Содержание к диссертации
Введение
1. О дифракции звуковых волн на упругих и термоупругих телах 8
1.1. Обзор литературы по проблеме дифракции звуковых волн на упругих и термоупругих телах 8
1.2. Математические модели распространения волн в жидкостях и твердых телах 15
2. Отражение и преломление звуковых волн плоским неоднородным термоупругим слоем 22
2.1, Постановка и решение задачи о прохождении плоской звуковой волны через плоский неоднородный термоупругий слой 22
2.2. Решение краевой задачи методом сплайн-коллокации 30
2.3. Решение краевой задачи методом степенных рядов 34
2.4, Численные исследования и анализ результатов 39
3. Дифракция звука на цилиндрической неоднородной термоупругой оболочке 63
3.1. Постановка и решение задачи дифракции плоской звуковой волны на цилиндрической неоднородной термоупругой оболочке 63
3.2. Численные исследования акустического поля, рассеянного цилиндрической оболочкой 77
4 Дифракция звука на сферической неоднородной термоупругой оболочке 97
4.1. Постановка и решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородной термоупругой сферической оболочке 97
4.2. Численные исследования акустического поля, рассеянного сферической оболочкой 111
5. Рассеяние цилиндрических и сферических звуковых волн на неоднородных термоупругих телах 127
5.1. Рассеяние цилиндрических звуковых волн неоднородным термоупругим полым цилиндром 127
5.2. Рассеяние цилиндрических звуковых волн неоднородной термоупругой сферической оболочкой 142
5.3. Рассеяние сферических звуковых волн неоднородным термоупругим полым шаром 160
Заключение
- Математические модели распространения волн в жидкостях и твердых телах
- Решение краевой задачи методом сплайн-коллокации
- Численные исследования акустического поля, рассеянного цилиндрической оболочкой
- Рассеяние цилиндрических звуковых волн неоднородной термоупругой сферической оболочкой
Математические модели распространения волн в жидкостях и твердых телах
Решение и анализ задач рассеяния звука упругими однородными цилиндрами и цилиндрическими оболочками рассматривались, в частности, в работах [80, 86, 42, 43, 47, 46, 45, 84, 85, 9, 27]. В работе [86] рассматривалось рассеяние плоской звуковой волны, волновой вектор которой ортогонален оси вращения цилиндра. В работе [46] показано, что сильное незеркальное отражение звука возникает всякий раз, когда в упругом цилиндре возбуждаются свободные нормальные волны, распространяющиеся вдоль цилиндра. В работе [47] рассматривается задача о рассеянии плоской звуковой волны упругим безграничным цилиндром кругового сечения. В работе [27] рассмотрены резонансные явления в акустическом поле вокруг бесконечно длинного цилиндрического тела при падении на него акустической волны и показано, что по характеристикам отраженного от цилиндра акустического поля можно судить как о размерах цилиндра, так и о материале, образующем его.
Большое количество работ посвящено изучению рассеяния звука однородными упругими телами сферической формы. Например, можно отметить исследования проводимые в [86, 49, 97, 87, 98, 8, 28, 90]. В работе [86] рассмотрена осесимметричная задача о рассеянии плоской звуковой волны упругой однородной сферой. В работе [97] установлена связь между акустическим отражением и колебательными модами упругих сфер. Для случая падения плоской волны определено выражение для коэффициента отражения. Рассчитаны частотные зависимости амплитуды отраженного сигнала для различных материалов сфер. В статье [28] для случая падения плоской звуковой волны давления единичной амплитуды на шар проведены исследования резонансных явлений. Из сравнения полученных результатов с результатами, найденными при исследовании полей, отраженных от цилиндров как упругих, так и неупругих, выявлено, что поле отраженное от цилиндров и шаров, имеет общие закономерности.
Рассеяние цилиндрических и сферических звуковых волн идеальными и однородными упругими объектами исследовалось, например, в работах [89, 4].
Значительно большие трудности, чем при изучении дифракции звука на однородных упругих телах, возникают при решении задач дифракции звуковых волн на неоднородных упругих телах, поэтому известно небольшое число работ посвященных этой проблеме.
Фундаментальным трудом, представляющим результаты исследований по изучению распространения звука в плоских слоисто-неоднородных средах является монография [5], в которой наряду с оригинальными решениями автор проводит обзор существующих решений.
В работе [88] найден коэффициент отражения звуковой волны для упругой среды со степенной зависимостью параметров Ламе и плотности от глубины.
