Содержание к диссертации
Введение
1 Вычисление производных и возмущений нейтронно-физических функционалов 31
1.1 Математическая модель процессов переноса нейтронов в реакторных системах 31
1.2 Детерминистический подход 40
1.2.1 Основные определения 40
1.2.2 Формулы теории возмущений для различных типов функционалов и задач 51
1.3 Метод Монте-Карло 72
1.3.1 Основные определения 72
1.3.2 Метод коррелированной выборки 82
1.3.3 Метод дифференциального оператора 87
1.3.4 Использование формул теории возмущений 91
Выводы к главе 1 93
2 Пример использования метода дифференциального оператора для расчета коэффициентов чувствительности нейтронно-физических функционалов к нейтронным данным 94
2.1 Случай аналогового моделирования 97
2.2 Случай неаналогового моделирования 101
Выводы к главе 2 106
3 Алгоритмы учета возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для однородной задачи 107
3.1 Метод функции ценности для расчета первых производных от Кэфф 108
3.1.1 Основы метода 108
3.1.2 Способы вычисления ценности нейтронов методом. Монте-Карло. Метод Усачева-Гурвица 117
3.1.3 Вычисление эффективных параметров нейтронной кинетики с использованием метода Усачева-Гурвица 124
3.2 Метод прямого дифференцирования источника деления 134
3.2.1 Кусочно-постоянное представление возмущения источника 135
3.2.2 Поточечное представление возмущения источника 145
3.2.3 Использование метода дифференциального оператора для расчета эффективных параметров нейтронной кинетики 157
Выводы к главе 3 162
4 Эффективный алгоритм решения неоднородной задачи методом Монте-Карло 163
Выводы к главе 4 165
5 Учет возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для неоднородной задачи 166
Выводы к главе 5 184
6 Проблемы использования многогруппового приближения при расчете производных и возмущений 185
6.1 Гомогенные среды 189
6.2 Гетерогенные среды 194 Выводы к главе 6 203
Заключение 204
Список использованных источников
- Формулы теории возмущений для различных типов функционалов и задач
- Случай неаналогового моделирования
- Способы вычисления ценности нейтронов методом. Монте-Карло. Метод Усачева-Гурвица
- Учет возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для неоднородной задачи
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена решению научной проблемы, связанной с возможностью проведения высокоэффективных расчетов методом Монте-Карло производных и возмущений относительно различных параметров (ядерных констант, материальных плотностей и т.п.) линейных и дробно-линейных функционалов потоков нейтральных частиц (нейтронов и гамма-квантов), являющихся решениями двух основных типов стационарного уравнения переноса: 1) однородного условно-критического уравнения, описывающего рабочие режимы ядерных реакторов, критических сборок и установок внешнего и внутреннего топливного цикла, и 2) неоднородного уравнения с внешним источником нейтронов или гамма-квантов, описывающего рабочие режимы электроядерных реакторов и экспериментальных подкритических сборок, пусковые и стояночные режимы ядерных реакторов, работу элементов радиационной и биологической защиты. Данная проблема имеет важное научно-техническое значение, т.к. проведение массовых расчетов производных и возмущений без использования приближений по геометрии, по описанию процессов взаимодействия частиц с веществом и законов их переноса требуется при решении важных практических задач, среди которых, прежде всего, следует отметить задачу повышения точности расчетного предсказания основных характеристик проектируемых установок по результатам интегральных и макроскопических экспериментов (экспериментов на экспериментальных критических и подкритических сборках и работающих реакторах, защитных экспериментов). Решение этой задачи ведет, в конечном счете, к повышению надежности, безопасности и экономичности этих установок. Кроме того, необходимость проведения массовых расчетов производных и возмущений возникает при подготовке данных для анализа переходных процессов в ядерных и электроядерных реакторах с учетом обратных связей в обоснование их безопасности, при оптимизационных расчетах, в работе по совершенствованию систем ядерных констант и при решении ряда других задач.
Цель работы
Цель работы заключалась в разработке набора методов и алгоритмов, совокупность которых могла бы служить замкнутой методической базой для проведения массовых расчетов по методу Монте-Карло производных и возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов потоков нейтронов и гамма-квантов относительно различных параметров (ядерных констант, материальных плотностей и т.п.) для двух основных типов стационарного уравнения переноса при любом использующемся в настоящее время представлении ядерных данных: многогрупповом, подгрупповом и поточечном. К функционалам указанного типа относятся все наиболее важные характеристики реакторных систем: эффективный коэффициент размножения, связанные с ним эффекты реактивности (эффективность органов СУЗ, пустотный эффект реактивности, доплер-эффект), коэффициенты воспроизводства и конверсии, коэффициенты источника и умножения для размножающих систем с внешним источником нейтронов, всевозможные скорости различных процессов взаимодействия нейтронов и гамма-квантов с веществом, энерговыделение, скорости наработки различных изотопов и их трансмутации.
