Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановка задачи о температурном поле в жидкости, текущей по трубе, окруженной сплошным массивом среды и разложение по асимптотическому параметру 15
1.1.Постановка проблемы и математическая постановка задачи 15
1.1.1. Описание задачи 19
1.1.2. Математическая постановка задачи 26
1,2, Асимптотическое разложение задачи 27
1.2.1. Постановка задачи в нулевом приближении 30
1.2.2. Краевая задача для первых коэффициентов разложения 32
1.3.Основная задача теории термокаротажа 35
1.3.1. Постановка задачи для частного случая выровненной скорости в нулевом приближении 37
1.3.2. Первый коэффициент разложения для выровненного профиля скоростей 39
1.3.3. Вывод дополнительного интегрального условия для первого приближения 41
1.4.Постановка задачи в нулевом приближении для частного случая постоянных градиентов 43
1.4.1. Постановка задачи в нулевом приближении 46
1.4.2. Краевая задача для первых коэффициентов разложения 48
1.4.3. Нулевое приближение для частного случая постоянных градиентов и выровненного профиля скоростей 50
1.4.4. Постановка задачи в нулевом приближении 52
1.4.5. Математическая постановка задачи для первых коэффициентов разложения 53
1.5.Выводы 55
ГЛАВА II Получение аналитического решения задачи в асимтотических приближениях для малодебитных скважин 56
3.1.Решение задачи для выровненного профиля скорости и постоянного вертикального градиента температуры 56
2.1.1. Построение решения в нулевом приближении 57
2.1.2. Построение решения для первого коэффициента разложения 58
2.1.3. Задача для остаточного члена 60
2.1.4. Переход к оригиналам 66
2.2. Решение задачи для произвольного профиля скорости и постоянного вертикального градиента температуры 69
2.2.1. Решение задачи для произвольного реального аксиально - симметричного профиля скорости в нулевом приближении 69
2.2.2. Построение решения для первого коэффициента разложения , 70
2.2.3. Переход к оригиналам 74
2.3.Анализ результатов расчетов 77
2.4.Выводы 89
ГЛАВА III. Получение аналитического решения задачи в асимтотических приближениях 90
3.1.Аналитическое решение основной задачи термокаротажа 90
3.1.1. Решение задачи в нулевом приближении 91
3.1.2. Построение решения для первого коэффициента разложения 92
3.1.3. Получение решений в пространстве оригиналов 94
3.1.4. Применение полученных решений для расчетов динамики температурных меток в стволе скважины 97
3.2. Решение общей задачи 101
3.2.1. Аналитическое решение общей задачи в нулевом приближении 101
3.2.2 Решение задачи в первом приближении 103
3.3. Решение задачи в пространстве оригиналов 106
3.4. Анализ результатов расчетов 109
3.5. Выводы 114
Заключение 116
Литература
- Краевая задача для первых коэффициентов разложения
- Решение задачи для произвольного профиля скорости и постоянного вертикального градиента температуры
- Построение решения для первого коэффициента разложения
- Аналитическое решение общей задачи в нулевом приближении
Введение к работе
Актуальность проблемы. Задача о температурных полях при движении жидкости по трубам возникает в многочисленных технических приложениях. Это важно для расчета температурных режимов теплопроводов в ядерных реакторах, трубопроводов, по которым осуществляется перекачка парафинистой нефти или газа. Оптимизация температурного режима нефтепровода - основная задача трубопроводного транспорта, поскольку выпадение парафина или образование газовых гидратов приводит к уменьшению производительности нефтегазопровода. Эта проблема возникает при движении жидкости и газа в скважине; применительно к скважинам эта задача называется основной в теории термокаротажа, поскольку широко используется в геофизике.
Число примеров можно значительно увеличить, и все они свидетельствуют об актуальности темы исследования.
К настоящему времени удовлетворительно разработана теория позволяющая, рассчитывать средние по сечению трубы значения температуры [46, 48, 53, 55, 80, 81]. Первым эту задачу решал А.Ю.Намиот [46], в последующем она развита Э.Б.Чекалюком [77]. Следует отметить большое количество работ, выполненных в Казанском университете в этом направлении под руководством профессора М.А.Пудовкина, где подготовлены кандидатские (Э.Х.Галин, В.Д.Чугунов и др.) и докторские (А.Н.Саламатин) диссертации [55].
