Содержание к диссертации
Введение
1 Вычисление производных и возмущений нейтронно-физических функционалов 26
1.1 Детерминистический подход 28
1.1.1 Основные определения 28
1.1.2 Формулы теории возмущений для различных типов функционалов и задач 30
1.2 Метод Монте-Карло 35
1.2.1 Основные определения 35
1.2.2 Метод коррелированной выборки 42
1.2.3 Метод дифференциального оператора 46
1.2.4 Использование формул теории возмущений 51 Выводы к главе 1 53
2 Пример использования метода дифференциального оператора для расчета коэффициентов чувствительности нейтронно-физических функционалов к нейтронным данным 54
2.1 Случай аналогового моделирования 56
2.2 Случай неаналогового моделирования 60 Выводы к главе 2 65
3 Алгоритмы учета возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для однородной задачи 66
3.1 Метод функции ценности для расчета первых производных от Кэфф 66
3.1.1 Основы метода 66
3.1.2 Способы определения ценности нейтронов. Метод Усачева-Гурвица 75
3.1.3 Вычисление других билинейных функционалов 81
3.2 Метод прямого дифференцирования источника деления 89
3.2.1 Кусочно-постоянное представление возмущения источника 90
3.2.2 Поточечное представление возмущения источника 100
3.2.3 Использование метода для расчета эффективных параметров нейтронной кинетики 112
Выводы к главе 3 117
4 Эффективный алгоритм решения неоднородной задачи 119
4.1 Детерминистический подход 121
4.2 Метод Монте-Карло 126 Выводы к главе 4 128
5 Учет возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для неоднородной задачи 130 Выводы к главе 5 148
6 Проблемы использования многогруппового приближения при расчете производных и возмущений 150
6.1 Гомогенные среды 153
6.2 Гетерогенные среды 159 Выводы к главе 6 168
Заключение 169
Список использованных источников 173
- Основные определения
- Случай неаналогового моделирования
- Кусочно-постоянное представление возмущения источника
- Метод Монте-Карло
Основные определения
Сопряженный поток нейтронов в данном случае, как известно, имеет смысл ценности нейтронов по отношению к асимптотической мощности. Это означает, что в условно-критическом реакторе, критичность которого обеспечивается уменьшением всех сечений генерации нейтронов (vXf) в к0 раз, изменение нейтронной мощности при введении нейтрона в фазовую точку x=(R,&,E) пропорционально значению функции Ф; в этой точке. Трактовка сопряженной функции как ценности нейтронов была дана еще Е. Вигнером, а Л.Н. Усачев, уточнив, в каком смысле надо понимать эту ценность, дал, используя закон сохранения ценности, физический вывод строгого уравнения (12) для этой функции (все предшествующие работы строились на основе различных приближенных форм уравнения переноса). Функцию Ф можно также назвать ценностью по отношению к эффективному коэффициенту размножения к0, поскольку она позволяет построить теорию возмущений для этой важной величины (это свойство функции Фд проявляется и в ее использовании для получения различных эффективных величин, так или иначе связанных с реактивностью, например, эффективных параметров нейтронной кинетики).
Используя стандартную математическую процедуру - перемножая уравнения (3) и (12), одно из которых соответствует возмущенному, а другое исходному состоянию, на Фд и Ф 0 соответственно, интегрируя по фазовой координате, вычитая получившиеся соотношения одно из другого и проводя элементарные преобразования с учетом условия сопряженности (условием сопряженности по Лагранжу операторов L и L+ является равенство Ф+ДФ х= Ф, 1+Ф+ х) - можно придти к общей формуле теории возмущений: д(1/к0) = — — . (15)
Если в (15) приближенно заменить возмущенный поток на невозмущенный, оставляя возмущенными лишь соответствующие операторы, то получим формулу для расчета малых возмущений:
Формула (16) находит чрезвычайно широкое применение. Эта формула соответствует использованию наиболее точных приближений - кинетического или транспортного. Интересно отметить, что аналогичная формула в случае более низкого диффузионного приближения имеет более “громоздкий” вид из-за того, что в нее в явном виде входит градиентный член, характеризующий перетечки нейтронов. В знаменателе формулы (16), представляющем собой нормирующий множитель, выступает величина, имеющая физический смысл суммарной ценности нейтронов деления (ЦНД): Использование формулы строгой теории возмущений (15), в которую входит как возмущенное, так и невозмущенное решения уравнения переноса, также находит применения, но в гораздо меньшей степени. Причин этому несколько. Во-первых, теория малых возмущений в большом количестве случаев позволяет с достаточной точностью рассчитывать конечные, часто весьма значительные, возмущения, т.к. часто область линейности отклика простирается достаточно далеко. С другой стороны, при использовании строгой теории возмущений привносится элемент прямого расчета, об одном из недостатков которого, связанного с ограниченной точностью получения дифференциальных характеристик, упоминалось выше.
