Погранслойная асимптотика функции Грина в области с подвижными границами 130
2. Асимптотики Пуанкаре решений модельных линейных сингулярно возмущенных краевых задач нестационарного тепло-и массопереноса при произвольных начальных условиях 148
2.1. Внеугловые асимптотики решения линейной сингулярно возмущенной задачи нестационарной теплопроводности в двумерной прямо угольной области 149
2.2. Угловой пограничный слой решения линейной сингулярно возмущенной задачи нестационарной теплопроводности в двумерной прямоугольной области 163
2.3. Погранслойные асимптотические разложения решений линейных сингулярно возмущенных краевых задач тепло-и массопереноса в областях с подвижными границами 178
2.4. Асимптотические разложения решений линейных сингулярно возмущенных краевых задач теплопроводности в точках, удаленных от подвижных границ 192
2.5. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи типа Стефана, описывающей унос массы диэлектрика в импульсном электрическом разряде 197
2.5.1. Постановка задачи 197
2.5.2. Асимптотическое разложение Пуанкаре решения "задачи" .200
2.5.3. Асимптотическое разложение Пуанкаре решения "задачи StF.204
2.5.4. Обсуждение полученного результата и возможные обобщения.207
2.6. Асимптотическое разложение Пуанкаре решения сингулярно возмущенной задачи Стефана 210
3. Асимптотики Пуанкаре решений некоторых нелинейных сингулярно возмущенных модельных задач нестационарного тепло- и массопереносапри произвольных начальных условиях 215
3.1. Теоретические основы математического моделирования очаговых режимов теплового взрыва 216
3.1.1. Решение " геометро-оптическим" асимптотическим методом модельной задачи об очаговом тепловом взрыве (одномерная модель).219
3.1.2. Параметрический анализ очаговых режимов теплового взрыва при гауссовском начальном распределении температуры (одномерная модель) 230
3.1.3. Параметрический анализ взаимодействия системы очагов в одномерной модельной задаче об очаговом тепловом взрыве: исследование нелинейного усиления тепловых сдвиговых всплесков (тепловой резонанс) 249
3.1.4. Параметрический анализ двумерных очаговых режимов теплового взрыва "геометро-оптическим11 асимптотическим методом 266
3.2. Внсугловые асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности с нелинейными условиями на границе прямоугольной области 276
3.3. Теоретические основы математического моделирования гетерогенного зажигания энергетических материалов 288
3.3.1. Параметрический анализ влияния нелинейных граничных условий в модели гетерогенного зажигания энергетических материалов в виде протяженных цилиндров прямоугольного сечения 288
3.3.2. Параметрический анализ влияния неравномерного начального распределения температуры в модельной задаче гетерогенного зажигания: исследование нелинейного усиления тепловых сдвиговых всплесков (тепловой резонанс) 312
3.4. Теоретические основы математического моделирования влияния излучения на нерегулярные многомерные тепловые поля 331
3.5- Погранслойная асимптотика Пуанкаре решения многомерной не регулярной задачи теплопроводности с нелинейными условиями на границе произвольной формы 347
Основные результаты работы 355
Список использованной литературы 358
- Интегральное представление функции Грина и соответствующие линейные интегральные уравнения
- Угловой пограничный слой решения линейной сингулярно возмущенной задачи нестационарной теплопроводности в двумерной прямоугольной области
- Асимптотическое разложение Пуанкаре решения сингулярно возмущенной задачи Стефана
- Параметрический анализ очаговых режимов теплового взрыва при гауссовском начальном распределении температуры (одномерная модель)
Введение к работе
Цель диссертационной работы - математическое моделирование нелинейных сингулярно возмущенных нестационарных процессов тепло-и массопереноса при помощи разработанного автором "геометро-оптического" ("лучевого") асимптотического метода.
Класс практически важных проблем нелинейного нестационарного тепло- и массопереноса, которые описываются решениями сингулярно возмущенных краевых задач, поставленных для уравнений параболического типа, достаточно широк [112], [ИЗ], [173], [175] — это задачи, описывающие; разнообразные импульсные тепловые режимы, в том числе импульсное тепловое воздействие лазерного излучения на конденсированные среды; быстропротекающие процессы; начальные стадии нестационарного процесса; импульсные теплофизические измерения; процессы при импульсной дуговой сварке и наплавке; нанесение плазменных покрытий; импульсное облучение ионами; эрозию в электрических контактах; закалку; импульсное магнитное воздействие; воздействие канала молнии; импульсный электрический разряд; обработку металлов давлением; тепловые поля в активных элементах твердотельных лазеров; нагрев массивных тел; тепловые процессы при торможении; тепловые процессы при шлифовании; термическое разрушение горных пород; затвердевание массивных бетонных сооружений (например, плотин); импульсный отжиг полупроводников; импульсный нагрев керамики; оптимизацию тепловых и диффузионных процессов; тепловые методы неразрушающего контроля; образование и развитие пузырьков пара. Особо отметим задачи, описывающие зажигание реагирующих конденсированных сред [55]} задачи очагового теплового взрыва [152] и задачи с неизвестной (свободной) границей [182],
Очевидно, что вышеприведенные перечисления можно продолжить — например, при помощи цитирования большого числа работ математического плана, в которых указываются те области биологии, техники, физики, химии, энергетики, экологии и проч., которые являются источниками моделей подобного типа [50], [173], [175], [182].