Однако для большинства практических приложений информация о средней по сечению температуры недостаточна. Таким образом, возникает задача о детальном распределении температуры по скважине при течении в ней жидкости или газа, которая до настоящего времени не решена. Основная трудность при этом заключается в необходимости учета реального профиля скорости, который существенно различается для ламинарного и турбулентного течений. Решение такой задачи имело бы как научное, так и практическое значение.
Научной предпосылкой настоящей работы явилась эффективная модификация асимптотического метода, ориентированная на задачи скважинной термодинамики (А.И. Филиппов). Она использована О.И. Коркешко, Е.М. Девяткиным, М.Р. Минлибаевым, Г.Я. Хусаиновой, П.Н. Михайловым, Г.Ф. Ефимовой, Н.П. Миколайчуком для создания теории температурных и массообменных процессов при закачке жидкости в пласты, фильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости, движении жидкости по скважине, термического воздействия на пласт на основе фильтрационно - волновых процессов. Эти исследования обеспечивают перспективы развития теории баротермического эффекта в газовых пластах. Изучение температурных полей при фильтрации газа сквозь пористые пласты сопряжено со значительными трудностями, основными из которых являются нелинейность задач, связанная с необходимостью учета зависимости плотности газа от давления на основе уравнений состояния реального газа, возможность фазовых переходов в пласте, многофазность и теплообмен пласта с окружающей средой.
Все вышесказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы исследования.
Целью диссертационной работы является создание методов расчетов температурных полей в скважине, обеспечивающих построение радиальных зависимостей, и окружающей среде при ламинарном и турбулентном течении флюида на основе асимптотических разложений.
Основные задачи исследования
— развитие теории теплообмена потока в скважинах с учетом ламинарного
и турбулентного профиля скорости;
- представление исходной задачи сопряжения в виде последовательности
краевых задач для коэффициентов асимптотического разложения;
— аналитическое решение задачи в нулевом и первом приближениях;
- сопоставление полученных решений с результатами других исследовате
лей;
— проведение расчетов пространственно - временных распределений температуры и изучение вклада различных физических процессов. Научная новизна. Впервые с помощью асимптотических методов получено решение задачи о температурном поле в скважине, по которой движется жидкость, и окружающем массиве в нулевом и первом приближениях. Применение асимптотического метода к этой задаче потребовало развития самого асимптотического метода. В частности, построено дополнительное интегральное условие для первого приближения. Учет первого коэффициента разложения позволил построить новые аналитические зависимости температуры от расстояния до оси скважины для произвольного профиля скорости флюидов.
Достоверность основных результатов диссертационной работы обоснована применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических законов. Из более общих решений, полученных в диссертационной работе, следуют частные, которые сопоставлены с результатами других исследователей. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными показывает их удовлетворительное согласие.
Практическая значимость. Построенные новые решения позволили усовершенствовать методику расчетов тепловых полей при движении жидкости в скважине, обеспечить расчет радиальных распределений температуры для ламинарного, турбулентного потоков и произвольного распределения скорости потока по радиусу, что обеспечивает возможность создания новых способов исследования скважин и оптимизацию условий теплоотдачи в реальных трубопроводах. Решение основной задачи термокаротажа представляет научную основу для интерпретации данных промысловой геофизики.
Основные положения, выносимые на защиту; 1. Математическая модель температурного поля в жидкости, текущей по скважине, окруженной сплошным массивом среды с учетом реального профиля скорости потока флюида, построенная с использованием модификации асимптотического метода. Процедура «расцепления» соответствующей це-
почки уравнений, на основе которой осуществлена постановка задач в нулевом и первом приближениях. Физическое обоснование дополнительного интегрального условия для первого и более высоких приближений, заключающееся в том, что среднее значение температуры в интервале 0 < г < 1 равно нулю. Решения задач для нулевого и первого коэффициента разложения в асимптотическом представлении, приведенных к смешанной краевой задаче для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей и параболического типа.
Расчетные формулы для температурного поля в скважине, учитывающие произвольное распределение скорости в потоке жидкости в стволе скважины, которые в нулевом приближении обеспечивают получение средних по сечению значений температуры, а в первом приближении - реальные зависимости температуры в скважине от расстояния до ее оси как для случая постоянных вертикальных градиентов температуры так и для более общего случая, в котором вертикальные градиенты определяются на основе решения соответствующих краевых задач. Заметим, что полученные решения для произвольного профиля скорости при малых временах не позволяют построить физически разумных расчетных формул. Отсюда следует, что в этом случае возникает задача построения решений с использованием погранслой-ных рядов.
