Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах 8
1.1. Обзор литературы по дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах 8
1.2. Уравнения волновых полей в жидкости 16
1.3. Уравнения волновых полей в неоднородной упругой среде 19
1.4. Граничные и дополнительные условия в задачах дифракции 23
Глава 2. Дифракция звука на неоднородных упругих телах в вязкой жидкости 26
2.1. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости 27
2.1.1.Постановка и решение задачи дифракции плоской, звуковой волны на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости 27
2.1.2.Сведение краевой задачи к задачам с начальными условиями 34
2.1.3.Численные исследования и анализ результатов 38
2.2. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в вязкой жидкости 50
2.2.1.Постановка и решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости 50
2.2.2. Решение краевой задачи методом сплайн-кол локации 57
2.2.3.Численное исследование акустического поля, рассеянного цилиндром- 61
Глава 3. Рассеяние звука неоднородными упругими телами, расположенными вблизи границы раздела сред 70
3.1. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром, расположенным вблизи акустически жесткой плоской поверхности 70
3.1.1.Сведение задачи рассеяния звуковых волн неоднородным упругим цилиндром, расположенным вблизи акустически жесткой границы, к задаче рассеяния звука- на двух телах 70
3.1.2.Дифракция плоской звуковой волны на двух неоднородных упругих полых цилиндрах 73
3.1.3.Решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей 90
3.1.4.Численные исследования 91
3.2. Рассеяние звука неоднородным упругим полым цилиндром в присутствии акустически мягкой плоскости 98
Глава 4. Рассеяние звука неоднородными упругими телами в волноводах 104
4.1. Дифракции звука на неоднородном упругом полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками 104
4.1.1.Постановка и решение задачи 104
4.1.2.Решение краевой задачи методом степенных рядов .116
4.1.3.Численные исследования 123
4.2. Дифракции звука на неоднородном упругом полом ци линдре в плоском волноводе с акустически жесткими стенками 131
Заключение 138
Список литературы 140
- Уравнения волновых полей в неоднородной упругой среде
- Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в вязкой жидкости
- Рассеяние звука неоднородным упругим полым цилиндром в присутствии акустически мягкой плоскости
- Дифракции звука на неоднородном упругом полом ци линдре в плоском волноводе с акустически жесткими стенками
Введение к работе
Актуальность работы. Проблема дифракции звуковых волн является одной из классических. Однако не существует общего метода решения дифракционных задач для тел .произвольной формы с учетом разнообразных свойств материала рассеивателя и окружающей среды и при различной геометрии поля падающей волны.
Широкое применение теории дифракции в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, адекватно описывающих дифракционные процессы с учетом реальных свойств материалов тел и среды, в которой они находятся.
Для решения многих технических задач актуальна проблема взаимодействия акустических волн в жидкости с различными телами. При этом много реальных физических объектов хорошо аппроксимируются телами цилиндрической формы. В настоящее время в многочисленных работах проведены детальные исследования дифракции звуковых волн на цилиндрических телах. Они стали выполнять роль эталонных тел при'исследовании дифракции звука на телах более сложной формы.
Большинство исследований в теории дифракции посвящено изучению и анализу процессов, происходящих в физически однородных средах. Но характерной особенностью всякой реальной среды является ее неоднородность. Неоднородность материала упругих тел может возникать в процессе формирования тела из-за особенностей технологических приемов, различных упрочняющих технологий, а также в процессе эксплуатации конструкций. Заданного рода неоднородность, обеспечивающая определенные характеристики, программируется при разработке современных материалов. Наконец, встречаемся с естественной неоднородностью материалов. В современных конструкциях, наряду с упругими материалами, обычно принимаемыми за однородные и изотропные, используются также неоднородные материалы. Отвлечение от имеющейся почти всегда неоднородности тел часто оказывается вполне допустимым и оправданным. Однако современные техника и технологии требуют уточненного подхода к рассмотрению дифракции звуковых волн с учетом сложных внутренних процессов, происходящих в неоднородных средах. Практическое значение изучения про-
цессов дифракции волн на неоднородных телах особенно возросло в последнее время в связи с применением ультразвука в дефектоскопии и медицинской диагностике, в связи с проектированием конструкций для защиты от шума. Кроме того, актуальности указанной проблемы способствуют современные задачи гидроакустики, геофизики, сейсмологии, судовой акустики и др. Поэтому проблема дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах относится к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес.
