Численное моделирование динамики безымпульсного турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде Воропаева Ольга Фалалеевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Эволюция зоны турбулентного смешения в устойчиво стра тифицированной среде 45

1.1 Постановка задачи 45

1.1.1 Основные уравнения 46

1.1.2 Модели турбулентного движения 46

1.1.3 Граничные и начальные условия 50

1.1.4 Обезразмеривание 51

1.2 Метод решения 52

1.3 Тестирование 58

1.3.1 Локальное возмущение поля плотности в пикиоклине 58

1.3.2 Однородная жидкость

1.3.3 Пассивная стратификация 68

1.4 Результаты расчетов 70

1.4.1 Сравнительный анализ Моделей 1-7 70

1.4.2 Особенности развития турбулентных пятен в пикиоклине 79

1.4.3 Упрощенные модели течения в пикиоклине 84

2 Распространение пассивной примеси от мгновенного лока лизованного источника в зоне турбулентного смешения 90

2.1 Постановка задачи 90

2.2 Однородная и линейно стратифицированная жидкости . 95

2.3 Нелинейная стратификация

3 Турбулентный след в однородной и пассивно стратифици рованной среде 116

3.1 Постановка задачи 116

3.2 Расчеты ближнего следа 126

3.3 Автомодельное вырождение дальнего безымпульсного турбулентного следа в однородной жидкости 139

3.4 Безымпульсный турбулентный след в пассивно стратифици рованной среде 150

4 Турбулентный след в линейно стратифицированной среде 166

4.1 Постановка задачи : 166

4.2 Алгоритм решения задачи 174

4.3 Тестирование численного алгоритма ' 178

4.4 Результаты расчетов с применением Моделей 1-4 185

4.5 Упрощенные модели течения 190

4.6 Внутренние волны, генерируемые турбулентным следом в линейно стратифицированной среде 195

4.7 Модели с усовершенствованными аппроксимациями тройных корреляций 201

5 Динамика безымпульсного турбулентного следа в пикноклине 213

5.1 Постановка задачи 213

5.2 Результаты расчетов 222

5.3 Упрощенные модели 227

Заключение 231

Литература

• Локальное возмущение поля плотности в пикиоклине
• Особенности развития турбулентных пятен в пикиоклине
• Автомодельное вырождение дальнего безымпульсного турбулентного следа в однородной жидкости
• Внутренние волны, генерируемые турбулентным следом в линейно стратифицированной среде

Введение к работе

Свободные турбулентные течения играют существенную роль при обтекании тел, в задачах экологии, океанологии и геофизики; они являются классическим объектом исследования теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики. Интересным примером пространственного свободного турбулентного течения, имеющим весьма важные практические приложения, является турбулентный след за телом вращения в устойчиво стратифицированной среде.

Течение в турбулентном следе за телом, движущимся в устойчиво стратифицированной жидкости, обладает целым рядом особенностей, отличающих его от смутного течения в однородной среде. При сравнительно слабой устойчивой стратификации турбулентный след вначале развивается почти так же, как и в однородной жидкости, и расширяется симметрично. Однако вертикальной турбулентной диффузии препятствуют архимедовы силы, поэтому на больших расстояниях от тела след приобретает сплющенную форму и, наконец, совсем перестает расти в вертикальном направлении. Из-за турбулентного перемешивания плотность жидкости в пределах следа распределена более равномерно, чем вне его. Архимедовы силы стремятся восстановить прежнее невозмущенное состояние устойчи-вой стратификации, возвращая частицы жидкости на горизонты их равновесного состояния. В результате, в плоскости, ортогональной оси движения тела, возникают конвективные течения, приводящие к активному образованию внутренних волн в окружающей жидкости [15] (рис. 0.1).

Предметом исследования в настоящей работе являются турбулентные следы за телами вращения, движущимися горизонтально равномерно в бесконечном потоке. Рассматривается случай следов с нулевым избыточ-

Введение

ным импульсом. Главной особенностью таких турбулентных следов в случае однородной жидкости является их более быстрое вырождение в сравнении с турбулентными следами за буксируемыми телами [38, 107]. В работах Сенницкого [89] и Пухначева [84] аналитически показано, что при ламинарном режиме обтекания в следах за самодвижущимися телами возмущения продольной компоненты скорости убывают значительно быстрее, чем в следах за буксируемыми телами. Аналогичные данные получены в численных расчетах [29] для случая турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде.

=canst

V

/Vy=o

Рис. 0.1. Схема течения в следе в стратифицированной среде.

Результаты лабораторных экспериментов по изучению поведения характеристик безымпульсных турбулентных следов за телами вращения в однородной среде описаны в целом ряде работ, из которых паи-

Введение

более подробными представляются работы Naudascher [172], Алексенко и Костомахи [2], Higuchi & Kubota [155], Sirviente & Patel [181], а также обзорные монографии Шеца [107] и Pequet [173] (в них можно найти ссылки на другие работы). В ходе лабораторных экспериментов были выполпе-ны измерения ряда основных характеристик следов за осесимметричными телами на оси следа и в его поперечном сечении для расстояний вниз по потоку, достигающих 2QD [181]-150D [172] (D - диаметр тела). При этом уже на небольших расстояниях от тела наблюдаются признаки автомодельно-сти течения. Отмечается более быстрое убывание скорости осредиенного

ц» движения в сравнении с турбулентными флуктуациями, т.е. на достаточ-

ном удалении от тела в безымпульсных турбулентных следах реализуется практически бессдвиговый режим течения [172, 2]. Одной из наиболее цитируемых работ по изучению вырождения безымпульсного турбулентного следа является работа Naudascher (1965г.), которая послужила отправной

д> точкой для значительного числа экспериментальных, численных и теоре-

тических исследований (см., в частности, работы Finson [145], Сабелыш-кова [85], Городцова [41], Hassid [153], Коловандина [61], Новикова [79]). Весьма существенный прогресс в исследованиях последнего времени связан с появлением целой серии экспериментальных данных, полученных Алексенко и Костомахой [2, 3, 69] для безымпульсиых следов в однородной жидкости, в том числе с учетом близкого к изотропному турбулизо-

* ванного фона. Помимо упомянутых выше характеристик здесь измеря-

лись также нормальные напряжения Рейпольдса и скорость диссипации, что открыло возможности для тщательного воспроизведения результатов этих опытов в численных экспериментах (см., например, работы Черных и др. [121, 100, 7G, 119, 50, 49, 117]).

Практически одновременно с изучением следов в однородной жидко-

*' сти проводились лабораторные эксперименты, связанные с анализом

поведения характеристик безымпульсиых турбулентных следов в стратифицированной среде. Одной из первых работ, в которых в условиях

Введение

лабораторного эксперимента было установлено, что турбулентный след за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде существенно отличается от следа в однородной жидкости, является, по-видимому, работа Schooley & Stewart [180]. В ней были продемонстрированы основные особенности развития турбулентного следа в стратифицированной среде -коллапс и генерация следом внутренних волн, представлены некоторые теоретические оценки параметров генерируемых при движении тела внутренних волн.

В дальнейшем вопросу изучения явления коллапса следа был посвя-

^ щен целый ряд экспериментальных исследований (см., например, обзор в

[170]). В работе Merrit [170], кроме результатов оригинальных лабораторных измерений размеров турбулентного следа в'линейно стратифицированной среде и расстояния от тела, на котором начинается коллапс следа, содержится также подробный анализ этих данных. В результате было

д> показано, что характерными параметрами течения являются отношение

времени после образования следа к периоду Вяйсяля-Брента Т, определяемому стратификацией среды p_s(z), а именно - градиентом плотности, а также число Фруда, равное отношению произведения скорости течения Uoo на период Вяйсяля-Брента к начальному размеру следа Dq:

п Наиболее детальные лабораторные исследования характеристик тур-

булентности в следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде, выполнены, насколько это известно автору, Lin & Рао [166] (некоторые результаты экспериментов этих авторов, касающиеся следов в однородной и линейно стратифицированной средах, в том числе данные о вырождении дефекта продольной компоненты осредненной скорости,

ft приведены в [154, 113]). В [166] представлены наиболее подробные коли-

чественные данные о поведении линейных размеров следа и интенсивно-стей турбулентных флуктуации полей плотности и скорости в безымпульсном турбулентном следе для достаточно широкого диапазона чисел Фруда,

Введение

включая трудно моделируемые в лабораторных условиях большие значения этого параметра. Результаты измерений иллюстрируют анизотропный характер вырождения интенсивностей пульсациоииых составляющих горизонтальной и вертикальной компонент скорости на больших расстояниях от тела и содержат практически полный набор начальных данных для численного моделирования течения.

Лабораторные опыты показывают, что в тех случаях, когда распределение плотности невозмущениой жидкости по глубине является существенно нелинейным, картина течения может сильно отличаться от наблюдаемой в линейно стратифицированной среде. Наиболее характерные изменения были продемонстрированы Gilreath & Brandt [150] на примере пикпоклипа, представляющего собой непрерывный аналог двуслойной жидкости. Основное внимание в этой работе уделялось исследованию внутренних волн, возникающих при движении тела внутри высокоградиентной прослойки пикиоклина. В ходе экспериментов варьировалось соотношение толщины прослойки с изменяющейся плотностью и диаметра тела. Представлены данные о качественной картине течения, отмечена тенденция к формированию в высокоградиентных прослойках (в случае, когда толщина этой прослойки меньше диаметра тела) близких к стационарным внутренних воли конечной амплитуды; выполнены теоретические оценки наблюдаемых внутренних волн.

Главным объектом исследования экспериментальных работ Сысоевой и Чашечкина [96], Чашечкина [115], Hopfinger et al. [156, 137, 138], Fernando et al.[165], Шишкиной [182], Spedding et al. [185, 186], Bonnier & Eiff [112] явились особенности волновой картины течения. В [96, 115, 182, 156, 137, 138, 165, 185, 186, 112] рассматривалось течение, возникающее при движении буксируемой сферы в линейно стратифицированной жидкости. В этих работах большое внимание уделяется проблеме визуализации в лабораторном эксперименте, а также выявлению и исследованию стадий эволюции следа, анализу данных о поведении размеров следа. Сысоева и Чашечкин

Введение

[96], Chashechkin [115], Шишкина [182], Hopfinger et al.[156, 137, 138] изучали различные режимы течения в большом диапазоне чисел Рейнольдса и Фруда как в ближнем следе, так и в дальнем. Lin, Boyer, Fernando [165] основное внимание уделили исследованию особенностей поведения разме-ров следа в зависимости от значений числа Фруда. Spedding et al. [185, 186] рассматривали характеристики следа за буксируемой сферой при больших временах жизни следа. Детальный анализ экспериментальных данных о вырождении турбулентных следов за буксируемыми и самодвижущимися телами в линейно стратифицированных жидкостях и теоретические оцен-

,/* ки параметров внутренних волн выполнены в работах Чашечкина [115],

Voisin [192]. В последней из них представлен обзор ряда экспериментальных и теоретических работ по данной теме.