Из приведенного выше списка задач тепло-и массопереноса следует, что их можно определить как существенно нестационарные задачи тепло-и массопереноса - т.е. нерегулярные задачи тепло-и массопереноса [138]. С физической точки зрения это означает, что в решениях нерегулярных задач тепло-и массопереноса обязательно необходимо учитывать влияние начальных условий. В регулярных задачах влиянием начальных условий пренебрегают [115].
С математической точки зрения это означает, что. если в таких задачах должным способом перейти к безразмерным переменным, то в дифференциальных уравнениях параболического типа при старших производных появятся малые безразмерные параметры. Такие краевые задачи называют сингулярно возмущенными [50], [82], [136], [175]. В нашем изложении термины: "нерегулярные задачи тепло-и массопереноса1 и "сингулярно возмущенные задачи нестационарного тепло-и массопереноса" будем считать эквивалентными. Для подавляющего большинства указанных выше модельных задач найти точное аналитическое решение невозможно; поэтому проблема разработки приближенных аналитических методов решения таких задач является важной и актуальной.
К настоящему моменту приближенные аналитические методы (в том числе и асимптотические методы) решения таких задач либо имеют физический уровень строгости и недостаточную общность, либо, наоборот, при достаточной общности и математической строгости позволяют сделать лишь качественные выводы весьма общего типа о свойствах решений нелинейных нерегулярных нестационарных задач тепло-и массопереноса. К числу последних работ следует отнести работы, посвященные построению равномерных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач [50], в которых, по существу, получены асимптотические разложения в смысле Эрдейи [147], поскольку в асимптотических разложениях, приведенных в [50] коэффициенты разложений являются функциями малых параметров.
Как известно, асимптотические методы получения приближенных значений решений дифференциальных уравнений делятся на два больших класса: регулярные и сингулярные асимптотические методы [29]. Выражаясь несколько неточно, можно сказать, что регулярные асимптотические методы используют в ситуациях, когда малому изменению параметра, входящего в математическую модель, соответствует малое изменение решения этой модели. В таких случаях говорят, что исходная математическая модель является регулярно возмущенной. Примеры решения регулярно возмущенных нелинейных задач тепло- и массопереноса можно найти в монографии [105], а примеры решения регулярно возмущенных линейных задач содержатся в [205]. Отличительной чертой асимптотического анализа регулярно возмущенных математических моделей является простая структура асимптотических разложений решений таких моделей, которая может быть построена сразу во всей области изменения переменных исходной краевой задачи.
Сингулярно возмущенные математические модели содержат особые многообразия, при приближении к которым (или при прохождении через которые) структура асимптотических разложений качественно меняется. К числу таких многообразий для решений сингулярно возмущенных нестационарных задач тепло- и массопереноса относятся: узкие слои вблизи внешних границ ("внешние пограничные слои"), узкие слои вблизи границ раздела слоен в многослойных задачах (" пограничные слои границы раздела слоев1 ), окрестности точек (или ребер) заострения границ ("угловой пограничный слой") и проч. Внутри указанных особых многообразий структура асимптотических разложений имеет весьма сложный вид. Как следует из результатов автора, асимптотические разложения внутри этих структур представляются кратными рядами по степеням малых параметров, одним из которых является малый параметр, стоящий при старшей производной в уравнении нестационарной теплопроводности, а другими - соответствуюшие "погранслойные" переменные.
Сложность асимптотического анализа решений сингулярно возмущенных математических моделей состоит в отсутствии единой методики выявления структуры асимптотических разложений, что приводит к разнообразным способам "угадывания" вида структуры асимптотических разложений решений (так называемого "анзаца" [16]), основанных, в частности, на физической интуиции. При построении асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач, поставленных для уравнений с частными производными, широко используются идеи, имеющие свои истоки в задачах механики жидкости и газа [17], [47], [65], [79], [81], [122], [162], [200], [220], [224], [229]. Согласно этим идеям область, в которой исследуется решение, разбивается на "зоны" (подобласти); в каждой из "зон" устанавливается своя структура асимптотического разложения; эти структуры согласовываются ("сшиваются") при помощи специальных алгоритмов; таким образом строятся неравномерные асимптотические разложения.
Эта идея идея неравномерных асимптотических разложений — нашла свое наиболее известное воплощение в теории пограничного слоя Прандтля [197], [229]. Таким образом, к числу достоинств неравномерных асимптотических разложений, в первую очередь, следует отнести простоту итоговых формул и удобство их физической интерпретации. Отметим, что, имея асимптотические разложения в каждой из "зон", можно по известным правилам [47], [122], [162] построить асимптотическое разложение, равномерно пригодное во всей области изменения переменных. Заметим, что идея "неравномерных" асимптотических разложений широко используется при анализе решений обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры [162], например, при исследовании релаксационных колебаний [157].
