Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор основных результатов по моделированию процессов в дуговых генераторах низкотемпературной плазмы 15
Глава 2. Математические модели процессов в плазме 23
2.1. Кинетические уравнения для плазмы 23
22. Магнитогидродинамическая модель плазмы 25
2.3. Уравнения термически равновесной плазмы 30
2.4. "Двухжидкостное" описание 31
2.5. Коэффициенты переноса для плазмы 33
2.6. Расчет равновесного состава и коэффициентов переноса плазмы метана 39
2.7. Электродинамические модели 43
2.8. Модели турбулентности в плазме 44
2.9. RNG - модель 48
Выводы к главе 2 50
Глава 3. Численные алгоритмы для расчета турбулентных течений в дуговых генераторах плазмы 52
3.1. Исходные предпосылки 52
3.2. Особенности расчета течений плазмы 54
3.3. Уравнения движения для вязких течении. 56
3.4. Общий вид транспортного уравнения 57
3.5. Пространственная дискретизация по методу контрольного объема 59
3.6. Схемы повышенного порядка аппроксимации 62
3.7. Реализация численных схем для двумерного транспортного уравнения. 65
3.8. Концепция полной вариации. 66
3.9. Сравнение свойств разностных схем на примере одномерной задачи 71
3.10. Алгоритм решения уравнений в естественных переменных 75
3.10.1. Метод определения поля давления 75
3.10.2. Интерполяция Рая-Чоу 76
3.10.3. Уравнение для поправки к давлению 77
3.10.4. Алгоритм SIMPLE 79
3.10.5. Контроль сходимости 79
3.10.6. Релаксация 80
3.10.7. Граничные условия 80
3.10.8. Метод пристеночных функций. 82
3.11. Сравнение различных схем для двумерной модельной задачи. 84
Выводы к главе 3 90
Глава 4. Численное моделирование процессов в электродуговых генераторах плазмы 92
4.1. Сравнение моделей турбулентности для закрученных течений 93
4.2. Математическая модель приэлектродного слоя дуг атмосферного давления 103
4.3. Расчет прикатодного слоя для дуги атмосферного давления на графитовом катоде 110
4.4. Математические модели для прианодных процессов 114
4.5. Расчеты открытой электрической дуги в аргоне. Сравнение с экспериментом 116
4.6. Исследование плазмотронов линейной схемы в условиях термической неравновесности. 122
4.7. Самовосстановление поверхности графитового электрода 127
4.8. Пакет программ PLASMOTRON. 133 Выводы к главе 4 136
Выводы 138
Литература 139
- Обзор основных результатов по моделированию процессов в дуговых генераторах низкотемпературной плазмы
- Уравнения термически равновесной плазмы
- Пространственная дискретизация по методу контрольного объема
- Расчет прикатодного слоя для дуги атмосферного давления на графитовом катоде
Введение к работе
В течение последних десятилетий роль математического моделирования при исследовании физических явлений непрерывно возрастает. Это связано как с усовершенствованием и усложнением моделей физических процессов, так и с построением новых мощных вычислительных комплексов и систем. Еще одним важным фактором в пользу математического моделирования является относительно низкая стоимость вычислительных расчетов по сравнению со стоимостью проведения полномасштабных физических экспериментов. Это тем более относится к физике плазмы, где из-за высоких температур и потоков с большой концентрацией энергии детальное экспериментальное исследование сопряжено со значительными трудностями. Кроме того, визуализация расчетов позволяет получать панораму протекающего процесса, что чрезвычайно важно для конструктора и технолога. За последние тридцать лет накоплен значительный опыт в разработке и применении моделей плазмодинамики и плазмохимии при решении сложнейших технических и технологических задач для создания новых и усовершенствования существующих высокотемпературных устройств и аппаратов. Однако следует отметить, что при моделировании процессов в низкотемпературной плазме существенная нелинейность соответствующих уравнений не позволяет математически строго обосновать корректность численных алгоритмов их решения. Поэтому результаты многофакторных экспериментов здесь играют важнейшую роль, так как воспроизводят реальную физическую картину изучаемого явления и позволяют оценить работоспособность той или иной математической модели и эффективность численных процедур для конкретных приложений. С другой стороны, использование совместного подхода "вычислительный расчет - физический эксперимент" дает возможность существенно сократить суммарное время исследований. Такой комплексный подход предполагает:
разработку физической модели изучаемого процесса;
конструирование математической модели и выбор для системы уравнений эффективного численного метода;
реализацию численного алгоритма на ЭВМ;
J
*
4) анализ полученных результатов, сравнение с экспериментальными данными и, если необходимо, коррекция этапов 1-3). В связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза, который, как считается,
происходит только при температурах порядка 10в К, интерес к физике плазмы на
протяжении последних десятилетий непрерывно возрастает. Кроме того, расширяется круг
промышленного применения низкотемпературной плазмы (=104/) как активной рабочей
среды при реализации производственных процессов. Возможность получения
низкотемпературной плазмы с заранее заданными свойствами в устройствах относительно
простой конструкции дает возможность эффективно решать целый ряд прикладных задач,
включая резку и сварку металлов, уничтожение промышленных отходов, напыление и
термическую обработку поверхностей, плазменную (безмазутную) растопку котлов и т.д.
