Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Методы контроля рельефа поверхности 8
1.1 Поверхностная профилометрия 8
1.2 Сканирующая зондовая микроскопия ' 10
1.3 Оптическая микроскопия 11
1.4 Электронная микроскопия 18
1.5 Выводы 20
Глава 2 . Математическая модель 21
2.1 Математическая модель рельефа 21
2.2 Математическая модель системы формирования изображения 23
2.3 Математическая модель изображения рельефа 29
2.4 Постановка задачи 33
2.5 Выводы 37
Глава 3 Морфологический анализ кривой измерения фокуса 39
3.1 Описание методов морфологического анализа 39
3.2 Форма кривой измерений фокуса 47
3.3 Проектор на форму кривой дисперсий 49
3.4 Примеры 55
3.5 Выводы 57
Глава 4 Адекватность модели и оценивание параметра формы 58
4.1 Модель регистрации сигнала 58
4.2 Нелинейная минимаксная оценка погрешности 60
4.3 Стохастическая модель измерения 65
4.4 Выводы 83
Глава 5 Реализация, применение, результаты 84
5.1 Аппаратура 84
5.2 Алгоритмы 89
5.3 Программная реализация 100
5.4 Активное освещение 102
5.5 Результаты 108
Заключение 119
Список литературы
- Сканирующая зондовая микроскопия
- Математическая модель системы формирования изображения
- Форма кривой измерений фокуса
- Нелинейная минимаксная оценка погрешности
Введение к работе
Актуальность
В настоящее время задача измерения и визуализации рельефа поверхности микрообъектов является чрезвычайно актуальной в различных областях науки и промышленности. Существуют несколько основных методик измерения и визуализации рельефа поверхности: поверхностная профилометрия, зондовая сканирующая микроскопия, растровая электронная и просвечивающая электронная микроскопия, оптическая конфокальная микроскопия и др. Развиваются также методы реконструкции рельефа поверхности с помощью «классического» оптического микроскопа. Это методы стереомикроскопии и методы определения высоты поверхности по фокусу. Методы, использующие «классический» микроскоп, существенно дешевле аналогов. А по характеристикам они могут конкурировать с современной конфокальной микроскопией в области размеров наблюдаемых объектов выше 100 нм.
Методы стереомикроскопии в целом гораздо менее точные, нежели методы измерения высоты по фокусу и используются для визуального наблюдения объемного объекта. Методы же измерения высоты по фокусу, требующие больших расчетов, получили свое развитие лишь в конце 90-х годов прошлого века и в настоящее время бурно развиваются с развитием вычислительной техники, Они основаны на том, что область объекта изображается наиболее четко, когда она находится в фокусе. По нескольким изображениям, захваченным при различном положении
:>
фокуса микроскопа, для каждой области объекта строиться кривая измерения фокуса, выражающая степень «сфокусированности» этой области объекта. Максимум кривой измерения фокуса соответствует положению, при котором область находится в фокусе. Поэтому, найдя для каждой области положение максимума функции измерения фокуса, можно реконструировать и измерить рельеф поверхности объекта. Однако, на практике, кривая измерения фокуса зашумлена и искажена, поэтому максимум кривой может не соответствовать положению фокуса. Кроме того, существуют области на изображении, высоту которых определить нельзя из-за отсутствия текстуры.
Основным недостатком современных методов определения высоты по фокусу является отсутствие математического аппарата для анализа кривой измерения фокуса. Дело в том, что вид кривой измерений фокуса зависит от конкретного объекта, микроскопа и условий регистрации. Единственной общей чертой, присущей кривым измерения фокуса, является наличие одного максимума, т.е. унимодальность. Однако класс унимодальных функций сложен для анализа, поэтому современные методы в качестве оценки высоты рельефа поверхности указывают либо положение максимума кривой, либо некое средневзвешенное значение, что существенно увеличивает погрешность реконструкции.
Данная работа посвящена разработке методов анализа кривой измерений фокуса с помощью морфологических методов анализа изображений. В работе построены новые математические методы, минимизирующие погрешность оценивания высоты рельефа в каждой точке анализируемой поверхности и позволяющие определять адекватность используемой математической модели измерения. На базе разработанных методов строиться новый метод реконструкции трехмерного рельефа поверхности, позволяющий достигнуть
погрешности реконструкции менее 100 нм для задач анализа поверхностей микросхем.
Цель работы
Целями настоящей работы являются:
Разработка математических методов максимально точного определения микрорельефа поверхности по измерениям яркости его изображений, полученным с помощью оптического микроскопа с различным положением фокуса.