Актуальность работы
При решении уравнения переноса детерминистическими методами для определения производных и возмущений различных функционалов традиционно используются различные варианты теории возмущений, зависящие от конкретного функционала и типа уравнения. Однако, при решении уравнения переноса методом Монте-Карло, который в последнее время является исключительно популярным, результаты теории возмущений оказываются практически неприменимыми, за исключением отдельных частных случаев. Это связано со спецификой метода Монте-Карло, не позволяющего определять детальные распределения потока и ценности нейтронов. По этой причине были разработаны специализированные Монте-Карловские методы расчета производных и возмущений, основными из которых являются метод коррелированной выборки и метод дифференциального оператора. Эти методы успешно применяются при решении задач о переносе нейтронов и гамма-квантов в неразмножающих средах. Однако, при решении наиболее важных для реакторной физики задач о переносе нейтронов в размножающих (делящихся) средах эти алгоритмы, сами по себе, являются весьма приближенными, что сводит на нет основные преимущества метода Монте-Карло. Часто применение этих методов в их классической форме к размножающим средам ведет к появлению недопустимых методических погрешностей расчета. Таким образом, возникает проблема их развития для корректного решения указанных задач. Существует достаточно большое количество работ, посвященных решению этой проблемы. Но, все они давали или частное ее решение, или различные приближенные решения, хотя, в целом, и улучшающие ситуацию, но все еще неудовлетворительные, как с точки зрения требований по методической точности, так и с точки зрения требований по техническому удобству их применения. Кроме того, во всех этих работах рассматривался лишь один тип стационарного уравнения переноса – условно критическое уравнение (а в большинстве работ и лишь один функционал – эффективный коэффициент размножения). Неоднородное уравнение переноса для случая размножающей среды, решение которого, в общем случае, само по себе представляет определенные сложности, вообще не рассматривалось. Таким образом, за пределами рассмотрения оказалась большая часть указанных выше практических приложений. С учетом всего этого представляется, что сформулированная цель диссертационной работы является вполне актуальной.
Положения, выносимые на защиту
Метод супер-поколения для учета возмущения источника деления при расчете производных и возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов потока нейтронов по методу дифференциального оператора.
Алгоритмы расчета методом Монте-Карло производных любого порядка и конечных возмущений произвольных дробно-линейных функционалов потока нейтронов, представляющего собой решение однородного стационарного уравнения переноса (условно-критического уравнения).
Алгоритмы ускорения сходимости источника деления при решении неоднородного стационарного уравнения переноса нейтронов для размножающей среды, пригодные при использовании детерминистических методов и метода Монте-Карло.
Алгоритм расчета методом Монте-Карло производных любого порядка и конечных возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов потока нейтронов, представляющего собой решение неоднородного стационарного уравнения переноса нейтронов для размножающей среды.
Алгоритмы корректировки результатов многогрупповых расчетов производных и возмущений произвольных функционалов потока нейтронов для стационарных реакторных задач, учитывающие взаимозависимость многогрупповых констант в резонансной области энергий. Алгоритмы могут использоваться при расчете производных и возмущений, как по теории возмущений, так и методом Монте-Карло.
Результаты тестовых расчетов в обоснование предлагаемых методов и алгоритмов с использованием разработанных автором расчетных программ.
Научная новизна
Разработанные алгоритмы впервые позволяют проводить прецизионные расчеты методом Монте-Карло производных любого порядка и конечных возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов потока нейтронов, являющегося решением однородной стационарной реакторной задачи или неоднородной стационарной реакторной задачи с внешним источником нейтронов. Ранее такой расчет был возможен лишь для случая однородной задачи, для ограниченного круга функционалов и с использованием приближений, существенно снижающих точность расчета.
Разработанный алгоритм ускорения сходимости источника деления при решении неоднородной реакторной задачи в рамках детерминистического подхода может применяться наряду с другими известными алгоритмами. Однако, с точки зрения его использования в методе Монте-Карло, он не имеет известных аналогов. Использование этого алгоритма является ключевым для разработанного на его основе алгоритма расчета производных и возмущений различных функционалов методом Монте-Карло. Однако, он имеет и самостоятельное значение, т.к. сама по себе проблема решения неоднородной реакторной задачи для малых уровней подкритичности является актуальной.
Разработанные алгоритмы расчета производных и возмущений методом Монте-Карло имеют преимущество по сравнению с детерминистическими алгоритмами, основанными на результатах теории возмущений. В частности, в отличие от последних они позволяют в одном расчете определять производные и возмущения для любого числа различных функционалов. При использовании теории возмущений каждый новый функционал требует повторного проведения расчета.
