Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Новые семейства фазовых портретов в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой 18
1.1 Случай наличия в системе двух пар сил 19
1.1.1 Явные и неявные точки покоя системы второго порядка 19
1.1.2 Неявные положения равновесия системы второго порядка, соответствующие нетривиальным частным решениям 20
1.1.3 Расслоения фазового пространства, его симметрии и начало топологического анализа 20
1.1.4 Классификация фазовых портретов системы на двумерном цилиндре для некоторой области параметров 22
1.2 Случай наличия в системе лобового сопротивления и дополнительного демпфирования 26
1.2.1 Явные и неявные точки покоя системы второго порядка 28
1.2.2 Неявные положения равновесия системы второго порядка, соответствующие нетривиальным частным решениям 29
1.2.3 Расслоения фазового пространства, его симметрии и начало топологического анализа 30
1.2.4 Классификация фазовых портретов системы на двумерном цилиндре для некоторой области параметров 31
ГЛАВА 2. Некоторые случаи интегрируемости в элементарных функциях 42
2.1 Задача о движении со следящей силой 42
2.2 Случай отсутствия зависимости момента сил от угловой скорости 44
2.2.1 Приведенная система
2.2.2 Список первых интегралов 45
2.3 Случай зависимости момента сил от угловой скорости 49
2.3.1 Введение зависимости от угловой скорости и приведенная система 49
2.3.2 Список первых интегралов 50
ГЛАВА 3. Об устойчивости ключевого режима движения 55
3.1 Устойчивость по линейному приближению 55
3.2 О рождении предельного цикла из слабого фокуса 57
3.3 Движение конкретного твердого тела с конусообразной передней частью в воде 59
Приложение 62
Заключение 74
Библиографический список
- Явные и неявные точки покоя системы второго порядка
- Классификация фазовых портретов системы на двумерном цилиндре для некоторой области параметров
- Список первых интегралов
- О рождении предельного цикла из слабого фокуса
Явные и неявные точки покоя системы второго порядка
Таким образом, тройка функций R(a),s(a),b(a) определяет воздействие средві на твердое тело в условиях квазистационарности [65]. В данном случае конусообразная конструкция поверхности тела и гипотеза о квазистатическом воздействии среды позволили сформулировать полную схему сил, в которую входят все характеристики. При этом в дальнейшем полный нелинейный анализ построенных систем проводится, вообще говоря, как ранее известными методами качественной теории, так и новыми методами, полученными исключительно для возникающих систем с так нызываемой переменной диссипацией [79, 80, 81, 82, 83].
Допустим, что среди движений тела существует режим прямолинейного поступательного торможения. Это возможно при выполнении двух условий, а именно: (1) скорости движения всех точек тела параллельны оси Dx; (2) перпендикуляр, опущенный из центра масс С тела на ось Dy: принадлежит линии действия силы S. Если формально провести ось Dz, перпендикулярную плоскости рисунка, и считать, для простоты, Dzx плоскостью геометрической симметрии тела, то это обеспечит выполнение условия (2) при движении, удовлетворяющем условию (1). Для построения динамической модели введем первые три фазовые координаты: v — величина скорости точки D относительно потока (рис. 1), о; — угол (атаки) между вектором vD скорости точки D и осью Dx, Q — проекция абсолютной угловой скорости тела на ось Dz. Коэффициенты лобового сопротивления s и боковой силы Ь обычно представляют в виде s = рРсх, Ь = -рРсу, где сх,су — уже безразмерные коэффициенты лобового сопротивления и боковой силы, соответственно (р — плотность среды, Р — характерная поперечная площадь). Эти коэффициенты зависят от угла атаки, числа Струхаля и других величин, которые в статических моделях обычно считают параметрами. Мы же в дальнейшем вводим безразмерную фазовую переменную "типа Струхаля" и = QD/v (D — характерный размер). Таким образом, в дальнейшем в уравнениях движения возникают следующие три функции фазовых переменных: Л, s и 6, которые будем называть функциями воздействия среды.