Круг работ по изучению дифракции звука на неоднородных упругих телах сравнительно узок (Коваленко Г.П., Молотков Л.А., При-ходько В.Ю., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А., Тютекин В.В.). Построение решений для произвольных законов изменения свойств неоднородного материала рассеивателя связано с большими математическими трудностями. Многие вопросы дифракции звуковых волн на телах с учетом их неоднородности не изучены. Например, в известных работах по дифракции звука на цилиндрических неоднородных телах полагалось, что тела находятся в идеальной жидкости. Такой подход сужает область практического применения полученных результатов, так как в ряде случаев реальные свойства жидкости нельзя не принимать во внимание. Например, вязкость среды оказывает большое влияние на распространение звуковых волн в микронеоднородных средах. Поэтому представляется важным изучение взаимодействия упругих волн в телах цилиндрической формы с волнами в вязкой жидкости с учетом поглощения звука и при различной геометрии первичного акустического поля.
В большинстве работ по теории дифракции полагалось, что рас-сеиватели расположены в безграничном пространстве. Реально всегда имеем ограничивающие звукоотражающие поверхности. При этом возникают многократные переотражения между телом и границей, которые существенно изменяют картину акустического поля. Дифракция звука на цилиндрических телах, находящихся вблизи звукоотража-ющих границ, относится к еще более сложным задачам дифракции, представляющим значительный интерес для теории и практики. Известно небольшое количество работ по дифракции звуковых волн на
однородных (Белов В.Е., Горский С.М.,Шендеров Е.Л.,Bishop G.C., Smith J.) и неоднородных (Садомов А.А., Толоконников Л.А.) упругих цилиндрических телах в присутствии граничных поверхностей. Поэтому для изучения влияния звукоотражающих границ на дифракционные процессы требуется создание эффективных методов расчета акустических полей, рассеянных неоднородными упругими телами.
Целью работы является построение математических моделей дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, расположенных в идеальной и вязкой жидкостях, и проведение на основе этих моделей исследований дифракции звуковых волн на неоднородных упругих цилиндрических телах в безграничном пространстве и в присутствии звукоотражающих поверхностей.
Научная новизна работы заключается в следующем:
поставлены и решены новые задачи дифракции звуковых волн на неоднородных упругих полых цилиндрических телах;
исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние плоских и цилиндрических звуковых волн неоднородными упругими цилиндрами;
изучена дифракция звука на неоднородных цилиндрических телах в присутствии плоской границы;
исследовано влияние неоднородности материала тела на рассеяние звука в волноводе.
Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных случаев.
Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в ультразвуковых технологиях (дефектоскопия, медицинская диагностика); в геофизике и оптике. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке акустических методов неразрушающего
контроля и методов ультразвуковой диагностики многофазных систем; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.
Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР Тульского государственного университета "Некоторые вопросы прикладной математики и механики "и проекта Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-97504).
На защиту выносятся:
математические модели дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, находящихся в идеальной и вязкой жидкостях в безграничном пространстве, в присутствии звукоотражающей границы и в волноводе;
аналитико-численные решения задач дифракции плоских и цилиндрических волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости;
аналитико-численные решения задач дифракции звука на ради-ально-неоднородном полом цилиндре вблизи плоской границы (абсолютно жесткой и акустически мягкой);
аналитические решения задач дифракции звука на неоднородном полом цилиндре в волноводах с абсолютно жесткими и акустически мягкими стенками;
результаты численных расчетов, показывающие влияние неоднородности материала тела на рассеяние звука.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики "(Тула, 2008); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (2007-2009); на научных семинарах кафедры прикладной математики и информатики ТулГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 153 страницы, 58 рисунков. Список литературы включает 140 источников.
Уравнения волновых полей в неоднородной упругой среде
Решение задачи дифракции плоской волны на неоднородном трансверсально-изотропном цилиндрическом слое получено в [79]. Дифракция плоской волны на неоднородном анизотропном полом цилиндре в общем случае анизотропии рассмотрена в [91]. В работе [92] найдено решение задачи дифракции цилиндрической волны на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке. Рассеяние плоской волны неоднородным трансверсально-изотропным полым шаром исследовано в [80]. В указанных работах получены аналитические выражения, описывающие акустические поля вне упругих слоев. Для нахождения волновых полей в неоднородных анизотропных слоях построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которая сведена к задачам Коши.
Теория резонансного рассеяния звука на упругих телах обобщена на случай неоднородных трансверсально-изотропных толстостенных цилиндрических оболочек [93]. Проанализированы частотные характеристики рассеянного акустического поля при нормальном падении плоской звуковой волны на цилиндр. Получены соотношения для определения положения и идентификации каждого резонанса в отраженном сигнале.