При определении конечных возмущений с использованием прямых пересчетов или по теории возмущений в одном расчете может быть определено лишь одно конкретное значение отклика заданного функционала на единичное изменение какого-либо параметра. При использовании разработанных алгоритмов в одном расчете могут вычисляться непрерывные кривые откликов функционалов для всего диапазона изменения параметров.
Разработанные алгоритмы корректировки результатов многогрупповых расчетов производных и возмущений не имеют отечественных аналогов. От имеющихся зарубежных аналогов они отличаются тем, что приспособлены к алгоритмам и формам представления данных, использующимся в отечественных программах подготовки многогрупповых ядерных констант.
Разработанные алгоритмы расчета производных могут использоваться для расчета билинейных функционалов потока и ценности нейтронов. К такому типу функционалов относятся некоторые важнейшие реакторные характеристики. Уникальность данного способа расчета билинейных функционалов заключается в том, что при его использовании не требуется оценка функции ценности нейтронов.
Практическая значимость
Практическая значимость работы состоит в разработке набора методов и алгоритмов, совокупность которых может служить замкнутой методической базой для проведения массовых высокоэффективных расчетов методом Монте-Карло производных и возмущений относительно различных параметров (ядерных констант, материальных плотностей и т.п.) линейных и дробно-линейных функционалов потоков нейтральных частиц (нейтронов и гамма-квантов), являющихся решениями двух основных типов стационарного уравнения переноса: 1) однородного условно-критического уравнения, описывающего рабочие режимы ядерных реакторов, критических сборок и установок внешнего и внутреннего топливного цикла, и 2) неоднородного уравнения с внешним источником нейтронов или гамма-квантов, описывающего рабочие режимы электроядерных реакторов и экспериментальных подкритических сборок, пусковые и стояночные режимы ядерных реакторов, работу элементов радиационной и биологической защиты. К функционалам указанного типа относятся все наиболее важные характеристики реакторных систем: эффективный коэффициент размножения, связанные с ним эффекты реактивности (эффективность органов СУЗ, пустотный эффект реактивности, доплер-эффект), коэффициенты воспроизводства и конверсии, коэффициенты источника и умножения для размножающих систем с внешним источником нейтронов, всевозможные скорости различных процессов взаимодействия нейтронов и гамма-квантов с веществом, энерговыделение, скорости наработки различных изотопов и их трансмутации. Проведение указанных выше расчетов без использования приближений по геометрии, по описанию процессов взаимодействия частиц с веществом и законов их переноса требуется при решении важных практических задач, среди которых, прежде всего, следует отметить задачу повышения точности расчетного предсказания основных характеристик проектируемых установок по результатам интегральных и макроскопических экспериментов (экспериментов на экспериментальных критических и подкритических сборках и работающих реакторах, защитных экспериментов). Решение этой задачи ведет, в конечном счете, к повышению надежности, безопасности и экономичности этих установок. Кроме того, необходимость проведения массовых расчетов производных и возмущений возникает при подготовке данных для анализа переходных процессов в ядерных и электроядерных реакторах с учетом обратных связей в обоснование их безопасности, при оптимизационных расчетах, в работе по совершенствованию систем ядерных констант и при решении ряда других задач.
Достоверность полученных результатов
Все новые алгоритмы реализованы в разработанных автором программах и прошли тестирование на достаточно представительном наборе тестовых задач. Случаев неработоспособности предлагаемых алгоритмов отмечено не было.
Личный вклад автора
Основная часть научных результатов, связанных с положениями, выносимыми на защиту, получена автором лично. В случае совместных работ, относящихся к этим положениям, автору принадлежала ведущая роль. В работах прикладного характера, связанных с использованием разработанных методов, автор принимал участие в постановке задачи, расчетах и анализе результатов.
Апробация
Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях и семинарах:
На международных конференциях по математическому моделированию и расчету ядерных реакторов M&C-2005 (г. Авиньон, Франция) и M&C-2011 (г. Рио де Жанейро, Бразилия);
На международных конференциях по расчету ядерных реакторов PHYSOR-2010 (г. Питтсбург, США) и PHYSOR-2012 (г. Ноксвилл, США);
На международных конференциях по расчетным методам в области критической безопасности ICNC-2003 (г. Токаи-Мура, Япония), ICNC-2007 (г. Санкт-Петербург, Россия);
На заседаниях ежегодного российского межведомственного семинара «Нейтронно-физические проблемы атомной энергетики», г. Обнинск.
Публикации
Список основных публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 125 наименований и трех приложений, содержит 237 страниц, 19 таблиц и 58 рисунков.