Рис. 1. дает примерную классификацию по применению плазмы различного типа. В
диссертационной работе исследуется область параметров плазмы
(Г, < 300Q0K ,л(1 < 10~4 м~'), выделенная на рисунке.
Управляемый термоядерный синте:
Эксперименты по
термоядерному
синтезу
Солнечный ветер
Ионосфера земли
т.,К
10? -
106 -
10S 1
10" -
юз
10Ю ЮІ2 1014 101А 101в \Q2Q in22 10^4 Ю26
Рис 1. Классификация плазмы по числовой плотности пе и температуре электронов Те
(d - радиус Дебая).
#
Электрическая дуга, часто используемая в проїчьішленности для получения низкотемпературной плазмы, является одной из форм разряда в газе. В общем случае можно выделить несколько типичных форм разряда, имеющих собственные названия: тлеющий, коронный, дуговой, искровой, таунсендовский и т.д. Ток варьируется от 10"s А (таунсендовский разряд) до сотен ампер в стационарных дуговых и 104-10:>Л в нестационарных искровых разрядах. Качественно различные типы стационарных разрядов можно проиллюстрировать следующей вольт-амперной характеристикой (см. рис 2) [1]. и, в
600 -т
I, Л
900 Ч
*
Рис. 2. Картина вольт-амперных характеристик электрических разрядов: 1 -таунсендовский, 2 - переход к тлеющему, 3 - нормальный тлеющий, 4 -аномальный тлеющий, 5 - переход к
дуговому, 6 - дуговой.
Необходимо отметить, что из всего спектра различных разрядов только дуговые при давлениях больше атмосферного характеризуются термической и ионизационной равновесностью плазмы. Существенная неравновесность—черта, осложняющая исследование других типов разряда в газе [36]. Кроме того, исследования [106] для открытых электрических дуг свидетельствуют, что даже при атмосферных давлениях в приэлектродных областях плазма не является равновесной и толщина слоя неравновесной плазмы составляет порядка 2 мм. В диссертационной работе исследуются стационарные дуговые разряды атмосферного давления в диапазоне токов (/ = 10 + ЮООЛ).
Для дугового разряда характерно малое прикатодное падение потенциала и достаточно большая сила разрядного тока. Это объясняется высокой плотностью
эмиссионного тока с поверхности катода (j =10J-^107 Л/си ) [4]. Эмиссия электронов
осуществляется либо за счет высокой температуры поверхности катода, либо за счет
W разогретого слоя газа или паров металла, примыкающих к катоду. Высокая температура
катода достигается либо в результате джоулева тепловыделения в самой дуге (дуга с горячим термоэмиссионным катодом), либо нагревом от постоянного источника (дуга с внешним накалом).
Широкий спектр областей, в которых применяются электродуговые устройства,
требует решения задач по оптимизации режимных и конструктивных параметров генераторов
низкотемпературной плазмы. Одна из важнейших задач в исследуемой проблемной области-
рь. увеличение срока эксплуатации наиболее теплонапряженных элементсв плазмотрона -
электродов. Эрозия электродов определяется процессами испарения, химического взаимодействия материала катода с плазмой, диффузией примесей, потерями механической прочности и т.п.
Надежная непрерывная работа современных электродов ограничена несколькими
десятками часов при характерной для промышленных устройств химической агрессивности
плазмообразующего газа (часто кислородосодержащего) и диапазона токов / = 100-*-750Л .
Кроме того, ресурс электрода существенно снижается при работе в режиме периодических
включений, что обусловлено разрушающим действием дополнительных нестационарных
тепловых напряжений. Увеличение ресурса электродов - весьма актуальная на сегодня
s задача, диктуемая требованиями инженерной практики [39].