Приведем примеры некоторых математических моделей, которые описываются решениями сингулярно возмущенных уравнений параболического типа и которые могут быть решены "геометро-оптическим" асимптотическим методом.
Задача об очаговом тепловом взрыве является одной из задач теории теплового взрыва [77], [152]—[154],
Постановка задачи о тепловом взрыве заключается в следующем: задана область, внутри которой находится реагирующее вещество; известны кинетические закономерности тепловыделения, известен механизм теплопередачи внутри области, заданы начальные и граничные условия. Необходимо определить основные характеристики явления, например, критические условия и период индукции. Таким образом, основные черты классической модели теплового взрыва можно сформулировать следующим образом [154]:
1. Реакция, протекающая в рассматриваемой области, является одностадийной и необратимой. 2, Теплопередача в зоне реакции осуществляется путем теплопроводности. Движение реагирующего вещества и связанный с ним конвективный механизм передачи тепла отсутствует. 3. Исходное вещество и продукты реакции находятся в одном фазовом состоянии, т.е. протекание реакции не сопровождается какими-либо фазовыми превращениями. 4. Граница рассматриваемой области непроницаема для вещества. Теплообмен на границе происходит по известному закону, например, по закону Ньютона. 5. Величины, характеризующие физические свойства вещества (теплопроводность, теплоемкость, плотность), химическую реакцию (энергия активации, предэкспоненциальный множитель, тепловой эффект) и условия протекания процесса (давление, температура окружающей среды, формы и размеры области, коэффициент теплопередачи) в ходе процесса не изменяются.
Заметим, что эта простейшая модель явления получила распространение при рассмотрении теплового взрыва как в газообразных, так и в конденсированных средах.
Математическая постановка классической задачи о тепловом взрыве в безразмерных переменных, введенных по схеме, предложенной Д.А.Франк-Каменецким [222], имеет следующий вид [152]:
где безразмерные переменные таковы: в — (Т — Т$)Е/КГ$ — разогрев вещества, 7] = 1 — С/CQ — глубина превращения, — х/г х — у/гХ = zir пространственные координаты1 т = tft — время, г и Ґ — соответственно пространственный и временной масштабы, Г =z (cpRTQ)/(QEk(T())) — адиабатический масштаб времени, Т = Т(х.у, z.t) — температура в зоне реакции, С = С(:і\у лі) — концентрация, (р(г/) — кинетическая функция, TQ — температура окружающей среды.Со — начальная концентрация:ії — газовая постоянная, Е —- энергия активации, с — теплоемкость, р — плотность, Ar = RTQ/E — число Аррениуса, Fk = QEr2K(T0)/(XRT2) — критерий Франк-Каменецкого, Td — cpRT /QE — число Тодеса, Q — тепловой эффект реакции (в единипе объема), к{Т) — характерная константа скорости реакции при температуре Т : к(Т) — KQ exp{—E/RT} Ко — предэкпоненциальный множитель, Vf хС —" оператор Лапласа: для реакций 777-го порядка справедливо равенство: ) = (1 — rj)m\ для автокатализа справедливо такое равенство: (р(т}) = [г] + щ){\ — v)- Уо — параметр в кинетическом законе автокатализа. Математическая модель теплового взрыва кроме дифференциальных уравнений (1) и (2) содержит начальные и граничные условия для функций 0(:Х:Сг) и 77(,XiCr)i причем области, в которых разыскиваются решения уравнений (1) и (2) могут иметь неканонический вид [77].
Очаговые режимы теплового взрыва
Если во взрывчатой системе в начальный момент времени реакция протекает, в силу определенных обстоятельств, существенно неодновременно во всем объеме, то возникновение теплового взрыва может носить очаговый характер. В литературе рассматривались разнообразные типы задач об очаговом тепловом взрыве; их можно, достаточно условно, разделить на следующие классы: А) задачи с П-образным начальным распределением температуры - [34], [35], [57], [70], [100]. [101], [103], [153]; Б) задачи с произвольным начальным распределением температуры - [36]-[38], [102]: В) задачи в веществе, способном к автокатадитическому превращению - [101], [102]; Г) задачи, учитывающие деформацию очага разогрева- [100], [103]; Д) задачи о взрыве системы очагов разогрева - [11], [137]; Е) задачи о повторном воспламенении - [78].
Методы анализа свойств решений дифференциальных уравнений (1) и (2) в рамках решения задач, описывающих режим очагового теплового взрыва, можно разделить на две основные группы: а) численный эксперимент - [37], [101], [104], [137], [150], [153]; б) приближенные аналитические методы, в том числе и асимптотические методы - [11], [34]-[36], [57]. [70], [100]. [102], [103]. Для наших целей самым важным является следующее обстоятельство: в итоге многочисленных расчетов режимов очагового теплового взрыва на ЭВМ был сделан обоснованный вывод [151]: " для грубых оценок можно положить: FkKpum т 20; ткр & 2; Qmazx 4 \ В дальнейшем этот вывод качественно подтверждался в численных экспериментах других авторов [37], [101], [104], [137], причем для некоторых режимов очагового теплового взрыва критические значения критерия Франк—Каменецкого FkKp достигают значений нескольких сотен [137] или даже тысяч - [37]5 [101], [103]. Судя по всему, именно в силу последних обстоятельств были сделаны попытки анализа различных режимов очагового теплового взрыва при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений - [34]-[36]э [57]ч [70], [100]-[102], [103].
