Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Введение
1. Современное состояние проблемы управляемого термоядерного синтеза (УТС) 4
2. Краткое содержание диссертации, ее структура, актуальность темы и научная новизна 15
3. Основные результаты диссертации 18
ГЛАВА 2. Математическое моделирование МГД равновесия плазмы
1. Уравнения МГД равновесия 19
2. Уравнение Грэда-Шафранова и связанные с ним задачи 21
3. Усредненные двумерные уравнения МГД равновесия и связанные с ними задачи 29
4. Эволюция равновесия 32
5. Математические свойства задач МГД равновесия (обзор) 34
6. Математические свойства задач МГД равновесия (результаты автора) 38
7. Численные алгоритмы решения задачи МГД равновесия плазмы в токамаке (обзор) 48
8. Код TOKAMEQ для численного решения задачи МГД равновесия плазмы в токамаке 54
9. Код STELLEQ для численного решения задачи МГД равновесия плазмы в стеллараторе 69
Глава 3. Метод базовых координат
1. Введение 75
2. Концепция базовых координат. Принцип двойственности 77
3. Примеры систем двумерных базовых координат 81
4. Анализ формальных схем интегрирования 89
5. Вариационные формулировки двумерных задач МГД равновесия 93
6. Отображение двумерных базовых координат на область сечения плазменного шнура 98
7. Запись функционала при помощи базовых координат и численный метод его минимизации 106
8. Результаты расчетов в двумерном случае 111
9. Моделирование винтового равновесия с магнитными островами 117
ГЛАВА 4. Математическое моделирование вертикальной неустойчивости плазмы
1. Проблема вертикальной неустойчивости плазмы втокамаке 126
2. Вывод МГД уравнений идеальной несжимаемой жидкости 129
3. Постановка задачи о вертикальной неустойчивости плазмы в рамках линейной МГД модели идеальной несжимаемой жидкости 133
4. Модель «твердого сдвига» 140
5. Анализ «быстрых» смещений 145
6. Анализ «переходной» неустойчивости 147
7. Анализ «медленной» неустойчивости 149
8. Модель активной обратной связи 151
6. Численное решение уравнений модели «твердого сдвига», описание кода TOKSTAB 153
ГЛАВА 5. Прикладные результаты, полученные при помощи разработанных кодов
1. Краткое описание выполненных работ 157
2. Экспертиза проекта токамака Т-15М 158
3. Участие в проектировании токамак CTF (Великобритания) 175
5. Детализация сценария разряда в токамаке КТМ (Казахстан) 193
6. Участие в проектировании установки токамак ТИН-СТ (Россия) 212
Заключение 217
Список литературы
- Краткое содержание диссертации, ее структура, актуальность темы и научная новизна
- Усредненные двумерные уравнения МГД равновесия и связанные с ними задачи
- Примеры систем двумерных базовых координат
- Постановка задачи о вертикальной неустойчивости плазмы в рамках линейной МГД модели идеальной несжимаемой жидкости
Введение к работе
Аннотация. Диссертация посвящена математическому моделированию процессов магнитного удержания плазмы в ловушках типа токамак и стелларатор – установках, на которых предполагается осуществить управляемый термоядерный синтез (УТС). Моделирование понимается в широком смысле: рассматриваются математические свойства моделей МГД равновесия и устойчивости плазмы, разработка на основе данных моделей численных кодов, стандартизация кодов и решение с их помощью прикладных задач, связанных с интерпретацией экспериментов и проектированием установок нового поколения. Автором доказан ряд теорем о свойствах моделей МГД равновесия и МГД устойчивости плазмы [6А, 32A], а также придуман метод, позволяющий с помощью потоковых координат рассчитывать МГД равновесия с магнитными островами, [8A, 13A, 14A]. Разработаны численные коды для расчета МГД равновесия и устойчивости плазмы [7A, 24A, 27A, 29A], которые доведены до уровня стандартных программ и выложены в открытый доступ [33A]. Выполнен ряд прикладных работ, касающихся установок T-15M [15А-20А,22A], ТИН-СТ [31A], (Россия), CTF [26A], (Великобритания), КТМ [28A, 30A] (Казахстан).
Все результаты диссертации опубликованы в изданиях, входящих в список ВАК [1А-33А], а также докладывались на международных конференциях [34А-50А].
