Введение к работе
Актуальность исследования. В настоящее время наблюдается рост интереса к математическому моделированию волновых движений неоднородных природных стратифицированных сред, обусловленный проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, охраны и изучения окружающей среды, эксплуатации сложных гидротехнических сооружений, в том числе морских нефтедобывающих комплексов и рядом других актуальных задач науки и техники. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем математического моделирования. Изучение волновых процессов в неоднородных стратифицированных природных средах превратилось в быстро развивающуюся область, причем результаты этих исследований важны как с фундаментальной точки зрения, так и для технических приложений. Новые экспериментальные и технические возможности стимулируют работу по математическому моделированию и асимптотическому исследованию волновой динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. При этом в основе анализа, как правило, лежат асимптотические методы, что позволяет на базе изучения невозмущенных уравнений формировать соответствующие асимптотические разложения, учитывающие неоднородность и нестационарность природных стратифицированных сред.
Вопросам динамики внутренних гравитационных волн в
стратифицированных средах посвящено значительное число работ как
отечественных (И.В.Стурова, В.Ф.Санников, В.А.Боровиков,
Э.В.Теодорович, В.А.Городцов, А.М.Тер-Крикоров, К.А.Бежанов, Ю.З.Миропольский, А.Г.Воронович, Ю.Д.Чашечкин, Е.Г.Морозов, С.А.Габов, А.Г.Свешников, Л.В.Черкесов и др.), так и зарубежных (J.Lighthill, J.Miles, J.B.Keller, B.Voisin, E.Kallen, S.A.Thorpe, T.Miloh, E.J.Hopfmger, M.Gitterman и др.) авторов. Основное внимание в настоящее
время уделяется экспериментальному исследованию динамики внутренних волн, детальному теоретическому рассмотрению динамики линейных внутренних гравитационных волн в средах с модельными распределениями плотности, а также прямому численному моделированию соответствующих уравнений гидродинамики. Относительная простота решения линейных уравнений по сравнению с полной нелинейной задачей, современное развитие соответствующего математического аппарата и вычислительной техники позволяют ответить на многие запросы практики.
Для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с волновой динамикой стратифицированных неоднородных по горизонтали и нестационарных сред, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы. Однако в ряде случаев адекватное качественное первоначальное представление об изучаемом круге явлений можно получить на основе более простых асимптотических моделей и аналитических методов их исследования. В этом отношении весьма характерны задачи математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Даже в рамках линейных моделей их решения достаточно своеобразны и представляют наряду с нетривиальными физическими следствиями самостоятельный математический интерес.
Цель исследования. Целью диссертации является решение следующих фундаментальных проблем: математическое моделирование динамики природных стратифицированных сред, связанное с теоретическим изучением процессов возбуждения, распространения, критических явлений при эволюции негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах; численное моделирование динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн; разработка асимптотических методов для
математического моделирования особенностей распространения
негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных
и нестационарных стратифицированных природных средах; разработка
алгоритмов интерпретации натурного наблюдения негармонических пакетов
внутренних гравитационных волн на основе предложенных математических
моделей.
Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту.
1. Построена, аналитически и численно исследована математическая модель
генерации и динамики негармонических пакетов внутренних
гравитационных волн от нелокальных источников возмущений в
произвольно стратифицированных средах и созданы эффективные численные
алгоритмы расчета волновых полей в различных пространственных зонах.
2. Разработаны и реализованы численные методы решения основных
вертикальных спектральных задач уравнения внутренних гравитационных
волн, расчетов собственных функций и дисперсионных кривых для
произвольно стратифицированных сред, а также расчета многократных
квадратур с быстроосциллирующими фазовыми функциями и
подынтегральными функциями, имеющими различные особенности
3. Решена задача математического моделирования генерации и динамики
негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в
стратифицированных средах как вблизи, так и вдали от источников
возмущений, в том числе при критических режимах возбуждения волновых
полей. Сформулированы и численно реализованы внутренние критерии
применимости полученных асимптотических и аналитических представлений
решений.
4. Разработан модифицированный пространственно-временной лучевой
метод, на основе которого аналитически и численно исследованы задачи об
эволюции негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в
неоднородных по горизонтали и нестационарных природных
стратифицированных средах, получены асимптотические представления,
описывающие особенности амплитудно-фазовых характеристик волновых полей с учетов реальной изменчивости природных сред и согласующиеся с результатами натурных наблюдений.
Методы исследования. В основу исследования математических моделей
положены аналитические и численные методы решения краевых задач,
аппарат функций Грина, асимптотические методы решения
дифференциальных уравнений, методы возмущений и малого параметра,
приближенные методы теории функций комплексного переменного.
Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается
использованием фундаментальных принципов математического
моделирования механики сплошной среды, а также применением современных методов асимптотического и численного анализа, сравнением получаемых решений с данными натурных измерений и результатами, известными в литературе.
Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные в работе методы и подходы к исследованию динамики и генерации негармонических пакетов внутренних гравитационных волн сочетают сравнительную простоту и вычислительную мощность аналитических результатов, а также возможность их качественного анализа. Разработанные в работе методы математического моделирования могут быть использованы для исследования любых других волновых процессов (акустические и сейсмические волны, СВЧ-излучение, волны цунами и т.п.) в реальных средах со сложной структурой. Значение предложенных методов анализа волновых полей определяется не только их наглядностью, универсальностью и эффективностью при решении разнообразных задач, но и тем, что они могут явиться некоторой полуэмпирической основой других приближенных методов при математическом моделировании негармонических волновых пакетов иной физической природы. Все фундаментальные результаты получены для произвольных распределений плотности и других параметров неоднородных сред, и, кроме того, основные физические механизмы
формирования изученных явлений динамики внутренних гравитационных волн в неоднородных стратифицированных средах рассматривались в контексте имеющихся данных натурных измерений.
Универсальный характер предложенных методов математического моделирования негармонических пакетов внутренних гравитационных волн, дополняется универсальными же эвристическими условиями применимости этих методов. Эти критерии обеспечивают внутренний контроль применимости использованных асимптотических методов, и в ряде случаев на основе сформулированных критериев удается оценивать волновые поля там, где другие методы неприменимы. Тем самым открываются широкие возможности анализа волновых картин в целом, что важно как для правильной постановки теоретических исследований, так и для проведения оценочных расчетов при натурных измерениях негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Особая роль данных методов обусловлена тем обстоятельством, что параметры природных стратифицированных сред, как правило, известны приближенно, и попытки точного численного решения исходных уравнений с использованием таких параметров могут привести к потере точности.
Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования неоднородных сред, геофизической гидродинамики, океанологии, морской гидротехнике, при строительстве сложных морских гидротехнических сооружений, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики.
Представленные в диссертации результаты получены в процессе
исследований по проектам, поддержанным Российским фондом
фундаментальных исследований №96-01-01120 «Внутренние
гравитационные волны в неоднородных средах: генерация, распространение, анализ результатов измерений», №98-05-64606 «Пять подходов к изучению приливных внутренних волн в Северной части Тихого океана», №99-01-
00856 «Критические явления при генерации и распространении внутренних гравитационных волн в неоднородных средах: теория и натурные наблюдения», №93-013-17702 «Асимптотические методы в линейных и нелинейных задачах гидро- и газодинамики», №96-01-00937 «Сингулярные асимптотические решения линейных и нелинейных уравнений гидро- и газодинамики», проекту INTAS № 94-2187 «Nonlinear and singular partial differential equations and applications», проектам International Science Foundation №№M3L000, M3L300 «The evaluation of fields excited by oscillating sources moving in stratified fluids and in general dispersive media: the construction of the uniform asymptotic and the creation of the effective computer programs», а также в рамках выполнения Федеральной целевой программы «Мировой океан», программы Министерства науки РФ "Комплексные исследования океанов и морей, Арктики и Антарктики" (проект "Волны в океане"), программы №17 Президиума РАН «Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология».
Апробация результатов исследования. Результаты диссертации
неоднократно докладывались в 1988-2008 годах на семинарах Института
проблем механики РАН, Института высоких температур РАН, Института океанологии РАН, физического факультета МГУ, международных конференциях и симпозиумах, в том числе: 19 Session scientific and methodological seminar on ship hydrodynamics SMSSH-90, 1-6 October 1990, Varna, Bulgaria; First International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM), 23-26 April 1991, Strasbourg, France; First European Fluid Mechanics Conference, September 1991, Cambridge, Great Britain; Second International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM), 7-10 June 1993, Newark, Delaware, U.S.A.; Международная конференция "Asypmtotics in Mechanics", 14-17 August 1994, С.-Петербург; Third International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation(SIAM-INRIA), 24-28 April 1995, Mandelieu, France; 23-nd General Assembly of European Geophysical Society, 20-24 April
-
Nice, France; Fourth International Conferences on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM-INRIA), 1-5 June 1998, Golden, Colorado, U.S.A.; Twenty-Second Symposium on Naval Hydrodynamics, 9-14 August 1998, Washington, D.C., U.S.A.; XIV General Assembly of European Geophysical Society, 19-23 April 1999, Hague, Netherlands; 4-th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics ICTCA-99, 10-14 May
-
Trieste, Italy; Международная конференция "Современная теория фильтрации", 6-8 сентября 1999 , Москва; Международная конференция "Fluxes and Structures in Fluids", 20-22 июня 2001, Москва; Sixth International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM-2008, 16-20 September 2008, Psalidi, Kos, Greece.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 работ, 23 из которых приведены в списке основных публикаций по теме диссертации, в том числе две монографии и 16 статей в ведущих рецензируемых научных журналах, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук, рекомендованных ВАК РФ.
Личный вклад соискателя. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит: [1,2] - равноценное участие в постановке задач, разработке методов их решения, получения и обсуждения результатов; [3-5] - разработка математических моделей и численных методов, интерпретация результатов; [6,7,10,11,13-20] - постановка задач, формулировка математических моделей, создание численных алгоритмов; [9,12,21] -разработка и реализация численных алгоритмов, интерпретация результатов. Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве и включенные в диссертацию, получены автором лично, и содержатся в диссертации с согласия и одобрения соавторов. В случаях, когда в диссертации приведены результаты, полученные не лично соискателем, этот факт явно отражен в тексте. Структура работы. Диссертация, общим объемом 299 страниц, состоит из
введения, трех глав, заключения, приложения, списка использованных источников, включающих 341 наименование. Общее количество рисунков -59.