Спецификой нахождения асимптотических при Fk ё 1 разложений решений дифференциального уравнения (1), кроме наличия малого параметра є = Fk"1. является наличие в нем нелинейного теплового источника экспоненциального типа В силу наличия в дифференциальном уравнении (1) малого параметра є — Fk l, задачи, решаемые для него, являются сингулярно возмущенными [50], [175], [180]. При нахождении асимптотик решений уравнения (1) возможны два подхода: I) нахождение асимптотик решений на математическом уровне строгости и II) нахождение асимптотик решений на физическом (на инженерном) уровне строгости. Детально оба подхода проанализированы в [183]. Резюмируя полученные к настоящему моменту результаты и в случае I), ив случае II), можно кратко сказать так: в случае І) в подавляющем числе работ (за исключением работ автора) получены асимптотические разложение в смысле Эрдейи [147]; см., например, [50], [216]. В случае II) в работах [34]-[36], [57], [70], [100], [102], [103] получены асимптотики решений дифференциального уравнения (1) такого типа, при котором коэффициенты полученных асимптотик удовлетворяют не тем вспомогательным дифференциальным уравнениям, которым они должны были бы удовлетворять согласно результатам, полученным в итоге корректных с математической точки зрения рассуждений [50], [183], [216].
Итак, с точки зрения получения математически корректным способом асимптотических разложений в смысле Пуанкаре решений диффе ренциалъных уравнений типа (1), при помощи решении которых описываются, в частности, режимы очаговых тепловых взрывов, проблема к моменту написания данной работы не была полностью решена.
Принципиально важным в предложенном автором алгоритме использования "геометро—оптического" асимптотического метода для решения задач теории очагового теплового взрыва является его общность, позволяющая с единых методических позиций решать разнообразные задачи очагового теплового взрыва (см. А-Е). Например, при помощи этого метода можно решить задачи для очага произвольной многомерной формы при произвольном начальном распределении температуры. Большим преимуществом предложенного метода является его корректность. Последнее означает, что в рамках этого метода для получения приближенного аналитического решения исходной нелинейной сингулярно возмущенной задачи не требуется привлечения тех или иных упрощающих предположений, что является непременным атрибутом любой из работ тех авторов, которые работают на физическом (или инженерном) уровне строгости [11] j [38], [88], [141], Заметим также, что г геометро—оптический" асимптотический метод может быть с успехом применен для решения проблем теплового зажигания реакци-онноспособных конденсированных сред [183], [273].
Интегральное представление функции Грина и соответствующие линейные интегральные уравнения
Для устанрвления структуры асимптотических разложений в смысле Пуанкаре решений нерегулярных нелинейных задач тепло-и массопере-носа в областях со сложными, в том числе и с подвижными границами автор, по аналогии с "геометрической" теорией дифракцирі волновых полей, ввел в рассмотрение пространственно—временные лучи, приходящие в точку, в которой исследуется решение исходной краевой задачи [175]. Эти пространственно—временные лучи естественным образом разбивают пространственно-временную область, в которой ищется решение, на "зоны тени" и "зоны света" . "Зоны света" , в свою очередь, разбиваются на такие "зоны", как "ядро зоны света" и "по-гранслойные зоны" [175]. Автором установлено, что для каждой из "зон" асимптотика в смысле Пуанкаре решения нерегулярной краевой задачи тепло-и массопереноса имеет свою структуру, которая достаточно просто, и с единых методических позиций определяется при помощи асимптотического анализа интегрального представления решения, записанного с использованием функций (или, если это необходимо, матриц) Грина — поскольку такое интегральное представление учитывает вклад в решение соответствующей краевой задачи таких ее компонентов, как: начальные условия, граничные условия и тепловые источники. Использование введенных в рассмотрение пространственно— временных лучей позволяет и качественно, и, что самое важное, количественно определить вклад в асимптотику в смысле Пуанкаре решения в каждой из "зон" начальных условий, граничных условий и тепловых источников, что существенно упрощает получение асимптотики в смысле Пуанкаре решения краевой задачи.