Формула (16) проста с точки зрения практических расчетов. Так, например, при использовании метода дискретных ординат для решения уравнения переноса первый и последний интегралы в числителе (16) и интеграл в знаменателе легко вычисляются. При этом первый из указанных интегралов удобно вычислять с использованием энергоугловых распределений потока и ценности нейтронов по квадратурным формулам, а при вычислении остальных двух требуется лишь интегральный поток по угловой переменной. Наибольшие технические сложности (впрочем, не слишком значительные) представляет собой вычисление второго интеграла в числителе (16), где требуется использовать представление потока и ценности в виде угловых моментов с привлечением аппарата сферических функций.
При переходе к задаче расчета возмущений для произвольных дробно-линейных функционалов J = a,F0 x / b,F0 x решения условно-критической задачи F0 ситуация усложняется. В работах [5, 17] показано, что в приближении малых возмущений справедлива следующая формула:
Условие (20) означает знакопеременность функции g, что является не вполне благоприятным обстоятельствам и затрудняет использование для расчета этой функции имеющихся программ. Кроме того, определение функции g на практике осуществляется итеративно, т.е. уравнение (21) должно решаться многократно. Причем, сходимость итерационного процесса не является быстрой и стабильной. Все это делает использование соотношения (19) для вычисления возмущений произвольного дробно-линейного функционала намного более проблематичным по сравнению с использованием соотношения (16) для вычисления возмущений эффективного коэффициента размножения. Рассмотрим теперь случай неоднородных задач, описываемых в общем виде уравнением (9) (в частном случае неразмножающей среды уравнение упрощается, т.к. исключается оператор деления). Пусть требуется вычислить возмущение линейного функционала J: где X - макроскопическое сечение некоторого интересующего процесса.
Функция ценности нейтронов Ф+ относительно функционала J, как известно [3-4], удовлетворяет сопряженному уравнению вида: с неоднородным членом (“источником ценности”) в виде величины X и с сопряженными операторами, даваемыми формулами (14).
Простой анализ уравнений (10) и (23) показывает, что функционал J, наряду с соотношением (22) может быть также охарактеризован эквивалентным соотношением где S - распределение внешнего источника нейтронов.
С учетом формулы (24), стандартная математическая процедура дает следующее строгое соотношение для возмущения функционала J: Приближенно заменяя в (25) возмущенный поток на невозмущенный, придем к формуле для расчета малых возмущений: где Й - оператор рассеяния, определяемый формулой (17).
Как видно из приведенного выше материала, в рамках детерминистического подхода основным методом расчета производных и возмущений различных функционалов для различных типов задач являются различные варианты теории возмущений, основанной на понятии сопряженной функции. Сопряженная функция во всех случаях непосредственно связана с конкретным функционалом. Следствием этого является то обстоятельство, что для расчета возмущений нескольких функционалов, хотя бы и относящихся к одному и тому же типу, требуется решить столько же сопряженных задач. Как будет видно из дальнейшего, в рамках метода Монте-Карло удается построить алгоритмы, пригодные для определения возмущений большого числа функционалов в рамках одного расчета. Это связано с тем, что в методе Монте-Карло существуют подходы, вовсе не апеллирующие к понятию сопряженной функции.
