Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Иерархия полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка 18
1. Основные уравнения гидродинамики несжимаемых жидкостей 18
2. Осреднение полей гидродинамических величин 19
3. Уравнения переноса одноточечных корреляционных моментов второго порядка 20
4. Модель с одним уравнением баланса энергии турбулентности 22
5. Двухпараметрическая (є ~ є)- модель турбулентности 24
6. Модели с дифференциальными уравнениями переноса компонент тензора рейнольдсовых напряжений {и'{и^}, вектора потоков (и'{Т'}, дисперсии флуктуации температуры (Т/2) 25
7. Алгебраические модели для напряжений (потоков) 26
ГЛАВА 2. Динамика турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде 29
1. Постановка задачи ; 29
2. Алгоритм решения задачи 35
3. Тестирование и сопоставление моделей 41
4. Динамика дальних турбулентных следов в пассивно стратифи цированной жидкости 57
5. Динамика турбулентных следов в линейно стратифицированной среде 64
ГЛАВА 3. Турбулентный след с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифи цированной среде 73
1. Постановка задачи 73
2. Влияние малого суммарного избыточного импульса на характеристики турбулентного следа в линейно стратифицированной среде 77
3. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами с ма лым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде 82
ГЛАВА 4. Динамика пассивного скаляра в турбулентных следах за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде 92
1. Постановка задачи и алгоритм решения 92
2. Динамика пассивного скаляра 96
3. Упрощенная математическая модель динамики пассивного скаляра в дальнем турбулентном следе 108
Заключение 111
Литература
- Осреднение полей гидродинамических величин
- Динамика дальних турбулентных следов в пассивно стратифи цированной жидкости
- Влияние малого суммарного избыточного импульса на характеристики турбулентного следа в линейно стратифицированной среде
- Упрощенная математическая модель динамики пассивного скаляра в дальнем турбулентном следе
Введение к работе
Свободные турбулентные течения являются классическим объектом исследования теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики. Такие течения играют существенную роль в задачах океанологии, геофизики и экологии, в технических устройствах. Интересным примером пространственного свободного турбулентного течения является турбулентный след за телом вращения в устойчиво-стратифицированной среде.
Течение, возникающее в турбулентном следе за телом, движущимся в стратифицированной жидкости, весьма своеобразно. При сравнительно слабой стратификации турбулентный след вначале развивается почти так же, как и в однородной жидкости, и расширяется симметрично. Однако турбулентной диффузии в вертикальном направлении препятствуют архимедовы силы, поэтому на больших расстояниях от тела след приобретает сплющенную форму и наконец совсем перестает расти в вертикальном направлении. Поскольку вследствие турбулентного перемешивания плотность жидкости в пределах следа распределена более равномерно, чем вне его, архимедовы силы стремятся восстановить прежнее состояние устойчивой стратификации. В результате в плоскости, перпендикулярной оси следа, возникают конвективные течения, приводящие к интенсивной генерации внутренних волн в окружающей жидкости.
Предметом исследования в данной работе являются турбулентные следы за буксируемыми телами вращения, движущимися горизонтально равномерно в бесконечном потоке линейно стратифицированной жидкости. Турбулентные следы и генерируемые ими внутренние волны, будучи достаточно подробно изученными в лабораторных экспериментах, представляют интерес как тест для проверки применимости математических моделей. Весьма важная роль следоподобным течениям отводится в задачах динамики океана [46].
Достаточно полные экспериментальные данные о динамике турбулентного следа за буксируемым телом вращения в линейно стратифицированной среде получены Линем и Пао и представлены в работе Хессида [86].
Серия работ [52, 65, 68, 81, 87, 92, 101, 106] посвящена течению, возникающему при движении буксируемой сферы в линейно стратифицированной жидкости. Изучались различные режимы течения в зависимости от чисел Фруда и Рейнольдса как в ближнем, так и в дальнем следах. В [65] экспериментально и теоретически исследованы внутренние волны, генерируемые при движении сферы в линейно стратифицированной жидкости. Рассмотрена волновая составляющая следа, связанная с когерентными структурами. Подробный анализ экспериментальных данных о вырождении турбулентных следов за буксируемыми и самодвижущимися телами в линейно стратифицированных жидкостях и теоретические оценки параметров волн выполнены в [68, 109].
Теоретически начальная стадия развития следа в линейно стратифицированной среде изучена в [47, 48] с применением разработанной алгебраической модели рейнольдсовых напряжений и потоков. Численное моделирование турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде, основанное на локально-равновесном приближении для рейнольдсовых напряжений и потоков, осуществлено в [86]. Получено удовлетворительное соответствие с экспериментальными данными Линя и Пао, приведенными в этой работе. Внутренние волны не рассматривались. В работах [43, 70, 73] выполнено численное моделирование не только характеристик собственно турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде, но и генерируемых им внутренних волн. В [29] на основе алгебраической модели рейнольдсовых напряжений и потоков и метода интегральных соотношений получены данные о поведении размеров турбулентного следа как в устойчиво стратифицированной среде, так и в среде с неустойчивой стратификацией.
