Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском симметричном диэлектрическом волноводе переменного сечения
1. Моды плоского диэлектрического волновода... 10
2. Расчёт неопределенных коэффициентов 18
3. Решение уравнения Гельмгольца в общем виде 22
4. Расчёт коэффициента связи ^ ' > 28
5. Расчёт коэффициента связи J' z'"'аі' ЗО
Заключение к Главе 1 34
ГЛАВА 2. Сведение системы интегро-дифференциальных уравнений ди фракции на волноводе переменного сечения к системе дифференци альных уравнений в частных производных первого порядка
1. Обобщённые амплитуды непрерывного и дискретного спек тров... 36
2. Сведение интегро-дифференциальных уравнений для непрерывных мод к интегро-дифференциальным уравнениям для дискретных мод 38
3. Определение интегрального множителя ФуЯ, О"J 47
4. Преобразование интегро-дифференциальных уравнений в систему уравнений с частными производными первого порядка... 52
5. Амплитуды дискретного спектра на горизонтальных участках ступенчатого волновода 57
6. Решение уравнения излучения ...58
Заключение к Главе 2 63
ГЛАВА 3. Отражательные характеристики плоского диэлектрического волноновода со ступенчатой гофрировкой
. 1. Граничные условия при дифракции электромагнитных волн на плоском волноводе со ступенчатой гофрировкой 64
2. Отражательные характеристики плоского диэлектрического волновода со ступенчатой периодической гофрировкой 78
3. Спектральная зависимость коэффициента отражения R 86
Заключение к Главе 3 89
Заключение... 91
Приложение 94
Литература.
- Расчёт неопределенных коэффициентов
- Расчёт коэффициента связи
- Сведение интегро-дифференциальных уравнений для непрерывных мод к интегро-дифференциальным уравнениям для дискретных мод
- Отражательные характеристики плоского диэлектрического волновода со ступенчатой периодической гофрировкой
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование распространения и рассеяния волн в неоднородных средах уже много лет остаётся актуальной задачей теоретической физики. Важность этой задачи определяется широким практическим применением волновых процессов различной природы для связи, локации, дистанционного мониторинга природных сред, в качестве мощного средства лабораторного исследования, при создании квантовых генераторов - лазеров и т.д.
Волны различной природы, как правило, распространяются в естественных и искусственно созданных структурах, имеющих характерные особенности волноводов - радиоволны в атмосфере, световые волны в оптических волокнах и т.д. Волновое поле в волноводах является многомодовым со сложным механизмом обмена энергии между его модами.
Задачи об излучении и отражении света на гофрированном участке волновода исследовались в работах Зленко А.А., Киселева В.А., Прохорова A.M., Спихальского А А., Сычугова В. А. В частности, авторами получены результаты, относящиеся к одновременному излучению и отражению поверхностной световой волны на гофрированном участке волновода с периодом, удовлетворяющим условию Брэгга в среде: коэффициент отражения близок к единице при условии проведения расчетов для волновода без потерь и без усиления; в реальных волноводах с потерями коэффициент отражения меньше единицы; отношение выведенной из гофрированного участка мощности к мощности, падающей на этом участке, максимально при коэффициенте отражения 0,3 -0,4.
Задача о дифракции направляемой моды на периодически гофрированном участке плоского диэлектрического волновода представляет большой интерес в связи с проблемой создания распределенных брэгговских зеркал. Ей посвящены исследования Алферова Ж.И., Казаринова Р.Ф., Маркузе Д.,
Суриса Р,А., Соколовой З.Н., Шевченко В.В., Столярова С.Н. и др.
В работах Мартынова Н.Н. при помощи метода усреднения решена система уравнений поперечного сечения в частном случае слабого изменения амплитуды мод в пределах одного периода гофрировки. Показано, что амплитуды направляемых мод приближенно удовлетворяют системе уравнений связанных волн.
Математическая модель распространения и дифракции волн в волноводах с учётом начальных и граничных условий представляет, как правило, систему интегральных или интегро-дифференциальных уравнений.
Целостная теория систем уравнений такого типа не создана, а существующие методы решения применимы для частных случаев интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.
