Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Методы моделирования электромагнитных полей 11
1.1 О предмете исследования 11
1.2 Методы математического моделирования 14
1.3 Методы аппроксимации по времени 23
Глава 2 Постановка задачи 29
2.1 Модель среды и физическая постановка задачи 29
2.1.1 Модельсреды 30
2.1.2: Модель зондирующей установки 30
2.2 Математическая модель и вариационные постановки . 32
2.2.1 Осесимметричныйслучай 37
2.2.2 Трехмерный случаи 41
Глава 3 Дискретизация задач 47
3.1 Конечные элементы на параллелепипедах . 48
3.1.1 Конечные элементы Неделека 1-го типа первого порядка 49
3.1.2 Скалярные конечные элементы первого порядка . 51
3.2 Конечные элементы в осесимметричном случае 52
3.3 Дискретные аналоги вариационных. постановок 53
3.3.1 Дискретные задачи для осесимметричного случая 54
3.3.2 Дискретизация векторных вариационных задач . 56
3.4 Аппроксимация по времени 60
3.4.1 Равномерные временные сетки 60
3.4.2 Схема Ньюмарк-бета для неравномерного шага по времени: . 61
Глава 4 Численные результаты 64
4.1 Особенности учета стороннего тока для ВМКЭ -аппроксимаций 64
4.2 Структура программного комплекса 65
4.2.1 Модуль генерации сетки 66
4.2.2 Генерация портрета матрицы СЛАУ 68
4.2.3 Модуль генерации СЛАУ 70
4.2.4 Модуль решения СЛАУ 72
4.2.5 Модуль-обработки результатов 73
4.3 Тестирование методов. 74
4.4 Моделирование поля витка с током 81
4.5 Моделирование работы дефектоскопа 84
4.5.1 Сравнение с физическим экспериментом 87
4.5.2 Моделирование кольцевых дефектов в трубе . 88
4.5.3 Анализ влияния соединительной муфты 91
Заключение 100
Литература 102
- Методы математического моделирования
- Математическая модель и вариационные постановки
- Конечные элементы в осесимметричном случае
- Генерация портрета матрицы СЛАУ
Введение к работе
Современный уровень развития вычислительной техники предоставляет все более широкие возможности для математического моделирования различных физических процессов. Необходимость эффективного численного моделирования электромагнитных полей возникает во множестве технических приложений, таких как разработка аппаратуры для дефектоскопии, электроразведки, геоэкологических методик, электрических машин.
Одной из основных методик неразрушающего контроля технического состояния машин, механизмов и других объектов техники является дефектоскопия. Используя дефектоскопы, можно получать быстрые и надежные результаты измерений толщины или обнаруживать скрытые внутренние дефекты без разрезания или разделения объектов контроля. Наиболее эффективными для исследования и контроля при бурении и эксплуатации нефтяных и газовых скважин являются методы, основанные на применении электромагнитных процессов. Для интерпретации данных электромагнитного зондирования требуется наличие эффективных средств математического моделирования электромагнитных полей.
В связи с этим актуальным становится разработка и исследование новых эффективных и устойчивых численных алгоритмов решения системы уравнений Максвелла и их практическая реализация. Одним из наиболее распространенных методов моделирования электромагнитных полей является метод конечных элементов. В 80-х годах XX века была предложена новая модификация метода конечных элементов - векторный метод конечных элементов. Исследование этого метода является актуальной задачей вычислительной математики, и существует ряд вопросов, связанных с его применением к различным классам задач и практической реализацией. На сегодняшний день векторный метод конечных элементов является одним из основных
методов решения задач электромагнитизма, тем не менее он остается практически неосвещенным в отечественной литературе. В данной работе проводится исследование этого метода применительно к решению нестационарных уравнений Максвелла и сравнение его с классическим скалярным методом конечных элементов.
Целью работы является разработка и реализация алгоритмов на базе узлового и векторного методов конечных элементов для моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметрич-ных и трехмерных областях, а также моделирование электромагнитных полей, возникающих при дефектоскопии обсадных колонн нефтегазовых скважин»
Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к экспериментальным данным и аналитическим решениям.