Подробное сопоставление характеристик внутренних волн, генерируемых турбулентными следами за буксируемым и самодвижущимся телами осуществлено в [15,16]. Показано, что турбулентный след за буксируемым телом генерирует внутренние волны существенно большей амплитуды. Дана физи-
^ ческая интерпретация полученного результата.
Как уже отмечалось выше, важная роль следоподобным и турбулентным течениям отводится в задачах динамики океана. Так, в работе Р.В. Озмидова и В.Н. Набатова [46] описаны наблюдения за трансформацией гидрофизических полей и турбулентностью, возникающими при обтекании океаническим потоком горы Ампер в Атлантическом океане. Проведены измерения тонкой структуры осредненных характеристик гидрофизических полей и турбулентности вдоль турбулизованного следа. Вблизи вершины горы, при ее обтека-
ф нии, происходила генерация турбулентности и формировался турбулентный
след, простирающийся от горы вдоль направления течения. В качестве основного механизма генерации турбулентности отмечается генерация за счет сдвиговых эффектов и неустойчивости внутренних волн, порожденных при обтекании горы. На расстояниях от вершины порядка 500 — 700 метров роль порождения турбулентности незначительна и происходит вырождение турбулентности в следе. Отмечается, что на начальной стадии, когда энергия турбулентности велика, след в поперечном сечении растет приблизительно одинаково как в горизонтальном, так и вертикальном направлении. По мере вырождения начинает сказываться воздействие сил плавучести и след, перестает расти в вертикальном направлении (полная аналогия с турбулентными следами за телами, обтекаемыми стратифицированной жидкостью). Построена интегральная модель следа. Получен закон убывания скорости диссипации энергии турбулентности в следе в зависимости от расстояния от горы,
ф согласующийся с результатами натурных измерений. Эти результаты, их ин-
терпретация и обобщение, оценка роли следоподобных турбулентных образований в динамике океанов, были представлены в докладе Р.В. Озмидова на заседании международной рабочей группы "Процессы переноса в океане и их лабораторные модели"[97].
В последние годы турбулентные следы за телами по-прежнему интенсивно изучаются. Целая серия исследований выполнена в Институте прикладной физики РАН. Так, в работе Г.Н. Баландиной, В.В. Папко, Д.А. Сергеева, Р.А.
Сударикова, Ю.И. Троицкой [3] осуществлено экспериментальное исследование следа за телами различной формы в стратифицированной жидкости. Эксперименты проводились в одном из бассейнов ИПФ РАН, в качестве метода наблюдения использовался метод PIV (Particle Image Velocimetry). Основное внимание было уделено исследованию динамики следа за телами на больших временах вырождения в зависимости от их формы. Рассматривались режимы течения, соответствующие достаточно большим значениям чисел Рейнольдса и Фруда. Продемонстрирована существенная зависимость параметров следа (максимума дефекта продольной компоненты скорости и полуширины следа) от формы тела. Результаты измерений сопоставлены с теоретическими данными одного из авторов (Ю.И. Троицкой).
Серия лабораторных экспериментов выполнена В.И. Казаковым, Ю.И. Троицкой, Э.Н. Шабалиной [32]. Эксперименты посвящены изучению турбулентных следов за эллипсоидом вращения (также для больших значений чисел Рейнольдса и Фруда) в Большом экспериментальном бассейне ИПФ РАН с температурной стратификацией термоклинного типа. Получены экспериментальные данные о поведении ряда осредненных гидродинамических величин в следе и их пульсационных значений. Особое внимание уделялось измерению осредненной продольной компоненты скорости течения. Условия экспериментов позволяли проводить измерения вплоть до очень больших значений времени. Как и в предыдущей работе результаты измерений сопоставляются с теоретическими, полученными Ю.И. Троицкой. Согласие с экспериментальными данными достаточно хорошее.
Работа Д.А. Сергеева и Ю.И. Троицкой [51] посвящена разработке упрощенной модели следа на больших временах вырождения. След рассматривается как квазистационарное струйное течение, на котором развиваются нарастающие за счет гидродинамической неустойчивости возмущения. Нарастание этих возмущений сопровождается передачей им импульса от среднего течения, в результате чего происходит уменьшение осевых значений дефекта продольной компоненты скорости и увеличение его ширины. Процесс
,^ эволюции следа описывается в квазилинейном приближении. Квазилинейное
приближение используется и за границами его применимости. Как показали оценки авторов, квазилинейное приближение дает хорошее описание наблюдаемых в эксперименте полей скорости до тех пор, пока характерный масштаб нелинейного критического слоя, определяемого по всему спектру возмущений, меньше или порядка характерного поперечного размера следа. По мнению авторов, следует ожидать, что учет вертикального переноса импульса приведет к более быстрому убыванию амплитуды возмущений и даст
ф возможность применять квазилинейное приближение на больших временах.