Ограничимся зависимостью коэффициентов сх,су от угла атаки, т.е. в принципе будем считать величины s и Ь функциями а, а величину R — функцией пары безразмерных переменных (а, и).
Одна из задач плоскопараллельного движения (имеющая большое прикладное значение) — задача о свободном торможении тела с передней конусообразной частью — будет исследована особенно основательно.
Задача о движении тела с малыми углами атаки формирует представление о нелинейных динамических системах, исследуемых в дальнейшем. Поэтому проведем далее линейный анализ несколько подробнее.
Прямолинейное поступательное (невозмущенное) движение задается уравнениями a(t) = 0,w(t) = 0. Поэтому функцию R при малых а, и примем в виде R = D(ka — hu)7 где к и h — некоторые постоянные, D — характерный размер. Функцию Ь при малых а примем в виде Ь = Ь\а. Зависимостью же s от а, в силу геометрической симметрии тела, обеспечивающей четность функции s, пренебрегаем.
Линеаризованная модель силового воздействия среды содержит четыре параметра s,b\,k,h: которые определяются геометрическими параметрами конуса. Как уже отмечалось, два первых из этих параметров — коэффициенты s, Ъ\ — размерные. Параметры же к, h являются безразмерными в силу способа их введения.
Отметим, что величины s,k (для движения твердого тела с передним плоским торцом, т.е. когда боковая сила отсутствует) могут быть экспериментально определены путем весовых измерений в установках типа гидро-или аэродинамических труб. В литературе [ПО] (М. И. Гуревич, L. Prandtl, A. Betz) имеется также информация о теоретическом определении этих величин для отдельных случаев (см. также работы В. А. Ерошина, Г. А. Кон стантинова, Н. И. Романенкова, Ю. Л. Якимова, А. В. Плюснина, Ю. А. Созоненко, И. В. Серебрякова, Ю. Ф. Журавлева, В. В. Стрекалова, О. П. Шорвігина [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]). Эта информация позволяет счи-татв, что к 0. Что же касается параметра h (который вносит в систему дополнительную зависимость момента силы от угловой скорости), то даже сама необходимость введения его в модель априори не очевидна [17, 18].
Изучение свойств движения рассматриваемых классов тел в Институте механики МГУ им. М. В. Ломоносова В. А. Ерошиным и В. М. Макаршиным было начато экспериментами по регистрации движения в воде однородных круговых цилиндров [32, 34, 35]. Эксперимент позволил остановиться на важных выводах. Первый: режим прямолинейного поступательного торможения тела (в воде) неустойчив, по крайней мере, по отношению к углу ориентации тела. Стало возможным также определение безразмерных параметров воздействия среды на твердое тело, чему и посвящена, в частности, одна из глав диссертации. Второй вывод, полученный из проведенного натурного эксперимента, следующий: при моделировании воздействия среды на тело необходимо учитывать дополнительный параметр, эквивалентный так называемой вращательной производной момента аэрогидродинамических сил по угловой скорости тела. Этот параметр вносит в систему диссипацию.
Приведенные выводы относятся к движению твердых тел с передним плоским, а не конусообразным торцом. Тем не менее, все это повлияло на обработку эксперимента с конусообразными телами.
Величина коэффициента демпфирующего момента для тел с передним плоским торцом уже была оценена в работах [27] (В. А. Ерошин) для некоторых случаев движения в воде. Данная там оценка говорит о неустойчивости по углу атаки и угловой скорости невозмущенного движения в воде. Чисто формально, увеличивая величину коэффициента демпфирования, возможно достижение устойчивости данного движения. Прямолинейное движение твердого тела в некоторых средах (например, в глине) устойчиво в вышеописанном смысле, как показывает эксперимент [10, 11, 12] (Ю. К. Бивин, В. В. Викторов, Л. П. Степанов). Возможно, данная устойчивость достигается благодаря наличию в системе значительного демпфирования со стороны среды или наличию сил, касательных к пластине. В нашем же случае конусообразного тела достижение исследуемой устойчивости станет возможным благодаря наличию боковой силы.
