Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование дифракции звуковых волн на однородных цилиндрических и сферических упругих телах 7
1.1. Обзор литературы по дифракции звуковых волн на однородных упругих телах 7
1.2. Математическое моделирование распространения звуковых волн в жидкостях и твердых телах 10
1.2.1. Уравнения волновых полей в жидкости 10
1.2.2. Уравнения волновых полей в однородной упругой среде 13
1.2.3. Граничные и дополнительные условия в задачах дифракции 17
Глава 2. Дифракция звука на упругом цилиндре с неконцентрической полостью 21
2.1. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью 21
2.1.1. Постановка и аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью 21
2.1.2. Численные исследования и анализ результатов 31
2.2. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с неконцентрической полостью 45
2.2.1. Постановка и аналитическое решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью 45
2.2.2. Численные исследования и анализ результатов 49
Глава 3. Дифракция звука на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью 55
3.1. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неконцентрической полостью 55
3.1.1. Постановка и аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с неконцентрической полостью 55
3.1.2. Численные исследования и анализ результатов 71
3.2. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругом шаре с неконцентрической полостью 82
3.2.1. Постановка и аналитическое решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны на упругом шаре с неконцентрической полостью 82
3.2.2. Численные исследования и анализ результатов 85
3.3. Дифракция сферических звуковых волн на упругом шаре с неконцентрической полостью 89
Глава 4. Дифракция звука на упругих телах с несколькими полостями 95
4.1. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с несколькими полостями 95
4.2. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с несколькими полостями 104
Заключение 122
- Уравнения волновых полей в однородной упругой среде
- Постановка и аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью
- Дифракция сферических звуковых волн на упругом шаре с неконцентрической полостью
- Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с несколькими полостями
Введение к работе
Актуальность работы. Проблема дифракции звуковых волн на телах различной формы постоянно привлекает внимание исследователей. Это объясняется тем, что развитие приложений теории звука ставит перед теорией дифракции новые задачи по созданию более точных математических моделей и разработки эффективных методов расчета волновых полей.
Значительный интерес для теории и практики представляют исследования дифракции звуковых волн на телах цилиндрической и сферической формы с учетом упругих свойств материала рассеивателей, так как многие реальные объекты достаточно хорошо могут быть аппроксимированы такими телами. Кроме того, результаты решения задач дифракции звука на указанных объектах служат отправным пунктом в последовательном изучении дифракции волн на телах более сложной формы.
В настоящее время известны решения широкого круга задач дифракции акустических волн на упругих цилиндрах и сферах. При этом цилиндрические и сферические тела рассматривались как сплошные или как содержащие концентрические полости (толстостенные и тонкостенные оболочки). Исследованию дифракции на указанных телах посвящены работы Лямшева Л.М., Векслера Н.Д., Толоконникова Л.А., Шендерова Е.Л., Faran J.J., Gaunaurd G.C., Lee F.A., Uberall H. и др.
Дифракция звука на упругих телах с произвольно расположенными полостями до сих пор не изучалась. С математической точки зрения такие задачи являются значительно более сложными. Изучение дифракции звуковых волн на упругих цилиндрических и сферических телах с произвольно расположенными полостями с точки зрения приложений является актуальным.
Целью работы является исследование дифракции звуковых волн на однородных упругих цилиндрических и сферических телах с произвольно расположенными полостями.
Научная новизна заключается в следующем:
- поставлены и решены новые задачи дифракции звуковых волн на однородных упругих телах цилиндрической и сферической формы с неконцентрической полостью;
- изучена дифракция звука на цилиндрических и сферических телах с несколькими полостями;
- проведен анализ акустических полей, рассеянных упругими телами с произвольно расположенными полостями.
Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных случаев.
Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в ультразвуковых технологиях (дефектоскопия, медицинская диагностика); в геофизике и оптике. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке акустических методов неразрушающего контроля и методов ультразвуковой диагностики многофазных систем; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.
Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР Тульского государственного университета «Некоторые вопросы прикладной математики и механики» и проекта Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-97504-P-центр).
На защиту выносятся:
- математические модели дифракции звуковых волн на однородных упругих телах, находящихся в идеальной жидкости и имеющие неконцентрические полости;
- аналитические решения задач дифракции плоских и цилиндрических волн на однородном упругом цилиндре с неконцентрической полостью;
- аналитические решения задач дифракции плоских, цилиндрических и сферических волн на однородном упругом шаре с неконцентрической полостью;
- аналитические решения задач дифракции плоской волны на упругом цилиндре и упругом шаре с несколькими полостями;
- результаты численных исследований акустических полей, рассеянных упругими телами с полостями.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (Тула, 2008, 2009, 2010); на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (2008-2010), на научных семинарах кафедры прикладной математики и информатики ТулГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 128 страниц, 66 рисунков. Список литературы включает 72 источника.
Уравнения волновых полей в однородной упругой среде
Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку рассматривалось в работе [56].
Рассеянию цилиндрической звуковой волны сплошным упругим цилиндром посвящена работа [68].
Отражение плоской звуковой волны от полой сферы, находящейся в воздухе, рассмотрено в [67]. Рассчитана зависимость интенсивности отраженной волны в дали от облучаемой сферы от частоты для тонкой алюминиевой сферической оболочки и полиэтиленовых оболочек различной толщины. Результаты расчетов показывают, что интенсивность отраженной волны в широком диапазоне частот существенно зависит от отношения толщины оболочки и ее внешнему радиусу и от упругих свойств материала оболочки. В [12] изучено рассеяние плоской звуковой волны, падающей на тонкую упругую сферическую оболочку, находящуюся в бесконечном пространстве, заполненном жидкость. Центр оболочки фиксирован неподвижно.
В [33] с помощью метода Ватсона исследуется рассеянное акустическое поле давления при дифракции плоской волны на упругой сферической оболочке. Определены вклады отдельных мод в полный эхо-сигнал в дальней зоне поля. Исследованию рассеяния плоской акустической волны упругой сферической оболочкой с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций посвящена работа [60]. В [2] рассмотрены резонансные явления в акустическом поле вокруг бесконечно длинного цилиндрического тела при падении на него акустической волны и показано, что по характеристикам отраженного от цилиндра акустического поля можно судить как о размерах цилиндра, так и о материале, образующем его. Исследование акустической волны, рассеянной от упругой сферической оболочки при падении на оболочку сферической синусоидальной акустической волны представлено в [34]. Вычисляется эхо от сферической оболочки по различным теориям оболочек и проводится сравнение результатов с соответствующими, подсчитанными по трехмерной теории упругости согласно. Показывается, что в задачах о рассеянии акустической волны тонкими оболочками при невысоких частотах применение теории оболочек оправдано. В [9] рассмотрена задача дифракции нестационарной плоской звуковой волны на полой упругой сфере. При решении задачи используется интегральное преобразование Лапласа по времени. Теоретический анализ распределения звукового давления вблизи поверхности упругой сферической оболочки на расстояниях, сравнимых с ее радиусом, проведен в работе [37]. Исследованию обратного рассеяния плоской волны на металлической сфере с малыми потерями, помещенной в жидкость, посвящена работа [71]. В [61] описываются результаты теоретических исследований отражения и рассеяния звука в воде цилиндрами и сферами из силиконовой резины. В [25] проведены исследования резонансных явлений, возникающих при падении акустических волн на шар. Исследованию резонансного возбуждения сферической упругой оболочки, наполненной жидкостью или газом и помещенной в другую жидкость посвящена работа [66]. Рассмотрено