Обычно, при аналитическом решении задач распространения и дифракции волн в волноводах, используются приближённые методы: усреднения; теория возмущения; апроксимации; разложения по малому параметру и т.д., которые при всей своей продуктивности, имеют ряд существенных недостатков: ограниченность применения; не инвариантность в применении -малейшее изменение какого-либо параметра приводит к возобновлению аналитических расчётов с самого начала; вынужденное упрощение механизма обмена энергии между модами; возможность, как правило, только качественного сопоставления теоретических результатов с экспериментальными данными.
Таким образом, актуальной становится задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической модели дифракции электромагнитных волн в оптических волноводах к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, теория и методы решений которых хорошо развиты.
Целью настоящей диссертации является задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической мо- дели дифракции электромагнитных волн в оптическом плоско симметричном однородном волноводе переменного сечения к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. При создании данного метода не должны вводится дополнительные ограничения на физические величины, характеризующие рассматриваемый процесс, чтобы в дальнейшем не сужать область его применения, к примеру, для случаев различных волноводов в многомодовом режиме распространения и дифракции электромагнитных волн.
Научная новизна:
1. Получена математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифферен-циальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.
2.Выведена формула двукратной интегральной свёртки.
3.Разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из четырёх уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана.
4.Разработан метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
5.Границы профиля периодически гофрированного ступенчатого волновода были описаны обобщёнными функциями Хевисайда. б.Для ступенчатого волновода - волновод с таким профилем исследу- ется впервые — система из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка была сведена в одном случае — горизонтальные участки волновода - к системе из двух обыкновенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка, а в другом - вертикальные участки волновода - к двум не связанным между собой дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.
7.Найдены решения полученных систем уравнений.
В.Решена задача граничных условий данного волновода - непрерывность падающей и отражённой волн в точках перехода от горизонтальных участков волновода к вертикальным.
9.Найдены явные выражения для амплитуд падающей и отражённой волн в независимости от глубины гофрировки для одного периода.
Ю.Получены аналитические выражения для коэффициентов прохождения, отражения и излучения для ступенчатого волновода в независимости от глубины гофрировки и номера брэгговского резонанса.
11.Проведены исследования зависимости отражательных характеристик ступенчатого волновода в зависимости от числа периодов ступенчатого волновода.
12.Исследована спектральная зависимость коэффициента отражения.
Практическая значимость изложенных в диссертации результатов заключается в том, что данный метод применим при исследовании задач дифракции электромагнитных волн на структурах более сложного типа: оптические волокна, оптические среды с переменным показателем преломления и т.д. Основное условие применимости данного метода - математическая модель исследуемого явления должна быть представлена в виде системы интег-ро-дифференциальных уравнений относительно связанных между собой физических величин двух типов: дискретных и непрерывных.
Кроме того, практическую ценность работы составляют результаты, которые могут быть положены в основу дальнейших исследований волновых процессов различной природы.
На защиту выносятся:
1.Математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.
2.Новый метод решения системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений, основанный на применении двукратной интегральной свёртки и, сводящий её к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений.
3.Метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
4.Метод решения системы из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для ступенчатого волновода.
5.Метод решения задачи граничных условий в точках перехода ступенчатого волновода.
6.Численный анализ отражательных характеристик ступенчатого волновода при различных глубинах гофрировки и разных номерах брэгговского резонанса, а также спектральная зависимость коэффициента отражения.
Достоверность результатов исследования обеспечивается адекватной реальному процессу дифракции математической моделью, согласием аналитических результатов для случаев ступенчатого волновода с ранее известными формулами для более простых оптических моделей, соответствием численных расчётов с аналогичными ранее опубликованными результатами.
Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на научном семинаре кафедры математической физики МПГУ (1988; 2000); на научном семинаре кафедры физики Тольяттинского политехнического института (1999); на научном семинаре Средневолжского математического общества (г. Саранск, 2002, 2005), на Всероссийской и Международной научной конференции (г. Тольятти, ТГУ, 2003 г.), на научном семинаре института Физики и химии Мордовского государственного университета (г. Саранск,
2005 г.)-
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ.