Разработка метода анализа адекватности используемой модели.
Создание алгоритмов и программного обеспечения для решения задачи реконструкции трехмерного рельефа поверхности микросхем.
Решаемые задачи
Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
Описание класса функций измерения фокуса
Разработка морфологических методов анализа кривых измерений фокуса с целью:
определения высоты рельефа поверхности;
оценки погрешности определения высоты рельефа поверхности;
оценки адекватности модели измерения.
Создание быстрых вычислительных алгоритмов и оценка их точности.
Реализация разработанных методов в виде комплекса программ.
5. Применение разработанных методов к прикладным задачам
Решение этих задач позволяет рассматривать созданные методы
измерения микрорельефа поверхности как информационную технологию получения знаний о реальном микрообъекте.
Научная новизна
Научная новизна работы заключается в том, что впервые:
К Морфологические методы анализа изображений применялись для анализа кривой измерений фокуса и измерению высоты рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа.
Получено точное решение задачи наилучшего приближения сигнала элементами множества унимодальных сигналов в конечномерном евклидовом пространстве (вычисления проекции).
Разработаны методы оценивания положения максимума на зашумленной унимодальной кривой, определены погрешность и адекватность оценки.
Практическое значение
Разработанные методы позволяют существенно улучшить современные методы реконструкции трехмерного рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа. Они позволяют создать измерительный прибор, который не просто реконструирует рельеф поверхности, а измеряет высоту поверхности в каждой точке и указывает погрешность измерений. Более того, методы позволяют определить степень доверия к результату оценивания высоты рельефа в заданной точке, базирующуюся на понятии адекватности используемой модели измерения, и исключить из реконструкции сомнительные точки.
Сканирующая зондовая микроскопия
Оптический микроскоп - первый инструмент, позволивший человеку видеть объекты малых размеров (микроскоп был сконструирован Галилеем в 1610 г.). Диапазон размеров объектов, наблюдаемых в современный оптический микроскоп - от 100 нм. Такую высокую разрешающую силу современные микроскопы получили благодаря использованию ультрафиолетового освещения и высокоапертурных объективов.
Обладая малой глубиной фокуса, обычный оптический микроскоп создает «оптический срез» изображения объекта, на котором четко изображаются лишь детали объекта, попавшие в фокус. Расфокусированные же части объекта изображаются размытыми.
Изначально микроскопы давали лишь двухмерное изображение наблюдаемого объекта. Для наблюдения трехмерных объектов был создан стереомикроскоп, который использует различные оптические пути для левого и правого окуляра. Однако такой микроскоп не решает вопрос об измерении высоты и других параметров рельефа поверхности наблюдаемого объекта, а лишь обеспечивает объемное восприятие объекта человеком,
В последние десятилетия, в связи с развитием вычислительной техники, появились и быстро развиваются методы измерения трехмерного рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа. Такие методы разделяются на пассивные и активные [6?. 8]. Активные методы используют аппаратные усовершенствования микроскопа, дополнительное освещение через фильтр или лазер. Пассивные же концентрируются на методах анализа изображений. Самыми эффективными являются сочетания пассивных и активных методов, к которым можно отнести метод [6], или метод, разработанньш в данной работе. Рассмотрим методы измерения рельефа поверхности подробнее, Стереоанализ изображений
Техника стереоанализа изображений базируется на использовании стереомикроскопа, в котором с помощью двух или более видеокамер получают изображения одного и того же объекта, снятых с различных углов зрения. Далее, с помошью математического аппарата стерео триангуляции вычисляется рельеф поверхности [9].
Методы стерео триангуляции основаны на поиске и идентификации одинаковых точек микрорельефа па различных изображениях. Естественно, метод триангуляции применим, если объект имеет достаточно четкую текстуру, т.е. отличительные особенности тех или иных точек. К тому же зачастую возникают ситуации когда область объекта видна лишь на одной из камер, что делает невозможным определение высоты поверхности в этой области [10].
Достоинства метода: Высокая скорость реконструкции Возможность реконструировать рельеф с небольшими перекрытиями относительно вида сверху. Недостатки метода: Требования к текстуре на объекте Возникновение ситуаций, в которых часть объекта видна лишь на одном из изображений. В этом случае реконструкция невозможна. Невозможна реконструкция рельефа с перепадом высот много больше глубины фокуса микроскопа. Низкая точность реконструкции Методы определения высоты по фокусу
Методы определения высоты по фокусу определяют высоту рельефа поверхности по нескольким изображениям, полученным при различных положениях фокуса микроскопа [6-8,10-25]. Общепринятое название таких методов в мировой литературе - Depth from focus methods (DFF).