Большой вклад в разработку теоретических положений и методик расчета физико-химических процессов в низкотемпературной плазме сделан советскими и российскими учеными М.Ф. Жуковым, Л.С. Полаком, Ю.В. Курочкиным, В.М. Лелевкиным, А.Ж. Жайнаковым, Б.А. Урюковым, А.В. Пустогаровым, A.M. Зиминым, И.Г. Паневиным, В.И. Хвесюком, B.C. Мечевым, B.C. Энгельштом, А.Д. Рычковым, И.М. Засыпкиным, А.Н. Тимошевским, Э.П. Волчковым, Г.-Н.Б. Дандароном, В.А. Немчинским, М.Г. Фридляндом, Б.Я. Можейсом и многими другими известными учеными. Теоретические и
экспериментальные исследования зарубежных ученых Eckert E.R.G, Pfender Е., Devoto R.S, Haidar J., Lowke J.J., Morrow R., Hsu K.S., Wendelstorf J., Benilov M.S., Zhu P и других дают картину многообразия явлений в низкотемпературной плазме.
Методы моделирования плазменных процессов весьма разнообразны. В данной работе строятся такие математические модели электр о дуговых генераторов низкотемпературной плазмы, которые позволят проводить численные исследования без необходимости привлечения дополнительных экспериментально получаемых соотношений для приэлектродных областей в процессе расчета. Это достигается совместным рассмотрением плазмы дуги, приэлектродных зон и электродов в комплексе. Хотя большинство из отдельных явлений в низкотемпературной плаше исследовано теоретически и экспериментально достаточно подробно, комплексный подход к математическому моделированию процессов в электродуговых генераторах низкотемпературной плазмы с учетом приэлектродных зон, явлений переноса в самих электродах, многокомпонентное плазмообразующего газа, термической неравновесности плазмы, закрутки и турбулентности течения применяется впервые.
Целями работы, е соответствии с указанной проблематикой, являлись:
построение вычислительной схемы процессов переноса в электродуговых
плазмогенераторах, максимально учитывающей совокупность сопутствующих явлений
в системе «плазма сильноточного разряда - приэлектродная зона - электрод» без
привлечения дополнительных экспериментально получаемых данных;
разработка эффективного численного алгоритма на основе метода SIMPLE и
монотонных TVD схем 2-го и 3-го порядка аппроксимации для решения уравнений
плазмодинамики;
проведение комплексных исследований процессов, протекающих при атмосферном
давлении в электродуговых генераторах низкотемпературной плазмы, с учетом
турбулентности, неравновесности, закрутки плазмообразующего газа, а также
процессов в приэлектродных зонах и электродах;
поиск и обоснование условий, при которых реализуется режим самовосстановления
материала катода в углеродсодержащих средах;
установление основных закономерностей плазменных процессов в электродуговых
устройствах, разработка адаптированных математических моделей и пакетов
программ для расчета рабочих процессов и оптимизации конструкции
плазмогенераторов.
w* Указанные цели работы достигаются выполнением программы исследований,
результаты реализации которой последовательно излагаются ниже в отдельных главах
диссертации.
Во введении обоснована актуальность выбранной темы, представлено современное состояние проблемы, сформулированы цели исследования и практическая значимость работы.
Обзор основных результатов по моделированию процессов в дуговых генераторах низкотемпературной плазмы
Дуговые разряды широко используются при высокотемпературной обработке материалов, в черной и цветной металлургии, при термической утилизации промышленных отходов, в источниках освещения высокой интенсивности, в сварке и резке металлов, поджиге и подсветке низкосортньгх топлив и во многих других отраслях.
В 1930 - 1950-ых годах были проведены первоначальные теоретико-экспериментальные исследования электрических дуг. Фундаментальное исследование физических явлений в дуговых разрядах и обзор ранних исследований дан в 1956 году в работе [3]. Важные знания по детальной картине явлений, происходящих в электрической дуге, удалось получить в 1970-х годах с использованием вычислительной техники и методов математического моделирования [8]. Наиболее полный обзор исследований в области динамики низкотемпературной плазмы приведен в серии работ [10].
Характеристики формируемого потока плазмы, положение электрической дуги в объеме устройства, условия теплообмена со стенками и окружающей средой определяются конструктивными и режимными параметрами генератора низкотемпературной плазмы. Для создания высокоэнтальпийного потока плазмы необходима значительная плотность энергии во всем объеме плазмотрона, что требует организации эффективного охлаждения его стенок [39]. Параметры катодного узла оказывают решающее влияние на формирование разряда, и это влияние прослеживается на расстояниях, сравнимых с размерами устройства.