Задача определения коэффициентов отражения и преломления звуковой волны, падающей из жидкости, покрывающей твердое неоднородное полупространство, на границу раздела двух сред, решается в [21]. Параметры Ламе и плотность в упругом полупространстве изменяются с глубиной также согласно степенной зависимости. Задача решается для двух значений коэффициента Пуассона для случаев квадратичной и кубической зависимости параметров среды от глубины. В первом случае решение дано в элементарных функциях, во втором — в функциях Хан-келя индекса 1/3.
В работах [50, 20] получены приближенные явные выражения для коэффициентов отражения и преломления волн слабо неоднородными слоистыми упругими средами. В работе [50] из общего представления для коэффициентов выводятся приближенные явные выражения для высоко-и низкочастотных колебаний в случае, когда неоднородность такова, что отсутствуют точки поворота. В работе [20] для слоистого полупространства расчет выполнен в высокочастотном приближении для случая одной точки поворота продольного и поперечного типов.
Приближенная система связанных обобщенных волновых уравнений, удобная для описания высокочастотных колебаний упругих твердых сред, параметры которых зависят от одной координаты получена в [19]. Плоская задача о дифракции акустической волны на неоднородном цилиндрическом теле с образующей, перпендикулярной фронту волны, сведена к системе интегро-дифференциальных уравнений.
В работе [48] было проведено обобщение импедансного метода на случай слоисто-неоднородных упругих сред. Получена система трех нелинейных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют три введенных в рассмотрение упругих импеданса; приведены выражения для коэффициентов отражения, вычисляемых по известным значениям входных импедансов. Метод иллюстрируется рядом примеров, в том числе, примером вычисления коэффициента отражения от плоского неоднородного слоя, согласующего между собой жидкое и упругое полупространства. Анализ отражения звуковых волн от твердых слоисто-неоднородных
Решение краевой задачи методом сплайн-коллокации
Отраженные и прошедшие волны являются решениями уравнений Гельмгольца вида (1.7), (1.8) A s+kl s = О, ДФ2+ 2Ф2 = 0, ДФг+А&Фт = 0, ДФ3+ 2фз = О, А д2 д2 дх2 дх2 где Ф, Фт — потенциалы скоростей отраженных и прошедших звуковых волн соответственно, Ф2, Фз — потенциалы скоростей отраженных и прошедших тепловых волн соответственно, &2i волновое число звуковых волн в нижнем полупространстве, /ci2, &22 волновые числа тепловых волн в верхнем и нижнем полупространствах соответственно. Потенциалы скоростей, отраженных от слоя и прошедших через слой волн будем Д= + искать в виде Vs = As exp {i [k\lXl - кІг(х3 + Я)] } , Ч!2 = А2ехр{і[к{2х1-і42(хз+Н)]}і (2.7) Фт = Ат exp {і [kllXl + к\г (x3 - Я)]} , Фз = з ехр {г [к\2хх + /г2( з - Я)] } , где fcj2, fcf2 проекции волнового вектора ki2 на оси х\ и хз соответственно, 2i, &2i проекции волнового вектора k2i на оси жі и хз соответственно, /?22) 22 проекции волнового вектора к22 на оси х\ и хз соответственно, (/сЬ)2-Ь( 12)2 = 12» №2l)2 + ( 2l)2 = fell» ( 2)2 + ( 22)2 = &22 При этом согласно закону Снеллиуса к\г — к\2 = к\\ = &22.
Коэффициенты As, А2, Ат, A3 подлежат определению из граничных условий. Граничные условия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости на обеих поверхностях плоского слоя, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления, а также в условиях непрерывности акустической температуры и теплового потока на поверхностях слоя: — нормальные компоненты скоростей частиц жидкости, акустические давления и акустические температуры в верхнем и нижнем полупространствах соответственно, Фі = 4fi + Ф,5) «і, а2 — коэффициенты температурного расширения, Лі, А2 — коэффициенты теплопроводности, 71, 72 показатели адиабаты.
