Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Основные определения и обозначения. динамические уравнения теории упругости в произвольной системе координат 27
1. Ковариантные и контравариантные тензоры 27
2. Тензоры в произвольной криволинейной системе координат 30
3. Динамические уравнения теории упругости в произвольной криволинейной системе координат 33
1. Уравнения теории упругости в декартовых координатах 34
2. Фундаментальные решения уравнений теории упругости 35
3. Асимптотические ряды 38
4. Уравнения теории упругости в произвольной криволинейной системе координат 39
ГЛАВА 2. Рассеяние в упругой среде от малой неоднородности 42
1. Волны горизонтальной поляризации 46
2. Волны вертикальной поляризации 51
ГЛАВА 3. Рассеяние плоских упругих волн от малой неоднородности, помещенной в упругий слой 62
1. Постановка задачи дифракции от малой неоднородности в слое 63
2. Волна горизонтальной поляризации (SH - волна) 66
3. Решение задачи отражения сдвиговой волны от слоя (без включения) 68
4. Решение в слое (первичная дифракция) 70
5. Диаграмма направленности поля рассеянного малой неод нородностью в слое 72
6. Функция Грина для слоя без неоднородности 77
7. Интегральное уравнение для решения задачи и метод по следовательного приближения 80
8. Дифракционная добавка от неоднородности, помещенной в слой 82
ГЛАВА 4. Дифракция плоских упругих волн вертикальной поляризации от малой не однородности в слое 85
1. Постановка задачи дифракции от малой неоднородности в слое 86
2. Решение задачи отражения вертикально поляризованной волны от слоя (без включения) 90
3. Построение функции Грина для задачи отражения волны от слоя 96
4. Интегральное уравнение задачи отражения волн от неод нородности в слое 100
5. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений и дифракционная добавка от неоднородности 106
ГЛАВА 5. Дифракция от малой неоднородности в слабо искривленном упругом слое 109
1. Постановка задачи дифракции от малой неоднородности в слабо искривленном слое 110
2. Решение задачи отражения падающей волны от слоя (без включения) 113
3. Поле рассеяное от неоднородности 116
Заключение 120
Литература 122
Приложения 132
- Тензоры в произвольной криволинейной системе координат
- Решение задачи отражения сдвиговой волны от слоя (без включения)
- Решение задачи отражения вертикально поляризованной волны от слоя (без включения)
- Решение задачи отражения падающей волны от слоя (без включения)
Введение к работе
Методы решения задач дифракции и распространения волн в различных средах развиваются не один век. Это не удивительно, поскольку почти все новые технические изобретения связаны с аспектом волнового распространения. Огромный спектр задач распространения волн самого разного вида может быть сведен к рассмотрению небольшого числа основных математических моделей. Так в областях оптики, радиоинженерии, теории антенн, электронной и ионной оптики, навигации такие задачи сводятся к рассмотрению уравнений Максвелла с теми или другими дополнительными условиями. В задачах акустики используют волновое уравнение и уравнение Гельмгольца.
Задачи дифракции в динамической теории упругости, которым посвящена данная диссертация, также приобрели за последние годы весьма большое значение. Геофизика, сейсморазведка и области исследования, связанные с физическими явлениями в упругих средах, однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных, описываются динамическими уравнениями теории упругости.
Отметим особенности упругих волн. В декартовой, цилиндрической и сферической системах координат уравнения теории упругости для изотропной среды могут быть приведены к системе уравнений Гельмгольца. Представляя вектор смещений упругой среды суммой скалярного и векторного потенциалов, из уравнений упругости получим два уравнения Гельмгольца: одно для скалярного потенциала, соответствующее продольной скорости распространения волны и другое - для векторного потенциала с поперечной ско -6 ростью.
Часть перемещения, соответствующая скалярному потенциалу, распространяется с продольной скоростью. Из соответствующего уравнения Гельмгольца следует, что изменение объема (дивергенция скалярного потенциала) удовлетворяет волновому уравнению с той же скоростью. В сейсмологии эта волна называется первичной волной или просто Р-волной. Эта волна уплотнения-разрежения обуславливает изменение объема.
С другой стороны, второе из уравнений Гельмгольца показывает, что часть перемещения, соответствующая векторному потенциалу, переносится с меньшей поперечной скоростью. Ротация векторного потенциала удовлетворяет волновому уравнению с поперечной скоростью. В сейсмологии эта волна называется вторичной волной или волной SH. Это волна сдвига, обуславливающая искажение элемента без изменения его объема. В том случае, когда модуль сдвига равен нулю, поперечная скорость тоже равна нулю. Это показывает, что волны сдвига не могут распространяться в среде с нулевой жесткостью (например, в жидкой среде).
Плоская упругая волна вполне определена вектором смещения частиц и возможна классификация этих волн в зависимости от вида вектора смещения. Известно, что волну с произвольным направлением можно представить как суперпозицию сдвиговой волны горизонтальной поляризации (SH-волна по сейсмической терминологии), у которой составляющие, расположеные в плоскости падения, равны нулю, и волны вертикальной поляризации, у которой равна нулю составляющая вектора смещений ортогональная плоскости падения.
Изучение модельных задач в теории упругости, в теоретической гидромеханике, в теории теплопроводности, в теории электромагнитного поля и в других областях, привело к созданию большого числа методов как аналитических, так и численных, описание которых можно найти как в ранних работах самих создателей этих методов, так и в современных трактатах [3], [14], [17], [21], [22], [30], [42], [47], [48], [50], [72], [75], [83], дающих полную картину развития методов и историю их происхождения.
Однако, в теории распространения волн, как и в других физических теориях, число задач, допускающих точное решение, весьма ограничено. В тех немногих случаях, в которых известно строгое решение задачи [17], [22], [77], [84] и др., это решение имеет весьма сложный вид (бесконечные ряды или интегралы, или же ряды, каждый член которых представляется в виде интеграла). Если аналитическая форма строгого решения отличается сложностью, то его можно рассматривать только как первый шаг в действительном решении задачи, следующий шаг должен состоять в выводе формул, пригодных для численных расчетов.