Первый вывод, сделанный из эксперимента, заставляет нас рассматривать класс возможных движений тела при малых углах атаки в качестве "опорного" для рассмотрения класса свободного торможения тела с конечными углами атаки. Для конусов различной формы углы атаки вполне могут при нимать практически любое значение из интервала (0,7г/2), и лишь при углах, близких к 7г/2, неизбежен так называемый замыв боковой поверхности. Поэтому возникает необходимость продолжения функций воздействия среды Л, Ь и s по крайней мере на конечные углы атаки, т. е. "расширения" их области определения на интервал (0,7г/2). Но мы будем продолжать данные функции на всю числовую прямую (см. также [84, 85, 86, 87, 88]).
Опорным для нас является результат С. А. Чаплыгина, который для плоскопараллельного движения бесконечной пластины получил эти функции в аналитическом виде [69]. Он показал, что если такая пластина движется в среде по законам струйного обтекания, то коэффициент квадратичного по скорости центра пластины сопротивления пропорционален аналитической функции — косинусу угла атаки, а расстояние от центра давления до центра пластины — пропорционально его синусу.
Не смотря на то, что С. А. Чаплыгин рассматривал движение не конусообразного объекта, а плоского, последний факт позволяет перенести его результаты на семейство тел, часть внешней поверхности которых имеет форму конуса.
Классификация фазовых портретов системы на двумерном цилиндре для некоторой области параметров
При этом траектории данного уравнения параметризованы по-другому, нежели траектории системы (1.17). Видно, что у него существует особая точка (-0, +0) (или (-7Г + 0, +0)), соответствующая бесконечно удаленной точке (-0, +оо) (или (-7Г + 0, +оо)) системы (1.17). Нетрудно убедиться, что данная особая точка имеет топологический тип грубого седла, что и доказывает лемму 1.4.
В силу имеющейся симметрии поведение аналогичных траекторий в других полосах плоскости R2{a,o;} подобно данному. Лемма 1.4 справедлива в более широких областях параметров. Ввиду рассмотрения динамических систем на цилиндре, наличие замкнутых траекторий или замкнутых кривых из траекторий, охватывающих цилиндр. У системы (1.17) при достаточно малом (3% 0 отсутствуют замкнутые фазовые характеристики, охватывающие фазовый цилиндр S1{ mod 2-7г} х R1! ;} (см. также [96]). Существование замкнутых кривых из траекторий, стягиваемых по цилиндру в точку. В частности, существование неизолированных периодических траекторий или предельных циклов.
Заметим, что в силу 2-7г-периодичности векторного поля системы по а, последняя задача сводится к отысканию замкнутых траекторий или замкнутых кривых из траекторий лишь вокруг точек покоя индекса 1. Таким образом, предельные циклы могут существовать только лишь вокруг точек покоя (1.18), (1.19), (1.21), (1.22). Лемма 1.5 Вокруг точек покоя (1.18), (1.21), (1.22) не существует, замкнутых кривых, составленных из траекторий системы (1.17).
Доказательство леммы, 1.5 получается аналогично доказательству леммы 1.2 и основывается на методах топографических систем Пуанкаре для рассматриваемой системы (см. также [74, 96]). Исследование наличия замкнутых кривых вокруг точек покоя (1.19) показывает, что при некоторых условиях такие кривые существуют, а при некоторых условиях — нет. При этом пространство параметров J3 системы (1.17) разбивается на два множества: J3 = Jo U Ji по отношению к наличию предельного цикла в полосе . Для параметров из множества Jo у системы (1.17) не существует замкнутых кривых, составленных из траекторий системы (1.17). Для параметров из множества J\ у системы (1.17) могут существовать предельные циклы. Оба множества имеют конечную меру (см. также [96, 112, 114]).