Подставим выражения (2.1), (2.3), (2.5) и (2.7) в граничные условия (2.8). В результате получим систему десяти уравнений в безразмерных величинах, из которых находим выражения для коэффициентов As, А2, Ат, А3: As = азіЩ(-І) +а ?2Т (-1) + assAi, Ат = -аТ1Щ{1) + аГ2Т (1), А2 = -а21СГ3 (-1) - а22Т (-1) - а23Ль А3 = o3i«/J(l) - а32Т (1) (2.9) и шесть условий для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (2.6): (A F + E F )x=-± = D : (A F + G F )x=1=0, (2.10) (2.11) где Е Єоі Є 1 0 е 12 (Л 22 е23 \ 0 е32 езз/ G = 0 #ї2 0 \ #21 922 923 \ 0 #32 #33,/ D (О, d%,dl) . Здесь «2 = АО (1 + 053 - а2з)Аг, 3 = -ЖіКіІ ІІ + &2&12а23 - Ll nO A;, ;12 = SW З го;/ і го;рі (asi-aai), е23 = (а2 - «22) - і/З , \ e21 S\IA , Є22 — Mo - — 0 ,3 Л_ . t 7„3 „ „ л /V 7..3 „ f иЗ е32 = і(Сі2Л12«21 - Zllknasi), Є33 = Жі( 12/г12а22 - 6і ІІ05-2), #12 = slM , #21 = si/Л , #22 = («зі-an), #23= (ат2 - азг) - «іР , Мо Мо #32 = 2(&22&22а31 6l 21«Tl), #33 = «2(6l 21aT2 62 22a32), asi « ікї2оцТо «S2 = , a S3 W\ ік\±оі\Т 022 W\ «23 W2 &2uH ikl2a2TQ w3 «Tl = , «Г2 = W3 w3 «31 = , «32 = w3 1 = l2 ll - llfcl2, 2 = l2&n + 6l&12 3 = 622&21 - 6l 2, ЛіЯ XrpCXiiQ Ж: ЛГск2То W72 k\x X2 = To 7n J fc Щ2 W71 є e t w7l &12 t 22 a; ш S12 = —2 —7 21 LO UJ Из формул (2.9) следует, что коэффициенты As, А2, Ат, Аз могут быть вычислены лишь после определения значений функций Щ (х), Т (х) на поверхностях слоя. 2.2. Решение краевой задачи методом сплайн-коллокации
Традиционно метод коллокации строился на основе аппарата приближения многочленами. Однако в силу сложности реализации, а также не вполне удовлетворительных аппроксимационных свойств многочленов этот метод представляет чисто теоретический интерес. На практике он оказался полностью вытесненным конечно-разностными методами.
Метод сплайн-коллокации, в отличие от классического метода, основывается на аппроксимации сплайнами. Такой подход позволяет построить алгоритмы, численная реализация которых не сложнее реализации разностных схем. Принципиальное отличие метода сплайн-коллокации от разностных методов заключается в том, что приближенное решение находится в виде сплайна во всей области определения решения задачи, в то время как разностное решение определяется только на сетке. Это позволяет получить гораздо более полную информацию о точном решении.
Возможности, заложенные в методе сплайн-коллокации, наиболее полно могут быть реализованы только при использовании аппарата кубических В-сплайнов. Отметим, что в методе сплайн-коллокации можно использовать и другие типы сплайнов — более высокой степени, эрмитовы, дискретные и т.д. Однако именно на основе кубических .В-сплайнов класса С2 удается построить алгоритмы, наиболее простые по реализации и в то же время пригодные для решения широкого круга задач.
Итак, для определения полей смещений и температуры в термоупругом слое необходимо решить краевую задачу (2.6), (2.10), (2.11) для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с перемен ными коэффициентами. Решение этой задачи найдем методом сплайн-коллокации на основе аппарата кубических В-сплайнов [15]. Введем на отрезке [-1,1] равномерную сетку А : —1 = XQ х\ ... хм = 1 с шагом h. Будем искать приближенное решение краевой задачи в виде кубических сплайнов Si (ж), S2 (ж), S3 (я) дефекта 1 с узлами на сетке А. Здесь Si (ж), 2 (ж), Ss(x) — сплайн-функции, приближающие функции Ui{x), Щ(х), Т (х) соответственно.
Численные исследования акустического поля, рассеянного цилиндрической оболочкой
Первый вид иллюстрирует возможность использования недифферен-цируемой зависимости плотности от вертикальной координаты в методе сплайн-коллокации при решении краевой задачи. Графики неоднородно-стей первых двух видов приведены на рис. 2.2. и рис. 2.10.