Случай неаналогового моделирования
Рассмотрим неаналоговую схему моделирования, в которой поглощение учитывается посредством уменьшения веса нейтрона после каждого столкновения:
В данной неаналоговой схеме действительные переходные вероятности К(хп — хп+1) заменяются следующими: Т.к. а(хп) = Ъа(хп)1Ъ((хп) есть вероятность для некоторой частицы быть поглощенной в фазовой точке хп, Ь(хп) = \-а(хп) = (К(хп - х))х. Следовательно, формула (81) может быть переписана таким образом: Это означает, что (Kw(xn x)) =1 и, стало быть, нейтронная траектория с переходными вероятностями, определяемыми ядром Kw(x — х), является бесконечной. Под вероятностью реализации той или иной нейтронной траектории в данном случае следует понимать величину Pw Д-ЮД-Кі х\ )ГТ Kw(xn — хп+1) . (83) Т.к. поглощение в явном виде в данной схеме отсутствует, то здесь можно использовать только два типа оценок – по столкновению и по пробегу. Например, для случайных вкладов, в оценки эффективного коэффициента размножения имеем: rc[k0] = 2]w Бесконечные нейтронные траектории, конечно, не имеют практического смысла. Однако, в процессе розыгрыша нейтронной траектории вес частицы быстро падает и после некоторого конечного числа столкновений становится таким низким, что весь остаток нейтронной траектории можно отбросить. Практически обрыв нейтронных траектории обычно осуществляется с помощью русской рулетки. Таким образом, на практике случайные вклады в оценки вида (84) заменяются на следующие
Если в основу вычисления производных по коэффициентам уравнения переноса положить оценку по столкновениям, путем несложных, хотя и несколько громоздких выкладок, можно получить следующие формулы для случайных вкладов в оценки этих величин:
Все сказанное относительно расчета коэффициентов чувствительности величины k0 может быть распространено на любые другие линейные функционалы с незначительной корректировкой приведенных выше формул. Рисунок 3. Конфигурация системы с урановыми стержнями Ниже в качестве иллюстрации приведены результаты расчета коэффициентов чувствительности по описанной неаналоговой схеме. На рисунке 3 показана критическая конфигурация, представляющая собой кластер стержней из металлического высокообогащенного урана в воде. Диаметр и длина стержней равны соответственно 1 и 25 см, шаг расстановки стержней – 2 см. Энергетические профили чувствительности к наиболее важным константам показаны на рисунках 4-7. Расчет проводился по специализированной версии программы KENO5 [49, 83], разработанной автором диссертации, в приближении 199-ти энергетических групп, принятом в системе SCALE (ORNL) с описанием индикатрисы рассеяния в P5-приближении.
В данной главе показано, как общие формулы метода дифференциального оператора преобразуются в рабочие формулы, непосредственно использующиеся при расчете методом Монте-Карло. В качестве примера рассмотрена практически важная задача расчета коэффициентов чувствительности к нейтронным данным. Как было показано в предыдущем разделе, эта задача в современной ее постановке не может быть сколько-нибудь эффективно решена без использования специализированных методов расчета производных, где, по-видимому, наиболее эффективным средством является метод дифференциального оператора.
Приведены результаты решения двух расчетных задач с использованием схем аналогового (расчетные формулы оценок получены А.А. Блыскавкой) и неаналогового (расчетные формулы оценок получены автором) моделирования, что может свидетельствовать о высокой приспособляемости метода дифференциального оператора к различных особенностям реализации метода Монте-Карло. Расчеты проводились по специализированным версиям программ MMKKENO (аналоговая схема) и KENO5 (неаналоговая схема), первая из которых была разработана А.А. Блыскавкой с участием автора, а вторая – непосредственно автором диссертации во время работы в Ок-Риджской национальной лаборатории.