В настоящее время наиболее полно изучены процессы, протекающие в плазме разряда [36], [37]. Для широких классов внутренних течений низкотемпературной плазмы разработаны достаточно эффективные численные методы, а для ряда случаев получены аналитические соотношения. Однако, ощущается недостаток знаний по параметрам в приэлектродных зонах и на границе «плазма - электрод», что связано со сложностью проведения экспериментальных исследований по выяснению детальных распределений в этих областях [38], [40]. Расчеты электрических дуг в основном проводятся на базе системы МГД уравнений в стационарной двумерной осесимметричной постановке [1], [49], [50]. Имеется ряд работ [51], [52], где моделирование осуществляется в трехмерной постановке, а также с учетом нестационарности [53]. Общей проблемой при расчете течений плазмы в электродуговых генераторах является задание граничных условий на поверхности электродов, и во многих работах [I], [50] эти условия формулируются на основе эмпирических предположений о распределении плотности электрического тока или теплового потока на поверхности электрода или исходя из экспериментальных данных. Однако, в соответствии с теоретическими результатами исследования приэлектродных процессов в электрических дугах [4] и [19] задание граничных условий для плазмы должно базироваться на модели приэлектродного слоя. Последняя представляют собой сильно нелинейную задачу, часто имеющую несколько решений [54], соответствующих различным режимам привязки дуги к электроду.
Одна из последних публикаций [55], посвященная обзору исследований по режимам работы катода в широком диапазоне токов и давлений, демонстрирует общие характеристики разрядов различных типов и подытоживает основные достижения в моделировании этих явлений. Термоэмиссионные катоды могут давать несколько квазистабильных режимов работы, а именно: режим с диффузной привязкой, j «\ А/т - режим с контрагированным пятном, 7 10 А/т ; недавно исследованный режим с аномально малой площадью пятна [57], когда в зоне контракции материал катода находится в расплавленном состоянии (рис. 1.1).
Механизмы перехода .между этими режимами для вольфрамовых катодов изучались [58]. Следуя [58], переход от режима диффузной привязки к режиму с пятном характеризуется существенным уменьшением размера зоны, в которой протекает основная доля электрического тока. При этом температура электродной поверхности, тепловые потоки и падение потенциала в прикатодной области изменяются менее существенно [54]. Режим с диффузной привязкой дуги реализуется при уменьшении давления, увеличении силы тока и уменьшении диаметра катода. Математическая теория перехода между режимами привязки дуги на основе исследования бифуркационных свойств решения сформулирована в [59].
При исследовании дуговых разрядов необходимо отметить, что в общем случае разряды имеют трехмерный и нестационарный режим горения. Осесимметричности области течения явно не достаточно для того, чтобы разряд обладал осевой симметрией. Без специальных мер по стабилизации разряда на оси, к которым относится использование катодов специальной геометрии и закрутка течения, точка привязки дуги может находиться на боковой поверхности и совершать нерегулярные перемещения [11]. Дестабилизирующее воздействие на дугу оказывает также понижение давления или силы тока. Одним из наиболее сложных для исследования объектов является дуга с множественными точками привязки, часто наблюдаемая в вакууме [37]. Решение столь сложной задачи продемонстрировано в работе [60] в рамках достаточно общих предположений. При исследовании нестационарного режима привязки дуги в режиме больших токов дополнительную теоретическую проблему представляет собой учет микровзрывов на поверхности из-за интенсивного испарения материала катода [61]. В ряде случаев, например для материалов с высокой температурой плавления, таких как вольфрам и графит, задачу можно рассматривать как квазистационарную, с использованием осредненных по времени значений для теплового потока и плотности электрического тока. Подобного рода подходы обсуждаются в [11]. Для материалов с низкой температурой плавления, а также при пониженных давлениях, реализуется нестационарный режим [61].
Отдельный вопрос при математическом моделировании приэлектродных процессов состоит в выяснении тех случаев, когда зона пространственного заряда может быть исключена из общего рассмотрения. Авторами работы [62] предполагается, что падение потенциала в слое пространственного заряда мало и этот слой исключается. Другими исследователями [63], [64], [65] получены значения для падения потенциала в слое пространственного заряда порядка нескольких десятков вольт, что свидетельствует о важности рассмотрения эффектов пространственного заряда. Экспериментальные измерения для прикатодного падения потенциала [4] дают значение вплоть до 50В. Значения того же порядка получены и в работе [ 18].