Результаты теоретического анализа сопоставляются с экспериментальными данными Спеддинга [103], Бонниера [66] и результатами прямого численного моделирования Гоурлея, Арендта, Фритца и Верне [85]. Получено удовлетворительное соответствие. Расхождение наблюдается на достаточно больших временах. Авторы объясняют их ограничениями модели, не учитывающей вертикальный перенос импульса. Для не очень больших значений времени
такое допущение оправдано, т. к. можно считать, что возмущения на раз-it
личных горизонтах развиваются независимо. Однако (по мнению авторов)
со временем возрастает вертикальный сдвиг скорости, что приводит к увеличению вертикального переноса импульса и более быстрому уменьшению скорости в центре следа. Отмечается, что, по-видимому, учет вертикального переноса импульса позволит объяснить более быстрое убывание возмущений скорости, наблюдаемое в экспериментах. Дальнейшее обобщение исследова-
> ния получили в работах Г.В. Баландиной, В.В. Папко, Д.А. Сергеева, Ю.И.
Троицкой, Е.Н.Захаровой [64] и Г.Н. Баландиной, В.В. Папко, Д.А. Сергеева, Ю.И. Троицкой [4]. К сожалению, экспериментальные данные о вырождении характеристик турбулентности в следе и генерируемых ими внутренних волн существенно неполны. В частности, отсутствуют экспериментальные данные об анизотропном вырождении турбулентности в следах за телами в стратифицированной жидкости.
т В работе Гоурлея, Арендта, Фритса и Верне [85] осуществлено прямое чис-
*, ленное моделирование (DNS) динамики турбулентных следов в однородной
и стратифицированной жидкостях на больших временах вырождения (late wake, long time evolution, late times of degeneration). Основное внимание уделяется когерентным вихрям. Принципиально могут быть рассмотрены турбулентные следы как за самодвижущимся, так буксируемыми телами, но основное внимание уделено моделированию турбулентных следов за буксируемыми телами в однородной и стратифицированной жидкостях. Турбулентный след в однородной жидкости характеризовался числом Рейнольдса, равным
Ф Reo = Ю4.В стратифицированной жидкости Reo = 104; Fr = 10. Обсуж-
даются и меньшие значения числа Fr. Дано описание численной модели. Представлены результаты численных экспериментов и их обсуждение. Тестирование численной модели осуществлялось на задаче о быстровращающем-ся турбулентном конвективном течении Рэлея — Бернара [89]. Вычисления при решении основной задачи осуществлялись на суперкомпьютере, включающем 64 процессора 195 MHz MIPS R 10000. Впечатляющими являются затраты компьютерного времени — 25000 часов CPU на каждый вариант, без учета времени обработки и визуализации. Уравнения Навье — Стокса (в приближении Обербека — Буссинеска) решались с применением спектрального метода. Интегрирование по времени осуществлялось на основе метода Рунге — Кутта 3-го порядка точности. Весьма интересным является вывод о том, что в отличие от случая однородной жидкости возникающие в "позднем " стратифицированном следе вихревые структуры не расходятся друг от
Щ друга. Стратификация создает более регулярную структуру течения.
Доммермус, Роттман, Иннис и Новиков [82] выполнили численное моделирование турбулентного следа за сферой в слабостратифицированной жидкости. Рассмотрены случаи однородной жидкости и однородной (с постоянной частотой Вяйсяля) стратификации; Re = 104; 105. Для числа Re = 104 результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными. Числу Re = 105 соответствует более тонкая структура турбулентности в следе, однако основные черты течения не изменяются в сравнении с более низким числом
'Ф Re. В качестве метода численного моделирования используется метод круп-
ных вихрей (LES). Анализируется поведение крупномасштабных турбулентных вихрей и их эволюция в.квазидвумерные вихревые структуры, наблюдаемые в "поздних" следах. По мнению авторов, интересным является также взаимодействие индивидуальных вихрей со стратификацией, приводящей к генерации случайных внутренних волн, наблюдаемых в экспериментах Гиль-реаса и Брандта [84]. По мнению авторов, известные подходы к численному моделированию (полуэмпирические модели турбулентности, основанные на
ф привлечении уравнений переноса рейнольдсовых напряжений; прямое чис-
ленное моделирование) не позволяют детализировать вихревую структуру в перемежающемся режиме динамики следа. Результаты расчетов демонстрируют зарождение когерентных вихрей в "позднем" следе, несмотря на их полное отсутствие в начальный момент времени. Как и в предыдущей работе наблюдался режим течения в дальнем следе, названный "pancake eddies". Результаты исследования согласуются также с экспериментальными данными Spedding et al [107], Spedding [103], Chomaz et al [81].
Турбулентные следы с малым (ненулевым) суммарным избыточным импульсом в однородной жидкости рассматривались в целом ряде работ [28, 39, 40, 43, 54]. Анализ выполненных в них исследований показывает, что малый ненулевой импульс приводит к существенному изменению поведения дефекта продольной компоненты скорости. Однако, как это показано, например, в [54], суммарная (в поперечном сечении следа) энергия турбулентности сла-
'ф. бо зависит от малых вариаций нулевого избыточного импульса по крайней
мере до расстояний в несколько сотен диаметров. Асимптотическое (на предельных расстояниях от тела) поведение таких следов определяется знаком суммарного избыточного импульса [28, 40].