Этот второй шаг может оказаться столь же трудным, как и первый. Так, некоторые точные решения получены в виде рядов, отличающихся столь медленной сходимостью, что они не могут быть непосредственно применены к вычислению поля, и либо должны быть преобразованы в другие ряды, сходящиеся гораздо быстрее, либо еще в какие-то другие математические объекты, пригодные для вычислительных алгоритмов.
Вполне понятен поэтому постоянный интерес к приближенным методам волновой теории и особенно к асимптотическим методам.
Большой вклад в развитие асимптотических методов вносят московские школы В.И. Арнольда [2], Н.Н. Боголюбова [15], В.П. Маслова [29], И.Г. Петровского [64], М.В. Федорюка [78], [79], Л.А. Вайнштейна [22], Л.М. Бреховских [17].
Современная петербургская школа асимптотических методов математической физики имеет глубокие корни, ведущие свое нача-ло от основополагающих исследований академиков В.И. Смирнова, СЛ. Соболева и В.А. Фока [72], [81], [82]. Основываясь на фундаментальных работах создателей, эта школа разветвилась по различным направлениям, приложениям, по математическим подходам и методам. Свои школы имеют ведущие ученые. Отметим лишь те из них, которые оказали большое влияние на формирование математического мировоззрения диссертанта. Это школы В\М. Бабича [4], [6], [7], [11], [12], B.C. Булдырева [6], [18], [19], B.C. Буслаева [20], А.П. Киселева [40], [41], П.В. Крауклиса [44], [45], В.В. Новожилова [57], Г.И. Петрашеня [59], [60] , [61], [62], [63], М.М. Попова [93], П.Е. Товстика [74], Т.Б. Яновской [13], [68], [86].
Асимптотические методы и методы теории возмущений активно развиваются также зарубежными школами, которыми руководят известные ученые F.W.J.Olver [58], R.Courant [87], F.G.Friedlender [88], J.B.Keller [88] и многие другие.
Интенсивное развитие асимптотических методов решения задач математической физики, относящихся к теории распространения решений гиперболических уравнений, позволило весьма эффективно исследовать волновые процессы в неоднородных средах. В связи с этим возник ряд новых задач, имеющих специфические для неоднородных сред особенности.
Асимптотические методы позволяют исследовать не только задачи, связанные с гладкими объектами, но и позволяют рассматривать эффекты влияния на процессы распространения волн произвольного вида экстремумов скоростей, каустических поверхностей и т.п., а также решать модельные задачи в тех случаях, когда различные среды имеют особенности типа линий разрыва кривизн, градиентов скоростей, угловые области.
Асимптотические методы, однако, не дают решения уравнений в общепринятом смысле, так как решения строятся в виде формальных рядов по обратным степеням большого параметра. Строгое математическое оправдание получаемых формул и нахождение области их применимости особенно для неоднородных сред — сложная и до сих пор нерешенная проблема.
В тех же случаях, когда известно точное решение задачи, всегда оказывалось, что формальные асимптотические ряды являлись ее асимптотическими решениями. В то же время в работах по лучевому методу формальные асимптотические построения находят оправдание в том, что они соответствуют физическим представлениям и при анализе задач, допускающих точное решение, появляются в том же виде, в каком они следуют из точных решений.
Формальные асимптотические разложения решений, полученные во всех приближениях, служат основой строгому математическо -10-му оправданию этих решений и дают возможность найти области применимости асимптотических разложений по различным параметрам задачи.
Цель диссертационной работы автора — применение асимптотических методов к решению достаточно широкого класса задач математической теории упругости.
Особое внимание уделено исследованию задач распространения волн в слоисто-изотропных упругих системах, ограниченных параллельными или слабо изогнутыми поверхностями раздела, с малой неоднородностью внутри слоя.
Рассматриваемые проблемы представляют интерес для специалистов в области теории упругости, акустике твердых тел, подводной акустике, в теории распространения электромагнитных волн, а также для сейсмологов - теоретиков и экспериментаторов. Развитые в диссертации методы могут успешно применяться и в других областях математической и теоретической физики.
В сейсмологии, как известно, пользуется широким распространением модель упругих сред. На основании такой модели считают, что каждая порода, входящая в состав земной коры, характеризуется упругими постоянными Л яме А и /л, и массовой плотностью рь причем делается предположение о том, что динамические процессы в земной коре протекают по законам математической теории упругости.
Использование упругой модели в сейсмологии аргументировано, во-первых, фактом существования поверхностной волны Релея, свойства которой позволяли удовлетворительным образом описать основные закономерности в распространении главных фаз волн, возбуждающихся при землетрясении. Во-вторых, фактом существования как в теории упругости, так и в сейсмологии двух типов объемных волн, продольных и поперечных, распространяющихся с различными скоростями.
Подобные задачи исследовались многими авторами. Прежде всего, волновым процессам в слоисто-упругих средах посвящены работы Л.М. Бреховских [17], Г.И. Петрашеня [59], [60], [61], [63], В.М. Бабича [13], Т.Б. Яновской [13], Л.А. Молоткова [55], П.В. Крауклиса [44], [45], М.М. Попова [92], А.П. Киселева [40], [41] и др.
Далее, в последнее время появилось много работ, посвященых изучению дифракции упругих волн при наличии разного рода особенностей: кусочно-гладких границ и поверхностей раздела упругих сред, неоднородных включений, разрывов и скачков кривизн на поверхностях сред и т.д.
Находя асимптотики задач рассеяния от неоднородностей, приходится сталкиваться с таким понятием как интегральные характеристики этих неоднородностей. Одной из таких важных характеристик служит объем области. Особую роль характеристики рас-сеивателя играют в случае рэлеевской асимптотики при дифракции волн на различных рассеивателях [10], [25], [65].