Результаты расчетов пространствненно-временных распределений температуры осуществленных для случаев ламинарного, турбулентного потоков и выровненного профиля скорости, на основе которых осуществлена оценка величин температурных аномалий, обусловленных радиальными отклонениями термометров при движении вдоль ствола скважины. На основе анализа расчетных кривых установлено, что с помощью метки толщиной 1 м может быть исследован интервал глубин около 60 м. С ростом толщины метки исследуемый интервал существенно возрастает.
Краткая характеристика содержания работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.
Во введении обоснована актуальность работы, поставлены задачи исследования и приводятся краткие сведения по работе.
В первой главе приведен краткий обзор литературы, сформулирована физическая и математическая постановка задачи о температурном поле в жидкости, текущей в трубе, окруженной сплошным массивом. Осуществлено «расцепление» системы уравнений для нулевого и первого коэффициентов асимптотического разложения, найдено дополнительное интегральное условие для первого и более высоких коэффициентов асимптотического разложения основной задачи термокаротажа. Рассмотрены случаи выровненного и произвольного профиля скорости и постоянных градиентов, основная задача термокаротажа и аналогичная задача с произвольным профилем скорости потока жидкости в скважине. Во всех этих случаях для нулевых и первых коэффициентов разложения сформулированы в асимптотическом представлении смешанные краевые задачи для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей и параболического типа.
Во второй главе получены аналитические решения задачи в асимптотическом приближении и найдены приближенные решения задачи о температурном поле жидкости в малодебитных скважинах, осуществлены расчеты для пространственно-временных распределений температуры для случаев ламинарного и турбулентного потоков, а также выровненного профиля скорости; приведен анализ результатов.
В третьей главе получены аналитические решения задачи для нулевого и первого асимптотических коэффициентов разложения в пространстве изображений и найдены приближенные решения задачи о температурном поле жидкости в скважинах, осуществлены расчеты пространственно-временных зависимостей температуры и приведен анализ результатов. В отличие от предыдущей
главы здесь не постулируется постоянство вертикальных температурных градиентов.
В заключении подводятся итоги проведенного исследования.
В процессе выполнения работы широко использованы асимптотические методы, методы интегральных преобразований Лапласа - Карсона. Численные расчеты тепловых полей осуществлены с помощью программного пакета MathCAD. Графические иллюстрации выполнены с использованием программы CorelDraw.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на
Международной научной конференции по математическому моделированию (г. Херсон 2003 г.);
Международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стерлитамак 2003 г.);
Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак 2004 г.);
IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике;
научном семинаре кафедры математического анализа СГПИ (научный руководители — д. ф.- м. н., проф. К.Б. Сабитов, и д. ф.- м. н., проф. И.А. Калиев);
объединенном научном семинаре кафедр геофизики и прикладной физики БашГУ (научные руководители - д. т. н., проф. Р.А. Валиуллин, д. т. н., проф. Л.А. Ковалева);
научном семинаре кафедры математической физики УрГУ им. A.M. Горького (научный руководитель - д. ф.-м. н., проф. А.О. Иванов);
научном семинаре кафедры теоретической физики СГПИ (научный руководитель - д. т. н., проф. А.И. Филиппов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах:
Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Температурное поле в действующей скважине // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. VII, №1(17). С. 135-144.
Ахметова О.В. , Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Исследование радиальных распределений температуры в скважине // Современные физико-математические проблемы в педагогических вузах: Материалы IV Уральской региональной научно-практической конференции. — Уфа: Изд-во БГГГУ, 2003. С. 106-108.
Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Основная задача теории термокаротажа // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды международной научной конференции (24-28 июня 2003 г., г.Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б.Сабитов. - Уфа: Гилем, 2003. Т.З. С. 193-206.
Ахметова О.В., Михайлов П.Н., Филиппов А.И. Моделирование температурного поля в потоке жидкости в скважине и прилегающих пластах // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб.науч. трудов. - С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003. С.149-
152.
Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Филиппов К.А. Асимптотическое решение задачи о температурном поле в скважине // Интеграция вузовской науки и производства как важнейшее условие повышения качества подготовки специалистов: Материалы Российской научно-практической конференции - Уфа: Гилем, 2004. С. 67 - 77.
Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Филиппов К.А. Поля температуры в скважине с учетом радиального профиля скорости // Физико-химическая гидродинамика: Межвузовский сборник. Часть 2. Уфа: РИО Баш ГУ, 2004. С. 101-119.
Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Математическое моделирование температурного поля в скважине с учетом радиального профиля ско-
рости // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-17: Сб. трудов XVII Междун. Научн. Конф.: В 10 т. Т. 1. Секция 1 / Под ред. B.C. Балакирева. — Кострома: Изд-во Костромского гос. технол. ун-та, 2004. С. 84-94.
Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Приближенное аналитическое решение задачи о температурном поле в скважине // Матем. вестник Волго-Вятского региона. Выпуск 6: Периодический межвуз. Сб. научно-методич. работ. Киров: Изд-во ВятГТУ, 2004. С. 100 -109.
Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Использование температурных меток для контроля технического состояния трубопроводов // Матем. вестник Волго-Вятского региона. Выпуск 6: Периодический межвуз. сб. на-учно-методич. работ. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. С. 82 - 88.
10.Ахметова О.В. Исследование теплообмена в установках химической технологии // IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ: Тезисы докладов. Уфа: РИО БашГУ, 2004. С. 28- 29.
11.Ахметова О.В,.Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Температурное поле, инициированное потоком жидкости в действующей скважине // Математические методы в теории и технологиях. ММТТ-18. Сборник трудов XVIII Международ, научн. конф. В 10 т. Т. 1.1 Под общ. Ред. В.С.Балакирева. - Казань: Изд-во Казанского гос. технол. ун-та, 2005. С. 160-165.
Краевая задача для первых коэффициентов разложения
В реальных случаях турбулентного движения имеет место выравнивание профиля скорости. При решении таких задач целесообразно ввести среднюю скорость, как величину, не зависящую от радиуса трубы. Тогда постановка и решение задачи значительно упрощаются. Кроме того, осреднение задачи позволяет найти дополнительное условие, необходимое для решения задачи в первом приближении. Наиболее важное практическое значение эта задача имеет для термических исследований скважин, поскольку измерение температуры обычно осуществляют при спуске или подъеме термометра; поэтому она получила название основной задачи термокаротажа.
Аналогично предыдущему случаю на искомое решение накладывается условие симметрии, заключающееся в том, что производная по радиальной координате на ocHzd (в центре скважины) обращается в ноль.
Аналогично предыдущему случаю пренебрегаем слагаемыми, содержа-щими множитель порядка v и вводя формально параметр асимптотического разложения є, получим
Для решения основной задачи термокаротажа найдено дополнительное условие, которое получено осреднением T ]\z,rtt) по координате г в пределах от 0 до 1.
Для вывода дополнительного интегрального условия осредним задачу (1.3.22) - (1.3.28) по г в пределах 0 г 1. Для осреднения температуры применяется следующий интеграл (верхние и нижние индексы опущены) )1 г=0 = 7Ь(0- (1.3.64)
Нетрудно убедиться, что полученная таким образом задача об определении средней температуры в пласте (1.3.59) - (1.3.64) совпадает с задачей в нулевом приближении (1.3.37) - (1.3.42). Из единственности решения соответствующих задач следует, что решения их совпадают Г = Г . (1.3.65) Поэтому, осредняя ряды (1.2.8) - (1.2.9), получим (г)={ )+є( )+є2{ )+...+єй( )+(0 ), (1.3.66) или Е(г( ))+ (гй)+...+Е»(гМ)+(в «)) = о. (13.67) Отсюда получается дополнительное условие, накладываемое на решения первого, второго и более высоких приближений. Из (1.3.67) имеем ( )1 0 0,/ = 1,2,.... (13.68)
Осреднение в (1.3.68) осуществляется при z = 0. С учетом (1.3.68) задача (1.3.59) - (1.3.64) имеет единственное решение, которое позволяет рассчитать поправки к нулевому приближению. Нулевое и первое приближения вполне достаточны для большинства практических расчетов.
Равенство (1.3.65) позволяет установить физический смысл нулевого приближения. Оно констатирует, что решение в нулевом приближении соответствует отысканию осредненнои по радиусу скважины температуры. Отсюда следует также, что предел решения при є—»0 соответствует осреднению искомого решения по координате г.
Так как в задаче (1.3.59) — (1.3.64) по оси г осуществлено усреднение, то естественно нулевое приближение не зависит от г. Первое приближение Т 1 позволяет учесть зависимость температуры от г. Однако его учет не должен менять осредненных значений температуры. Поэтому первое приближение должно удовлетворять условию равенства нулю его средних значений (1.3.68).