Г) Основным вопросом классификации портретов является вопрос о поведении устойчивых и неустойчивых сепаратрис имеющихся гиперболических седел. Данные сепаратрисы разделяют всю фазовую плоскость на области без положений равновесия. Ввиду последнего, фазовые портреты мгновенно достраиваются.
Рассмотрим систему (1.17) для случая параметров Jo, при этом выполнено неравенство А 2р4. (1.28) Лемма 1.6 Устойчивая сепаратриса в полосе для точки (—7г/2, 0) имеет в качестве а-предельного множества начало координат. Доказательство леммы 1.6 получается из теории топографических систем Пуанкаре (см. также [96]). В силу имеющейся симметрии поведение аналогичных траекторий в других полосах плоскости R2{a,o;} подобно данному. Следствие 1.7 При рассматриваемых условиях у системы (1.17) в полосе не существует любых замкнутых кривых, составленных из траекторий.
Лемма 1.7 Пусть выполнено неравенство (1.28), а также (33 достаточно мало. Тогда сепаратриса, входящая в точку (—7г/2,0) в полосе f, имеет в качестве а-предельного множества точку (—7Г,0). 1.2.4.2 Топологическое строение типов фазовых портретов для области параметров Jo при отсутствии предельных циклов Рассмотрим вопрос о поведении сепаратрис, ввіходящих из точки (-7г/2,0) в полосу П и из точки (7г/2,0) в полосу П Дтг). Резулвтат, касающийся поведения этих сепаратрис, распространяется для динамических систем в той части области параметров, в которой не существуют НПР. Для этого дадим определение индекса сепаратрисного поведения (ИСП).
Предложение 1.5 Для любого М 0 и значения (3\ 2 найдется є 0 такое, что для любых положительных значений (3% є, /3 є сепаратриса, выходящая из точки (-7г/2,0) в полосу П для системи (1.17), продолжится вправо вдоль оси а более чем, на М. Начнем доказательство теоремы 1.2. Рассмотрим сепаратрису, выходящую из точки (- 7г/2,0) в полосу П. Фазовый поток исследуемой системы (1.17) отображает часть прямой Л-і на прямую Лі. (Здесь Л& = {(а,и) Є R2 : а = 7г/2 + тгк}.) Итак, рассмотрим отображение прямой Л-і на Лі в силу фазовых траекторий. Для системы сравнения ( ) с вращениями (см. также [117]) это отображение, по крайней мере, вблизи точки (-7г/2,0) в области {(а, си) Є R2 : си 0}, тождественно.
Продолжим доказательство теоремы 1.2. Имея в виду непрерывную зависимость отображения, построенного в предложении 1.6, от параметров /?з, /?4, рассмотрим при достаточно малых значений (5\ зависимость типа фазового портрета от параметров Аз,А 4 Предположим, что сепаратриса, выходящая из точки (-7г/2,0) в полосу П, имеет предельное множество, отстоящее от прямой Л-і вдоль оси а на 27Г&1, к Є No. Рассмотрим топографическую систему Пуанкере (ТСП), задаваемую системой ( ), вокруг точки (-7г/2+27г(/сі + 1), 1). Эта система (ТСП) ограничена особой траекторией, уходящей на бесконечность (см. также [118]). Уменьшим параметры /5з, /?4 настолько, чтобы точка (- 7г/2 + 27г&і, 1) перестала быть ы-предельным множеством для данной сепаратрисы. Так называемое "отделение" траектории — сепаратрисы — от точки (-7г/2 + 2irki, 1) к точке (-7г/2 + 2тг(к\ + 1),1) произойдет в силу того, что угол между векторными полями системы (1.17) и системы сравнения ( ) стремится к нулю при Аз,А4 - 0. Случай к\ Є No рассмотрен. Покажем, что при этом к выбирается из вышеописанного множества (см. определение индекса isp).
Заметим, что возможны три логические ситуации для &2, когда к\ Є No.
Напомним, что у систем (1.17) и ( ) на фазовом цилиндре существуют бесконечно удаленные предельные точки (-0, +оо), (+0, - оо), (7г + 0,+оо), (7Г - 0, - оо), причем две первые — притягивающие, а две последние — отталкивающие.