Расчёт неопределенных коэффициентов
При вычислении неопределённого коэффициента Dl(p0,b) необходимо воспользоваться условием нормировки ои JVo2( ;t:o A)) = (ЗО) или, что, то же самое D? JVo/fcZo Po)- cos где ы{х Хъ Ръ) = cos( 0 х), при Q x b {x-b) (Zo b) -Po , при b x oo (31) Распишем условие нормировки в явном представлении ь Л2 = 1 cos2( 0 -x)-dx + Xo \e-2 pAx-b)-dx
После очевидных действий по интегрированию, будет получен результат, определяющий коэффициент v1+/v (32)
Следовательно, нулевая дискретная чётная мода для случая дифракции электромагнитных волн в плоском постоянного сечения волноводе примет окончательный вид {ХМ)= іїїр—ь\ Z«-e при 0 х b ь при b х oo Теперь перейдём к нахождению явного выражения неопределённого коэффициента Д( т,6). Для решения поставленной задачи, воспользуемся, как и в предыдущем случае, условием нормировки, но уже для функции у/(х,х,о) jys(x,z, T)f/(x,Zi, ri)-dx = D3( rtb)- Dzfatb) о jWi{xtZ )-i(xtZi ) dx = (34) где cos(jx), при 0 x b ,npu b x co - — %m{x b) sinjcr (x - b)] (35) или, в компактном виде Vnfe ,0-), Wi(x X ?) = при 0 x b ц/хг(х,Х сг)-Ч/хъ{х Х,аХпРи b x co где y/u{x,x-, y) w${x x\ пРи 0 x b ,2( ,;ir,ff) = cos(#-&)-cos[cr:(x-u)] при Ь х со у, з (х, х, а) = — sm(z ) sinfcr (х - й)] Аналогично, выражение и для функции V7! ( Zi "і)
При вычислении интеграла из (34) следует иметь в виду следующее: получаемые выражения имеют смысл только как множители подынтегральных функций какого-либо несобственного интеграла, поэтому всеми слагаемыми имеющими конечные значения придётся пренебречь, т.к. они не дадут вклада в будущее интегрирование по сравнению с сингулярными слагаемыми: дельтой — функцией и главным значением. Представим рассматриваемый интеграл в виде суммы трёх интегралов (36) где A = \vn{x X r) Wn{x Xi r\)- bc, I со b CO h =- Jk г fe O") 13( 1, 0-,)+ ,2 (x, !,0-,)- ,3( , ,(T)].(&. І
Слагаемое /, - это интеграл по области пространства, лежащей внутри волновода о 2-(/,+/) 2-(/,-/) Обе полученных дроби конечны при всех значениях Х\ и /, и в том числе, в окрестностях точек, где знаменатели стремятся к нулю, т.к. /,. sin[U-;r) frLb „,- sin[(/,+;r)-6] h im——— b u im————= , поэтому слагаемые из /, не дадут вклада, если окажутся под интегралом. Перейдём к вычислению выражения /2, которое в развёрнутом виде со /2 = cos(/ b)-cos(/, b)- jcos[er (x-b)]- cos[ 7, (x-b)]- dx + ь + sin(/ б) sin(/, 6) [sin[er (Л: - б)] - sin[cr, (x - b)\ dx Интегралы, в рассматриваемом выражении, дадут дельта-функции Дирака, /2 = — cos(/ b) cos(/t b) \д{ах - 7) + 5{ах + о\)]+ Т-е" + . ( .6).8111( ,.6). (0-,-0-)- (0-, + 0-)] (37) В последующем потребуются явные выражения параметров с и % которые выводятся с учётом формулы (11)
Как и при вычислении /3, соотношение (37) имеет смысл только как множитель подынтегрального выражения при несобственном интегрировании вдоль всей вещественной полуоси, что требует рассмотрения его только в точке CTj = т. Точка ег, = -и при ег 0, так же не даёт вклада, т.к. находится за пределами области интегрирования. Поэтому, выражение (37) сводится к следующему выражению ,2 cos2 ( - Ъ) + --sin2 Or &) 2 2 = - -( +sin2 (Ж" )] (40) Здесь было учтено соотношение из (39). Перейдём к рассмотрению интеграла 1$: L =- — -cas(x b)-s m(%] -b)- lcos[or (х — б)]-sinTcFj (x — и)] йбс — ОС - — sin( b) cos() Isin[ 7 (x- )] cos (x- fc)] Й& re J . При вычислении обоих интегралов в рассматриваемом выше выражении будут получены главные значения т — —KL — Р X COs( U) SinQft - — s\x\{X b) Cos{xx b) СТХ+(Т ах+а (JX-CF 1 ax- j