Процессы в прианодном слое электрических дуг исследованы менее подробно, чем катодные, что прежде всего связано со сложностью получения подробных экспериментальных данных. В работах, посвященных исследованию прианодных процессов [93-98], получены весьма значимые результаты. Однако, к сожалению, теория прианодных явлений, позволяющая определить знак и величину прианодного падения потенциала, все еще требует как теоретического обоснования, так и детальных экспериментальных исследований. Для открытой аргоновой дуги атмосферного давления и медного анода имеются экспериментальные результаты [97], свидетельствующие о том, что падение потенциала в прианодном слое может быть как положительной, при токах 50А, так и отрицательной, при токах порядка 150А, величиной. Кроме того эти измерения для малых токов ( 50А) показывают, что плазма в прианодной области - термически неравновесная. Авторами [99], для заданного распределения теплового потока в анод, расчетным путем получено отрицательное значение прианодного падения потенциала. Численные исследования прианодной области на основе совмещенной модели «дуга- прианодный слой -анод» в одномерной постановке без учета слоя пространственного заряда, выполненные авторами [100], тоже демонстрируют отрицательные значения, что согласуется с экспериментальными измерениями [101], проведенными для аналогичной конфигурации. В работе [98] методами математического моделирования были получены результаты, согласующиеся с экспериментальными данными [97], при этом использовалась одномерная постановка с различными температурами для тяжелых и легких частиц и раздельными уравнениями движения ионов и электронов. Там же отмечается, что для прианодного слоя процессы конвекции и электронной диффузии существенны, и расчеты следует проводить по двумерным (трехмерным) моделям.
Уравнения термически равновесной плазмы
Состав, термодинамические свойства и коэффициенты переноса плазмы существенно зависят от температуры. Расчет коэффициентов переноса плазмы, находящейся в локальном термодинамическом равновесии, основанный на молекулярно-кинетической теории в соответствии с методом Чепмена-Энскога базируется на использовании выражений для интеграла столкновений [23]: где Е - приведенная энергия сталкивающихся частиц, х = Е/кТ - переменная интегрирования, Q(E)0) - полное сечение столкновения, вычисляемое через дифференциальное сечение рассеяния а{Е,х) по формуле
Для различных типов потенциалов взаимодействия интегралы столкновений вычислены и затабулированы [17], [112]. Для столкновений нейтральных частиц с использованием потенциала Леннарда-Джонса сечения столкновений вычисляются как [22] где параметры тп и рп и приведенные интегралы столкновений Q(/s затабулированы для различных газов в [17]. Для столкновений заряженных частиц применяется экранированный кулоновский потенциал [32]. Для ион-атомных столкновений используется приближенная формула [88] где „, 2( и а - константы. Более точная теория для вычисления сечения ион-атомного взаимодействия приведена в работах Девото [112, 113]. При определении сечений электрон-атомных соударений [71] необходим учет квантовомеханических эффектов (эффект Рамзауэра). Измеренные сечения столкновений Следует отметить, что значения полученные для коэффициентов рекомбинации у разных авторов отличаются более чем в 5 раз [138], [139], что может приводить к существенной разнице в результатах, полученных при расчетах по двухтемпературнои модели. Формулы (2.30-2.47) позволяют вычислить все необходимые значения для коэффициентов переноса в плазме аргона. Более полные исследования [45], проведенные на основе модифицированной теории Чепмена-Энскога и использующие разложение по полиномам
Сонина до четвертого порядка, для плазмы находящейся в частичном термодинамическом равновесии демонстрируют слабую зависимость сечений столкновения от параметра температурной неравновесности 0 = 7(,/7 в сравнении с зависимостью от электронной температуры 7,. Таким образом, использование формул, приведенных выше и полученных для случая термически равновесной плазмы, является оправданным при расчетах по «двухтемпературнои» модели, что следует из сравнения коэффициентов переноса, вычисленных в работе [45] и аналогичных, полученных-по формулам (2.30-2.47) (Рис 2.2 - Рис 2.4). Для согласования расчетных данных выражение для ион-электронных столкновений было использовано в следующем виде Как следует из рисунков рассчитанные величины для всех коэффициентов с использованием упрощенных формул (2.30-2.47), отличаются не более чем на 20% от расчетов по полной двухтемпературнои модели [45]. При моделировании процесса регенерации графитового электрода из углеродсодержащеи атмосферы с целью существенного увеличения ресурса его работы в качестве плазмообразующего газа был использован метан. Входящие в уравнения (2.19)-(2.21) коэффициенты переноса зависят от состава смеси. Использование уравнений химической кинетики для описания состава плазмы метана затруднено отсутствием достоверных значений для констант реакций и недостаточными сведениями о вкладах отдельных реакций в общую схему, что прежде всего связано со сложностью проведения экспериментальных измерений в высокотемпературных установках. Следует отметить работу [89], в которой использовалась схема из 23 химических реакций для моделирования состава плазмы, применительно к радиочастотному разряду в метане. Исследования состава смеси в плазмотроне при работе в режиме самовосстановления проводились методом определения равновесных состояний гомогенных смесей.