Предложение 1.7 Исследуемая сепаратриса может иметь в качестве сопредельного множества бесконечно удаленную точку (- 7г/2 + 2ТГ(1 + 1/4) -0,+ос).
Доказательство предложения 1.7. Спроектируем фазовую плоскость на сферу Римана или Пуанкаре [96]. В силу гладкой зависимости исследуемой сепаратрисы от параметров Аз, А, при том критическом значении параметра, при котором происходит перестройка грубого ы-предельного множества сепаратрисы, новым ы-предельным множеством станет бесконечно удаленная точка (на плоскости) или северный полюс (на сферах Римана или Пуанкаре). Действительно, если бы северный полюс сферы при критическом значении параметра не был бы ы-предельным множеством для данной сепаратрисы, то тогда эта сепаратриса имела бы другое грубое (разобранное выше) ы-предельное множество. Поскольку при малом шевелении последнее ы-предельное множество сохранится, мы вступаем в противоречие с тем, что критическое значение параметра соответствует грубому ы-предельному множеству. Предложение 1.7 доказано.
Закончим доказательство теоремы 1.2. Пусть теперь к\ = /+1/4, / Є Z. Тогда у сепаратрисы, выходящей из точки (7г/2,0) в полосу П 2тф нет других ы-предельных множеств, кроме как точка (— 7г/2 + 27г/с2,1), к2 = к\ + 1/4, к\ No. Причем заметим, что данные ы-предельные множества являются грубыми (в силу гиперболичности асимптотически устойчивых точек (-тг/2 + 2тг/,1)).
Теперь для завершения доказательства теоремы 1.2 достаточно мало про-деформировать параметры рассматриваемой динамической системы (1.17).
Действительно, если &2 — фиксировано, то к\ может быть равно к2 ± 1/2 (грубое ы-предельное множество перемещается), либо (в силу предложения 1.7) равно &2 + 1/4 (негрубое ы-предельное множество). Теорема 1.2 доказана.
Список первых интегралов
Таким образом, соответствующие равенства позволяют получитв искомый перввій интеграл системві (2.50) (а значит и дополнителвнвій перввій интеграл системы (2.49), (2.50)), являющийся трансцендентной функцией своих фазовых переменнвгх и выражающийся через конечную комбинацию элемен-тарнвіх функций.
Итак, в рассматриваемом случае система динамических уравнений (2.49), (2.50) имеет два инвариантнвгх соотношения — перввгх интеграла: аналитический вида (2.53), а также трансцендентный перввій интеграл, которвій может бвітв получен с помощвю равенств (2.63)—(2.69).
Теорема 3.3. Система (2.49), (2.50) обладает полным набором первых интегралов, один из которых является аналитической функцией, а второй — трансцендентной функцией фазовых переменных, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.
Здесв необходимо повторитв важное замечание. Дело в том, что с точки зрения теории элементарнвгх функций полученнвій перввій интеграл является трансцендентным (т.е. не алгебраическим). В данном же случае трансцендентность понимается в смвісле теории функций комплексного переменного, когда у функции, после ее формального продолжения в комплексную область, имеются существенно особые точки, соответствующие притягивающим и отталкивающим предельным множествам рассматриваемой динамической системы.
При изучении модели взаимодействия твердого тела со средой (как при наличии, так и при отсутствии дополнительной следящей силы) найдены достаточные условия устойчивости одного из ключевых режимов движения — прямолинейного поступательного движения. Показано, что при некоторых условиях возможно также присутствие в системе либо устойчивого, либо неустойчивого автоколебательных режимов.
Предлагаемый материал представляет собой исследование задачи движения твердого тела, взаимодействующего со средой через передний участок своей внешней поверхности, имеющий форму конуса. При построении силового воздействия среды используется информация о свойствах струйного обтекания в условиях квазистационарности [13, 14].