Данное соотношение так же имеет смысл как множитель подынтегрального выражения, причём оно даёт вклад, как и в предыдущем случае, только в сингулярной точке 7[ = т, что приводит к результату 1$ =0. Следовательно, при определении коэффициента 03(а,Ь) из соотношения (34), должен учитываться вклад вносимый только слагаемым 1г, при вычислении которого был сделан - в силу выше оговорённых обстоятельств - предельный переход: т, - а. Коэффициент D3( j,b) и выражение из 12 будут находится под одним интегралом, поэтому такой же переход необходим и для коэффициента Dz(a, b), в следствие чего, получим
Расчёт коэффициента связи
При расчёте коэффициента связи между непрерывными модами J(z,(7,cr1) как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать функцию сечения ( (z,x,o"), как непрерывную моду такого плоского постоянного щ профиля волновода, полуширина которого Ъ равнялась полуширине плос кого переменного профиля волновода в данном сечении. Коэффициент связи J(z, а, сг]) согласно (57), равен J{zia,a]) = \y/(z,xycr)- \y{z,x, jx)-dx о где $/(z, xt етх) = Д (z, ах) у/2 {z, х, сг,) + Ds (z, о}) 2 (z, х, ст,). Следовательно 7(2,о,о-() = 1)5(2,о) Д(2,о",)- jy/2(z, ,o-)- 2(z,x,o)- + (64) + D5 (z, cr) D5 (z, ax) \i}/2 (z, x, a) ц/г (z, x, o,) dx Первый интеграл из (64) представим в виде суммы трёх слагаемых ji 2(z,x,a-)y/2(z,x,al)-ch = Iy+I2+I2 (65) о Слагаемое /і - это интеграл по обрасти пространства, лежащей внутри волновода X\ X Данное выражение ограничено при всех значениях Х\ и ст] за исключением точек Х\ = —X или а\ - —а, поэтому рассмотрим предел этого выражения в данных точках, предварительно его преобразовав с учётом очевидного соотношения: Х\ Х = а\ а ) тогда Очевидно, что оба получившихся слагаемых, скомпенсируют друг друга. Запишем в явном виде выражение для слагаемого 12 В силу свойств дельта-функции данное соотношение после интегрирования, приведёт к результату im 1 2,0, ) = + 2 -cos\x b) + x2 sm(x-b)] = ± \ r2 +sin2(x-b)] (TyiCT 2 2.
Как и в случае вычисления предыдущего выражения Л, оба получившихся слагаемых скомпенсируют друг друга. И, наконец, последнее слагаемое -31 /3(z, a, cr,) = -(тг x cos( ! b) sin( b) - Jcos[er, (x - b)] sin[cr (x - b)] dx ь - %\ a s n(X\" b) cos(/f &) Jsin[o", (x - b)] cos[cr (x - 6)] - dx ь Интегралы в этом выражении дают главные значения
Это выражение как подынтегральная функция даёт вклад только в сингулярных точках Tj = ±ст, в которых, получающиеся четыре слагаемых так же, как и в предыдущих случаях скомпенсируют друг друга.
Подводя итоги вычисления интеграла (65) отметим, что выражение, получающееся в результате его взятия, когда оно будет стоять под интегралом, вклада не даст.
Перейдём к вычислению второго интеграла из (64), представив его в виде суммы двух слагаемых Следовательно, два слагаемых в выражении для I5, также взаимно скомпенсируют друг друга.
Итак, в результате проведённых вычислений, не нулевой вклад в окончательный результат для искомого коэффициента связи между непрерывными модами данного сечения волновода переменного профиля J(z, j,al) внесёт только слагаемое Is(z er, j,), поэтому он будет записан в Используя уже введённую ранее функцию p(z, &) из (55) запишем выражение для J(z, (7 в том виде, который будем использовать в дальнейшем о{ -a v где знак "Р" означает главное значение интеграла. -33 Заключение к Главе 1
Основной результат первой Главы заключен в том, что была получена математическая модель явления дифракции на участке плоского волновода переменного сечения в виде системы из четырёх интегро-дифференциаль-ных уравнений (58), которая после очевидных преобразований примет вид (67) где явные выражения функций Po\z) и q \z,a) записаны (61) и (63).