Такой подход оправдан в силу того, что скорость химических реакций в плазме велика (в соответствии с законом Аррениуса скорость химической реакции экспоненциально зависит от температуры). Для расчета использовались данные о термодинамических свойствах веществ, характерных для продуктов диссоциации метана, а именно водород, атомарный водород, атомарный углерод. В результате анализа и сравнения данных по термодинамическим свойствам, предложенных в [17] и [72], последние были выбраны как более точные при высоких температурах (рис 2.5). Основу расчета составляют фундаментальные законы термодинамики, совместно с законами сохранения массы, импульса, энергии и электрического заряда. Такая модель позволяет проводить для закрытых термодинамических систем достаточно полный анализ равновесных концентраций продуктов диссоциации метана. В основе принципа, используемого при определении параметров равновесного состояния, лежит второй закон термодинамики. Когда термодинамическая система замкнута и изолирована, т.е. обмена теплом, массой и работой с внешней средой не происходит, ее равновесие характеризуется максимумом энтропии относительно термодинамических степеней свободы (температуры, давления и концентраций компонентов). Остальные параметры (плотность, энтальпия, внутренняя энергия) могут быть однозначно определены из термодинамических связей. Формулировка условий на экстремум энтропии достигается использованием вариационного метода Лагранжа. С учетом ограничений на термодинамические степени свободы, которые обусловлены постоянством массы химических элементов системы и ее электронейтральностью в целом, удается получить систему N-2 алгебраических уравнений, характеризующих связи между N термодинамическими параметрами. Фиксируя два параметра, например давление и температуру, можно определить равновесный состав смеси. Графики для равновесного состава ( р = \атм, Т = 300 ч- 25000К ), полученные по расчетам с использованием программы АСТРА [73],[74], разработанной в МГТУ им. Н.Э. Баумана, приведены на рис 2.6.
Пространственная дискретизация по методу контрольного объема
Здесь FJh - коэффициент, соответствующий конвективному переносу, интерполированный на nb-грани в j-ом направлении. D(f - k-ая компонента коэффициента диффузии в j-ом направлении, тоже интерполированная на грани-nb. Множители Alj - представляют собой площади грани в проекциях на плоскость, перпендикулярную 1-му направлению (для ортогональных сеток А при / j равно нулю, a Aj дает площадь грани, перпендикулярной к j -ой координатной оси). Если интерполяция согласована1 на гранях контрольных объемов, то поток, покидающий одну из ячеек, попадает в ячейку, прилегающую к ней. Таким образом, отдельные потоки через грани контрольных объемов при суммировании по всем ячейкам взаимно уничтожаются, и уравнение сохранения остается справедливым во всей расчетной области. Такая форма записи уравнений, когда каждый поток согласованно рассматривается на гранях контрольных объемов, является консервативной, что делает её более точной при расчетах на ЭВМ. Для уравнения неразрывности (3.1) дискретный аналог записывается следующим образом
Путем домножения (3.10) на Ф,. и вычитания из (3.8), где производная в диффузионном члене на грани контрольного объема аппроксимируется центральной разностью, получается следующее уравнение:
Далее будем использовать прямоугольные сетки, так как геометрия исследуемых областей позволяет строить сетки этого типа. Верхние индексы у коэффициентов FJh, ВЦ будем опускать. Ниже показывается, что в случае, когда при аппроксимации конвективных членов используются схемы повышенного порядка, дискретный аналог транспортного уравнения в двумерном случае на ортогональной сетке может быть записан как где 5с - вклад от дополнительных слагаемых схемы повышенного порядка. Собирая коэффициенты при значениях переменной Ф в соседних точках, получим где a lh = Cnh + Dilh. Здесь а и a h - коэффициенты влияния, Ь]1! - источниковый член. Индекс р относится к центральной ячейке сетки. Индекс nb обозначает соседние ячейки. Такое алгебраическое уравнение нелинейно вследствие нелинейности источниковых и конвективных членов в исходном дифференциальном уравнении. Решение уравнения находится итерационно. Причем на каждой итерации решается линеаризованное уравнение, в котором значения коэффициентов влияния взяты с предыдущей итерации.
При выполнении линеаризации источникового члена относительно переменной Ф его можно записать как S,t, = S"t +5ф+Ф,,. Необходимо обеспечивать чтобы S"it } , 0, так как иначе процесс численного решения может оказаться неустойчивым.