Кусочно-постоянное представление возмущения источника
Как отмечалось выше, использование для учета возмущения источника деления метода сопряженной функции ограничивает круг рассматриваемых функционалов эффективным коэффициентом размножения и, кроме того, позволяет корректно вычислять лишь первые производные от этой величины. Т.е. данная схема не позволяет полностью раскрыть возможности метода дифференциального оператора. Это послужило стимулом для развития другой методики учета возмущений источника деления, основанной не на исключении соответствующих членов из оценок производных, а на прямом их вычислении. Естественным было сначала изучить данную возможность в рамках более простого подхода, основанного на кусочно-постоянной аппроксимации членов, соответствующих возмущению источника. При расчете первой производной от эффективного коэффициента размножения это приближение по точности вполне эквивалентно кусочно-постоянной аппроксимации функции ценности нейтронов деления. Однако, в отличие от подхода, основанного на использовании функции ценности, новый подход сразу может быть распространен на вычисление производных любых степеней для произвольных дробно-линейных функционалов потока нейтронов, охватывая круг задач как обычный, так и обобщенной теории малых и конечных возмущений. После построения такого упрощенного алгоритма, следующей задачей было его усовершенствование с точки зрения устранения приближения, связанного с кусочно-постоянной аппроксимацией возмущения источника деления, т.е. перехода к поточечному представлению такого возмущения. Помимо устранения соответствующих методических погрешностей расчета, решение этого вопроса было важно с точки зрения исключения дополнительной технической работы при построении расчетных моделей, связанной с достаточно произвольным дроблением на подобласти пространственных областей, содержащих делящийся материал. Данный подход был впервые реализован в работах Я. Нагайи и Т. Мори и, независимо и в более общем виде, – автора диссертации. 3.2.1 Кусочно-постоянное представление возмущения источника
Рассмотрим данный подход на примере вычисления первой производной от эффективного коэффициента размножения. Обобщение его на случай произвольных линейных функционалов и более высоких производных выполняется аналогично тому, как это делается при учете возмущения источника в поточечном представлении - см. по этому поводу следующий раздел.
Пусть QD(?) " пространственное распределение источника деления для некоторого поколения нейтронов, причем (Q(00)(r)) =1, т.е. данная функция имеет смысл плотности вероятности. Пусть Qf\f) - некоторая фиксированная функция, т.е. производная любого порядка от этой функции в любой пространственной точке равна нулю. Разобьем часть пространственного объема, занимаемого рассматриваемой системой, содержащую делящийся материал на подобласти конечных размеров Vf, / = 1,2,..., F и вычислим интегральные источники деления (Q (r))v =Q f для каждой из этих подобластей. После того, как будут промоделированы все нейтронные траектории, относящиеся к данному поколению нейтронов, будет получено новое пространственное распределение источника деления Qm(r). Если при этом предположить, что функция QD(?) является установившимся решением уравнения переноса, т.е. совпадает с соответствующей собственной функцией задачи (что имеет место для поколений с достаточно большими номерами), то новая функция Q(l)(r) будет пропорциональна функции где в качестве коэффициента пропорциональности выступает эффективный коэффициент размножения к. Непрерывная функция (Я(?) и кусочно-постоянная функция 0( 1), f = 1,2,...,F не являются нормированными в смысле плотности вероятности, однако, используя величину к0(1) можно найти их нормированные эквиваленты: Два последних соотношения, на первый взгляд, представляются простым повторением предыдущих соотношений (128) и (129). Однако, так обстоит дело только с чисто теоретической точки зрения. С точки же зрения их использования в рамках метода Монте-Карло они имеют самостоятельное значение, т.к. входящие в них величины относятся к разным поколениям нейтронов. Данные соотношения можно положить в основу построения расчетной схемы.
Продифференцируем соотношение (131) по некоторому параметру:
Все величины в правой части этой формулы могут быть вычислены методом Монте-Карло. Например, при использовании весового моделирования и оценки по столкновениям, имеем (случайные вклады в оценки в данном разделе для удобства обозначаем греческими буквами без указания соответствующих функционалов):
Метод Монте-Карло
Расчетная схема (168)-(170) может быть легко переведена на язык метода Монте-Карло. Для простоты ограничимся ее использованием в случае аналогового моделирования, хотя, с незначительными изменениями она может быть использована и в случае весового моделирования.
Во-первых, при реализации расчетной схемы в рамках метода Монте-Карло целесообразно несколько ее видоизменить. Действительно, т.к. в методе поколений стремятся поддерживать постоянное число нейтронов в поколении, удобнее поддерживать постоянной нормировку полного источника нейтронов, нежели нормировку источника деления. Обозначим через nt число нейтронов в поколении. Тогда реализация схемы (168)-(170) сведется к следующему набору операций.