Весьма значительная часть исследований безымпульсиых турбулентных следов в стратифицированной жидкости выполнена в рамках упро-

g$ щенных представлений. В лабораторных условиях в бассейне с непо-

движной стратифицированной жидкостью с помощью разного рода турбу-лизаторов создавалась плоская область турбулентных возмущений, время жизни которой предполагалось равным времени пребывания в следе. Рассматриваемая плоская задача представляет также интерес в связи с изучением динамики локальных турбулентных образований - пятен турбулентности, играющих важную роль в формировании тонкослоистой ми-

^ кроструктуры в океане [74, 75, 97, 102].

Авторами ранних экспериментальных работ, в которых изучался дву
мерный нестационарный аналог трехмерного турбулентного следа за дви-
жущимся телом в линейно стратифицированной среде, были Van de Wa
tering [189], Schooley [178] (ссылки на другие ранние работы имеются, на
пример, в [170]). Трохан и Чашечкин [98] провели исследование фазовой
^ картины течения. В экспериментах Као & Рао [159] рассматривалось те-

чение, генерируемое турбулизованной областью в жидкости с нелинейной стратификацией. Изучались особенности волновой картины течения, в

Введение

частности, были получены данные о генерации при коллапсе следа в пик-ноклине уединенных внутренних волн значительной амплитуды.

Экспериментальному исследованию развития области турбулизован-
ной жидкости в тонкослоистой среде посвящена также работа Попова [83].
Основное внимание уделялось изменению формы турбулентного пятна в
зависимости от его расположения относительно прослоек жидкости с боль
шими градиентами плотности. Показано преимущественное растекание
пятна в горизонтальном направлении в виде узких языков вдоль высоко
градиентных прослоек, а именно - вдоль расположенных внутри прослоек
^д горизонтальных плоскостей, соответствующих равновесному положению

частиц перемешанной жидкости.

В лабораторных экспериментах Fernando et al. [146, 147, 142] исследу
ется эволюция пространственных пятен турбулентности в стратифи
цированных средах. Рассматривается как линейное распределение плот
ам ности невозмущенной жидкости по глубине [147, 142], так и случай двух-
слойной жидкости [146]. Полученные данные о геометрии пятен и генери
руемых внутренних волнах согласуются с имеющимися представлениями
о течении в случае плоских турбулентных образований [72].

Качественные представления о рассматриваемом течении дают также
многочисленные исследования ламинарных перемешанных областей
в стратифицированных средах. Наиболее полные обзоры работ этого на-
4^ правления выполнены Степаняицем, Стуровой, Теодоровичем [93], Маде-

ричем, Никишовым, Стеценко [72], Ведеиьковым, Смирновым, Борисовым
[16], Зудиным [56]. Из экспериментальных работ в первую очередь необ
ходимо упомянуть лабораторные опыты Wu [197], посвященные изучению
коллапса однородного по плотности пятна в линейно стратифицированной
среде. Maxworthy [168] изучал внутренние волны, формирующиеся при
*> развитии перемешанных областей в пикноклине, включая стационарные

волновые образования. В опытах Мадерича, Кулика [71], Maderich et al. [167] исследовалось растекание интрузий в слоистой среде, при этом основ-

Введение

ное внимание уделялось установлению характера зависимости течения в пикноклине от соотношения размера интрузии и толщины слоя раздела (слоя с максимальными градиентами плотности). В частности, было продемонстрировано формирование уединенных внутренних в "узком" слое раздела, когда размер интрузии значительно превосходит толщину слоя раздела.

Данные, полученные в ходе лабораторных экспериментов (дополнительные ссылки можно найти в цитируемой литературе), имеют важное значение для понимания процессов, происходящих при эволюции турбулентных следов. Следует отметить, однако, что количественное, а зачастую и качественное воспроизведение результатов этих исследований является затруднительным для численного моделирования из-за недостатка исходных данных об условиях проведения экспериментов (во многих экспериментах турбулизующее устройство оставалось в зоне смешения во все время их проведения). В большинстве из них также отсутствуют более или менее полные количественные данные о поведении основных характеристик течения (в особенности это относится к измерениям характеристик турбулентности), открывающие возможности для подробных сопоставлений с результатами расчетов. Это обстоятельство, по-видимому, служит подтверждением того факта, что экспериментальное исследование данного класса течений (так же как и его численное моделирование) представляет собой весьма нетривиальную задачу.

Для численного моделирования турбулентных следов в стратифицированной среде, как правило, требуется решить систему дифференциальных уравнений, описывающих трансформацию характеристик течения. Основным инструментом при проведении теоретических и численных исследований турбулентных следов за телами с движителями, как и многих других турбулентных течений, были и остаются до настоящего времени математические модели, базирующиеся на полуэмпирических моделях турбулентного движения. Подробное описание моделей, в том числе с из-

Введение

ложеиием физических аспектов и принципов их построения, содержится в работах Mellor h Yamada [171], Launder [163], Rodi [176, 177], Онуфриева [82], Курбацкого [64], а также в коллективных монографиях [104, 73].

Иерархия полуэмпирических моделей турбулентности примечи

нителыю к задачам расчета спутных турбулентных течений коротко мо
жет быть представлена следующим образом. Поскольку, как установлено,
в частности, в лабораторных экспериментах [2], рассматриваемое спутное
течение в случае однородной жидкости имеет практически бессдвиговый
характер, в качестве наиболее простой модели турбулентности может быть
4л рассмотрена так называемая е-модель. Она включает в себя дифферен-

циальное уравнение переноса энергии турбулентности е. При этом для
моделирования процесса диссипации энергии турбулентности в тепло є
(слагаемое в правой части упомянутого уравнения) требуется дополни
тельная информация. В простейших случаях речь идет о классическом
a v колмогоровском соотношении є ~ e³/²/L, где масштаб турбулентности L

определяется из геометрических соображений либо из решения дифферен
циального уравнения, основанного на полуэмпирических представлениях
[67]. Опыт расчетов разных авторов показывает, что определение масшта
ба может представлять собой самостоятельную довольно сложную задачу
(например, при наличии фоновых возмущений), альтернативой решения
которой является привлечение дифференциального уравнения для скоро-
< сти диссипации ((е ~ е)-модель).

Использование моделей, аналогичных представленным выше, подра
зумевает строгую изотропию нормальных напряжений Рейнольдса на всех
участках следа, что практически может быть принято лишь в простейших
случаях следов в однородной жидкости. В расчетах турбулентных спут
ных течений с учетом стратификации среды это является весьма сильным
'' упрощением. Стремление описать более тонкие процессы, как, например,

анизотропное вырождение турбулентности в дальнем следе, приводит к использованию дифференциальных уравнений переноса компонент тензора

Введение

рейнольдсовых напряжений. Точная форма записи этих уравнений вклю
чает диффузионные слагаемые, содержащие неизвестные моменты тре
тьего порядка, а также обменные и диссипативные слагаемые, для опре
деления которых требуются дополнительные соображения и полуэмпири-
" ческие гипотезы. Неудачное замыкание (за счет грубого описания или

пренебрежения ролью существенных для описываемого течения механизмов) может не только не улучшить решение, но и внести дополнительные погрешности. При аппроксимации диффузионных слагаемых выходом из положения можно было бы считать привлечение дифференциальных урав-

Д,^ пений также и для третьих моментов. Однако для рассматриваемых про-

странственных течений задача в такой постановке может оказаться чрезвычайно усложненной. К тому же вопрос о замыкании уравнений для третьих моментов вновь остается открытым. Как пример удачной попытки замыкания уравнений для третьих моментов (в задачах атмосферного

ал пограничного слоя) следует упомянуть работы Илюшина и Курбацкого

[158, 59, 157]. В ряде работ [114, 158] уточнение аппроксимаций третьих моментов проводилось одновременно с соответствующим усовершенствованием уравнения для скорости диссипации. Что касается трудностей при полуэмпирическом моделировании обменных и диссипативных слагаемых в уравнениях для моментов второго порядка, то, в частности, в работах Launder at al.[140], Speziale [187] предлагаются модели с усовершенство-

А* ванными аппроксимациями этих членов. Преимущества новых моделей

продемонстрированы на примере расчетов классических тестовых задач.

В целом ряде случаев весьма успешным оказывается привлечение вме
сто дифференциальных уравнений переноса моментов второго или третье
го порядка их алгебраических усечений. В частности, для снутных турбу
лентных течений в однородной и стратифицированных средах применяют-
'У ся модифицированные (є ~ є)-модели турбулентности, которые включают

в себя алгебраические локально-равновесные или неравновесные представления компонент тензора рейнольдсовых напряжений [164, 67, 175, 177,

Введение

149, 154]. Усовершенствованные алгебраические аппроксимации моментов
третьего порядка предложены в работах Илюшина и Курбацкого [158, 157].
Достаточно хорошее качество этих моделей было продемонстрировано на
примере решения ряда задач атмосферного пограничного слоя, в которых
' общепринятые аппроксимации оказывались непригодными.

Иерархия моделей для определения одноточечных корреляционных
моментов с пульсациями ноля плотности, которые появляются при рас
смотрении стратифицированных спутных течений, подобна изложенной
выше. Наиболее простой и часто используемой является градиентная мо-
_Х> дель для компонент вектора турбулентных потоков. В частности, такая

модель может быть получена как результат усечения соответствующих
дифференциальных уравнений [149]. При этом удается наиболее простым
явным образом учесть влияние силы тяжести. Применение дифференци
альных уравнений переноса компонент вектора турбулентных потоков и
ж > дисперсии флуктуации плотности приводит к тем же трудностям, что и

при моделировании напряжений Рейнольдса.

Кроме описанной выше проблемы замыкания, весьма важным обсто
ятельством при использовании полуэмиирических моделей является опре
деление эмпирических постоянных и(или) функций, количество которых
увеличивается по мере усложнения моделей. Хотя универсальных значе
ний для них практически не существует, авторы большинства работ в этом
"V^і вопросе руководствуются теми соображениями, что полученные значения

не должны противоречить опыту предыдущих исследований, имеющимся данным экспериментальных и теоретических исследований классических задач. Наборы в достаточной мере общепринятых значений эмпирических констант приведены, например, в обзорной статье Роди [73].

Многообразие существующих моделей турбулентности порождает про-

fv блему выбора оптимальной. Применительно к рассматриваемым в данной

работе турбулентным течениям, требующим решения пространственных

задач, выбор модели, как правило, предопределяется двумя обстоятель-

Введение 15

ствами: целью исследования, а именно - количеством и качеством информации, которую необходимо получить в результате расчетов, и возможностями компьютеров.