Актуальность темы диссертации подтверждается тем, что ее результаты востребованы. Прикладные работы посвящены проектированию установок токамак и стелларатор, сопровождению экспериментов на уже действующих установках [1А-5А, 7А, 9А-12А, 15А-20А, 22А, 26А, 28А, 30А-31А], всего на семи токамаках и двух стеллараторах. либо разработке и стандартизации численных кодов, предназначенных для решения тех же задач [7А, 21A, 24A, 27A, 29A, 33A]. В теоретических работах доказываются теоремы о свойствах математических моделей тех же процессов, что исследуются автором численно [6A, 32A], а также разрабатывается новые методы, позволяющие в перспективе расширить возможности численных кодов [8A, 13A, 14A].
Новизна результатов. Представленные в диссертации теоремы о свойствах моделей равновесия и вертикальной неустойчивости плазмы [6A, 32A], а также метод расчета равновесия плазмы с магнитными островами с помощью потоковых переменных [8A, 13A, 14A], являются оригинальными и новыми. Стандартные численные коды, представленные в диссертации [7A, 24A, 27A, 29A], хотя и имеют аналоги, но, благодаря лежащим в их основе оригинальным вариантам постановок задач, обладают рядом особенностей, позволяющих эффективно оптимизировать магнитные ловушки. Проекты нейтронных источников CTF [26A] и ТИН-СТ [31A], в разработке которых участвовал автор, выполнены впервые. Наконец, библиотека «Виртуальный Токамак» [24A, 27A, 29A, 33A], объединившая не только коды автора, но и коды ведущих российских специалистов, в нашей стране уникальна.
Уровень результатов, соответствующий мировому, подтверждается участием автора диссертации в нескольких зарубежных и национальных проектах [15A-20A, 22A, 26А, 28A, 30A, 31A], а также высоким уровнем цитирования работ, на которые опирается диссертация. Например, работа [26A] имеет на момент написания диссертации, согласно данным сайта webofknowledge.com, индекс цитирования, равный 35.
Теоретическая значимость диссертации. Доказанные автором теоремы о свойствах решения задач МГД равновесия [6A], несомненно, способствуют более глубокому пониманию свойств моделей равновесия. Аналогично можно высказаться и относительно теорем о свойствах модели вертикальной неустойчивости плазмы [32A]. Что касается метода базовых координат [8A, 13A, 14A], то, помимо разработанного численного метода, важна сама идея применения координат с меняющейся топологией линий уровня.
Практическая значимость диссертации. Численные коды [7A, 24A, 27A, 29A], разработанные автором, имеют большое практическое значение. Они внедрены в РНЦ «Курчатовский Институт», ИОФ РАН (Россия), НЯЦ РК (Казахстан), применялись в разработках Национального Ядерного Центра Великобритании UKAEA.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения (глава 1), четырех предметных глав (главы 2-5), заключения и списка литературы.
Основные результаты диссертации. Научные результаты, полученные в диссертации, четко делятся на теоретические и прикладные. В диссертации впервые получены следующие основные теоретические результаты:
-
Исследованы математические свойства задач МГД равновесия в токамаке и стеллараторе, доказан ряд теорем относительно существования и единственности решения задач равновесия, а также в возможных типах структур магнитных поверхностей. Разработаны численные коды для расчета МГД равновесия в установках Токамак и Стелларатор, обладающие рядом уникальных свойств, полученных благодаря оригинальным вариантам постановок задач равновесия, лежащим в основе данных кодов [6A, 7A, 24A, 27A].
-
Для расчета МГД равновесных состояний с магнитными островами разработан метод, основанный на применении неоднозначных потоковых координат с меняющейся топологией поверхностей уровня (базовых координат) [8A, 13A, 14A].
-
Доказан ряд теорем о математических свойствах модели развития и подавления вертикальной неустойчивости плазмы в токамаке, включая анализ модели нелинейной обратной связи [32A].
Помимо теоретических результатов, с помощью разработанных автором кодов решены также важные прикладные задачи:
-
Коды, разработанные автором для расчета МГД равновесия и вертикальной неустойчивости плазмы, доведены до уровня стандартных программ и выложены в открытом доступе [24A, 27A, 29A, 33A].
-
Рассчитаны МГД равновесные состояния плазмы в нескольких установках стелларатор, в том числе в российском Л-2 [7A, 9A-12A].
-
Проведена экспертиза проекта токамака Т-15М, Россия [15A-20А, 22А].