По причине сложности нелинейного анализа начальным этапом исследования является пренебрежение зависимостью момента суммарной силы воздействия среды от угловой скорости тела и использование такой зависимости лишь от угла атаки (см. также [96]).
С практической точки зрения важен вопрос исследования устойчивости так называемого невозмущенного (прямолинейного поступательного) движения, при котором скорости точек тела перпендикулярны оси симметрии тела.
Весь спектр результатов, найденных при указанном простейшем предположении, позволяет сделать вывод о возможности нахождения таких условий, при которых у приведенных систем существовали бы решения, соответствующие угловым колебаниям тела ограниченной амплитуды.
Как уже отмечалось, при изучении движения тела с конечными углами атаки основным вопросом нелинейного анализа является нахождение таких условий, при которых существуют колебания ограниченной амплитуды возле невозмущенного движения, что подтверждает необходимость полного нелинейного исследования.
Речь идет об исследовании устойчивости тривиального решения системы (11), (12) при отсутствии дополнительной зависимости момента от угловой скорости тела (h = 0), которое, очевидно, и соответствует прямолинейному поступательному торможению (невозмущенному движению). тривиальное решение системи (3.1), (3.2) асимптотически устойчиво. Условия (3.5) действительно могут быть выполнены. К примеру, если /І1 = то первое уравнение в (3.5) выполняется при любых параметрах /І2,М4, В результате чего второе уравнение в (3.5) нетрудно удовлетворить. 3.2 О рождении предельного цикла из слабого фокуса
Для возможного рождения предельного цикла около начала координат исследуем устойчивость тривиального решения системы (3.1), (3.2) при критическом сочетании параметров (по причине нечетности ее правой части от фазовых переменных) для любых индексов i,j, к, то следующее предложение дает необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости (неустойчивости) начала координат при In = 0.
Следствием известной теоремы Пуанкаре-Андронова-Хопфа [1, 2, 52] является Теорема 3.1 Пусть для системы (3.8) выполнено неравенство (3.14)- Тогда:
Если In 0, то для любых фиксированных /іі, /І2, Мз, fM найдутся такие 5i 2 07 что при ц Є (0,#і) начало координат является сильным устойчивым фокусом,; при ц Є (— ,0) начало координат является сильным неустойчивым фокусом, окруженным, устойчивым, предельным циклом,, разм,ер которого растет с уменьшением /J, от 0 до —62 как у /i.
Если, In 0, то для любых фиксированных /іі, /І2, Мз, fM найдутся такие 5i 2 0, что при ц Є (—#2,0) начало координат является сильным, неустойчивым фокусом; при ц Є (0,#і) начало координат является сильным устойчивым фокусом, окруэюенным неустойчивым предельным циклом, размер которого растет с ростом /J, от, 0 до 5\ как у м Проверить выполнение условия /і 0 (/і 0) в принципе не составляет труда, поскольку в каждом конкретном случае данные параметры зависят лишь или от первых производных функций воздействия среды (умі s, &), или от их значений. А вот проверка условия In 0 (In 0) в каждом конкретном случае довольно затруднительна, поскольку для каждого конкретного тела не только явный вид, но и старшие производные даже в отдельных точках функций воздействия среды (yN,s,b) неизвестны.
О рождении предельного цикла из слабого фокуса
Таким образом, видно, что поведение сепаратрисы в) зависит от индексов k\ и &2, т.е. от конкретного поведения сепаратрис а) и б).
Замечание 1.9 Если фиксировать индекс к\, то индекс к может, в частности, выбираться из более узкого множества, описанного в определении 1.6. Прямое произведение множеств, описанных в определениях 1.5 и 1.6, является максимальным в смысле возможного определения пары, индексов к\ и &2.
Обозначим через к\ индекс к в том случае, если последний выбирается из усеченной области определения в связи с замечанием 1.9 и составим прямое произведение индексов к\ и к\. Для этого рассмотрим индекс к = (кі Щ).