Формулы теории возмущений для различных типов функционалов и задач
Основной задачей физического расчета реакторных систем является определение для всех их элементов пространственной, энергетической и угловой зависимости потока нейтронов или гамма-квантов (которые считаются точечными, невзаимодействующими между собой частицами) - функции Ф(Й,Е,й). В дальнейшем для определенности ограничимся основной для данной работы задачей о переносе нейтронов в делящихся средах. Однако, все сказанное, за исключением отдельных деталей и обозначений, будет справедливо и для задачи о переносе гамма-квантов. Поток нейтронов выражается через плотность этих частиц: 0(R,E,l) = v n(R,E,l), где v = v - скорость нейтрона, связанная с его энергией Е (измеряется в эВ), а величина n(R,E,U) dRdEdQ дает количество нейтронов, заключенных в пространственном объеме dR около точки R (измеряется в см), имеющих энергию, лежащую в интервале dE около значения Е и движущихся внутри телесного угла dQ. около направления Q (Q представляет собой единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости v = v Q). Величины, характеризующие состояние движение нейтрона даются в лабораторной системе отчета. В работе рассматриваются лишь стационарные задачи переноса нейтронов и, соответственно, их поток считается не зависящим от времени.
Основой математической модели переноса нейтронов является одна из двух эквивалентных форм уравнения переноса, выражающего баланс частиц, - интегро-дифференциальное уравнение Больцмана или интегральное уравнение Пайерлса [8, 37] (предполагается, что эти уравнения дополнены соответствующими граничными условиями). Оба этих уравнения содержат одни и те же коэффициенты, которые определяются геометрическим строением и материальным наполнением модели руемой системы. В качестве таких коэффициентов выступают макроскопические сечения (измеряющиеся в см"1), являющиеся функциями от фазовой переменной (под которой будем понимать совокупность переменных R, Е и Q: х = (R, Е, Q)) и имеющие смысл вероятностей нейтронам испытать те или иные взаимодействия на единице длины их пути: полное сечение T,t(R,E), сечение генерации нейтронов
vZf(R,E) = vf(R,E)Y,f(R,E), где vf(R,E) - среднее число вторичных (мгновенных и запаздывающих) нейтронов деления, Y,f(R,E) - макроскопическое сечение деления (энергетическое распределение нейтронов деления определяется функцией %(R,E,E ); величина %(R,E,E ) dE есть вероятность вторичному нейтрону деления иметь энергию, лежащую в интервале dE около значения Е , при условии, что деление было вызвано первичным нейтроном с энергией Е в точке R), ZS(R,Е,П,Е ,ОТ) = S,(R,E)f(R,Е,Q,Е\ОТ) - дифференциальное макроскопическое
сечение рассеяния, где T,S(R,E) - полное сечения рассеяния, f(R,E,l,E ,l ) dE dl - вероятность того, что, если нейтрон с энергией Е и направлением движения Q испытает рассеяние в точке R, то его энергия будет лежать в интервале dE около значения Е , а направление движения - в телесном угле dQ около направления Q . На практике, как правило, сечения являются кусочно-постоянными функциями пространственной переменной R, правда, элементы постоянства этих величин в современных расчетных моделях могут быть очень малыми, а их число весьма велико.
Все вышеперечисленные макроскопические сечения материальных зон, из которых состоит моделируемая система, выражаются через микроскопические сечения отдельных “изотопов”, входящих в состав материалов. Под “изотопами”, как уже отмечалось, в расчетной практике принято понимать, как реальные изотопы элементов, так и природные смеси таких изотопов и даже некоторые фиктивные изотопы, использующиеся в различных методических целях. Например, “изотопами”, входящими в состав типичного топливного материала - диоксида урана, - будут реальные изотопы урана 234U, 235U, 236U, 238U, кислород, являющийся моноизотопом, природные смеси изотопов различных технологических примесей, а также (если топливо подвергалось облучению) нуклиды, соответствующие осколкам деления, или же, в зависимости от способа описания, обобщенные осколки - псевдоизотопы, использующиеся для эффективного, усредненного описания большого количества реальных осколков деления (ядерные константы псевдоизотопов получают путем усреднения ядерных констант реальных осколков с учетом их выходов при делении). Макроскопическое сечение какого-либо типа для данного материала вычисляется как сумма макроскопических сечений того же типа для всех, входящих в состав этого материала, “изотопов”. Например, полное макроскопическое сечение материала есть , = ._п., где Ъи= ppti - полное макроскопическое сечение “изотопа” с номером / (полное число изотопов равно /), аи - микроскопическое полное сечение этого изотопа, pt = \0 2ANAyJД. - его атомная плотность, yi - массовая плотность, Д. - атомный вес. Эти величины имеют следующие размерности: п [см"1], сгп[барн=10"24см2], pi [барн см"1], у, [г см"3]. Микроскопические сечения “изотопов” at и as, сами по себе, еще не представляют первичные данные. Так, полное сечение at выражается через парциальные сечения различных процессов (деления, радиационного захвата и других реакций захвата, упругого и неупругого рассеяния, реакций (n,2n), (п,3п) и т.д.): at=af+ae+am+anr+an2n+.... Точно также, дифференциальное микроскопическое сечение рассеяния as складывается из дифференциальных сечений упругого и неупругого рассеяния. Кроме того, с его помощью могут учитываться дифференциальные характеристики реакций (n,2n), (п,3п) и т.д.