Научные новизна и защищаемые положения:
Разработан и реализован алгоритм моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричном случае в неоднородных областях; предложен способ учета скачка поля на границе раздела сред с различными магнитными свойствами.
На базе векторного метода конечных элементов разработан и реализован алгоритм моделирования нестационарных векторных электромагнитных полей в трехмерных неоднородных областях.
Экспериментально определен оптимальный параметр схемы Нью-марк-бета (/? ~ 0.25) аппроксимации по времени. Построен аналог этой схемы для неравномерного шага по времени.
Проведен ряд вычислительных экспериментов, подтверждаю
щих эффективность предложенных схем при сравнении с резуль
татами физических экспериментов и аналитическими решени
ями. Определено влияние величины магнитной проницаемости
вещества колонны, соединительных муфт, а также дефектов раз
личной конфигурации на значения ЭДС в измерительном конту
ре дефектоскопа.
Значимость работы* Предложены и реализованы алгоритмы решения нестационарных уравнений Максвелла в неоднородных областях в осесимметричном и трехмерном случаях. На основе разработанного комплекса программ в осесимметричном случае проведено исследование влияния групп дефектов и соединительных муфт на результаты дефектоскопии. На ряде модельных задач исследован новый подход к решению нестационарных векторных уравнений, основанный на векторном МКЭ: Проведено сравнение ВМКЭ с классическим скалярным: МКЭ. Результаты исследования позволяют сделать вывод о возможности применения ВМКЭ для решения реальных задач электромагнетизма.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:
XXXVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2000,
XXXVIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2001,
Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика». Новосибирск, 2001,
региональной научной конференции студентов, аспирантов, мо-
лодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ». Новосибирск, 2001,
региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ». Новосибирск, 2002,
Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2002. Новосибирск, 2002,
III Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002,
Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании». Усть-Каменогорск, 2003,
Международной конференции «Математические методы в геофизике». Новосибирск, 2003;
семинаре кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Новосибирск, 2004,
объединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета. Новосибирск, 2004,
семинаре им. К.И.Бабенко Института прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша. Москва, 2004.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 14 печатных работ [1] - [14].
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (131 наименование) и приложения. Работа изложена на 118 страницах, включая 24 иллюстрации и 19 таблиц.
Первая глава посвящена современному состоянию проблемы и обзору литературы по тематике работы. Анализируются различные методы моделирования нестационарных электромагнитных полей, их преимущества и недостатки. Особое внимание уделено векторному методу конечных элементов. Дается краткий обзор схем аппроксимации по времени нестационарных дифференциальных уравнений.
Во второй главе сформулированы постановки задач для моделирования нестационарных электромагнитный полей в неоднородных областях. В п. 2.1 описывается модель среды и класс решаемых в работе задач. В п. 2.2 введены задачи в осесимметричном и трехмерном случаях. Построены вариационные постановки в форме Галеркина, ориентированные на узловой МКЭ в осесимметричном случае и на векторный МКЭ в трехмерном случае.
Третья глава посвящена построению пространственной дискретизации сформулированных постановок. В п. 3.1 вводятся векторные локальные базисные функции первого порядка для #(rot, П)-конфор-мных конечных элементов Неделека 1-го типа и скалярные локальные базисные функции первого порядка. В п. 3.2 вводятся билинейные скалярные базисные функции для осесимметричного случая. В п. 3.3 строятся дискретные аналоги полученных в главе 2 постановок в форме Галеркина. Приводятся соответствующие матричные уравнения и выражения для элементов локальных матриц. П. 3.4 посвящен дискретизации по времени нестационарных дифференциальных уравнений, полученных в результате пространственной аппроксимации. Построен аналог схемы Ньюмарк-бета для неравномерного шага по времени.
В четвертой главе рассматриваются особенности векторного МКЭ и приводятся результаты численных экспериментов. В п. 4.1 рассматриваются особенности реализации векторного МКЭ и задания стороннего тока. В п. 4.2 описываются структура программного комплекса, его основные модули. Приводятся портреты матриц СЛАУ, получаемые при МКЭ- и ВМКЭ-алпроксимациях. В п. 4.3 проводится тестирование разработанных алгоритмов на задачах с известными аналитическими решениями. Численно определен оптимальный параметр схемы Ньюмарк-бета. На модельных задачах показана эффективность векторного МКЭ по сравнению со скалярным. П. 4.5 посвящен моделированию работы дефектоскопа, разработанного в Институте геофизики СО РАН совместно с НППГА «Луч». Приводятся результаты сравнения результатов расчета с данными физического эксперимента. Выявлен характер влияния различных групп кольцевых дефектов на кривую ЭДС наведенного тока. Исследовано влияние зазоров между трубами и соединительных муфт на результаты измерений.