Диффузионные члены в уравнениях Навье-Стокса аппроксимируются центрально-разностным оператором второго порядка точности по пространственным координатам. В сочетании с тем, что расчет ведется с применением неявной схемы, алгоритм решения отдельного уравнения типа транспортного оказывается абсолютно устойчивым. Однако использование центрально-разностной схемы при аппроксимации конвективных членов может легко приводить к осцилляциям и расходимости численного метода. Для иллюстрации такого поведения рассмотрим разностный аналог стационарного линейного уравнения Бюргерса полученный с использованием центрально-разностной схемы, который имеет вид: где Ре = ah/(3 - сеточное число Пекле. Значения коэффициентов при piti и м становятся отрицательными при \Ре\ 2. Таким образом, при возрастании # 1+или р(_, значение для cpi должно уменьшаться, что не имеет адекватной физической интерпретации и приводит к локальной немонотонности профиля ср. Анализ дисперсионных свойств первого дифференциального приближения [29] (3.16) показывает, что эта схема при \Ре\ 2 может приводить к осцилляциям в решении и не является монотонной. Простые схемы, построенные на 3-х точечном шаблоне и обладающие монотонными свойствами, такие как «противопоточная» или «степенная схема» [9], имеют первый порядок аппроксимации и характеризуются наличием так называемой «схемной вязкости», что приводит к «размазыванию» профилей газодинамических переменных в областях больших градиентов. Возникновение «схемной вязкости» может быть проиллюстрировано на основе первого дифференциального приближения для схемы с разностями против потока (3.17). При а 0 использование схемы с разностями против потока дает следующий вид разностного уравнения
Используя разложения в ряд Тейлора в окрестности точки pt и собирая члены при производных, получаем первое дифференциальное приближение Таким образом, при Ре 2 дополнительный вклад, вносимый численным методом, превышает вклад вязкого члена в исходном дифференциальном уравнении. В отношении уравнений Навье-Стокса указанное обстоятельство приводит к возникновению значительных вычислительных погрешностей в пристеночных областях и зонах рециркуляции. Рассмотрим схемы, обладающие повышенным порядком аппроксимации и сохраняющие диссипативные свойства, общий способ записи которых на равномерной сетке дает Выбор может быть остановлен на схеме с «разностями против потока второго порядка» (/с =-1) или QUICK-схеме (к = 0.5), имеющий третий порядок аппроксимации. К сожалению, как показано для однородных разностных схем С.К. Годуновым [15], среди схем с более высоким, чем первый порядок точности, монотонных схем не существует. Иначе говоря, все схемы класса (3.20) оказываются немонотонными. Анализируя монотонные свойства для схемы QUICK на основе модельного уравнения Бюргерса (3.15), можно получить критическое значение числа Пекле равное 8/3, начиная с которого в решении могут появиться осцилляции. Одним из способов монотонизации для схемы QUICK явлжтся введение функций ограничителей [124,125], позволяющих путем включения дополнительных слагаемых в разностную схему, обеспечить эффект «искусственной» вязкости, но только в тех областях, где QUICK-схема может давать осцилляции. Введение функций ограничителей (г) , зависящих от локального профиля зависимой переменной в (3.20), дает На графике можно выделить 3 интервала: 1. Отношение градиентов отрицательно (локальный минимум/максимум). В этом случае добавочные члены обращаются в ноль и схема аналогична противопоточной 1-го порядка; 2. Отношение градиентов дает число между нулем и единицей, что соответствует локальному росту градиентов (профиль зависимой переменной заостряется). В этом случае функция-ограничитель линейна, и основной вклад дается вторым членом в (3.21), что соответствует схеме с разностями против потока 2-го порядка; 3. Отношение градиентов больше единицы, соответствует локальному уменьшению градиентов (профиль зависимой переменной сглаживается). В этом случае основной вклад дается первым членом в (3.21), что соответствует схеме с центральными разностями. Таким образом, можно утверждать, что схема (3.21) является монотонной со вторым порядком аппроксимации везде за исключением областей локального экстремума, где ее порядок первый. Схема (3.21) является нелинейной. Даже при решении линейного уравнения для достижения сходимости необходимы итерации. Причем выбор функции-ограничителя влияет на сходимость. Так UMIST и MINMOD сходятся быстрее, чем SUPERBEE, хотя последний наиболее адекватно описывает решения в областях с сильными градиентами.