рассеяние оболочкой плоской падающей звуковой волны с использованием теории резонансного рассеяния. Анализируется случай наполненной воздухом алюминиевой оболочки в воде. В [10] рассмотрено рассеяние плоской наклонно падающей волны на круговую цилиндрическую оболочку. Рассмотрению задачи осесимметричного рассеяния звуковых импульсов давления упругим сферическим резонатором с круговым отверстием посвящена работа [15]. Движение оболочки описывается по теории типа Кирхгоффа-Лява. В [20] с помощью потенциалов Дебая дается решение трехмерной задачи рассеяния гармонической звуковой волны упругой цилиндрической оболочкой. Все потенциалы представляются в виде интегралов, зависящих от осевой составляющей волнового вектора. В [21] разработан асимптотический подход для решения задач рассеяния акустических волн упругими оболочками. Осуществлен синтез приближенного решения задачи на основе сращивания разложений для различных асимптотических моделей. Сравнение с точным решением для цилиндрической и сферической оболочек подтверждает высокую эффективность предложенного подхода при различных значениях параметров оболочки. В [63] использован подход классической резонансной теории ядерных реакций для исследования задач рассеяния звука упругими круговыми цилиндрами и сферами, погруженными в жидкость. Показано, что. существенные изменения в сигнале обратного рассеяния могут быть представлены суперпозицией резонансов в отдельных нормальных модах (парциальных волнах) и базовых составляющих, соответствующих отражению от твердого тела. Во всех перечисленных выше работах рассматривалась дифракция звуковых волн на упругих цилиндрических и сферических сплошных телах либо на оболочках (тонкостенных и толстостенных). Дифракция звука на упругих телах с произвольно расположенными полостями не изучалась. Лишь в [32] решены задачи о дифракции сферической и плоской звуковых волн на шаре с неконцентрическим шаровым включением. Однако материал шара полагался не упругим, а жидким. При этом полость рассматривалась акустически мягкой или акустически жесткой.
Постановка и аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью
Общей тенденцией воздействия расположения полости на характер рассеяния является усиливающееся с ростом k\R\ смещение резонансных пиков по частоте и изменение по величине коэффициента обратного отражения.
Анализ частотных характеристик показывает их явно выраженный резонансный характер. Представленные графики показывают, что при значениях волнового размера k Ry є[і,5;10] наблюдаются существенные изменения формы частотной зависимости.
Исследуя влияние расположения полости на частотную характеристику, следует отметить, что это влияние не сводится исключительно к сдвигу резонансов. В различных областях частотных характеристик появляются существенные подъемы и спады, которые не наблюдаются на соответствующих характеристиках при расположении полости в центре. При этом следует отметить появление и исчезновение некоторых резонансных пиков.
Таким образом, результаты численных расчетов показывают значительное влияние расположения полости на характер рассеяния звука упругим цилиндром. 2.2. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с неконцентрической полостью В настоящем разделе рассматривается задача дифракции цилиндрических звуковых волн упругим цилиндром с неконцентрической полостью. Постановка и аналитическое решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью Рассмотрим дифракционную задачу, поставленную в п. 2.1. Однако будем полагать, что падающая волна является не плоской, а цилиндрической. Пусть падающая волна излучается бесконечно длинным цилиндрическим источником, на поверхности которого возбуждена одна из мод и ось которого параллельна оси упругого цилиндра. В выбранной цилиндрической системе координат /%(p,z, связанной с рассеивателем, источника имеет координаты (/}, ф,-). Введем дополнительную цилиндрическую систему координат R,Q,z, связанную с источником так, чтобы полярные оси основной и дополнительной систем координат были одинаково ориентированы (рис.2.24). Тогда потенциал скоростей гармонической звуковой волны, излучаемой цилиндрическим источником порядка п, может быть представлен