Подчеркнем, что "зонный" характер асимптотических разложений в смысле Пуанкаре решений нерегулярных нестационарных краевых задач нелинейного тепло-и массопереноса, рассматриваемых как явные аналитические формулы для нахождения приближенных аналитических выражений решений задач тепло-и массопереноса, является новым в приближенных методах аналитической теории тепло-и массопереноса. Б самом деле, при применении аналитических методой для решення краевых задач тепло-и массопереноса как правило используется одна и та же формула для расчетов как вблизи границ области, так и вдали от них [91], [92] [138], [139]. Кроме того, интегральные представления решений краевых задач тешго-и массопереноса в тех редких случаях, когда известно явное представление соответствующих функций Грина, содержат интегралы, под знаком которых стоят произведения функций (задающих начальные условия, граничные условия и тепловые источники) на соответствующие функции Грина, Ясно, что в подавляющем числе случаев вопрос о вычислении таких интегралов остается открытым -— так как для реальных (а не для учебных) случаев задания произвольных: начальных условий, граничных условий и тепловых источников нахождение в явном виде соответствующих первообразных невозможно. Таким образом, практическая реализация методов аналитического тепло- и массопереноса в случае произвольных функций, задающих начальные условия, граничные условия и тепловые источники, требует, если оставаться на позициях аналитического подхода, использования тех или иных методов приближенного аналитического вычисления интегралов (в общем случае — многомерных интегралов).
Среди таких приближенных аналитических методов вычисления интегралов ведущее место по праву принадлежит так называемому методу Лапласа —- частному случаю метода перевала [31], [116], [162], [193], [199], [218], [230]. Выражаясь несколько неточно, можно сказать, что метод Лапласа каждому интегралу, содержащему малый параметр, (в тех случаях, когда метод Лапласа применим) ставит в соответствие асимптотический ряд в смысле Пуанкаре, включающий в себя в качестве общего множителя, значение подынтегральной функции в некоторой точке (или в некоторых точках} из области интегрирования. Очень важным свойством метода Лапласа является его общность — т.е., (в тех случаях, когда он применим) при помощи этого метода с единых методических позиций находятся асимптотические разложения в смысле Пуанкаре как одномерных, так и многомерных интегралов. Именно в силу вышеотмеченных преимуществ метода Лапласа автор включил его использование в рамках предложенного им "геометро—оптического" асимптотического метода. Итак, подчеркнем еще раз, что в рамках "геометро—оптического" асимптотического метода [175], [183] асимптотический анализ интегральных представлений решений нерегулярных краевых задач осуществляется при помощи метода Лапласа, что позволяет получить соответствующие асимптотические разложения в смысле Пуанкаре [147].
Остановимся вкратпе на еще одном аналитическом методе, исполь-зующем интегральные представления решений краевых задач нестационарной теплопроводности — имеется ввиду метод интегральных преобразований. Как известно, применение метода интегральных преобразований к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными и начальными условиями осуществляется следующим образом [214]: 1) выбирают подходящее для данной задачи интегральное преобразование; 2) умножают заданные дифференциальное уравнение и граничные условия на выбранное ядро и после этого интегрируют полученное выражение в соответствующих пределах по переменной, подлежащей исключению; 3) при вычислении интегралов используют граничные (или начальные) условия для определения внеин-тегральных слагаемых при пределах интегрирования; 4) решают "вспомогательное" уравнение относительно преобразования искомой функции; 5) по преобразованной функции при помощи соответствующей формулы обращения находят искомую функцию.
В описанном выше алгоритме применения интегральных преобразований самым сложным является последний пункт — нахождение искомой функции при помощи соответствующей формулы обращения. Как уже отмечалось выше, при решении конкретных задач математической физики встречающиеся интегралы "могут быть вычислены в замкнутой форме только в очень редких случаях, и поэтому часто приходится пользоваться приближенными методами вычисления интегралов для получения численных значений, которые в конце концов и являются целью в задачах физического характера" [214].
Угловой пограничный слой решения линейной сингулярно возмущенной задачи нестационарной теплопроводности в двумерной прямоугольной области
Пусть функция Т() имеет производные любого порядка и разлагается при 0 1-1-5, 5 0 б ряд Тейлора, сходящийся к функции, по которой он построен.
Тогда асимптотическое разложение в смысле Пуанкаре решения Tstf{:() задачи (121) при є -+ 0 в случае (С) "ПГРСЛ - Г задается асимптотическим равенством (118); в случае (С?О Є ( ї) -асимптотическим равенством (ISO) (причем в этих равенствах г заменяется на Q) а Ту{) на Т А )); Если же точка с координатами (, ) такова, что (,) Є "ПГРСЛ — о(С)" (см. (125)), то справедливо асимптотическое равенство (127). Коэффициенты асимптотических разложений (118), (120) и (127) не являются функциями малого параметра є 0 и вычисляются в явном виде.
Обсуждение полученного в п,2.5.2 и п.2.5.3 результата и возможные обобщения содержится в п.2.5.4, в котором указано, что в диссертационной работе получено при є -4 0 асимптотическое разложение Пуанкаре решения задачи типа Стефана (17)-(22), которое при є С 1 можно рассматривать как приближенное аналитическое решение этой задачи. Как известно [105], приближенные аналитические решения нестационарных задач тепло- и массопереноса обладают тем преимуществом перед итогами численных экспериментов, что они позволяют в любой точке объекта и в любой момент времени оценить исследуемый режим, отразить влияние всех факторов, учесть их значимость и выделить главные из них, т.е. провести аналитический многопараметрический анализ исследуемых режимов. В краевой задаче (17)-(22), можно варьировать; функцию, задающую начальное распределение Т(); функцию J(T), задающую тепловой поток; толщину пластины 5; продолжительность импульса t\ температуру разрушения диэлектрика Тр; а также параметры, описывающие тешюфи ические свойства диэлектрика (вместо фторопласта можно взять другой материал).