_і;

В качестве наиболее простого теста для оценки применимости полуэмпирических моделей турбулентности к описанию динамики безымпульсных турбулентных следов в неоднородной по плотности среде может быть использована задача об эволюции следа в пассивно стратифицированной среде, когда полагается g = 0, р ф const (g - ускорение силы тяжести). В этом приближении гидродинамические характеристики собственно турбу-

1\ лентпого следа развиваются как в однородной жидкости. На начальной

стадии развития турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде ("активная" стратификация) воздействие силы тяжести также считается пренебрежимо малым. Разумеется, безымпульсные турбулентные следы в однородной жидкости представляют интерес и как самостоятель-

^л нал задача. Ниже будет представлен краткий обзор теоретических и чи-

сленных исследований этого течения.

При численном моделировании безымпульспых турбулентных следов за телами вращения в однородной жидкости основное внимание уделялось воспроизведению имеющихся экспериментальных данных. В работах Левеллена, Теске, Дональдсона [68] и Коловандина, Лучко [62] было получено согласие с опытными данными из работы Naudascher [172]. В ряде работ задача о динамике турбулентного следа в однородной жидкости рассматривалась как тестовая при расчетах спутных течений в линейно стратифицированной среде (см., например, работы Даниленко, Костина, Толстых [47], Даниленко [46], Белоцерковского и др. [7], Hassid [153, 154], Мошкина, Федоровой, Черных [76]). При этом в [46, 47, 7] проводилось сопоставление с данными [172], в [76, 154] - с данными Lin & Рао, в [153]

Г' - с опытными данными многих авторов, в том числе с данными Lin &

Рао. В цикле работ Федоровой, Черных [100], воспроизводятся экспериментальные данные Алексенко, Костомахи [2, 3] о вырождении следов за

Введение

сферой (см. также [121, 76]) по ряду основных характеристик течения, а также выполнено сопоставление с результатами автомодельного анализа Hassid [153]. Наибольшие успехи этого направления исследований связаны с серией лабораторных экспериментов Алексенко и Костомахи [2, 69], по

"' результатам которых в работах Деменкова, Черных [117, 49, 119], Демен-

кова, Костомахи и Черных [51] было выполнено систематическое исследование турбулентных следов за сферой, включая закрученные безымпульсные следы. Работа Франка [ЮЗ] посвящена изучению влияния однородной внешней турбулентности на Динамику турбулентного пятна.

1х Наряду с численным исследованием характеристик турбулентности в

"ближней" (х < 20-г 150D) области следа, в которой проводились лабораторные измерения, в работах Hassid [153], Лесновой [69], Левеллена, Теске, Дональдсона [68], Лыткина, Черных [70], Черных и др. [119, 120, 50, 117], Деменкова [49] рассматривалось асимптотическое поведение дефекта про-

i, дольной компоненты скорости, энергии турбулентности и размера следа.

Наиболее подробные данные о законах изменения характерных масштабов и осевых характеристик дальнего безымнульсиого следа, в том числе касательного напряжения, содержатся, по-видимому, в работе Колован-дина и Лучко [62], причем основное внимание в этой работе уделялось возможности описания перехода от состояния развитой турбулентности к турбулентному течению с малыми значениями турбулентного числа Рей-

v иольдса.

Для описания течения в цитированных работах привлекались различные модели турбулентного движения. В работе [70] использовалась простейшая е-модель. В [153, 69] согласование с экспериментами достигалось путем существенного варьирования эмпирических постоянных в (е ~ е)-модели турбулентного движения. В работах [121, 100, 119, 120, 50, 117, 49]

Гу отдавалось предпочтение более универсальным модифицированным (е ~

е)-моделям с неравновесными алгебраическими аппроксимациями напряжений Рейнольдса [174]. Исследование с применением модели с диффе-

Введение

реициальными уравнениями для этих величин проведено в [68]. В основе модели лежит использование масштабов пульсационного движения, для определения которых привлекаются полуэмпирические соображения. Модель работы [62] помимо уравнений для энергии турбулентности и дис-сипации включает в себя уравнения для касательного и вертикального нормального напряжений, а также полуэмпирические функции, призванные описать зависимость течения от турбулентного числа Рейнольдса. В [50, 49, 117] хорошее соответствие опытам [2] получено при использовании упрощенной (но аналогии с [174]) модели работы [62].

1\ Теоретический анализ автомодельного вырождения осесимметрич-

ных безымпульсиых турбулентных следов в однородной жидкости выполнялся в целом ряде работ [10, 39, 145, 85, 41, 153, 61, 79]. Обзор ранних работ этого направления содержится в монографии Гииевского [145]. Первые теоретические исследования турбулентных следов с нулевым избыточным

^ импульсом, выполненные Биркгофом и Сарантонелло [10] и Гиневским,

Ухановой, Почкиной [39], основывались на использовании уравнения пе
реноса дефекта продольной составляющей средней скорости. Результаты
этих исследований продемонстрировали более быстрое затухание средней
скорости в безымпульсных турбулентных следах (следах гидродинамиче
ских движителей) в сравнении с обычными следами за буксируемыми те
лами. В более поздних работах Finson [145], Сабельникова [85], Hassid [153],
> Коловандина [61], опирающихся на экспериментальные данные из работы

[172], в качестве исходных моделей течения использовались как е-модель [85], (е ~ )-модели [153], так и модели с дифференциальными уравнениями для напряжений Рейнольдса [145]. Были получены асимптотические законы расширения следа и вырождения энергии турбулентности, скорости диссипации и напряжений Рейнольдса. В частности, была под-

^ тверждена экспериментальная информация [172] о том, что возмущения

продольной компоненты осредненной скорости затухают пропорционально среднему квадрату пульсационной составляющей скорости.

Введение 18

Возвращаясь к рассмотрению безымпульсных следов в пассивно стратифицированной среде, отметим следующее. Интерес к задаче в такой постановке связан с тем, что она имеет автомодельное решение, дающее представление о турбулентном перемешивании в следе за самодвижущим-

^,у ся телом в стратифицированной среде. В работах Васильева, Кузнецова,

Лыткина, Черных [190, 15, 191, 70], в частности, исследовался вопрос о турбулентном перемешивании жидкости в плоской локальной турбулизо-ванной области в случае линейного пассивного распределения плотности невозмущенной жидкости по вертикальной координате. Для аппрокси-

Х\ мации компонент вектора турбулентных потоков привлекались простей-

шие градиентные гипотезы, в результате чего осредненное уравнение неразрывности (переноса плотности) приводилось к диффузионному виду. В рассмотренной постановке при линейном распределении плотности ие-возмущенной жидкости данное уравнение имеет автомодельное решение,

j^i описывающее трансформацию профиля плотности под влиянием точечно-

го источника турбулентности. Конкретный вид автомодельного решения определялся из численного решения задачи. Было показано, что турбулентная диффузия приводит к неполному перемешиванию жидкости: в турбулизованной области среда остается неоднородной со стратификацией, отличной от стратификации окружающей среды. Этот факт имеет значение, в частности, для оценки параметров генерируемых турбулентным

"V следом внутренних волн в стратифицированной среде. Данные о степени

перемешивания, близкие к-представленным в [190, 15, 191, 70], были получены также в численных расчетах Мошкиным, Черных [76] для следов за буксируемыми телами.

В литературных источниках имеются ссылки на весьма незначительное число работ, посвященных численному моделированию безымпульс-

Ъ ных турбулентных следов в стратифицированой среде. Согласно

публикациям, как за рубежом, так и в нашей стране исследования в этом направлении ведутся с конца 60-х - начала 70-х годов. В Сибирском от-

Введение

делении АН СССР широкомасштабные работы по изучению турбулентных следов были начаты в конце GO-x годов под руководством академика О.Ф. Васильева.

Начальная диффузионная (до коллапса) стадия развития следа в ли-

^v нейио стратифицированной среде изучена теоретически Онуфриевым [81]

с использованием разработанной алгебраической модели рейнольдсовых напряжений и потоков. Выполнены оценки формы турбулентного следа, согласующиеся с результатами экспериментов [180].

Численное моделирование турбулентного следа за самодвижущимся

±\ телом и генерируемых при коллапсе следа внутренних волн в линейно

стратифицированной среде проведено Levellen, Teske, Donaldson [164]. Была разработана численная модель с дифференциальными уравнениями для моментов второго порядка, дополненная рядом масштабов пульсаци-онного движения. Эта модель послужила основой для модели, включа-

/j, ющей локально-равновесные усечения дифференциальных уравнений пе-

реноса всех моментов второго порядка. Согласно [67], последняя применялась для численного моделирования в случае линейной стратификации. Масштаб турбулентности определялся с использованием характерных линейных размеров области турбулентного течения. В [164, 67] представлены данные, иллюстрирующие собственно турбулентный след и генерируемые внутренние волны. Сопоставление расчетных данных с эксперименталь-

"V ными данными Lin & Рао [166] показало удовлетворительное согласие в

поведении размеров следа для значений времени t <Т.

Работа Hassid [154] содержит достаточно подробное численное исследо-вание следов за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной среде, проведенное на основе модифицированной модели локально-равновесного приближения с привлечением уравнений переноса

*> энергии турбулентности и скорости ее диссипации. В [154] алгебраиче-

ские соотношения вида (1.11) использовались для получения анизотропных выражений для коэффициентов турбулентной вязкости, при этом во-

Введение

прос о применимости (1.11) для анализа поведения нормальных напряжений остался открытым. Было выполнено сопоставление с экспериментальными данными Lin & Рао по изменению с расстоянием от тела характерных размеров следа, а также дефекта продольной компоненты осреднеп-ной скорости и энергии турбулентности на оси следа. Согласие с данными для буксируемого тела весьма хорошее. В случае самодвижущегося тела выявились трудности с описанием дефекта скорости - влияние стратификации оказалось более выраженным, чем в эксперименте (см. также обзор Schetz [107]); можно отметить' и более медленное, чем в эксперименте, вы-

\ рождение энергии турбулентности. Имеющиеся погрешности, возможно,

связаны с неудачным выбором метода расчета. Это в определенной мере подтверждают численные эксперименты, выполненные Мошкииым и Черных [76]. В их расчетах использовалась локально-равновесная модель, аналогичная разработанной в [154], и метод расщепления по физическим процессам. Полученные данные в случае безымпульсного следа оказались достаточно близкими к экспериментальным данным по всем характеристикам, анализировавшимся в [154].