Теорема 1.3 Для любого к из области определения возможно соответствующее поведение сепаратрис а) и б). Таким, образом,, строится, трехпа-раметрическое семейство фазовых портретов системы (1.17), содержащее портреты, с предельными циклами, а также бесконечное множество фазовых портретов с различными качественными свойствами.
Теоремві 1.2 и 1.3 позволяет сделатв следующий ввівод: любое достаточно малое возмущение, дающее систему (1.17) в соответствующих областях параметров для системві, описвівающей физический маятник на плоскости, бесконечно много раз перестраивает глобалвнвій тип гамилвтонового фазового портрета физического маятника.
В данной главе исследуются динамическая часть уравнений плоскопараллельного движения твердого тела в сопротивляющейся среде при наличии некоторой следящей силы. На тело действует неконсервативная следящая сила, заставляющая во все время движения центр масс тела двигаться прямолинейно и равномерно, что означает наличие в системе неконсервативной пары сил (см. также [5, 8, 9]). Система рассматривается на предмет интегрируемости в элементарных функциях. Показано, что у рассматриваемой системы динамических уравнений существует полный набор первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.
Предположим, что на тело с передним конусообразным торцом наряду с силой воздействия среды действует некоторая следящая сила Т, проходящая через центр масс С тела. Тогда динамические уравнения плоскопараллельного движения тела представим следующим образом (ср. с уравнениями
Если же рассматривается более общая задача о движении тела при наличии некоторой следящей силы Т, обеспечивающей во все время движения выполнение равенства (Vc — скорость центра масс, см. также [96]) Ус = const, (2.4) то на тело действует пара сил. Поэтому в уравнениях (2.1), (2.2) должна стоять величина, тождественно равная нулю, поскольку на тело будет действовать пара сил: Ті - s(a)vz = О, Т2 - b(a)vz = 0. (2.5) Очевидно, что для этого нужно выбрать величину следящей силы Т в виде Ті (a, Q) = s(a)v2, Т2(а, tt) = b(a)v2. (2.6) Случай (2.6) выбора величины Т следящей силы является частным случаем возможности отделения независимой подсистемы второго порядка после некоторого преобразования системы третьего порядка (2.1)—(2.3).
Видно, что в системе третьего порядка (2.11), (2.12) может быть выделена независимая подсистема второго порядка (2.12), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем двумерном фазовом цилиндре. В частности, при выполнении условия (2.6) только что рассмотренный прием выделения независимой подсистемы второго порядка также возможен. В дальнейшем для простоты рассмотрим систему (2.11), (2.12) при отсутствии боковой силы, т.е. выполнено равенство Ь(а) = 0. (2.13) Данное предположение существенно, но позволяет проинтегрировать систему при наличии лишь силы лобового сопротивления, т.е. рассмотреть движение тела с передним плоским торцом.
Подобно выбору аналитических функций Чаплыгина [69], динамические функции s и у примем в следующем виде: s(a) = В cosa, у I а, — ) = уо(а) = Asina, А} В 0, (2-14) убеждающем нас о том, что в рассматриваемой системе отсутствует зависимость момента неконсервативных сил от угловой скорости (имеется лишь зависимость от угла а). Тогда, благодаря условиям (2.4), (2.14) преобразованная динамическая часть уравнений движения (система (2.11), (2.12)) примет вид аналитической системы
В силу невырожденной замены независимого переменного (при v 0) у системы (2.15), (2.16) также существует аналитический интеграл, а именно, функция фазовых переменных постоянна на ее фазовых траекториях. Равенство (2.20) позволяет, не решая системы (2.15), (2.16), найти зависимость скорости характерной точки D твердого тела от других фазовых переменных, а именно, при Vc 0 выполнено равенство Поскольку фазовое пространство (2.18) системы (2.15), (2.16) трехмерно, а в нем существуют асимптотические предельные множества, то равенство (2.20) задает единственный аналитический (даже непрерывный) первый интеграл системы (2.15), (2.16) во всем фазовом пространстве (ср. с [96]).