Как уже отмечалось, первое и основное отличие результатов п.2.5 от результата, изложенного в [204] состоит в том, что в п.2-5 получено и обосновано приближенное аналитическое решение задачи, описывающей унос массы диэлектрика в импульсном электрическом разряде, а в [204] приведены данные численного эксперимента по той же проблеме. Далее, в [204] предполагалось, что начальное распределение температуры постоянно по толщине диэлектрика: Х() = const, а в данной работе рассматривается случай Т() — var. Очевидно, что предположение Т() = const справедливо только для первого теплового импульса, поэтому в [204], по существу, приведены данные, соответствующие уносу массы диэлектрика в итоге действия одного (причем первого), теплового импульса. Полученное в пункте 2,5 приближенное аналитическое решение позволяет рассчитывать унос массы диэлектрика во время действия любого из тепловых импульсов; с его помощью можно также рассчитать температуру диэлектрика в промежутке времени между импульсами; таким образом с помощью результатов данного пункта можно рассчитать как тепловое состояние диэлектрика, так и унос его массы во время серии тепловых импульсов.
Выше отмечалось, что краевая задача (17)-(22), отличается от краевой задачи, рассмотренной в [204] тем, что в [204] вместо q(r) рассматривалась нелинейная функция 9Е(Т) = (т) — АТ , где Тп - температура поверхности диэлектрика, A = const. Замена в формулировке краевой задачи (17)-(22) функции (]{т) на 9Е(Т)? превращает эту задачу в типичную нелинейную задачу со свободной границей, причем на свободной (неизвестной) границе при этом задаются нелинейные граничные условия типа Стефана-Больпмана [182]. Предложенный автором "геометро-оптический" асимптотический метод позволяет находить приближенные аналитические решения и таких нелинейных задач со свободной границей [182]. [274].
Следует отметить, что имеется модель испарения изоляторов в импульсных ускорителях плазмы [6], отличная от модели, изложенной в [204]. Основное отличие математической модели, изложенной в [6] -это рассмотрение Б граничных условиях на подвижной границе нелинейности экспоненциального типа (в то время, как в [204] рассматривалась нелинейность степенного типа). Модель, предложенная в [б], исследовалась численными методами. Если в этой модели ввести безразмерные переменные так, как это сделано в данном пункте, то при старшей производной в уравнении нестационарной теплопроводности появится малый безразмерный параметр. Наличие нелинейности экспоненциального типа в полученной таким образом сингулярно возмущенной задаче со свободной границей не является препятствием для успешного применения геометро-оптического11 асимптотического метода [175], [182], [274], Более того, общность "геометро-оптического4 асимптотического метода такова, что он позволяет находить приближенные аналитические решения нерегулярных нестационарных температурных полей в многослойных конструкциях с нелинейными условиями разного типа на внешних подвижных границах [180].
Как подчеркнуто в названии данного пункта, в нем найдено асимптотическое разложение Пуанкаре решения сингулярно возмущенной краевой задачи нестационарной теплопроводности. Напомним, что в работах других авторов, посвяшенных той же тематике [50], [192] найдены асимптотические разложения Эрдейи (в смысле Эрдсйи) [147] решений сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности, так как коэффициенты разложений в этих работах являются функциями малых параметров.
В пункте 2.6 рассматривается применение "геометро-оптического" асимптотического метода для нахождения асимптотики Пуанкаре решения сингулярно возмущенной задачи Стефана вида
Асимптотическое разложение Пуанкаре решения сингулярно возмущенной задачи Стефана
Если краевая: задача содержит нелинейные граничные условия, то интегральное представление ее решения содержит неизвестные функции pk{t) , для которых находятся соответствующие нелинейные интегральные уравнения; 3) если явный вид функции Грина (или элементов матрипы Грина) для соответствующей линейной краевой задачи в виде комбинации истокообразных (фундаментальных) решений уравнения теплопроводности не известен, то функция Грина {или элементы матрицы Грина), в свою очередь, записывается в интегральной форме, содержащей неизвестные функции ph{t) при помощи специальным образом подобранной комбинации тепловых потенциалов простого и двойного слоев, учитывающей форму подвижных границ; 4) для функций pk(t) находятся соответствующие линейные интегральные уравнения типа Вольтерра второго рода, которые затем решаются методом последовательных приближений, причем для каждого приближения находится его асимптотика. В итоге получаются асимптотические разложения в смысле Пуанкаре функций pk(t). причем достоверность полученных таким образом асимптотик обеспечивается при помощи специальным образом подобранной комбинации тепловых потенциалов простого и двойного слоев (см. пункт 3 алгоритма); 5) находится асимптотика в смысле Пуанкаре функции Грина (или элементов матрицы Грина), для чего асимптотики функций pk{t) подставляются под знаки соответствующих интегралов в выражениях, задающих функцию Грина (или элементы матрицы Грина); затем при помощи метода Лапласа [218] или его модификации, разработанной автором [170]—[172], [175], находится асимптотика Пуанкаре каждого из интегралов, определяющих функцию Грина (или элементы матрицы Грина): 6) находится асимптотика разложения в смысле Пуанкаре решения исходной нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи, для чего асимптотика функции Грина (или асимптотика элементов матрицы Грина) подставляется под знаки интегралов в выражениях, задающих решение исследуемой краевой задачи; при этом при помощи метода Лапласа или его модификации находится асимптотика в смысле Пуанкаре каждого из интегралов; определяющих решение. Если исходная краевая задача содержала нелинейный тепловой источник, то интегральное представление ее решения является нелинейным интегральным уравнением, которое решается методом последовательных приближений с нахождением асимптотики в смысле Пуанкаре каждого приближения.