С.А. Назаров [56] используя асимптотические методы теории упругости доказал теоремы существования и единственности для решений краевых задач с малым параметром при старших производных в областях с гладкой границей, с кусочно-гладкой границей, в областях с разрезами и малыми отверстиями.
При исследовании задачи дифракции от малой неоднородности в слабо искривленном упругом слое существенную роль сыграла работа В.М. Бабича, Б.А. Чихачева, Т.Б. Яновской о поверхностных волнах в вертикально-неоднородном упругом полупространстве со слабой горизонтальной неоднородностью [13].
В.М. Бабич, В.П. Смышляев [5], [9] изучала дифракцию на упругом клине (клиновидное упругое тело) при падении на тело плоской волны. Возникает рассеянное волновое поле в состав которого входит, наряду с волнами другой природы, сферическая волна, рассеянная вершиной конуса. Соответствующий дифракционный коэффициентеферической волны является своеобразным аналогом матрицы рассеяния. Эти матрицы обладают свойствами взаимности (симметрии).
Группой американских ученых К. Aki, R. Gritto, L.R. Johnson, V.A. Korneev, Fred F. PoUitz, P.G. Richards и др. представлена теория [89], [93], [94], [95], [96] рассеяния сферических упругих волн от сферического включения с предельно малым объемом. Этот предел удовлетворяет условиям рэлеевского рассеяния, в котором величина ка -С 1, где к является волновым числом, а есть радиус сферического включения.
В работах [ 95 ], [ 96 ] были получены коэффициенты для рассеянного поля при падении S-волны и поверхностных волн на сферическое включение малого радиуса.
Позднее указанными авторами [ 93 ] получено точное выражение для рассеянного волнового поля при падении плоской Р-волны насферическое включение малого размера.
Наконец, используя теорию эквивалентности источников, построено [89], [94] рассеянное волновое поле как суперпозиция сферических гармоник с центром во включении.
Имеются лишь отдельные работы, относящиеся к исследованию задач дифракции волн на неоднородностях в слоисто-упругих средах.
Однако для получения волнового рассеянного поля в каждом конкретном случае необходимы сложные громоздкие численные расчеты. Поэтому большое значение имеет исследование данной задачи асимптотическими методами. Именно такая задача и решена в данной диссертации для случая ПлосКО\ 0 падающего вол нового поля.
В настоящей диссертации рассматривается слоисто-изотропная система с параллельными плоскостями раздела, при переходе через которые остаются непрерывными как вектор смещений, так и вектор напряжений. Внутри слоя находится малая неоднородность. В верхнем полупространстве системы создается воздействие достаточно общего типа и делается предположение о том, что процесс распространения упругих волн в системе строго подчиняется уравнениям Ляме теории упругости.
Фактически мы решаем трехмерную задачу. Между двумя неограниченными плоскими или слабо искривленными плоскостями находится упругий слой с соответствующими параметрами Ламе и плотностью. Слой лежит на плоском или слабо искривленном полу-пространстве. Поместим в слой тонкий бесконечной (цилиндр с малым по сравнению с длиной падающей волны поперечным сечением). На слой из верхнего упругого полупространтва падает плоская упругая волна. В верхнем же полупространстве исследуется задача рассеяния плоской волны от малой неоднородности, помещенной в плоский или слабо искривленный слой.
Решение этой сложной задачи проведено в несколько этапов, которые отличаются методами и математическими приемами, применяемыми к этой проблеме на каждом шаге.
Использованы как точные, так и приближенные методы, применены различные асимптотические методы получения решения задачи на разных этапах.
С помощью аппарата специальных цилиндрических функций (Бесселя и Ханкеля) и их в длинноволновом и коротковолновом приближениях, из точного решения задачи дифракции падающей волны от цилиндра малого радиуса, получены необходимые результаты в поэтапном решении основной сформулированной задачи.
В диссертации построены функции Грина и их асимптотики, найдены интегральные уравнения при нахождении первичной дифракционной добавки к решению возмущенной включением задачи.
Перечислим основные этапы в последовательном нахождении решения задачи.
1. Методом разделения переменных построено точное решение задачи дифракции в безграничном упругом пространстве плоской упругой волны горизонтальной и вертикальной поляризации (по отношению к плоскости падения) от кругового цилиндра.
-15 Используя некоторые замечательные формулы, носящие название "теорем сложения", падающая плоская волна представлена в виде разложения по функциям Бесселя. Решение задачи получено в виде бесконечных рядов по функциям Бесселя и Ханкеля с определенными коэффициентами, содержащими параметры Ламе, плотности и скорости распространения волн в упругих средах (внешней и внутренней к цилиндру).
Отметим, что построение решения для задачи дифракции волны горизонтальной поляризации не является оригинальным. Это известное классическое решение задачи начала прошлого века.
Что касается волн вертикальной поляризации, то здесь потребовалось применить не только виртуозную аналитическую сноровку, но и пройти через поток громоздких вычислений. Это связано и с упругой средой, в которой распространяется две волны (продольная и поперечная), и с векторной постановкой задачи. Так вектор смещений представлен в виде суммы скалярного и векторного потенциалов. Компоненты вектора смещений представлены в виде бесконечной суммы трех слагаемых, каждое из которых отвечает за падающее поле, отраженное от цилиндра и преломленное внутрь цилиндра волновые поля.
2. На этом этапе был применен асимптотический метод длинноволнового (релеевского) приближения к цилиндрическим функциям малого аргумента (г = Й, Ь 1) в задаче дифракции от цилиндра малого по сравнению с длиной падающей волны радиуса.
Из точного решения (см. 1.) выделено несколько коэффициентов одного порядка относительно ка С 1. Используя релеевскую асимп -16 тотику функций Бесселя и Ханкеля, получен следующий результат: два коэффициента в случае дифракции плоской упругой волны горизонтальной поляризации и три коэффициента при дифракции волн вертикальной поляризации являются величинами одного порядка 0([ка]2). Остальные коэффициенты являются малыми высшего порядка по параметру O([fco]2n), п 1.