Можно показать, что MINMOD и SUPERBEE-ограничители отличаются соответственно наибольшей и наименьшей диффузионной добавкой в исходные уравнения из всех симметричных функций ограничителей, зависящих от одного параметра. В то время как UMIST или другие [82] занимают в этом отношении промежуточное положение. В отношении реализации вышеописанных схем следует заметить, что в целях сохранения критерия диагонального преобладания и компактности шаблона разностной схемы, неявная ее часть записывается как противоточная первого порядка, а все дополнительные члены учитываются как корректирующие поправки в правой части. Хотя такой способ записи влечет за собой то, что схемы дают повышенный порядок только для стационарных задач и требует итераций даже при использовании однородных схем, условие диагонального преобладания позволяет использовать эффективные итерационные методы решения систем линейных уравнений. Кроме того, такая запись дает возможность применять компактный шаблон разностной схемы, снижая требования к оперативной памяти. Записывая дискретный аналог транспортного уравнения (3.4), построенный в соответствии со схемой (3.21), в двумерном случае получим выражение (3.12) со следующими значениями коэффициентов
Расчет прикатодного слоя для дуги атмосферного давления на графитовом катоде
Для исследования характеристик прикатодных явлений на графитовом катоде и получения упрощающих соотношений были проведены расчеты для плазмы аргона атмосферного давления с использованием уравнений (4.10) - (4.16). Для расчета использовалась следующая последовательность шагов:
По заданным электронной температуре и температуре поверхности катода с использованием уравнения Саха (2.10) определялась числовая концентрация электронов на границе с плазмой пк,,.
Вычислялся параметр а , а затем по формулам (4.12) и (4.11) находилась концентрация заряженных частиц на границе со слоем пространственного заряда и ионная компонента электрического тока. По формуле (4.13) рассчитывалось падение потенциала в слое ионизации.
Уравнение теплового баланса в ионизационном слое (4.14) решалось численно для нахождения падения потенциала в слое пространственно заряда Uк.
С использованием найденного значения Uк плотность эмиссионного тока и тока обратных электронов вычислялись по формулам (4.16) и (4.10). Тепловой поток в катод рассчитывался по формуле (4.19).
Выражение для коэффициента ионизации кі для аргона в соответствии с [19] давалось формулой
Для сечения передачи импульса в упругих соударениях Щ,1 " были взяты данные Девото [113], аппроксимированные зависимостью Qia =2.45-10" Т" м". Для эффективной постоянной Ричардсона и работы выхода графита были взяты данные [11] А1( = 30-10 А/м2К2 , рк =4.34 В.
Была проведена серия расчетов для температуры поверхности катода Тк = 3000К, 3500К и 4000К, температура электронов варьировалась в пределах 10000 ч-ЗООООК. Рис. 4.11 демонстрирует зависимости электрических характеристик прикатодной области от электронной температуры плазмы. Падение потенциала в слое ионизации во всем исследуемом диапазоне составляет порядка 5В и меняется незначительно. Величина падения потенциала в слое пространственного заряда существенно снижается с ростом температуры поверхности катода. Это поясняется следующим: ионная компонента тока слабо зависит от температуры поверхности катода, а эмиссионный ток (4.16) от нее зависит квадратично. Тогда, исходя из упрощенной записи баланса энергии в зоне ионизации je„Uk = jJJ, [4], увеличение эмиссионного тока должно приводить к пропорциональному уменьшению прикатодного падения потенциала. Однако, при характерных для катодного пятна температуры поверхности Тк =4000 К и температуры электронов Г., 20000К Uk составляет порядка двадцати вольт, что удовлетворительно согласуется с результатами исследований [4].
Величина поправки Шоттки д(рк существенна и составляет порядка 0.5В при характерных для дуговых разрядов температур. пространственного заряда и понижение работы выхода материала катода. (1- Тк = 3000 К ,
Баланс токов в прикатодной области демонстрируют рис. 4.12.-4.14. С повышением температуры поверхности катода вклады отдельных составляющих тока в общий баланс существенно меняются. Так, при температуре Тк = 3000 А" основной вклад дается ионным током, за исключением области малых электронных температур, где существенны эмиссионный и обратный электронный токи. Картина меняется при температуре Тк =3500А", при которой ионная компонента и эмиссионная составляющая тока имеют примерно одинаковый порядок, а ток обратных электронов плазмы существенен только в области Г, 15000А:. При Тк = 4000 основной вклад дается эмиссионным и обратным электронным током; доля ионного тока незначительна во всем диапазоне электронных температур; полная плотность тока меньше тока эмиссии.
Тепловой поток в катод (4.19) (см. рис. 4.15) существенно снижается с уменьшением температуры поверхности катода при фиксированной электронной температуре.
Таким образом, расчеты по балансовой модели катодного слоя для аргоновой дуги на графитовом катоде свидетельствуют о важности рассмотрения всех компонент электрического тока при расчетах прикатодных процессов. Кроме того, как показали расчеты, падение потенциала в прикатодном слое весьма существенно, что делает необходимым рассмотрение слоя пространственного заряда при расчетах по замкнутой модели «дуга - приэлектродный слой - катод».