Если исходная краевая задача содержала нелинейные граничные условия, то предварительно находятся асимптотические разложения функций Ph{t) і Для чего сначала устанавливаются нелинейные интегральные уравнения для функций pk (t) , которые затем решаются методом последовательных приближений с нахождением для каждого приближения его асимптотики в смысле Пуанкаре. Найденные асимптотики функций Pk{t) подставляются под знаки соответствующих интегралов в выражениях, задающих вид решения исследуемой краевой задачи, а затем применяется метод Лапласа или его модификация (конец описания алгоритма).
Существенным моментом в изложенном выше "геометро— оптическом" алгоритме нахождения асимптотики в смысле Пуанкаре решения нелинейной нерегулярной краевой задачи является систематическое использование метода Лапласа [218] или его модификации, разработанной автором [170]—[172], [175]. Необходимость разработки модификации метода Лапласа вызвана тем обстоятельством, что при нахождении в явном виде коэффициентов асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач в пограничных слоях приходится учитывать эффект слияния стационарной точки функции, стоящей в показателе экспоненты под знаком интеграла, с ее полюсом, который совпадает с концом интервала интегрирования. Для учета этого явления эталонные интегралы метода Лапласа [218] вида: жаются через элементарные функции [23]. Принципиально новым для задач нерегулярного нелинейного тспло-и массопереноса в предложении автора использовать для их решения "геометро-оптический" асимптотический метод, является его общность, что позволяет в рамках единого алгоритма, не прибегая к упрощающим предположениям, на строгой математической основе анализировать широкий круг моделей - как одномерных, так и многомерных. Здесь уместно напомнить, что, в отличие от "метода пограничных функций" [50], [192], при использовании которого, как было показано выше, не находятся в явном виде не зависящие от малого параметра коэффициенты погранслойной асимптотики решения, "геометро - оптический" асимптотический метод, именно в силу применения модификации метода Лапласа, позволяет вычислить в явном виде погранслойные коэффициенты разложения решения - при помощи использования нового эталонного интеграла I (z). Эти коэффилиенты не зависят от малого параметра.
Применение " геометро-оптического" асимптотического метода для решения задач нерегулярного нелинейного тепло-и массопереноса позволяет выявить новые эффекты, поэтому этот метод можно рассматривать как математически корректную реализацию следующих эвристических принципов [175]: принципа неошушаемости Гранины", "принципа погранслойных поправок 1, "принципа отражения", "принципа просачивания". Так как в рамках этого метода выяснены условия, при которых эти "принципы" реализуются, а также условия, при которых они не реализуются, то это дает новые возможности для параметрического анализа моделей нерегулярного нелинейного тепло-и массопереноса. Именно таким образом в диссертационной работе установлен новый для нелинейных нерегулярных тепловых полей факт "теплового резонанса".
Как отмечалось во Введении, " геометро-оптический асимптотический метод основан на математически корректном асимптотическом анализе интегральных представлений решений нерегулярных задач тепло-и массопереноса, записанных с помощью соответствующих функций Грина. Принципиально важным является следующее обстоятельство: при этом используются не точные явные аналитические представления функций Грина, а их асимптотические разложения в смысле Пуанкаре, что существенно упрощает алгоритм,
В монографической литературе неоднократно отмечалось, что метод функций Грина обладает весьма большой общностью и универсальностью [8], [25], [91], [92], [223]: его можно применять для записи в интегральной форме решения краевых задач при достаточно общей постановке в одно- двух- и трехмерных случаях и, вообще говоря, в г-мерных случаях; в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях, одно-связных и многосвязных областях; в многослойных областях сложной формы; при неоднородных начальном, граничных условиях; для уравнений, включающих тепловой источник (как линейный, так и нелинейный), а также при нелинейных граничных условиях. При этом наиболее ценным по сравнению с методом Фурье является следующее обстоятельство; метод функций Грина позволяет учесть не только неканоническую форму области, в которой ищется решение; но он также позволяет решать задачи с подвижными (в том числе и с неизвестными подвижными) границами произвольной нелинейной формы.