Окончательно показано, что в длинноволновом приближении, когда размеры включения малы по сравнению с длиной падающей волны (§С X), главными членами в разложении будут для волн горизонтальной поляризации и три члена для волн вертикальной поляризации, а все дальнейшие будут величинами более высокого порядка малости.
3. Используя в дальнейшем асимптотику функций Ханкеля по большому аргументу кг 1, найдено поле рассеянное от цилиндра, малого радиуса. Оказывается, что в случае, когда размер неоднородности (цилиндра) мал по сравнению с длиной волны (а именно такой случай мы и рассматриваем), поле, рассеянное на неоднородности будет значительно меньше падающего и в главном приближении будет излучать как точечный источник.
Показано, что в длинноволновом приближении неоднородность является точечным источником, для которого интенсивность пропорциональна скачку параметров р и /л (ДЛЯ ВОЛН горизонтальной поляризации), скачку параметров /?, А и /л (для волн вертикальной поляризации) и площади поперечного сечения неоднородности в плоскости падения.
Три первых этапа составляют содержание второй главы.
4. Найдено решение невозмущенной задачи дифракции плоской волны от слоя, толщина которого имеет порядок длины волны. Решение такой задачи в скалярном случае известно.
Правда, в случае волн вертикальной поляризации преодолены громоздкие аналитические выкладки, связанные с трехслойной упругой средой, с условиями жесткого контакта на границах разделов сред и с представлением вектора смещений суммой потенциалов.
5. Предположим теперь, что в слое неоднородность присутствует. Тогда волны в слое, проходя через неоднородность, будут по рождать поле, рассеянное на ней. Это первичное дифракционное поле затем будет переотражаться от границ слоя и снова дифрагировать на неоднородности. Оказывается, что в случае, когда размер неоднородности мал по сравнению с длиной волны (исследуется именно такой случай), дифракционное поле будет значительно меньше падающего и в первом приближении можно ограничится вычислением только первичного дифракционного поля.
Воспользуемся разложением для невозмущенной задачи (без неоднородности). Согласно этапа 4. падающее поле представлено как сумма двух плоских волн в слое, преломленной из основной среды и отраженной от нижнего полупространства. К каждой из них применена теорема сложения, представляющая разложение плоской волны по цилиндрическим функциям (этап 1.). Получено решение невозмущенной задачи в слое и по методике, описанной на этапах 1-3, найдены характеристики поля, рассеянного неоднородностью в слое. Это первичное дифракционное поле в главном приближении будет излучать как точечный источник.
5. Определены теперь характеристики поля, рассеянного неоднородностью во всем пространстве. Для этого найдено сначала поле возбуждаемое точечным источником, помещенным в слое. Фактически найдена функция Грина невозмущенной задачи в случае, когда источник помещен в слое. По функции Грина построена квазифункция Грина для всего пространства. Затем асимптотическим методом стационарной фазы (аналога метода перевала с использованием интеграла вероятности) найдена асимптотика квазифункции Грина при кг 1.
Методом, который в зарубежной литературе носит название метода эквивалентных источников, получено первичное дифракционное поле рассеянное неоднородностью в верхнее полупространство. Эта дифракционная добавка к невозмущенному решению значительно меньше падающего поля и зависит от скачков параметров Ламе, плотностей и площади поперечного сечения неоднородности ж{ка)2.
6. На предыдущем этапе было представлено первичное дифракционное поле, прошедшее в слой и рассеянное в верхнее полупространство малой неоднородностью. Применен приближенный метод вычисления поля.
Строя функции Грина для верхнего полупространства, квазифункции Грина в слое и используя обобщенную формулу Грина, найдены интегральные уравнения для дифракционной добавки к полному полю, возмущенному малой неоднородностью в слое.
7. Методом стационарной фазы найдены асимптотики при кг 1 функции Грина верхнего полупространства и квазифункции Грина в слое.
8. Применен итерационный метод для нахождения решения полученного интегрального уравнения. Малость области интегрирования, совпадающей с сечением неоднородности в плоскости падения, дает все основания к оправданию сходимости этого приближенного метода.
9. Все последовательные шаги предыдущих этапов построения применены для обобщения задачи на случай слабо искривленных слоев по горизонтальным параметрам.
10. Построены диаграммы направленности полей, рассеянных от неоднородности в безграничном упругом пространстве и в слое для случая волн горизонтальной поляризации.
Основными методами исследования в диссертации являются:
1) асимптотический метод (строится высокочастотная асимптотика функций Грина и рассеянного поля, везде большой параметр [кг 1)), применяется рэлеевская асимптотикаростроения рассеянного поля от малой неоднородности радиуса а,ка §С 1;
2) лучевой метод (используется регулярное поле лучей — экстремали интеграла Ферма\ 3) построение функций Грина и квазифункций Грина по линейно независимым решениям соответствующих задач с условиями на грницах раздела;
4) метод интегральных уравнений (методы построения решения, использующие функции Грина, квази-функции Грина и формулу Грина);
3") асимптотический метод стационарной фазы (при получении асимптотики функции Грина), использующий интеграл вероятности и метод перевала.
Решаемые в данной диссертации задачи обсуждены и одобрены профессоромПОМИ РАН им. В.А, Стеклова Г.И. Петрашенем.
Перейдем к краткому описанию содержания диссертации.
В первой главе, состоящей из трех параграфов, вводятся основные обозначения и понятия. В первом и втором параграфах рассматриваются ковариантные и контравариантные тензоры как в аффинной системе коордиант, так и в криволинейной, приводятся примеры тензоров. В третьм параграфе представлены известные классические уравнения динамической теории упругости в декартовой и в произвольной криволинейной системах координат, введено понятие метрического тензора, асимптотического ряда. Рассмотрены фундаментальные решения уравнений динамической теории упругости с различными типами особенностей.