Наряду с микроскопическими сечениями, массовыми или атомными плотностями различных “изотопов”, в качестве параметра в модели может присутствовать заданная функция плотности S(R,E,Q) внешнего (независимого) источника нейтронов, так, что величина S(R,E,Q) dRdEdQ представляет собой количество частиц, возникающих в единицу времени, в пространственном объеме dR около точки R, имеющих энергию, лежащую в интервале dE около значения Е и движущихся внутри телесного угла dQ. около направления Q.
Случай неаналогового моделирования
Как было сказано выше, при использовании детерминистических методов решения уравнения переноса нейтронов, массовые расчеты производных и возмущений основываются на использовании результатов теории возмущений. Эта теория строится с помощью сопряженных уравнений переноса, играющих, таким образом, важную роль в теории реакторов. Помимо этого, сопряженные уравнения переноса приходится решать при определении нескольких очень важных нейтронно-физических характеристик, являющихся билинейными функционалами решений прямого и сопряженного потоков нейтронов.
Решения сопряженных уравнений переноса имеют смысл ценностей нейтронов относительно различных функционалов. Эти уравнения могут быть выведены из физических соображений на основе закона сохранения ценности, согласно которому суммарная ценность потомков некоторого нейтрона равна исходной ценности этого нейтрона. Анализ уравнений для ценностей нейтронов показывает, что они являются сопряженными в математическом смысле по отношению к соответствующим уравнениям для потока нейтронов. Разумеется, можно было бы подойти к задаче и с другой стороны и выводить сопряженные уравнения чисто формальным путем [1], исходя из условия сопряженности (так и делалось до выхода в свет работы [2]). Но, при этом теряется их физический смысл, который имеет важное познавательное и практическое значение: в частности, на основе физической интерпретации функции ценности строятся некоторые расчет-51 ные алгоритмы (например, метод Усачева-Гурвица [16] получения случайных оценок сопряженной функции методом Монте-Карло в прямых блужданиях).
В данном разделе рассмотрены три типа сопряженных уравнений, на основе которых строятся наиболее употребительные варианты теории возмущений. Первые два из них связаны с условно-критической задачей, а третий – с задачей о подкритическом реакторе с внешним источником нейтронов.
Теория возмущений для эффективного коэффициента размножения и эффективные параметры нейтронной кинетики [2, 19, 34]
Данный вариант теории возмущений для анализа реакторных систем возник первым и иногда называется обычной теорией возмущений. Этот термин используется и в данной работе (в частности, он фигурирует в ее названии). Обычная теория возмущений строится на основе условно-критического сопряженного уравнения переноса (в основе которого лежит закон сохранения ценности) вида: и выполняются условия сопряженности по Лагранжу [8]: Ф+,ф х= Ф,Х+Ф+ Ф, Ф х= Ф, +Ф+ х, где Фє{/}, Ф+ G{g}, {/} и {g} - системы функций, на которых действуют соответствующие операторы, причем, предполагается, что операторы и системы функций являются вещественными.
Решение уравнения (27) - сопряженный поток нейтронов - в данном случае имеет ясный физический смысл. Он представляет собой ценность нейтронов по отношению к асимптотической мощности. Это значит, что, при впускании в различные фазовые точки условно-критического реактора нейтронов уровень асимптотической нейтронной мощности будет устанавливаться пропорционально ценности нейтронов в этих точках: ъ+(Вгп-С \Уровень мощ. при t —»оо при помещении в т. R\ 0 нейтрона с энергией Е и направл. движ. Q ] Рассмотрим некоторую условно-критическую систему, в которой строго критическое состояние достигнуто уменьшением всех сечений генерации нейтронов в к0 раз. Пусть свойства системы, выражаемые параметрами модели (1), претерпели некоторое изменение. При этом операторы L и В переходят в операторы V = L + SL и В = B + SB, в результате чего изменяется решение уравнения (16): Ф0 переходит в Ф 0 = Ф0 + дФ0 , ак0 - вк 0=к0+5к0:
Формула (33) находит чрезвычайно широкое применение в практике нейтронно-физических расчетов реакторных систем с использованием детерминистических методов. В частности, с ее помощью можно вычислять такие востребованные в настоящее время величины как коэффициенты чувствительности к0 к нейтронным данным (для вычисления коэффициентов чувствительности
других функционалов можно использовать указанные в следующих разделах аналогичные формулы, соответствующие другим вариантам теории возмущений), коэффициенты реактивности (смысл этих величин и их назначение будут пояснены чуть позже в данном разделе), ряд вспомогательных величин (т.н. эффективности изотопов и материалов и т.п). Для иллюстрации использования общего соотношения (33) для получения конкретных расчетных формул, приведем, например, формулы для расчета коэффициентов чувствительности к0, к сечениям
Через коэффициенты чувствительности к концентрациям “изотопов” легко определить коэффициенты чувствительности к плотностям и составам материалов, которые однозначно связаны с коэффициентами реактивности некоторых типов (см. далее).