Решение задачи для произвольного профиля скорости и постоянного вертикального градиента температуры
Выражения (2.2.22) и (2.2.23) представляют собой точные решения задачи для первого коэффициента разложения, где Т )и определяется выражением (2.2.11). Выражение 53(0) определяется в зависимости от начальных условий (1.4.46) выражениями з (0) = -X Дз(0) = -Г8Дз(і):Ді(і)Мі-Н)-ібі (1,0) + 2 (1,0) XL 4 4 2Д2(п)-П2Д,(1)М1_н)_ а (1)0) + б2(г„0) (2.2.24)
Заметим, однако, что согласно (2.2.20) выбор начального условия не влияет на радиальные распределения температуры в скважине. Выражение (2.2.20) описывает развитый температурный профиль, поэтому область применимости первого приближения ограничивается достаточно большими времена ми. Это ограничение не относится к нулевому приближению, поскольку оно описывает средние по сечению скважины значения температуры.
Если v0 - средняя скорость, то значение интеграла Щ (l)=l/2. В этом случае задача (2.2.1) - (2.2.4) и ее решение для нулевого приближения (2.2.11) -(2.2.12) совпадает с соответствующей задачей и ее решением для постоянной, т.е. не зависящей от радиальной координаты, скорости. Этот факт является математическим обоснованием использовавшегося ранее положения о том, что в соответствующих задачах постоянная скорость соответствует средней по сечению скважины независимо от радиального профиля. Заметим, что для первых коэффициентов разложения это положение не выполняется.
Полученные решения (2.2.25), (2.2.27) позволяют построить расчетные зависимости температуры в скважине от различных параметров. В следующем разделе осуществлен переход из пространства изображений в пространство оригиналов.
Для окончательного решения задачи необходимо осуществить переход в пространство оригиналов, который осуществлен по формуле обратного преобразования Лапласа - Карсона (2.1.62).
В качестве примера приведем формулы температуры для достаточно малых времен или больших значений р. В этом случае к 1 и для температурных полей в скважине решение в нулевом приближении имеет вид
Согласно (2.2.29) - (2.2.31) нулевое приближение описывает средние значения температуры, а информация о ее радиальном распределении в скважине содержится в первом приближении.
Для достаточно больших времен или малых р выражение для к представится в виде к ю l/-yjp\n\2fvy[p). Коэффициенты разложения в скважине имеют вид
Полученные выше зависимости температурных полей составляют основу для научных и практических расчетов температуры в скважинах и трубопроводах. Ниже приведены графические зависимости температурных полей от пространственной координаты и времени. В расчетах использовано нормирование температуры на Pev(l-H).
На рис. 2.1 приведены зависимости отклонения температуры от геотермической в нулевом приближении Т =Т Pev(l-HJ в зависимости от безразмерного времени t = y\A[rf"o ) Для случаев течения воды, нефти и метана по скважине. Расчеты произведены по формуле (2.1.63). Из рисунка следует, что наибольшие отклонения относительной температуры достигаются при течении воды, поскольку она обладает повышенной теплоемкостью.
Построение решения для первого коэффициента разложения
В технических устройствах различного рода значительную часть занимают различного рода трубопроводные устройства. Для контроля их целостности используются различные физические методы исследований, например радиоактивные, акустические и т.д. Все эти способы обладают существенными ограничениями. Здесь обсуждаются особенности нового способа контроля технического состояния скважин, базирующегося на исследовании динамики искусственно созданной температурной метки, затухание которой в трубопроводе зависит от наличия дефектов и утечек в обсадной колонне.
Полученные в разделе 3.1.2 решения позволяют построить расчетные зависимости температуры в трубопроводе от различных параметров. В каче стве примера приведем формулы температуры для достаточно малых времен или больших значений/?.
Рассмотрим температурный сигнал, созданный сингулярным источником тепла, плотность которого задана в виде функции qd=Qcp8(x)y(rd r0)y(0 zd Ad), (3.1.37) тогда выражение для источников q{t,r,z) в пространстве источников изображений Лапласа - Карсона примет вид Q»(l,p,z) = pv(0 z h). У,-, (3.1.38)
Подставляя (3.1.38) в (3.1.10) и используя известные выражения обратного преобразования Лапласа - Карсона, получим окончательное выражение для расчета температурных меток в оригиналах VPev(Pevr -1) На основе выражений (3.1.39), (3.1.40) построены графики, описывающие динамику температурной метки в целостной обсадной колонне. При построении графиков использовано значение координаты переднего фронта нагретой жидкости Hf— h + Рег0Л На рисунках изображены графики расчета динамики температурной метки. По оси ординат отложены относительные значения температуры, т.е. отношение значения температуры в точке измерения к величине метки в начальный момент времени, по оси абсцисс - значения безразмерной координаты вдоль оси трубопровода z/H/, где Hf - расстояние до фронта восходящего потока жидкости. На рисунке 3.1 расчет осуществлен для воды при следующих значениях параметров: го —0.1м, Н= 1 м, Ре = 1000. Кривые, приведенные на рисунке, соответствуют сле дующим значениям переднего фронта разогретой жидкости Н/. 1 - 1.3 м; 2 -2 м; 3-4 м; 4-Юм; 5-21 м; 6-61 м.