в виде [30, 41]: где А„ - амплитуда волны; к = — - волновое число во внешней среде; со круговая частота; t - время; R - координата произвольной точки М пространства вне тела в системе координат, связанной с источником; R = г +rj - 2rrt cos(cp - ф,-) /2; Нп (х) - цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п . В дальнейшем временной множитель г т будем опускать. Воспользовавшись теоремой сложения для цилиндрических функций Бесселя [13] представим потенциал скоростей падающей волны в системе координат i\,($i,zi следующими разложениями: - цилиндрическая функция Бесселя порядка п . Определим отраженную от цилиндра и возбужденную в его полости звуковые волны, а также найдем поле деформаций в упругом цилиндре. Потенциалы скоростей рассеянной и возбужденной в полости цилиндра, являющиеся решениями уравнений Гельмгольца, будем искать в виде: где Нп - цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п . Упругие волны описываются выражениями (2.8), (2.9) с учетом вида вектора Ф и представления функций Ч игФ . При записи 4?s и Ч учитывали условия излучения на бесконечности [57] и условия ограниченности в полости цилиндра. Граничные-условия записываются в-вида(2.10). В результате приходим к бесконечной системе уравнений относительно неизвестных Ап,Вп,Сп,Dn,Еп, Fn :
Дифракция сферических звуковых волн на упругом шаре с неконцентрической полостью
Диаграммы, представленные на рис 2.25- » 2:267 имеют практически одинаковую форму. При сравнении с аналогичной диаграммой для случая плоской волны (рис. 2.4.) видно, что наиболее заметные отличия наблюдаются теневой области диаграммы. Коэффициент отражения при ср = 0 на рис. 2.25 на 12% превышает соответствующее значение для случая плоской волны. Для случая цилиндрической падающей волны форма лепестка в теневой области имеет почти правильную эллиптическую форму; тогда как соответствующий лепесток на рис. 2.4. имеет заметное расширение ближе к плоскости Ф = —, —. Форма диаграммы на рис. 2.28. в диапазоне углов — ф — практически совпадает с формой диаграммы на рис. 2.11. для случая плоской падающей волны. Также очень похожи формы основного лепестка в теневой области. Однако в боковых лепестках диаграмм в теневой области наблюдаются существенные различия. Боковой лепесток в области ф = 80 на рис. 2.11. имеет более гладкую форму, чем соответствующий лепесток на рис. 2.28. Максимум бокового лепестка в области ср = 320 на диаграмме 2.28 в 1,5 раза больше соответствующего лепестка на диаграмме 2.11. Форма диаграммы при г7 =107 представляет собой переходную форму от случая Vj = 5Ri к /} = 10(Щ. Заметим, что если источник расположен далеко от препятствия (r7- = 100i?i), форма диаграммы направленности в случае рассеяния цилиндрических волн мало отличается от диаграммы рассеяния плоской волны. При приближении источника к рассеивателю наблюдаются существенные изменения формы диаграммы направленности рассеянного поля. Таким образом, представленные результаты показывают что все более существенные различия в характеристиках рассеяния цилиндрических и Я. плоских волн возникают с увеличением отношения —-. В настоящем разделе рассматривается дифракция плоской волны на упругой сфере с произвольно расположенной сферической полостью. Результаты исследований, представленные в третьей главе, изложены в работах [48], [50], [54], [55]. 3.1. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неконцентрической полостью 3.1.1. Постановка и аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с неконцентрической полостью Рассмотрим изотропный однородный упругий шар с внешним радиусом Rl, содержащий произвольно расположенную сферическую полость с радиусом R2. Будем считать, что окружающая шар и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности Pi,P2 и скорости звука С\,со соответственно. Свяжем со сферическим препятствием и его полостью прямоугольные системы координат іО і гі и Х2 У2 22 соответственно так, чтобы соответствующие оси обеих систем координат были параллельны. Пусть из внешнего пространства- на упругий- шар падает плоская гармоническая звуковая волна. Без ограничения общности положим, что волна распространяется в направлении оси z\ (рис. 3.1).
Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с несколькими полостями
Анализ диаграмм показывает, что расположение полости приводит к значительному изменению коэффициента отражения во всех направлениях как при k\R\ = 3, так и при k\R\ = 5.
В качестве общей тенденции влияния отклонения центра полости от центра шара при k R\ — 3 следует отметить уменьшение коэффициентов отражения вдоль направления распространения падающей волны. Например, на рис. 3.2. коэффициент отражения в направлении 8 = 180 уменьшается в 0,6 раза, а в направлении 0 = 0 - в 0,75 раза. На рис. 3.6. коэффициенты отражения в направлении 0 = 0 и 9 = тс уменьшаются в 2 раза. В некоторых случаях максимальное значение коэффициента отражения в боковых лепестках превышает соответствующее значение для случая симметрично расположенной полости (рис. 3.2.; 3.3; 3.7; 3.8). Почти всегда несимметричное расположение полости приводит к увеличению тс коэффициента отражения в области его минимального значения вблизи 0 = —. При k\R\ = 5 не наблюдается общей тенденции влияния расположения полости. Например, на рис. 3.9. коэффициенты отражения вдоль направления падения волны уменьшаются, а на рис. 3.11.- увеличиваются. При смещении полости в сторону источника колебаний 0Q = % коэффициент обратного отражения уменьшается не так заметно, как в случае ее смещения в положительном направлении оси z\ для коэффициента (о) -наоборот (т.е. уменьшение коэффициента отражения при 0О = тс более существенно, чем его уменьшении при 0о=О). Боковые лепестки в области тс 0 = — при 00 =тс становятся более выраженными и увеличиваются в 1,5-2 раза, а при 0Q = 0 они объединяются в один лепесток с увеличением максимума коэффициента отражения в 1,2 раза. Общей тенденцией воздействия расположения полости на характер рассеяния является смещение резонансных пиков по частоте и изменение по величине коэффициента обратного отражения. Рассмотрим задачу, поставленную в разделе 3.1. однако будем полагать, что падающая волна является не плоской, а цилиндрической. Задачу будем решать в сферических координатах г\,0\,щ и ,02»Ф2» связанные с шаром и егсгполостью соответственна Будем использовать обозначения, принятые в разделе 3.1. Пусть из внешнего пространства на шар падает цилиндрическая звуковая волна (рис.3.21), излучаемая бесконечно длинным линейным источником, который в цилиндрической системе координат р,ф, zc началом в центре шара имеет координаты р = рг-, ф = ф, и параллелен оси z. Лш =Ар(2- 50и )Jm (км ); 5о/и - символ Кронекера. Определим отраженные от шара и возбужденные в его полости звуковые волны, а также найдем поле деформаций в упругом шаре. В установившемся режиме колебаний задача определения; акустических полей вне упругого препятствия и внутри его полости заключается в нахождении решений уравнений Гельмгольца (3.2), (3.3) для потенциалов Ч и Соответственно, потенциал скоростей 4 s в рассеянной звуковой волне должен удовлетворять уравнению (3.4) и условию излучения на бесконечности. Кроме того, потенциал Ч 2 должен удовлетворять условию ограниченности при г2=0. Таким образом, потенциалы 4 s и Ч будем искать в виде (3.5), (3.6). Потенциал продольных волн Р и компоненты векторного потенциала поперечных волн Ф], Ф2 удовлетворяют волновым уравнениям (1.15) и (3.14), (3.15) и соответственно могут быть представлены в виде рядов (3.12), (3.16), (3.17). Граничные условия определяются соотношениями (3.18). Подставим выражения (3.39), (3.5), (3.6), (3.12), (3.16), (3.17) в граничные условия (3.18) с учетом (3.7), (3.21), (3.23). Используя условия ортогональности косинусов, синусов и присоединенных функций многочленов Лежандра, заменяя цилиндрическую координату р ее выражением Г[ sin 9] в сферических координатах г в щ, а также применяя интегральные соотношения [35].