Коэффициенты чувствительности широко используются при оценке погрешностей расчета нейтронно-физических характеристик реакторных установок и их минимизации на основе информации по интегральным и макроскопическим экспериментам. Под первыми обычно понимают экспериментальные данные по т.н. сечениям увода, средним сечениям на различных стандартных спектрах (спектре деления 235U тепловыми нейтронами, спектре спонтанного деления 252Cf, спектре замедления - спектре Ферми, спектре Максвелла) и их отношениям. Под вторыми понимают эксперименты на критических сборках (модельные и натурные эксперименты) и эксперименты на действующих реакторах. Пусть проектируется некоторая реакторная система, которую будем называть целевой системой. При обосновании любого проекта на первый план выходит вопрос, связанный с точностью предсказания основных проектных характеристик, в том числе, нейтронно-физических. Погрешность расчета любого нейтронно-физического функционала слагается из методической, технологической и константной составляющих. Первая из них связана с используемыми приближениями при описании угловой зависимости (анизотропии) потока нейтронов и нейтронных данных, прежде всего, - характеристик рассеяния (диффузионное и транспортное приближения, различные Pn-приближения, и Sn-приближения); при описании энергетической зависимости потока нейтронов и нейтронных данных (многогрупповое и подгруп-повое приближения, интерполяция данных при использовании поточечного представления); и, наконец, при описании пространственной зависимости потока нейтронов и нейтронных данных (гомогенизация материальных областей, кусочно-постоянное представление материальных свойств, пространственные сетки при использовании конечно-разностных методов). Технологическая составляющая связана с неопределенностью материальных свойств и геометрических характеристик, из-за неизбежных и всегда имеющихся допусков при изготовлении элементов реакторных систем. Константная составляющая связана с неопределенностями в нейтронных данных из-за ограниченности экспериментальной информации и присущих ей погрешностей, погрешностей ядерно-физических моделей и т.п. При использовании современных прецизионных расчетных программ, особенно, основанных на методе Монте-Карло, методическую составляющую погрешности расчета удается сделать относительно малой. В данном случае определяющими становятся технологическая и константная составляющие. Для целевых систем содержащих существенно новые конструктивные решения по материалам и компоновке, преобладает константная составляющая погрешности, которая может быть очень значительной. Очень важным обстоятельством является то, что значения данной составляющей погрешности, в отличие от технологической составляющей, могут быть значительно уменьшены с помощью достаточно информативных по отношению к целевой системе интегральных и макроскопических экспериментов. В качестве основы при минимизации погрешностей обычно используют обобщенный метод наименьших квадратов [29, 47, 90, 91, 92, 93, 104, 105, 117].
Способы вычисления ценности нейтронов методом. Монте-Карло. Метод Усачева-Гурвица
Как было показано выше, метод сопряженной функции позволяет при оценке по методу дифференциального оператора первых производных от эффективного коэффициента размножения исключить слагаемые, соответствующие возмущению источника деления. Это достигается посредством введения эффективного веса нейтрона, получающегося умножением собственно веса нейтрона на ценность нейтронов деления в соответствующей пространственной точке. Выше мы считали эту функцию заданной. Однако, в действительности она, конечно, априори не известна и должна быть так или иначе рассчитана. Простейшим способом является предварительный расчет такой функции с помощью т.н. сопряженных блужданий, которые представляют собой процедуру решения сопряженного интегрального уравнения переноса. В этом случае ценность нейтронов деления оценивается как обычный линейный функционал сопряженного потока нейтронов. Огромное преимущество использования метода сопряженной функции совместно с методом дифференциального оператора по сравнению с попытками вычислять билинейные свертки теории возмущений, в которые входит дифференциальная ценность нейтронов, состоит в том, что ценность нейтронов деления, во-первых, отлична от нуля только в пределах материальных областей, содержащих делящийся материал, а, во-вторых, она зависит лишь от пространственной переменной. На практике, непрерывная зависимость ценности нейтронов деления от пространственной переменной заменяется кусочно-постоянной, что, влечет за собой определенные методические погрешности и технические сложности (необходимость введения в расчетную модель более или менее произвольной пространственной сетки для определения областей постоянства ценности нейтронов деления). Еще один недостаток такого подхода связан с невозможностью его применения при использовании поточечной формы представления нейтронных данных.