В основе таких методов лежит принцип - область объекта изображается наиболее «четко», когда она находится в фокусе. Понятие «четкости» изображения может быть выражено количественно как дисперсия яркости в области изображения [24] или наличие высоких частот в ее пространственном спектре [6, 25], исходя из чего, для каждой области изображения строится функция «измерения фокуса».
В 1968 году Б, К. П, Хорном был предложен принцип определения «сфокусированности» части изображения с помощью анализа его пространственного Фурье-спектра [26]. В 1976 году было предложено использование суммы модулей разницы яркости соседних точек изображения (модифицированный лапласиан) в качестве функции измерения фокуса [27], На основе их достижений был разработан алгоритм автофокусировки [28, 29] и предложен метод определения высоты рельефа поверхности области поля зрения [30-34]. Были проанализированы и протестированы различные функции измерения фокуса [35]. В 1988 был предложен алгоритм построения рельефа поверхности по нескольким изображениям, захваченных при различных положениях фокуса [25]5 [36]. Положение фокуса предлагалось менять перемещением объекта или изменением фокуса видеокамеры, как это описано в работе [37]. Тогда же был предложен алгоритм построения сфокусированного изображения объекта, на основе изображений на которых различные части объекта находятся в фокусе, который является, по сути, следствием решения задачи измерения высоты рельефа поверхности [38, 39]. К настоящему моменту7 методы измерения высоты рельефа поверхности получили широкое распространение и развитие в связи с развитием вычислительной техники. Разрабатываются различные аппаратные усовершенствования метода (например, активное освещение [6]) и расширяются области применения метода [15-17], Так совсем недавно метод был применен в видеомонтаже и кинематографии. В 2005 году учеными из Mitsubishi Electronic Research Laboratories было предложено осуществлять запись видео с меняющимся положением фокуса камеры
Математическая модель системы формирования изображения
Оптический микроскоп (рис. І) представляет собой центрированную оптическую систему, состоящую из двух основных элементов - объектива и окуляра, разнесенных на некоторое расстояние [55]. Объектив служит для образования изображения Ах объекта А, которое затем разглядывается в окуляр. Наблюдатель видит мнимое перевернутое увеличенное изображение объекта А\ При регистрации изображения с помощью видеокамеры роль окуляра играет внутренняя линза микроскопа (tube lens), а роль глаза - входной объектив камеры. Основными параметрами микроскопа с точки зрения геометрической оптики являются фокусное расстояние объектива /J, фокусное расстояния окуляра /2 и расстояние ООч= d между объективом и окуляром. Изображение регистрируется либо глазом, либо видеокамерой, которые также являются неотъемлемой частью системы формирования изображения. Для обработки сигнала обычно используется видеокамера с ПЗС матрицей, изображенная на рисунке. Для того чтобы изображение объекта формировалось на ПЗС матрице, необходимо, чтобы объект был помещен на определенном расстоянии 0 от объектива. Используя формулу линзы [55], получим, что расстояние С,х от объектива до плоскости изображения Л объекта связано с С0 и /J соотношением
Т.к. изображение А1 объекта находится в плоскости перед передним фокусом окуляра, то окуляр образует его мнимое изображение А" на расстоянии 2 от 0\ которое связано с { и f2 формулой Аналогично, для получаем:
Таким образом, расстояние {) выражается через параметры микроскопа и регистрирующей системы f\ fnfiid,df и С, которые являются фиксированными. Плоскость, перпендикулярную главной оптической оси 00 системы и находящуюся на расстоянии 0 от объектива, назовем плоскостью объекта (ПО). Плоскость, в которой формируется изображение в регистрирующей системе (в данном случае -это плоскость, содержащая ПЗС матрицу), назовем плоскостью изображения (ПИ). Если объект помещается вне ПО, то его изображение формируется в плоскости, отличной от ПИ, а на ПИ в этом случае получается «размытое» изображение, т.к. изображение каждой точки объекта рассеивается по некоторой области. Форма этой области зависит от формы апертуры объектива, а ее площадь - от расстояния между объектом и ПО. Глубина фокуса микроскопа характеризует максимальное отклонение объекта от ПО, при котором изображение практически не искажено.