Параметрический анализ очаговых режимов теплового взрыва при гауссовском начальном распределении температуры (одномерная модель)
Нахождению приближенных решений сингулярно возмущенных задач нестационарной теплопроводности посвящено большое число публикаций г15], [50], [58], [82], [84], [97], [134], [145], [159], [173], [175]: [189], [190], [192]. [216], [242], [248], [249], [252], [255], [256], [260], [265], [277], [278; поскольку при помощи сингулярно возмущенных краевых заДсіч моделируются многие важные в практическом отношении продессы [112], [ИЗ], [173]. [1751. Напомним, что отличительной чертой сингулярно возмущенных краевых задач является наличие малого параметра ь 0 при старших производных, который, как правило, появляется в результате введения тем или иным способом безразмерных переменных. Например, если коэффициент температуропроводности а материала мал и если материал подвергается кратковременному импульсному тепловому воздействию, то є = (at)/H2, где t и Н соответственно временной и пространственный масштабы [175]. Очень часто при помогли сингулярно возмущенных краевых задач нестационарной теплопроводности описывают такие процессы тепло- и мас-собмена, которые приводят к изменению фазового состояния вещества [86], [97], [140], [142], [182], [201], [217]. В [204] при помощи численного экс-перимента оценивалась скорость уноса массы диэлектрика в импульсном электрическом разряде. Данная задача является составной частью проблемы расчета эрозионных импульсных плазменных двигателей, которые наиболее перспективны для систем ориентации и стабилизации космических аппаратов [64]. На протекание физических процессов в импульсных источниках плазмы эрозионного типа большое влияние оказывают особенности поступления в плазму массы вещества, сублимирующей с поверхности твердого диэлектрика под воздействием сильноточного импульсного электрического разряда [64]. Используя модель, изложенную в [204], будем считать, что в момент времени t — 0, когда температура диэлектрика равна Х() и Гранина () между его поверхностью и вакуумом находится в начале координат, на поверхность диэлектрика под воздействием импульсного электрического разряда начинает поступать тепловой поток плотности q(t). При достаточной интенсивности этого теплового потока температура поверхности диэлектрика через некоторое время tp достигает температуры разрушения Тр. Будем считать, что испаряющийся материал сразу удаляется из области вблизи изолятора; тогда в момент времени t поверхность изолятора находится в точке с координатой f () 0. Для простоты изложения считаем, что в начальный момент времени изолятор представляет собой неограниченную пластину (стержень) толщиной 5 0, хотя предложенный автором " геометро-оптический" асимптотический метод позволяет решать сингулярно возмущенные краевые задачи нестационарной теплопроводности для тел любой конфигурации [175],
Вводя безразмерные переменные т = t/L = х/5 согласно [204], получаем следующую математическую модель Здесь Т(.т) - температура диэлектрика; с = ai/52, а - коэффициент температуропроводности диэлектрика, і - время действия импульсного электрического разряда; 5 - толщина диэлектрика; Л - коэффициент теплопроводности диэлектрика; q(r) - тепловой поток из плазмы на диэлектрик; 7 " плотность диэлектрика: Тэф - эффективная теплота разрушения диэлектрика; &{т) - неизвестная подвижная граница при тР г 1; Т() - функция, задающая начальное распределение температуры, постоянная Тр - температура разрушения диэлектрика.
Краевая задача (2.188)-(2.193) отличается от задачи, изучавшейся в [204], следующим: во-первых, в [204] не введены безразмерные переменные и считалось Г() = const, во-вторых, в [204] в граничных условиях (2.191) и (2.193) учитывалось влияние потерь теплоты на излучение, т.е. вместо q(r) рассматривалась нелинейная функция ?Е(Т). Как показа. проведенные автором данной работы оценки, "величина потерь тепла за счет излучения с поверхности диэлектрика оказывается значительно меньше величины падающего потока 7 [204]. Именно поэтому в данном разделе в граничных условиях вместо функции qr:{T) используется функция q{r).
Беря за основу данные для фторопласта из [204]. полагая t =40 зыке [204] и 5 — 6.3 10 3 м [64]. получаем е — 10 7. Итак, действительно, модельная задача из [204] является сингулярно возмущенной краевой задачей нестационарной теплопроводности с неизвестной подвижной границей, если ее записать в указанной выше безразмерной системе координат. Мы предполагаем выполненными условия существования и единственности решения краевой задачи (2.188)-(2.193).
Сформулированная краевая задача (2.188)-2.193) содержит в себе две краевые задачи: при 0 г тр - это краевая задача (2.188)-(2.191). которую назовем так: Задача А". Ее решение описывается функцией Т{,т). TlpuTp т 1 имеем задачу (2Л88), (2.190), (2.192). (2Л93) с начальными условиями, о которых речь пойдет ниже. Назовем последнюю "Задача Stf\ Для ее решения введем обозначение: 5 /(, г). Если "Задача А" - это задача в "неподвижных 1 границах: 0 1, то "Задача Stf1 - это задача с неизвестной подвижной границей = о(т ). причем o(Tj ) 0- Начальные условия Т () для "Задачи Stf таковы.