На рис. 2.3-2.9, 2.11-2.21, и на рисунках в последующих главах, используются следующие обозначения линий для отдельных сочетаний свойств материала: - однородный термоупругий материал — сплошная линия; - неоднородный термоупругий материал — штрихпунктирная линия; - однородный упругий материал — штриховая линия; - неоднородный упругий материал — пунктирная линия. При этом в случае совпадения кривых, соответствующих всем четырем типам материалов, на графиках изображается только штриховая линия. Кроме того, в случае совпадения графиков соответствующих однородным упругому и термоупругому материалам на рисунках представляется только штриховая линия, а в случае совпадения значений, соответствующих неоднородным упругому и термоупругому материалам, на графиках изображается пунктирная линия.
На рис. 2.3-2.5 представлены зависимости коэффициента прозрачности Т от угла падения звуковой волны при фиксированном волновом размере пластины кцНі = 8.5 (Н\ = 2Н — общая толщина термоупругого слоя) в случае неоднородности вида 1 для различных типов материалов. Графики на рис. 2.3 для материала типа I показывают, что учет термоупругости проявляется в изменении коэффициента прохождения на 5-10% в зависимости от угла падения. Причем для некоторых углов падения учет термоупругости приводит к уменьшению коэффициента прозрачности (0 9i 8, 22 9i 30), а для других — к его увеличению (12 0! 17, 34 $! 38).
Введение неоднородности в материал пластины приводит к смещению первого резонансного пика с сторону больших углов падения на 3. Два других максимума практически не смещаются. Минимальные значения Т в межрезонансных интервалах увеличиваются на 0.05.
Учет термоупругости в неоднородном случае приводит к изменению коэффициента прохождения на величину того же порядка, что и в однородном случае.
Совместное влияние неоднородности и термоупругости материала пластины заметно изменяет величину и форму угловой зависимости коэффициента прозрачности по сравнению со случаем однородного упругого материала: в интервале до 15 наблюдается смещение максимума коэффициента прохождения с угла #i = 9 на угол в\ = 12; в интервале 15 9\ 42 величина коэффициента Т увеличивается на 0.05-0.1.
Для материала типа II изображенного на рис. 2.4, характер влияния неоднородности и термоупругости сохраняется, но величины изменения несколько меньше. Однако, смещение первого резонансного пика составляет также 3 в сторону больших углов падения. При этом ширина резонансных областей для этого материала приблизительно в два раз уже, чем для материала типа I.
На рис. 2.5 представлены угловые зависимости коэффициента прозрачности пластины для материала типа III. Сравнение полученных за висимостей уже в однородном случае показывает заметное влияние термоупругости материала слоя на прохождение звука. Первое, что можно отметить с этой точки зрения, это отчетливое смещение максимумов угловой характеристики термоупругого материала в сторону меньших углов падения. При этом первый максимум смещается на 4, а второй — на 6. В случае нормального падения звуковой волны величина коэффициента прохождения для упругого слоя в 1.3 раза больше, чем величина для соответствующего термоупругого слоя. Ширина второго резонансного пика по углу д\ для термоупругой пластины в четыре раза меньше соответствующей ширины для упругого материала.
Явно выделяющейся чертой угловой характеристики коэффициента прозрачности для материала типа III в случае введения неоднородности является смещение первого максимума со значения 0\ = 19 на значение ві = 26. При этом второй максимум в пределах исследуемой области углов падения не наблюдается. Однако при угле падения около 22 появляется узкий резонансный всплеск, в окрестности которого коэффициент прохождения изменяется от 0 до 1. Так же значительно изменяется коэффициент прохождения при нормальном падении звуковой волны. Он уменьшается в 1.5 раза.
Для термоупругого материала третьего типа введение неоднородности смещает первый максимум коэффициента Т не столь значительно. Величина сдвига составляет около 3. Также как и в упругом случае, второй максимум не наблюдается в пределах 0 0\ 50, а при угле падения 0\ = 21 появляется резонансный всплеск. Интересно отметить, что его положение практически не изменяется при переходе от упругого материала к термоупругому. Уменьшение коэффициента прохождения при нормальном падении для термоупругой пластины еще более значи
Рассеяние цилиндрических звуковых волн неоднородной термоупругой сферической оболочкой
Сравнительный анализ диаграмм направленности представленных на рис. 3.8, 3.10 показывает, что влияние термоупругости на величину амплитуды рассеяния в однородных материалах типа I и II при кцГі — 5 проявляется в уменьшении .F(v?) в области максимумов лепестков диаграмм направленности, которое составляет 1.5-3%.
