Введение к работе
Актуальность темы. Задачи определения орбитального и вращательного движения небесных тел и задачи исследования динамики пучков заряженных частиц по праву считаются классическими. Узким местом в исследовании уравнений движения упомянутых математических моделей является необходимость применения весьма громоздких и сложных процедур решения дифференциальных уравнений, лежащих в их основе. В течение долгого времени каждая из конкретных задач этого класса решалась при помощи специальных приёмов. В последние десятилетия появилось много важных работ в направлении автоматизации процессов исследования моделей тех или иных подклассов. Особенно важными моделями являются орбитальное и вращательное движение искусственных спутников Земли, а также динамика пучков заряженных частиц. Основная проблема автоматизации процессов исследования — построение универсальных методов, алгоритмов и комплексов программ, позволяющих исследовать и решать уравнения этих моделей. Настоящая работа посвящена именно этому. Как известно, в основе большинства приближенных методов решения и исследования дифференциальных уравнений математических моделей динамики лежат методы рядов Тейлора и малого параметра.
Ещё в конце XIX века А. Пуанкаре установил, что математической моделью для широкого класса динамических систем являются обыкновенные дифференциальные уравнения с полиномиальной правой частью, однако на момент появления этих моделей их применение в практических расчетах было затруднительно или невозможно из-за отсутствия быстродействующих ЭВМ. В современных прикладных исследованиях многие отечественные и зарубежные ученые, например, К.В. Холшевников, В.А. Брумберг и др., применяют аналитические методы. В работах Д.С. Граса (D.S. Graga), М.Л. Кампаньоло (M.L. Campagnolo) и др. ученых последних лет получило строгое теоретическое обоснование и само применение полиномиальных дифференциальных уравнений.
В связи с вышеизложенным, организация процесса построения математических моделей орбитального движения и пучков заряженных частиц, основанных на полиномиальных уравнениях, является актуальной.
Цель работы — разработка общего подхода к эффективному численному моделированию в задачах динамики пучков заряженных частиц и динамики искусственных спутников Земли.
Научная новизна работы. Разработан общий подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах определения орбитального и вращательного движения искусственных спутников Земли и в задаче моделирования динамики пучков заряженных частиц в линейном ускорителе. В основе подхода лежит представление уравнений движения в форме системы с полиномиальными правыми частями, которое позволило разработать универсальный комплекс программ для построения аналитических и вычислительных процедур исследования динамических моделей.
Методы исследования. Исследование базируется на научных трудах отечественных и зарубежных авторов в областях вычислительных методов, прикладной астродинамики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработка программных модулей осуществлялась методами структурного и объектно-ориентированного программирования.
Достоверность и обоснованность. Существенная часть работы посвящена сравнению результатов проведенных численных экспериментов с результатами работы известных общедоступных программ, реализующих аналогичные численные методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается совпадением результатов интегрирования уравнений моделей с результатами аналогичных вычислений с использованием других программ.
Положения, выносимые на защиту
Математические модели возмущенного орбитального и вращательного движения искусственных спутников Земли высокого порядка точности.
Математическая модель высокого порядка точности динамики пучков заряженных частиц в линейном ускорителе.
Новые универсальные алгоритмы метода рядов Тейлора и малого параметра для класса полиномиальных задач Коши.
4. Прикладная программа PSMODE интегрирования ОДУ методами рядов Тейлора и малого параметра. «Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009613252» от 23.06.2009 г.
Реализация результатов исследований
Разработанное программное обеспечение послужило основой для написания учебного пособия в рамках Национального проекта «Образование» (Пилотный проект СПбГУ №22: Разработка и внедрение инновационной образовательной программы «Прикладные математика и физика», 2006 год).
Разработанное программное обеспечение для автоматизации построения вычислительных процедур (программа PSMODE) использовалось в теме 12.4.08 факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета («Разработка алгоритмов управления космической станцией на стационарных орбитах», 2008 год, руководитель Л.К. Бабаджанянц) при проверке алгоритмов оптимального программного управления в задачах космической динамики.
Апробация работы. Основные положения научной работы докладывались на: 35-ой научной конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2004); IX международной конференции «Beam Dynamics and Optimization» (Санкт-Петербург, 2006); IV всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (Казань, 2008); научных семинарах кафедры механики управлямого движения факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.
Результаты работы используются в учебном процессе по дисциплинам «Динамические системы» и «Практикум программирования».
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 печатных работ. Из них 1 в журнале, входящем в Перечень журналов, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов диссертаций
на соискание ученой степени кандидата наук; 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Основная часть изложена на 107 страницах машинописного текста. Работа содержит 9 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 93 наименований. Общий объем работы — 133 страницы.