В ряде работ задача об эволюции безымиульсного турбулентного следа в однородной и линейно стратифицированной среде рассматривалась как один из весьма показательных примеров для демонстрации работоспособности разработанных авторами методов и подходов. Так, в монографии О.М. Белоцерковского [7] описаны результаты решения задачи статистическим методом частиц в ячейках, проведенного Белоцерковским, Ерофеевым, Яницким, Славяновым. В модели применяется релаксационное кинетическое уравнение для одноточечной функции распределения, аналогичного уравнению Больцмана. Метод решения основывается на использовании "жидких" частиц в ячейках и расщеплении эволюции модели на

^ основные физические процессы: конвективный перенос, диссипацию тур-

булентной энергии и перераспределение энергии по степеням свободы [7]. Модель демонстрирует достаточно хорошее согласие с экспериментальны-

Введение

ми данными Naudascher [172] и Lin & Pao [154]. В последнем случае речь
идет о сопоставлении значений интенсивности пульсаций продольной со
ставляющей скорости на оси следа в линейно стратифицированной среде.
Как пример применения неявного варианта метода расщепления по
^у физическим процессам к расчету стратифицированных течений, турбу-

лентный след за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде рассмотрен Даниленко, Костиным, Толстых [47]. Замыкание трехмерной параболизованной системы осреднениых уравнений Рейнольдса проводилось с использованием полной модели второго порядка, аналогичной

\л [54]. Получено удовлетворительное согласие рассчитанных значений энер-

гии турбулентности на оси следа с экспериментальными данными [172] -в случае однородной жидкости, а также осевых значений дефекта продольной компоненты осредненной скорости и энергии турбулентности - с данными Lin & Pao для следа за буксируемым телом в линейно стратифи-

^ цированной среде [154].

В работе Даниленко [46] разработана модифицированная (е ~ ё)-
модель турбулентности с поправкой на анизотропию течения в стратифи
цированной среде. С целью уточнения турбулентной диффузии в верти
кальном направлении в эту модель включены, кроме дифференциальных
уравнений для энергии турбулентности и скорости диссипации, уравнения
переноса вертикальной компоненты вектора турбулентных потоков и дис-
4^s Персии флуктуации плотности. Проведена серия численных эксперимен-

тов, в которых варьировались параметр, регулирующий степень анизотропии нормальных напряжений Рейнольдса, и начальная степень перемешивания жидкости в следе в линейно стратифицированной среде. Выполнено сопоставление с данными Lin & Pao и расчетами Hassid [154] по поведению размеров следа.

h Численному моделированию турбулентных следов за телами в страти-

фицированных жидкостях посвящена также работа Глушко, Гумилевско-го, Полежаева [40]. Предлагаемая модель турбулентного следа основы-

Введение

вается на уравнениях Рейнольдса в приближении пограничного слоя, замкнутых с помощью (є ~ є)-модели турбулентности с привлечением для коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии формул, аналогичных предложенным в [154]. Авторы [40] провели оценку роли начальной закрутки при эволюции безымпульсиого турбулентного следа в линейно стратифицированной среде.

Простая аналитическая квазиодномерная модель эволюции области турбулентных возмущений в следе за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде построена Скуриным [91]. Получено удов л е-

ІІГї творительное согласие с измерениями Lin & Рао [160] в части описания

размеров следа.

Численная упрощенная модель турбулентного следа в стратифицированной среде, основанная на использовании алгебраической модели турбулентности второго порядка и метода интегральных соотношений, разрабо-

^ тана Джаугаштиным и Шалабаевой [52]. Рассмотрены варианты развития

следов в средах с устойчивой и неустойчивой стратификацией. Представлены данные о поведении размеров следа, демонстрирующие коллапс турбулентного следа за буксируемым телом в устойчиво стратифицированной среде.

В целом ряде работ [190, 15, 191, 70, 127] турбулентные следы изучались с применением схематизированной плоской модели. Рассма-тривалась плоская нестационарная задача об эволюции локальной области турбулентных возмущений в линейно стратифицированной жидкости. Работы Васильева, Кузнецова, Лыткина, Черных [190, 15] являются, по-видимому, первыми работами этого направления. В начальный момент времени в круге малого радиуса задавались энергия турбулентности и распределение плотности, соответствующее полному перемешиванию. Ис-

~'у пользовалась простейшая е-модель (в качестве масштабов турбулентности

фигурировали поперечные размеры турбулизованной области); коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии полагались одинаковыми и не-

Введение

зависящими от действия силы тяжести. При выборе эмпирических посто
янных моделей авторы исходили из сопоставления результатов расчетов
с экспериментальными данными Naudascher [172] о вырождении безым
пульсного турбулентного следа в однородной среде при условии пренебре
гу
^/ жения ролью дефекта продольной компоненты скорости в дальнем сле-

де. Были получены данные, иллюстрирующие развитие области турбу
лентных возмущений, продемонстрирован ее коллапс, подробно проиллю
стрирована динамика генерируемых внутренних волн. Показано, что тече
ние характеризуется генерацией конвективных вихрей, соответствующих
^> внутренним волнам. Согласно расчетам, влияние начальных данных для

осреднеинои плотности является несущественным, поскольку уже при зна
чениях времени, составляющих около 0.2Г, наблюдается распределение
плотности, близкое к автомодельному. Эти данные были подтверждены
расчетами тех же авторов [191] на основе модели с дифференциальными
jv уравнениями переноса нормальных напряжений. Характерный масштаб

турбулентности определялся с привлечением интеграла от распределения энергии турбулентности.

Лыткиным и Черных [70] с использованием модифицированной мо
дели работы [191] (использовалось более полное описание обменных про
цессов) был проведен численный анализ течения в линейно стратифици
рованной среде, на основе которого был сделан вывод о существовании
А подобия параметров зоны турбулентного смешения и внутренних волн по

плотностпому числу Фруда при больших значениях этого параметра. Бы
ли представлены некоторые данные, свидетельствующие о слабом влия-
нии используемой модели турбулентности па характеристики внутренних
волн. Было получено качественное, а по фазовой картине внутренних волн
- и количественное согласие результатов расчетов с лабораторными изме-
Ъ рениями Трохана, Чашечкипа [98].

По результатам анализа поведения суммарных энергий турбулентности и внутренних волн, генерируемых при эволюции зоны турбулентного

Введение 2Л

смешения, в работах Лыткина, Черных [70] и Черных, Лыткина, Стуровой [127] был сделан вывод о независимом развитии при больших значениях времени в линейно стратифицированной среде внутренних волн и турбулентности (о расщеплении течения на волновой и диффузионный процессы). При этом расчет внутренних волн при t/T > 1 может быть выполнен с применением уравнений Эйлера в приближении Обербека-Буссинеска (при соответствующем задании перемешивания и размера области возмущений). Обсуждаются возможные подходы к моделированию внутренних волн, генерируемых турбулизованной областью, на основе линеаризованных моделей. С использованием результатов расчетов задачи в полной постановке в [127] Стуровой построена простая аналитическая модель волновой картины для больших значений времени вырождения. Результаты расчетов по полной и аналитической моделям оказались весьма близкими. Позже аналогичные исследования были проведены Voisin [192].

Серия численных экспериментов, демонстрирующих применимость диффузионной модели к расчету характеристик турбулентности в линейно стратифицированной среде для больших значений времени, проведена Черных [105]. В расчетах использовалась модель работы [70] с уравнениями для нормальных напряжений. Исследовался вопрос о постановке граничных условий для волновых характеристик течения на внешних границах расчетной области. Использовались "открытые" краевые условия и условия невозмущенного потока. Было продемонстрировано, что влияние типа граничных условий оказывается малосущественным для расчетов характеристик турбулентности.

Численный анализ применимости моделей, представляющих собой модификацию модели второго порядка работы [191], к описанию эволюции турбулентных образований в линейно стратифицированной среде, выполнен Черных [106]. Продемонстрированы разумность подхода, предполагающего бессдвиговость течения, а также несостоятельность простейшей е-модели при больших значениях времени. Представлены данные, иллю-

Введение

стрирующие слабую зависимость картины внутренних воли от используемых в данной работе моделей турбулентности - формирование внутренних волн происходит при небольших значениях времени (t/T < 1), где работают даже простейшие модели.

Результаты численного анализа эволюции локальных областей турбу-лизованной жидкости, выполненного в [190, 15, 191, 70, 127], имеют важное методологическое значение для численного моделирования спутных турбулентных течений в стратифицированной среде. Кроме того, исследование динамики турбулизованных областей представляет интерес в связи с весьма важной ролью подобных объектов в формировании тонкой микроструктуры гидродинамических полей океана [75, 80, 97, 55, 102]. Предложенные авторами [190, 15, 191, 70, 127] постановки задач, а также разработанные ими подходы к численному моделированию безымпульспых турбулентных следов явились отправными для исследований данной диссертационной работы.

Внутренние волны, генерируемые турбулентным следом в стратифицированной среде, изучались также с применением схематизированной плоской модели, в которой след заменялся локализованной областью возмущений гидродинамических полей (на общность этих двух постановок указывалось, в частности, в [65, 152, 127]). Турбулентность при этом не учитывалась. Использование такого рода упрощения (помимо данных об особенностях развития ламинарных локальных образованиий, часто наблюдаемых в условиях океана и моделируемых в лабораторных опытах) дает ценную информацию о качественном характере процессов в турбулентных следах и пятнах, моделирование которых в полной постановке связано с весьма существенными трудностями. Численному и аналитическому исследованию этой модельной задачи посвящено достаточно большое число работ; ссылки на них можно найти, в частности, в упоминавшихся выше обзорах [93, 72, 16, 56]. При численном моделировании используются как полные уравнения Навье-Стокса, так и уравнения Навье-Стокса

Введение

в приближении Обербека-Буссинеска и линейная теория.

В целом ряде работ (см., например, [195, 198, 179, 160, 8, 9, 45, 5, 48, 13, 144, 109]) рассматривалась локальная однородная (полностью перемешанная) область. Работа Wessel [195], по-видимому, является первой. Полученная в его расчетах волновая картина течения и поведение горизонтального размера пятна при больших значениях времени согласуются с экспериментальными данными Wu [197] об эволюции однородного пятна в линейно стратифицированной среде. Изучению данного течения, с том числе сравнению с опытными данными Wu, были посвящены также работы Young & Hirt [198], Schooley & Hughes [179] и Koh [160]. В целом ряде работ отечественных авторов данная задача рассматривалась как тестовая, демонстрирующая возможности разработанных методов и алгоритмов: в работах Белоцерковского, Гущина [8, 9, 45] исследуются внутренние волны, проведено сопоставление с лабораторными измерениями [197]; хорошее соответствие результатов расчетов экспериментальным данным Wu получено в работах Бабакова [5], Даниленко и Толстых [48]. В расчетах Бунэ, Грязнова, Полежаева [13] одновременно учитывалась стратификация по температуре и солености, рассматривалось также течение, генерируемое пятном со стратификацией, отличной от стратификации окружающей среды. Нартов и Черных [77] для изучения поведения размеров и границы перемешанной области привлекали уравнение трансформации недиффун-дирующей нераспадающейся пассивной примеси; для нахождения границы зоны смешения использовался метод дифференциального анализатора.