-
Проведена оптимизация системы катушек магнитного поля для проекта крупной установки CTF, Великобритания – источника термоядерных нейтронов [26A].
-
Проведен анализ дивертора в российском проекте термоядерного источника нейтронов – токамаке ТИН-СТ [31A].
-
Проведены уточняющие расчеты базового сценария разряда на токамаке КТМ, Казахстан, который в настоящее время построен и вводится в эксплуатацию [28A, 30A].
Все результаты диссертации опубликованы в изданиях, входящих в Перечень ВАК (33 печатные работы), а также докладывались на 17 международных конференциях.
Краткое содержание диссертации, ее структура, актуальность темы и научная новизна
1. Краткое описание работы. Диссертация посвящена математическому моделированию процессов магнитного удержания плазмы в ловушках типа токамак и стелларатор. Математическое моделирование понимается в широком смысле: именно, рассматриваются математические аспекты задач МГД равновесия плазмы, вопросы численного моделирования МГД равновесия и МГД неустойчивости плазмы, а также ее «медленной» неустойчивости, возникающей из-за затухания токов Фуко в пассивных витках, вопросы, связанные с контролем положения плазмы в режиме реального времени. Существенное внимание уделяется разработке на основе уже созданных кодов библиотеки программ, а также применению к моделированию процессов как в проектируемых, так и в уже работающих установках.
Основные результаты диссертации опубликованы в изданиях, входящих в список ВАК [1А-ЗЗА], а также докладывались в разные годы на международных конференциях [34А-50А]. Актуальность темы диссертации подтверждается тем, что ее результаты востребованы. Значительная часть работ посвящена либо проектированию установок токамак и стелларатор, либо сопровождению экспериментов на действующих установках [1А-4А, 5А, 7А, 9А-12А, 15А-20А, 22А, 26А,28А, 30А, 31 А], общим числом на семи токамаках и двух стеллараторах. Новизна результатов и их уровень, соответствующий мировому, подтверждается также участием автора диссертации в нескольких международных и зарубежных национальных проектах [2А, 26А, 28А, ЗОА, 34А-35А, 43А-46А], в национальных проектах [15А-20А, 22А, 31 А], а также высоким уровнем цитирования работ, на которые опирается диссертация. Так, например, работа [26А] имеет на момент написания диссертации, согласно данным сайта vvebofknowledge.com, индекс цитирования, равный 35.
2. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения (глава 1), четырех предметных глав (главы 2-5), заключения и списка литературы. Первая глава является введением. В 1 описано современное состояние работ по проблеме управляемого термоядерного синтеза. В 2 приводится структура диссертации, аргументируется ее актуальность и научная новизна. В 3 приводится список выносимых на защиту результатов.
Во второй главе в 1-5 приведен обзор современного состояния проблемы МГД равновесия плазмы [23А, 25А], рассматриваются различные математические модели МГД равновесия и известные из литературы их свойства. В 6 приводится ряд доказанных автором теорем [6А], также о математических свойствах моделей равновесия. В 7 приводится обзор известных численных методов решения задач равновесия. В 8 и 9 описываются разработанные автором код TOKAMEQ для расчета МГД равновесия плазменного шнура в токамаке [24А, 27А] и код STELLEQ для расчета равновесия в стеллараторе [7А, 9А-12А].
В третьей главе приведена разработанная автором диссертации теория координат с изменяющейся топологией поверхностей уровня (базовых координат) и описывается их применение к расчету МГД равновесия с магнитными островами [8АДЗА-14А]. В 1 излагается суть проблемы. В 2 излагается концепция базовых координат как совокупности двух взаимно связанных координатных систем: однозначной эйлеровой и, вообще говоря, неоднозначной потоковой. Возможность выбора в любой момент вычислений системы координат, наиболее соответствующей текущему моменту (принцип двойственности), составляет одну из главных идей метода. В 3 приводятся примеры систем двумерных базовых координат. В 4 приводится анализ схем интегрирования и доказывается сходимость несобственных интегралов, возникающих при работе с обращенными переменными. В 5 приводятся вариационные формулировки решаемых двумерных задач МГД равновесия. Метод построения отображения базовых координат на область плазменного шнура описывается в 6. Численный метод решения двумерных задач МГД равновесия при помощи базовых координат приводится в 7, результаты вычислений в двумерном случае обсуждаются в 8. Наконец, в 9 проводится обобщение метода базовых координат на случай трех измерений и приводятся примеры расчетов структур с винтовой симметрией.