Основные результаты исследования сформулированы в заключении к диссертации.
Достоверность полученных результатов подтверждена результатами экспериментального оценивания порядков аппроксимации построенных вычислительных схем, сравнениями с аналитическими решениями, сопоставлением с данными физического эксперимента.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №03-05-64795 и совместного международного проекта РФФИ (грант №04-01-89003) и NWO (грант №047.016.003).
Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору Элле Петровне Шу-риной, а также руководству Института геофизики СО РАН и НППГА «Луч^и лично д.т.н., чл.-корр. РАН Эпову Михаилу Ивановичу за помощь и поддержку при работе над диссертацией.
Методы математического моделирования
Эффективность численного моделирования реальных электромагнитных процессов зависит от многих факторов. Одно из главных условий — выбор корректной математической модели наблюдаемых явлений.
Реальные задачи характеризуются геометрической разномасштаб-ностью элементов рассматриваемой конструкции и разрывными физическими свойствами этих элементов. При этом разрывными могут быть сразу несколько физических параметров, а скачок магнитных и электрических свойств материалов может достигать нескольких порядков. Построенная математическая модель должна адекватно учитывать поведение поля на границах раздела таких сред.
Пространственная модель выбирается в зависимости от геометрических параметров среды и физических особенностей протекающих процессов. Выбор системы координат осуществляется в соответствии с целями моделирования и геометрическими особенностями области [10, 68, 92]. При моделировании поля точечного заряда, либо полей в сферических областях целесообразно переходить к сферическим гфв-координатам. При дефектоскопии скважин и в задачах нахождения поля в околоскважинном пространстве характерной формой области является цилиндр. В этом случае задача формулируется в цилиндрических r z-координатах. При наличии осевой симметрии цилиндрические координаты сводятся к r -координатам. Осесимметричные постановки позволяют значительно уменьшить размерность дискретного аналога. Использование сферических и цилиндрических коорди нат упрощает задание области и позволяет решать задачу на ортогональных сетках. Недостатком такого подхода является наличие сингулярности [60, 111, 118] при г — 0.
Классической математической моделью, описывающей поведение электромагнитных полей, является система уравнений Максвелла.
Традиционным подходом к решению задач электромагнетизма является использование потенциальных постановок [42, 72, 87]. Аппроксимации с применением скалярного и векторного потенциалов позволяют избегать нефизичных или, так называемых, паразитных решений [87]. Это связано с тем, что выполнение условий, накладываемых на дивергенцию поля обеспечиваются введением специальных условий калибровки [42, 72]. Кроме того, применение аппарата векторного потенциала позволяет эффективно решать задачи в областях со скачкообразным изменением свойств материалов. В потенциальных постановках уравнения Максвелла сводятся к уравнениям второго порядка, включающим rot-rot-оператор. Среди преимуществ соответствующих численных процедур следует отметить также относительно низкие вычислительные затраты [106]. Тем не менее, процедура численного дифференцирования, требуемая для вычисления напряженности магнитного или электрического полей приводит к потере точности и непрерывности (в однородной среде) [87]. В связи с этим,. современные вычислительные методики базируются преимущественно на моделях, сформулированных в терминах естественных переменных. Использование новых технологий позволяет таким постановкам не уступать в эффективности потенциальным и обладать всеми их преимуществами [45,106].
При численном решении уравнений Максвелла в естественных переменных основным недостатком является возникновение нефизичных решений, связанных с нарушением условий, накладываемых на дивергенцию [87] электрического и магнитного полей. В [106] отмече но, что при моделировании нестационарных полей ограничения, накладываемые на дивергенцию искомых полей выполняются на всех временных слоях, если им удовлетворяют начальные условия. Одним из самых распространенных методов учета дивергентных условий является использование множителей Лагранжа [65,106].