Следует заметить, что интерес к изучению эволюции полностью перемешанных пятен и формирующейся картины внутренних воли связан не только с наличием достаточно подробных экспериментов, стимулирующих численные и теоретические исследования, но также и с ранними представлениями о полном перемешивании жидкости при коллапсе турбу-лизованных локальных образований. Однако, экспериментальные исследования [1G9, 170] и численные расчеты [7, 15] показали, что турбулентное

Введение

перемешивание не является столь сильным - степень перемешивания оценивается интервалом значений от 0.05 до 0.25 (значение 1 соответствует полному перемешиванию). Данный факт имеет весьма важное значение для последующих приложений к оценкам течения в турбулентных следах, поскольку, амплитуда внутренних волн в случае полного перемешивания значительно превышает значения, получаемые для частично перемешанных областей. Кроме того, как показано, в частности, в работе Dugan, Warn-Varnas, Piacsek [144] (см. также [109]), имеются существенные различия в закономерностях развития самих областей: при полном перемешивании горизонтальный размер растет неограниченно, а область стремится деформироваться в бесконечно тонкую с плотностью, равной плотности однородного пятна; при неполном перемешивании поведение горизонтального размера имеет колебательный характер, а вертикальный размер конечен.

В работах Васильева, Кузнецова, Лыткина, Черных [190, 15] задача о динамике ламинарного частично и полностью перемешанного пятна рассматривалась как частный случай при изучении локальных турбули-зованных областей в линейно стратифицированной среде. В этих работах впервые был численно исследован механизм генерации и распространения внутренних волн, сопровождающих коллапс перемешанной области. Суть его состоит в зарождении, последующем дроблении конвективных вихрей противоположной направленности и оттеснении ранее возникших вихрей к горизонтальной оси, что приводит к перемещению вдоль нее гребней и впадин внутренних волн.

Дальнейшее развитие эти исследования получили в работах Зудина, Черных [56, 57, 58] с применением разработанного авторами эйлерово-ла-гранжева подхода. Проведены систематические расчеты эволюции частично перемешанных областей в средах с линейной и нелинейной плотностной стратификацией. Исследованы особенности развития волновой картины течения в зависимости от стратификации, показаны пределы применимо-

Введение

сти линеаризованных постановок, влияние вязкости.

Численному изучению растекания интрузий в слое раздела посвящена работа Авдеевой, Мадерича, Коновалова, Кулика [1]. Исследованы особенности картины внутренних волн и форма интрузии. Продемонстрировано формирование уединенных внутренних волн - солитонов Бенджамина-Она - и интенсивное растекание интрузий в виде языков вдоль горизонтальных слоев с большими градиентами плотности. Эти данные находятся в согласии с результатами лабораторных экспериментов [168, 159, 83, 71], а также расчетами Зудина, Черных [57].

Особое место в исследовании внутренних воли, генерируемых локальными возмущениями поля плотности, как в случае линейной, экспоненциальной, так и нелинейной стратификации отводится теоретическим работам, выполненным в рамках линейной теории внутренних волн. Разработанные в рамках линейной теории упрощенные подходы позволили решить целый ряд задач, связанных с изучением данного течения и представляющихся для исследования в более общих постановках весьма трудноразрешимыми. Достаточно подробный обзор работ этого направления можно найти в [93, 72]. На основе получаемых в результате линеаризации точных решений в работах Schooley, Hughes [179], Koh [160], Никишова и Стеценко [78], Стуровой [94], Городцова и Теодоровича [42], Стуровой и Сухарева [95] были получены асимптотические представления внутренних волн для больших удалений от области смешения.

В работе Смирнова, Веденькова, Галковского [92] исследованы закономерности возникновения нелинейных внутренних волн, индуцируемых

коллапсом ламинарной области смешения, в условиях реального океана.

Анализируя работы ряда последних лет, нельзя не отметить, что интерес к теме турбулентных следов вновь возрастает как за рубежом [193, 17,151, 143], так и в нашей стране [14, б, 60, 90]. Васильевым, Деменковым, Костомахой и Черных [14] выполнены исследования закрученного турбулентного следа за самодвижущимся телом в однородной жидкости, вклю-

Введение

чающие численную модель второго порядка, подробные сопоставления результатов лабораторных и численных экспериментов, а также численный анализ автомодельности турбулентного движения в дальнем следе. На основе данных, демонстрирующих существенно более быстрое убывание окружной компоненты скорости в сравнении с осевым дефектом продольной компоненты скорости, делается заключение о том, что с некоторого удаления от тела закруткой можно пренебречь.

Исследованию асимптотического поведения характеристик импульсных и безымпульсных следов в однородной жидкости (в ламинарном режиме) посвящена работа Смирнова и Воропаева [183].

В работах Воропаева, Смирнова, Филиппова, Бойера [17], Voropaev, McEachern, Fernando, Воуег [193] рассмотрены следы за телами с усложненными режимами движения: в [17] изучаются следы за "точечным" источником импульса, движущимся в толще воды и действующим в различных направлениях по отношению к направлению движения; в [193] исследуются крупные вихревые структуры, образующиеся при маневрировании самодвижущегося тела в стратифицированной среде. Определены условия формирования вихревых структур в следах, получены данные об основных характеристиках вихрей.

В последнее время существенно возрос интерес к исследованию турбулентных следов в стратифицированной среде на сверхбольших (t < 1000Г) временах жизни следа [6, 60, 90,151, 143]. В этих работах рассматриваются только следы за буксируемыми телами. В частности, экспериментальные исследования турбулентных следов за буксируемыми телами в жидкости с нелинейной стратификацией выполнены коллективом авторов ИПФ РАН [6, 60, 90]. Казаков, Троицкая, Шабалина [60] проводили измерения при буксировке эллипсоида вращения на разных горизонтах термоклина, варьировалась также скорость движения тела. Баландина, Папко, Сергеев, Судариков, Троицкая [6] изучали особенности течения при буксировке тел различной формы в пикноклине на горизонте, где имеется скачок гради-

Введение

епта плотности. Представлены данные о поведении во времени максимума
продольной компоненты средней скорости, а в [6] - и полуширины следа в
зависимости от условий проведения опытов. Продемонстрирована, в част
ности, весьма существенная зависимость характеристик средней скорости
от формы тела в пикиоклине на больших расстояниях от тела вниз по
потоку. Следует отметить, что впервые влияние формы тела на харак
теристики осесимметричных турбулентных следов было детально иссле
довано Букреевым, Васильевым, Лыткиным [11] для следов в однородной
жидкости, причем анализировались измеренные автомодельные профили
у дефицита продольной составляющей средней скорости, а также интенсив-

ностей трех пульсационных компонент скорости и касательного напряжения. Численный анализ памяти формы тела в однородной жидкости но результатам опытов [11] выполнен Федоровой, Черных [101].

Квазилинейная модель дальнего турбулентного следа за буксируе-
^ мым телом в стратифицированной среде предложена Сергеевым, Троицкой

[90]. В рамках данной модели удается достаточно точно описать экспериментальные данные Spedding [184] о вырождении продольной компоненты осредненпой скорости при 27Tt/T < 200.

Первые попытки численного исследования турбулентных следов в рам
ках прямого численного моделирования уравнений Навье-Стокса (Gourlay,
Arendt, Fritts, Werne [151]) и LES-метода (Dommermuth, Rottman, Innis,
^- Novikov [143]) для сверхбольших расстояний от тела вполне можно назвать

впечатляющими. Однако в них были рассмотрены только следы за буксируемыми телами в стратифицированной среде при малых числах Фруда. Расчетные данные достаточно хорошо согласуются с данными, полученными в лабораторных экспериментах Spedding [184].

Настоящий обзор не претендует на исчерпывающую полноту. В упо-
' минаемых работах можно найти дополнительные ссылки.

Анализируя имеющуюся литературу, можно отметить следующее.

Введение

1. Безымпульсные турбулентные следы в однородной жидкости из
учены численно весьма подробно. Выполнялись как сопоставления с из
вестными данными экспериментальных исследований, так и автомодель
ный анализ дальних следов. Вместе с тем, при воспроизведении экспери
ментальных данных исследователи сталкиваются с трудностями в описа
нии дефекта продольной компоненты скорости и напряжений Рейнольдса.
Представленный в известных работах численный анализ автомодельпости
вырождения дальних осесимметричных безымпульсных следов в пассивно
стратифицированной среде является недостаточно полным: отсутствуют
данные об особенностях и законах изменения вторых одноточечных корре
ляционных моментов, включающих турбулентные пульсации поля плот
ности.

2. Характеристики безымпульсных турбулентных следов в линей
но стратифицированной жидкости численно изучены достаточно подробно
лишь в приближении схематизированной плоской модели - в предположе
нии пренебрежимой малости дефекта продольной компоненты скорости.
Однако, использовавшиеся при этом модели турбулентности были несо
вершенными, в особенности недостаточно точно аппроксимировались ком
поненты вектора турбулентных потоков. В результате этих исследований
не было получено удовлетворительного описания процесса анизотропного
вырождения характеристик турбулентности при больших значениях вре
мени; не рассматривались варианты нелинейного распределения плотно
сти невозмущенной жидкости. Не исследовался вопрос об особенностях
распространения пассивной примеси от мгновенного локализованного ис
точника в зоне турбулентного смешения.

3. В известных автору численных исследованиях безымпульсных тур
булентных следов в линейно стратифицированной среде эксперименталь
ные данные Lin & Рао [166] воспроизводятся лишь в части описания ли
нейных размеров, осевых значений энергии турбулентности (или одного
из нормальных напряжений Рейнольдса) и дефекта продольной составля-

Введение

ющей осредненной скорости. За рамками исследований остаются вопросы анизотропного вырождения турбулентности в дальнем следе.

4. Численные расчеты течения в случае нелинейной стратифика
ции проводились лишь в модельных приближениях вязкой и идеальной
жидкости, без учета турбулентности. В литературе отсутствуют данные
о лабораторных измерениях характеристик турбулентности в следе при
нелинейном распределении плотности невозмущенной жидкости. Коли
чественное воспроизведение имеющихся лабораторных экспериментов по
изучению волновой картины' таких течений затруднено недостатком ин-

Ц формации об условиях проведения этих измерений.

5. Математические модели, применяемые к расчетам турбулентных
течений, возникающих при эволюции локальных образований в однород
ной и стратифицированной средах, в том числе дальних безымпульсных
турбулентных следов, недостаточно полны. Вопрос о применимости бо-

^ лее совершенных моделей остается открытым. Трудности, возникающие

при численном моделировании турбулентных следов в однородной и стратифицированных средах, во многом связаны с практическим отсутствием систематической информации о свойствах аппроксимаций и моделей, основанной на анализе иерархии моделей турбулентности применительно к рассматриваемому классу течений.