Существует, однако, альтернативный подход [31], который снимает все отмеченные недостатки подхода с предварительным определением функции ценности. Его суть заключается в замене входящих в формулы для случайных вкладов детерминистических значений функции Q+(R) на случайные значения. Эти случайные значения должны вычисляться лишь в отдельных пространственных точках (в точках, где, в зависимости от используемой оценки, происходят столкновения или поглощения). При усреднении случайных вкладов будут эффективно усредняться и случайные значения функции Q+(R). При использовании такого подхода снимается кусочно-постоянная аппроксимация данной функции. Сама же оценка случайных значений Q+(R) в заданных точках может проводиться в рамках прямого моделирования по методу Усачева-Гурвица [16] путем розыгрыша начинающихся в этих точках последовательностей вторичных нейтронных историй заданной длины, называемых супер-историями. Возможность применения прямого моделирования снимает ограничение на использование поточечного представления нейтронных данных. Конечно, все это достигается посредством некоторого ужесточения требований по объему статистической выборки. Перейдем к более подробному описанию данного метода.
Запишем еще раз уже приводившиеся выше интегральные уравнения для прямого и сопряженного источников деления в более удобных здесь обозначениях и с некоторыми дополнительными пояснениями:
Нормировка этих функций может изменяться, но это несущественно, т.к. все величины, в определение которых входит функция ценности нормируются на ЦНД. Таким образом, приходим к следующей теореме: суммарные числа вторичных нейтронов, образующихся в результате введения в различные пространственные точки нейтронов деления при увеличении числа последовательных поколений п стремятся к значениям, пропорциональным значениям в этих точках функции ценности нейтронов деления. Практически, с хорошей точностью, можно ограничиться некоторым конечным числом поколений птах, т.е. считать, что Q+(R) Nnmax(R).
Полученный результат можно использовать для построения алгоритма оценки случайных значений функции ценности нейтронов деления в прямых блужданиях. Допустим, что используется схема с аналоговым поглощением. Пусть требуется оценить случайное значение Q+(R0) в точке R0. Испустим один нейтрон деления в точке 0 и разыграем его историю вплоть до поглощения в фазовой точке уаЛ=(ЕаЛ,йаЛ,йаЛ). Этот нейтрон произведет w(yal)vLf(yal)II a(yal) вторичных нейтронов деления. Теперь испустим один нейтрон деления в точке Ra j и разыграем его историю вплоть до поглощения в фазовой точке ya2=(Ea2,Cia2,Ra2). Этот нейтрон произведет w(ya2)vLf(ya2)II a(ya2) вторичных нейтронов деления, и
При увеличении числа nmax все большее количество супер-историй будет обрываться до достижения этого числа. Эти наборы супер-историй не вносят вклад в конечные оценки. Поэтому, увеличение числа nmax ведет к увеличению статистических погрешностей получаемых оценок. Важным обстоятельством, однако, является то, что данные погрешности, как показывает практика, растут заметно медленнее, чем растет методическая точность. В большинстве практических случаев оценки взвешенных с функцией ценности величин при увеличении nmax сходятся к их истинным значениям до того, как статистические погрешности становятся неприемлемо высокими.
Сходимость результатов расчета первых производных от величины k0 при увеличении номера nmax проиллюстрируем на простой тестовой задаче, геометрия которой совпадает с геометрией задачи, рассмотренной в разделе 3.1.1 (см. рисунок 11). Материальные составы, однако, в данном случае несколько отличаются – см. таблицу 5. Таблица 5. Ядерные концентрации для материальных зон расчетной модели, 1024/см “Изотоп” Материал 1 Материал 2 Материал 3
На рисунках 13-16 показаны энерегетические профили чувствительности коэффициента k0 в 30-групповом представлении (см. таблицу 3) к сечениям деления и захвата 235U и 239Pu. Расчеты проводились по модифицированной версии программы KENO5, разработанной автором, при использовании различных значений параметра nmax. Для сравнения, приведены результаты расчета профилей чувствительностей по программе KEFSF [95], разработанной О.Г.
Учет возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для неоднородной задачи
С практической точки зрения производную можно представить в конечных разностях в приближении линейности возмущения. В этом случае значение Рэфф можно определить из результатов двух расчетов величины к0. Частным случаем формулы (206) является упоминавшийся выше prompt-метод, основное расчетное соотношение которого имеет следующий вид: где возмущенное значение к0 соответствует расчету с исключенным членом источника запаздывающих нейтронов (см. уравнение (205)).
Разностные расчеты к0 требуют контроля линейности возмущения. Как показано в указанных выше работах, при использовании метода Монте-Карло в некоторых случаях приходится иметь дело с весьма малыми изменениями величины к0, особенно для реакторных систем, содержащих в качестве делящегося материала плутоний, что приводит к большим статистическим погрешностям Рэфф. Естественное устранение этой трудности может быть получено, если от конечных возмущений коэффициента к0 перейти к расчету его первой производной по методу дифференциального оператора, т.е., если использовать для определения РЭФФ точную формулу (207). Практика показала, что такой подход делает статистические погрешности расчета несущественными.