Четвертая глава диссертации посвящена моделированию процессов развития вертикальной неустойчивости плазмы, способов ее подавления, а также задаче о контроле границы плазмы. В 1 приводится постановка проблемы. В 2 приводятся система МГД уравнений идеально проводящей несжимаемой жидкости. Математические постановки задач, основанные на данной модели, обсуждаются в 3. В 4-8 рассматривается математические свойства модели «твердого сдвига», основанной на анализе смещения плазменного шнура, как целого. Рассматриваются модели как «быстрой», так и «медленной» неустойчивости, развивающейся с характерным временем затухания токов Фуко в пассивных стабилизирующих витках. Доказывается ряд теорем о свойствах таких моделей, в том числе и при наличии активной обратной связи (АОС), как линейной, так и нелинейной [31 А]. В 9 описан разработанный автором стандартный численный код TOKSTAB для расчета вертикальной неустойчивости плазменного шнура [29А].
Пятая глава посвящается выполненным автором диссертации прикладным работам. В 1 кратко перечисляются выполненные прикладные результаты, общим числом по семи установкам Токамак и двум установкам Стелларатор. В 2-5 приводится описание четырех выполненных, последних в хронологическом порядке, циклов прикладных работ: в 2 - экспертиза проекта токамак Т-15М, Россия [15А-20А, 22А]; 3 - оптимизация системы катушек магнитного поля в токамаке CTF, Великобритания [26А]; в 4 - детализация сценария разряда в токамаке КТМ, Казахстан [2 8А, ЗОА]; в 5 - проработка конструкции дивертора в российском проекте термоядерного источника нейтронов ТИН-СТ [31 А].
В заключение еще раз приводятся выносимые на защиту научные результаты. Список литературы делится автором на 2 раздела: авторские работы и цитируемые. Авторские работы состоят из основного и дополнительного списка.
Основной список авторских публикаций [1А-ЗЗА] - работы, опубликованные в изданиях, входящих в перечень ВАК (этот список полностью закрывает все разделы диссертации). Дополнительный список состоит из работ [34А-50А] (доклады на международных конференциях).
Список цитируемой литературы состоит из работ [1С-169С]. Актуальность темы диссертации. Актуальность темы подтверждается, прежде всего, тем, что ее результаты востребованы. Работами [26А] и [31 А] обозначено участие автора в международных коллективах, занимающихся проектированием установок CTF и ТИН - токамаках, на которых будут отрабатываться технологии будущих ядерных реакторов, а также в российском коллективе, проектировавшем токамак Т-15М, который планируется как установка поддержки ITER [15А-20А, 22А]. Автор в своих ранних работах внес вклад в изучение способов подавления вертикальной неустойчивости плазмы в таких установках, как ITER (ИНТОР) [2А], [34А-35А], а также впервые успешно сопоставил результаты физического и численного экспериментов по исследованию вертикальной неустойчивости плазмы [1А]. Общий список прикладных работ, выполненных с помощью созданных автором кодов, состоит из публикаций [1А-5А, 7А, 9А-12АД5А -20А, 22А, 26А,28А,30А,31А], всего по семи токамакам и двум стеллараторам.
Усредненные двумерные уравнения МГД равновесия и связанные с ними задачи
Постановка обратной задачи МГД равновесия. Уравнения (2.15) с одним из условий (2.16) соответствуют прямой задаче, то есть задаче, в которой при заданных внешних токах рассчитываются характеристики плазмы, в том числе положение плазменного шнура и форма его сечения. В то же время на практике положение плазменного шнура ограничено вакуумной камерой, из физических соображений возникают также дополнительные требования на форму сечения шнура. Поэтому, помимо прямой задачи, возникает еще и обратная задача: требуется найти величины внешних токов (иногда еще и их положение), формирующих МГД равновесие с наперед заданной формой плазменного шнура.
Прямые и обратные задачи МГД равновесия достаточно хорошо известны (например, [70С], а также обзор [23А]). Отметим, что обратная задача обычно является некорректной, что влечет за собой необходимость применения при ее решения метода регуляризации в том или ином виде.