Учет неоднородности материала цилиндра при той же частоте приводит к значительному изменению формы диаграмм направленности. Это проявляется как в изменении величины коэффициентов отражения в лепестках диаграмм направленности, так и в изменении положения этих лепестков по углу р. Например, заметно увеличивается -Р( ) при значе-40 и ір «з 180 для цилиндров обоих типов. Резкие провалы в форме диаграммы для неоднородного материала типа II появляются при у « 60 и / « 120.
Учет термоупругости в неоднородных материалах типа I и II при кцг\ = 5 оказывается заметным только при некоторых углах наблюдения, и максимальное относительное изменение амплитуды рассеяния при этом составляет величину 13% при ip = 180 для материала типа I.
Для некоторых направлений наблюдается усиление влияния термоупругости на величину коэффициента отражения для цилиндра из неоднородного материала по сравнению с однородным цилиндром. Например, для цилиндрического слоя из материала типа I уменьшение коэффициента отражения при р = 65 из-за эффектов термоупругости для неоднородного материала составляет 6%, тогда как для однородного материала — 3%.
На рис. 3.11, 3.12 представлены диаграммы направленности дальней зоны рассеянного поля при кцгі = 3 и кцг± = 5 для цилиндра типа III. Анализ этих диаграмм показывает более существенное влияние термоупругости на коэффициент отражения для цилиндра из материала типа III по сравнению с влиянием на коэффициент для цилиндров из материалов типа I и II. Для некоторых углов наблюдения изменение амплитуды рассеяния достигает 25% на максимумах лепестков диаграммы направленности.
Неоднородность материала цилиндра типа III изменяет форму круговых диаграмм направленности. Наиболее заметно это проявляется при кцт\ = 3, когда максимальное значение в лепестке при (р — 0 увеличивается в 2 раза и появляется крупный лепесток при ір = 70 (коэффициент отражения при этом увеличивается в 6.4 раза). При кцгі = 5 наибольшее изменение диаграмма направленности претерпевает в окрестности (р = 180, где коэффициент обратного отражения увеличивается в 8 раз.
Диаграмма направленности представленная на рис. 3.12 показывает, что неоднородность может изменять характер влияния термоупругости материала на коэффициент отражения. Например, при ср = 0 в однородном материале учет термоупругости приводит к уменьшению амплитуды рассеяния на величину 0.25, а в неоднородном материале увеличивает амплитуду на 0.18.
Совместное влияние термоупругости и неоднородности материала цилиндрической оболочки типа III изменяет величину коэффициентов отражения и форму диаграммы направленности по сравнению с однородной оболочкой. Например, при кцг± = 3 и (р = 0 коэффициент отражения увеличивается в 2.25 раза, а при кцг\ = 5 и р = 180 амплитуда рассеяния увеличивается в 12 раз.
На рис. 3.13-3.22 представлены результаты расчетов коэффициентов отражения для случая однородных и неоднородных упругих и термоупругих цилиндров с неоднородностью вида 2.
На графиках 3.13-3.16 показаны зависимости коэффициента обратного отражения звуковой волны от волнового размера цилиндрической оболочки в диапазоне 1 кцгі 9. Представленные графики показывают, что неоднородность вида 2 материалов типа I и II изменяет коэффициент отражения больше чем неоднородность вида 1. Уже при значении размера кцг\ Є [1, 5] наблюдаются существенные сдвиги в форме частотной зависимости. При этом величина коэффициента отражения в максимумах частотных характеристик отличается от соответствующих значений для однородных материалов в 1.50-2.25 раза, тогда как максимальная разница в случае неоднородности вида 1 на этом отрезке составляет 1.24 раза. Другим оказывается и характер влияния неоднородности вида 2 на участке кцГі 5.
Еще большая разница между влияниями видов неоднородности наблюдается для цилиндрического слоя типа III. Это проявляется в несовпадении резонансных частот и большой разнице коэффициентов отражения на отдельных частотах. Например, для цилиндра с неоднородностью вида 2 при кцг\ = 5.5 наблюдается резкий всплеск частотной характеристики до значения 1.3, тогда как коэффициент отражения для цилиндрического слоя с неоднородностью вида 1 (рис. 3.6) на этой частоте составляет 0.1. И наоборот, при волновом размере кцг\ = 6 величина -F(7r) для материала с неоднородностью вида 2 равна 0.5, а для материала с неоднородностью вида 1 — 1.4.