1) Испускается nt нейтронов, распределенных в соответствии с заданной функцией S0 , с исходными весами, равными единице;
2) После того, как все нейтронные истории разыграны, вычисляются значения следующих целочисленных переменных: где xa i - фазовая точка, в которой нейтрон с номером і претерпевает поглощение; функция int ( ) дает наибольшее целое, меньшее или равное ее вещественного аргумента.
За) Если r= wl{xal) vL[l{xal)l,Lal{xal) nt (это может иметь место при малом уровне подкритичности системы), nt нейтронов распределены в соответствии с дискретной функцией соответствии с дискретной функцией р( = г"1 wt(хаi) vl.fi(xai)/ Lai(xai) (i = l, ... , nt) и ns нейтронов распределены в соответствии с заданной функцией S0; исходные веса вышеупомянутых nf нейтронов деления и ns нейтронов внешнего источника принимаются равными rlnf и (nt-r)lns соответственно;
4) Пункты 2 и 3 повторяются до тех пор, пока не разыграно заданное число поколений.
При реализации данного алгоритма нормировка расчетных параметров, линейно зависящих от нейтронного потока вида оказывается более или менее произвольной. Эти величины f нормированы на один нейтрон полного источника нейтронов, включающего нейтроны деления и нейтроны внешнего источника. Следовательно, их нормировка соответствует нормировке внешнего источника S =1-ks . Их перенормировка к уровню мощности внешнего источника (см. уравнение (163)) осуществляется по формуле: S
Каждая разыгранная история вносит некоторый случайный вклад (включая нулевые вклады) в расчетные значения ks и f . Эти случайные вклады, соответствующие различным типам оценок имеют вид: т.е. формально не отличаются от соответствующих оценок, используемых при решении однородной условно-критической задачи.
Выводы к главе 4
В данной главе описан разработанный автором эффективный алгоритм решения неоднородной реакторной задачи с внешним источником нейтронов. Как известно, решение этой задачи становится затруднительным при уменьшении уровня подкритичности до нескольких процентов. При дальнейшем уменьшении уровня подкритичности трудности усугубляются. Однако, именно такие уровни подкритичности рассматриваются в проектах ускорительно-управляемых систем. Помимо этого, необходимость решения подобных задач возникает при анализе экспериментов на подкритических сборках, при пусковых и стояночных режимах работы ядерных реакторов. Разработанный алгоритм позволяет эффективно решать подобные задачи при любом уровне подкритичности системы, вплоть до нулевого, где в качестве решения будет получено просто решение однородной критической задачи. Алгоритм может быть реализован как в рамках детерминистического подхода, так и в рамках метода Монте-Карло. Последнее обстоятельство выгодно отличает данный метод от других имеющихся методов ускорения сходимости решения неоднородной реакторной задачи. Работоспособность метода продемонстрирована на примере решения расчетной задачи с использованием разработанной автором версии расчетной программы.
Учет возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для неоднородной задачи [53]
Теперь, после описания алгоритма решения неоднородной задачи можно перейти к методике использования метода дифференциального оператора в приложении к таким задачам. Выпишем еще раз основные соотношения метода дифференциального оператора, используя подходящие обозначения. Оценка ненормированного линейного функционала f потока нейтронов – решения неоднородного уравнения – выражается через случайные вклады, соответствующие, отдельным нейтронным траекториям, по формуле: f = X Pr [f], (174) где p - вероятность нейтронной траектории, а суммирование распространяется на все разыгранные траектории. После дифференцирования этого соотношения по некоторому параметру, представляющему интерес, будем иметь случайные вклады в значения производных f, f и т.д.: и т.д. Как и раньше, при решении однородной задачи, вероятность траектории может быть разделена на две составляющие: вероятность испускания нейтрона в некоторой пространственной точке R0 и вероятность того, что нейтрон, испытав r последовательность столкновений в фазовых точках x1, x2 , ... xN , будет в конечном итоге поглощен в фазовой точке xN (утечка, как обычно, трактуется как поглощение, если считать что пространство за выпуклой границей системы заполнено черным поглотителем): 1