Во второй главе рассматривается дифракция плоской волны от неоднородного включения, имеющего виду"провода" бесконечной длины и малого поперечного сечения. Предполагается, что это неоднородное включение есть круговой цилиндр, радиус которого равен а и мал по сравнению с длиной волны а А, где А —длина падающей волны. Таким образом, рассматривается случай дифракции от малой неоднородности, помещенной между двумя однородными упругими средами. Предполагается, что плоскость падения заданной волны перпендикулярна оси цилиндра. В этом случае общая задача переходит в частную плоскую задачу дифракции от малой неоднородности 0-2 в неограниченном однородном изотропном упругом пространстве.
Данная глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассмотрено падающее поле, имеющее вид плоской волны горизонтальной поляризации. Рассеянное неоднородностью горизонтально поляризованное поле находится при fer 1 с помощью асимптотики функции Ханкеля.
В третьей главе делается существенное усложнение задачи помещением цилиндрической неоднородности в упругий слой. Рассматриваются плоские волны горизонтальной поляризации дифрагированные от упругого включения, имеющего в поперечном сечении круг малого радиуса. Помимо условий, введенных во второй главе, здесь ставятся условия жесткого контакта на границах раздела сред и слоя со своими параметрами Л яме и плотностью.
В первом и во втором параграфах данной главы формулируется общая постановка задачи, в частности в первом вводятся соответствующие обозначения и задаются граничные условия, во втором задача ставится для волн горизонтальной поляризации.
В §3 главы 3 находится решение задачи дифракции плоской волны от слоя без включения.
В последующих параграфах третьей главы ищется дифракционная добавка от неоднородности, помещенной в слой, и окончательно приводится рассеянная от неоднородности в слое упругая плоская волна горизонтальной поляризации с соответствующей диаграммой направленности. Проводится сравнение полученного решения с волной, рассеянной от неоднородности в безграничном упругом пространстве, найденной во второй главе.
Четвертая глава посвящена задаче отражения вертикально поляризованной волны от слоя. Поставленная задача рассеяния плоской волны от малого включения в слое решается в несколько этапов. Во-первых, по падающей плоской волне находится поле, отраженное от слоя без включения . Во-вторых, строится функция Грина для задачи без неоднородности. В-третьих, выводится интегральное уравнение (оно будет с малым ядром), определяющее решение данной задачи с неоднородностью в слое. Наконец, методом последовательных приближений находится первая итерация решения. Поле исследуется для точки наблюдения, расположенной на расстоянии кг 1, в случае малого (по сравнению с длиной волны) радиуса а включения к а С 1.
В главе 5 рассматривается задача рассеяния плоской коротковолновой упругой горизонтально поляризованной сдвиговой волны от неоднородного включения, находящегося в слабо искривленном слое. Включение имеет вид бесконечного цилиндра малого поперечного сечения. Поперечное сечение неоднородности является областью, диаметр d которой мал по сравнению с длиной волны А: d А. Пятая глава состоит из трех параграфов. Аналогично методике нахождения рассеяного поля предложенного в предыдущих главах, здесь делается тоже самое, но с существенным усложнением. В итоге неоднородность будет излучать как точечный источник, интенсивность которого пропорциональна площади сечения этой неоднородности и скачкам параметров р и р поперечных скоростей на неоднородности и на границах разделов.
Отметим, что асимптотическая дифракционная добавка по своей структуре сложна, так как содержит в себе все характеристики трехслойной упругой среды.
В заключении подведены итоги проделанной работы йсформулированы полученные результаты.
В приложении приведены тексты прикладных программ, написанных в математическом пакете Maple 9, иллюстрирующие диаграммы направленности рассеянного неоднородностью в безграничном пространстве первичного дифракционного поля при падении волны горизонтальной и вертикальной поляризации, и в слое при падении волны горизонтальной поляризации.
Итак, к наиболее существенным результатам диссертационной работы относятся следующие.
1. Решена задача дифракции упругих волн вертикальной поляризации, падающих в безграничном упругом пространстве на цилиндр малого радиуса. При решении использованы асимптотики по аргументу специальных цилиндрических функций, в релеевском (малом по сравнению с длиной падающей волны) и оптическом (аргумент много больше длины волны) приближениях. Показано, что поле, рассеянное от цилиндра, значительно меньше падающего и в главном приближении подобно полю некоторого точечного источника.
Решение задачи, относящейся к дифракции на цилиндре волн вертикальной поляризации, привело к сложным аналитическим вычислениям, связанным с распространением двух волн (продольной и поперечной) и векторным характером задачи.
Задача рассеяния плоских упругих волн на цилиндре малого радиуса представляет самостоятельный интерес и может быть использована в связи с методом эквивалентных источников в различных средах.
2. Построено решение задачи дифракции продольной и поперечной плоской волны от упругого слоя, лежащего на упругом полу пространстве. На границах разделов заданы условия сопряжения типа условий жесткого контакта (либо свободной от напряжения границы).
Для векторного случая (волны вертикальной поляризации) эта задача привела к огромному аналитическому вычислительному процессу, связанному с нахождением решения системы алгебраических уравнений восьмого порядка. Решение этой вспомогательной зада -25 чи важно не только с математической точки зрения, но и с прикладной.
3. Для решения возмущенной неоднородностью в слое задачи дифракции плоской упругой волны (и продольной, и поперечной) построены функции и квазифункции Грина из решений невозмущенной неоднородностью задачи, удовлетворяющие условиям сопряжения на границах разделов. Решения невозмущенной задачи получены в пункте 2. Применен асимптотический методом стационарной фазы для получения асимптотики при 1 функций Грина и рассеянного неоднородностью поля. Методом эквивалентных источников получена приближенная формула для первичного дифракционного поля возмущенной задачи, использующая решение задач пункта 1.