Безымпульсные турбулентные следы в устойчиво стратифицированной жидкости изучены достаточно подробно [7]—[16], [18, 19, 21, 22, 41, 69, 72, 73, 80, 108]. С привлечением иерархии математических моделей второго поряд-ка выполнено численное моделирование безымпульсного турбулентного следа
и генерируемых им внутренних волн в линейно стратифицированной среде. Осуществлено детальное сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными Линя и Пао о вырождении турбулентности в безымпульсном турбулентном следе в линейно стратифицированной среде. Удовлетворительное описание анизотропного вырождения интенсивностей турбулентных флуктуации продольной и вертикальной компонент скорости получено с использованием математических моделей, включающих дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Применение усовершенствованных аппроксимаций тройных корреляций поля скорости и уравнения переноса скорости диссипации позволило более детально описать поведение вертикального размера турбулентного следа и интенсивностей турбулентных флуктуации продольной и вертикальной компонент скорости [12]-[14]. Выполнен численный анализ характеристик внутренних волн, генерируемых безымпульсным следом в линейно стратифицированной среде. Показано, что параметры внутренних волн слабо зависят от применяемой модели турбулентности, а рассчитанная фазовая картина внутренних волн достаточно хорошо согласуется с результатами лабораторных измерений Чашечкина [80]. Построены упрощенные математические модели дальнего турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн. В [41, 59, 72, 80] показано, в частности, что при t/T > 1 течение в следе в линейно стратифицированной среде расщепляется на волновой и диффузионный процессы, причем лишь малая часть заданной в начальном сечении следа суммарной энергии турбулентности переходит в энергию внутренних волн.
Влияние начальной закрутки на эволюцию безымпульсных следов за шарообразными телами в линейно стратифицированной жидкости оценено в работе Глушко, Гумилевского, Полежаева [23]. Плоские следы за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной жидкости рассмотрены в [2].
Цикл исследований [17, 20] посвящен численному моделированию распространения пассивного скаляра от мгновенного локализованного источника в
плоской зоне турбулентного смешения в устойчиво стратифицированной среде.
Анализируя цитированную литературу, можно сделать вывод о недостаточной полноте численных моделей динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде. Отсутствует подробный анализ применимости алгебраических моделей турбулентных напряжений и потоков, а также более общей модели, включающей в себя дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Отсутствует анализ автомодельного вырождения следов за буксируемыми телами в пассивно стратифицированной среде. Недостаточно полным является сопоставление параметров турбулентных следов за буксируемым и самодвижущимся телами в линейно стратифицированной среде. Отсутствует анализ анизотропного вырождения турбулентности в дальнем турбулентном следе за буксируемым телом вращения в линейно стратифицированной среде. Представляет интерес численное моделирование турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде (такое течение достаточно подробно изучено в случае однородной жидкости [28, 39, 40, 54]). Практически неизученной является динамика пассивного скаляра в турбулентных следах за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной среде. Рассмотрению этих вопросов посвящена настоящая работа.
Турбулентные следы за телами вращения являются классическим объектом исследования теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики, имеющим весьма важные приложения. Следам и следоподобным локальным турбулентным образованиям отводится существенная роль в задачах обтекания тел, энергетики и экологии, динамики атмосферы и океана. Инструментальные измерения параметров следоподобных образований в неоднородной по плотности (температуре) среде даже в лабораторных условиях представляют собой труднорешаемую задачу. Имеющиеся математические модели недостаточно полны. В связи с этим разработка надежных и эф-
фективных численных моделей и исследование на их основе турбулентных течений в следах за буксируемыми телами в.линейно стратифицированной среде является весьма актуальной проблемой.
Цель работы состоит:
— в разработке усовершенствованных численных моделей динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде, основанных как на применении алгебраических представлений для рейнольд-совых напряжений и потоков, так и более сложной модели турбулентности, включающей дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольд-совых напряжений;
в численном моделировании эволюции турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде;
в численном анализе динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде.
Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
построены усовершенствованные численные модели турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде; осуществлено тестирование численных моделей на известных экспериментальных данных; изучена динамика турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде в сопоставлении с динамикой безымпульсного турбулентного следа; выполнено численное моделирование анизотропного вырождения турбулентности в следе за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде;
построена численная модель турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде;
выполнено численное моделирование динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде; построена упрощенная диффузионная модель переноса пассивного скаляра в дальних турбулентных следах.
Достоверность полученных результатов подтверждается привлечением иерархии моделей турбулентного движения, проведением многочисленных тестовых расчетов, контролем сходимости решений на последовательности сеток, удовлетворительным согласованием результатов с теоретическими, экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов.
На защиту выносятся:
численные модели и результаты численного моделирования турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде;
результаты численного исследования турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде;
численная модель распространения пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: СНТ-04 Advances in Computational Heat Transfer 3 (Норвегия, 19-24 апреля 2004), "Методы аэрофизических исследований "(Новосибирск, 28 июня-3 июля 2004), 7-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк, 4-5 декабря 2004), 4-th International Conference on Computational Heat and Mass Transfer (Париж, 17-20 мая 2005); обсуждались на семинарах Института Вычислительных Технологий СО РАН (рук. академик Ю.И. Шокин и профессор В.М. Ковеня), Института Гидродинамики им. МА. Лаврентьева СО РАН (рук. проф. А.Ф. Воеводин).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 11 работ [44, 45, 56, 57, 75, 76, 77, 78, 79, 95, 96]. В совместных публикациях диссертант занималась обсуждением постановок задач на дифференциальном и конечно разностном уровнях, реализацией численных алгоритмов; принимала участие в анализе результатов расчетов. Ею самостоятельно проведены численные эксперименты.