Учет характера распространения и изменения по времени электромагнитного поля позволяет прийти к существенному упрощению моделей [45].
В стационар но лі случае, что характерно для электростатических и магнитостатических проблем [43, 78], модель сводится к эллиптической краевой задаче, для решения которых хорошо зарекомендовали себя методы, работающие с электрическим и магнитным потенциалами [42, 67].
Для гармонических по времени процессов обычно переходят в частотную область, и задача сводится к решению уравнения второго порядка относительно комплексной амплитуды поля. Этот подход находит применение для широкого класса задач рассеивания, моделирования распространения электромагнитных волн в волноводах и связанных с этим задач на собственные значения [72, 45, 89,110,132].
При моделировании нестационарных, медленно меняющихся полей мы можем пренебречь распространением волн и перейти к параболической задаче. Это возможно в случае когда длина волны будет значительно больше геометрических размеров рассматриваемой области. Такие поля характерны для задач о наведенных токах [46, 59,95], например, в электрических машинах и трансформаторах.
Наконец, нестационарные, быстро лгенякнциесд поля приводят к необходимости решения полной системы уравнений Максвелла. К такому классу задач относится моделирование различного типа микроволновых устройств [51, 93, 98].
Следующим этапом математического моделирования после постро ения адекватной модели среды является выбор метода решения. На сегодняшний день ведущие позиции при численном решении дифференциальных уравнений занимают сеточные методы. В зависимости от способа построения приближенного решения все сеточные методы можно разделить на три больших класса [32]: интегральные, дифференциальные и вариационные.
Интегральные методы решения электромагнитных задач основываются на использовании фундаментального решения уравнения. С помощью принципа суперпозиции это решение продлевается в требуемые точки расчетной области. Основным представителем класса интегральных методов является метод граничных элементов [107]. В этом методе решение ищется только на границах исходной области, затем на его основе можно найти решение и для внутренних точек. Благодаря дискретизации области только на ее границе размерность дискретного аналога задачи резко сокращается. К недостаткам относятся сложность вычисления интегралов при построении дискретного аналога, плотность и несимметричность результирующей СЛАУ [83]. Класс задач, к которым может быть применен метод граничных элементов, резко ограничен требованием существования фундаментального решения. Следует отметить, что этот метод применим только для областей однородных по физическим свойствам [45]. Тем не менее метод граничных элементов широко используется, а применение его совместно с другими численными методами, такими как метод конечных элементов, является перспективным [83, 86]
Математическая модель и вариационные постановки
Основным законом, описывающим поведение электромагнитных полей, является система уравнений Максвелла, представляющая собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, связывающих между собой фундаментальные электромагнитные величины.
В систему уравнений Максвелла включены четыре основных закона электромагнетизма, которые в дифференци Отметим, что уравнение неразрывности может быть получено из закона Максвелла-Ампера и закона Гаусса для электрического поля применением оператора дивергенции к уравнению (2.2). Система уравнений Максвелла дополняется следующими материальными соотношениями: где Jo - плотность стороннего тока, , д — диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно, а - удельная электропроводность. В общем случае е, fj. и а — тензоры, зависящие от основных электромагнитных величин, пространственных координат и времени. В данной работе будем рассматривать только изотропные линейные среды, в которых , р, и а — скалярные величины.. Обозначив через о — ;гт—10 9Ф/м: диэлектрическую проницаемость Зб7Г вакуума, через ц0 — 4тг10 7Гн/м магнитную проницаемость вакуума, величины ЄИ/І можно представить в виде: где є - относительная диэлектрическая проницаемость, /х — относительная магнитная проницаемость. Характерные значения є , р и а для некоторых физических сред приведены в табл. 2.2; С использованием уравнений состояния (2.6) - (2.8), систему уравнений Максвелла можно сформулировать относительно пар неизвестных (Е, Н) или (В, D). В терминах (Е, Н) система уравнений Максвелла имеет вид Сформулируем краевые условия и условия на границах сред. Пусть Q = UQ,i Сі3- открытое ограниченное полиэдральное множество с Липшиц-непрерывной границей 8Q. Произвольную границу между подобластями Г2; с различными физическими свойствами обозначим Г (рис. 2.2). Пусть граница области сЮ состоит из двух непересекающихся частей дії = OQE U 9QH- Тогда краевые условия имеют вид где no - единичный вектор внешней нормали к границе 0Q. На границах идеальных электрических и магнитных проводников задаются однородные краевые условия. Пусть п - единичный вектор нормали к границе Г.