^^% Цель работы:

разработка усовершенствованных численных моделей динамики локализованных турбулентных образований в устойчиво стратифицированной среде;

изучение процесса распространения пассивной примеси от мгновенного

локализованного источника в зоне турбулентного смешения в однородной

'4^і-

и устойчиво стратифицированных средах;

- разработка опирающихся на современные полуэмпирические модели тур
булентности численных моделей безымпульсиых турбулентных следов в

Виедение

устойчиво стратифицированной среде и изучение на их основе закономерностей вырождения турбулентности, генерации и распространения внутренних волн.

' Научная новизна. Новыми в диссертации являются следующие

основные результаты:

1. Разработаны численные модели динамики плоской локальной зоны
турбулентных возмущений в устойчиво стратифицированной среде, осно
ванные на использовании метода расщепления по пространственным пере-

у, меиным и неравномерных подвижных сеток. Исследована применимость

иерархии полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка к расчетам этого класса задач; показана эффективность алгебраических аппроксимаций моментов второго порядка. Выполнено численное моделирование динамики зоны турбулентного смешения в среде с нелинейной стра-

.^, тификацией; показано расщепление течения на волновой и диффузионный

процессы при больших значениях времени; предложены упрощенные модели течения.

2. Построена численная модель и выполнено исследование процес
са распространения пассивной примеси от произвольно расположенного
мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения
в однородной и устойчиво стратифицированных средах. Показана суще-

^ ственная зависимость распределения осредненной концентрации от началь-

ных данных для этой величины и стратификации.

3. Выполнено численное моделирование динамики безымпульсного
турбулентного следа за телом вращения в однородной и пассивно страти
фицированной средах на основе иерархии современных полуэмпирических
моделей турбулентности второго порядка, в том числе с нелинейными ап-

" проксимациями членов с пульсациями давления в уравнениях переноса

моментов второго порядка. Проведен численный анализ автомодельного вырождения характеристик дальнего следа в однородной и пассивно

Введение

стратифицированной среде, включая вторые корреляционные моменты с турбулентными пульсациями поля скорости и плотности.

4. Выполнено численное моделирование динамики безымпульсного

турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн в устойчиво

стратифицированных средах, основанное на иерархии полуэмпирических

моделей турбулентности. Исследована применимость к расчетам дальне
го безымпульсиого турбулентного следа в линейно стратифицированной
среде полуэмпирических моделей турбулентности с усовершенствованны
ми представлениями тройных корреляций поля скорости, а также моди-
^, фицированным уравнением переноса скорости диссипации. Осуществлено

детальное сопоставление с экспериментальными данными Lin & Рао.

5. Дано основанное на численном моделировании описание особен
ностей развития характеристик турбулентности и генерируемых следом
внутренних волн в пикноклине.

Д> 6. Построены упрощенные модели дальнего турбулентного следа и

генерируемых следом внутренних волн в устойчиво стратифицированной среде. Продемонстрировано расщепление течения на больших расстояниях от тела на волновой и диффузионный процессы. Численно обоснована справедливость схематизированной плоской модели безымпульсиого турбулентного следа.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивает-ся привлечением иерархии моделей турбулентного движения; детальным тестированием, контролем сходимости решений на последовательности сеток, сопоставлением численных данных с известными результатами лабо-раторных экспериментов, теоретических и численных исследований других авторов.

Практическая значимость работы. Разработаны эффективные

4.'.
'' численные модели свободных спутных турбулентных течений в однород-

ной и устойчиво стратифицированных средах, представляющие интерес в связи с решением актуальных задач анизотропного вырождения турбу-

Введение

лентности в стратифицированных средах, генерации и распространения внутренних воли при эволюции локальных турбулентных образований, распространения пассивных примесей. Результаты настоящей работы могут быть использованы при численном моделировании свободных турбулентных течений в однородных и устойчиво стратифицированной средах, для оценки применимости альтернативных математических моделей, их численных реализаций и асимптотических представлений решений задач, для анализа результатов известных лабораторных экспериментов и планирования новых.

На защиту выносятся:

численные модели эволюции плоских локализованных пятен турбулентности в среде с линейным и нелинейным распределением плотности, выполненного с использованием иерархии моделей турбулентности;

результаты численного исследования распространения пассивной примеси от произвольно расположенного мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в непрерывно стратифицированной среде, свидетельствующие о существенной зависимости распределения осред-иенной концентрации пассивной примеси от начальных данных и стратификации;

численные модели ближних и дальних безымпульсных турбулентных следов в однородной и пассивно стратифицированной средах, основанные на применении современных полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка с нелинейными аппроксимациями слагаемых с пульсациями давления в уравнениях переноса вторых одноточечных корреляционных моментов;

численные модели безымпульсного турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн в линейно стратифицированной среде с привлечением иерархии полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка, а также моделей с усовершенствованными представлениями третьих мо-

Введение

ментов с пульсациями скорости и модифицированного уравнения переноса

скорости диссипации;

- численная модель динамики безымпульсного турбулентного следа в пик-

ноклине, базирующаяся на использовании неравновесных алгебраических

1"'

аппроксимаций компонент тензора рейнольдсовых напряжений, и результаты проведенных расчетов; упрощенные модели дальнего следа.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее разделы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях и семинарах:

Ч, Всесоюзная школа-семинар "Методы гидрофизических исследований" (Свет-

логорск, 1989г.), Всесоюзная конференция "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1990г.), I, II, IV и V советско-японские и российско-японские симпозиумы но вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988г.; Цукуба, 1990г.; Киото, 1994г.; Но-

^(\ восибирск, 1996г.), III Совещание рабочей группы "Лабораторное модели-

рование динамических процессов в океане" (Москва, 1993г.), IV международный симпозиум по стратифицированным течениям (Франция, 1994г1), Международная конференция по методам аэрофизических исследований ICMAR-94 (Новосибирск, 1994г.), First Asian CDF Conference (Гонконг, 1995г.), 3-я международная конференция по математическим и численным аспектам распространения волн (Франция, 1995г.), международная конференция АМСА-95, посвященная 70-летию Г.И. Марчука (Новосибирск, 1995г.), Third ECCOMAS Сотр. Fluid Dynamics Conference (France, 1996г.), Международный симпозиум "Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах", посвященный 70-летию О.Ф. Васильева (Новосибирск, 1996г.), международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошной среды" (Новоси-бирск, 1996г.), Второй Сибирский конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике" (Новосибирск, 1996г.), Fourth International Conference on Computational Physics (Сингапур, 1997г.), International Conference on Com-

Введение

putational Mathematics (Таиланд, 1997г.), Первая международная конференция по вычислительной гидродинамике (Киото, 2000г.), 16th IMACS World Congress (Losanna, 2000г.), VIII Европейская конференция по турбулентности (Barselona, 2000г.), Международная школа-семинар но численным методам механики вязкой жидкости в рамках научных мероприятий "Вычислительные технологии-98,2000" (Новосибирск, 1998г., 2000г.), Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященная 80-летию Н.Н. Янеыко (Новосибирск, 2001г.), Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2001г.), Annual Scientific Conference GAMM 2002 (Augsburg, 2002), Международная конференция "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003г.), Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 85-летию Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 2004г.), а также на семинарах Института теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН (рук. чл.-корр. РАН СВ. Алексеенко), Института вычислительных технологий СО РАН (рук. академик Ю.И. Шокин, проф. В.М. Ковеня), Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (рук. проф. В.П. Ильин), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. член-корр. РАН В.В. Пухначев; проф. А.Ф. Воеводин), "Математика в приложениях" Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. академик С.К. Годунов).

Публикации. Результаты автора, вошедшие в диссертацию, опубликованы в 37 научных работах. Основные результаты диссертации опубликованы в журналах ДАН [24, 29, 31], Известия Академии Наук. МЖГ [32], ПМТФ [35, 36], Математическое моделирование [25, 28, 37], RJNAMM [125, 132, 134, 194], Computers & Fluids [133], Вычислительные технологии [30, 18, 19, 20, 21, 23, 22], Теплофизика и аэромеханика [26]; в сборниках научных трудов и трудах конференций [27, 33, 34, 11G, 118, 120, 123, 124, 126, 128, 129, 130, 131, 135, 136].

Введение

Личный вклад. В работах [33, 34, 123, 135] Г.Г. Черных принадлежат постановки задач. В работах [23], [27]-[29], [35]-[37], [118], [120], [128]-[133], [136] постановки задач численного моделирования безымпульсиых турбулентных следов в стратифицированных средах выполнены совместно О.Ф. Воропаевой и Г.Г. Черных. Результаты других соавторов этих работ представляют собой самостоятельные исследования, не вошедшие в диссертацию: Н.П. Мошкину принадлежат результаты численного моделирования турбулентных следов с применением метода расщепления но физическим процессам (основные результаты его исследований относятся к турбулентным следам за буксируемыми телами в линейно стратифицированной среде); А.Г. Деменкову и Н.Н. Федоровой - результаты численного исследования турбулентных следов в однородной жидкости; А.Н. Зудину, как и в [123, 135] - результаты расчетов ламинарных областей перемешанной жидкости в устойчиво стратифицированной среде с применением эйлерово-лагранжева подхода. В работах с Ю.Д. Чашечкиным и Г.Г. Черных [30]-[32], [116], а также с Б.Б. Илюшиным и Г.Г. Черных [24]-[26], [124]-[126] постановки задач выполнялись соавторами совместно; Б.Б. Илюшину принадлежит разработка усовершенствованных математических моделей моментов третьего порядка. Вклад автора в вышеупомянутых работах состоял в участии в постановке задач и осуществлении численного моделирования динамики локальных турбулентных образований и безымпульсных турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде (построение численных алгоритмов, их программная реализация, проведение расчетов и анализ результатов).

Структура и объем диссертации. Текст диссертации включает в себя введение, пять глав, заключение и список литературы из 198 наименований. Объем диссертации составляют 255 страниц, в том числе 18 таблиц и 89 рисунков.

Краткое содержание диссертации.

Во Введении дан обзор работ, посвященных исследованию турбулент-

Введение

ных следов и следоиодобных образований в однородной и устойчиво стратифицированных средах.