Точно так же, с помощью соответствующим образом подобранного возмущения операторов уравнения переноса, можно определить время генерации мгновенных нейтронов Л. Как показано Б. Вербуменом и др. [103], для этого Возмущение, описываемое уравнением (209), может быть интерпретировано, как однородное введение в рассматриваемую систему поглотителя, все сечения которого, кроме сечения поглощения, равны нулю, а последнее удовлетворяет известному закону “1/v”.
В данном случае, проводя обычную математическую процедуру, используемую при получении формул теории возмущений, находим следующее соотношение для времени генерации:
Результаты анализа достаточно большого числа рассмотренных до сих пор численных экспериментов с таким уравнением свидетельствуют о том, что получающаяся при его решении комплексная величина к0(а) имеет в качестве своей вещественной части невозмущенное значение величины 0(0): Re[k0(a)] = = k0(0), а в качестве мнимой - приближенное значение возмущения этой величины, связанного с параметром возмущения а: 1т[к0(а)] = к0(а)-к0(0). Причем, данное приближение работает тем лучше, чем меньше величина возмущения а . В области линейности отклика приближенное значение практически совпадает с точным. Из данной гипотезы вытекает следующее выражение для определения Дэфф (ср. с
Некоторый практический выигрыш от замены формулы (206) на формулу (213) состоит в том, что все величины, входящие в правую часть формулы (213) определяются в рамках одного расчета, тогда как в формуле (206) фигурирует разность двух значений к0(0) и к0(а), каждое из которых получается в результате независимого расчета, что, во-первых, более трудоемко и, во-вторых, приводит к большим статистическим погрешностям в определении Рэфф. Выше было отмечено, что обе эти проблемы решаются, даже более эффективно, при переходе от расчета конечных возмущений к расчету производных по методу дифференциального оператора. Тем не менее, данная гипотеза представляет собой общий интерес, т.к. потенциально может быть использована для решения других задач физики реакторов вообще и теории возмущений в частности.
Практическое использование рассмотренной гипотезы связано с необходимостью решения уравнения переноса с комплексными коэффициентами. Как показано в работе [135] на примере решения уравнения диффузии нейтронов, при использовании детерминистических программ такое решение может быть получено путем простой замены вещественных величин на комплексные. При использовании метода Монте-Карло ситуация усложняется, однако соответствующие методы известны [126, 130] и применяются для решения практических задач, например, в области анализа нейтронных шумов. Расчеты методом Монте-Карло так же подтверждают данную гипотезу.
В данной главе рассмотрено два подхода к учету возмущения источника деления в методе дифференциального оператора в рамках решения однородной условно-критической задачи. Первых подход основан на использовании метода сопряженной функции. Второй подход основан на прямом численном дифференцировании источника деления. Для метода сопряженной функции автором дано обоснование, отсутствующее в оригинальных работах по его использованию. Для подхода с прямым учетом возмущения источника автором разработаны алгоритмы с конечно-постоянной аппроксимацией такого возмущения и с его поточечным представлением. Основой для разработки этих алгоритмов послужил предложенный автором и, независимо, другими исследователями метод супер-поколения. В отличие от метода сопряженной функции, алгоритмы, основанные на прямом учете возмущения источника деления, могут применяться для расчета производных и конечных возмущений для произвольных дробно-линейных функционалов потока нейтронов, включая и эффективный коэффициент размножения.
Наряду с расчетом производных и возмущений, в данной главе был также рассмотрен вопрос вычисления методом Монте-Карло важнейших билинейных функционалов потока и ценности нейтронов, в частности – эффективных параметров нейтронной кинетики.
В разделе 1.1 был описан предложенный автором итерационный алгоритм решения неоднородной реакторной задачи, эффективность которого, в отличие от схемы простой итерации, практически не зависит от величины коэффициента k0 . В этом разделе будет дана Монте-Карловская формулировка данного алгоритма, т.к. без решения проблемы со сходимостью источника деления нельзя приступить к разработке алгоритма вычисления производных и возмущений. К этому следует добавить, что предложенный алгоритм решения неоднородной задачи методом Монте-Карло, важный и сам по себе, оказался чрезвычайно удобным для построения алгоритма расчета производных и возмущений с формальной точки зрения.
Расчетная схема (24) может быть легко переведена на язык метода Монте-Карло. Для простоты ограничимся ее использованием в случае аналогового моделирования, хотя, с незначительными изменениями она может быть использована и в случае весового моделирования.
Во-первых, при реализации расчетной схемы в рамках метода Монте-Карло целесообразно несколько ее видоизменить. Действительно, т.к. в методе поколений стремятся поддерживать постоянное число нейтронов в поколении, удобнее поддерживать постоянной нормировку полного источника нейтронов, нежели нормировку источника деления. Обозначим через nt число нейтронов в поколении. Тогда реализация схемы (24) сведется к следующему набору операций.