Научная и практическая ценность работы
Разработанные численные модели могут быть использованы для численного моделирования динамики турбулентных следов за буксируемыми телами, свободных сдвиговых турбулентных течений в линейно стратифицированной среде; для анализа известных лабораторных экспериментов и планирования новых.
Диссертационная работа является составной частью плановых исследований Института вычислительных технологий СО РАН "Информационно-вычислительные технологии в задачах поддержки принятия решений "(N гос. регистрации 0120.0408295). Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (код проекта 04-01-00209а) и грантом НШ 2314.2003.1 Президента РФ.
Структура и объем диссертации
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 109 наименования. Полный объем диссертации — 124 страницы, включая 31 рисунок и 24 таблицы.
Краткое содержание диссертации
Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы. Приведен обзор работ по тематике диссертации. Сформулированы цели работы, дано краткое описание диссертации по главам.
В Главе 1 приводится краткий обзор полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка. Основное внимание в этой главе уделено моделям турбулентности, включающим в себя дифференциальные уравнения переноса компонент тензора рейнольдсовых напряжений {u'ju'j) и алгебраическим моделям рейнольдсовых напряжений и потоков.
В Главе 2 построены усовершенствованные численные модели динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде. Рассмотрены как модели, основанные на применении алгебраических представлений для рейнольдсовых напряжений и потоков, так и математическая модель, включающая дифференциальные уравнения переноса
,^ нормальных рейнольдсовых напряжений. Конечно-разностные аналоги полу-
чены с использованием методов расщепления по пространственным переменным и физическим процессам. Осуществлено тестирование численных моделей. Приведены результаты расчетов, демонстрирующие динамику дальнего турбулентного следа за буксируемым телом в сопоставлении с динамикой дальнего следа за самодвижущимся телом как в пассивно, так и активно стратифицированной жидкости. Показано, что турбулентный след за буксируемым телом характеризуется существенно большими геометрическими разме-
ф рами. Это обусловлено тем, что в турбулентном следе за буксируемым телом
имеется порождение за счет градиентов осредненной продольной компоненты скорости. Рассмотрен вопрос об анизотропном вырождении турбулентности в следе за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде.
В Главе 3 представлены результаты численного моделирования динамики турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде. Показано, что турбулентный след с малым избыточным импульсом (порядка ±10% от величины избыточного импульса в следе за буксируемым телом) генерирует внутренние волны, незначительно отличающиеся от индуцируемых безымпульсным турбулентным следом. Как и в случае однородной жидкости, малый ненулевой избыточный импульс существенно влияет лишь на вырождение дефекта осредненной продольной компоненты скорости.
В Главе 4 построена численная модель динамики пассивного скаляра
щ< в турбулентных следах за телами, движущимися в однородной и линейно
стратифицированной средах. Результаты расчетов в однородной жидкости демонстрируют автомодельное поведение характеристик пассивного скаляра на больших расстояниях от тела. Полученные в численных экспериментах законы автомодельного вырождения для безымпульсного следа и следа за буксируемым телом различаются существенно и согласуются с результатами асимптотического анализа других авторов. Результаты расчетов в линейно
w стратифицированной среде иллюстрируют воздействие силы тяжести. По-
строєна упрощенная диффузионная модель переноса характеристик пассивного скаляра в дальних турбулентных следах в линейно стратифицированной среде.
В Заключении перечислены основные результаты проведенных исследований.
Автор выражает глубокую признательность научному руководителю доценту, к.ф.-м.н. Николаю Павловичу Мошкину и научному консультанту профессору, д.ф.-м.н. Геннадию Георгиевичу Черных за постоянное внимание и помощь на всех этапах работы над диссертацией.
Осреднение полей гидродинамических величин
Турбулентные следы с малым (ненулевым) суммарным избыточным импульсом в однородной жидкости рассматривались в целом ряде работ [28, 39, 40, 43, 54]. Анализ выполненных в них исследований показывает, что малый ненулевой импульс приводит к существенному изменению поведения дефекта продольной компоненты скорости. Однако, как это показано, например, в [54], суммарная (в поперечном сечении следа) энергия турбулентности сла ф. бо зависит от малых вариаций нулевого избыточного импульса по крайней мере до расстояний в несколько сотен диаметров. Асимптотическое (на предельных расстояниях от тела) поведение таких следов определяется знаком суммарного избыточного импульса [28, 40].