4. Выведены интегральные уравнения для получения дифракционной картины поведения поля, возмущенного неоднородностью, в слое с использованием функции и квазифункции Грина. С помощью итерационного метода найдено поле рассеянное на неоднородности в слое. Исследование ядра интегрального уравнения и области интегрирования дают все основания считать метод последовательных приближений сходящимся. Область интегрирования является областью малой площади, порядка 0[к{ка)2] ка 1. Решения задач п.1 используются в качестве начального приближения
5. Решена задача рассеяния плоской волны горизонтальной (SH) поляризации от неоднородности в слабо искривленном слое.
6. Построены диаграммы направленности рассеянного неоднородностью в безграничном пространстве первичного дифракцион -26 ного поля при падении волны горизонтальной и вертикальной поляризации, и в слое при падении волны горизонтальной поляризации.
Рассмотренные автором задачи находят применение практически во всех областях. С ними постоянно имеют дело в оптике, радиоинженерии, электронике, теплотехнике, навигации, сейсморазведке, геофизике, акустике и т.д. Любые продвижения в решении этих модельных задач, как правило, приводят к большому числу новых технических и научных разработок.
Автор надеется, что задачи, рассмотренные в диссертации, смогут найти применение в практических вопросах, связанных с распространением плоских волн в упругих средах.
Основные результаты диссертации изложены в следующих работах [35], [36], [37], [39], [69], [70], [91].
Своим научным руководителям, Кирпичников ой Наталье Яковлевне и Кирпичникову Сергею Николаевичу, автор выражает искреннюю благодарность за постановку задач, исключительно внимательное отношение и ценные советы в процессе работы над темой.
Тензоры в произвольной криволинейной системе координат
В настоящей главе предполагается, что неоднородное включение в виде кругового цилиндра малого радиуса а, помещено в слой.
Рассматривается задача дифракции упругой плоской сдвиговой волны горизонтальной поляризации от упругого цилиндра Пг с параметрами X2,fJ.2 p2- Этот цилиндр расположен внутри упругого слоя Пі. Волна падает из упругого полупространства По с параметрами Xo,fiQiPo на упругий слой с параметрами Ai,//i,/?i.
Плоскость падения заданной волны перпендикулярна оси цилиндра. В этом случае общая задача переходит в частную плоскую задачу дифракции от малой неоднородности Пг, помещенной в слой Пі. Малой неоднородностью Пг является круговой цилиндр радиуса а, а А, где А —длина падающей волны. Толщина слоя имеет порядок длины волны.
Задача состоит в исследовании рассеяния плоской упругой волны горизонтальной поляризации от упругого включения, помещенного в слой, лежащий на свободной от напряжения границе. Падающая плоская волна поляризована параллельно оси цилиндра.
Пусть на поверхность раздела Г01 между упругим полупространством П0 и слоем fli толщины h + hi, падает из верхней среды Q0 упругая плоская волна (рис.1). Внутри упругого слоя Пх помещена малая неоднородность П2: круговой цилиндр радиуса а. Слой лежит на свободном от напряжений упругом полупространстве.
Выберем прямоугольную систему координат таким образом, чтобы плоскость xz совпадала с границей раздела сред, а плоскость ху с плоскостью падения волны. Иначе, в качестве верхней поверхности слоя Г01 выберем плоскость у =г h 0. Нижняя граница Гі3, у = —hi находится на глубине h + h\ от верхней Г0іле координат поместим в слой круговой цилиндр 1 2 образующая которого параллельна оси z. Поверхность этого включения обо-значим через Гі2- Радиус цилиндра а мал по сравнению с длиной волны, т.е. ка С 1. Толщина слоя имеет порядок длины волны:
Динамические уравнения теории упругости однородной изотропной среды для вектора смещений и(х) с гармонической зависимостью от времени переходят в следующие: Для вектора смещений и(х), удовлетворяющего уравнению (3.1.1), ставится следующая задача.
Пусть из упругого полупространства По: У h на упругий слой STii: —hi у h падает плоская волна. Плоская упругая волна вполне определена вектором смещения частиц и, все компоненты которого должны быть непрерывны при переходе границы раздела сред. Кроме того, на границе должны быть непрерывны компоненты тензора напряжений. Таких границ две Гої : у = h и Гі2 : г = а. Нижняя граница Гіз : у = — hi должна быть свободна от напряжений. Отраженная от слоя волна должна удовлетворять условиям излучения. Сформулируем эти условия:
В общем случае смещение и может быть выражено через скалярный Ф и векторный Ф потенциалы формулой В декартовой (цилиндрической, сферической) системе координат для составляющих каждого из потенциалов вектора (3.1.5) мы получаем разделение на уравнения Гельмгольца: здесь а — 4 / +2 , b = ,/ — продольная и поперечная скорости р аспространени я. В формулах (3.1.5)-(3.1.6) "часть перемещения, соответствую щая функции Ф, переносится с продольной скоростью о. Из первого уравнения (3.1.6) следует, что расширение ДФ = divu удовлетво ряет волновому уравнению с той же скоростью. В сейсмологии эта волна называется первичной волной или просто волной Р; это волна уплотнения-разрежения, обуславливающая изменение объ ема. С другой стороны, второе из уравнений (3.1.6) показывает, что часть перемещения, соответствующая функции Ф, переносится с меньшей скоростью Ь а. Из условия rotu — rotrot$ следу ет, что вращение rotu удовлетворяет волновому уравнению с поперечной скоростью 6. В сейсмологии эта волна называется вто ричной волной или волной SH; это волна сдвига, обуславливающая искажение элемента без изменения его объема. В том случае, когда модуль сдвига = 0, 6 = 0. Это показывает, что волны сдвига не могут распространяться в среде с нулевой жесткостью" [72]. Плоская упругая волна вполне определена вектором смещения частиц и(х,у). Известно, что волну с произвольным направлением можно представить как суперпозицию сдвиговой волны горизонтальной поляризации (SH-волна по сейсмической терминологии), у которой и = v = 0,w ф 0-, и волны вертикальной поляризации, у которой и ф 0, v фши = 0. В данной главе исследуется задача рассеяния от неоднородности в слое для падающей волны горизонтальной поляризации. Рассматрим гармонические волны с зависимостью всех величин от времени t и координаты х в виде exp i(x—but), где f есть горизонтальная компонента волнового числа, определяющаяся углом падения волны ии сохраняющаяся при переходе через плоские границы раздела сред. В дальнейшем множитель ехр(—гид:) будем опускать, а д/дх всюду заменим на г. При решении задачи для горизонтальной поляризации разделять вектор смещений u = (0,0, w) на скалярный и векторный потенциалы не нужно, так как составляющие u = v = 0, w ф 0, а вектор смещений не зависит от z. Уравнение (3.1.1) превращается в уравнение Гельмгольца.