Скачок некоторой функции Л на границе Г обозначим где Л\т+ = Апа» Лг- = A\(tf Тогда на границе Г между материалами с различными физическими свойствами выполняются следующие условия: тангенциальная компонента поля Е непрерывна нормальная компонента поля В непрерывна тангенциальная компонента поля Н разрывна; величина скачка равна плотности поверхностного тока нормальная компонента поля D разрывна; величина скачка рав на плотности поверхностного заряда Для корректной постановки задачи, уравнения (2.9)-(2.12) необходимо дополнить начальными условиями Случай, когда область моделирования обладает осевой симметрией достаточно распространен при решении задач электромагнетизма, в частности, в геофизических приложениях. При моделировании работы дефектоскопа осесимметричная модель среды используется в задаче расчета кривых профилирования для колонн без дефектов, с кольцевыми поверхностными и сквозными дефектами, и при наличии соединительных муфт. Для осесимметричного случая в данной работе использован подход, основанный на введении векторного потенциала.
Это позволяет перейти к самосопряженным операторам, понизить вычислительные затраты за счет уменьшения размерности дискретных задач и эффективно моделировать поля в областях со скачкообразным изменением электрических и магнитных свойств материалов. Введем векторный потенциал А: для которого должно выполняться условие калибровки Кулона: Закон Гаусса для магнитного поля (2.4) с учетом (2.17) будет выполняться автоматически. Если z — ось симметрии, ток Jo = (0, JQ J 0) имеет только одну ненулевую компоненту Jo p(V, z)
Тогда векторный потенциал А также будет иметь только одну компоненту А = (0, A r, z), 0). Как уже отмечалось, в данной работе в качестве начальных условий для нестационарной задачи используется решение стационарной задачи. Такой подход соответствует случаю моделирования работы дефектоскопа. Тем не менее, построенные вычислительные схемы могут быть использованы для решения достаточно большого класса стационарных и нестационарных задач. Рассмотрим математические модели и соответствующие им вариационные постановки в стационарном и нестационарном случаях. Условия (2.14), (2.15) на границе материалов Г с различными магнитными свойствами в терминах векторного потенциала имеют вид Если граница Г — коаксиально-цилиндрическая (г = const) (см. рис. 2.3), тогда, используя выражения для компонент оператора rot в осе-симметричном случае, получаем следующие условия Для построения вариационной формулировки, которая соответствует стационарной задаче в осесимметричном случае, введем пространство Функции из этого пространства с нулевым следом на дО, формируют его подпространство Пространство М1 ) традиционно используются в вариационных постановках, ориентированных на скалярный МКЭ. В стационарном случае для задачи (2.19) - (2.22) вариационная постановка, ориентированная на скалярный МКЭ, имеет вид Вариационная постановка 1. Для заданного JQV Є L2(fi) найти А Є Vo, такое, что Уф Є Vo выполняется. Нестационарная задача В нестационарном случае из (2.1), (2.2), (2.8) и (2.17) в гг-коорди-натах получаем В данной работе в качестве начальный условий при решении нестационарной задачи используется решение Л,тац стационарной задачи (2.19)-(2.22): В общем случае начальные условия могут быть заданы следующим образом где ІІЬ 2 определяются в соответствии с физическим смыслом решаемой задачи. Условия на границе материалов Г с различными магнитными свойствами в терминах векторного потенциала для нестационарной задачи имеют вид
Конечные элементы в осесимметричном случае