Локальное возмущение поля плотности в пикиоклине

Численно обоснована схематизированная плоская модель безымпульсного турбулентного следа в пикноклине. Показано расщепление течения в пикноклине на больших расстояниях от тела на волновой и диффузионный процессы. Продемонстрирована применимость к численному моделированию данного течения упрощенных математических моделей: диффузионной модели - для описания вырождения собственно турбулентного следа, уравнений Эйлера в приближении Обербека-Буссинеска - для описания внутренних волн. В Заключении сформулированы основные результаты работы. Рассмотренные в диссертации задачи выполнялись в соответствии с планом научно-исследовательских работ ИТПМ СО АН СССР и ИВТ СО РАН по темам: Введение Личный вклад. В работах [33, 34, 123, 135] Г.Г. Черных принадлежат постановки задач. В работах [23], [27]-[29], [35]-[37], [118], [120], [128]-[133], [136] постановки задач численного моделирования безымпульсиых турбулентных следов в стратифицированных средах выполнены совместно О.Ф. Воропаевой и Г.Г. Черных. Результаты других соавторов этих работ представляют собой самостоятельные исследования, не вошедшие в диссертацию: Н.П. Мошкину принадлежат результаты численного моделирования турбулентных следов с применением метода расщепления но физическим процессам (основные результаты его исследований относятся к турбулентным следам за буксируемыми телами в линейно стратифицированной среде); А.Г. Деменкову и Н.Н. Федоровой - результаты численного исследования турбулентных следов в однородной жидкости; А.Н. Зудину, как и в [123, 135] - результаты расчетов ламинарных областей перемешанной жидкости в устойчиво стратифицированной среде с применением эйлерово-лагранжева подхода. В работах с Ю.Д. Чашечкиным и Г.Г. Черных [30]-[32], [116], а также с Б.Б. Илюшиным и Г.Г. Черных [24]-[26], [124]-[126] постановки задач выполнялись соавторами совместно; Б.Б. Илюшину принадлежит разработка усовершенствованных математических моделей моментов третьего порядка. Вклад автора в вышеупомянутых работах состоял в участии в постановке задач и осуществлении численного моделирования динамики локальных турбулентных образований и безымпульсных турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде (построение численных алгоритмов, их программная реализация, проведение расчетов и анализ результатов).

Структура и объем диссертации. Текст диссертации включает в себя введение, пять глав, заключение и список литературы из 198 наименований. Объем диссертации составляют 255 страниц, в том числе 18 таблиц и 89 рисунков. Краткое содержание диссертации. Во Введении дан обзор работ, посвященных исследованию турбулент Введение ных следов и следоиодобных образований в однородной и устойчиво стратифицированных средах. Глава 1 посвящена рассмотрению задачи о динамике локализованной плоской области турбулизованной жидкости в устойчиво стратифицированной по плотности среде, которая представляет как самостоятельный научный интерес, так и как модельная задача при изучении спутиых бессдвиговых турбулентных течений. Приводится постановка задачи, основанная на системе осредненных уравнений движения, неразрывности и несжимаемости в приближении Обербека-Буссинеска. Численный алгоритм расчета использует переменные "функция тока- завихренность", неравномерные конечно-разностные сетки и метод расщепления по пространственным переменным. Проведено тестирование численного алгоритма как в части описания характеристик турбулентности, так и в части описания внутренних волн. В качестве одного из тестов рассмотрена задача о развитии локального возмущения поля плотности (в отсутствие турбулентности) в пикноклине. Осуществлено сопоставление результатов расчетов с данными, полученными с использованием эйлерово-лагранжева подхода [57]. Выполнено численное исследование возможности применения более простых, чем уравнения Эйлера в приближении Буссинеска, моделей внутренних воли. Проведено сопоставление результатов расчетов динамики зоны турбулентного смешения в линейно и нелинейно стратифицированной среде с использованием иерархии классических моделей турбулентного движения - от (є є) до модели с дифференциальными уравнениями для всех одноточечных корреляционных моментов второго порядка. Показано, что при численном моделировании динамики зоны турбулентного смешения модели с упрощенными алгебраическими аппроксимациями вторых моментов дают результаты, близкие к получаемым по моделям, включающим дифференциальные уравнения переноса этих величии. Проведено исследование влияния нелинейности стратификации среды на развитие турбулизованной области и образующиеся внутренние волны. Результа Введение ЛО ты расчетов качественно согласуются с известными экспериментальными данными. Продемонстрировано расщепление течения в нелинейно стратифицированной среде на волновой и диффузионный процессы при больших значениях времени.

Особенности развития турбулентных пятен в пикиоклине

Наряду с описанными расчетами проводилось исследование применимости более простых, чем уравнения Эйлера в приближении Буссинеска, математических моделей внутренних волн. В [58, 56] приведены примеры расчетов течения, генерируемого локальным возмущением ноля плотности в среде с различными распределениями плотности невозмущешюй жидкости, на основе линейной модели внутренних воли. Известно [58], что в случае линейной стратификации линейная модель дает приемлемые результаты вне некоторой окрестности зоны смешения. При коллапсе локального возмущения в области скачка градиента плотности линейная модель может дать не только количественно, но и качественно неверные результаты. Промежуточной между линейной моделью и уравнениями Эйлера в приближении Буссинеска является модель, в которой используется линейное уравнение трансформации вихря. Подобная модель применялась в [58] при исследовании динамики зоны смешения в линейно стратифицированной среде. В [58] отмечается, что при этом модели с линейным и нелинейным уравнениями переноса завихренности дают достаточно близкие результаты. В дополнение к табл. 1.2 на рис. 1.3 изображены конечно-разностная сетка (рис. 1.3а) и линии тока (рис. 1.3, б, в). Расчеты выполнены для значения параметра (3 = 0.5 по полной модели (рис. 1.36) и по модели с линейным уравнением переноса вихря (рис. 1.3в). Можно видеть, что модель с линейным уравнением переноса вихря дает правдоподобные результаты в пикноклине с параметром [3 = 0.5, в то время как полностью Эволюция зоны турбулентного смешения Рис. 1.3. Коиечно-разностна,я сетка (а) и линии тока в задаче о локальном возмущении поля плотности в пикноклине для значения параметра /3 = 0.5: б - расчет по уравнениям Эйлера в приближении Обербека-Буссинеска; в - расчет по модели с линейным уравнением переноса, вихря. Линии тока на этих рисунках представлены уровнями: 1 - 0.054, 2 - 0.042, 3 - 0.03, 4 - 0.018, 5 - 0.006, б - -0.054, 7 - -0.042. Эволюция зоны турбулентного смешения линейная модель при таком значении (5 дает значительные отклонения [58]. При Р = 0.1 вплоть до значений времени t/T 0.5, когда происходит формирование волновой картины течения, результаты расчетов по модели с линейным уравнением переноса вихря (1.38) хорошо согласуются с результатами расчетов на основе уравнений Эйлера в приближении Буссинеска. Однако, с ростом времени отличие в рассчитанных картинах становится все более существенным - при использовании линеаризованной модели скорость уединенной волны уменьшается и при t/T 4 составляет 0.G2R/T, что почти на треть меньше, чем при использовании полной модели. Полностью линеаризованная модель внутренних волн в данном случае приводит к нефизичным результатам (это гюддтверждают также расчеты [58]).

Проведенные в данном разделе численные эксперименты представляют интерес не только с точки зрения демонстрации возможностей разработанного численного алгоритма. Полученные значения основных параметров алгоритма используются в дальнейших расчетах с учетом турбулентности. Ниже будет показано, что при больших значениях времени течение, возникающее при эволюции локальных турбулизованных областей в пикноклине, расщепляется на волновой и диффузионнный процессы (для случая линейной стратификации см. [70, 127]). При этом процедура описания картины внутренних волн сводится к решению задачи о локальном возмущении поля плотности. Сходимость численного алгоритма проверялась экспериментально, путем решения задачи об эволюции турбулизованной области в однородной жидкости.

Задача (1.39), (1-40) интегрировалась на последовательности сеток с применением как безытерационной версии алгоритма, так и с итерациями по нелинейности на каждом шаге по времени. Для простоты рассматривались равномерные сетки с параметрами т по переменной t и h по переменной г. Решения, полученные по итерационному и безытерационному алгоритмам, сравнивались в равномерной норме. В частности, при t = 200 относительная разность этих решений на сетках с параметрами го = 0.02R/UQ, IIQ = 0.2JR И Т\ = Лз/4, h\ = ho/2 составила соответственно 2.4 и 0.65 % - для энергии турбулентности е, 4.8 и 1.36 % - для скорости диссипации є. Эти результаты, а также расчеты на других сетках свидетельствуют о возможности использования обеих версий алгоритма. Алгоритм с итерациями по нелинейности, как оказалось, позволяет проводить расчеты с большей величиной шага по времени г, при этом на каждом слое по t требуется не более 3-5 итераций по нелинейности. Однако, очевидно, что безытерационный вариант алгоритма значительно более прост в реализации, в связи с этим он выбирался за основу при решении задачи в полной постановке. Эволюция зоны турбулентного смешения уравнениям (1.13), (1.8)). Преобразование координат для простоты принималось тождественным. Поскольку система уравнений (1.13), (1.8) (и ее одномерный аналог (1.39), (1.40)) является системой вырождающихся параболических уравнений [87], обладающей свойством конечности скорости распространения возмущений, оказалось достаточным положить для границ расчетной области ж = 10Я, у = 10R. Результаты сравнения состоят в следующем. При t = 200 и параметрах сетки т = то/4, Л 2 = ho/2; т3 = То/16, /гз = /ІО/4 относительные отклонения сеточных решений от "точного" для энергии турбулентности е составили 4.13, 0.97% соответственно. Отклонения для скорости диссипации є получились равными 2.44, 0.55%. Для проведения сравнения "точного" решения одномерной задачи (1.39), (1.40) с решением ее двумерного конечно-разностного аналога значения одномерных функций восстанавливались в узлы двумерной области с помощью стандартной кубической сплайн-интерполяции. Выполненный выше экспериментальный анализ сходимости представляет интерес и в связи с тем, что он позволяет оценить параметры алгоритма, необходимые для достижения заданной точности при решении задачи в полной постановке.