Решение задачи отражения сдвиговой волны от слоя (без включения)
Рассматривается задача дифракции плоских упругих волн вертикальной поляризации от неоднородного включения, имеющего вид кругового цилиндра, радиус а которого мал относительно длины падающей волны А: аСА. Из верхнего полупространства 2Q С параметрами Ао, / Оі Ро на упругий слой Гіі с параметрами Ai, 1, pt падает плоская волна вертикальной поляризации продольная или поперечная. Упругий слой Гїі лежит на упругом полупространстве Гіг с параметрами ) 2 2-,92- Малой неоднородностью Пз является круговой цилиндр радиуса а, находящийся в упругом слое Пі, расположенном между двумя упругими полупространствами ГїоПлоскость падения заданной волны перпендикулярна оси цилиндра. В этом случае общая задача переходит в частную плоскую задачу дифракции от малой неоднородности 2з помещенной в слой П\. Толщина слоя Н = h + hi имеет порядок длины волны.
Исследуется дифракция плоских упругих волн вертикальной поляризации от упругого включения, помещенного в слой, лежащий на упругом полупространстве. Плоскость поляризации таких волн совпадает с плоскостью падения. Волны вертикально поляризованного падающего поля рассеиваются от неоднородности как цилиндрические волны с продольной и поперечной скоростями. Интенсивность этого точечного источника пропорциональна скачку параметров Ляме A, ji, скачку плотностей р сред и неоднородности, и площади неоднородности.
Аналогия с электромагнитным рассеянием на неоднородности просматривается полностью только в случае горизонтальной поляризации (SH-волна) [35]. Картина рассеяния вертикально поляризованной плоской падающей волны сложнее. Сложность задачи для вертикально поляризованного поля состоит в том, что задача векторная и компоненты вектора смещений представлены посредством скалярного и векторного потенциалов. Это приводит к двум уравнениям Гельмгольца для потенциалов и к сложным граничным условиям на границах раздела.
Задача рассеяния волн вертикальной поляризаций от поверхности упругого включения формулируется следующим образом. Рассмотрим упругий слой Гїі, расположенный между двумя упругими полупространствами: верхним Єіо и нижним 0,2- Из полупространства QQ на упругий слой Пі падает стационарная плоская упругая волна (продольная или поперечная). В слое толщины Н = h-\-h\ порядка длины волны (Н 0(A)) находится неоднородное включение Из в виде бесконечно длинного кругового цилиндра радиуса г а порядка много меньше длины волны (а А). Плоскость XOY падения волн перпендикулярна оси цилиндра (оси 0Z). На всех границах раздела параллельных плоскости XOZ и на поверхности цилиндра г = а выполняются условия жесткого контакта. Фактически в трехслойной упругой среде решается квазидвумерная задача о дифракции плоской волны (продольной или поперечной) от неоднородного круга, помещенного в упругий слой между двумя упругими полупространствами. Решение сформулированной задачи производится следующим методом. Из уравнений движения для однородных изотропных упругих сред, принципа излучения и граничных условий сначала устанавливается общий вид искомых потенциалов. Динамические уравнения теории упругости однородной изотропной среды для вектора смещений и(х) с гармонической зависимостью от времени переходят в следующие: Для вектора смещений и(х), удовлетворяющего уравнению (4.1.1), ставится следующая задача. Пусть из упругого полупространства QQ: у h на упругий слой Пі:—hi у h толщины Н = h + hi порядка длины волны k(h + h\) O(l), падает плоская волна, Плоская упругая волна вполне определена вектором смещения частиц и, все компоненты которого должны быть непрерывны при переходе через границы раздела сред. Кроме того, на границах должны быть непрерывны компоненты тензора напряжений. Таких границ три: верхняя Г0і : у = h, нижняя Гіг : у — h\ и внутренняя граница ГУз : т = а, (ось цилиндра находится в центре декартовой системы координат).
Решение задачи отражения вертикально поляризованной волны от слоя (без включения)
Рассматривается задача рассеяния плоской упругой горизонтально поляризованной сдвиговой волны от неоднородного включения, находящегося в слабо искривленном слое. Включение имеет вид бесконечного цилиндра малого поперечного сечения. Поперечное сечение неоднородности является областью, диаметр d которой мал по сравнению с длиной волны Л: d ; Л. Плоскость падения заданной волны перпендикулярна оси цилиндра. В этом случае общая задача переходит в частную плоскую задачу дифракции от малой неоднородности ГЬ в слабо искривленном слое.