Пусть в области Q, задано ее разбиение на прямоугольные элементы Qh = U К{, і = 1, -.., Np. Взаимнооднозначным и обратимым били i нейным отображением (г, z) = В((, rf) произвольный прямоугольник может быть отображен в опорный элемент KQ = {0 ,77 1}. Нумерация вершин для прямоугольного мастер-элемента приведена на рис. 3.2. Полиномы пространства PQ В случае билинейных элементов будут иметь вид Размерность пространства PQ И число степеней свободы будут равны числу узлов прямоугольника [PQ] = 4. Локальными базисными функциями пространства PQ для единич Совокупность всех глобальные базисных функций образует конечномерное пространство Vj% размерностью равной количеству узлов Nn расчетной области. Введем следующие дискретные пространства Для построения дискретных аналогов вариационных постановок векторные функции Ц"Й будем представлять в виде разложения по базису величин будем использовать представление Отметим, что в стационарном случае коэффициенты cvj в (3.2) и (3.3) не зависят от t. При построении дискретных аналогов будем учитывать, что дискретизация области решения построена таким образом, что физические свойства среды являются постоянными на элементе разбиения. Стационарная задача В стационарном случае для вариационной постановки 1 получаем следующий дискретный аналог. Дискретная задача 1. Для. заданного J0h є L2(l) нойти Aj Є VQ(Q), такое, что 9ля любого ф є VQ выполняется Подставив (3.4) — (3.5) в дискретную задачу 1 можно получить матричное уравнение где а = [аь аг,..., ajyn]T — вектор неизвестных, f = [/1( /2,..., /лгп]т - вектор правой части, элементы матрицы массы Т, и матрицы жесткости S определяются формулами Стационарная задача
Для задач с ограничениями при построении дискретных аналогов,, так лее как и при формулировании вариационных постановок, важным является выбор пары конечномерных подпространств (Wh,Vh), в которых ищутся магнитное поле и множители Лагранжа, Этот выбор обусловлен дискретным условием Ладыженской-Бабушки-Бреззи [65,66,106]: которое обеспечивает отсутствие паразитных мод, а также оптимальную сходимость конечноэлементного решения [66]: При построении дискретного аналога вариационной формулировки 3, ориентированной на векторный МКЭ в качестве конечномерного подпространства Wh С Wo — H0(rot, ГІ) в данной работе будем рассматривать пространство элементов Неделека 1-го типа первого порядка WQ [101; 102]. Тогда, в соответствии с (ЗЛО), конечномерным подпространством для аппроксимации множителей Лагранжа выбирается пространство скалярных элементов 1-го порядка VQ [65].. Дискретный аналог вариационной постановки 3 для стационарной задачи с множителями Лагранжа будет иметь следующий вид Дискретная задача 3. Для заданного Jj є L2(Q)Z найти Hft Є WQtph Є VQ, такие, что VF Є W$ \fq S .VQ выполняется
Генерация портрета матрицы СЛАУ
Предложенные вычислительные схемы на базе узлового и векторного МКЭ в трехмерном случае и скалярного МКЭ в гг-координатах реализованы в виде программных комплексов в программной среде C++ Builder. Технология реализации для скалярного МКЭ широко описана в литературе [32, 35, 76, 100]. В последнее время предложен ряд методик основанных на объектно-ориентированном подходе [77].
Программная реализация векторного МКЭ основывается на классической конечноэлементной технике, но тем не менее имеется ряд существенных отличий и особенностей. В связи с этим остановимся подробно на структуре программного комплекса, реализующего век торный МКЭ. Программный комплекс состоит из следующих блоков: модуль построения конечноэлементной сетки, ориентированной на ВМКЭ, генератор портрета матрицы в разреженном формате, модуль вычисления локальных и сборки глобальной матрицы и вектора правой части, модуль решения СЛАУ, постпроцессор, который подготавливает данные для интерпретации и визуализации.. ВМКЭ предъявляет высокие требования к качеству сеток. Кроме того, как отмечалось ранее, если в расчетной области имеется источник электрического тока, генератор сетки должен учитывать его конфигурацию. Входными данными для модуля генерации параллелепи-пеидальной сетки является информация о геометрических и физических характеристиках расчетной области и параметрах конечно-элементного разбиения.