Микроскоп можно представить как дифракционно ограниченную оптическую систему, которая является фильтром пространственных частот [55]- Т.к. объектив (и окуляр) обладает конечной апертурой, т.е. максимальным углом собирания лучей, то изображение объекта получается искаженным, т.к. не все лучи от объекта участвуют в формировании его изображения. В пространственном спектре изображения исчезает высокочастотная составляющая. Искажения изображения объекта определяются, прежде всего, апертурой объектива и типом освещения объекта. Мы будем рассматривать освещение на отражение от объекта, которое осуществляется через объектив. На пути освещения до объектива ставиться апертурная диафрагма освещения. Источник освещения - лампу - нельзя считать когерентным, однако, если прикрыть апретурную диафрагму освещения, то в некотором приближении источник можно считать точечным и освещение -когерентным. Выбор между когерентным и некогерентным освещением осуществляется в зависимости от конкретной задачи. Когерентное освещение хорошо показывает мелкие фазовые сдвига, а некогерентное более реалистично передает изображение объекта. В целом же, как показано в [56], некогерентное освещение обладает рядом преимуществ перед когерентным, поэтому модель формирования мультифокусного изображения будет рассмотрена именно для некогерентного освещения. Поле зрения микроскопа XcR2 - это совокупность точек на ПО, которые попадают на изображение (ПЗС матрицу). Будем считать, что координатам на изображении однозначно соответствуют координаты на поле зрения и это соответствие линейное. Таким образом, с математической точки зрения, поле изображение объекта ЇЇ поле зрения совпадают.
Форма кривой измерений фокуса
С точки зрения морфологических методов кривая измерений фокуса это ни что иное, как изображение на одномерном поле зрения S(z) :zeZt Rr Формой же кривой измерений фокуса является множество всех унимодальных функций со всевозможными положениями центра симметрии- Главным параметром формы кривой измерений фокуса является X - положение максимума унимодальной функции (моды). Есть и другие параметры, например, значение максимума т.
На практике удобно представлять поле зрения X в виде сетки X - {zi,z2,».,zfl}5 в узлах которой содержаться атомы меры. Тогда мера jx представляет собой считающую меру (12.) и пространство 1%{Х) удобно заменить конечномерным евклидовым пространством Ra интегрируемых с квадратом функций, в котором интеграл понимается как сумма значений в узлах сетки. Такой переход облегчает реализацию описываемых методов на ЭВМ, так как изображения в ЭВМ представляет собой оцифрованный сигнал - всегда конечный набор значений сигнала, измеренного в точках на сетке.
В дальнейшем будем считать, что все изображения представляют собой элементы конечномерного евклидова пространства RnJ которые мы будем называть сигналами. Физический смысл сигнала-вектора - это значения реального сигнала-функции на сетке, определяемой процессом оцифровкой этого сигнала для записи в ЭВМ.
Если кривая измерений фокуса задана на сетке X = {zl9z29„ zn} то форму кривой измерений фокуса можно описать как: V;_={sit...s,/.S] s2 ... S, s;_+] ... sJ,где Si=S(z = ]..n (19.) Форма VAtzRn - множество унимодальных сигналов - является подмножеством в п -мерном евклидовом пространстве- Докажем, что Vk представляет собой выпуклый конус - выпуклое замкнутое множество в к Будем считать, что запись а b обозначает, что числа а и b связаны либо неравенством а Ь, либо неравенством а Ь, Если gl = {s{ ..sfJ) E V? ,. 0\ tM следует, что sf + tl f sM + //+1 - Для У Л О элемент S/. -Ag\ -(- р—Д ) также будет принадлежать форме УЛ9 т.е. при домножении левой и правой части нестрогого неравенства sf s/+l на неотрицательное число, знак неравенства сохраняется. Стало быть, выполнены все условия [78] наложенные на конус, При обращении всех неравенств в равенства конус вырождается в прямую, элементы которой в рамках морфологических методов принято называть ровным полем зрения.
Для решения задачи определения высоты рельефа в каждой точке CtyJ o) поля зрения необходимо решить задачу оценки параметра Я по форме кривой дисперсий УЯн, решение которой определяется решением задачи (18.). Параметр Я даст искомую величину высоты рельефа Z(J0,;J0).
Для решения задачи (18.) оценки параметра Л по форме кривой дисперсий V; необходимо построить проектор на множество всех унимодальных сигналов Vk как на конус - замкнутое выпуклое множество в Rn,
Для любого выпуклого замкнутого множества Vk czRn и для любого элемента g Rn существует и единственна его проекция на V , которая является решением задачи наилучшего приближения элемента g&Rn элементами множества Ух и обозначается PAg.