Во всех указанных выше исследованиях, посвященных дифракции звуковых волн на неоднородных и на анизотропных упругих телах, жидкость, в которую помещены тела, полагалась идеальной. В работах [81, 94] изучалось влияние вязкости окружающей среды на рассеяние звука неоднородными анизотропными упругими телами. Исследовано отражение и прохождение звука через плоский слой, граничащий с вязкими жидкостями [94]. Определено акустическое поле, рассеянное неоднородной анизотропной оболочкой с произвольной кривизной поверхности в вязкой жидкости [81]. Результаты исследований дифракции гармонических звуковых волн на неоднородных анизотропных телах представлены в монографии [95].
Ряд работ посвящен изучению дифракции звуковых волн на неоднородных термоупругих телах. Отражение и преломление звуковых волн плоским неоднородным термоупругим слоем, граничащим с теплопроводными невязкими жидкостями, рассмотрено в [47, 48, 96]. В [49, 50] решены задачи дифракции плоских и цилиндрических волн на неоднородной термоупругой цилиндрической оболочке. Исследование дифракции плоской волны на неоднородном термоупругом полом шаре проведено в работе [97].
Методом локального поля решена задача о прохождении звуковых волн через искривленную неоднородную термоупругую пластину, граничащую с вязкими теплопроводными жидкостями [98]. При этом предполагается, что акустическое поле в окрестности произвольной точки, лежащей на поверхности пластины, имеет локальный характер и зависит только от поля падающей волны и геометрической формы участка пластины вблизи этой точки.
Учет анизотропии материала термоупругих рассеивателей осуществлен в работах [51, 52, 53, 82, 99].
Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий плоский слой, материал которого обладает анизотропией общего вида, изучено в [51]. Уравнения движения неоднородного анизотропного термоупругого слоя сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, краевая задача для которой решена методом сплайн-коллокации с использованием нормализованных кубических В — сплайнов.
Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородной транс-версально-изотропной термоупругой цилиндрической оболочке рассмотрена в [52]. Задача дифракции плоской звуковой волны на неоднородной трансверсально-изотропной термоупругой сферической оболочке решена в [53].
В [82] метод конечных элементов применен для решения задачи о рассеянии звука ограниченной неоднородной анизотропной термоупругой пластиной. В области жидкости, прилегающей к пластине, выделяется часть с внешней сферической поверхностью. В этой части, а также внутри пластины решение найдено численно с помощью метода конечных элементов. Акустическое поле вне выделенной области находится в аналитической форме в виде рядов по сферическим гармоникам.
Решение задачи рассеяния плоской звуковой волны неоднородной анизотропной термоупругой цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде получено в [99]. Определение поля смещений и ПОЛЯ температур сведено к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Для описания акустических полей вне оболочке получены аналитические выражения в виде рядов по цилиндрическим функциям Бесселя.
Исследованию рассеяния звука неоднородными термоупругими телами посвящена монография [100]. В упомянутых выше работах полагалось, что рассеиватель находится в безграничной среде. Дифракция звука на телах, находящихся вблизи плоской границы, исследовалась в ряде работ.
В работах [123, 124] методом Т-матриц с применением многократного суммирования переотраженных волн исследовано рассеяние на упругой сферической оболочке и цилиндре с закруглениями на концах, находящимися вблизи жидкого полупространства.
Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в вязкой жидкости
Рассмотрим бесконечный радиальнс-неоднородный изотропный полый цилиндр с внешним радиусом Г\ и внутренним радиусом г2. Цилиндрическую систему координат г, р, z. выберем так, чтобы ось z совпадала с осью цилиндра. Полагаем, что модули упругости Л,/І и плотность р материала цилиндра описывается дифференцируемыми функциями цилиндрической координаты г: Л = A(r); ji — (i(r);
Будем считать, что окружающая цилиндр и находящаяся в его полости жидкость являются вязкими и однородными; их плотности, скорости звука и кинематические коэффициенты вязкости (первый и второй) соответственно равны Pl,Ci,Vi,i И Р2, С2, V2,
Пусть из внешнего пространства на цилиндр падает волна, излучаемая бесконечно длинным цилиндрическим источником, на поверхности которого возбуждена одна из мод и ось которого параллельна оси упругого цилиндра. В выбранной цилиндрической системе координат связанной с рассеивателем, ось источника имеет координаты
Введём дополнительную цилиндрическую систему координат R, в, z, связанную с источником так, чтобы полярные оси основной и дополнительной системы координат были одинаково ориентированы (рис.2.16).