Безымпульсные турбулентные следы в устойчиво стратифицированной жидкости изучены достаточно подробно [7]—[16], [18, 19, 21, 22, 41, 69, 72, 73, 80, 108]. С привлечением иерархии математических моделей второго поряд-ка выполнено численное моделирование безымпульсного турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн в линейно стратифицированной среде. Осуществлено детальное сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными Линя и Пао о вырождении турбулентности в безымпульсном турбулентном следе в линейно стратифицированной среде. Удовлетворительное описание анизотропного вырождения интенсивностей турбулентных флуктуации продольной и вертикальной компонент скорости получено с использованием математических моделей, включающих дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Применение усовершенствованных аппроксимаций тройных корреляций поля скорости и уравнения переноса скорости диссипации позволило более детально описать поведение вертикального размера турбулентного следа и интенсивностей турбулентных флуктуации продольной и вертикальной компонент скорости [12]-[14]. Выполнен численный анализ характеристик внутренних волн, генерируемых безымпульсным следом в линейно стратифицированной среде. Показано, что параметры внутренних волн слабо зависят от применяемой модели турбулентности, а рассчитанная фазовая картина внутренних волн достаточно хорошо согласуется с результатами лабораторных измерений Чашечкина [80]. Построены упрощенные математические модели дальнего турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн. В [41, 59, 72, 80] показано, в частности, что при t/T 1 течение в следе в линейно стратифицированной среде расщепляется на волновой и диффузионный процессы, причем лишь малая часть заданной в начальном сечении следа суммарной энергии турбулентности переходит в энергию внутренних волн.
Влияние начальной закрутки на эволюцию безымпульсных следов за шарообразными телами в линейно стратифицированной жидкости оценено в работе Глушко, Гумилевского, Полежаева [23]. Плоские следы за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной жидкости рассмотрены в [2].
Цикл исследований [17, 20] посвящен численному моделированию распространения пассивного скаляра от мгновенного локализованного источника в плоской зоне турбулентного смешения в устойчиво стратифицированной среде.
Анализируя цитированную литературу, можно сделать вывод о недостаточной полноте численных моделей динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде. Отсутствует подробный анализ применимости алгебраических моделей турбулентных напряжений и потоков, а также более общей модели, включающей в себя дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Отсутствует анализ автомодельного вырождения следов за буксируемыми телами в пассивно стратифицированной среде. Недостаточно полным является сопоставление параметров турбулентных следов за буксируемым и самодвижущимся телами в линейно стратифицированной среде. Отсутствует анализ анизотропного вырождения турбулентности в дальнем турбулентном следе за буксируемым телом вращения в линейно стратифицированной среде. Представляет интерес численное моделирование турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде (такое течение достаточно подробно изучено в случае однородной жидкости [28, 39, 40, 54]). Практически неизученной является динамика пассивного скаляра в турбулентных следах за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной среде. Рассмотрению этих вопросов посвящена настоящая работа.
Динамика дальних турбулентных следов в пассивно стратифи цированной жидкости
Представляет интерес течение в турбулентных следах в пассивно страти фицированной среде, когда воздействием силы тяжести можно пренебречь. Такая ситуация может возникнуть на начальной стадии течения, характе #У ризующегося достаточно большим значением Фруда. В этом случае задача имеет автомодельное решение Uu = Udm /u(r/L1/2), є = е0 fe(r/Li/2), Pi = PoaLi/2 Я(у/1/2, z/L1/2) , (p 2) = (poO- 1/2) R(y/Li/2, z/Li/2) ( здесь характерная полуширина следа определяется из соотношения e(cc,Li/2) = е(ж, 0)/2 ,г = л/у2 + z2).
Результаты настоящего параграфа получены на основе Модели 1; близкие N результаты получаются и на основе других Моделей. Автомодельные распределения дефекта продольной компоненты скорости представлены на Рис. 2.8 (а), (б). Рис. 2.8 (а) соответствует безымпульсному следу; Рис. 2.8 (б) — следу за буксируемым телом. Можно видеть, что эти рас пределения отличаются весьма значительно, что обусловлено существенным различием следов за самодвижущимся и буксируемым телами (разумеется, этот факт достаточно хорошо известен). Распределение дефекта продольной Щ компоненты скорости в случае самодвижущегося тела обеспечивает нулевой суммарный избыточный импульс. Автомодельные функции fe(r/Li/2) приведены на Рис. 2.8 (в), (г). Обе эти функции являются финитными колоко-лообразными. Однако профиль автомодельного распределения энергии турбулентности в следе за буксируемым телом существенно более "наполнен". Последнее обусловлено наличием порождения энергии турбулентности в следе за буксируемым телом за счет градиентов осредненной продольной ком-поненты скорости. Как известно, течение в следе за самодвижущимся телом Ф уже на расстоянии порядка 10 диаметров [1] от тела становится практически бессдвиговым (Ud = 0., {u iUj) = 2/3 Sije) .
Характеризующие степень перемешивания жидкости в турбулентном сле де автомодельные функции Я(0, z/Li/2) приведены на Рис. 2.8 для безым пульсного следа (д) и следа за буксируемым телом (е). Можно видеть, что максимальные значения этих функций незначительно отличаются от 0.25, что согласуется с имеющимися представлениями о неполном перемешивании жидкости в следах [7, 8, 19, 43].