Проекция g на Vk будет равна элементу {gh.„,gH}, координаты которого упорядочены неравенствами: g, gS „, gx +1 ... gn. Для поиска этого элемента необходимо решить вариационную задачу: g-I2-inf,fe{?l „. +1 .„ gl/} (200 с/
Это задача является задачей выпуклого математического программирования, [79], для ее решения можно, например, воспользоваться методом поиска седловой точки функции Лаграижа, Однако решение такой задачи осложняется тем, что количество измерений п может быть достаточно велико 10"-10 , что приводит к большому количеству проверяемых условий.
В работе предлагается альтернативный метод построения проекции на конус. Обозначим Лп векторное евклидово пространство, элементами которого являются наборы чисел g = (g{9„.,gfl)eRn9 и V{,,) сЛ,; выпуклый замкнутый конус, заданный следующим условием; V(n) = {gzRn: g] , g2 2 ... „_, ge}; здесь символом -, /=1,.„3/г, обозначена одна из операции сравнения -либо , либо . Рассмотрим задачу наилучшего приближения вектора єі?„ элементами конуса V{n)
Нелинейная минимаксная оценка погрешности
Рассмотрим теперь стохастическую модель измерения, в которой сигнал і єЛд является нормально распределенным элементом евклидова пространства с нулевым математическим ожиданием и диагональной матрицей корреляции а 1: v N{Qt r2I) (32.)
Общая схема регистрации определяется формулой (28.): # = / + v, /єКясЛп,ЯєЛ. Эта модель более содержит в себе более подробную информацию о шуме, нежели модель [Рі,Л,#]. Обозначим такую модель как ул,А,Щ0,а21)1 Остановимся, для начала, на понятии надежности статистической гипотезы. Надежность гипотезы. Общие понятия
Введем понятие надежности статистической гипотезы. Стандартная теория проверки статистических гипотез [81 - 83] дает правила, в которых минимизируются ошибки второго рода при ограничениях на вероятность ошибки первого рода - это позволяет наименее часто ошибаться, если приходится многократно принимать решение в заданных условиях. Надежность статистической гипотезы помогает выяснить, насколько данная конкретная ситуация (реализация случайной величины) соответствует или противоречит гипотезе.
Рассмотрим простую гипотезу 0Я = \ви} и простую альтернативу 0Л- = {#А-}. Тогда, согласно лемме Неймана - Пирсона [82], критическая функция наиболее мощного критерия уровня а дается равенством 1, р,(х,вк) ср,(х,вк) pa(.) = \0, р {х,вк) сРс{х,вк), у р (х,Ок) = ср {х,вк) где константы с О и у є [0,l] определяются равенством
Определение, [84]. Надежностью гипотезы Н = {в = 0н} против альтернативы К = {в = вК} назовем случайную величину aH ,(« = inf{«j () = l}. (33.)
Если минимум в (33.) достигается, то, согласно этому определению, надежность ссик(4) является наименьшем уровнем критерия, при котором гипотеза отвергается в пользу альтернативы с вероятностью единица для данного измерения с. РЛ-А)
Обозначим /(,) = -2 , которое называется отношением правдоподобия. Будем считать, что вероятность равенства Рс (А) СР- ($н) ПРН верной гипотезе равна нулю для любого с є [0, оо). Тогда из (33.)
Надежность ссик(%) гипотезы Н при альтернативе К зависит от результата измерения , и следовательно, является случайной величиной. Ее использование в качестве характеристики согласия гипотезы с результатом эксперимента основано на том, что при верной гипотезе распределение случайной величины хнк{%) существенно отличается от ее распределения при верной альтернативе. В [84] показано, что при верной гипотезе надежность равномерно распределена на отрезке [0, 1], а при верной альтернативе плотность ее распределения неограниченна в нуле. Тем самым малые значения надежности свидетельствуют, скорее, о верной альтернативе, чем о верной гипотезе.
Рассмотрим теперь более сложную ситуацию, когда гипотеза II и альтернатива К состоят более, чем из одного значения параметров. Вычисление надежности гипотез о параметрах нормального распределения В работе нам понадобится надежность следующей гипотезы при альтернативе Рассмотрим, для начала, частную гипотезу при альтернативе К: % N(V,CJ2), fi = fiK Наиболее мощный критерий уровня а0 и надежность этой гипотезы будут равны ([1,2]): ,-] S = {х:х fiH -Ф (\-а0)(7}, аг = 1-Ф а ( )
Возвращаясь к гипотезе (34.) мы констатируем тот факт, что ( ) является равномерным наиболее мощным критерием для нее. Поэтому надежность гипотезы (34.) равна а 1 - Ф с-иЛ о Т.к. надежность гипотезы зависит от случайной величины , то она также является случайной величиной. Большой интерес для исследователей представляет распределение надежности, которое позволяет понять, что значит ее абсолютная величина