Постановка квазиобратной задачи МГД равновесия. Помимо постановок прямой и обратной задач, есть еще один вариант постановки, придуманный автором диссертации и лежащий в основе численного метода кода TOKAMEQ [24А, 27А]. Поясним его суть. Будем исходить из того, что в большинстве случаев требование абсолютного равенства границы сечения шнура заданному заранее контуру является излишним. На практике возникают более «мягкие» ограничения. Прежде всего, требуется, чтобы плазменный шнур не касался стенок камеры, далее, требуется, чтобы его граница либо проходила через диафрагму, либо совпадала с сепаратрисой, затем возникают требования, чтобы геометрическое положение его центра, аспектное отношение и эллиптичность (иногда еще и треугольность) сечения лежали в заданных пределах. Для систем с дивертором требуется, чтобы сепаратриса проходила специальным образом, так чтобы она не касалась стенок камеры, и при этом еще упиралась в специальные, так называемые диверторные пластины (в противном случае поток частиц из плазмы будет осаждаться на камере). Рассмотрим последовательность геометрических характеристик сечения шнура (следуют в порядке от грубых характеристик к более тонким): координаты геометрического центра шнура, диаметр его сечения, эллиптичность, треугольность, положение сепаратрисы, и т.д., выберем те из них, которые на данный момент являются важнейшими (на взгляд физика, моделирующего сценарий разряда), и зафиксируем их значения. Величины внешних токов, текущих по тем из проводников, которые управляют зафиксированными параметрами, будем считать неизвестными, а величины остальных токов будем считать заданными. В результате получаем постановку квазиобратной задачи (полу обратной), которая сочетает в себе элементы прямой и обратной постановок. При физически грамотном выборе управляющих проводников квазиобратная задача оказывается корректной. Другими достоинствами постановки квазиобратной задачи являются ее чрезвычайная гибкость и возможность эффективной адаптации к практическим расчетам. Разумеется, что квазиобратная постановка задачи МГД равновесия включает в себя, как частный случай, и постановку прямой задачи. Итак, мы опять имеем дело с задачей (2.15), с той только разницей, что в ее постановке часть величин внешних токов неизвестна, но зафиксированы некоторые геометрические характеристики сечения шнура! Например, неизвестны величины внешних токов, управляющих горизонтальным смещением плазменного шнура, но зато зафиксировано значение R0 координаты центра сечения плазмы.
Численный код TOKAMEQ, разработанный автором [24А, 27А], основан на постановке квазиобратной задачи МГД равновесия. Метод ее решения, составляющий know how кода TOKAMEQ [24А, 27А], будет подробно рассматриваться в данной главе, ниже. О возможностях квазиобратного метода можно судить по прикладным работам, выполненным с его помощью автором диссертации (описание работ и ссылки на первоисточники приведены в главе 5). Здесь же в качестве примера мы лишь приведем изображенную на рис. 2.4 картину линий уровня у/ = const, соответствующих стационарному состоянию разряда в установке токамак CTF [26А]. При расчетах фиксировалось положение по горизонтали крайней левой точки сечения шнура, Rmin = 30cm, эллиптичность сечения, =2.45, и профиль тока, полностью соответствующий транспортным расчетам (см. описание версии 21.13 кода TOKAMEQ в главе 2). С целью обеспечения максимальной устойчивости плазмы по отношению к вертикальным смещениям искался максимум треугольности сечения шнура (получилось 8 «0.35 -0.40), прочие параметры разряда, и величины внешних токов удовлетворяли системе инженерно-физических ограничений, как типа равенств, так и типа неравенств (подробнее в главе 5).
Железный сердечник не обладает аксиальной симметрией, и задача о равновесии в этом случае трехмерна. Однако относительно большое расстояние от железа до плазмы и малая величина магнитного поля в вакууме по сравнению с магнитным полем в железе позволяют построить вполне разумную двумерную усредненную модель. Впервые такие модели были построены в работах [34С, 36С-37С], можно также прочитать о них в монографии [4С] и в обзорных работах [23А, 25А]. Автор диссертации, хотя и не принимал участие в разработке усредненных моделей равновесия в системах с железным сердечником, тем не менее, исследовал вертикальную устойчивость подобных конфигураций [4А].
Примеры систем двумерных базовых координат
Из формулы (3.61) следует, что всякий экстремум функционала (3.60) является решением краевой задачи для уравнения Грэда-Шафранова (3.59). Проведем анализ выражения для д2Ь. Если F r, if/) 0, то из (3.61) следует, что S2L 0. Заметим попутно, что с точки зрения физики условие /ф(г, ф) 0 соответствует весьма специальному случаю скинированного тока. Обсудим теперь случай / (гат//) 0.