Изменение осевых значений Udm{%) дефекта продольной компоненты ско рости и энергии турбулентности ео(х) представлено на Рис. 2.9 (а) - (г). Пунк тирными линиями на этих рисунках изображены автомодельные законы вы рождения. Штрих-пунктирные соответствуют линейно стратифицированной жидкости (Fd = 280); их поведение будет обсуждаться ниже, в следующем параграфе. Характеризующие расширение следов функции Ь\/2 приведены на Рис. 2.9 (д), (е). Пунктирные линии по прежнему соответствуют автомо ч дельным законам. Эти законы отличаются весьма значительно [24]. В связи с этим, анализируя поведение графиков функций H(0,z/Li/2), можно сделать вывод о том, что турбулентность в следе за буксируемым телом приводит к перемешиванию значительно большей (чем в случае безымпульсного следа) массы жидкости. Последнее, как отмечалось в [15, 16], приводит к генерации турбулентным следом за буксируемым телом волн существенно большей амплитуды в сравнении со следом за самодвижущимся телом.
Поведение осевых значений (р/2) для безымпульсного следа и следа за буксируемым телом иллюстрируется Рис. 2.10 (а), (б) . Как и выше, пунктирные линии соответствуют законам автомодельного вырождения; штрих-пунктирные - линейной стратификации; Fd = 280. Величина (р/2) на Рис. 2.10 (так же, как и на Рис. 2.6) определялась из алгебраического соотношения (2.1.14). Представляет интерес численное моделирование динамики (р/2) в пассивно стратифицированной среде с применением хорошо известного диф Щ ференциального уравнения переноса этой величины [49] а( ) уд{р) t wd(p ) д д(р") а э(Р 2) cte 5?/ 9z dy w 9у 3z pz 9z -2( ) -2( ) - . (2.4.1) В уравнении (2.4.1): C,(v 2)e С 2)е к ру = Aip = {vp) = -Kpy-— 1 {wp) = -Kpz-Q-, NP = CT— -. Начальное условие для (р 2} на расстоянии х = XQ ОТ тела имеет вид: (р/2)(хо,у, 2) = 0, г2 = y2+z2, 0 г со; —со z со, —со у со, гс = х
Граничные условия на осях симметрии принимаются следующими: дір 2) dip 2) - -1 = 0, у = 0, z 0; - = 0, z = 0, 2/ 0. оу OZ
Рассчитанные автомодельные функции R(0, 2/L1/2) представлены на Рис. 2.11 (а),(Ь). Изменение осевых значений (р 2}0 в зависимости от расстояния от тела для безымпульсного следа и следа за буксируемым телом приведены на Рис. 2.12 (а),(б). Можно видеть, что алгебраическое соотношение (2.1.14) и дифференциальное уравнение (2.4.1) приводят к заметно различающимся результатам. Тем не менее, соотношение (2.1.14) может использоваться для оценки величины (р 2).
Влияние малого суммарного избыточного импульса на характеристики турбулентного следа в линейно стратифицированной среде
На Рис. 3.1, 3.2 приведено изменение в зависимости от расстояния от тела значений дефекта осевой скорости Udo = Ud(x, 0,0) и энергии турбулентности ео = ео(я) = е(х, 0,0) в случае безымпульсного следа и следа с избыточным импульсом ±5% и ±10% от величины избыточного импульса за буксируемым телом. Штриховые линии соответствуют результатам численных экспериментов Хессида [86]. Можно видеть (Рис. 3.1, 3.2), что воздействие малого ненулевого импульса, как в случае однородной, так и стратифицированной Ф жидкости, сказывается в большей степени на поведении дефекта продольной компоненты скорости.
В дополнение к Рис. 3.1, 3.2 в Табл. 3.1, 3.2 представлены данные об изменении осевых значений энергии турбулентности и дефекта продольной компоненты скорости для +10% величины суммарного избыточного импульса в зависимости от применяемой сетки и времени. Верхние индексы 1-3 соответствуют сеткам 1-3; нижний индекс m означает осевое значение величины для безымпульсного следа. Видно, что значения дефекта скорости отличаются ф) более, чем в три раза от соответствующих осевых значений в безымпульсном следе. При этом осевые значения энергии турбулентности отличаются несущественно. Представленные в Табл. 3.1, 3.2 данные практически не зависят от применяемой сетки.
С целью изучения характеристик внутренних волн, генерируемых турбулентными следами с малым избыточным импульсом в линейно стратифицированной жидкости, выполнены расчеты для плотностного числа Фруда Fd = 280. Такое значение Fd соответствует условиям одного из экспериментов Линя и Пао для безымпульсного следа [93]. Поскольку в случае линейной стратификации имеет место подобие по плотностному числу Фруда, представленные ниже результаты справедливы для произвольного достаточно большого числа Фруда [41].
Начальные данные по-прежнему задавались при XQ = 8D для безымпульсного следа и при XQ = 11D для следа за буксируемым телом в виде функций (3.:11 ,(3.4І5). Основные вычисления проводились на сетке, содержащей 72 х 37 ячеек (сетка 2). В плоскости (у, z) узлы сеточной области распределялись следующим образом Уі = і- hZy, і = 0,..., 31; у{ = 2/і_і g3y, г = 32,..., 72, qiy = 1.06, Zj=j-h3z, .7 = 0,..., 11; Zj = Zj-i-q3z, j = 12,...,37, g3z = 1.113, hzy = h z = 0.075, шаг сетки /і" для х 19 изменялся от 0.055 по формуле /і"+1 = Щ. 4- 0.055 до 3.0 и далее полагался постоянным.