Интегралы в третьем и четвёртом уравнениях системы (58), как уже указывалось, необходимо рассматривать в смысле главного значения, что, соответственно, требует смены пределов интегрирования, т.е. в дальнейшем их необходимо рассматривать как интегралы с бесконечными пределами. Если данные интегралы существуют как несобственные, то, очевидно, что их главные значения будут совпадать со значениями как несобственных.
Сведение интегро-дифференциальных уравнений для непрерывных мод к интегро-дифференциальным уравнениям для дискретных мод
В предыдущей Главе для ступенчатого волновода были получены два решения задачи дифракции на нём: на горизонтальном участке в виде (108) и, для вертикального - в виде (129). В точках соединения этих участков должно выполняться условие непрерывности падающей и отражённой волн. На рис. 4 представлен «п-ый» период такого волновода, пределы которого определяют точки 1 и 7. Граничные условия будут рассматриваться в точках 2, 3, 6, 7.
В 6 Главы 2 была решена задача дифракции электромагнитных волн на вертикальной стенке, когда её высота (полуширина волновода) изменялась от 0 до максимального значения. Этот факт вызывает необходимость рассматривать ступенчатый волновод (рис.4) как суперпозицию двух оптических систем, каждая из которых состоит из тонких диэлектрических полос перпендикулярных оси Oz, с полуширинами равными Ь1 и Ъ2, с воздушными прослойками той же ширины, равной половине периода ступенчатого волновода (рис.5).
Равенство нулю восьмого уравнения из (139) обусловлено тем, что «п-ый» период, рассматривается как самостоятельная оптическая система, без учёта влияния на процессы в нём происходящие, со стороны других периодов волновода. Фактор взаимовлияния оптических процессов на различных периодах волновода будет, естественно, учтен в дальнейшем, но другим способом.
Полученные формулы (159) - (162) позволяют понять физический Проведём анализ полученных выражений. Первое на что следует обратить внимание, так это стремление к нулю функции S2 при Ь2 — 0, т.е. imS2 = limp2 In b2- Ь2+Р2 РІ 4Г О следовательно, m i,n-i i,n-i , что в Ь2- принципе невозможно, т.к. A] ]iGln_] характеризуют реальный физический процесс дифракции и, поэтому должны быть конечны при любой полуширине волновода в пределах ограничения (25), связанного с изучением одномо-дового случая распространения волн в волноводе. Это противоречие с реальными фактами удаётся снять, положив у = и;, тогда смысл функциональных коэффициентов Qt,QI,S,,S2. AJn l,Gtn_l не зависят от Qj,Q} следовательно, эти коэффициенты отвечают за взаимодействие между направляемыми модами при переходе от одного горизонтального участка волновода к другому. jl„-j Gln ],A2itl,G2n зависят от ,Sj,S2, что может означать, что данные коэффициенты участвуют не только в перераспределении энергии между направляемыми модами, но и в переносе энергии от направляемых мод на излучение.
Как следует из выражений (159) - (162), A]n_ltGlin_}lA2in,G2n не зависят в явном виде от неизвестной в, поэтому её можно считать равной нулю. Для контроля рассмотрим два предельных случая: 1) b2— b] при этом щ - и,, S2 — S;, Q2- Qi; после очевидных преобра зований
Световые волны при брэгтовском резонансе интерферируют внутри волновода. Этот факт мы учтём, использую следующую идею: волновод будем рассматривать как систему из «п» отражателей, в качестве которых выбираются - первый период; первый и второй периоды; первый, второй и третий периоды;...с первого по «п-ый» периоды. Относительная мощность отражения «п-ого» источника, очевидно, прямо пропорциональна его длине Rn = n-R} (175)
Относительная мощность отражённого излучения таких оптических систем должна подчиняться распределения Больцмана, т.е. средняя относительная мощность отражения волновода, состоящего из «N» периодов, будет равна = N R,- n e""R п=1 N 2у », п=1 (176) Коэффициент излучения такого волновода "ы N N (177)
Для перехода к численному исследованию дифракции на представлен -79 ном волноводе необходимо вернуться к первоначальной координате z (ф.7, 1,Гл.1) х 178 Условие Брэгга т-Я где т — номер брэгтовского резонанса, п, = V2 - показатель преломления вещества волновода. ТГ т-ти Тогда jT (180)
При вычислениях не будет учитываться поглощение среды. Решения дисперсионных уравнений из (26) являются веществ енными, т.к. диэлектрическая проницаемость среды волновода считалась чисто вещественной (среда без поглощения), что играет принципиальную роль в создании метода сведения системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений, поэтому искусственное представление коэффициента преломления среды в виде комплексного числа не представляется возможным, т.к. противоречит логике математических преобразований первых двух Глав данного исследования.