Тогда потенциал скоростей гармонической звуковой волны, излучаемой цилиндрическим источником порядка п, может быть представлен в виде [83]: где АІ - амплитуда падающей волны; Нп - цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка щш- круговая частота; к[ — волновое число продольных звуковых волн во внешней среде; Временной множитель е гші в дальнейшем будем опускать.
Определим отраженные от цилиндра и возбужденные в его полости волны, а также найдём поле смещений в упругом цилиндрическом слое.
Волновые поля в жидкостях, граничащих с поверхностями полого цилиндра, описываются уравнениями Гельмгольца (2.1), (2.2) относительно скалярных функций Ф и векторных функций Ф ), где Ф О, фш — потенциалы скоростей продольных и вязких волн соответственно во внешней (j = 1) и внутренней (j = 2) средах. При этом где Ф5 — потенциал скоростей рассеянной волны.
Вектор скорости частиц жидкости во внешней среде (j = 1) и в полости цилиндра (j = 2) определяется по формуле (2.3), а акустическое давление в j - ой жидкости — по формуле (2.4).
Учитывая, что где ez — орт цилиндрической оси z, векторное уравнение Гельмгольца (2.2) приводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно скалярной функции Ф \г,ср).
Компоненты вектора скорости частиц j - ой жидкости определяются формулами (2.8).
Воспользовавшись теоремой сложения для цилиндрических функций Бесселя [21] представим потенциал скоростей падающей волны в основной системе координат следующими разложениями:
Поскольку возбуждающее поле не зависит от координаты z, а неоднородность материала проявляется лишь в радиальном направлении, то от координаты z не должны зависеть ни отраженные от цилиндра, ни возбужденные в его полости волны, а также поле смещений в упругом слое.
С учетом условий на бесконечности для функций Ф5, Ф 1) и условия ограниченности для функций Ф 2), ф(2) решения уравнений Гельмголь-ца будем искать в виде
Рассеяние звука неоднородным упругим полым цилиндром в присутствии акустически мягкой плоскости
Рассмотрим рассеяние звука неоднородным упругим полым цилиндром в присутствии акустически мягкой плоскости. Постановка задачи аналогична изложенной в разделе 3.1. Отличие заключается лишь в том, что подстилающая поверхность является не акустически жесткой, а акустически мягкой. Потенциал скоростей плоской звуковой волны, падающей на упругий цилиндр в направлении волнового вектора к1, в системе координат x,y,z (см. рис.3.1) равен где А{ — амплитуда волны; k1 = {ki cos (fig; ki sin ipQ\ 0}. Определим акустические поля вне и в полости цилиндра, а также найдем поле смещений в упругом цилиндрическом слое. Поставленную задачу, как и выше, решим путем замены отражающей границы на зеркально отраженный от нее рассеивающий объект. При такой замене возникает задача о дифракции звука на двух одинаковых цилиндрических телах.
Граничные условия на акустически мягкой плоскости заключаются в равенстве нулю акустического давления. Учитывая, что акустическое давление во внешней области р = іріа;Ф, получаем следующую запись граничных условий на плоской поверхности при у = 0: где Ф — потенциал скоростей полного акустического поля.
При этом где Ф5 — потенциал скоростей рассеянной (цилиндром и плоскостью) волны. Исключим из рассмотрения акустически мягкую плоскость, вводя второй цилиндр, являющийся зеркальным отражением исходного рас-сеивателя, и вторую падающую плоскую волну, распространяющуюся в направлении волнового вектора к2, где к2 является зеркальным отражением вектора к1 относительно плоскости (см. рис. 3.2). При этом амплитуда второй падающей плоской волны должна быть равна —А{. Потенциал скоростей второй падающей плоской волны записывается в виде: Таким образом, исходную задачу свели к задаче дифракции двух плоских волн Щ и Ф? на двух одинаковых цилиндрах, находящихся в безграничном пространстве, заполненном однородной идеальной жидкостью. При этом легко видеть, что граничные условия на плоскости у = 0 будут удовлетворяться автоматически. В силу линейной постановки задачи следует найти решение задачи дифракции каждой из двух плоских волн на двух цилиндрах, а затем полученные результаты просуммировать. Рассматриваемая задача решается аналогично задаче из раздела 3.1. Для нахождения ее решения достаточно в результирующих формулах раздела 3.1 осуществить замену Л{ на — А.