Автомодельное вырождение дальнего безымпульсного турбулентного следа в однородной жидкости

Серия численных экспериментов, аналогичных выполненным для однород ной и линейно стратифицированной сред, была проведена также для ряда вариантов нелинейных распределений плотности, характеризующихся на Х і личием высокоградиентных прослоек. Основная часть расчетов в случае нелинейной стратификации выполнена с применением Модели Б. Проводились также сравнительные расчеты с использованием Моделей А и Б, их результаты будут приведены ниже. Система координат выбиралась таким образом, что начало координат располагалось в центре турбулизованной области. Для задания локализовано источника примеси в круге Со радиуса RQ функция 0о полагалась постоянной, отличной от нуля, и нулевой - вне этого круга. По аналогии с линейной стратификацией (рис. 2.1) рассмотрены следующие варианты значений координат центра круга CQ\ 1) х 0 = 2/0 = 0, 2) XQ = 0, IJQ — 0.57.Я, 3) Х{) = у0 = 0.57Л, 4) XQ = у0 = 0.287?. Основные результаты представлены для Fr=4.7. Расчеты проводились на неравномерных ортогональных сетках, сгущающихся в окрестности зоны турбулентного смешения и С о, с числом узлов 121 X 101. Сеточный аналог Со при этом представлял приближенную имитацию круга диаметром шесть ячеек, RQ = 0.17R. Для оценки точности выполнялись расчеты на сетке с количеством узлов 241 х 201 и вдвое меньшими горизонтальными и вертикальными размерами ячеек в окрестности зоны турбулентного смешения. Полученные отклонения не превышали 5% в равномерной сеточной норме. Характерным примером, на котором можно проиллюстрировать особенности развития турбулизованой области в случае нелинейного распределения плотности, является вариант расположения зоны турбулентных возмущений непосредственно в центре высокоградиентной прослойки пик-ноклина (Y = 0), когда толщина этой прослойки значительно меньше радиуса турбулизованной области. Хорошо известно (см. Гл. 1), что волновая картина течения в этом случае характеризуется образованием уединенных внутренних волн большой амплитуды, а сама область турбулентных воз Глава 2. Распространение пассивной примеси

Некоторые результаты расчетов в пикпоклине с параметрами Y = 0, Р = 0.19R (Н « 0.5Л) показаны на рис. 2.9 (t/T = 3). Для иллюстрации характерной волновой картины течения па рис. 2.9а изображены линии тока IP/(UQR) = const. Изолинии энергии турбулентности e/em(t) = const, где em(t) = maxe(t,x,y), представлены на рис. 2.96. Изолинии осреднеппой концентрации пассивной примеси Q/Qm(t) = const, Qrn(t) = imix(t,x,y) (рис. 2.9в) приведены для варианта начального расиоложе ж,У Для сравнения па рис. 2.10 приведены изолинии концентрации (t/T = 3), иллюстрирующие примесное пятно в случае пикноклина, размещенного со сдвигом на Y = 0.57Л вдоль вертикальной оси. Как и на рис. 2.9с, здесь полутолщина пикноклина составляет Н « 0.5І? ((5 = 0.19Л). Что касается источника примеси, то в начальный момент его центр располагается в точке XQ = т/о = 0.57Я, т.е. на горизонте максимальных градиентов плотности. Расчеты показывают, что пятно пассивной примеси, первоначально сосредоточенное в малой круговой области внутри турбулизованной зоны, достаточно быстро занимает всю область турбулентных возмущений, распределяясь при этом в виде языков вдоль горизонтальной прослойки жидкости с максимальным вертикальным градиентом плотности. Полученные в этих расчетах картины растекания турбулизованной области аналогич-ны наблюдавшимся в лабораторных экспериментах Попова [83], в которых исследовалась динамика пятен турбулизованной жидкости в тонкослоистой среде. Рассмотрим более подробно некоторые характеристики, иллюстрирующие особенности эволюции примесных пятен в зоне турбулентного смеше ния при существенно нелинейном распределении плотности невозмущен ной жидкости по глубине. Нарис. 2.11 представлены данные об изменении величины максимальной осредиенной концентрации Q n(t) в зависимости от времени в пикноклине при Y — 0, {З = 0.19І?. Кривые 1-3 соответствуют расчетам в пикноклине для вариантов 1-3 расположения Со. Различие в Л, поведении кривых 1-3, как и в случае линейной стратификации (рис. 2.3) можно объяснить неоднородностью распределения коэффициентов турбулентной диффузии Кох, Коу Для сравнения линиями 4, 5 представлен случай линейной стратификации (вариант 3: XQ = IJQ = 0.577?). Видно, что кривые 1-5 ведут себя со временем примерно одинаково: для всех рассмотренных вариантов стратификации при больших значениях времени вырождение максимальных значений осредиенной концентрации пассив ной примеси замедляется. Кривые G-8 описывают поведение характерной величины энергии турбулентности ec(t)/U02 = e(t,0,0)/U02 = e c{t) в центре области турбулентного смешения для нелинейного (кривая G) и линейного (кривые 7, 8) распределений плотности невозмущенной жидкости по глубине. Видно, что на интервале значений времени t/T Є [0,10] энергия турбулентности уменьшается на четыре порядка. Модели А, кривые 4, 7 - по Модели Б с коэффициентами турбулентной диффузии (2.1G). Видно, что в случае линейной стратификации обе модели дают близкие результаты. рассмотренном временном интервале (рис. 2.12а, линия 1). В случае пикноклина (кривые 2-7) эта величина интенсивно растет при всех t/T, за исключением короткой начальной стадии развития турбули-зованной области, когда, как и в однородной жидкости, доминирующим является процесс турбулентной диффузии. Возрастание xm(t) связано с особенностью волновой картины течения в пикноклиие [159, 57] - образованием в каждом квадранте плоскости (х,у) конвективного вихря большой интенсивности, который перемещается со временем вдоль горизонтальной оси в сторону роста х \ (см., например, рис. 2.9,а). Такое поведение xm{t) характерно для всех рассмотренных вариантов расположения источника примеси (линии 3, 5) и значений параметра Y (линии 3, б, 7). Вместе с тем, линия 2, соответствующая пикноклину с более широким переходным слоем, близка к 1, относящейся к линейной стратификации.

Внутренние волны, генерируемые турбулентным следом в линейно стратифицированной среде

Течение в турбулентном следе за телом, движущимся в устойчиво стратифицированной жидкости, обладает целым рядом особенностей, отличающих его от смутного течения в однородной среде. При сравнительно слабой устойчивой стратификации турбулентный след вначале развивается почти так же, как и в однородной жидкости, и расширяется симметрично. Однако вертикальной турбулентной диффузии препятствуют архимедовы силы, поэтому на больших расстояниях от тела след приобретает сплющенную форму и, наконец, совсем перестает расти в вертикальном направлении. Из-за турбулентного перемешивания плотность жидкости в пределах следа распределена более равномерно, чем вне его. Архимедовы силы стремятся восстановить прежнее невозмущенное состояние устойчи-вой стратификации, возвращая частицы жидкости на горизонты их равновесного состояния. В результате, в плоскости, ортогональной оси движения тела, возникают конвективные течения, приводящие к активному образованию внутренних волн в окружающей жидкости [15] (рис. 0.1).

Предметом исследования в настоящей работе являются турбулентные следы за телами вращения, движущимися горизонтально равномерно в бесконечном потоке. Рассматривается случай следов с нулевым избыточ Введение ным импульсом. Главной особенностью таких турбулентных следов в случае однородной жидкости является их более быстрое вырождение в сравнении с турбулентными следами за буксируемыми телами [38, 107]. В работах Сенницкого [89] и Пухначева [84] аналитически показано, что при ламинарном режиме обтекания в следах за самодвижущимися телами возмущения продольной компоненты скорости убывают значительно быстрее, чем в следах за буксируемыми телами. Аналогичные данные получены в численных расчетах [29] для случая турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде.

Практически одновременно с изучением следов в однородной жидко сти проводились лабораторные эксперименты, связанные с анализом поведения характеристик безымпульсиых турбулентных следов в стратифицированной среде. Одной из первых работ, в которых в условиях Введение лабораторного эксперимента было установлено, что турбулентный след за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде существенно отличается от следа в однородной жидкости, является, по-видимому, работа Schooley & Stewart [180]. В ней были продемонстрированы основные особенности развития турбулентного следа в стратифицированной среде -коллапс и генерация следом внутренних волн, представлены некоторые теоретические оценки параметров генерируемых при движении тела внутренних волн.

В дальнейшем вопросу изучения явления коллапса следа был посвя щен целый ряд экспериментальных исследований (см., например, обзор в [170]). В работе Merrit [170], кроме результатов оригинальных лабораторных измерений размеров турбулентного следа в линейно стратифицированной среде и расстояния от тела, на котором начинается коллапс следа, содержится также подробный анализ этих данных. В результате было д показано, что характерными параметрами течения являются отношение времени после образования следа к периоду Вяйсяля-Брента Т, определяемому стратификацией среды ps(z), а именно - градиентом плотности, а также число Фруда, равное отношению произведения скорости течения Uoo на период Вяйсяля-Брента к начальному размеру следа DQ: п Наиболее детальные лабораторные исследования характеристик тур булентности в следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде, выполнены, насколько это известно автору, Lin & Рао [166] (некоторые результаты экспериментов этих авторов, касающиеся следов в однородной и линейно стратифицированной средах, в том числе данные о вырождении дефекта продольной компоненты осредненной скорости, приведены в [154, 113]). В [166] представлены наиболее подробные коли чественные данные о поведении линейных размеров следа и интенсивно-стей турбулентных флуктуации полей плотности и скорости в безымпульсном турбулентном следе для достаточно широкого диапазона чисел Фруда,

Введение включая трудно моделируемые в лабораторных условиях большие значения этого параметра. Результаты измерений иллюстрируют анизотропный характер вырождения интенсивностей пульсациоииых составляющих горизонтальной и вертикальной компонент скорости на больших расстояниях от тела и содержат практически полный набор начальных данных для численного моделирования течения.

Лабораторные опыты показывают, что в тех случаях, когда распределение плотности невозмущениой жидкости по глубине является существенно нелинейным, картина течения может сильно отличаться от наблюдаемой в линейно стратифицированной среде. Наиболее характерные изменения были продемонстрированы Gilreath & Brandt [150] на примере пикпоклипа, представляющего собой непрерывный аналог двуслойной жидкости. Основное внимание в этой работе уделялось исследованию внутренних волн, возникающих при движении тела внутри высокоградиентной прослойки пикиоклина. В ходе экспериментов варьировалось соотношение толщины прослойки с изменяющейся плотностью и диаметра тела. Представлены данные о качественной картине течения, отмечена тенденция к формированию в высокоградиентных прослойках (в случае, когда толщина этой прослойки меньше диаметра тела) близких к стационарным внутренних воли конечной амплитуды; выполнены теоретические оценки наблюдаемых внутренних волн.

Похожие диссертации на Численное моделирование динамики безымпульсного турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде

Динамика турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной средеФомина Анжелла Владимировна

Математическое моделирование динамики движения трехкомпонентных сред при различных внешних воздействияхКубанова Асият Караджашевна

Математическое моделирование динамики метастабильных состояний в конденсированных средах и неравновесных процессов плазмообразования в парах металловГусев, Игорь Викторович

Имитационное моделирование динамики популяций, развивающихся в нестационарной средеЛогинов, Константин Константинович

Математическое моделирование динамики негармонических волновых пакетов в стратифицированных средахБулатов Виталий Васильевич

Математическое моделирование динамики вдавливания недеформируемых тел в сплошную среду из импульсно-тепловых машинПенский Олег Геннадьевич

Численное моделирование динамики локального возмущения поля плотности в стратифицированной средеЗудин Андрей Николаевич

Математическое моделирование среды и численные алгоритмы в задаче определения гипоцентров землетрясенияТушко, Тамара Алексеевна

Методы и алгоритмы моделирования среды обитания традиционных поселенийШлей, Михаил Дмитриевич

Вычислительная среда для моделирования задач механики сплошной среды на высокопроизводительных системахЯкобовский Михаил Владимирович