Итак, для случая токамака с «плоским» распределением плотности тока S2L 0, что показывает наличие минимума L(ip).
Токамак с «пикированным» профилем тока. В случае «пикированного» распределения плотности тока (например, при квадратичной зависимости плотности тока f от потока Ц/ ) функция f[r, ЦІ)удовлетворяет условиям:
В этом случае решение задачи (3.59) является всего лишь экстремалью функционала (3.60). Последнее обстоятельство тесно связано с тем фактом, что метод последовательных приближений Пикара у/п+х\даР = о, применяемый к решению задачи (3.59), расходится [25С,32С]. Чтобы понять, как поставить вариационную задачу в этом случае, и как затем ее решать, рассмотрим сначала не вариационный подход к решению задачи (3.59) при условии (3.64). Существует хорошо известный способ преодоления трудности, вызванной наличием условия (3.64) [25С]. Вместо задачи (3.59) следует решать задачу о равновесии плазменного шнура с фиксированным
Подход, предложенный в работе [25С], подсказывает нам не только постановку вариационной задачи при условии (3.64), но и метод ее решения. Поставим в соответствие задаче (3.65)-(3.66) задачу на условный экстремум (3.60), (3.66), и опишем процедуру его поиска. Поскольку итерационный процесс (3.67), как уже говорилось, сходится, то будет также и сходиться последовательность функций l//n(r,z), реализующая на каждой п-й итерации минимум функционала:
Усредненная двумерная модель стелларатора. В рамках двумерных усредненных уравнений [12С] задача о равновесии плазмы в стеллараторе также сводится к квазилинейному эллиптическому уравнению для усредненного магнитного потока
В упрощенном варианте постановки задачи (3.70), когдаА = const, функционал L строится аналогично функционалу (3.60). Более нетривиальным является случай, когда полный ток, текущий через сечение каждой магнитной поверхности, равен нулю, и тогда
Рассмотрим, как поставить вариационную задачу, соответствующую краевой задаче (3.70)-(3.71) и как ее решать с помощью итераций. Для решения задачи (3.70)-(3.71) итерационная процедура (3.68)-(3.69) неприменима, поскольку полный ток в плазме У0 = 0. Если же попытаться решить данную задачу методом Пикара, то в ряде случаев итерации будут расходиться. В работах [5 А, 13А] нами был предложен метод перенормировки с весовой функцией k(r,z) 0 (см. также формулу (2.100)) где п - фиксированная константа, пропорциональная давлению в плазме (при г\ - 0 имеем систему вакуумных поверхностей). Для решения задачи (3.70)-(3.72) строилась итерационная процедура A n+]=j p(r,Vn) + g(r,z)/r = A" f( n) + g(r,z)/r; аналогичная процедуре (3.69), с той разницей, что Л и R (і//)определялись с помощью формул (3.71) и (3.72). Проведенные в работе [5А] расчеты показали, что при удачном выборе функции k(r,z) класс функций f(y/), для которого сходится данная процедура существенно шире, чем для метода последовательных приближений Пикара.