В случае акустически мягкой подстилающей поверхности были проведены расчеты амплитуды рассеяния F( /?) в дальней зоне поля. Зависимость .F( ) рассчитывалась в диапазоне изменения р от 0 до 7г при А{ = 1. Расчеты проведены для однородного и неоднородного цилиндров из материала типа II, находящихся в воде. Были взяты те же самые значения геометрических и физических параметров, что и в разделе 3.1.4. На рис. 3.14 - 3.17 представлены зависимости, рассчитанные при нормальном падении плоской волны, а на рис. 3.18 - 3.19 — при наклонном падении. Сплошными линиями обозначены зависимости для неоднородного упругого цилиндра, а штриховые линии соответствуют однородному цилиндру. Сравнение зависимостей, представленных на рис. 3.8 - 3.14 и рис. 3.14 - 3.17, показывает, что свойства границы раздела сред являются существенным фактором, влияющим на дифракционную картину. Угловые характеристики в случаях акустически жесткой и акустически мягкой плоскости имеют принципиально разную форму, прежде всего, по расположению максимумов и минимумов амплитуды рассеяния. Неоднородность материала, как и в случае акустически жесткой подстилающей поверхности, оказывает заметное влияние на характеристики рассеяния.
Дифракции звука на неоднородном упругом полом ци линдре в плоском волноводе с акустически жесткими стенками
Рассмотрим плоский волновод с акустически жесткими границами. В волноводе находится радиально-неоднородный упругий полый цилиндр с внешним радиусом Т\ и внутренним радиусом г (см. рис. 4.1). Математическая постановка задачи дифракции звука на неоднородном упругом полом цилиндре в плоском волноводе с акустически жесткими стенками аналогична постановке задачи, приведенной в разделе 4.1.1. Определим давление полного акустического поля р\ в волноводе и акустическое давление pi в полости цилиндра, а также найдем поле смещений в неоднородном упругом цилиндрическом слое. Аналитическое решение задачи найдем по схеме, изложенной в разделе 4.1. В волноводе вдоль оси х распространяется гармоническая звуковая волна давления рг-, возбуждаемая заданным распределением источников звука на сечении волновода, расположенного на расстоянии XQ ОТ ОСИ цилиндра. В области х 0 давление первичного поля возмущений представим в виде разложения по собственным функциям волновода с акустически жесткими границами: где 7п = ykf — п і п — —г An заданные амплитуды.
При этом 7п — либо действительное положительное число, либо чисто мнимое с положительной мнимой частью. В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом: При этом разложение (4.63) описывает общий случай произвольного расположения источников звука на сечении волновода х = 0. Искомые функции ps, р2 и ur, Up, являющиеся решениями уравнений (4.3),(4.1) и (4.9) соответственно, должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях полого цилиндра. Граничные условия на абсолютно жестких стенках волновода заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости. Учитывая, что нормальная скорость частиц жидкости в волноводе 1 dpi Vin = —, получаем следующую запись граничных условий на гріш ду стенках волновода при у = 0 и у = d: Граничные условия на поверхностях полого цилиндре аналогичны условиям (4.11). Кроме того, давление ) ; должно удовлетворять условиям излучения на бесконечности по оси х, а давление pi — условию ограниченности. Давление рассеянного акустического поля ps будем искать в виде потенциала простого слоя (4.12). Функция Грина, входящая в выражение (4.12) является решением краевой задачи Для построения решения этой задачи воспользуемся тем фактом, что при х ф XQ к у у уо функция Грина является решением однородного уравнения Гельмгольца. Рассмотрим задачу для функции f(x,y): Решим эту задачу методом разделения переменных.
Полагая в (4.66) f(x,y) = f(-1\x)f (y), приходим к уравнениям: Решением уравнения (4.69) является функция Подставим последнее выражение в условия которые следуют из (4.67).Получаем В = 0; sinXy = 0. Отсюда находим Л 7 . а Таким образом, решением уравнения (4.69), удовлетворяющим условиям (4.71), является функция Решением уравнения (4.70) является функция Положение источника на внешней поверхности цилиндра определяется координатами (хо,уо). Чтобы удовлетворить условиям излучения на бесконечности в направлении оси ж, рассеянная волна в области х XQ должна распространяться в положительном направлении оси ж, а в области х XQ — в отрицательном. Учитывая, что временной множитель выбран в виде e lu;t, для выполнения условий излучения на бесконечности (4.68) следует положить При переходе из области х хо в область х XQ ДОЛЖНО выполняться условие непрерывности звукового поля при х = хо. Поэтому для функции /(1) (х) введем дополнительное условие — условие непрерывности в точке х = XQ. Для выполнения этого условия следует положить Для определения коэффициентов ап подставим выражение (4.73) в неоднородное уравнение для функции Грина G, положив х = хо и У = Уо- Однако в точке (хо,уо) имеет место особенность. Поэтому проделаем следующие преобразования. Запишем (4.73) в виде Разложим дельта-функцию в ряд Фурье по собственным функциям задачи