Представим слой, лежащий между двумя круговыми цилиндрическими поверхностями, настолько больших радиусов RQ и Яі, что х Ri 1, і — 0,1, где ж есть волновое число, соответствующее поперечной скорости распространения. Внешность окружности радиуса RQ обозначим через fioi слой, между окружностями больших радиусов г = йо и г = Яі, обозначим областью Г2і. Толщина слоя имеет порядок длины волны хгЯ = х(Яо — Яі) — 0(1). Внутренность окружности радиуса R\ обозначим областью Гіз Ьудем предполагать, что плоская упругая волна падает из области ГІо на слабо искривленный упругий слой Оі, имеющий радиус кривизны R А много больше длины волны. Границей раздела между областями Q,Q и Гіі -появляется окружность радиуса RQ. СЛОЙ лежит на упругом полупространстве ґз Граница раздела между слоем и упругим полупространством Пз служит окружность г = R\. Все упругие среды fli определены параметрами Ляме АьДь и плотностью среды pit Искривленность слоя приведет к появлению дополнительного слагаемого в решении порядка 0{[ cRi\ l) по сравнению с решением для плоскопараллельного слоя [ 35 ] [ 39 ] [ 70 ].
В работе авторов [ 39 ] была рассмотрена задача дифракции плоской волны от слоя с неоднородным включением, имеющим вид кругового цилиндра радиуса а С А, где А —длина падающей волны. Рассеянное неоднородностью горизонтально поляризованное поле при кг !Э 1 ведет себя подобно цилиндрической волне, интенсивность которой пропорциональна площади поперечного сечения неоднородности, скачку плотностей pi,p2 и скачку параметров Ляме pi, р2 среды и включения. В работе [35] рассмотрено рассеяние волны вертикальной поляризации, падающей с поперечной и продольной скоростями на упругий слой с малой неоднородностью; в [70] изучены другие граничные условия для SH-волны. При построении задач дифракции необходимо построение функции Грина для слоя без включения. Близкие построения функции Грина можно найти в работах [17] [71] [82] [83].
Пусть на поверхность раздела Го і между упругим полупространством По и слоем Пі толщины Н = RQ — Ri, падает из верхней среды $IQ упругая плоская волна горизонтальной поляризации (SH) (рис.1). Внутри упругого слоя Пі помещена малая неоднородность Q2 диаметра d, xd с 1, с границей раздела Гі2- Слой лежит на упругом полупространстве 0,$. Толщина слоя имеет порядок, сравнимый с длиной волны: хН = 0(1). Граница между областями Пі и Пз обозначена через Гіз- Каждая из областей Clj, j 0,1,2,3 определена параметрами Ляме \j pij И плотностью pj, Выберем цилиндрическую систему координат таким образом, чтобы концентрические окружности г = RQ,T — Ri совпадали с границами раздела слоя между верхним и нижним упругими полупространствами. Плоскость падения волны совпадает с плоскостью (г,ф) или плоскостью (ж, у). Волны горизонтальной поляризации (вектор смещений u = ez w) удовлетворяют волновому уравнению Гельмгольца в областях Qj, j 0,1,2,3, Параметр HQ =. к равен r = W/6Q, 6Q — /fJ-o/po, следовательно падающее поле имеет поперечный характер, a PQ есть угол скольжения падающей волны, т.е. угол между осью х и направлением вектора падения. В безграничной среде QQ составляющие вектора смещений и удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда. Поставленную задачу рассеяния плоской волны от слабо искривленного слоя с малым включением будем решать в несколько этапов [83]. Во-первых, по падающей плоской волне найдем поле, отраженное от слоя без включения . Во-вторых, построим функцию Грина для задачи без неоднородности и найдем асимптотику этой функции при яг 1. В-третьих, выведем интегральное уравнение (оно будет с малым ядром), определяющее решение данной задачи с неоднородностью в слое. Наконец, методом последовательных приближений найдем первую итерацию решения. Все это исследуем для точки наблюдения ет 1 и для диаметра области d включения ни С 1.
Решение задачи отражения падающей волны от слоя (без включения)
Мы изучаем задачу рассеяния [жт $ 1) от малой неоднородности, помещенной в слой толщины Н 0(A) большого радиуса кривизны. Для этого исследуем квазифункцию Грина C?i(M, М ) при УСТ 1, используя стандартные приемы метода стационарной фазы (см. [17].
С помощью построенной квазифункции Грина G\(M,Mf) сведем решение сформулированной задачи к решению интегральных уравнений. Затем, учитывая малость ядер этих уравнений, найдем решение интегральных уравнений методом последовательных приближений.
Схема получения дифракционной добавки от малой неоднородности П2 в слабо искривленном слое аналогична построениям, проведенным в работах [35] [39] [70] для плоских слоев и в статье [34], где рассмотрена подобная задача рассеяния плоской волны в случае электромагнитной среды со слабо искривленным слоем.
Окончательно получим первую итерацию W1(M) (дифракцион Таким образом решенные в данной диссертации задачи актуальны и преобрели за последние годы весьма большое значение. В теории распространения волн, как и в других физических теориях, число нетривиальных задач, допускающих точное решение, весьма ограничено. В тех немногих случаях, когда известно строгое решение задачи, это решение имеет весьма сложный вид. Вполне понятен поэтому постоянный интерес к приближенным методам волновой теории и особенно к асимптотическим методам. Эти методы имеют все более широкое применение при исследовании волновых явлений различной физической природы: упругих, акустических, электомагнитных. Именно поэтому задача разработки математических моделей и математического аппарата для исследования задач дифракции упругих волн на малой неоднородности в слое, является несомненно актуальной.
Итак, в диссертации найдено дифракционное поле от малой неоднородности при падении плоских упругих волн горизонтальной и вертикальной поляризации на эту неоднородность; получена плоская упругая волна горизонтальной и вертикальной поляризации рассеянная от упругого включения в слое, с соответствующей диаграммой направленности; найдена плоская упругая волна горизонтальной поляризации рассеянная от малой неоднородности, помещенной в слабо искривленный слой.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается использованием прогрессивных математических методов, современным математическим обеспечением ЭВМ, тщательным анализом устойчивости алгоритмов, многократным тестированием программ.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные математические модели могут найти применение во многих областях, например, в оптике, радиоинженерии, электронике, теплотехнике, навигации, сейсморазведке, геофизике, акустике и т.д. Любые продвижения в решении этих модельных задач, как правило, приводят к большому числу новых технических и научных разработок.