Следуя тем же соображениям, как в случае токамака с «пикированным» профилем тока, поставим задачу на поиск экстремума L при условиях (3.71),(3.72). Данная задача решается с помощью итерационной процедуры (3.67), с функцией р" , определенной следующим образом:
1. Принцип построения отображения. В данном параграфе будет описан способ построения отображения базовой области Qb на область сечения плазменного шнура Q.p. При этом нами используются вспомогательные квазиполярные эйлеровы координаты (к,в), применение которых позволяет представить отображение Ф в виде ряда Фурье и в дальнейшем проводить минимизацию функционала L по коэффициентам данного ряда. Мы сначала рассмотрим частный случай, когда Ц, представляет собой единичный круг, а затем опишем применение данных координат в общем виде. 2. Случай круглого сечения плазменного шнура. Пусть Ц, представляет собой единичный круг на плоскости (r,z) с центром в точке г = R0 1. Введем в единичном круге Q.p систему координат вида: = R0 +b(h) + hcos0, z = hsm&; -ж в ж, 0 h 1, b(l) = 0. (3.75) Линии уровня h-const представляют собой окружности радиуса h, функция b(h) описывает смещение их центра. Условие b(l) - 0 означает, что линия уровня h =1 совпадет с границей Q.p. Координата в представляет собой аналог полярного угла. Структура координатных линий (h,0) показана на рис. 3.6. Условие взаимной однозначности перехода (3.75) принимает вид:
Условие (3.78) означает, что точка h = 0 является образом центра базовой области (то есть, если точка р=0 при каком-либо значении параметра т является эллиптической, то 6(0) имеет физический смысл смещения оси, если гиперболической, то Ь(0) имеет смысл смещения сепаратрисной точки и т.д.). Условие (3.79) соответствует принципу перехода границ. Далее, в рамках данной работы мы ограничимся расчетом симметричных по z равновесий; требования симметрии по z наложим также на преобразования Ф:
Разложим теперь функции h„(p), 0„{р) по степеням р. Для анализа коэффициентов при степенях/) в функциях hn (р), 6П(Р) приведем следующие рассуждения. Пусть имеется гладкая кривая /, проходящая через начало координат базовой области Qg. Преобразование Ф должно, очевидно, преобразовать данную кривую в кривую / , обладающую теми же свойствами гладкости. Это означает, что функции r(h(p, p),e(p, p)), z(h(p,(p),e(p,(p)) должны вдоль каждой гладкой кривой, проходящей через начало координат, иметь непрерывные производные любого порядка по натуральному параметру со кривой /. Поскольку полярный угол р точек кривой / при переходе через начало координат меняется на величину л, это приводит нас к соотношениям:
Постановка задачи о вертикальной неустойчивости плазмы в рамках линейной МГД модели идеальной несжимаемой жидкости
Просмотр и редактирование конфигурации системы проводников. В коде TOKSTAB имеется возможность редактирования системы проводников в графическом режиме. Графический редактор встроен в главное окно приложения и поддерживает следующие операции: - добавление в систему новых проводников, а также их удаление; - перемещение проводников методом drag-and-drop; - изменение параметров проводника в отдельной графической форме.
Расчёт устойчивости. После выбора равновесия и стабилизирующей системы проводников проводится расчёт устойчивости плазмы. Для этого следует выбрать пункт меню «расчёт» — «инкремент». Результатом рас чёта являются два главных комплексных собственных числа задачи (4.66), полученных в предположении идеальной и конечной проводимости витков стабилизирующей системы. Равенство нулю вещественной части первого собственного числа означает, что плазма устойчива по отношению к «бы стрым» МГД смещениям. Вещественная часть второго собственного числа при устойчивости плазмы в рамках модели идеальной проводимости соот ветствует инкременту развития «медленной» неустойчивости. Помимо ин крементов неустойчивости, выдается также характерное время её развития.
Аннотация. В данной главе излагаются результаты прикладных работ, выполненных в разные годы автором при помощи описанных выше кодов. В 1 приведен полный список прикладных работ, всего по семи установкам Токамак и двум установкам Стелларатор. В 2-5 дано подробное описание четырех последних в хронологическом порядке циклов работ, выполненных автором, по установкам Т-15М (Россия), CTF (Великобритания), КТМ (Казахстан), ТИН-СТ (Россия).
Если рассмотреть целиком весь список прикладных работ, выполненных автором диссертации в разные годы, то они касаются семи установок токамак: ITER (ИНТОР) [2А, 34А-35А], Т12-М [1А], ТІ 5 [4А], ТІ 5-М [15А-20А, 22А, 42А], CTF [26А, 43А-46А], КТМ [28А, ЗОА], ТИН-СТ [31 А, 50А], и двух установок Стелларатор: У-2 [7А] и Л-2 [9А-12А]. Подробное описание всех работ вряд ли возможно в рамках диссертации. Поэтому автор ограничился изложением четырех последних в хронологическом порядке циклов прикладных исследований. В этих работах отражены все основные аспекты математического моделирования, связанного с проблемой У ТС: проектирование установок, расчет основных сценариев разряда, сопоставление результатов физического и численного экспериментов и многое другое.
Работу над проектами установок осуществляет не один исследователь, и даже не одна организация, поэтому автором публикаций на эту тему является, как правило, весьма большой коллектив, каждый член которого играет свою строго определенную роль. Роль автора диссертации, в описанных ниже работах сводилась к моделированию процессов МГД равновесия (включая оптимизацию магнитной системы), исследованию вертикальной неустойчивости плазмы, и расчетов сценария разряда.