Из расчетов, проведенных на рисунке 3.1, следует, что с помощью метки толщиной 1 м в указанных условиях может быть обследован прямой участок обсадной колонны с радиусом 0.1 м и длиной 61 м.
Зависимость относительной температуры метки от безразмерного расстояния при различных временах: 1 - /=0.003; 2 - 0.01; 3 - 0.03; 4 - 0.09; 5 - 0.2; 6 - 0.6; другие расчетные параметры го=0.5 м, Н=5 м, Ре-10 В данном разделе построены решения задач, которые в отличие от предыдущих учитывают и произвольные зависимости скорости от расстояния до оси скважины и вертикальные градиенты температуры в зоне течения жидкости.
Аналитическое решение общей задачи в нулевом приближении
В данной главе получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины, учитывающие изменения теплообмена восходящего потока с глубиной, для случая, выровненного и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты в нулевом и первом асимптотическом приближении. Как и в случае постоянных градиентов, показано, что в нулевом приближении решение для случая произвольного профиля скорости в частном случае совпадает с решением для выровненного профиля скорости при любых значениях вертикальной координаты.
Для основной задачи термокаротажа найдено дополнительное интегральное условие, позволившее однозначно определить первое и более высокие приближения. Оно заключается в равенстве нулю средних значений температуры по сечению скважины.
Как и в случае постоянных градиентов, нулевое приближение описывает зависимость средней температуры от времени, в то время как первое приближение описывает радиальные профили температуры. Это означает, что нулевое и первое приближения позволяют осуществлять детальные расчеты температуры в скважинах. Поскольку нулевое приближение описывает средние значения температуры, то оно применимо и для больших, и для малых времен при любых значениях вертикальной координаты.
Аналогично предыдущей главе установлено, что построенные решения для произвольного профиля скорости при малых временах не позволяют построить физически разумных расчетных формул. Отсюда следует, что и в этом случае возникает задача построения решений с использованием погранслойных рядов.
На основе полученных решений построены формулы для расчетов температурных полей для случая, когда мгновенный источник тепла на некотором заданном интервале глубин создает температурную метку прямоугольной формы в движущемся потоке. С помощью полученных зависимостей осуществлены расчеты и построены графики пространственно-временных зависимостей температурных полей, возникающих при движении меток такого вида. Это позволило оценить возможности использования температурных меток для исследования технического состояния скважин. В частности показано, что с помощью метки толщиной 1 м может быть исследован интервал глубин около 60 м. С ростом толщины метки исследуемый интервал существенно возрастает.
В работе осуществлена постановка задачи о температурном поле в жидкости, текущей по скважине, окруженной сплошным массивом среды с учетом реального профиля скорости потока флюида. С использованием параметра асимптотического разложения искомая задача представлена в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Для основной задачи термокаротажа найдено и физически обосновано дополнительное интегральное условие для первого и более высоких приближений, заключающееся в том, что среднее значение температуры в интервале О г 1 равно нулю. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка задач в нулевом и первом приближениях. Осуществлена постановка задачи в частном случае постоянных градиентов температуры. Показано, что первоначальная краевая задача, содержащая уравнения параболического типа приводит в асимптотическом представлении к смешанной краевой задаче для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей и параболического типа.
В диссертационной работе получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины для случая постоянного градиента в нулевом и первом асимптотическом приближении. Рассмотрены случаи выровненного и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты. Показано, что в нулевом приближении решение для случая произвольного профиля скорости в частном случае совпадает с решением для выровненного профиля скорости. Установлено, что нулевое приближение описывает зависимость средней температуры от времени, в то время как первое приближение описывает радиальные профили температуры. Оценка остаточного члена показывает, что нулевое и первое приближения достаточны для детального расчета температуры в скважинах.