На Рис. 3.3 (а), (б) представлены линии (pi)/aDpo = const для следов за самодвижущимся телом и телом с суммарным избыточным импульсом ±5% и ±10% от величины импульса за буксируем телом соответственно. Уровни изменяются от -0.015 до 0.015 с интервалом 0.005 ; t/T = 1.0,3.0. Затененные области соответствуют отрицательным значениям дефекта плотности. Грани-". цы между затененными и незатененными областями соответствуют нулевым значениям. Фазовая картина внутренних волн при t/T = 1.0,3.0 иллюстрируется рис. 3.4 (а), (б), где приведены изолинии д (pi)/dy = const. Значения уровней изменяются от -0.015 до 0.015 с интервалом 0.005. В затененных областях д (р\)/ду 0; границы между затененными и незатененными областями соответствуют линиям постоянной фазы д (рг)/ду = 0. Можно видеть, что фазовые характеристики для следов за телами с небольшим избыточным импульсом и самодвижущимся телами достаточно близки.
Динамика генерируемых турбулентными следами внутренних волн иллюстрируется также Рис. 3.5 (а),(б),(в), на которых представлена динамика изолиний ро — (р) = ро — p s{zc) для t/T = 1; 3; 5, ро = l/(aD). Сплошные линии соответствуют безымпульсному следу, сплошные жирные линии — следу за буксируемым телом; штрих-пунктирные — следу за телом с избыточным импульсом ±10% от величины импульса за буксируемым телом. Рис. 3.5 (а) соответствует z = zc/D = 0.07; Рис. 7 (б),(в) - z = 0.2; 1.0. Обращает на себя внимание то обстоятельство, что внутренние волны, генерируемые следом за буксируемым телом, имеют существенно большую амплитуду чем в случае за самодвижущимся телом и в случае, когда тяга тела отличается от сопротивления на небольшую величину, мало отличаются от случая It = 0 (детальное сопоставление параметров внутренних волн, генерируемых турбулентными следами за самодвижущимся и буксируемым телами осуществлено в [15, 74]).
Упрощенная математическая модель динамики пассивного скаляра в дальнем турбулентном следе
В работе [41] предложен подход к построению упрощенных моделей дальнего турбулентного следа. Он реализован в [43, 59, 72, 80] применительно к характеристикам собственно турбулентного следа и генерируемых следом внутренних волн. Подход основан на расщеплении течения в следах при больших значениях времени вырождения на волновой и диффузионный процессы. В условиях линейной стратификации при t/T 1 взаимное воздействие следа и генерируемых внутренних волн практически прекращается. Ниже в Табл. 4.9-4.12 представлены результаты численных экспериментов, в которых первоначально расчеты производились по полной модели. Далее при t/T 1 (t/T 2) характеристики собственно турбулентного следа и пассивного скаляра в нем рассчитывались по диффузионной модели (V = W = 0,д ф 0). Представленные в Табл. 4.9-4.12 результаты расчетов наглядно демонстрируют применимость упрощенной диффузионной модели к расчету характеристик пассивной примеси в дальнем следе. Индекс 1 в этих таблицах соответствует расчету по упрощенной модели при t/T 1; индекс 2 - при t/T 2. Применение упрощенной диффузионной модели позволяет по меньшей мере на порядок сократить время расчета.
Основные результаты Главы 4 сводятся к следующему. Результаты расчетов в однородной жидкости демонстрируют автомодельное поведение характеристик пассивного скаляра на больших расстояниях от тела. Полученные в численных экспериментах законы автомодельного вырождения для безымпульсного следа и следа за буксируемым телом различаются существенно и согласуются с результатами асимптотического анализа других авторов. Результаты расчетов в линейно стратифицированной среде иллюстрируют воздействие силы тяжести. Построена упрощенная диффузионная модель динамики пассивного скаляра в дальних турбулентных следах.
1. Построены усовершенствованные численные модели динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде. Модели основаны на применении иерархии полуэмпирических моделей турбулентности, включающей в себя модель с дифференциальными уравнениями переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Конечно-разностные аналоги получены с использованием методов расщепления по пространственным переменным и физическим процессам. Осуществлено тестирование численных моделей. Выполнен численный анализ автомодельного вырождения турбулентного следа за буксируемым телом в пассивно стратифицированной среде. Осуществлено численное моделирование анизотропного вырождения турбулентности в следе за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде.
2. Решена задача о динамике турбулентного следа с малым ненулевым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде. Показано, что турбулентный след с малым избыточным импульсом (порядка ±10% от величины избыточного импульса в следе за буксируемым телом) генерирует внутренние волны, незначительно отличающиеся от индуцируемых безымпульсным турбулентным следом. Как и в случае однородной жидкости, малый ненулевой избыточный импульс существенно влияет на вырождение дефекта осредненной продольной компоненты скорости.
3. Выполнено численное моделирование динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде. Построена упрощенная диффузионная модель переноса пассивного скаляра в дальних турбулентных следах.