Проектирование установок Токамак, как и всякой сложной системы, является процессом весьма длительным. Достаточно привести пример проектирования установки ITER, продолжавшийся порядка двадцати лет. Кроме того, процесс проектирования, как правило, является итерационным. Каждая итерация обычно заканчивается публикацией очередной версии проекта и ее обсуждением.
Математический эксперимент, как известно, на несколько порядков дешевле натурного. Это обстоятельство позволяет привлекать к моделированию одних и тех же процессов авторов различных кодов, что, с одной стороны, резко увеличивает надежность математического моделирования, а, с другой стороны, дает богатый материал для методических сопоставлений результатов расчетов по разным программам. В данной главе достаточно подробно приводятся результаты подобных сопоставлений.
Опыт, приобретенный автором в ходе совместных работ по проектированию установок Токамак и расчетами в них сценариев разряда, убедил его в существовании уже, если можно так выразиться, давно перезревшей проблемы. Речь идет об объединении наиболее известных кодов, написанных разными авторами в свое время в СССР и позднее в России, в единую библиотеку. Существование такой библиотеки существенно облегчило бы процесс решения прикладных задач, и, (может быть, самое главное) позволило бы сохранить уникальные, создаваемые в течение многих лет коды, и тем самым сохранить школу советских и российских вычислителей, работающих в области физики плазмы и У ТС. Проект, общее руководство по работе над которым осуществляет автор диссертации, получил название «Библиотека программ Виртуальный Токамак» [33А]. В настоящее время уже имеющаяся рабочая версия библиотеки содержит, помимо оболочки, порядка десяти модулей [24А, 27А, 29А, 148С-151С], написанных в свое время ведущими российскими учеными и стандартизованных ими. Несмотря на то, развитие библиотеки продолжается, она насчитывает немало пользователей, в том числе и за рубежом.
Цель проекта и степень участия в нем автора диссертации. Для дальнейшего развития экспериментальных исследований, проводимых в России на установках токамак, в РНЦ «Курчатовский институт» группой ведущих российских ученых было предложено провести модернизацию установки Т-15. По замыслу авторов проекта, модернизированная установка должна использовать значительную часть существующей инфраструктуры, и, кроме того, обеспечить возможность работы с некруглой формой сечения плазменного шнура, с дивертором и с более мощной системой дополнительного нагрева плазмы. Это позволило бы значительно расширить круг исследований и более детально изучать вопросы, связанные с управлением плазменным шнуром и параметрами плазмы, развитием систем обратной связи, способов контроля уровня примесей в плазме и раізвитием и оптимизацией режимов работы токамака. Предполагалось, что эта установка позволит решать разнообразные задачи в поддержку проекта ИТЭР, в частности: позволит прорабатывать конструкцию и проводить испытания различных узлов ИТЭР и диагностического оборудования, исследовать различные режимы работы токамака, оптимизировать алгоритмы управления разрядом и подготавливать кадры для работы на токамаке ИТЭР.
В проекте предполагалось реализовать ИТЭР-подобную плазменную конфигурацию с сепаратрисой и полоидальным дивертором, что должно позволить детально моделировать разряды, подобны разрядам в ИТЭР. Также предполагалось исследование и сравнение различных схем дополнительно нагрева плазмы, использовать системы генерации не индукционного тока, а также провести отработку методов управление профилем тока.
В настоящее время проект модернизации Т-15 завершен и, по мере финансирования, ведется размещение заказов на части его конструкции.
Автор диссертации входил в число участников коллектива, проводивших экспертизу, как конструкции установки, так и базового сценария разряда. Непосредственно участие автора сводилось к проверке базовых сценариев базовых разряда и к анализу управляемости плазмы. В качестве инструментария применялись коды TOKAMEQ и TOKSTAB, которые к описываемому периоду уже имели все признаки стандартных кодов (документация, средства сервиса, средства ввода-вывода, графика) хотя и не были включены ни в какие библиотеки стандартных программ (работа над библиотекой «Виртуальный Токамак» началась несколькими годами позже).
Автору данной диссертации в ходе работы удалось показать ошибочность одного из вариантов сценария разряда и предложить его коррекцию. Кроме того, не без помощи расчетов автора, был проведен окончательный выбор системы пассивных стабилизирующих витков. Более подробно об этом будет рассказано ниже.