На рис.6 - 9 представлены зависимости коэффициентов прохождения Тп, отражения R„ и излучения Рп в зависимости от числа п периодов волновода при различных относительных значениях глубины гофрировки є = -LZ-2..JОО%, для первого брэгговскогорезонанса: m l,b -безразмерная величина, ограниченная неравенством (25); в рамках данного параграфа бу и - ж дем пользоваться значением t l
Отражательные характеристики плоского диэлектрического волновода со ступенчатой периодической гофрировкой
В данной работе был разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из 4-х уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений. Затем, используя независимость непрерывных мод от дисперсионного параметра р0, система из двух интегро-дифференциальных уравнений была преобразована в систему из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
Для ступенчатого волновода система из двух интегро-дифференциальных уравнений свелась в одном случае: для горизонтальных участков к системе двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка, в другом случае: для вертикальных участков волновода к двум независимым друг от друга дифференци -91 альным уравнениям с частными производными первого порядка.
Система двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка были решены. В результате были получены аналитические выражения амплитуд падающей и отражённой волн чётной нулевой моды дискретного спектра, отдельно, для каждого из этих участков волновода.
При рассмотрении условия непрерывности в точках перехода от горизонтальных участков к вертикальным, была получена система линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд падающей и отражённой волн, решение которой позволило получить выражения для коэффициентов отражения и прохождения для одного периода.
Используя условие взаимозависимости периодов для прошедшей волны и, гипотезу о том, что отражение подчиняется распределению Больцмана, а также закон сохранения энергии были получены выражения коэффициентов прохождения, отражения и излучения в зависимости от количества периодов волновода.
Итак, основными результатами представленной работы являются: 1 . Выведена формула двукратной интегральной свёртки;
2. Получены выражения, которым должны удовлетворять чётные обобщённые амплитуды непрерывного спектра;
3. Получены соотношения, связывающие чётные обобщённые амплитуды непрерывного спектра с чётными обобщёнными амплитудами нулевого дискретного спектра;
4. Построена теория сведения системы четырех интегро-дифференциальных уравнений к системе двух интегро-дифференциальных уравнений;
5. Система из двух интегро-дифференциальных уравнений была преобразо вана в систему из двух дифференциальных уравнений в частных произ . водных первого порядка.
6. Для ступенчатого волновода система из двух интегро-дифференциаль-ных уравнений для горизонтальных участков волновода сведена к системе двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка, а для вертикальных участков волновода к двум независимым друг от друга дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка;
7. Получены решения системы двух обыкновенных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциального уравнения с частными производными первого порядка;
8. Решена задача граничных условий для перехода горизонтальных участков волновода на вертикальные участки;
9. Получены выражения коэффициентов прохождения и отражения для одного периода как независимой оптической системы;
10. Получены выражения коэффициентов прохождения, отражения и излучения для всего волновода;
11. Проведён анализ отражательных характеристик ступенчатых волноводов с различной глубиной гофрировки и с разными номерами брэгговских ре-зонансов;
12. Было проведено исследование влияния растройки брэгговского резонанса на коэффициент отражения.
При разработке в представленной работе теории сведения системы ин-тегро-дифференциальных уравнений, описывающих дифракцию электромагнитных волн на участке плоского волновода переменного сечения в одном од овом случае, не вводились дополнительные физические ограничения на величины, описывающие данное явление, а использовались только стандартные для данного процесса начальные и граничные условия.