Входящий в состав программного комплекса генератор сетки предназначен для построения сеток в параллелепипе-идальных областях. Это связано с тем, что разработанный комплекс предназначен для решения внешних задач электромагнетизма, а традиционным подходом к решению таких задач является использование «большого бака». Входные данные задаются с помощью следующих файлов: x.dat - список шагов разбиения по координате х, с указанием числа шагов и минимального значения xmin, y.dat - список шагов разбиения по координате у, z.dat - список шагов разбиения по координате z, subp.dat - список параллелешшеидальных подобластей расчетной области, subc.dat — список цилиндрических подобластей расчетной области. В первой строке файлов x.dat, y.dat и z.dat указывается число шагов разбиения вдоль соответствующей координаты; во второй строке задается минимальное значение координаты; далее следует список шагов разбиения. Предусмотрено заведение параллелепипеидальных и цилиндрических подобластей. Параллелепипеидальные подобласти задается семью числовыми параметрами Nmat - номер подобласти, (#mm» у mint Zmin) вершина с минимальными координатами, (Хтах Ушах z-max) вершина с максимальными координатами. Цилиндрические подобласти описываются шестью числовыми параметрами Nmat — НОМер ПОДОблаСТИ, (яс /с» zc) — координаты центра цилиндра, г - радиус цилиндра, h — высота цилиндра Выходными данными модуля построения сеток является список узлов сетки, информация о ребрах, их ориентации и связи между ними. Матрицы СЛАУ получаемые с помощью векторного МКЭ более разрежены, по сравнению со скалярным МКЭ, поэтому для эффективного решения задач большой размерности требуется построение портрета матриц [15, 30].
Для хранения портретов матриц СЛАУ использован разреженный строчный формат..Входными данными для модуля генерации портрета являются файлы x.dat, y.dat и z.dat. Построенный портрет матрицы СЛАУ записывается в файлы infopar.dat - содержит число ненулевых элементов матрицы, jgpar.dat — содержит массив jgpar, в котором для каждого ненулевого элемента матрицы указывается номер его столбца, igpar.dat — содержащий массив гдрагу г-ый элемент которого указывает на позицию в массиве jgpar, с которой начинается г-ая строка матрицы. Число элементов массиве jgpar равно количеству ненулевых элементов матрицы. Массив igpar содержит (N + 1) элементов, где iV — размерность матрицы СЛАУ. Портреты матриц СЛАУ, получаемые в результате ВМКЭ-аппрок-симаций приведены на рис. 4.2. Эти портреты получены при решении задачи моделирования электромагнитного поля в кубе Q = [—0.1,0.1]3, с характерным размером ячеек дискретизации h — 0.01. Размерность СЛАУ, получаемой при ВМКЭ составляла 3630, при ВМКЭ с множителями Лагранжа - 4961. Соответствующие портреты матриц СЛАУ, получаемые при использовании классического скалярного МКЭ приведены на рис. 4.3. Размерность СЛАУ для МКЭ - 3993, для МКЭ с множителями Лагранжа — 4993. Вычисление локальных матриц и сборка глобальных для векторного МКЭ почти не отличается от технологии классического скалярного МКЭ. Исключение составляет процедура учета краевых условий, связанных с тангенциальными компонентами искомого поля. Выражения для элементов локальных матриц получены аналитически.
Для векторных элементов Неделека 1-го типа первого порядка на параллелепипедах элементы локальной матрицы жесткости имеют следующий вид Элементы матрицы массы будут определяться следующими выражениями В выражениях для элементов локальных матриц массы и жесткости параметры 1Х, 1У и ls - являются длинами ребер параллелепипеда, направленных вдоль соответствующей оси. Входными данными модуля генерации матрицы и вектора правой части СЛАУ являются выходные данные модуля генерации сетки и модуля генерации портрета матрицы, а также следующие файлы eps.dat — содержит значения диэлектрическую проницаемости є для всех материалов из каталога материалов, sig.dat - содержит значения удельной электропроводности о win всех материалов из каталога материалов, mu.dat - содержит значения магнитной проницаемости д для всех материалов из каталога материалов, tn.dat - список шагов по времени, beta.dat — значение параметра/3 схемы Ньюмарк-бета, ic.dat - начальное приближение для нестационарной задачи. При решении нестационарной задачи на первом временном слое в качестве начального приближения берется решение стационарной задачи. На последующих временных слоях начальным приближением является решение СЛАУ с предыдущего временного слоя. Выходными данными модуля генерации СЛАУ являются следующие файлы
